OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1.Nα βρείτε γραφικά αν υπάρχουν τα όρια

1)(lim

−→xxf και

1)(lim

→xxf

2 Αν

>+≤−

=1,2

1,)(

χλχχλx

xf και

υπάρχει το )(lim1

xfx→

τότε να

δείξετε ότι λ=21

−

3Αν 0

lim ( )( )→

+x x

f g x =α και 0

lim ( )( )→x x

fg x =β τότε να δείξετε

ότι β2)]()([lim 222

0

−=+→

axgxfxx

4 Να υπολογίσετε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια:

α) 1

lim→x 23

6232

23

+−−++

xxxxx β )

332lim 23

24

1 −−+−+

−→ xxxxx

x γ)

4105lim 2

24

2 −−−+

→ xxxx

x

5 Να υπολογίσετε την τιμή του λ∈ R ώστε η συνάρτηση

f(x)=2

42)1( 2

−

−+−−

χχχλ

να έχει όριο όταν χ 2→

6 Να υπολογίσετε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια

α) 1

213lim 21 −−−

→ xx

x β)

2222lim

2 −−+−+

→ xxx

x γ)

1lim→x 1

73 3

−+−+

xxx

7 Αν Rxfx

∈=−

→µ

χκ)(lim

0τότε να δείξετε ότι κ=

→)(lim

0xf

x

8 Να υπολογίσετε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια α) 2

24lim

2

2 −

−−→ x

xxxx

β)2

14102lim

2

2 −

+−−++→ x

xxxxx

γ) f(x)=

>−

+−

<−

+−

1,1

56

1,1

23

2

2

xx

xx

xx

xx

)(lim1

xfx→

1

9 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια

χηµχηµ

65lim

0→x β) 0,lim

0≠

→α

χεφαχ

x γ)

→

−0

1limx

συνχχ

δ) 22

356

)3

(lim

ππχχ

πχηµ

π +−

−

→x

10Αν 1lim ( ) 1x

f x→

=να υπολογίσετε το όριο 0

lim( 1) ( )x

x f→

ηµχ+

χ

11Να λύσετε την εξίσωση 1lim20

=−+→ χχα

ηµαa

12 Να δείξετε ότι 1lim320=

++→ χχ

χηµχx

13 Να δείξετε ότι κοντά στο 0 ισχύει: ηµχχηµχηµηµ .2)( 2 ≤

14 Αν 0

( )lim 1x

f xx→

= να δείξετε ότι

• ax

xafx

=→

).(lim0

για κάθε α R∈ .

• Αν επί πλέον για κάθε α>0 και β>0 ισχύει: f(αχ)≤ f(βχ) να δείξετε ότι α=β.

15 Αν )()( xgxf ≤ και 0)(lim0

=→

xgxx

να δείξετε ότι 0)(lim0

=→

xfxx

16Αν xaxxf )1()( 4 ++≤≤+ χαχηµχ για κάθε χ R∈ να δείξετε ότι

17Για την συνάρτηση )(χf και για κάθε 0≠x ισχύει ότι

0)2

2)()()(( ≤−−χχηµ

χηµχ xfxf .Γνωρίζοντας ότι ημ2χ=2ημχ.συνχ,να δείξετε

ότι 1)(lim0

=→x

xf

2

18Αν )(0)( xgxf ≤≤ για κάθε χ R∈ και 0)()(lim =−→

xgxfax

να δείξετε ότι

0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

19Δίνονται οι συναρτήσεις 21)( xxf += και

≥<

=0,10,

)(3

xxx

xh .

Να βρείτε αν υπάρχουν τιμές του λ R∈ ώστε 0)(

)(lim0

=−

→ xhxf

x

λ

20 Έστω f(x),g(x) 0≥ για κάθε χ R∈ και 0)]()([lim 22

0

=+→

xfxgxx

Να δείξετε ότι )(lim0

xgxx→

=0 και )(lim0

xfxx→

=0

21Δίνεται συνάρτηση RRf →: για την οποία ισχύουν

f(α+β)=f(α)f(β)-ημα.ημβ, και 01)(lim0

=−

→ xxf

x

Να υπολογίσετε το όριο 0

0 )()(lim

0 xxxfxf

xx −−

→

22Να βρείτε τα α,β∈R ώστε 123

52lim2

3=

−−++

→ χβαχχ

x

23Nα βρείτε αν υπάρχουν τα όρια

α)34

1lim 2

2

3 +−−

→ xxx

x β)

2

2

2 )2(23lim

−+−

→ xxx

x γ)

