Γενικές παρατηρήσεις στην παραγοντοποίηση.

Για να παραγοντοποιήσετε ένα πολυώνυμο πρώτα θα εξετάσετε αν υπάρχει κοινός παράγοντας από όλους τους όρους. Τον παράγοντα αυτό, αν υπάρχει, τον βγάζετε έξω από την παρένθεση. Ύστερα θα εξετάσετε αν το πολυώνυμο μέσα στη παρένθεση παραγοντοποιείται με μια από τις άλλες περιπτώσεις που ακολουθούν.

Αν ένα πολυώνυμο έχει δυο όρους, είναι πολύ πιθανόν να είναι διαφορά τετραγώνων ή άθροισμα κύβων ή διαφορά κύβων.

Αν ένα πολυώνυμο έχει τρεις όρους έχει μεγάλη πιθανότητα να είναι τετράγωνο αθροίσματος ή διαφοράς ή τριώνυμο.

Αν ένα πολυώνυμο έχει τέσσερις όρους τότε είναι πιθανόν να γίνεται παραγοντοποίηση κατά ομάδες.

Αν ένας όρος βγαίνει ολόκληρος κοινός παράγοντας, χωρίς το πρόσημο του, στη θέση του μένει το +1 ή το –1 ανάλογα με το πρόσημο του όρου π.χ.

0 α3 –3α2 + α = α(α2 – 3α + 1) ή χψ – ψ = ψ(χ – 1).

Μπορούμε να κλείσουμε δυο αριθμούς σε παρένθεση με το πλην μπροστά, αρκεί να αλλάξουμε το πρόσημο τους δηλαδή α – β = - (-α +β) ή καλύτερα α – β = - (β – α) και – α – β = - (α + β). Αυτή η παρατήρηση είναι πολύ χρήσιμη στη παραγοντοποίηση όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα:

χ2 – ψ2 + ψ – χ = (χ – ψ)(χ + ψ) – (χ – ψ) = (χ – ψ)(χ + ψ – 1)

Μερικές παραγοντοποιήσεις γίνονται αν προσθέσουμε και αφαιρέσουμε στο πολυώνυμο ένα κατάλληλο μονώνυμο π.χ

4α4 + β4 = (2α 2 ) 2 + (β 2 ) 2 + 4α 2 β 2 - 4α2β2 = (2α 2 + β 2 ) 2 – (2αβ)2 = = (2α2 + β2 – 2αβ)( 2α2 + β2 + 2αβ).

Μερικές παραγοντοποιήσεις γίνονται αν διασπάσουμε κάποιον όρο του πολυωνύμου σε άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων π.χ.

χ4 – 5χ2ψ2 + 4ψ4 = χ4- 4 χ2ψ2 - χ2ψ2 + 4ψ4 = (χ2 – 2ψ2)2 – (χψ)2 = (χ2 – 2ψ2 – χψ)(χ2 – 2ψ2 + χψ)

εδώ διασπάσαμε το -5 χ2ψ2 σε - 4χ2ψ2 - χ2ψ2 .

Προσέξτε στις ταυτότητες α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2) και α3 - β3 = (α - β)(α2 + αβ + β2). Όπως βλέπετε όταν στο β΄ μέλος έχουμε παράγοντα το α + β τότε το γινόμενο αβ παίρνει πρόσημο πλην(-), ενώ όταν έχουμε παράγοντα α – β το γινόμενο αβ παίρνει συν (+).

1

Άθροισμα τετραγώνων δεν αναλύεται σε γινόμενο παραγόντων.

Μέθοδοι παραγοντοποίησης 1. ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ

Να παραγοντοποιηθεί το πολυώνυμο 4χ2ψ3 – 10χψ2ω + 12χ5ψ4ω2 πρώτα βρίσκω τον ΜΚΔ των συντελεστών των μονώνυμων δηλ των 4, 10 , 12 που είναι το 2 μετά ελέγχω τις μεταβλητές που βρίσκονται σε όλα τα μονώνυμα και σημειώνω την μικρότερη δύναμη από αυτές, έτσι λοιπόν από τις χ2, χ, χ5 σημειώνω το χ ενώ από τις ψ3, ψ2, ψ4 σημειώνω το ψ2 ,το ω δεν μας ενδιαφέρει γιατί δεν βρίσκεται σε όλα τα μονώνυμα. Κοινός παράγοντας είναι το γινόμενο του ΜΚΔ και των μεταβλητών που έχουμε σημειώσει δηλαδή στο παράδειγμα μας είναι ο 2χψ2 . Για να βρω τι θα μείνει μέσα στην παρένθεση σκέφτομαι ως εξής: Για συντελεστή κάθε μονώνυμου γράφω το πηλίκο της διαίρεσης του αρχικού συντελεστή δια του συντελεστή του κοινού παράγοντα και για κύριο μέρος γράφω κάθε μεταβλητή με εκθέτη την διαφορά του αρχικού εκθέτη με τον εκθέτη του κοινού παράγοντα. Αν για κάποια μεταβλητή ο εκθέτης γίνει μηδέν, τότε αυτή ισούται με την μονάδα. Δηλαδή: 4χ2ψ3 – 10χψ2ω + 12χ5ψ4ω2 =

2χ1ψ2( χ2-1ψ3-2 - χ1-1ψ2-2ω+ χ5-1ψ4-2ω2) = 2χψ2(2χψ – 5ω +

6χ4ψ2ω2) Η ενδιάμεση παράσταση αποτελεί την σκέψη και δεν χρειάζεται να την γράφουμε παρά μόνο το τελικό αποτέλεσμα. Επίσης παρατηρήστε ότι το αρχικό πολυώνυμο έχει τρεις όρους για αυτό και η παρένθεση έχει και αυτή τρεις όρους.

2. Παραγοντοποίηση με ομάδες (ομαδοποίηση) Χρησιμοποιείται όταν το πολυώνυμο έχει άρτιο πλήθος μονώνυμων (4, 6, …) και μπορεί να χωριστεί σε ζευγάρια ή ομάδες έτσι ώστε από κάθε ζευγάρι να βγαίνει κοινός παράγοντας με σκοπό στο τέλος το κάθε ζευγάρι να εμφανίσει την ίδια παρένθεση η οποία θα βγει κοινός παράγοντας από όλα. Να παραγοντοποιηθεί το 6χ2 + χψ + 18χω +3ψω Παίρνω το 1ο και το 2ο μονώνυμο και βγάζω κοινό παράγοντα το χ και το 3ο και 4ο μονώνυμο και βγάζω κοινό παράγοντα το 3ω δηλαδή: 6χ2 + χψ + 18χω +3ψω = χ(6χ + ψ) + 3ω(6χ + ψ) σε κάθε ζευγάρι εμφανίστηκε η ίδια παρένθεση ή οποία θα βγει κοινός παράγοντας δηλαδή: 6χ2 + χψ + 18χω +3ψω = χ(6χ + ψ) + 3ω(6χ + ψ) = (6χ + ψ)(χ + 3ω)

3. Παραγοντοποίηση με την διαφορά τετραγώνων α 2 – β 2 = (α – β) (α + β) Χρησιμοποιείται όταν το πολυώνυμο έχει δυο όρους με πλην (-) ανάμεσα τους και έχει ή μπορεί να πάρει την μορφή α2 – β2 π.χ χ2- 9 = χ2 – 32 = (χ – 3)(χ + 3) 4χ2 – 9ψ4 = (2χ)2 – (3ψ2)2 = (2χ – 3ψ2)(2χ + 3ψ2) (χ + ψ)2 – (α + β)2 = [(χ + ψ) + (α + β)][(χ + ψ) – (α + β)]= (χ + ψ + α + β)(χ + ψ – α – β).

2

4. Ανάπτυγμα τετραγώνου αθροίσματος ή διαφοράς α 2 + 2αβ + β 2 = (α + β) 2 ή α 2 - 2αβ + β 2 = (α - β) 2 Χρησιμοποιείται όταν το πολυώνυμο έχει τρεις όρους και μπορεί να πάρει μία από τις παραπάνω μορφές. Στην αρχή βρίσκω ποιοι όροι είναι υψωμένοι στο τετράγωνο και γράφω τον καθένα μέσα σε παρένθεση υψωμένη στο τετράγωνο στη συνέχεια βρίσκω το διπλάσιο γινόμενο των όρων που έχω στις παρενθέσεις και ελέγχω αν είναι ίσο με το γινόμενο της εκφώνησης. Αν είναι ίσα, τότε πράγματι έχω ταυτότητα την οποία και γράφω. 9χ2 + 12χψ + 4ψ2 = (3χ)2 + + (2ψ)2 = (3χ + 2ψ)2 25 + 4χ2 – 20χ = 52 + (2χ)2 - = (5 – 2χ)2 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στην παρένθεση θα βάλω το ίδιο πρόσημο με το πρόσημο του διπλάσιου γινομένου. Δεν είναι υποχρεωτικό οι όροι που είναι υψωμένοι στο τετράγωνο να είναι ο 1ος και ο 3ος.

