ΘΕΜΑ: Η Μαγεία των Αριθμών

EΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 20 Λύκειο Σπάρτης Τάξη:Β΄ Α ΤΕΤΡΑΜΗΝΟ

ΤΠΕΤΘΤΝΗ ΚΑΘΗΓΗΣΡΙΑ:

Λιανού Γεωργία

ΠΕΟ3

Ειζαγωγή

«Ση ώξα είλαη;» «Με πόζα γθνι θεξδίζακε;» «Πόζν θνζηίδεη;» «Πνηά ρξνληά γελλήζεθεο;» Απηέο είλαη θάπνηεο από ηηο πνιιέο εθθξάζεηο πνπ ρξεζηκνπνηνύκε ζπλέρεηα ζηε δσή καο. Οη άλζξσπνη θαζεκεξηλά ζε όια ηα κήθε θαη ηα πιάηε ηεο γεο ρξεζηκνπνηνύλ ηνπο αξηζκνύο. Οη αξηζκνί είλαη παληνύ ζηε δσή καο. Γελ κπνξνύκε λα μέξνπκε ηη ζα θάλακε όινη καο αλ δελ ππήξραλ. Πώο ζα ζπλελλννύκαζηαλ; Έηζη γελλάηαη ην εξώηεκα πώο μεθίλεζαλ όια, από πνύ πξνέξρνληαη νη αξηζκνί; Πξηλ όκσο απαληήζνπκε ζηα εξσηήκαηα απηά ζα πξέπεη λα δνύκε ηη ζεκαίλεη ό όξνο αξηζκόο.

Οπιζμόρ

Με ηνλ όξν αξηζκό ελλννύκε έλα πιήζνο κνλάδσλ πνπ πξνέξρεηαη ζαλ εμαγόκελν ηεο κέηξεζεο ελόο πνζνύ ζε ζύγθξηζε κε έλα άιιν, πνπ ζεσξείηαη σο κνλάδα.

ΟΜΑΔΑ 1

ΜΕΛΗ ΟΜΑΔΑΣ:

ΑΗΜΑΚΟΠΟΤΛΟ ΥΡΗΣΟ

ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΤΛΟ ΑΝΓΡΔΑ

ΓΗΜΗΣΡΑΚΟΤ ΓΔΩΡΓΙΑ

ΛΙΝΑΡΓΑΚΗ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ

ΟΛΑΡΙΟΤ ΑΝΓΡΔΑ

ΤΠΟΘΕΜΑΣΑ ΟΜΑΔΑ 1

Επινόηση των αριθμών.

Αναπαράσταση αριθμών.

Εξέλιξη των αριθμών.

Ιστορία των αριθμών.

Αριθμοί στην αρχαία Ελλάδα.

Αριθμοί στους νεότερους χρόνους.

Επινόηζη ηων απιθμών

Πριν από χιλιάδες χρόνια οι άνθρωποι δε γνώριζαν τους αριθμούς και ούτε τους χρειάζονταν. Η ανάγκη των αριθμών ξεκίνησε στη Νεολιθική εποχή τότε που ο άνθρωπος άρχισε να μεταβάλλει τη στάση του απέναντι στα στοιχεία της φύσης, από παθητική σε ενεργητική (εγκαταλείπει τη νομαδική ζωή, αναζητά μόνιμη κατοικία, καλλιεργεί τη γη και εκτρέφει ζώα για να εξασφαλίσει την τροφή του κ.ά.). Αποτέλεσμα αυτού του τρόπου διαβίωσης ήταν η εμφάνιση νέων αναγκών, που έφεραν τον άνθρωπο αντιμέτωπο με νέα προβλήματα (απαρίθμηση αντικειμένων, μέτρηση εκτάσεων πάνω στη γη, μέτρηση χρόνου). την αρχή χρησιμοποιήθηκε η πιο εύκολη μηχανή μέτρησης που είναι τα χέρια και ειδικότερα τα δάχτυλα. Έτσι οι άνθρωποι άρχισαν να μετράνε με τα δάχτυλα. Δεν είναι τυχαίο που τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος είναι δέκα (10) όσα είναι και τα δάχτυλά μας. μως με αυτό τον τρόπο προέκυψαν και προβλήματα, όπως τι γινόταν αν τα αντικείμενα ήταν πάρα πολλά ή όταν ήθελαν να στείλουν μηνύματα;

Αππεδονάπηερ: Τπάιιεινη πνπ κεηξνύζαλ θαη νξηνζεηνύζαλ ηνπο αγξνύο ζηελ αξραία Αίγππην.

