1.1 OΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ_1.2 Ομαλή κυκλική κίνηση_polaplis_23-26.pdf

Μιχαήλ Π. Μιχαήλ

Φυσικός 217

x

y υ0

h

O

ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ

1.1Οριζόντια βολή

1.Πότε ένα σώµα εκτελεί οριζόντια βολή; Να γραφούν οι εξισώσεις

κίνησης στην οριζόντια βολή στο κενό και να βρεθεί η εξίσωση της

τροχιάς.

Λέµε ότι ένα σώµα εκτελεί οριζόντια βολή στο βαρυτικό πεδίο της γης,

όταν η αρχική του ταχύτητα έχει οριζόντια διεύθυνση και ασκείται σ’ αυτό

µόνο το βάρος του.

Κάνουµε το παρακάτω πείραµα.

Από κάποιο

ύψος h

αφήνουµε να

πέσει µια

µπάλα ενώ

ταυτόχρονα

ρίχνουµε

οριζόντια µια

άλλη µε

ταχύτητα υ0.

Παρατηρούµε µετά την εκτέλεση του πειράµατος ότι και οι δυο µπάλες

φτάνουν ταυτόχρονα στη γη.

Αυτό το πειραµατικό δεδοµένο µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η

κίνηση σε κάποιο άξονα είναι η ίδια ανεξάρτητα από το αν υπάρχει ή

όχι ταυτόχρονα κίνηση και σε κάποιο άλλο άξονα, ( Α ρ χ ή τ η ς α ν

ε ξ α ρ τ η σ ί α ς τ ω ν κ ι ν ή σ ε ω ν ).

Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι η οριζόντια βολή είναι σύνθετη

κίνηση που αποτελείται από δυο απλές κινήσεις µια κατακόρυφη που

είναι ελεύθερη πτώση και µια οριζόντια που είναι ευθύγραµµη

οµαλή.

Έτσι η κίνηση στον άξονα των y θα γίνεται µε τη ίδια επιτάχυνση g

χωρίς να µας ενδιαφέρει αν υπάρχει κίνηση στον οριζόντιο άξονα.

Για το σώµα που κάνει οριζόντια βολή από κάποιο ύψος h όπως

φαίνεται στο σχήµα µε αρχική ταχύτητα υ0 θα ισχύει λοιπόν.

x: ∆εν ασκείται καµία δύναµη Fx=0 άρα ευθύγραµµη οµαλή κίνηση και

υχ=υ0 (1)


Φυσικός 218

y

x

υ1 υ2 υ3

όπου υ3>υ2>υ1.

υ0 x

υ

υx

υy

M(x,y) y

Ο

d φ

x=υ0t (2)

y:Εξασκείται το βάρος Fy=B=mg άρα έχουµε οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση (ελεύθερη πτώση)

υy=gt (3)

y=2

1gt

2. (4)

Οι παραπάνω εξισώσεις κίνησης ονοµάζονται παραµετρικές εξισώσεις της οριζόντιας βολής όπου παράµετρος είναι ο χρόνος t.

Με απαλοιφή του χρόνου από τις (2) & (4) είναι t=0υ

x και

y=2

1g(

0υ

x)

2τελικά y= 2

0

2

2υ

gxεξίσωση

τροχιάς.

Παρατηρούµε ότι η εξίσωση της

τροχιάς είναι της µορφής y=αx2 άρα

είναι µια παραβολή (παραβολική

τροχιά).

Για µικρές τιµές της υ0 οι τροχιές έχουν

µεγάλη καµπυλότητα και το αντίθετο,

Ακόµη για να υπολογίσουµε το χρόνο που χρειάζεται το σώµα να φτάσει

στο έδαφος έχουµε για y=h ότι h=2

1gt

2⇒ t=g

2h

Τότε η µέγιστη οριζόντια απόσταση (βεληνεκές) που έχει διανύσει το σώµα

όταν φτάνει στο έδαφος είναι s=υ0t⇒ s=υ0 g

2h.

2.Πως υπολογίζεται η θέση και η ταχύτητα ενός σώµατος που κάνει

οριζόντια βολή µια χρονική στιγµή t;

Θεωρούµε σύστηµα

συντεταγµένων µε αρχή το

σηµείο βολής. Έστω ότι

κάποια χρονική στιγµή t το

σώµα που κάνει οριζόντια

βολή βρίσκεται στο σηµείο

Μ. Τότε ο καθορισµός της


Φυσικός 219

θέσης του σηµείου γίνεται από τις συντεταγµένες (x,y) του σηµείου,

φέρνοντας παράλληλες προς τους δυο άξονες, ενώ για τα µέτρα τους ισχύει

x=υ0t και y=2

1gt

2

Η απόσταση d του σηµείου Μ από την αρχή Ο είναι d= 22 yx +

Ακόµη πρέπει να προσέξουµε ότι η οριζόντια βολή είναι µια

καµπυλόγραµµη κίνηση που γίνεται στο κατακόρυφο επίπεδο (επίπεδη

κίνηση), στο οποίο ανήκει και το σηµείο Ο αρχή του συστήµατος

συντεταγµένων.

Έτσι η στιγµιαία ταχύτητα τη χρονική στιγµή t είναι εφαπτόµενη στη τροχιά

στο σηµείο Μ και για τον υπολογισµό της, την αναλύουµε σε δυο

συνιστώσες υx και υy, κάθετες µεταξύ τους, για τις οποίες ισχύουν οι

εξισώσεις που µάθαµε υx=0 και υy=gt. Τότε ισχύει η διανυσµατική σχέση

υ�

=υ�

x+υ�

y και από το πυθαγόρειο θεώρηµα για το µέτρο της ταχύτητας θα

έχουµε υ= 2

y

2

xυυ + ενώ για την κατεύθυνση της ταχύτητας είναι εφφ=

x

y

υ

υ

3.Να διατυπώσετε την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων.

«Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα πολλές κινήσεις κάθε µια απ’ αυτές

εξελίσσεται ανεξάρτητα απ’ τις άλλες, στον ίδιο χρόνο t»

α. Για τον προσδιορισµό της θέσης.

Η θέση του κινητού - το οποίο συµµετέχει σε πολλές κινήσεις- µετά από

χρόνο t καθορίζεται αν φανταστούµε το κινητό να εκτελεί κάθε µια κίνηση

ανεξάρτητα και διαδοχικά στον ίδιο χρόνο .

β. Σχετικά µε τον υπολογισµό της ταχύτητα και της επιτάχυνσης.

Η ταχύτητα ή η επιτάχυνση που θα παρουσιάσει το κινητό, µετά από χρόνο

t, υπολογίζεται από το διανυσµατικό άθροισµα των ταχυτήτων ή των

επιταχύνσεων, που θα είχε το κινητό αν εκτελούσε κάθε µια κίνηση

ανεξάρτητα και επί χρόνο t την καθεµιά. Μπορούµε να γράψουµε: �υ=�υ 1+

�υ 2+.....+

�υ ν ή

�α=�α 1+

�α 2+......+

�α ν


Φυσικός 220

υ0

φ

x

y

hmax

4.Πλάγια βολή στο κενό

Για την πλάγια βολή στο κενό µε αρχική ταχύτητα υ0 και γωνία βολής

φ θα έχουµε το παρακάτω σχήµα:

Οι αντίστοιχες εξισώσεις στους άξονες Χ και Ψ θα είναι:

Χ: υχ=υ0χ=υ0συνφ (1)

x=υ0χt=υ0συνφ t (2)

Ψ: υψ=υ0ψ-gt=υ0ηµφ-gt (3)

Ψ= υ0ψt-2

1gt

2= υ0ηµφt-

2

1gt

2 (4)

Από την (2) ⇒ t=g

ηµφ2υ0 ⇒( )4

Ψ=εφφx-φσυν2υ

gx22

0

2

εξίσωση τροχιάς.

Ακόµη στο µέγιστο ύψος η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας υψ

είναι µηδέν. Έτσι από την σχέση (3) µπορούµε για υψ=0 να

υπολογίσουµε το χρόνο ανόδου. ∆ηλαδή υψ=0⇒ tαν=g

ηµφυ0 . Αν στην

εξίσωση (4) θέσουµε όπου Ψ=0 τότε µπορούµε να υπολογίσουµε τον

ολικό χρόνο κίνησης tολ=g

ηµφ2υ0 και επειδή tολ=tαν+tκαθ⇒ tκαθ= tολ-

tαν⇒ tκαθ=g

ηµφυ0 = tαν.

Ακόµη αν στην (4) όπου t θέσουµε το tαν τότε µπορούµε να

υπολογίσουµε και το µέγιστο ύψος hmax.Θα είναι δηλαδή

hmax=υ0ηµφg

ηµφυ0 -2

1g(

g

ηµφυ0 )2⇒ hmax=

2g

φηµ υ 220 αν τέλος στην (2)

όπου tβάλουµε το tολ µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέγιστη οριζόντια


Φυσικός 221

�υ

�α ε

�α

�α κ

κ

ΣF�

Σy

F�

Σx

F�

α�

xα�

�υ

yα�

φ

µετατόπιση (βεληνεκές). Είναι λοιπόν sβελ=υ0συνφg

ηµφ2υ0 ⇒

sβελ=υ

g

02

ηµ2φ.

Θεµελιώδης νόµος της µηχανικής στις

καµπυλόγραµµες κινήσεις.

Για τον 2ο νόµο του Νεύτωνα µάθαµε ότι ισχύει:

F�

= m . α�

(διανυσµατική σχέση).

Αν το σώµα δέχεται πολλές οµοεπίπεδες δυνάµεις η παραπάνω σχέση

ισοδυναµεί µε τις σχέσεις:

=Σ

=Σ

xmxF

ymyF

α

α

όπου ΣFx, ΣFy, αx και αy είναι οι συνιστώσες της

συνισταµένης δύναµης και της επιτάχυνσης σε

σύστηµα ορθογωνίων αξόνων αντίστοιχα.

∆ηλαδή ισχύει ΣFx=ΣFσυνφ και

ΣFy=ΣFηµφ.

1.Αναλύστε τη στιγµιαία επιτάχυνση ενός κινητού που κινείται πάνω σε

καµπύλη τροχιά σε επιτρόχια και κεντροµόλο επιτάχυνση.


Φυσικός 222

2.Αποδείξτε τη σχέση που συνδέει τις �α ,�α ε,�α κ.

Από το προηγούµενο σχήµα είναι �α=�α ε+�α κ, και για το µέτρο από το

πυθαγόρειο θεώρηµα έχουµε:

α= α αε

2

κ

2+

3.Ποιος είναι ο ρόλος της κεντροµόλου και της επιτρόχιας

επιτάχυνσης; Πόσο είναι η �α κ στις ευθύγραµµες κινήσεις;

Ο αποκλειστικός ρόλος της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι να επιταχύνει ή

να επιβραδύνει το κινητό, δηλαδή να µεταβάλει το µέτρο της ταχύτητας.

Η κεντροµόλος επιτάχυνση ευθύνεται µόνο για τη µεταβολή στη

κατεύθυνση της ταχύτητας. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι «στρίβει» το

διάνυσµα της ταχύτητας χωρίς να µεταβάλει το µέτρο της. Στις

ευθύγραµµες κινήσεις δεν υπάρχει κεντροµόλος επιτάχυνση (ακ=0), ενώ

είναι αδύνατο να πραγµατοποιηθεί καµπυλόγραµµη κίνηση χωρίς

κεντροµόλα επιτάχυνση.


Φυσικός 223

Β Γ

υ1

υ2 Α

Προβλήµατα Αρχή Ανεξαρτησίας των Κινήσεων

1)Από ύψος h=8m από το έδαφος αφήνουµε να πέσει ένα σώµα. Επειδή

όµως στο χώρο του πειράµατος πνέει οριζόντιος άνεµος, το σώµα αποκτά

και σταθερή οριζόντια ταχύτητα υ=3m/s.

1.Ποια είναι η οριζόντια απόσταση του σώµατος όταν αυτό φτάσει στο

έδαφος;

2.Με ποια ταχύτητα θα φτάσει το σώµα στο έδαφος;

3.Ποια είναι η απόσταση του σηµείου που θα χτυπήσει το σώµα από το

σηµείο που το αφήσαµε;

2)Βάρκα ξεκινάει από το σηµείο

Α να περάσει απέναντι στο Β µε

υ1=3m/s.

1.Αν το πλάτος του ποταµού είναι

d=300m πόσο χρόνο θα έκανε αν

το ποτάµι ηρεµούσε;

2.Επειδή όµως το ποτάµι έχει µια σταθερή οριζόντια ταχύτητα υ2=4m/s,

τελικά η βάρκα φτάνει στη θέση Γ, που απέχει από το Β απόσταση

s=400m.Ποια είναι η τελική ταχύτητα της βάρκας;

3.Πόσο χρόνο θα έκανε να πάει η βάρκα από το Β στο Γ αν ακολουθούσε

µόνο τη ροή του ποταµού;

4.Πόση είναι η απόσταση ΑΓ και σε πόσο χρόνο τη διανύει η βάρκα;

3)Ένα αερόστατο κινείται µε επιτάχυνση αΧ=1m/s2 και αy=1,5m/s

2

ξεκινώντας από το έδαφος. 1.Αν υ0x=0 και υ0y=5m/s2, που θα βρίσκεται

το αερόστατο µετά από 10s;2.Ποια θα είναι τότε η ταχύτητά του;

4)Λεωφορείο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=20m/s, όταν από την τσέπη

ενός επιβάτη σε ύψος h=0,8m,πέφτει ένα κέρµα.