1332

lim1 −

+−−→ x

xxx

δ) 1553

9lim5 +−−

−→ xxxx

xx

24Αν +∞=+→ 1

)()(lim2

1 xxf

x

πχηµ να υπολογίσετε το όριο )(lim1

χfx→

25Αν +∞=→

)(lim1

χfx

να υπολογίσετε το όριο 3)()(

2)(3lim 2

2

1 +−+

→ xfxfxf

x

26Aν Rx

∈−

+++→ 2

2

1 )1(4)2(lim

χχβαχ να βρείτε τα α,β

3

27Αν −∞=−+

−→ 24

3)()1(lim0 χ

χηµχα fx

να βρείτε το α }1{−∈R ώστε +∞=→

)(lim0

xfx

28Για τις διάφορες τιμές του α R∈ να υπολογίσετε το όριο

132lim

22

1 −−+−+

→ xxxxa

x

χαχ

29 Να βρείτε το όριο )(lim1

χfx→

αν 3)(2)(3lim

1 −+

→ xfxf

x=+∞

30 Αν )(lim1

χfx→

= +∞=→

)(lim1

χgx

να βρείτε το όριο )()()(2)(3lim 221 xgxf

xgxfx +

+→

31 Να βρείτε αν υπάρχουν τα όρια α)65

)3(lim2 +−

++∞→ xx

xxx

β) x

xx 3

312lim

+−−∞→

γ) 1

lim 2 −−∞→ χσυνχx

x δ)

1lim 2 +

++∞→ χ

ηµχxx

ε)1

3lim 3

2

−+∞→ χηµχx

x

32 Δίνεται η συνάρτηση xxxxf −−−= )2)(1()(

Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τα όρια αν υπάρχουν

α) )(lim xfx +∞→

β) )(lim xfx −∞→

γ) )(lim1

xfx −→

δ) )(lim2

xfx +→

ε) )]()([lim xfxfx

−++∞→

33 Αν 0)]()([lim 2 =++−+∞→

γβxaxxfx

να δείξετε ότι

α) 2

)(limx

xfx +∞→

=α β) x

xxfx

2)(lim αβ −=

+∞→ και γ) ))((lim 2 xxxf

xβαγ −−=

+∞→

34Για τις διάφορες τιμές του μ R∈ να υπολογίσετε το

όριο2

13)1(lim 2

3

++++

+∞→ µχχχµ

x

35 Αν +∞=+∞→

)(lim xfx

να δείξετε ότι

α) 01)()(2 >−+ xfxf κοντά στο +∞

β)Να υπολογίσετε το όριο 1)(

21)()(lim 2

2

+

+−++∞→ xf

xfxfx

4

36 Αν f(χ) περιττή συνάρτηση ώστε: 3]3)(2[lim 2 =++−++∞→

χχχxfx

να

υπολογίσετε το όριο )(lim χfx −∞→

37Nα υπολογίσετε το όριο )(lim 33 xxxxx

ηµηµ ++++∞→

38Αν 2)(lim −=+∞→

tfx χ

ηµχ και ttfx

2)(lim 2

0−=

→χ

να βρείτε το t

39Αν α>β>0 να βρείτε τα όρια α) χχ

χ

βαβ

+−

+∞→

x

x

alim β)

2ln3ln2ln3lim 2 +−

−+→ xx

xex

40 Δίνεται η συνάρτηση χ

ηµν 1)( xxf = με Ν∈ν και χ 0≠

Α)Αν ν=0 να δείξετε ότι 0)(lim =+∞→

xfx

Β)Αν ν>1 να δείξετε ότι +∞=+∞→

)(lim xfx

Γ)Έστω ν=1

I. Να δείξετε ότι 1)(lim =+∞→

xfx

II. ¨Έστω )(xg συνάρτηση ώστε xxf

xfxg 11)(

)1)(()( ≤−−

−ηµ για κάθε χ ≠ 0

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 Αν η συνάρτηση )(xf είναι συνεχής στο χ=1 και 2)( =xf να συμπληρώσετε τις ισότητες

α) =→

)(lim1

xfx

β) =+→

])([lim1

xxfx

γ) =−→

]10)([lim 2

1xf

x

δ) =−→

)2(lim1

xfx

ε) =−−

→ 2)(4)(lim

2

1 xfxf

x

2Αν +∞=→ )(

)(limxgxf

axκαι 4)(lim =

→xg

axνα δείξετε ότι η )(xf δεν είναι συνεχής

στο α

3Να μελετήσετε ως προς την συνέχεια την συνάρτηση

=

≠=

0,1

0,1)(

3

χ

χχ

συνxxf

5

4Να βρείτε τα α,β R∈ ώστε η φ(χ)=

<−

+−=−

>−+

1,1

1321,2

1,2

2

2

χχ

χχχβα

χβχαχ να είναι συνεχής

στο R.