Με ηελ πάξνδν ηνπ ρξόλνπ θαζηεξώζεθαλ νη αξηζκνί πνπ ρξεζηκνπνηνύκε ζήκεξα, νη αξαβηθνί αιγόξηζκνη δειαδή ην 1, 2, 3 θιπ. Έλα εύινγν εξώηεκα πνύ πξνθύπηεη είλαη γηαηί ην 1 είλαη «έλα», ην 2 είλαη «δπν», ην 3 είλαη «ηξία» θιπ. Ση θξύβεηαη πίζσ από ηε ινγηθή γξαθήο ηνπο; Γηα πνην ζθνπό επηιέρζεθαλ ηα ζπγθεθξηκέλα ζύκβνια γηα λα ηνπο αλαπαξαζηήζνπκε; Η απάληεζε είλαη απιή: Δίλαη ζέκα γσληώλ! Δίλαη ν αξηζκόο ησλ γσληώλ πνπ βξίζθνληαη αλάκεζα ζηα κηθξά επζύγξακκα ηκήκαηα πνπ ζρεκαηίδνπλ ηελ νπηηθή αλαπαξάζηαζε ηνπ θάζε αξαβηθνύ αξηζκνύ. Αλ θάπνηνο γξάςεη ηνλ αξηζκό ζηελ παιηά ηνπ κνξθή, όπσο θαίλεηαη θαη ζηα ζρήκαηα, ζα θαηαιάβεη ακέζσο γηαηί:

Κύθινο=θακία γσλία=Μεδέλ

Αναπαπάζηαζη απιθμών

Οη άλζξσπνη ηειηθά θαηάιαβαλ όηη πνιιέο θνξέο δελ κπνξνύζαλ λα ζπκεζνύλ πόζα δάρηπια είραλ κεηξήζεη. Ήζειαλ θάηη ζαλ απόδεημε. Γη απηό θαη ζηελ αξρή ρξεζηκνπνίεζαλ ηα βόηζαια. Γηα παξάδεηγκα όηαλ ήζειαλ λα δώζνπλ θάηη, θάζε βόηζαιν αληηζηνηρνύζε ζε έλα αληηθείκελν. Έηζη γλώξηδαλ αθξηβώο πόζα αληηθείκελα είραλ δώζεη. Σν δύζθνιν ήηαλ όηαλ είραλ κεγάινπο αξηζκνύο. Πάλησο θαη νη ζεκεξηλνί καζεκαηηθνί δελ έρνπλ μεράζεη ηα βόηζαια. Η ιέμε «calculate» (ππνινγίδσ) πξνέξρεηαη από ηε ιαηηληθή ιέμε «calculus» ε νπνία ζεκαίλεη «βόηζαιν». Έλαο άιινο ηξόπνο αλαπαξάζηαζεο ησλ αξηζκώλ ήηαλ ηα ζεκάδηα. Οη άλζξσπνη ράξαδαλ ζηα ζπήιαηα γξακκέο ή έθαλεο ραξάγκαηα πάλσ ζε ξαβδηά.

την Σσεχοσλοβακία έχει βρεθεί ένα κόκκαλο λύκου με 55 χαραγματιές και στη

Nότια Αφρική στα όρη Λεμπόμπο (Lebombo Mountains) ένα ραβδί που

είναι το παλαιότερο μαθηματικό εργαλείο μέτρησης. Σο ραβδί αυτό έχει

πάνω του 29 σημάδια και η ηλικία του είναι πάνω από 35.000 χρόνια.