1.Πόση απόσταση θα διανύσει το λεωφορείο µέχρι να πέσει το κέρµα;

2.Που θα πέσει το κέρµα σχετικά µε τον επιβάτη και σχετικά µε έναν

ακίνητο παρατηρητή έξω από το λεωφορείο;

3.Ποια είναι η τροχιά του κέρµατος για τον επιβάτη και για τον

παρατηρητή;

5)Ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δυο κινήσεις στους άξονες Χ και Ψ µε

υΧ=-2+4t και υy=4t, αντίστοιχα. Ποια θα είναι η ταχύτητα του κινητού τη

χρονική στιγµή t=2s και που θα βρίσκεται τότε αυτό;


Φυσικός 224

υ υ1

φ

υ2

6)Αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ0. Αν οι τροχοί του έχουν

ακτίνα R α)Αποδείξτε ότι η θέση οποιουδήποτε σηµείου της περιφέρειας

ενός τροχού δίνεται από τις σχέσεις: x=ωRt+ηµωt και y=Rσυνωt, ως

προς ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το κέντρο του

κύκλου.β)Ποιες είναι οι εξισώσεις που µας δίνουν τις υΧ και υy;

γ)Ποια είναι η ταχύτητα για ένα σηµείο που έχει περιστραφεί κατά i)φ=00

ii)φ=900 και iii)φ=180

0;

Ο χρόνος θεωρείστε ότι µετριέται από τη στιγµή που το σηµείο βρίσκεται

στο ανώτερο σηµείο του τροχού.

7)Ένα ποδήλατο έχει τροχό ακτίνας R=20cm και κινείται µε σταθερή

ταχύτητα υ0=10m/s.

α)Τι κίνηση κάνει ένα σηµείο στην περιφέρεια της ρόδας του ποδηλάτου;

β)Πόση είναι η ταχύτητα ενός σηµείου της περιφέρειας της ρόδας όταν

αυτό βρίσκεται στην οριζόντια και την κατακόρυφη διάµετρο του τροχού;

γ)Πόση είναι η ταχύτητα του κέντρου του τροχού;

8)Ένα ελαφρύ αεροπλάνο πετάει µε ταχύτητα υ1=300 3 Km/h Ο πιλότος

ξεκινάει για τον προορισµό του που βρίσκεται 900Km βόρεια, αλλά επειδή

πνέει οριζόντιος άνεµος µε ταχύτητα υ2, διαπιστώνει ότι πρέπει να

κατευθύνει το αεροπλάνο του κατά γωνία φ=300, δυτικά του βορρά για να

πετάει κατευθείαν προς βορρά.1.Ποια είναι η ταχύτητα υ2 του ανέµου;

2.Σε πόσο χρόνο φτάνει στον προορισµό του;

9)Κολυµβήτρια θέλει να διασχίσει

κολυµπώντας ποτάµι που έχει πλάτος

d=500m. Η ταχύτητα µε την οποία

κολυµπά είναι υ1=0,8m/s, κάθετα στη

ροή του ποταµού. Ο ποταµός ρέει

µε ταχύτητα υ2==0,6m/s. Αν η

κολυµβήτρια περπατά στην ακτή µε

ταχύτητα υα=1,5m/s πόσο χρόνο θα κάνει για να φτάσει ακριβώς απέναντι

από το σηµείο που ξεκίνησε;

10)Ένας βαρκάρης µπορεί να κωπηλατεί

µια βάρκα µε υ1=4Κm/h σε ήρεµα νερά.

1.Αν το ποτάµι που θέλει να διασχίσει

ρέει µε ταχύτητα υ2=2Km/h σε ποια

διέυθυνση σε σχέση µε το ποτάµι

πρέπει να στρέψει τη βάρκα για να

φτάσει ακριβώς απέναντι από το σηµείο

που ξεκίνησε;

2.Αν το πλάτος του ποταµού είναι 1,2Km σε πόσο χρόνο θα τον διασχίσει;


Φυσικός 225

υ

Α υ2 Β

υ1 υ

Γ

υ1

Α υ Β

Β Γ

υ1

υ2 Α

3.Πόσο χρόνο θα χρειαστεί ο βαρκάρης για να κωπηλατήσει 2Km κατά

µήκος του ποταµού και στη συνέχεια να επιστρέψει στην αφετηρία του

i)σύµφωνα µε τη φορά του ποταµού και ii)αντίθετα µε τη φορά του

ποταµού;

11)Ένα έντοµο κινείται µε ταχύτητα

µε ταχύτητα υ κατά µήκος µιας ράβδου

που περιστρέφεται γύρω από το ένα

άκρο της µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω.

Ποια είναι η τελική ταχύτητα του εντόµου;

12)Ένα ποτάµι κυλάει προς νότο µε

υ1=3Km/h ενώ µια βάρκα, ταξιδεύει προς

ανατολάς, µε υ2=4Km/h.

1.Ποια είναι η τελική ταχύτητα της

βάρκας;

2.Αν το πλάτος του ποταµού είναι 0,4Κm,

πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να το

διασχίσει;

3.Ποια είναι η προς νότο παρέκκλιση

της βάρκας, µόλις φτάσει στην απέναντι

όχθη;

13)Ένας άνθρωπος ξεκινάει να

πάει από τον τόπο Α στον τόπο Β

µε µια βάρκα. Αν οι δύο τόποι

βρίσκονται στην ίδια πλευρά του

ποταµού και απέχουν απόσταση

ΑΒ=900m και ο άνθρωπος κωπηλατεί

µε υ=2Km/h

1.Να βρείτε πόσο χρόνο θα κάνει να πάει από τονΑ στον τόπο Β και ξανά

στον Α. Θεωρείστε ότι το ρεύµα του ποταµού έχει ταχύτητα υ1=1Km/h.

2.Πόση ώρα θα έκανε ο ίδιος άνθρωπος αν πήγαινε περπατώντας από τον

Α στον Β τόπο και ξανά πίσω στον Α µε ταχύτητα υ=2km/h.

14)Μια βάρκα µπορεί να αναπτύξει

µέγιστη ταχύτητα υ1=4m/s, ενώ το

ρεύµα του ποταµού έχει σταθερή

ταχύτητα υ2=3m/s

1.Πως πρέπει να στρέψουµε τη βάρκα

ώστε να περάσουµε στην απέναντι όχθη

στον ελάχιστο χρόνο αν ΑΒ=d=250m; Ποιος είναι αυτός;

2.Ποια είναι τότε η τελική ταχύτητα της βάρκας;


Φυσικός 226

υ1 υ

υ2

υ0

υ

15)Η πυξίδα ενός αεροπλάνου

δείχνει ότι η άτρακτος έχει

κατεύθυνση προς βορρά και ο

µετρητής ταχύτητάς του ως

προς τον αέρα δείχνει υ1=240Κm/h.

Αν υπάρχει άνεµος υ2=100Km/h

από δυσµάς προς ανατολάς ποια

είναι η τελική ταχύτητα του

αεροπλάνου για παρατηρητή στη γη;

16)Ένα ηλεκτρόνιο αναγκάζεται να κάνει ταυτόχρονα οµαλή κυκλική

κίνηση ακτίνας R=0,5m και ευθύγραµµη οµαλή µε σταθερή ταχύτητα

υ=106m/s, κάθετα στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφει.

1.Πως ονοµάζεται η κίνηση του ηλεκτρονίου; Σχεδιάστε την τροχιά του.

2.Πόσο θα έχει µετατοπιστεί το ηλεκτρόνιο σε χρόνο µιας περιόδου; Πως

ονοµάζεται αυτή η απόσταση;

17)Αν η έλικα ενός ελικοφόρου

αεροπλάνου έχει ακτίνα �=1m και

περιστρέφεται µε 2040 στροφές

το min, 1.Ποια είναι η ταχύτητα

ενός σηµείου της περιφέρειας της

έλικας όταν το αεροπλάνο πετάει

µε σταθερή ταχύτητα υ0=51πm/s

2.Ποια είναι η ταχύτητα ενός

σηµείου της περιφέρειας για τον πιλότο;

18)Ένα παιδάκι που βρίσκεται πάνω σε ένα τρένο

καθώς ταξιδεύει παίζει µε ένα πλαστικό

µπαλάκι που το πετάει κατακόρυφα προς

τα πάνω και στη συνέχεια το πιάνει

α) Εξηγείστε γιατί το µπαλάκι πέφτει

πάνω στο παιδί;

β) Τι κίνηση κάνει το µπαλάκι για το παιδί και τι κίνηση κάνει για έναν

ακίνητο παρατηρητή στη γη;


Φυσικός 227

υ0

h

υ0

h

h

Οριζόντια βολή

1)Από ύψος h=5m ρίχνουµε οριζόντια σώµα µε υ0=10m/s.

α)Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης του σώµατος

β)Ποια είναι η εξίσωση τροχιάς του σώµατος;

2)Από αερόστατο που κινείται οριζόντια µε

υ0=20m/s σε ύψος h=500m από το έδαφος

αφήνεται να πέσει µια πέτρα

1.Σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο έδαφος;

2.Πόση ταχύτητα θα έχει τότε;

3.Πόσο θα έχει µετατοπιστεί οριζόντια το

αερόστατο όταν η πέτρα φτάσει στο έδαφος;

3)Από τραπέζι ύψους h=1,25m,

εκσφενδονίζεται οριζόντια µια σφαίρα

µε υ0=0,2m/s. Πόσο θα απέχει αυτή

από το τραπέζι όταν χτυπήσει στο

έδαφος;

4)Από ύψος h=3,2m ρίχνεται οριζόντια σώµα µε υ0=1,5m/s.

1.Ποια είναι η θέση του σώµατος µετά από t=0,4s;

2.Πόσο απέχει τότε αυτό από το σηµείο βολής;

3.Σε πόσο χρόνο θα φτάσει στο έδαφος;

5)Στη λίµνη Κερκίνη το φράγµα έχει

ύψος h=11,25m.Αν κάποιος πετάξει

οριζόντια ένα βότσαλο πάνω από το

φράγµα µε υ0=10m/s, µετά από

πόσο χρόνο θα ακούσει τον ήχο

από το βότσαλο που έπεσε στο νερό;

(υήχου=340m/s).


Φυσικός 228

α

υ0

h

υ0

h

υ0

h

h1

d

6)Αεροπλάνο κινείται σε ύψος h=980m

µε ταχύτητα υ=300m/s,

όταν αρχίζει να επιταχύνεται µε

σταθερή επιτάχυνση

α=7,5m/s2 .Αν εκείνη τη στιγµή

αφήσει να πέσει ταχυδροµικό πακέτο,

πόσο θα απέχει το πακέτο από το

αεροπλάνο όταν χτυπήσει στο έδαφος;

7)Από κτίριο ύψους h=60m ρίχνουµε

οριζόντια σώµα µε υ0=15m/s. α)Ποια

είναι η ταχύτητα του σώµατος τη χρονική

στιγµή t=2s; β)Πόσο απέχει τότε το σώµα

από τη βάση του κτιρίου;

8)Αν ρίξουµε οριζόντια σώµα µε υ0=50m/s ποια χρονική στιγµή η

οριζόντια µετατόπισή του θα είναι διπλάσια από την κατακόρυφή του;

9)Οι συντεταγµένες της θέσης ενός σώµατος που κάνει οριζόντια βολή

είναι κάποια στιγµή χ=10m και y=5m. Να υπολογιστεί η ταχύτητα βολής.

10)Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h=980m µε ταχύτητα

υ1=50m/s. Από το αεροπλάνο αφήνεται να πέσει ένα δέµα πάνω σε ένα

πλοίο που κινείται στην ίδια διεύθυνση µε υ2=15Km/h. Ποια πρέπει να

είναι η οριζόντια απόσταση που πρέπει να αφήσει ο πιλότος το δέµα για να

πέσει πάνω στο πλοίο αν το πλοίο κινείται α) µε την ίδια φορά και β)µε

αντίθετη φορά;

11)Από κτίριο ύψους h=100m αφήνεται να πέσει

ένα σώµα. Από δεύτερο κτίριο ύψους h1=40m

που απέχει απόσταση d=30m από

το πρώτο θέλουµε να ρίξουµε

οριζόντια βλήµα µε υ0, ώστε τα δυο

σώµατα να συγκρουστούν σε ύψος

20m πάνω από το έδαφος.

Με ποια αρχική ταχύτητα υ0

και πότε πρέπει να εκσφενδονίσουµε το βλήµα για να γίνει η παραπάνω

σύγκρουση;


Φυσικός 229

υ1 υ2

S1 S2

12)Από ύψος h=45m

ρίχνονται οριζόντια δυο

µπάλες µε υ1=10m/s και

υ2=2,5m/s, αντίστοιχα.

Να βρείτε:

1. Πόσο θα απέχουν

µεταξύ τους οι δυο

µπάλες όταν φτάσουν στο

έδαφος;

2. Το ρυθµό µεταβολής της

υ για τις δυο µπάλες στη

διάρκεια της οριζόντιας βολής

3. Σε ποια χρονική στιγµή οι διευθύνσεις των ταχυτήτων από τις δυο

µπάλες θα είναι κάθετες µεταξύ τους;

13)Σφαίρα ρίχνεται οριζόντια µε αρχική ταχύτητα υ0, από ύψος h=80m. Αν

τη στιγµή που η σφαίρα χτυπάει στο έδαφος η ταχύτητα της σχηµατίζει µε

το οριζόντιο επίπεδο γωνία φ=300, να υπολογιστεί η υ0.

14)Σώµα ρίχνεται οριζόντια από ύψος h µε αρχική ταχύτητα υ0. Αν η

εξίσωση τροχιάς του σώµατος είναι y=-5x2να βρείτε την αρχική του

ταχύτητα υ0.

