P=1,3 MN A B x - Грађевински факултет Суботица broj 4.pdfBROJNI PRIMER...
5
BROJNI PRIMER – 4 Armirano betonski temeljni nosač (slika 6.3), fundiran je na dubini od D f =1.5m, u sloju poto-pljenog peska relativne zbijenosti D r ≈75%. Odrediti sleganje w, nagib θ, transverzalnu silu T, moment savijanja M, i totalni kontaktni napon q, u čvornim tačkama nosača na 1 / 10 dužine (n=10). Pesak aproksimirati Vinkler-ovim modelom. Proračun izvršiti numerički, MKR. z x A B P=1,3 MN p=50,0 kN/m 3,0 2,0 4,0 1,0 L=10,0 B=1,5 0,4 1,0 0,4 E =21,0 GPa I=0,159 m b 4 Vlažan pesak (D r =75%) D =1,2 f NPV Slika 6.3 Temeljni nosač na sloju peska Rešenje: Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ : 2 2 2 0 2 0 7 5 Slika r f m MN 0 30 5 1 2 305 0 5 1 4 41 2 B 2 305 0 B k k m MN 4 41 k 75 D 2 2 6 2 5 1 2 1 2 1 B D 2 1 . . . . . . . % . . . . = ⋅ + ⋅ = + = = → = = → > = + = + = ξ ξ ξ 1 4 4 b kB 30,0 1,5 0,2409m 4EI 4 21000 0,159 λ − ⋅ = = = ⋅ ⋅ , L 0,2409 10,0 2,41 λ = ⋅ ≅ Elementi matrice krutosti nosača i tla iznose: ( ) ( ) − = ⋅ ⋅ = ⋅ == = = + ⋅ ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ≠ 6 6 2 b 4 b t,ii ii 3 b 6 4 3 6 2 t,ii ii ii 3 6 6 t,ij ij L 10.0 E I 21.0 10 0.159 3.339 10 kNm , c 1.0m n 10 EI Bc K D k ..... kN m c EI 3.339 10 1.5 1.0 K D 30.0 10 3.339 10 D 1.35 10 1.0 3.339 10 K 3.339 10 D ij Greda je srednje dužine (Vesić,1961). Na osnovu prethodnih izraza, ispis elemenata matrice krutosti, za podelu temeljnog nosača na n=10 jednakih delova, glasi:
Transcript of P=1,3 MN A B x - Грађевински факултет Суботица broj 4.pdfBROJNI PRIMER...
BROJNI PRIMER – 4
Armirano betonski temeljni nosač (slika 6.3), fundiran je na dubini od Df =1.5m, u sloju poto-pljenog
peska relativne zbijenosti Dr≈75%. Odrediti sleganje w, nagib θ, transverzalnu silu T, moment
savijanja M, i totalni kontaktni napon q, u čvornim tačkama nosača na 1/10 dužine (n=10). Pesak
aproksimirati Vinkler-ovim modelom. Proračun izvršiti numerički, MKR.
z
xA B
P=1,3 MN
p=50,0 kN/m
3,0 2,0 4,0 1,0
L=10,0
B=1,5
0,4
1,0
0,4
E =21,0 GPaI=0,159 m
b4
Vlažan pesak (Dr=75%)
D=1,2
f
NPV
Slika 6.3 Temeljni nosač na
sloju peska
Rešenje:
Ekvivalentni modul reakcije podloge/peska k i parametar krutosti λ :
2
22
0
2
0
75Slika
r
f
mMN030512
3050514412
B2
3050Bkk
mMN441k75D
226251
2121
B
D21
..
...
.
.%
..
.
.