Lebombo Bone

Οι Ίνκας για να μετρήσουν έδεναν κόμπους σε ένα κομμάτι σπάγκου.

Οη νπκέξηνη επίζεο όηαλ ήζειαλ λα ζηείινπλ ηα εκπνξεύκαηά ηνπο έπξεπε απηά λα ζπλνδεύνληαη από θάπνηα απνδεηθηηθά, ηα νπνία απνηεινύληαλ από έλα ζύλνιν θνππνληώλ πνπ πξνζδηόξηδαλ ην είδνο ησλ αγαζώλ θαζώο θαη ηνλ αξηζκό ηνπο. Τπήξρε όκσο ν θίλδπλνο ηεο θινπήο ησλ θνππνληώλ θαη ησλ αγαζώλ. Βξήθαλ ινηπόλ κηα ηερληθή γηα λα εμαζθαιίδνπλ ηα θνππόληα, κε ηελ νπνία αθνύ ηα θάιππηαλ κε πειό, ηα έςελαλ, κε απνηέιεζκα λα δεκηνπξγείηαη κηα ζθιεξή κπάια πεινύ πνπ ζην εζσηεξηθό ηεο ήηαλ ηα θνππόληα. Έηζη όηαλ ν αγνξαζηήο παξαιάκβαλε ηα εκπνξεύκαηα έζπαγε ηνλ πειό θαη έβιεπε αλ ν αξηζκόο ησλ θνππνληώλ αληηζηνηρνύζε κε ηνλ αξηζκό ησλ αγαζώλ.

Απηή ε κέζνδνο εμειίρηεθε από ηνπο νπκέξηνπο, νη νπνίνη άξρηζαλ λα ραξάζζνπλ γξακκέο ζε πήιηλα πιαθίδηα. Οη γξακκέο απηέο αλαπαξηζηνύζαλ ηνλ αξηζκό ησλ αληηθεηκέλσλ αλεμάξηεηα από ην είδνο ηνπο. Έηζη άξρηζαλ λα δηαρσξίδνληαη νη έλλνηεο ησλ κεηξνύκελσλ αληηθεηκέλσλ θαη νη αξηζκνί πιένλ απέθηεζαλ αθεξεκέλε ζεκαζία.

Πήλινοι κώνοι ουμερίων Με την εφεύρεση των αφηρημένων αριθμητικών ψηφίων ξεκίνησε και η αρχή των μαθηματικών και της γραφής.

Εξέλιξη απιθμών

Καλέλαο δε γλσξίδεη κε αθξίβεηα πόηε αθξηβώο επηλνήζεθαλ νη αξηζκνί, αιιά ζίγνπξα πξέπεη λα πξνεγήζεθαλ από ηελ αλαθάιπςε ηεο γξαθήο. Ήξζε, όκσο ν θαηξόο πνπ νη άλζξσπνη ρξεηάζηεθαλ λα επεμεξγαζηνύλ έλα ζύζηεκα ζεκαδηώλ πνπ λα ζηέθνληαη ζηε ζέζε ησλ ιέμεσλ. Απηό έγηλε πξηλ από πέληε ρηιηάδεο (5.000) ρξόληα ζηε ρώξα πνπ ζήκεξα νλνκάδεηαη Ιξάθ. Σε ρώξα απηή δηαζρίδνπλ δπν κεγάια πνηάκηα, ν Σίγξεο θαη ν Δπθξάηεο. Κνληά ζην ζεκείν όπνπ ρύλνληαη ζηε ζάιαζζα ππήξρε κηα αξραία ρώξα ε νπκεξία.