15)Σώµα ρίχνεται οριζόντια από ύψος h=125m µε υ0=10m/s. Αν κατά τη

διάρκεια της κίνησης ο αέρας που πνέει στο χώρο του πειράµατος

προσδίδει στο σώµα σταθερή οριζόντια επιβράδυνση α=-2m/s2,

1.Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης του σώµατος

2.Να βρείτε το βεληνεκές του σώµατος

3.Να βρείτε την ταχύτητα µε την οποία το σώµα θα φτάσει στο έδαφος.

16)Από κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ=600,

ρίχνεται οριζόντια σώµα µε υ0=5m/s. Na

υπολογίσετε το βεληνεκές του σώµατος στο

κεκλιµένο επίπεδο.


Φυσικός 230

υ0

υ0 x

h

y

υ0

h

d

17)Ένας ριψοκίνδυνος µοτοσικλετιστής πηδάει

από την άκρη ενός γκρεµού. Αν στην άκρη του

γκρεµού έχει αρχική οριζόντια ταχύτητα

υ0=7,5m/s, να βρεθεί η θέση και η ταχύτητα

του µοτοσικλετιστή µετά από t=2s.

18)Στην κατάσβεση πυρκαγιάς σε δάσος,

πυροσβεστικό αεροπλάνο πετάει

οριζόντια σε ύψος h=80m, πάνω

από τη φωτιά και µε ταχύτητα µέτρου

υ=16m/s, όταν αφήνει το νερό να πέσει.

Α)Σε ποια µέγιστη οριζόντια απόσταση

βρίσκεται η εστία της φωτιάς;

Β)Με ποια γωνία βλέπει ο πιλότος την

εστία της φωτιάς τη στιγµή που αδειάζει

το νερό;

19)Όπλο σηµαδεύει οριζόντια σε στόχο που απέχει 100m απ’ αυτό. Η

σφαίρα χτυπά το στόχο 5cm πιο κάτω από το σηµείο σκόπευσης. Ποια

ήταν η αρχική οριζόντια ταχύτητα υ0 , της σφαίρας;

20)Μπάλα ρίχνεται οριζόντια από ύψος h=15m η οποία χτυπά στο έδαφος

µε ταχύτητα διπλάσια της αρχικής. Ποια ήταν η αρχική ταχύτητα υ0, της

µπάλας.

21)Από πυροβόλο όπλο που βρίσκεται σε ύψος h=80m πάνω από το

έδαφος, σε οριζόντιο επίπεδο, βγαίνει οριζόντια βλήµα µε ταχύτητα

υ0=200m/s.

α)Για πόσο χρόνο θα είναι το βλήµα στον αέρα;

β)Να υπολογιστεί το βεληνεκές του.

γ)Ποιο είναι το µέτρο της κατακόρυφης συνιστώσας της ταχύτητας του

βλήµατος όταν χτυπά στο έδαφος;

22)Μπάλα κυλάει από το πάνω σκαλοπάτι µιας

σκάλας µε αρχική οριζόντια ταχύτητα υ0=1,5m/s.

Αν τα σκαλοπάτια έχουν ύψος h=20cm και πλάτος

d=20cm, σε ποιο σκαλοπάτι θα χτυπήσει η µπάλα

για πρώτη φοράς


Φυσικός 231

υ0 x

y

23)Σώµα βάλλεται οριζόντια από κάποιο

ύψος, µε υ0=10m/s. Πότε και σε ποιο

σηµείο το βλήµα συναντά τη διχοτόµο

της γωνίας xoy;

24)Μπάλα ρίχνεται οριζόντια από ύψος h=80m. Αν σε κάποιο σηµείο της

τροχιάς της είναι υχ=9m/s και υy=12m/s,

1. Ποια είναι η ταχύτητα της µπάλας σε εκείνο το σηµείο;

2. Ποιες είναι οι συντεταγµένες του σηµείου; 3. Ποιο είναι το βεληνεκές της οριζόντιας βολής;

4. Ποια είναι η ταχύτητα της µπάλας όταν φτάσει στο έδαφος;


Φυσικός 232

y(m) A

6

4 1r�

r∆�

2 B 2r

�

1 2 3 4 x(m)

y(m)

30 B r∆

�

20 A 1r

�

10 2r�

10 20 30 x(m)

Καµπυλόγραµµες κινήσεις

1)Ένα κινητό κινείται από τη θέση

Α µε ταχύτητα 1υ�

, στη θέση Β

µε ταχύτητα 2υ�

, κάνοντας

καµπυλόγραµµη κίνηση

σε χρόνο ∆t=2s.

Να υπολογίσετε τη µέση ταχύτητα

του κινητού.

2) Ένα κινητό κινείται από τη θέση

Α µε ταχύτητα 1υ�

, στη θέση Β

µε ταχύτητα 2υ�

, κατά µήκος της

καµπύλης του σχήµατος

σε χρόνο ∆t=2 5 s.

Να υπολογίσετε τη µέση ταχύτητα

του κινητού.

3)Αν η κίνηση για ένα κινητό

από το Α στο Β κατά µήκος της

καµπύλης, γίνεται σε χρόνο

∆t=0,1s, να υπολογιστεί η µέση

ταχύτητα του κινητού.

Χ

1υ�

3 Α r∆�

Β

1r�

2r�

2υ�

10 20 30 Ψ


Φυσικός 233

α) 1υ�

2υ�

β) 1υ�

2υ�

γ) 1υ

� 2υ

�

δ) 1υ

� 2υ

�

φ υ�

υ�

1υ�

2υ�

υ�

υ�

4)Να σχεδιάσετε το διάνυσµα της µεταβολής της ταχύτητας ∆υ�

, στις

παρακάτω περιπτώσεις:

5)Αν το µέτρο της ταχύτητας στην

καµπυλόγραµµη κίνηση του σχήµατος

είναι σταθερό και η γωνία φ=600, να

υπολογίσετε τη µεταβολή της

ταχύτητας ∆υ.

6)Ένα αυτοκίνητο παίρνει τη

στροφή του σχήµατος, σε χρόνο ∆t=3s.

Αν υ1=40Κm/h και υ2=30Κm/h, να

υπολογίσετε τη µέση επιτάχυνση, του

αυτοκινήτου.

7)Για την καµπυλόγραµµη κίνηση του

σχήµατος, να υπολογιστεί η µεταβολή της

ταχύτητας ∆υ�και η µέση διανυσµατική

επιτάχυνση, αν το µέτρο της ταχύτητας

είναι σταθερό υ=10m/s και η κίνηση

γίνεται σε χρόνο ∆t=4s.


Φυσικός 234

y(m)

A

x(m)

y(m)

A

Γ

Β

x(m)

8)Να σχεδιάσετε το διάνυσµα της

στιγµιαίας επιτάχυνσης α, στα σηµεία Α,

Β και Γ της καµπύλης του σχήµατος.

9)Αν το κινητό µας κάποια χρονική

στιγµή βρίσκεται στη θέση Α,

να σχεδιαστούν:

1.Η στιγµιαία ταχύτητα στιγµυ�

2.Η στιγµιαία επιτάχυνση α�

3.H επιτρόχιος και η κεντροµόλος

επιτάχυνση

4.Αν αε=6m/s2 και ακ=8m/s

2, τότε να

υπολογιστεί και το µέτρο της στιγµιαίας

επιτάχυνσης α.


Φυσικός 235

Α)Ερωτήσεις σωστού – λάθους µε αιτιολόγηση

1)Η εξισώσεις κίνησης στην οριζόντια βολή στο

κενό είναι x=υ0t και y=1/2gt2, ενώ η εξίσωση

της τροχιάς είναι y=2

0

2

2υgx

.

2)Σε µια καµπυλόγραµµη κίνηση το διάνυσµα της

ταχύτητας είναι εφαπτόµενο στην τροχιά, ενώ το

διάνυσµα της επιτάχυνσης κατευθύνεται πάντοτε προς το κοίλο µέρος της

τροχιάς.

3)Ο αποκλειστικός ρόλος της επιτρόχιας

επιτάχυνσης είναι να µεταβάλλει το µέτρο της

ταχύτητας ενώ της κεντροµόλου επιτάχυνσης είναι να µεταβάλλει µόνο την

κατεύθυνση της ταχύτητας

4)Ένα αεροπλάνο κινείται οριζόντια σε ύψος h µε

σταθερή ταχύτητα υ0. Κάποια στιγµή αφήνεται

από το αεροπλάνο ένα σώµα. Τότε κάθε στιγµή

για την ταχύτητα του σώµατος ισχύει υ�

=υ�

x+υ�

y

5) Κάθε οριζόντια βολή θεωρείται ως σύνθεση

δυο επιµέρους κινήσεων. Μιας οριζόντιας µε

µεταβλητή ταχύτητα και µιας κατακόρυφης που

χαρακτηρίζεται ως ελεύθερη πτώση.

6)Από ένα σηµείο εκτοξεύεται οριζόντια µια σφαίρα µάζας 5m,την ίδια

στιγµή που µια δεύτερη σφαίρα, µάζας m αφήνεται

ελεύθερη από το ίδιο σηµείο. Το σώµα m φτάνει

πρώτο στο έδαφος.

Β) Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Βάλτε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. 1)Σε µια καµπυλόγραµµη κίνηση ισχύει

α)α2=α

2κ+α

2ε

β)α=ακ+αε

γ)α=υt

δ)όλα τα παραπάνω

2)Σώµα που ρίχνεται οριζόντια από κάποιο ύψος h από την επιφάνεια της

γης και σε µικρό ύψος έχει

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ


Φυσικός 236

α)α=g=σταθ=10m/s2

β)επιτάχυνση που συνεχώς αυξάνει

γ)επιτάχυνση στον οριζόντιο άξονα των x που συνεχώς αυξάνει

δ)σταθερή επιτάχυνση στον άξονα των x

3)Ένα σώµα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από κάποιο ύψος h ενώ

ταυτόχρονα ρίχνεται από το ίδιο ύψος οριζόντια ένα δεύτερο σώµα

α)το πρώτο σώµα φτάνει γρηγορότερα στη γη

β) το δεύτερο σώµα φτάνει γρηγορότερα στη γη

γ)Τα δυο σώµατα φτάνουν ταυτόχρονα στη γη

δ)τα στοιχεία είναι ελλιπή για να απαντήσουµε

Γ) Ερωτήσεις συµπλήρωσης κενού

1)Στην καµπυλόγραµµη κίνηση όταν ∆t→0 το διάνυσµα της µετατόπισης

τείνει να γίνει ……………………..της τροχιάς.

2)Στιγµιαία επιτάχυνση στην καµπυλόγραµµη κίνηση όπως και στην

ευθύγραµµη κίνηης ονοµάζεται το …………… προς το οποίο τείνει η

…………επιτάχυνση όταν το ∆t τείνει στο …………….

∆ηλαδή a�στιγµ=……………………

3)Σε αντίθεση µε το διάνυσµα της ταχύτητας το διάνυσµα της επιτάχυνσης

σε µια καµπυλόγραµµη κίνηση κατευθύνεται πάντα προς το

………………………..της τροχιάς.

4)Ο αποκλειστικός ρόλος της επιτρόχιας επιτάχυνσης είναι να µεταβάλλει

το ……………………………….. ενώ η κεντροµόλος επιτάχυνση ευθύνεται

για τη ………………………………………………….

5)Στις ευθύγραµµες κινήσεις η κεντροµόλος επιτάχυνση είναι ……………..

6)Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα πολλές κινήσεις κάθε µια από αυτές

εξελίσσεται ………………….από τις άλλες.

7)Οι εξισώσεις που µας δίνουν τη θέση ενός αντικειµένου που κάνει

οριζόντια βολή στο κενό είναι ………………..και ………………….ενώ η

εξίσωση της τροχιάς δίνεται από την εξίσωση …………………….

8)Ένα σώµα κάνει οριζόντια βολή όταν………………………….Ένα σώµα

που κάνει οριζόντια βολή µετέχει στις εξής δυο κινήσεις:

α)…………………………….και β)…………………………………


Φυσικός 237

9.Πετάµε µια µπάλα οριζόντια από ύψος 2m.

α. O χρόνος που χρειάζεται η µπάλα για να φτάσει στο έδαφος εξαρτάται

από .............................

β. H κίνηση της µπάλας µπορεί να αναλυθεί σε δύο κινήσεις. Tο είδος

της οριζόντιας κίνησης είναι ........................................ και το είδος

της κατακόρυφης είναι ..........................

γ. H ταχύτητα στην οριζόντια κίνηση είναι ........................ και η αρχική

ταχύτητα στην κατακόρυφη κίνηση είναι .......................

10.Είσαστε µέσα σε κάποιο λεωφορείο που κινείται ευθύγραµµα και οµαλά

µε ταχύτητα 20m/s. Σε κάποια χρονική στιγµή αφήνετε να πέσει ένα

νόµισµα από ύψος 1,5m από το δάπεδο του λεωφορείου.

(α) Ποια θα είναι η τροχιά του κέρµατος σε σχέση µε το λεωφορείο;

(β) Ποια η τροχιά του κέρµατος σε σχέση µε τη Γη;

(γ) H κίνηση του κέρµατος είναι απλή ή σύνθετη, ανάλογα µε το

σύστηµα που επιλέγουµε για να µελετήσουµε την κίνησή του;

(δ) O χρόνος πτώσης του κέρµατος είναι:

(Bάλτε σε κύκλο τη σωστή απάντηση).

α. µεγαλύτερος, όταν σύστηµα αναφοράς είναι η Γη.

β. µεγαλύτερος, όταν σύστηµα αναφοράς είναι το λεωφορείο.

γ. ίδιος και στα δύο συστήµατα αναφοράς.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή

σας..........................................................

(ε) Yπολογίστε το βεληνεκές του κέρµατος, όταν το σύστηµα αναφοράς

είναι η Γη (g = 10 m/s2).