5Αν η φ(χ) είναι συνεχής στο 0 και για κάθε χ R∈ ισχύει: 42)( χχηµχφ ≤−x να βρείτε το φ(0).

6Αν η φ(χ) είναι συνεχής στοR και ισχύει χχχφχχχφ ++=+++ )(12)( 2 για κάθε χ R∈ να βρείτε τον τύπο της φ(χ).

7Aν για την πολυωνυμική συνάρτηση Π(χ) ισχύει ότι 4)(lim0

−=Π→

χx

2)(lim =+

Π+∞→ αχ

χx

και βαχχ

=+

Π→

)(lim2x

να βρείτε τα α,β

8 Δίνεται συνάρτηση f(x) ορισμένη στο R και α R∈ .Παίρνουμε σημεία

Α(α,f(α)) και Β(χ,f(x)) και έστω δ (χ)=ΑΒ. Να δείξετε ότι η f(x) είναι συνεχής στο α αν και μόνο αν 0)(lim =

→χδ

ax

9 Aν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο χ0 R∈ να δείξετε ότι 0)]()([lim 000

=−−+→

hxfhfh

χ

10 ¨Εστω συνάρτηση Raf →],[: β .Αν για κάθε ],[, 21 βaxx ∈ ισχύει

βα ≤−−

≤21

21 )()(xx

xfxf να δείξετε ότι είναι συνεχής στο [α,β]

11Δίνεται συνάρτηση ορισμένη και γνησίως φθίνουσα στοR ώστε

2121 21)()( xxxfxf −≤− .Να δείξετε ότι

Α) Η f είναι συνεχής στο R

Β)Η συνάρτηση g(x)=f(x)-x είναι γνησίως φθίνουσα

Γ)Η fC τέμνει την διχοτόμο σε ένα ακριβώς σημείο

6

12Να δείξετε ότι η εξίσωση χ2χ+1+2χ+1=1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [-1,0]

13 Να δείξετε ότι η εξίσωση χ2-χημχ-συνχ=0 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες

στο )2

,2

( ππ−

14 Αν η συνάρτηση Raf →],0[: είναι συνεχής με 0)( ≠af να δείξετε ότι

υπάρχει ένα τουλάχιστον ),0(0 ax ∈ ώστε0

0

0

0 )()(x

xafxa

xf −=

−

15 ¨Εστω f,gσυνεχείς στο R με f(α)+f(β)=g(α)+g(β) και α<β. Να δείξετε ότι υπάρχει χ 0 ],[ βa∈ ώστε f(x )g(x) 00 =

16¨Έστω 0<α<β και RRf →: συνεχής ώστε β2)( =af και αβ 2)( =f .

Α. Να δείξετε ότι

• Η εξίσωση 2χ= )()( aff +ηµχβ έχει μια τουλάχιστον λύση στο(0,α+β]

• Υπάρχει ξ ),( βa∈ έτσι ώστε βξ += af )( • Η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία ψ=2χ σ’ένα τουλάχιστον ),(0 βax ∈

Β. Δίνεται επιπλέον συνάρτηση RRg →: ώστε xxgxf =− )()( για κάθε χ R∈ .Αν υποθέσουμε ότι η εξίσωση 0)( =xf έχει δύο λύσεις ετερόσημες 21 xx < να δείξετε ότι η εξίσωση 0)( =xg έχει μια τουλάχιστον λύση στο ),( 21 xx

17 Αν για κάθε χ ],0[ π∈ η f(x)είναι συνεχής και ισχύει 2ημ2χ+2f5(x)=3 να δείξετε ότι η f(χ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0,π)

18 ¨Έστω f,g συνεχείς στο R με f(x) 0≠ και f(2)=g(2)=-1

Αν χ=-1 και ψ=5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της g(x)=0 να αποδείξετε ότι

Α) Η f διατηρεί σταθερό πρόσημο

Β)g(x)<0 για κάθε )5,1(−∈x

19¨Εστω Rf →+∞),0(: ώστε 1ln32)( 4 ++= xxxf

7

Α)Να εξετάσετε την μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών είναι το R

Β)Να δείξετε ότι για κάθε α R∈ η εξίσωση f(x)=α έχει μοναδική ρίζα

Γ)Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός λ>0: λ

λ 1ln23

214 =+

20¨Έστω f συνεχής στο[-3,3] ώστε 27)(43 22 =+ xfx

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x)=0

β) Αν επιπλέον f(1)=6 να βρείτε τον τύπο της f

21 Eστω f γνησίως αύξουσα και συνεχής στο [α,β] και g(x) γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο [α,β].

α)Να βρείτε το πεδίο τιμών της συνάρτησης h(x)=f(x)-g(x)

β)Αν τα πεδία τιμών τους έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο, να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ ],[ βa∈ ώστε f(ξ)=g(ξ).