ουμέριοι

Οι ουμέριοι ήταν ο πρώτος λαός που χρησιμοποίησαν τους αριθμούς. Σους χρησιμοποίησαν όπως και οι Αιγύπτιοι παράλληλα με τη γραφή. Σους βρίσκουμε γραμμένους σε πήλινα πινακίδια της 3ης – 2ης χιλιετηρίδας π.Φ. Γράφονταν από τα δεξιά προς τα αριστερά. Οι αριθμοί ήταν απαραίτητοι για τη συγκέντρωση των φόρων που θα τους χρησιμοποιούσαν για το χτίσιμο ναών, κατασκευή αρδευτικών συστημάτων και άλλων έργων. Είχε μεγάλοι σημασία για τους ουμέριους να κρατούν αρχεία. Τπεύθυνοι για αυτή τη δουλειά ήταν οι ιερείς. Έπρεπε, λοιπόν, να υπάρχει κάποιος τρόπος ώστε να είναι σίγουροι για το ποιος πλήρωσε φόρους και πόσο. Έτσι χάρασσαν σημάδια που έδειχναν την κατάσταση της φορολογίας. ταν επινοήθηκε η γραφή οι ιερείς χρησιμοποίησαν ένα σημάδι για κάθε λέξη. Αυτό σήμαινε ότι υπήρχαν πάρα πολλά σημάδια που έπρεπε να θυμάται κανείς. Σο γεγονός αυτό βέβαια δυσκόλευε τους ιερείς. Έτσι λοιπόν για τις πιο σημαντικές σειρές σημαδιών βρήκαν τους αριθμούς. Δεν σώζονται αρκετά δείγματα αρίθμησης για να μπορούμε να έχουμε μια ολοκληρωμένη εικόνα. Σο βέβαιο όμως είναι ότι οι ουμέριοι χρησιμοποιούσαν το εξηκονταδικό σύστημα, δηλαδή το σύστημα όπου απαιτούνταν 60 απλές μονάδες για να δημιουργήσουν μια μονάδα ανώτερης τάξης , μια εξηντάδα.

Σύζηημα απίθμηζηρ Σοςμεπίων

Δυο σύμβολα χρησιμοποιούσαν οι ουμέριοι, την απλή κατακόρυφη σφήνα που

παρίστανε τη μονάδα (1) και την διπλή κατακόρυφη σφήνα που παρίστανε τη

δεκάδα (10) και αποτελούσαν τα μοναδικά ψηφία του συστήματος το οποίο ήταν

θεσιακό, δηλαδή η αξία ενός ή περισσότερων ψηφίων καθορίζονταν απ’ τη

θέση που αυτό κατείχε μέσα σ’ ένα αριθμό. Οι αριθμοί απ’ το ένα ως το πενήντα

εννιά σχηματίζονταν με το συνδυασμό των δυο βασικών συμβόλων και οι

αριθμοί απ΄το εξήντα και πάνω γράφονταν σαν δυνάμεις του εξήντα . Για τα

αριθμητικά σύμβολα χρησιμοποιούσαν καλάμια με κυκλικά άκρα δύο μεγεθών.

Σο σύμβολο της μονάδας γινόταν με πίεση του μικρότερου άκρου από πλάγια

θέση, φτιάχνοντας κάτι σαν μισοφέγγαρο, ενώ για το συμβολισμό του δέκα το

πίεζαν από κάθετη θέση, με αποτέλεσμα να σχηματίζεται κάτι σαν πανσέληνος.