11. Mία µπάλα εκτοξεύεται από την ταράτσα ενός κτιρίου µε οριζόντια

ταχύτητα 10m/s µε κατεύθυνση κάποιο άλλο κτίριο που απέχει 25m. Nα

απαντηθούν οι παρακάτω ερωτήσεις:

(α) Mπορεί η κίνηση της µπάλας να αναλυθεί σε επιµέρους κινήσεις;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή

σας..........................................................

(β) Πόσο χρόνο θα χρειαστεί η µπάλα να χτυπήσει το κτίριο;


Φυσικός 238

(γ) Aν η ταράτσα έχει ύψος 20m, ποια η ελάχιστη ταχύτητα, µε την

οποία πρέπει να βληθεί η µπάλα για να χτυπήσει το κτίριο; (g = 10

m/s2).

12. Στην κορυφή του πύργου του Άιφελ υπάρχει ένα όπλο το οποίο

πυροβολεί οριζόντια. Kατά τη χρονική στιγµή που το βλήµα φεύγει από

το όπλο, ένα ίδιο βλήµα αφήνεται ελεύθερο να πέσει κατακόρυφα προς

τη Γη, χωρίς αρχική ταχύτητα. Nα απαντηθούν οι παρακάτω ερωτήσεις:

(α) Oι κινήσεις και των δύο βληµάτων µπορούν να αναλυθούν σε

απλούστερες; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.

(β) Ποιο βλήµα θα φθάσει πρώτο στη γη; ∆ικαιολογήστε την απάντησή

σας.

(γ) Ποιο από τα δύο βλήµατα έχει µεγαλύτερη επιτάχυνση;

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.


Φυσικός 239

x

y

Μ

φ ο

R

x

+

1.2 Οµαλή κυκλική κίνηση

1.Ποια κίνηση ονοµάζεται Ο.Κ.Κ; Πως προσδιορίζεται η θέση ενός

κινητού που εκτελεί κυκλική κίνηση; Πόσες συντεταγµένες

χρειάζονται; Ποιες είναι;

Η κίνηση που κάνει ένα κινητό όταν κινείται

στην περιφέρεια κύκλου και σε ίσους χρόνους

διαγράφει τόξα ίσου µήκους, ονοµάζεται οµαλή

κυκλική κίνηση.

Η θέση του κινητού που εκτελεί οµαλή κυκλική

κίνηση µπορεί να καθοριστεί α) Από ένα καρτεσιανό σύστηµα

συντεταγµένων

β)Επειδή το υλικό σηµείο που εκτελεί Κ.Κ βρίσκεται

συνεχώς πάνω στην περιφέρεια (O,R), η θέση του

µπορεί να προσδιοριστεί µόνο από τη γωνία φ, που

σχηµατίζει το διάνυσµα θέσης OM →

(επιβατική ακτίνα)

µε κάποιο σταθερό ηµιάξονα Οx. Για να γίνει όµως

αυτό θα πρέπει να προσανατολίσουµε την περιφέρεια

ορίζοντας τη µια από τις δυο φορές διαγραφής ως

θετική. Οι συντεταγµένες λοιπόν που χρειάζονται είναι πάλι δυο η R και η

φ, µόνο που η R είναι πάντα σταθερή.

2.Τι ονοµάζεται περίοδος Τ και τι συχνότητα f στην Ο.Κ.Κ;

Περίοδος (T) ονοµάζεται ο χρόνος που απαιτείται για να διαγραφεί µια

περιφέρεια ενώ συχνότητα (f) ονοµάζεται το πηλίκο του αριθµού των

περιστροφών που διαγράφονται σε χρόνο t προς το χρόνο t.

Επειδή f=t

N τότε για t=T είναι Ν=1 άρα η σχέση γίνεται f=

T1

Μονάδα µέτρησης της περιόδου T είναι το 1sec και της συχνότητας f

είναι το 1Hz.


Φυσικός 240

ω�

∆φ

3. Αποδείξτε τον τύπο που δίνει τη γραµµκή ταχύτητα στην οµαλή

κυκλική κίνηση.

Για την γραµµική ταχύτητα υ στην Ο.Κ.Κ ισχύει υ=∆t

∆Sσε χρόνο όµως µιας

περιόδου t=T, το κινητό διαγράφει µήκος τόξου ∆S=2πR (περιφέρεια του

κύκλου) . Έτσι η παραπάνω σχέση γίνεται υ=T

2πR και επειδή f=

T1

έχουµε και υ=2πRf

4.Τι ονοµάζεται γωνιακή ταχύτητα στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση;

Πως ορίζεται η γωνιακή ταχύτητα ω και ποιες είναι οι µονάδες

µέτρησής της;

Γωνιακή ταχύτητα ω�

, ενός κινητού που

εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, ονοµάζεται το

φυσικό διανυσµατικό µέγεθος που έχει:

• σηµείο εφαρµογής το κέντρο της κυκλικής

τροχιάς

• διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο της τροχιάς

• φορά που προσδιορίζεται µε τον κανόνα

του δεξιού χεριού. Αν τα τέσσερα δάχτυλα

του δεξιού χεριού δείχνουν τη φορά της

κίνησης του κινητού τότε ο αντίχειρας µας

δείχνει τη φορά της γωνιακής ταχύτητας ω�

.

• τιµή που καθορίζεται από το σταθερό πηλίκο της επίκεντρης γωνίας ∆φ,

που διαγράφει η επιβατική ακτίνα σε χρονικό διάστηµα ∆t προς το

χρονικό αυτό διάστηµα, δηλαδή:

ω=∆φ

∆t

και η µονάδα µέτρησής της είναι το 1rad/sec

• Στην οµαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα ω�

, του κινητού

διατηρείται διανυσµατικά σταθερή, ενώ η γραµµική του ταχύτητα υ�

,

µεταβάλλεται διατηρώντας σταθερό µόνο το µέτρο της.

5.Να αποδείξετε ότι ω=2π

Τ=2πf


Φυσικός 241

Αν στη σχέση ω=φ

t βάλουµε φ=2π και t=T τότε θα έχουµε ω=

2π

Τ και

επειδή f=1

T έχουµε και ω=2πf. Επειδή όµως ακόµη είναι υ=

2πR

Τ και

υ=2πRf θα έχουµε και υ=ω.R

6.Αποδείξτε τον τύπο φ=S

R

Όταν το κινητό διαγράφει έναν κύκλο δηλαδή γωνία 2π rad τότε το

διάστηµα που έχει διανύσει είναι 2πR m, όπου R είναι η ακτίνα της

κυκλικής τροχιάς.

∆ηλαδή είναι:

2π rad 2πR m

φ; s

φ=2π2πR

s⇒ φ=

S

R

7.Ποια είναι η εξίσωση για τη γωνιακή θέση στην Ο.Κ.Κ;

ω=∆φ

∆t⇒⇒⇒⇒∆φ=ω∆t⇒⇒⇒⇒φ-φ0=ω(t-t0)⇒⇒⇒⇒ φ = φ0+ω(t-t0). Αν συµβαίνει φ0=0

και t0=0 τότε η φ παριστάνει τόσο τη γωνιακή θέση όσο και τη γωνιακή

µετατόπιση.

8.Πως αποδεικνύεται η σχέση που συνδέει τη γραµµική και τη

γωνιακή ταχύτητα;

ω=∆φ

∆t όµως ∆φ=

∆S

Rάρα ω=

∆S

∆t.R⇒⇒⇒⇒ω=

υ

R⇒⇒⇒⇒υ=ω.R

9.Γιατί όλα τα σηµεία ενός περιστρεφόµενου δίσκου δεν έχουν την ίδια

γραµµική ταχύτητα;

Η γραµµική ταχύτητα στην οµαλή κυκλική κίνηση δίνεται από τη σχέση

υ=2πRf. Άρα όσο µεγαλύτερη είναι η απόσταση R από τον άξονα

περιστροφής τόσο µεγαλύτερη θα είναι και η ταχύτητα υ αφού η συχνότητα

περιστροφής f είναι ίδια για όλα τα σηµεία.


Φυσικός 242

1υ�∆�

R

�′R

�R 2υ

�

Ρ Ρ΄

2υ�

Β

Α ∆υ�

1υ�

Γ

10.Γιατί η Ο.Κ.Κ είναι επιταχυνόµενη κίνηση; Πόση είναι η αε στην

Ο.Κ.Κ;

Η οµαλή κυκλική κίνηση είναι επιταχυνόµενη κίνηση γιατί η διεύθυνση και

η φορά της ταχύτητας συνεχώς µεταβάλλονται. Το µέτρο όµως της

ταχύτητας είναι σταθερό άρα η επιτρόχιος επιτάχυνση είναι 0 δηλαδή:

αε=0

11.Πόση είναι η ακ στην Ο.Κ.Κ και πως αποδεικνύεται;

Έστω ότι ένα σώµα µπορεί να κινείται στην περιφέρεια ενός κύκλου

ακτίνας R και έστω ότι τη χρονική στιγµή t βρίσκεται στη θέση Ρ ενώ τη

χρονική στιγµή t+∆ t στη θέση

Ρ΄. Τα διανύσµατα �

R και �′R που ορίζουν τη θέση του

κινητού ονοµάζονται

διανύσµατα θέσεως. Τότε το

διάνυσµα της µετατόπισης του

κινητού είναι το

∆�S=∆

�R =

�′R -�

R άρα

µπορούµε να ορίσουµε τη µέση

ταχύτητα ∆t

R∆µυ

��

= . Αν όµως

το ∆t→0 τότε παίρνουµε όπως έχουµε πει τη στιγµιαία ταχύτητα

∆t

R∆imυ

0t∆

�

��

→

= (1). Ακόµη η στιγµιαία ταχύτητα τη χρονική στιγµή t είναι

εφαπτόµενη στη τροχιά κάθετη δηλαδή στο διάνυσµα θέσεως άρα και στην

ακτίνα του κύκλου.

Αν η υ είναι σταθερή κατά µέτρο (οµαλή κυκλική

κίνηση), τότε η στιγµιαία ταχύτητα είναι ίση µε τη

µέση

Από την οµοιότητα των τριγώνων ΟΡΡ΄ και ΑΒΓ

και επειδή υ1=υ2=υ έχουµε ∆υ

υ=∆S

R⇒⇒⇒⇒∆υ=

υ

R∆S⇒

∆υ

∆t=υ

R

∆S

∆t⇒⇒⇒⇒ �im

∆t 0→

∆υ

∆t=

υ

R�im∆t 0→

∆S

∆t⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒α=υ

Rυ⇒ ακ=

υ

R

2


Φυσικός 243

12.Να αποδείξετε ότι στην Ο.Κ.Κ ισχύει α=ω2R

α=υ

R

2

⇒⇒⇒⇒α=(ω.R)

R

2

⇒⇒⇒⇒α= ω2R

1.3 Κεντροµόλος ∆ύναµη

13.Ισχύει ο νόµος του Νεύτωνα � �F m.a= και για σώµατα που δεν

κινούνται σε ευθεία γραµµή αλλά σε καµπύλη π.χ κυκλική κίνηση;

Ο νόµος του Νεύτωνα πράγµατι ισχύει σε όλα τα είδη των κινήσεων είτε τα

σώµατα κινούνται σε ευθεία γραµµή είτε σε καµπύλη τροχιά.

14.Ποιο γεγονός µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι ο νόµος του Νεύτωνα

είναι διανυσµατικός;

Ότι στην κυκλική κίνηση το µέτρο της υ παραµένει σταθερό παρ’ όλα αυτά

όµως ισχύει ο νόµος του Νεύτωνα � �F m.a= γιατί µεταβάλλεται η διεύθυνση

και η φορά της υ�

.

15)Ποια είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για να εκτελεί ένα σώµα

οµαλή κυκλική κίνηση;

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα κινητό οµαλή κυκλική

κίνηση είναι η συνισταµένη των δυνάµεων να είναι κάθε χρονική στιγµή

• Κάθετη στην ταχύτητα µε φορά προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς

• Με µέτρο που δίνεται από τη σχέση

FK =mυ

R

2

Επειδή υ=T

2πR και υ=2πRf τότε έχουµε FK =4π2

2T

mR

και FK =4π2m Rf 2 ή FK =mω2R αφού υ=ω.R

Η συνισταµένη αυτή ονοµάζεται κεντροµόλος δύναµη.


Φυσικός 244

φ

Β

ΒΧ

Βy

T

Τ

Β

FK

R

Β

F

Fx= FK

Fy

φ

1.4 Μερικές περιπτώσεις κεντροµόλου

∆ύναµης

Η κεντροµόλος δύναµη είναι µια υποθετική δύναµη και όχι µια καινούργια

δύναµη. Έτσι γνωστές δυνάµεις που τυχαίνει να είναι κάθετες στην

ταχύτητα του σώµατος παίζουν το ρόλο της κεντροµόλου δυνάµεως.

Τέτοιες δυνάµεις είναι:

• Η τάση του νήµατος

• Η τριβή για ένα αυτοκίνητο που

κινείται σε κυκλική τροχιά

• Η κλίση του δρόµου, δηµιουργεί

συνιστώσα του βάρους κάθετη στην ταχύτητα προς το κέντρο της

κυκλικής τροχιάς που µπορεί να παίξει το ρόλο της κεντροµόλου

δύναµης

• Όµοια η κλίση του αεροπλάνου

• Το βάρος της γης σε ένα δορυφόρο της.

h

Β

Β

FKy FK

FKx

R

φ


Φυσικός 245

Αν σε ένα σώµα πάψει να εξασκείται η κεντροµόλος δύναµη τότε αυτό

θα κινηθεί κατά µήκος της εφαπτοµένης της κυκλικής τροχιάς

16.Ποιες µορφές παίρνει ο τύπος της επιτάχυνσης στην οµαλή κυκλική

κίνηση;

Η κεντροµόλος επιτάχυνση κa�έχει κάθε χρονική στιγµή τη διεύθυνση και

τη φορά της κεντροµόλου δύναµης και µέτρο που δίνεται από τη σχέση

α=m

FΚ . Η εξίσωση µε βάση τις παραπάνω σχέσεις που δίνουν την

κεντροµόλο δύναµη γίνεται αK = R

υ2

αK =4π22

T

R

και αK =4π2 Rf

2

ή αK =ω2R


Φυσικός 246

Προβλήµατα Οµαλή κυκλική κίνηση

1)Σε µια οµαλή κυκλική κίνηση, να σχεδιάσετε τα διανύσµατα υ�

, κα�

ω�για

µια τυχαία θέση του κινητού.

