P1 individual de ma311cde, ss2015 RA:

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-4

-3-2

-1

0

1

23

4

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

(1)(3 pontos) Acima estao os conjuntos de nıvel de φ[x, y] = y3−x, uma famılia de cubicas dadas

por y3 − x = C, onde C e uma constante que parametriza a famılia. Estes conjuntos de nıvel

estao superpostos com o desenho do campo vetorial ∇φ e tambem com as linhas de campo deste

gradiente, que cruzam os conjuntos de nıvel ortogonalmente. Voce seria capaz de

(a) escrever uma EDO cuja famılia de solucoes coincida com os conjuntos de nıvel de φ?

(b) modificar a EDO do item anterior obtendo uma EDO cuja famılia de solucoes coincide com

as linhas de campo do gradiente de φ . . . e resolve-la?

(c) dizer o que entende por isoclina de uma EDO de primeira ordem, dy/dx = f [x, y] . . . e

descrever as isoclinas das duas EDOs dos itens anteriores?

(d) de escrever a sequencia de linhas de comando que, no mathematica, produziria a figura mais

acima? . . . empregue os comandos StreamPlot[ ], ContourPlot[ ] e Show[ ], nao se esqueca

dos atributos ContourShading, ContourLabels e AspectRatio no ContourPlot[ ].

1

. . .

2

200 400 600 800 1000 1200 1400

1000

2000

3000

4000

(2) (3 pontos) Nesta questao e feito um estudo, com EDOs e transformada de laplace, da quan-

tidade de sal q[t] de um hipotetico tanque de 1000 litros de agua que perde 3 litros por hora e

tem uma alimentacao que repoe esta perda

(a) primeiro supomos que o tanque tem 4 quilos de sal inicialmente e que a alimentacao do

tanque tem 2 gramas por litro de sal, e para o estudo digitamos no mathematica

q[0] = 4000;

LaplaceTransform[q′[t] == 6 − 3(q[t]/1000), t, s];

%/. LaplaceTransform[q[t], t, s] → lapq;

Apart[Solve[%, lapq]][[1, 1, 2]]

2000/s + 2000000/(3 + 1000s)

qq[t ] = InverseLaplaceTransform[%, s, t]

2000 + 2000Exp[−3t/1000]

Plot[{qq[t], 2000, 0}, {t, 0, 1500}]

obtendo o grafico mais acima. Explique as linhas de comando, qual sua utilidade e discuta

a razoabilidade do grafico obtido como resposta.

(b) agora considere o tanque inicialmente sem sal e estude a resposta a uma alimentacao com

salinidade dependente do tempo, em gramas por litro, da forma δ[t]. Qual sua interpretacao

desta alimentacao, como seria implementada? Resolva o problema por transformada de

laplace e obtenha a funcao de Green do sistema.

(c) Escreva a resposta do sistema a uma alimentacao com saliniadade generica s[t], em gramas

por litro, na forma de uma integral de convolucao.

Dicas: L[1] = 1/s, L[eat] = 1/(s − a), L[δ[t]] = 1 e L[∫

t

0g[t − τ ] f [τ ] dτ ] = F [s] G[s], onde

F [s] = L[f [t]], G[s] = L[g[t]].

3

. . .

4

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2

3

4

5

6

7

(3) (2 pontos) Considere uma EDO para um sistema sub-amortecido da forma

y′′[t] + α y′[t] + β y[t] = f [t]

onde α e β sao positivos e α << β.

(a) quando f [t] = γ, uma constante, o grafico da solucao e aquele mais acima. Encontre os

valores numericos aproximados de α, β, γ e as condicoes iniciais consideradas,

(b) entao troque o lado direito da EDO pela onda quadrada f [t], periodica, com perıodo T =

2π/5, dada por f [t] = 1 no intervalo [0, π/5] e f [t] = −1 no intervalo [π/5, 2π/5]. Faca sua

decomposicao de Fourier. Qual seu harmonico preponderante ao agir no sistema . . . e qual

a resposta de regime permanente aproximada neste caso.

5

. . .

6

(3) (2 pontos) Resolva a EDP

−(ex cos[y]) ∂ψ/∂x + (ex sen[y] + 2x) ∂ψ/∂y = 0 ,

com a condicao ψ[x, 0] = x6. Explique seu raciocınio.

7

. . .

8