Βαβυλώνιοι

Οι Βαβυλώνιοι ήταν ο λαός που έδωσε προτεραιότητα στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Από την εποχή της δυναστείας του Φαμμουραμπί γύρω στα 1700 π.Φ. χρησιμοποιήθηκαν αριθμητικές, αλγεβρικές και γεωμετρικές μέθοδοι. Η υπεροχή τους στα μαθηματικά στηριζόταν στη «θεσιακή» σημειογραφία του συστήματος, η οποία μπορούσε εξίσου καλά να προσαρμόζεται έτσι ώστε να εκφράζονται αριθμοί οσοδήποτε μεγάλοι και αν ήταν, καθώς και κλάσματα. Σο σύστημα αυτό προέκυψε βαθμιαία κατά τη διάρκεια της 3ης π.Φ. χιλιετίας, όταν χρησιμοποιήθηκε μια σημειογραφία για την καταχώρηση νομισματικών συναλλαγών, με την οποία μεγαλύτερες και μικρότερες μονάδες βάρους εκφράζονταν με απλή παράθεση αριθμών. Έτσι συμβολίζονταν μονάδες με τιμές διαφορετικές ανάλογα με τη θέση των παρατιθέμενων ψηφίων. Η διάταξη των αριθμών καθόριζε τη σχετική τους αξία. Αργότερα, η σημειογραφία επεκτάθηκε στους αριθμούς δημιουργώντας το εξηκονταδικό σύστημα. Φρησιμοποιούσαν και αυτοί μόνο δυο σύμβολα, τη σφήνα και το καρφί. Σα άλλα πενήντα επτά σύμβολα τα δημιουργούσαν από αυτά τα δυο σύμβολα. Σο μηδέν δεν υπήρχε ως αριθμός και η απεικόνιση του ως συμβόλου δεν είχε επέλθει ακόμα. Για παράδειγμα το εννιά το συμβόλιζαν με ισάριθμες σφήνες σε τρεις τριάδες, ενώ τον αριθμό δεκαεννιά το έγραφαν σαν ένα καρφί και δεξιά του σχεδίαζαν εννέα σφήνες σε τρεις τριάδες. Σον αριθμό πενήντα εννιά τον συμβόλιζαν με πέντε καρφιά και εννέα σφήνες. Για να γράψουν χρησιμοποιούσαν καλαμίνιες γραφίδες πάνω σε πίνακες από μαλακό πηλό, τους οποίους στη συνέχεια, τους έψηναν ή τους ξέραιναν στον ήλιο

Βαβυλωνιακές πινακίδες που χρονολογούνται το 2100 π.Φ. και δείχνουν ένα πρόβλημα που αφορά την περιοχή του ακανόνιστου σχήματος

Ακόμα οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις 4 πράξεις, τον υπολογισμό τετραγωνικών ριζών, λύνανε εξισώσεις πρώτου και δευτέρου βαθμού, υπολόγιζαν το εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλογράμμων, τραπεζίων καθώς και του κύκλου. Επίσης διαίρεσαν την ημέρα σε 24 ώρες, την ώρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα. Από το 2000 π.Φ χρησιμοποιούσαν ημερολόγιο 360 ημερών διαιρεμένο σε 12 μήνες των 30 ημερών. Γνώριζαν τους θετικούς ακέραιους καθώς και τα κλάσματα της μορφής n/60 όπου n είναι ακέραιος αριθμός. υνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι το αριθμητικό τους σύστημα ήταν εξηκονταδικό, μη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς το μηδέν.

Αιγύπηιοι

Οη Αηγύπηηνη παξέιαβαλ ηελ αξηζκεηηθή από ηνπο Βαβπιώληνπο. Απηνί αλέπηπμαλ δπν ζπζηήκαηα γξαθήο, ηελ αηγππηηαθή ηεξνγιπθηθή θαη ηελ αηγππηηαθή ηεξαηηθή. Έηζη είραλ θαη δπν είδε ζπκβόισλ θαη γηα ηνπο αξηζκνύο ηνπο. Σν πξώην ζύζηεκα, δειαδή ηα ηεξνγιπθηθά, ήηαλ ε επίζεκε γξαπηή ηνπο γιώζζα θαη ηα ρξεζηκνπνηνύζαλ ζηα κλεκεία θαη ζηα δεκόζηα θηίξηα ελώ ην άιιν ζύζηεκα ήηαλ ε ηεξαηηθή γξαπηή γιώζζα θαη ηελ ρξεζηκνπνηνύζαλ ζηηο θαζεκεξηλέο ηνπο ζπλαιιαγέο. Ήηαλ νη πξώηνη πνπ παξίζηαλαλ ηνλ θάζε αξηζκό κε ην ίδην θαηαθόξπθν ζεκάδη πνπ κνηάδεη κε δάρηπιν. Έηζη έθηηαμαλ ην ζεκάδη Ι γηα λα παξηζηάλνπλ ηνλ αξηζκό έλα. Οη Αηγύπηηνη είραλ νξηζκέλν ηξόπν γηα λα γξάθνπλ ηα ζύκβνια. Γηα ην πέληε δελ έγξαθαλ ΙΙΙΙΙ αιιά ΙΙΙ θαη ακέζσο από θάησ έγξαθαλ ΙΙ. Έηζη ήηαλ πην εύθνιν λα δεη θαλείο ηξία ζεκάδηα θαη δπν μέρσξα ζεκάδηα , από ην λα δηαθξίλεη πέληε ζεκάδηα ζηε ζεηξά. Με ηνλ ίδην ηξόπν , δελ έγξαθαλ ην ελληά ΙΙΙΙΙΙΙΙΙ, αιιά ζαλ ηξεηο νκάδεο ΙΙΙ, ηε κηα θάησ από ηελ άιιε. Γηα ην δέθα επηλόεζαλ έλα θαηλνύξην ζύκβνιν. Υξεζηκνπνίεζαλ ην ζύκβνιν Ո. Δπίζεο ζθέθηεθαλ όηη δε ρξεηάδεηαη λα γξαθεί ή λα κεηξεζεί πεξηζζόηεξν από ελληά θνξέο έλα ζύκβνιν θαη έηζη επηλόεζαλ έλα θαηλνύξγην ζύκβνιν γηα θάζε θνξά πνπ έπξεπε λα γξαθεί θάπνην ζύκβνιν δέθα θνξέο. Έηζη ρξεζηκνπνίεζαλ έλα ζύκβνιν ζαλ ζπείξα πνπ κνηάδεη ιίγν κε απηό: 9.