2)Ποια είναι η σχέση που συνδέει τη γραµµική και τη γωνιακή ταχύτητα σε

µια οµαλή κυκλική κίνηση;

3)Είναι η κυκλική κίνηση οµαλή ή µεταβαλλόµενη; Εξηγήστε.

4)Η ακτίνα της γης είναι R=6400Kma)Να υπολογιστεί η ταχύτητα

περιστροφής και η ακ για ένα κάτοικο στο ισηµερινό. β)Ποια είναι η

γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης;

5)Αν υποθέσουµε ότι η σελήνη εκτελεί µια περιφορά γύρω από τη γη κάθε

28 ηµέρες και ότι η µέση απόσταση της από τη γη είναι είναι R=38.107m

να υπολογίσετε 1.την γραµµική ταχύτητα της σελήνης 2.Την κεντροµόλο

επιτάχυνσή της 3.Την γωνιακή ταχύτητα ω.

6)Αν υποτεθεί ότι η µέση απόσταση της γης από τονν Ήλιο είναι

r=1,49.108Km και ότι η τροχιά της γης γύρω από τον Ήλιο είναι κυκλική,

να υπολογίσετε την γραµµική ταχύτητα του διαστηµόπλοιου γη, γύρω από

τον Ήλιο.

7)Αν θεωρήσουµε ότι η κίνηση του Ήλιου στον γαλαξία µας είναι κυκλική

ακτίνας r=2,4.10 20

m και η περίοδός του είναι 6.10 15

s ποια είναι η

γραµµική του ταχύτητα;

8)∆ορυφόρος της γης κινείται σε κυκλική τροχιά, σε ύψος h=640Km, από

την επιφάνεια της γης, µε την επίδραση του βάρους του. Ο χρόνος για µια

περιστροφή είναι Τ=30min. 1.Ποια είναι η γραµµική του ταχύτητα;

2.Υπολογίστε την κεντροµόλο επιτάχυνσή του 3. Υπολογίστε την γωνιακή

ταχύτητα ω.

9)Για την κίνηση του ηλεκτρονίου στο άτοµο του Η, γύρω από τον πυρήνα

του, θεωρούµε ότι η κίνηση είναι κυκλική, ακτίνας r=48.10-12

m. Αν η

ταχύτητα περιστροφής του e-, είναι υ=2,4.10

6m/s, ποια είναι η περίοδος

περιστροφής του, γύρω από τον πυρήνα του ατόµου;

10)Na υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα ενός δίσκου που περιστρέφεται

οµαλά, διαγράφοντας γωνία 25rad, κάθε 5s.

Ποια είναι η περίοδος Τ και η συχνότητα f περιστροφής του;


Φυσικός 247

y(m)

A x(m)

11)Ένας δίσκος περιστρέφεται κάνοντας οµαλή κυκλική κίνηση µε Τ=2s

1.Πόσος χρόνος απαιτείται για να περιστραφεί κατά 5400;

2.Πόσος χρόνος απαιτείται για να εκτελέσει 20 περιστροφές;

12)Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα των τριων δεικτών του ρολογιού;

13)∆ιαλέγοντας σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων της προτίµησής σας,

να προσδιορίσετε τις θέσεις των δεικτών του ρολογιού, όταν η ώρα είναι

4:00 ακριβώς.

14)Το σώµα του σχήµατος περιστρέφεται

στον κύκλο ακτίνας R=3m, µε σταθερή

περίοδο T=24s ξεκινώντας από το σηµείο Α.

1.Ποιες είναι οι συντεταγµένες του τη χρονική

στιγµή t=4s;

2.Να υπολογιστεί η µέση επιτάχυνση του

σώµατος αµ,

3.Ποια είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση ακ;

15)Για ένα σώµα που κινείται σε κυκλική τροχιά µε σταθερή κατά µέτρο

ταχύτητα υ=10m/s, πόση είναι η αµ για 1.t=T 2.t=T/2 3.t=T/6;

16)Σε ηλεκτρόνιο που κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=2.105 m/s επιδρά

µαγνητικό πεδίο που το αναγκάζει, να διαγράψει κυκλική τροχιά µε R=1m.

a)Ποια είναι η συχνότητα και η περίοδος περιστροφής του;

β)Να υπολογιστεί η κεντροµόλος επιτάχυνσή του. Ποια είναι η επιτρόχιος

επιτάχυνση του ηλεκτρονίου;

17)Σε κατακόρυφο τροχό Λούνα-Πάρκ ακτίνας R=12m, οι αναβάτες

κάνουν ένα πλήρη κύκλο σε χρόνο T=10s.Ποια είναι η γραµµική τους

ταχύτητα υ και ποια η κεντροµόλος επιτάχυνσης ακ;

18)Η έλικα ενός ελικοπτέρου έχει µήκος �=3,2m και το άκρο της έχει

γραµµική ταχύτητα µέτρου υ=128π m/s. Πόσες στροφές το λεπτό κάνει η

έλικα;

19)Πόση είναι η επιτάχυνση σωµατιδίου που βρίσκεται στην άκρη φτερού

ανεµιστήρα ακτίνας r=20cm αν περιστρέφεται µε σταθερό ρυθµό 600

στροφές το λεπτό;


Φυσικός 248

Α

Β

R2 R1

R2

Β

R1

R2

20)Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=20m/s. Αν η ακτίνα

του τροχού είναι R=18cm, να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα

περιστροφής ω και η περίοδος περιστροφής.

21)Ένα ποδήλατο έχει ένα µικρό τροχό R1=20cm και ένα µεγάλο

R2=25cm. Αν το ποδήλατο κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ=10m/s, να

υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα και η συχνότητα περιστροφής για κάθε

τροχό.

22)Οι δυο τροχοί του σχήµατος έχουν

ακτίνες R1=5cm και R2=15cm.

1.Αν η ω1=300rad/s να υπολογιστεί

η ω2.

2.Να υπολογιστεί η γραµµική ταχύτητα

περιστροφής, του κάθε τροχού.

3.Να υπολογιστεί η επιτάχυνση των

σηµείών Α και Β.

23) Στο σύστηµα των οδοντωτών τροχών

του σχήµατος είναι

R1=1,5R2. Ποια σχέση συνδέει τα ω1 και ω2;

24)Στον Κυκλικό δίσκο του σχήµατος

ακτίνας R=π

60cm το σηµείο Β

βρίσκεται στην περιφέρεια του δίσκου

ενώ ένα δεύτερο σηµείο Α βρίσκεται σε

απόσταση RA=π

15cm από το κέντρο

του δίσκου. Αν η συχνότητα περιστροφής του δίσκου είναι f=50Hz,να

βρείτε:

1.Τα υΑ και υΒ

2.Τις επιταχύνσεις των σηµείων Α και Β.


Φυσικός 249

R

R

�

25)Σε δίσκο CD 3000 στοφών το min ακτίνας

R=6cm, να υπολογιστούν:

Α)Η συχνότητα περιστροφής

Β)Η γραµµική ταχύτητα περιστροφής, για ένα

σηµείο της περιφέρειας του δίσκου.

26)Η ρόδα ενός ποδηλάτου ακτίνας R=π

60cm,

κάνει σε 6sec 60 περιστροφές. Ποια είναι η ταχύτητα

του ποδηλάτου και σε πόσο χρόνο θα διανύσει 240m;

27)Ένα ποδήλατο κινείται µε σταθερή ταχύτητα και σε χρόνο t=2min,

διανύει 1200m. Αν στον παραπάνω χρόνο η ρόδα του κάνει 960

περιστροφές, ποια είναι η ακτίνα της ρόδας του ποδηλάτου;

28)Μια ράβδος µήκους �=1m, µπορεί

να περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή

ταχύτητα, ω=40rad/s γύρω από ένα

σηµείο της που χωρίζει τη ράβδο σε δυο κοµµάτια

�1=3�2. Ποιες είναι οι γραµµικές ταχύτητες

για τις δυο άκρες της ράβδου;

29)Σ' ένα στάδιο

400m, δύο

αθλητές ξεκινούν

ταυτόχρονα και

εκτελούν κυκλική τροχιά, µε την ίδια φορά. Αν ο πιο γρήγορος αθλητής έχει

περίοδο ΤΑ=50s και συναντά τον δεύτερο, για πρώτη φορά µετά από 80sec,

από τη στιγµή που ξεκίνησαν, να υπολογιστεί η περίοδος ΤΒ και του

δεύτερου αθλητή. Πόσο διάστηµα θα έχει διανύσει κάθε αθλητής τη στιγµή

της συνάντησης;

30)Σε ένα κυκλικό στάδιο ξεκινούν ταυτόχρονα δυο αθλητές µε την ίδια

φορά και µε TA=50s και TB=60sec. Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγµή

της εκκίνησης ο γρήγορος αθλητής θα προσπεράσει τον αργό για δεύτερη

φορά;


Φυσικός 250

R1

R2

Α

R2 R1

31)∆ύο αθλητές ξεκινούν να κινούνται σε κυκλικό στάδιο ακτίνας R µε

αντίθετες φορές και µε περιόδους κίνησης ΤΑ=40s και TB=60s, αντίστοιχα

µετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν οι δύο αθλητές για τρίτη φορά;

32)Σε στάδιο 400m δυο αθλητές ξεκινούν ταυτόχρονα να κινούνται µε την

ίδια φορά και µε ταχύτητες υΑ=5m/s και υΒ=3m/s σε κυκλική τροχιά.

Μετά από πόσο χρόνο θα συναντηθούν για 2η φορά και πόσους κύκλους θα

έχει κάνει ο καθένας;

33)Σε ένα κυκλικό στάδιο

η εσωτερική του ακτίνα,

είναι R1=62m και η

εξωτερική του είναι

R2=65m.

∆υο αθλητές

ξεκινούν

ταυτόχρονα, µε την

ίδια φορά, να τρέχουν στο στάδιο, ο ένας από την εσωτερική και ο άλλος

από την εξωτερική του πλευρά.

Πόση πρέπει να είναι η διαφορά ∆υ στις ταχύτητες των δυο αθλητών, ώστε

ο ένας να βρίσκεται συνέχεια δίπλα στον άλλο, αν και οι δυο θέλουν να

κάνουν τον κύκλο του σταδίου σε χρόνο 60s;

34)∆υο κινητά κινούνται σε κυκλικό δρόµο µε την ίδια φορά και µε

περιόδους περιστροφής αντίστοιχα T1=20s και T2=30s. Να βρεθεί το

χρονικό διάστηµα µεταξύ 3 διαδοχικών συναντήσεων των δυο κινητών.

35)∆υο κυκλικές τροχιές µε

ακτίνες R1=2m και R2=6m,

εφάπτονται και ταυτόχρονα ξεκινούν

δυο σώµατα από το Α, να κινούνται

πάνω σε αυτές, µε ταχύτητες υ1=20m/s και

υ2=30m/s, αντίστοιχα. Μετά από πόσο χρόνο θα ξανασυναντηθούν τα δυο

σώµατα;

36)Ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός

ωρολογιού, δείχνουν κάποια στιγµή 12 ακριβώς.

Μετά από πόσο χρόνο θα σχηµατίζουν γωνία 600;

Τι ώρα θα δείχνει τότε το ρολόι;


Φυσικός 251

h

h

37) Ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης ενός

ωρολογιού, δείχνουν κάποια στιγµή 6:30 ακριβώς.

Μετά από πόσο χρόνο θα σχηµατίζουν γωνία π rad;



Μετά από πόσο χρόνο θα σχηµατίζουν γωνία 2

πrad;



Ποιες χρονικές στιγµές, θα έχουµε σύµπτωση των δυο δεικτών;

40)Από ύψος h=5cm αφήνουµε

να πέσει µια µικρή σφαίρα πάνω σε

δίσκο που αρχίζει τότε να περιστρέφεται

µε συχνότητα f=50Hz. Κατά ποια γωνία

θα έχει περιστραφεί ο δίσκος, µόλις η

σφαίρα χτυπήσει στο δίσκο;

41) Από ύψος h αφήνουµε

να πέσει µια µικρή σφαίρα πάνω σε

δίσκο που αρχίζει τότε να περιστρέφεται

µε συχνότητα T=5s. Αν το αποτύπωµα

της σφαίρας σχηµατίζει γωνία 900 σε

σχέση µε την αρχική θέση του δίσκου,

µε ποια ταχύτητα χτύπησε η σφαίρα

στο δίσκο;


Φυσικός 252

h

d

Α΄ Ο Α

Α΄

υ Α

42)O δίσκος του σχήµατος σε απόσταση d

από το κέντρο

του έχει µια µικρή οπή, από την οποία µπορεί

να περάσει µια σφαίρα. Αν τη στιγµή που

αρχίζει ο δίσκος να περιστρέφεται µε

f=1Hz, από ποιο ύψος h, στην ίδια

κατακόρυφο σφαίρας οπής πρέπει να

αφήσουµε τη σφαίρα, ώστε αυτή να

περάσει µέσα από την οπή

µόλις ο δίσκος κάνει µια πλήρη περιστροφή;

43)Μια σφαίρα ρίχνεται εναντίον των τριών

δίσκων του σχήµατος, που περιστρέφονται

µε σταθερή συχνότητα f=50Hz.