22¨Έστω f:R R→ συνεχής ώστε f(0)=2 και 3)( ≠xf για κάθε χ R∈ . Να δείξετε ότι δεν υπάρχει ξ R∈ ώστε f(ξ)= 3+ξ

23 Δίνεται η συνάρτηση φ(χ)=2lnχ+ln(x-ημx),χ>0.Να βρείτε τα όρια

α)+∞→→ + xx

)(lim,)(lim0

χφχφ

β) Nα δείξετε ότι η εξίσωση φ (x)=0 έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα που είναι και ρίζα της εξίσωσης 123 =− xxx ηµ

24Δείξτε ότι υπάρχει γ∈(α,β) ώστε η ευθεία χ=γ να χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεμβαδικές επιφάνειες

25¨Εστω f(χ) συνάρτηση ορισμένη και συνεχής στο R ώστε για κάθε Rx∈ ισχύει

f(x)-ημf(x)=x.Να δείξετε ότι

α β

8

α)Η f είναι 1-1

β) ηµχ−=− xxf )(1

γ)Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων 1, −ff CC

δ)Να δείξετε ότι

0( ) 0lim

xf x

→=

ε)Να υπολογίσετε το όριο

2 ( ) ( )

( )0

3 21lim

f x f x

f xx

e ee→

− +−

στ) Να δείξετε ότι0

( )limx

f xx→

= +∞

26Δίνεται η συνάρτηση φ(χ)=ln(1-lnx)

α)Να μελετήσετε την μονοτονία

β)Να βρείτε το πεδίο τιμών φ(Α)

γ)Να βρείτε την αντίστροφη φ 1− (χ)

δ)Να λύσετε την ανισότητα e)(1 <− χφ

27 Να δείξετε ότι από όλους τους κύκλους με ακτίνα μικρότερη από 10 cm υπάρχει ένας τουλάχιστον που το εμβαδόν του είναι 200cm 2

28 Δίνεται η συνεχής στο Α=(0,+ )∞ συνάρτηση h (x) που ικανοποιεί την ισότητα )())(2( 2 xhxexhe xx −=+ −− με 01)2(2 >+he

Δ1)Να δείξετε ότι η συνάρτηση φ(χ)= xexh −+)( διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε x>0

Δ2)Να δείξετε ότι για κάθε χ 0≥ ισχύει xexxh −−=)(

29 Δίνεται συνάρτηση f(χ) ορισμένη στο [1,3]

9

Αν η f(χ) είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,2] ,συνεχής στο χ=2 και γνησίως φθίνουσα στο (2,3) να αποδείξετε ότι είναι γνησίως φθίνουσα στο [1,3]

30 Eστω f συνεχής στο [α,β] και f(Α) το πεδίο τιμών της για το οποίο ισχύει: f(A) ],[ βa⊆

α)Nα δείξετε ότι αν η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα τότε τέμνει την διχοτόμο ψ=χ σε ένα ακριβώς σημείο.

β)Μπορούμε να βγάλουμε παρόμοιο συμπέρασμα αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [α,β];

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

1Να εξετάσετε το αληθές των παρακάτω προτάσεων

Α) Η συνάρτηση f(x)ορίζεται στο σύνολο Α= { }0xR− ,επομένως δεν υπάρχει το όριο )(lim