πκπεξαίλνπκε ινηπόλ όηη έδσζαλ ηδηαίηεξε ζεκαζία ζηνλ αξηζκό δέθα θαη όηη γηα ηνπο αξηζκνύο από ην 1 κέρξη 999 δελ ρξεηαδόηαλ λα ζπκνύληαη παξά ηξία ζύκβνια.

Αιγυπτιακοί ιερογλυφικοί αριθμοί

Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούσαν τα λεγόμενα θεμελιώδη ή αιγυπτιακά κλάσματα,

δηλαδή κλάσματα με αριθμητή τη μονάδα και παρονομαστή οποιονδήποτε θετικό ακέραιο αριθμό. Για παράδειγμα, για να εκφράσουν οι Αιγύπτιοι το κλάσμα 3/7 το έγραφαν σαν άθροισμα των μοναδιαίων κλασμάτων 1/3 + 1/11 + 1/231. Η μεγάλη δυσκολία αυτού του συστήματος είναι εμφανής , αφού μόνο για την πρόσθεση και την αφαίρεση απλών κλασμάτων πρέπει να κάνουμε δύσκολους υπολογισμούς . Για να διευκολύνουν τη δουλειά τους οι Αιγύπτιοι, όταν έπρεπε να κάνουν κλασματικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν εκτενείς πίνακες μοναδιαίων κλασμάτων.

Έλαο ηέηνηνο πίλαθαο ππάξρεη ζηνλ πάππξν ηνπ Ρηλη (Rhind), καζεκαηηθό έξγν ησλ Αηγππηίσλ, πνπ ηνπνζεηείηαη ηνπιάρηζηνλ ζηα 1650 π.Υ.

Ο πάπυρος του Ριντ (Rhind

Σο 14ο πρόβλημα του παπύρου της Μόσχας

Αιιά θαη ζηνλ πάππξν ηεο Μόζραο, πνπ ηνπνζεηείηαη ζηα 1850 π.Υ., ππάξρνπλ πξνβιήκαηα πνπ πεξηέρνπλ θιάκαηα θαη πξάμεηο κε θιάζκαηα θαη αξηζκνύο, όπσο γηα παξάδεηγκα «Σν 1/3 ηνπ 6 είλαη ην 2», πνπ αλαθέξεηαη ζε ππνινγηζκό ηνπ όγθνπ δεδνκέλεο θόινπξεο ππξακίδαο.