Τη στιγµή που η σφαίρα εξέρχεται από

την πρώτη οπή έχει σταθερή ταχύτητα

υ=1500m/s. Να βρείτε την ελάχιστη

απόσταση των δίσκων ανά δυο ώστε η σφαίρα να εξέλθει από το σύστηµα

περνώντας µέσα από τις οπές.

44)Τη στιγµή που το σώµα ξεκινάει

µε σταθερή ταχύτητα υ=5m/s για να

πάει από το Ο στο Α, ο δίσκος ακτίνας

R=1m αρχίζει, να περιστρέφεται µε

σταθερή συχνότητα ν. Έτσι το σώµα φτάνει στο Α΄, αντιδιαµετρικό του Α.

Να υπολογιστεί η συχνότητα f.

45)Σε πείραµα µέτρησης ταχύτητας

µορίων αερίου χρησιµοποιείται η

διάταξη του σχήµατος. Μόλις ένα

µόριο αερίου περάσει από την οπή

του κυλίνδρου, ακτίνας R=1m, για να

πάει στο Α αυτός αρχίζει και

περιστρέφεται, µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

ω=50rad/s.Το αποτύπωµα Α΄ του µορίου βρίσκεται σε απόσταση S=5cm,

από την αρχική θέση Α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα υ του µορίου του

αερίου.

d d


Φυσικός 253

Α

υ2 υ2

υ1

Α΄

r

φ R

Γ ∆

R R

Α Β

46)Από το σηµείο Α ξεκινούν ταυτόχρονα τρία σώµατα. Το πρώτο κινείται

κατά µήκος της (ΑΑ΄) µε σταθερή ταχύτητα

υ1=10m/s, ενώ τα άλλα δυο περιστρέφονται

στην κυκλική φορά µε αντίθετες φορές

και µε σταθερή κατά µέτρο γραµµική

ταχύτητα υ2. Αν η διάµετρος της

κυκλικής τροχιάς είναι 18m.Να

υπολογιστεί η υ2, ώστε τα τρία

σώµατα να συναντηθούν στο Α΄

αντιδιαµετρικό του Α.

47)Αν ένας κάτοικος στον ισηµερινό της γης

περιστρέφεται µε υ=460m/s, µαζί µε τη γη,

γύρω από τον άξονά της, µε ποια ταχύτητα

περιστρέφεται ένας κάτοικος σε γεωγραφικό

πλάτος φ=600 και µε ποια ένας κάτοικος

στο βόρειο πόλο;

48)Ένα αυτοκίνητο κινείται µε

ταχύτητα υ=20m/s στο δρόµο του

σχήµατος από την εσωτερική του

πλευρά. Αν τα τµήµατα ΑΒ και Γ∆

είναι ευθύγραµµα µε ΑΒ=Γ∆=500m

και τα Β∆ και ΑΓ είναι ηµικύκλια

ακτίναςR=50m

1.Πόση είναι η επιτάχυνση του κινητού στα διάφορα σηµεία της τροχιάς

2.Πόσο χρόνο χρείάζεται το κινητό για να διαγράψει µια φορά όλο το

δρόµο του σχήµατος;

49)Κυκλικός δίσκος ακτίνας R=0,5m περιστρέφεται

γύρω από οριζόντιο άξονα µε τη βοήθεια ενός

σχοινιού που είναι τυλιγµένο στην περιφέρειά του

και στην άκρη του είναι δεµένο ένα σώµα που το

αφήνουµε ελεύθερο να κινηθεί, κάνοντας ελεύθερη

πτώση. Να υπολογιστούν η κεντροµόλος

επιτάχυνση αΚ και η γραµµική ταχύτητα κάθε σηµείου στην περιφέρεια του

κυκλικού δίσκου κάθε χρονική στιγµή.


Φυσικός 254

φ

Β

ΒΧ

Βy

T

m

M

Κεντροµόλος ∆ύναµη

FK=mRυ2

1)Σώµα µάζας m=0,1Kgr είναι δεµένο σε νήµα µήκους R=1m και

πραγµατοποιεί 2 περιστροφές το sec.

1. Ποια είναι η FK που εξασκείται στο σώµα;

2. Είναι η FK, µια πραγµατική ή µια φανταστική δύναµη; Ποια γνωστή

σας δύναµη παίζει το ρόλο της FK σε αυτήν την περίπτωση;

3. Ποια θα είναι η ταχύτητα (µέτρο – διεύθυνση – φορά) του σώµατος αν

κοπεί το νήµα; (π2=10).

2)α)Ποιο πρέπει να είναι τουλάχιστον το όριο θραύσεως νήµατος για να

διατηρεί σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=0,2m σώµα µάζας m=3Kgr, αν

αυτό περιστρέφεται µε σταθερή περίοδο Τ=0,1π sec

β)Τι κίνηση θα κάνει το σώµα αν η ταχύτητά του γίνει υ=6m/s για το

παραπάνω όριο θραύσεως του νήµατος;

3)Σώµα µάζας m διαγράφει

κατακόρυφο κύκλο ακτίνας R

µε σταθερή γραµµική ταχύτητα υ.

Βρείτε πως µεταβάλλεται η

τάση του νήµατος σε συνάρτηση

α)µε τη γωνία φ που σχηµατίζει το

σώµα µε την κατακόρυφο και

β)µε τον χρόνο t.

4)Σώµα µάζας m µπορεί να

περιστρέφεται δεµένο σε

νήµα πάνω σε λείο τραπέζι.

Αν στην άλλη άκρη του νήµατος

υπάρχει µάζα M, βρείτε την

ταχύτητα µε την οποία πρέπει

να περιστρέφεται η µάζα m σε

κυκλική τροχιά ακτίνας r, ώστε η µάζα Μ να ισορροπεί. Εφαρµογή :

Μ=2Κgr, m=0,1 kgr, r=16 cm.


Φυσικός 255

h��

R m

T

θR

m

T2

T1

ω

5)Σώµα είναι δεµένο σε νήµα

µήκους �=0,5m που το άλλο

του άκρο είναι δεµένο στην

οροφή δωµατίου (εκκρεµές).

Αν το εκκρεµές περιστρέφεται

διαγράφοντας κωνική επιφάνεια να

βρείτε την περίοδο που χρειάζεται το

σώµα για µια πλήρη περιστροφή ακτίνας

R=0,3m (g=10m/s2).

6)Σώµα είναι δεµένο σε νήµα µήκους �=0,4m και διαγράφει κατακόρυφη

κυκλική τροχιά. Για ποια τιµή της ταχύτητας του σώµατος η τάση του

νήµατος στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς είναι µηδέν; Τι σηµαίνει T=0 για

το νήµα;

7)Πέτρα µάζας m=0,2Kgr είναι δεµένη στην άκργ σχοινιού µήκους

�=0,6m. Αν η σφαίρα πραγµατοποιεί 15 στροφές το sec, σε οριζόντιο

επίπεδο ποια είναι η δύναµη που ασκεί η πέτρα στο σχοινί;

Αν το σχοινί κόβεται (όριο θραύσης του νήµατος) όταν η τάση του είναι

T=300Ν, ποια είναι η µέγιστη ταχύτητα περιστροφής της πέτρας χωρίς να

κοπεί το σχοινί;

8)Σφαιρίδιο µάζας m

είναι δεµένο µε δυο νήµατα,

όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν το

σφαιρίδιο περιστρέφεται µε σταθερή

συχνότητα ν, έτσι ώστε και τα δυο

νήµατα να είναι τεντωµένα τότε

α)Να βρεθεί η τάση κάθε νήµατος.

∆ίνονται m=1Kgr, R= 3 m, θ=300,

f=1Hz, g=10m/s2, π

2=10

β)Για ποια τιµή της

συχνότητας περιστροφής το κάτω

νήµα χαλαρώνει;


Φυσικός 256

R

mg

T

FK

Β

FKy FK

FKx

R

φ

Τ

Β

FK

R

9)Αντικείµενο τοποθετείται σε απόσταση R=15cm από

το κέντρο περιστρεφόµενου δίσκου

όπως φαίνεται στο σχήµα. Αν ο

συντελεστής στατικής τριβής µσ,

µεταξύ αντικειµένου - δίσκου είναι

µσ=0,15 να υπολογιστεί η µέγιστη συχνότητα περιστροφής του δίσκου για

την οποία το σώµα παραµένει ακίνητο και δεν ολισθαίνει πάνω στο δίσκο.

10)Οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=1m περιστρέφεται µε σταθερή συχνότητα

f=0,5Ηz. Αν θέλουµε να τοποθετήσουµε πάνω σε αυτόν σώµα που

παρουσιάζει µε το δίσκο συντελεστή στατικής τριβής που παίρνει τιµές

0,2≤ µσ ≤ 0,5 σε ποιες αποστάσεις από το κέντρο του δίσκου µπορούµε να

τοποθετήσουµε το σώµα, ώστε αυτό να περιστρέφεται µαζί µε το δίσκο,

χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε αυτόν;

11)Ένα αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα υ=15m/s και θέλει να διαγράψει

µια οριζόντια στροφή ακτίνας R=150m

α)Ποια δύναµη θα παίξει το ρόλο

της απαραίτητης κεντροµόλου δύναµης

για να διαγράψει το αυτοκίνητο

µε ασφάλεια τη στροφή; Πόσο

είναι ο µσ µεταξύ αυτοκινήτου

ασφάλτου;

β)Κάποιος ισχυρίζεται πως

δίνοντας µια µικρή

κλίση στο δρόµο είναι δυνατό να καταφέρει το αυτοκίνητο να παίρνει τη

στροφή ακόµη και αν δεν υπάρχει τριβή µεταξύ αυτοκινήτου – ασφάλτου.

Συµφωνείτε; Ποια κλίση πρέπει να έχει ο δρόµος;

12)Αυτοκίνητο παίρνει οριζόντια στροφή ακτίνας

R=150m µε ταχύτητα υ. Αν ο

µέγιστος συντελεστής

στατικής τριβής µσ,

µεταξύ των τροχών του

αυτοκινήτου και της

ασφάλτου είναι µσ=0,15 να

υπολογίσετε για ποιες τιµές της υ το αυτοκίνητο «φεύγει» από τη στροφή.

13)Αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα υ=20m/s και θέλει να πάρει µια

κυκλική στροφή µε κλίση γωνίας φ, ακτίνας R=200m. Αν ο συντελεστής


Φυσικός 257

Β

FKxT

FKFKy

R

Β

F

Fx= FK

Fy

φ

στατικής τριβής µεταξύ ελαστικών ασφάλτου είναι µσ=21

1, να υπολογιστεί

η κλίση της στροφής.

14)α)Μοτοσικλετιστής θέλει να πάρει µια οριζόντια στροφή ακτίνας

R=32m. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής είναι µσ=0,2 ποια είναι η

µέγιστη επιτρεπόµενη ταχύτητα του µοτοσικλετιστή;

β)Αν ο µοτοσικλετιστής γείρει το

σώµα του µαζί µε τη µηχανή κατά

γωνία φ, ως προς την κατακόρυφο

µε εφφ=0,2 πόση επιπλέον ταχύτητα

µπορεί να αναπτύξει, ώστε να

διαγράψει τη στροφή µε

ασφάλεια;

15)Αυτοκίνητο κινείται µε ταχύτητα υ0=10m/s, όταν ο οδηγός πατάει

φρένο, οπότε και ακινητοποιείται αφού διανύσει διάστηµα ∆x=12,5m.

α)Να υπολογιστεί ο συντελεστής τριβής ολίσθησης

β)Αν το παραπάνω αυτοκίνητο συναντήσει οριζόντια στροφή στον ίδιο

δρόµο, πόση πρέπει να είναι η ακτίνα της στροφής για να τη διαγράψει µε

ασφάλεια και µε την ίδια ταχύτητα υ0; Θεωρείστε ότι ο συντελεστής

στατικής τριβής είναι ίσος µε τον συντελεστή τριβής ολίσθησης.

16)Ένα λεωφορείο παίρνει οριζόντια στροφή ακτίνας R=90m, µε ταχύτητα

υ=54Km/h ποια γωνία σχηµατίζουν τότε οι κρεµαστές χειρολαβές µε την

κατακόρυφο;

17)Αεροπλάνο διαγράφει οριζόντια

κυκλική τροχιά ακτίνας R=2,448 Km.

Αν τα φτερά του σχηµατίζουν µε

την κατακόρυφο

γωνία φ=600, να υπολογιστεί η ταχύτητά του.

∆ίνεται 3 =1,7


Φυσικός 258

��

Ty T

Tx

B

R

φ

18)H κούνια του σχήµατος αποτελείται από έναν κατακόρυφο άξονα, πάνω

στον οποίο έχουν

προσαρτηθεί οριζόντιοι

βραχίονες από τους

οποίους µέσω αλυσίδας

δένεται κάθισµα.

Αν το µήκος του

οριζόντιου βραχίονα

είναι �=2,25m και η

γωνία του σύρµατος µε

την κατακόρυφο είναι

φ=300 να βρεθεί η

περίοδος περιστροφής της κούνιας.