5. ΤΡΙΩΝΥΜΟ χ 2 + κχ + λ Χρησιμοποιείται όταν το πολυώνυμο έχει τρεις όρους και μια μεταβλητή. Επίσης πρέπει ο συντελεστής του χ2 να είναι μονάδα. Ο τρόπος που δουλεύουμε είναι ο εξής: Ψάχνω να βρω δυο αριθμούς α, β που το γινόμενο τους να ισούται με λ και το άθροισμα τους με κ δηλαδή αβ = λ και α + β = κ. Σημασία έχει να βρω τα σωστά πρόσημα για αυτούς. Σε αυτό μας βοηθάνε τα πρόσημα των α + β= κ και αβ =λ ως εξής: Αν λ θετικός και κ θετικός τότε οι α, β είναι θετικοί. Αν λ θετικός και κ αρνητικός τότε α, β είναι αρνητικοί. Αν λ αρνητικός και κ θετικός τότε α, β είναι ετερόσημοι και ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι θετικός. Αν λ αρνητικός και κ αρνητικός τότε α, β είναι ετεροσημοι και ο μεγαλύτερος είναι αρνητικός. Όταν βρούμε τους αριθμούς α και β τότε το τριώνυμο χ2 + κχ + λ παίρνει την μορφή (χ + α)(χ + β) Παραδείγματα: χ2 + 5χ + 6 αβ = + 6 (α, β ομόσημοι) α + β = + 5 (α, β θετικοί) Όλα τα ζευγάρια που έχουν γινόμενο + 6 και είναι θετικοί είναι τα +1, +6 και + 2, +3, από αυτά επιλεγούμε τους +2, +3 γιατί έχουν άθροισμα +5 άρα το τριώνυμο χ2 + 5χ + 6 = (χ + 2)(χ + 3). χ2 - 5χ + 6 αβ = +6 (α, β ομόσημοι) α + β = - 5 (α, β αρνητικοί) Όλα τα ζευγάρια που έχουν γινόμενο + 6 και είναι αρνητικοί είναι τα –1, -6 και – 2, -3, από αυτά ε3πιλέγουμε τους – 2, - 3 γιατί έχουν άθροισμα – 5 άρα το τριώνυμο χ2 - 5χ + 6 = (χ – 2)(χ – 3). χ2 + χ – 6 αβ = - 6 (α, β ετερόσημοι) α + β = + 1 (ο μεγαλύτερος είναι θετικός). Όλα τα ζευγάρια που έχουν γινόμενο – 6 είναι – 1, + 6 και - 2, +3, από αυτά επιλέγουμε τους –2, + 3 γιατί έχουν άθροισμα + 1 άρα το τριώνυμο χ2 + χ – 6 = (χ – 2)(χ + 3). χ2 - 5χ - 6 αβ = -6 (α, β ετερόσημοι) α + β = - 5 ( ο μεγαλύτερος είναι αρνητικός). Όλα τα ζευγάρια που έχουν γινόμενο – 6 είναι + 1, - 6 και + 2, - 3, από αυτά επιλέγουμε τους

3

+1, -6 γιατί έχουν άθροισμα – 5 άρα το τριώνυμο χ2 - 5χ - 6 = (χ + 1)(χ – 6)

6. ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΕ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΕΛΕΓΧΩ ΠΡΩΤΑ ΑΝ ΒΓΑΙΝΕΙ ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ

7. Σε πολλές περιπτώσεις η παραγοντοποίηση γίνεται συνδυάζοντας διάφορους τρόπους από αυτούς αναφέρθηκαν παραπάνω.