=
⋅+
⋅=
+=
= →=
=→>=
+=
+=
ξ
ξξ
144
b
kB 30,0 1,50,2409 m
4E I 4 21000 0,159λ −⋅= = =
⋅ ⋅ , L 0,2409 10,0 2,41λ = ⋅ ≅
Elementi matrice krutosti nosača i tla iznose:
( )
( )−
= ⋅ ⋅ = ⋅ = = =
= +
⋅ ⋅= + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ≠
6 6 2
b
4
bt ,ii ii3
b
6 43 6 2
t ,ii ii ii3 6
6
t ,ij ij
L 10.0E I 21.0 10 0.159 3.339 10 kNm , c 1.0m
n 10
E I BcK D k ..... kN m
c E I
3.339 10 1.5 1.0K D 30.0 10 3.339 10 D 1.35 10
1.0 3.339 10
K 3.339 10 D i j
Greda je srednje dužine (Vesić,1961). Na osnovu prethodnih izraza, ispis elemenata matrice krutosti,
za podelu temeljnog nosača na n=10 jednakih delova, glasi:
[ ]
−
− −
− −
− −
− −
⋅ − −
− −
− −
− −
− −
−
=
6
t
2.0135 4 2
2 5.0135 4 1
1 4 6.0135 4 1
1 4 6.0135 4 1
1 4 6.0135 4 1
10 1 4 6.0135 4 1
1 4 6.0135 4 1
1 4 6.0135 4 1
1 4 6.0135 4 1
1 4 5.0135 2
2 4 2.0135
K 3.339
Vektori čvornog opterećenja {p} odnosno {P}, određeni su na osnovu donje slike :
P=1,3 MN
p=50,0 kN/m
c=1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
L=10c=10,0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n=10
( )
( )( ) ( )
= = = =
= = ⋅ − =
= = ⋅ ⋅ =
= =
= = ⋅ ⋅ − + =
= = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + =
0 0 1 1
2
2 2
2
3 3
4 4
2
5 5
2 2
6 6
7
P cp P cp 0
P cp 1.0 1300.0 1.0 1.0 1.0 0
P cp 1.0 1300.0 1.0 1.0 1300.0 kN
P cp 0
P cp 1.0 50.0 1.0 1.0 0 1.0 2 1.0 25.0 kN
P cp 1.0 50.0 1.0 0 1.0 2 1.0 1.0 50.0 1.0 1.0 0 1.0 2 1.0 50.0 kN
P ( ) ( )( ) ( )
( )
= = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + =
= = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ − + =
= = ⋅ ⋅ − + = = =
2 2
7
2 2
8 8
2
9 9
10 10
cp 1.0 50.0 1.0 0 1.0 2 1.0 1.0 50.0 1.0 1.0 0 1.0 2 1.0 50.0 kN
P cp 1.0 50.0 1.0 0 1.0 2 1.0 1.0 50.0 1.0 1.0 0 1.0 2 1.0 50.0 kN
P cp 1.0 50.0 1.0 1.0 0 1.0 2 1.0 25.0 kN
P cp 0
Rešenje jednačine (6.9) daje sleganje {w} a jednačine (6.1 i 6.8) nagib {θ} i totalni kontaktni napon
{q}.
{ } { } { } rad10
780
780
780
770
760
710
590
350
120
030
020
m
kN
742
5620
8743
1767
2990
58112
64132
79147
51153
11155
62155
qmm
090
690
461
242
013
753
424
934
125
175
195
w3
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
θ
Kontrola tačnosti rezultata, može se izvršiti na osnovu jednačina ravnoteže ΣZ=0 i ΣM=0, odnosno:
( ) ( )[ ] 02
2
qBcPdxxBqxp n
1n
1
i0
n
0
i
L
0
=
++−=− ∑∑∫
−
( ) ( )[ ] ( ) 01n48
qiq
8
qBcicPdxxqBxp n
1n
1
i02
n
0
i
L
0
=
−+⋅+−⋅=⋅− ∑∑∫
−
Grafički prikaz rezultata proračuna prema MKR, dat je na slici 6.4, i može se uporediti sa rezultatima
analitičke metode (slika 5.4). Greška približne metode proračuna po MKR, za podelu nosača na n=10
jednakih delova je zanemarljiva.