19)Ένας κουβάς µε νερό είναι δεµένος µε σχοινί µήκους �=0,9m και

εκτελεί κατακόρυφη κυκλική τροχιά. Πόση πρέπει να είναι η ελάχιστη

ταχύτητα του κουβά στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς, ώστε να µην χυθεί το

νερό που βρίσκεται µέσα σε αυτόν;

20)Σε κατακόρυφο τροχό Λούνα – Πάρκ ακτίνας R=12m οι αναβάτες

κάνουν έναν πλήρη κύκλο σε χρόνο Τ=24sec. Αν ένας αναβάτης έχει µάζα

m=90Kgr και έχει καθίσει πάνω σε ζυγαριά τι θα δείχνει αυτή αν αυτός

βρίσκεται

α)Στο ανώτερο σηµείο της τροχιάς και

β)Στο κατώτερο σηµείο της τροχιάς;

Θα µπορούσε η ζυγαριά να δείξει µηδέν σε κάποιο από τα δυο σηµεία;

Πότε θα συνέβαινε αυτό;

21)Ένας πιλότος αεροπλάνου µάζας m=70Kgr κάνει κατακόρυφο κύκλο

ακτίνας R=75m, µε ταχύτητα υ=270Km/h.

α)Πόση είναι η επιτάχυνσή του στο κατώτερο σηµείο της τροχιάς του;

β)Πόση είναι η δύναµη που ασκεί το κάθισµα στην πλάτη του;

22)Σε παιδική χαρά υπάρχει ένας περιστρεφόµενος δίσκος ακτίνας R=2m,

που περιστρέφεται µε σταθερή ταχύτητα κάνοντας 1στροφή κάθε 3 sec. Σε

ποια απόσταση από το κέντρο του δίσκου

α) Πρέπει να βρίσκεται ένα παιδάκι µάζας m=20Kgr έτσι ώστε να µπορεί

να στέκεται όρθιο χωρίς να πιάνεται από τις µεταλλικές µπάρες στήριξης

αν µσ=0,2 ;

β)Πόση δύναµη εξασκεί τότε η τριβή σε αυτό;


Φυσικός 259

hθ

mg

N

23)Στο εσωτερικό αντεστραµµένου

κώνου που περιστρέφεται γύρω από τον

κατακόρυφο άξονά του βρίσκεται

ακίνητο ένα σώµα µάζας m, το οποίο

περιστρέφεται µαζί µε τον κώνο.

Αν το σώµα απέχει από το έδαφος ύψος h

και η γωνόια που σχηµατίζουν τα τοιχώµατα

του κώνου µε τον άξονα περιστροφής είναι θ,

να δείξετε ότι η περίοδος περιστροφής του σώµατος

είναι Τ=2πg.h

εφθ.h.∆εχτείτε ότι δεν υπάρχει τριβή

µεταξύ σώµατος κώνου.

24)Στο γύρω του θανάτου για να µπορέσει ο µοτοσικλετιστής να κάνει το

πρόγραµµά του µε ασφάλεια, πρέπει να αναπτύξει µια ορισµένη ταχύτητα.

Αν η ακτίνα του γύρου του θανάτου είναι R=12m και ο συντελεστής τριβής

ολίσθησης τροχού µοτοσικλέτας και σανιδιού είναι µ=0,6, τότε να

υπολογιστούν:

1. Η ταχύτητα υ και

2. Η περίοδος περιστροφής του µοτοσικλετιστή.

25)Άνθρωπος µάζας m=80Kgrαιωρείται από την άκρη σχοινιού κούνιας

µήκους �=5m. Αν στο κατώτερο σηµείο της τροχιάς του η ταχύτητά του

είναι υ=5m/s ποια είναι τότε η τάση του σχοινιού;

26)Αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντιο δρόµο µε ταχύτητα υ0=20m/s, όταν ο

οδηγός βλέπει ξαφνικά µπροστά του ένα εµπόδιο. Αν ο συντελεστής τριβής

είναι µ=0,5

1. Πόσο διάστηµα θα χρειαστεί το αυτοκίνητο να διανύσει αν ο οδηγός

πατήσει φρένο;

2. Αν ο οδηγός αποφάσιζε να στρίψει διαγράφοντας κυκλική τροχιά πόση

θα ήταν η ακτίνα R της κυκλικής τροχιάς που θα διέγραφε µε την ίδια

ταχύτητα υ0;

3. Τι είναι τελικά προτιµότερο να κάνει ο οδηγός;

27)Ένας πιλότος µαχητικού αεροσκάφους κάνει µια σχεδόν κατακόρυφη

βουτιά και στη συνέχεια αρχίζει να στρίβει ανεβαίνοντας προς τα πάνω µε

ταχύτητα υ=1908Κm/h παίρνοντας στροφή ακτίνας R=2Km. Επειδή ο

πιλότος παθαίνει black out αν η επιτάχυνση είναι µεγαλύτερη από 11g

είναι η προηγούµενη µανούβρα ασφαλής;


Φυσικός 260

R

28)Ένα σώµα µάζας m=50Kgr κινείται σε οριζόντια κυκλική τροχιά

ακτίνας R=20m µε ταχύτητα υ=6m/s. Την ίδια στιγµή αρχίζει να

επιβραδύνεται µε επιβράδυνση µέτρου α=2,4m/s2. Ποια είναι η συνολική

δύναµη που δέχεται το σώµα;

29)Ένα ποδήλατο κινείται µε ταχύτητα υ=8m/s, σε οριζόντια στροφή. Αν ο

συντελεστής τριβής ανάµεσα στο δρόµο και τα λάστιχα είναι µ=0,4 ποια

είναι η πιο µικρή στροφή που µπορεί να κάνει το ποδήλατο µε ασφάλεια;

Ο κατάλληλος συντελεστής τριβής εδώ είναι συντελεστής στατικής τριβής ή

τριβής ολίσθησης;

30)Σώµα µάζας m=200gr είναι δεµένο σε σχοινί µήκους �=0,8m και

περιστρέφεται σε οριζόντια κυκλική τροχιά. Αν το όριο θραύσης του

νήµατος είναι Τθρ=100Ν ποια είναι

α)Η µέγιστη ταχύτητα περιστροφής για να µην κοπεί το νήµα;

β)Ποια είναι η µέγιστη συχνότητα περιστροφής;

31)To καροτσάκι του σχήµατος θέλει να διαγράψει κατακόρυφη κυκλική

τροχιά ακτίνας R=12,1m

Ποια πρέπει να είναι

η ταχύτητα του στο

ανώτερο σηµείο της

τροχιάς του ώστε ο

άνθρωπος να µην

πέσει αλλά να

διαγράψει τελικά την

κυκλική τροχιά;

Υπάρχει µόνο µια ταχύτητα για την οποία γίνεται αυτό;

32)Ποια έπρεπε να είναι η περίοδος περιστροφής της γης ώστε αυτή να

διαλύονταν, δηλαδή το βάρος να µην µπορούσε να διατηρήσει τη µάζα της

σε κυκλική τροχιά;

33)Σώµα µάζας m=80Kgr ζυγίζεται στον ισηµερινό. Ποια είναι η ένδειξη

της ζυγαριάς; Θεωρείστε ότι η γη περιστρέφεται µε περίοδο Τ=24h και ότι

η ακτίνα της είναι R=64.105m. (π

2=g). Αυτή φαινοµενική µεταβολή του

βάρους του σώµατος υπάρχει αν η µέτρηση γίνει στον Βόρειο Πόλο;

Εξηγείστε.


Φυσικός 261

R

Τ

R

Τ

R

34)Αυτοκίνητο µάζας m=1000Kgr συναντάει στον

δρόµο του ένα σχεδόν ηµισφαιρικό εµπόδιο,

ακτίνας

R=0,2m,

όπως φαίνεται

στο σχήµα. Αν το αυτοκίνητο

κινείται µε ταχύτητα υ=20m/s θα χάσει την επαφή του µε το δρόµο; Αν ναι

τότε τι τροχιά θα ακολουθήσει;

35)Ένα αεροπλάνο διαγράφει κατακόρυφη κυκλική τροχιά ακτίνας R µε

ταχύτητα υ. Για ποια τιµή της γωνίας µεταξύ της ακτίνας που ενώνει το

αεροπλάνο µε το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και της κατακόρυφης θα

επικρατούν στο αεροπλάνο συνθήκες έλλειψης βαρύτητας;

36)Ο οδηγός ενός αυτοκινήτου µάζας m=80Kgr Παίρνει µια οριζόντια

στροφή ακτίνας R=25m. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής ανάµεσα στον

οδηγό και το κάθισµά του είναι µσ=0,4 α)Ποια είναι η µέγιστη ταχύτητα µε

την οποία µπορεί ο οδηγός να πάρει τη στροφή χωρίς να τον πετάξει

στροφή στην πόρτα; β)Αν ο οδηγός πάρει την παραπάνω στροφή µε

υ=15m/s ποια επιπλέον δύναµη πρέπει να εξασκηθεί σ’ αυτόν για να

παραµείνει στη θέση του κάνοντας κυκλική τροχιά; Από πού εξασκείται η

επιπλέον δύναµη;

37)Σώµα µάζας m=4Kgr περιστρέφεται µε f=π

5Ηz σε οριζόντιο επίπεδο,

δεµένο µε σχοινί µέσω δυναµοµέτρου όπως φαίνεται στο σχήµα. Ποια

είναι η ένδειξη του δυναµοµέτρου αν η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς είναι

R=0,9m;

38)Μάζα m=0,2Kgr περιστρέφεται µε

περίοδο Τ=1s σε κατακόρυφη κυκλική

τροχιά, όπως φαίνεται στο σχήµα.

Αν το µήκος του νήµατος είναι

�=0,8m ποια είναι η µέγιστη και

ποια η ελάχιστη ένδειξη του

δυναµοµέτρου; (π2=10).


Φυσικός 262

R

R

39)O Σφαιροβόλος του σχήµατος

περιστρέφει τη σφαίρα µάζας

m=7Kgr µε συχνότητα f=1,5Ηz.

Αν η ακτίνα της οριζόντιας

κυκλικής τροχιάς που διαγράφει

η σφαίρα είναι R=1,8m πόση είναι

η δύναµη που ασκεί ο σφαιροβόλος σ’ αυτή;

Με ποια ταχύτητα θα φύγει αυτή από τα

χέρια του;

40)Ένας κυκλικός διαστηµικός

σταθµός εξωτερικής ακτίνας

R=90m τίθεται σε περιστροφική

κίνηση γύρω από άξονα κάθετο

στο επίπεδό του που διέρχεται

από το κέντρο του.

Το εξωτερικό περίβληµα του

σταθµού ενεργεί σα δάπεδο .

α)Ποια πρέπει να είναι η

γραµµική ταχύτητα κατά την

περιστροφή του σταθµού ώστε η

κεντροµόλος επιτάχυνση να είναι

ακ=10m/s2;

β)Πόση είναι τότε η περίοδος περιστροφής

Τ στου σταθµού;

γ)Πόση δύναµη δέχεται τότε από το δάπεδο ένας άνθρωπος µάζας

m=80Kgr;


Φυσικός 263

φ

Β

ΒΧ

Βy

T

υ

h

R

m

T

Α

Β

φ

��

41) Μια πέτρα µάζας 400gr είναι δεµένη

σε σχοινί µήκους 50cm το οποίο σπάει

αν η τάση του γίνει µεγαλύτερη

από 24Ν. Η πέτρα περιφέρεται σε

κατακόρυφο επίπεδο , ενώ το

κέντρο περιστροφής της απέχει

από το έδαφος 1m. H ταχύτητα της

πέτρα αυξάνει σιγά - σιγά µέχρι που

κάποια στιγµή σπάει. Σε ποια θέση

γίνεται αυτό; και ποια είναι τότε η

γραµµική ταχύτητα της πέτρας;

Σε ποια απόσταση η πέτρα θα

χτυπήσει στο έδαφος;

42)Ένα αυτοκίνητο δρόµων ταχύτητας µάζας m=500Kgr ξεκινά πό την

ηρεµία και επιταχύνεται µε α=5m/s2 κατά µήκος ενός ευθύγραµµου

οριζόντιου δρόµου για απόσταση 250m. Στη συνέχεια εισέρχεται µε

σταθερή ταχύτητα σε µια οριζόντια κυκλική στροφή ακτίνας R=200m.

α)Ποια είναι η σταθερή ταχύτητα µε την οποία διαγράφει τη στροφή;

β)Ποιο είναι το µέτρο και η κατεύθυνση της συνολικής οριζόντιας δύναµης

που ασκείται στο αυτοκίνητο καθώς περιστρέφεται στην στροφή;

γ)Αν καθώς διαγράφει το αυτοκίνητο τη στροφή αρχίζει να επιταχύνεται

κατά τη διεύθυνση της ταχύτητας µε α=3m/s2, ποια είναι τότε η συνολική

οριζόντια δύναµη που ασκείται στο αυτοκίνητο τη στιγµή που αρχίζει να

επιταχύνεται και σε ποια κατεύθυνση ενεργεί η δύναµη;

43)Ένα µοντέλο αεροπλάνο µάζας m=0,5Kgr είναι δεµένο

µε ένα σχοινί µήκους �=10m που το άλλο άκρο του είναι

στερεωµένο στο έδαφος και

πετάει σε οριζόντιο κύκλο µε

τα φτερά του οριζόντια.

Το σχοινί σχηµατίζει µε την

κατακόρυφο γωνία φ=300.

Αν το αεροπλανάκι χρειάζεται 2sec

για µια περιστροφή τότε να

υπολογιστούν:

α)Η τάση του σχοινιού και

β)Η κατακόρυφη προς τα πάνω δύναµη που

εξασκείται στο αεροπλανάκι από τον αέρα.


Φυσικός 264

R m

T

φ

44)Μια πέτρα περιστρέφεται σε οριζόντια κυκλική τροχιά µε περίοδο T

δεµένη σε σχοινί µήκους �. Αν ητάση του σχοινιού παραµένει σταθερή και

το µήκος του σχοινιού ελλατωθεί κατά 19% να βρείτε την % µεταβολή της

περιόδου Τ.