8. Μερικές παραγοντοποιήσεις γίνεται αν προσθέσουμε και αφαιρέσουμε την κατάλληλη ποσότητα, αυτό γίνεται συνήθως όταν η παράσταση περιέχει άθροισμα τετραγώνων π.χ. 4α4 + β4 = (2α2)2 + (β2)2 = = (2α2)2 + (β2)2 + 4α2β2 - 4α2β2 = (2α2 + β2)2 – (2αβ)2 = =(2α2 + β2 – 2αβ)( 2α2 + β2 + 2αβ)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ1.Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις:

i) α3χ2ψ - α2χ3ψ2 + α2χ2ψ3 ii) 12α3 + 60α2 + 4α + 20 iii) α2 - αβ + α6β5 - α5β6 + 12α -12β iv) χψ2 - ψ2 + ψ(χ-1)2 -

χ2ψ + χψ v) (α-β)(2χ-ψ) - 2(β-α)(ψ-2χ) vi) 5(χ-2)(χ-3)-χ+3 vii) 3χ(α-β+γ)-ψ(β-γ-α) viii) χ3 - 9χ-2(χ+3)2

ix)α3 + 4α2 - α - 4 x) β3 -3αβ2 -2αβ +6α2

2. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i) 6χ2 -24 ii) 4χ2 -9 iii)15χ2 -15

iv) 9χ6ψ4 -25ψ10 v) (α-2β)2 -4β2 vi) (α2 -4)2 -(β+2)2 vii) 2αχ2 -32α viii) 3χ3ψ2 -27χ3 ix) α2(α+β)2 -β2(α-β)2

x) 5(χ+ψ)2 -20(χ-ψ)2 xi) (χ-3ψ)2 -(3χ+ψ)2 xii) ψ2 - χ2

xiii) α4 -9β2 xiv) 625 -(2χ-3ψ)2 xv) 36ω4 -(ω2 -5)2

3. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i) 5χ3 -20χ +χ2 -4 i) αχ2 -αψ2 +χ -ψ

iii) (α-β)(χ+ψ)2 -(α-β) iv) 3(χ+5)(χ-2)2 -12χ -60 v) (α+1)(α+2) -(α2 -4) vi) (4χ+ψ)2 +16χ2 -ψ2

vii) (χ-ψ)(2κ-λ)+(χ2 -ψ2) viii) α(χ+ψ)2 +β(χ+ψ)2 -4α -4β ix) αβ5 - α5β x) α2χ2 -α2 -β2χ2 +β2 xi) αχ2 - αψ2 - χ +ψ xii) 3χ3 -3αχ -χ2 +α

4. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i)α2 +2α+1 ii) -4χ2 - 4χ - 1

iii) -25χ2 +40χψ - 16ψ2 iv) 9χ2 - 12αχ + 4α2 v) 81χ4 - 36χ2 + 4 vi) 100χ4ψ6 - 40χ2ψ3ω2 + 4ω4 vii) (χ+ψ)2 - 2(χ+ψ) + 1 viii) 64ψ8 - 80χ3ψ4 + 25χ6 ix) 4χ2 + 9 +12χ x) χ2 - 12χ +36 xi) ψ2 +9χ2 6χψ xii) χ4 -2χ2ψ3 +ψ6

5. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i) c(x-1)-x2 +2x-1 ii) 16x4 +9c2 +24x2c +(4x+3c)

iii) χ3 +2χ2 +χ+αχ+α iv) α2 -2αβ+β2 -γ2 v) 9-9α2 -β2 +6αβ vi) ψ2 -χ2 +2χ-1

4

vii) χ2 -2χ+1-α2 -2αβ-β2 viii) (2χ-1)2 -2χ(2χ-1)+χ2 -1 ix) α2-2αβ+β2-9γ2 +30γδ-25δ2

6. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i)χ2 +8αχ+12α2 (υποδ: 12α2=16α2 -4α2)

ii)α4 -5α2β2 +4β4 (υποδ: -5α2β2= -4α2β2 -α2β2) iii) χ4 +χ2 +1 (υποδ: χ2 =2χ2 -χ2)

iv) 9χ4 -15χ2 +1 (υποδ: -15χ2 = -6χ2 -9χ2) v)χ4 +10χ2ψ2 +9ψ4 (υποδ: 9ψ4 =25ψ4-16ψ2)

vi)α3 +2α2 -1 (υποδ: 2α2 =α2 +α2) vii)χ4 +ψ4 -11χ2ψ2 (υποδ:-11χ2ψ2= -2χ2ψ2 -9χ2ψ2)

7.Να αναλύσετε τις παρακάτω παραστάσεις σε γινόμενο παραγόντων: i)χ2 -8χ-20 ii)χ2 -7χ-8 iii)χ2+χ-20 iv)χ2 -3χ-4 v)χ2 +2χ-35 vi) χ2 -15χ+26 vii)χ2 +5χ-50

5