Presečne sile se mogu odrediti preko ugiba nosača (6.3) ili što je tačnije, direktno na osnovu zadatog
opterećenja i reaktivnog opterećenja {q}.
Može se zapaziti, da se značajno odstupanje se javlja u dijagramu transverzalnih sila (slika 6.4b), na
mestu dejstva koncentrisane sile, gde je na osnovu ugiba dobijen zbir transverzalne sile levo i desno
od napadne tačke sile. Ova greška se može izbeći proračunom presečnih sila direktno na osnovu
zadatog i reaktivnog opterećenja.
Dijagram transverzalnih sila nije definisan (nema vrednost) u tački u kojoj deluje koncentrisana sila,
već samo u preseku beskonačno blisko levo i desno od napadne tačke sile. Sličan problem postoji i
kod dijagrama momenta savijanja, u tački u kojoj deluje spreg sila.
Na dijagramima na slici 6.4a-b, punom linijom su prikazani rezultati dobijeni MKR, a isprekidanom
linijom su prikazane tačne vrednosti dobijene analitičkom metodom.
-0.02-0.03
-0.12
-0.35
-0.59
-0.71
-0.76-0.77 -0.78 -0.78 -0.78
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Na
gib
no
sača
θθ θθ
(10
-3 r
ad
)
Odstojanje x(m)
Winkler -MKR
W-Analitički
5.19 5.17 5.124.93
4.42
3.75
3.01
2.24
1.46
0.69
-0.09
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ug
ibn
osa
ča
w(m
m)
Odstojanje x(m)
Winkler -MKR
W-Analitički
Slika
6.4a
Uporedni rezultati proračuna ugiba i nagiba elastične linije
nosača (MKR i Analitički)
Može se zaključiti da je za podelu nsača na n=10 delova, greška numeričke metode zanemarljivo mala.
Konkretno, greška je najmanja kod proračuna ugiba nosača i raste pri višim izvodima funkcije, što
znači da su najveća odstupanja na dijagramu transverzalnih sila. Tačnost proračuna se može
poboljšati usvajanjem finije podele nosača odnosno povećanjem broja čvornih tačaka.
Numerička vrednost transverzalne sile ispod koncentrisane sile je jednaka srednjoj vrednosti između
transverzalne sile blisko levo i desno od sile. Pošto je apsolutni zbir transverzalne sile levo i desno
jednak intenzitetu sile, transverzalne sile levo i desno od napadne tačke sile P se može odrediti
prema sledećem izrazu:
kN74.629T,kN26.670T0.1300PTT,53.40TTT d3l3d3l33d3l3 −==⇒==−==+
Na dijagramu transverzalnih sila na slici 6.4b, puna linija prikazuje rezultat linearne interpolacije
između čvornih tačaka. Isprekidana linija prikazuje dijagram kakav on stvarno mora biti. Sa
povećanjem broja podele nosača, odnosno broja čvornih tačaka, greška interpolacije se smanjuje.
0.00
116.72
466.09
1045.78
547.15
247.48
91.6821.32 1.72 -2.06 0.00
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Mo
me
nt
sav
ija
nja
no
sača
M
(k
Nm
)
Odstojanje x (m)
Winkler - MKR
W-Analitički
0.00
233.05
464.53
-399.15
-227.73
-113.08-44.98
-11.69 -0.86 0.00
40.53
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Tra
nsv
erz
aln
a s
ila
no
sača
T (
kN
)
Odstojanje x (m)
Winkler - MKR
W-Analitički
155.62 155.11 153.54 147.79132.64
112.5890.29
67.1843.88
20.56 -2.74
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Re
ak
tiv
no
op
tere
'en
je
q (
kN
/m2)
Odstojnje x (m)
Winkler - MKR
W-Analitički
Slika
6.4b
Uporedni rezultati proračuna presečnih sila i kontaktnog
napona (MKR i Analitički)