45)Σώµα µάζας m=0,2Kgr

περιστρέφεται σε οριζόντια

κυκλική τροχιά ακτίνας R=1,6m

δεµένο σε σχοινί που σχηµατίζει

µε την κάθετο στην κυκλική τροχιά στο

κέντρο της γωνία φ=450. Να υπολογίσετε:

α)Την τάση του σχοινιού και

β)Τη γραµµική ταχύτητα της µάζας.

46)Ένα σώµα µάζας m=1Kgr διαγράφει οριζόντια κυκλική τροχιά δεµένο

σε σχοινί µήκους �=2m. Αν το όριο θραύσεως του σχοινιού είναι Τ=50Ν

ποιος είναι ο µεγαλύτερος επιτρεπόµενος αριθµός περιστροφών του

σώµατος ανά δευτερόλεπτο;

47)Υπολογίστε τη δύναµη που είναι απαραίτητη για να διατηρήσει σώµα

µάζας m=0,6Kgr σε οριζόντια κυκλική τροχιά ακτίνας R=0,8m µε περίοδο

T=0,4sec (π2=10).

48)Ένας εκπαιδευόµενος αστροναύτης m=75Kgr περιστρέφεται

καθισµένος σε κάθισµα στην άκρη ενός οριζόντιου βραχίονα µήκους

R=3,6m. Aν ο αστροναύτης µπορεί να αντέξει επιταχύνσεις µέχρι 9g, ποια

είναι η µέγιστη συχνότητα περιστροφής του; (g=10m/s2).

Ποια είναι τότε η συνολική δύναµη που δέχεται; Στον αστροναύτη

εξασκείται η δύναµη στην πλάτη του από το κάθισµα και η τριβή ανάµεσα

στο κάθισµα και τον αστροναύτη. Αυτές παίζουν και τον απαραίτητο ρόλο

της FK, για να διατηρείται σε κυκλική τροχιά. (Το βάρος εξουδετερώνεται

από την κάθετη αντίδραση του καθίσµατος).


Φυσικός 265

49)Ένα σώµα µάζας m=3Kgr κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R=3m µε

σταθερή ταχύτητα υ=12m/s. Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα ω και η

συνολική δύναµη F, που ασκείται στο σώµα.

Α)Ερωτήσεις σωστού – λάθους µε αιτιολόγηση

1)Κάθε κίνηση σε κυκλική τροχιά λέγεται οµαλή

κυκλική κίνηση

2)Η οµαλή κυκλική κίνηση είναι µια

επιταχυνόµενη κίνηση

3)Η οµαλή κυκλική κίνηση δεν είναι περιοδική

4)Στην οµαλή κυκλική κίνηση η γραµµική

ταχύτητα του κινητού παραµένει σταθερή

5)Στην οµαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή

ταχύτητα του κινητού παραµένει σταθερή

6)Κατά την οµαλή κυκλική κίνηση η θεµελιώδης

εξίσωση F=ma παίρνει τη µορφή F=2

2

R

mυ.

7)Για να εκτελέσει ένα σώµα Ο.Κ.Κ θα πρέπει να

εξασκείται συνισταµένη δύναµη σο ίδιο επίπεδο

µε την ταχύτητα, µε κατεύθυνση κάθετη σ’ αυτή, που θα παίζει το ρόλο της

FΚ.

8)Όταν αυτοκίνητο παίρνει οριζόντια στροφή

τότε το ρόλο της απαραίτητης κεντροµόλου

δύναµης τον παίζει η στατική τριβή.

Β) Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Βάλτε σε κύκλο τη σωστή απάντηση. 1)Στην οµαλή κυκλική κίνηση

α)η γωνία 4

πείναι ίση µε 30

0

β)η 1 µοίρα είναι σαν µονάδα µέτρησης γωνίας ίση µε το 1rad

γ)φ=R

s

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ

Σ Λ


Φυσικός 266

δ)υ=Τ

π2

2)

α) Η οµαλή κυκλική κίνηση είναι µεταβαλλόµενη κίνηση

β)Η ταχύτητα στην Ο.Κ.Κ παραµένει σταθερή

γ) στην οµαλή κυκλική κίνηση ισχύει ω=υ.R

δ)Στην οµαλή κυκλική κίνηση η γραµµική και η γωνιακή ταχύτητα έχουν

πάντα ίσα µέτρα

3)Στην οµαλή κυκλική κίνηση

α)αε≠0

β)ακ=R

2υ

γ)η ακ είναι παράλληλη µε τη γραµµική ταχύτητα υ

δ)η κεντροµόλος επιτάχυνση παραµένει σταθερή

4)Στην οµαλή κυκλική κίνηση ισχύει

α)T=f

β)υ=f

Rπ2

γ)ακ= 2

24

f

Rπ

δ)T=υ

πR2

5)Στην οµαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα είναι µέγεθος

α)µονόµετρο

β)αριθµητικό

γ)αδιάστατο

δ)διανυσµατικό

6)Μια κίνηση είναι οµαλή κυκλική όταν

α)υ�

=σταθ

β)υ=σταθ

γ)α�

=σταθ

δ)α=σταθ

7)Η συχνότητα στην οµαλή κυκλική κίνηση

α) είναι f=Τ

1

β) είναι ανάλογη της περιόδου

γ) είναι ανάλογη της γραµµικής ταχύτητας


Φυσικός 267

Τ

ν

(1 )

(3 )

(2 )

δ)έχει µονάδα µέτρησης το 1sec

8)Η γραφική παράσταση της

περιόδου σε συνάρτηση µε τη

συχνότητα ν T(ν) είναι

α)Η καµπύλη (1)

β) Η καµπύλη (2)

γ) Η καµπύλη (3)

δ)καµία από τις παραπάνω

9)Στην οµαλή κυκλική κίνηση ισχύει

α)υ=T

Rπ2

β) υ=T

Rπ

γ) υ=T

R

2

π

δ) υ=f

Rπ2

10)Η µονάδα µέτρησης της γωνιακής ταχύτητας είναι

α)1m/s

β)1rad/s

γ)Ηz

δ)rad

11)Για την Ο.Κ.Κ ισχύει

α)FK=R

m2

υ

β) FK=R

2υ

γ) FK=ma2

δ) FK=R

m2

ω.

12)Η απαραίτητη FK, για να πάρει ένα αυτοκίνητο οριζόντια στροφή

δηµιουργείται:

α)από την τριβή ολίσθησης µεταξύ αυτοκινήτου ασφάλτου

β)από τη φυγόκεντρο δύναµη


Φυσικός 268

γ)από την κλίση του οδοστρώµατος

δ)από την στατική τριβή ανάµεσα στα λάστιχα και την άσφαλτο.

13)Η FK είναι:

α)µια ακόµη δύναµη που ασκείται µεταξύ των σωµάτων

β)µια δύναµη που αναγκάζει τα σώµατα να κινούνται µε σταθερή ταχύτητα

γ)µια φανταστική δύναµη

δ)τίποτα από τα παραπάνω

14)Το φεγγάρι δεν πέφτει στη γη:

α)γιατί η ελκτική δύναµη της γης είναι πολύ µικρή σ’ εκείνο το ύψος

β)Β=FK

γ)γιατί η σελήνη συγκρατείται στη θέση της από κάποια άλλη δύναµη που

δεν έχει σχέση µε τη δύναµη του βάρους που ασκεί η γη

δ)γιατί η ελκτική δύναµη που ασκεί η γη στη σελήνη εξουδετερώνεται απ’

αυτή που ασκεί η σελήνη στη γη.

15)Στην Ο.Κ.Κ είναι σταθερή:

α)η ταχύτητα

β)η επιτάχυνση

γ)Η FK

δ)τίποτα από τα παραπάνω.

16.Στην οµαλή κυκλική κίνηση:

α. η ταχύτητα είναι σταθερή.

β. η επιτάχυνση είναι σταθερή.

γ. το µέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό.

δ. δεν υπάρχει επιτάχυνση.

17.H γραµµική ταχύτητα στην οµαλή κυκλική κίνηση εκφράζει:

α. το πόσο γρήγορα διαγράφεται το τόξο του κύκλου.

β. το ίδιο το τόξο του κύκλου.

γ. τη µετατόπιση του κινητού.

δ. τη γωνία που διαγράφεται ανά µονάδα χρόνου.

18.Mια διαφορά µεταξύ οµαλής κυκλικής και ευθύγραµµης οµαλής κίνησης

σε σχέση µε την ταχύτητα είναι ότι:


Φυσικός 269

α. στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η ταχύτητα είναι µονόµετρο, ενώ

στην κυκλική διανυσµατικό µέγεθος.

β. στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η ταχύτητα είναι διανυσµατικό, ενώ

στην κυκλική µονόµετρο µέγεθος.

γ. το µέτρο της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση παραµένει

σταθερό, ενώ στην κυκλική µεταβάλλεται.

δ. η κατεύθυνση της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

παραµένει σταθερή, ενώ στην κυκλική µεταβάλλεται.

19.O έλικας ενός ανεµιστήρα εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση. Tο σηµείο A

βρίσκεται πλησιέστερα στο κέντρο περιστροφής του έλικα απ’ ό,τι το

σηµείο B και έχει συχνότητα 20Hz. H συχνότητα του σηµείου B είναι:

α. µικρότερη από 20Hz

β. ίση µε 20Hz

γ. µεγαλύτερη από 20Hz

20.Ποιο από τα παρακάτω φαινόµενα προσεγγίζει περισσότερο την οµαλή

κυκλική κίνηση:

α. H περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο.

β. H κίνηση ενός σηµείου του δίσκου ενός πικάπ που περιστρέφεται.

γ. H κίνηση ενός εκκρεµούς.

δ. H κίνηση ενός δροµέα στο στίβο ενός γηπέδου.

21.Στην οµαλή κυκλική κίνηση είναι σταθερή

• η ταχύτητα

• η επιτάχυνση

• η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα

• τίποτα από τα παραπάνω

Γ) Ερωτήσεις συµπλήρωσης κενού

1)Κάθε κίνηση µε …………….τροχιά και …………….µέτρο ταχύτητας

ονοµάζεται οµαλή κυκλική κίνηση.

Στην οµαλή κυκλική κίνηση το µέτρο της ταχύτητας υπολογίζεται από το

οποιοδήποτε πηλίκο διαγραφόµενου …………………προς τον

αντίστοιχο……………….. δηλαδή υ=………


Φυσικός 270

F υ

F υ

F

υ

2)Η οµαλή κυκλική κίνηση είναι µια …………………. κίνηση γιατί η

………………..της ταχύτητας συνεχώς µεταβάλλεται.

Η επιτάχυνση στην οµαλή κυκλική κίνηση δίνεται από την εξίσωση

:…………………….

3)Η οµαλή κυκλική κίνηση είναι ………………..κίνηση όπου περίοδος T

ονοµάζεται ………………….για να διαγραφεί µια …………………ενώ

συχνότητα f ονοµάζεται το πηλίκο των …………………..στη

……………………..Η σχέση που συνδέει την περίοδο Τ και τη συχνότητα f

είναι ………………

4)Η γραµµική ταχύτητα στην οµαλή κυκλική κίνηση δίνεται από τη σχέση

υ=…………….. και έχει µονάδα µέτρησης το ……………..

5)Κυκλική κίνηση κάνει ένα σώµα όταν ……………………………………

6)Μονάδα µέτρησης επίπεδης γωνίας είναι το 1rad το οποίο ορίζεται σαν

…………………………………………………….

7)Όταν ένα κινητό εκτελεί οµαλή κυκλική η ………………..όλων των

δυνάµεων που ασκούνται σε αυτό έχει πάντοτε …………….προς το κέντρο

της ……………… …………….. µέτρο που δίνεται από τον τύπο

……………και ονοµάζεται………….δύναµη.

8)Όταν ένα αυτοκίνητο κινείται σε οριζόντια σε στροφή τότε την

απαραίτητη……………..δύναµη τη δηµιουργεί η …………. …………….

ανάµεσα στα λάστιχα και την άσφαλτο.

9.Στην οµαλή κυκλική κίνηση η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται

στο σώµα έχει µέτρο ίσο µε ..........………έχει φορά ....................................

……………..................................... και η διεύθυνσή της είναι κάθετη στη

διεύθυνση ………….....................................

∆) Ερωτήσεις αντιστοίχησης

Να αντιστοιχήσετε τα στοιχεία της αριστερής στήλης µ’ αυτά της δεξιάς.

1)

α.

β.

• Μείωση του µέτρου της

ταχύτητας

• Αύξηση του µέτρου της

ταχύτητας

• Οµαλή κυκλική κίνηση

• ακινησία


Φυσικός 271

(1) (2)

(3)

γ.

2)

a) ΣF=R

m2

υ

b) ΣF=0

c) ΣF=-5

3) Συνισταµένη δυνάµεων Αποτέλεσµα

α. ΣF=0

β. ΣFεξ=0

γ. ΣF=R

m2

υ

4.Να αντιστοιχίσετε τα διανύσµατα του διαγράµµατος µε τα φυσικά µεγέθη

στην οµαλή κυκλική κίνηση

• Ακινησία

• Οµαλή κυκλική κίνηση

• Ευθύγραµµη οµαλή

κίνηση

• Ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη

• Ισχύει η Α.∆.Ο

• Οµαλή κυκλική

κίνηση

• ισορροπία

…………. ταχύτητα

………… επιτάχυνση

…………. κεντροµόλος δύναµη

1.1 OΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ_1.2 Ομαλή κυκλική κίνηση_polaplis_23-26.pdf

Documents

Transcript of 1.1 OΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ_1.2 Ομαλή κυκλική κίνηση_polaplis_23-26.pdf