0

xfxx→

Β)Η συνάρτηση f(x)ορίζεται στο σύνολο (α,χ 0 ).Τότε )(lim0

xfxx→

= )(lim0

xfxx −→

Γ) Η συνάρτηση f(x)ορίζεται στο σύνολο (α,χ 0 ) ),( 0 βx .Το όριο )(lim

0

xfxx→

υπάρχει αν )(lim0

xfxx −→

= )(lim0

xfxx +→

Δ)Αν υπάρχει το όριο )(lim0

xfxx→

τότε είναι μοναδικό

Ε)Αν τα όρια )(lim0

xfxx→

και )(lim0

xgxx→

δεν υπάρχουν τότε υπάρχει το όριο

)()(lim0

xgxfxx→

Ζ)Αν το όριο )(lim0

xfxx→

υπάρχει και το )(lim0

xgxx→

δεν υπάρχει μπορεί να

υπάρχει το )]()([lim0

xgxfxx

+→

Η)Αν υπάρχει το όριο )(lim 2

0

xfxx→

υπάρχει πάντα το όριο )(lim0

xfxx→

Θ)Αν υπάρχει το όριο )(lim 2

0

xfxx→

και f(x)>0 κοντά στο χ 0 τότε υπάρχει το

όριο )(lim0

xfxx→

10

Ι)Αν f(x)<g(x) κοντά στο χ 0 τότε <→

)(lim0

xfxx

)(lim0

xgxx→

Κ)Αν 3)(lim 1 =→ xfx τότε )(lim1

xfx→

=3 η )(lim1

xfx→

=-3

2 Να υπολογίσετε αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια

α) 1

lim→x 1

73 3

−+−+

xxx β)

1lim→x 1

43

−−

χχx γ)

1lim→x 1

2

−−x

xx

δ)31

)(limχχ

πχηµ−→x

3 Αν 8665)( 2

2

+−+−

=xxxxxg και )()....()()( xgxgxgxf = με 10 ριζικά να

υπολογίσετε τα όρια )(lim2

xgx +→

και )(lim2

xfx +→

4 Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια

α) )]23()1(2[lim 3

1ηµχχ +−

→x β) )(lim

0xf

x→όταν χηµ 223)( xxf ≤

5 Έστω f(x),g(x) 0≥ για κάθε χ R∈ και 0)]()([lim 22

0

=+→

xfxgxx

Να δείξετε ότι )(lim0

xgxx→

=0 και )(lim0

xfxx→

=0

6 Να βρείτε τα α,β∈R όταν 723

533lim 22

=+−

−−++→ χχ

χβxax

7Για τις διάφορες τιμές του α R∈ να υπολογίσετε το

όριοax

aaaxxax −

−+−→

22 55lim

8 Να βρείτε το α R∈ ώστε η συνάρτηση 9

3)5()( 2

2

−−−−

=x

axaxxf να έχει

όριο πραγματικό αριθμό στο σημείο χ=3

Στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του ορίου

9Αν για την περιττή συνάρτηση f(χ) που ορίζεται στο R ισχύει 4)(lim

2=

−→xf

xνα βρείτε το όριο )]2()2([lim

4xfxf

x−−−

→

11

10Αν ισχύει f(x+ψ)=f(x)f(ψ)+χψ για κάθε χ,ψ R∈ και 41)(lim0

=−

→ xxf

xνα

υπολογίσετε το όριο 1

)1()(lim2

1 −−

→ xfxfx

x

11Aν 0)(lim)(lim ==→→ oo xxxx

xgxf ,f(x)>0,g(x)>0 κοντά στο χ 0 να αποδείξετε

ότι: 0)()(

)()(lim 22

33

=+

+→ xgxf

xgxfoxx

ηµχ

12 Nα βρείτε για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων κ,λ τα όρια

Α)1

lim3

1 −++

→ χκλxx

x Β)

1lim

3

1 −−+

→ χλxx

xΓ) κ

λ

χχηµ )(lim

0→xΔ)

κχλ−+

−→ 1

lim3

xx

13 Αν +∞==→→ oo xxxx

xgxf )(lim)(lim να υπολογίσετε το όριο)()(

)()(lim 22 xgxfxgxf

oxx ++

→

ηµχ

14Αν η συνάρτηση f(χ) που ορίζεται στο R,είναι γνησίως μονότονη , έχει f(0)=0 και +∞=

+∞→)(lim xf

xτι είδους μονοτονία έχει;

15¨Εστω f(χ)=ημχ χ ]2

,0[ π∈

α)Να υπολογίσετε την τιμή )0(1−f και

β)το όριο xxfx −−→ )(

1lim 10αν υπάρχει

16Δίνεται συνάρτηση f(x) γνησίως μονότονη στο R για την οποία ισχύει

f(f(x))=f(x)-x

α)Να βρείτε το f(0)

β)Να βρείτε τα όρια )(lim xfx +∞→

και )(lim xfx −∞→

17Δίνεται η συνάρτηση

>−+

≤+= −

0,2

0,)( 21

2

2 ανχχχηµασυνχ

ανχσυνχ

xe

axf

Αν ηf είναι συνεχής να δείξετε ότι α=1

12

18 Αν η συνάρτηση f(x) ορίζεται στο σύνολο Α= ),(],( 00 βxxa ∪ και είναι γνησίως αύξουσα στο ],( 0xa και στο ),( 0 βx και είναι και συνεχής στο

0χ τότε είναι γνησίως αύξουσα στο Α

13

14