Οι Αιγύπτιοι υπολόγιζαν εμβαδά κανονικών σχημάτων, όπως τριγώνων και τραπεζίων, καθώς και τους όγκους κυλίνδρων και πυραμίδων. Ακόμα χρησιμοποιούσαν την μέθοδο της αντικατάστασης για να επαληθεύσουν το αποτέλεσμα ενός υπολογισμού. Μόλις ολοκληρωνόταν το αποτέλεσμα του υπολογισμού ενός προβλήματος, ο μαθηματικός αντικαθιστούσε την απάντηση στο αρχικό πρόβλημα και εξέταζε αν έβγαινε νόημα.

Σέλος μπορούμε να πούμε ότι το αιγυπτιακό σύστημα αρίθμησης ήταν δεκαδικό, επαναληπτικό, μη θεσιακό και χωρίς το μηδέν.

Ίνκας

Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10, για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους (Μέσα σε 200 χρόνια είχαν πληθυσμό 6-12.000.000 άτομα). Σο αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν στα κουιπού (Quipu). Σα κουιπού (Quipu) ήταν περίπλοκα συστήματα σπάγκων με κόμπους που χρησίμευαν για την καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών. Σο σύστημά τους ήταν δεκαδικό, θεσιακό, μη ψηφιακό και έκαναν χρήση του μηδενός.

το κουιπού (Quipu) το μηδέν αναπαρίστατο με το να μην υπάρχουν κόμποι σε μια συγκεκριμένη θέση δεσμών Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησιμοποιώντας ένα είδος άβακα, το γιουπάνα. Σο γιουπάνα ήταν μια πλάκα χωρισμένη σε τετράγωνα πάνω στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους.

Οι αριθμοί με το κουιπού (Quipu)

Οι αριθμοί στην αρχαία Ελλάδα

Οι Αρχαίοι Έλληνες ήταν αυτοί που επινόησαν το αλφαβητικό σύστημα αρίθμησης που ήταν το τελειότερο σύστημα αρίθμησης μετά το αραβικό και χρησιμοποιόταν μέχρι και την Αναγέννηση. Δημιουργήθηκε τον 5ο αιώνα π.Φ. στην Ιωνία. Σο νέο αυτό αριθμητικό σύστημα άρχισε να διαδίδεται στις ελληνικές πόλεις, κυρίως στους χρόνους των διαδόχων του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Ηταν πολύ ικανοποιητικό για τις οικονομικές τους συναλλαγές και τους βοηθούσε στις καθημερινές τους ανάγκες. Η ευκολία με την οποία το χρησιμοποιούσαν ήταν, ίσως, η αιτία διατήρησής του μέχρι τον 15ο αιώνα μ.Φ. Σο χρησιμοποιούσε μάλιστα και ο Αρχιμήδης στους υπολογισμούς του.

Σο σύστημα αυτό είχε το πλεονέκτημα ότι απέφευγε την επανάληψη συμβόλων που υπήρχαν στα άλλα αρχαία συστήματα. Πιο αναλυτικά μπορούμε να πούμε ότι κάθε αριθμός από το 1 έως το 9, κάθε δεκάδα 10,20,30,…,90, κάθε εκατοντάδα 100,200,300,…, 900 συμβολίζονταν με ένα γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου και με μια οξεία πάνω αριστερά για να ξεχωρίζουν από τα γράμματα των λέξεων. μως, επειδή χρειάζονταν 27 γράμματα για τον συμβολισμό όλων αυτών των αριθμών και το ελληνικό αλφάβητο είχε μόνο 24, χρησιμοποίησαν ακόμα τρία σύμβολα.

Αυτά ήταν:

το Ϝ´ (δίγαμμα) που παρίστανε τον αριθμό 6 και το οποίο αντικαταστάθηκε σταδιακά από το σύμβολο στίγμα ϛ, αφού είχε πάψει πρώτα να χρησιμοποιείται ως γράμμα.

το κόππα Ϟ που παρίστανε τον αριθμό 90 και είχε επίσης αντικαταστήσει το αντίστοιχο γράμμα ϙ, που είχε περιέλθει σε αχρηστία

το σαμπί ϡ που παρίστανε τον αριθμό 900.

Αξρηθά γηα ηε γξαθή ησλ αξηζκώλ ρξεζηκνπνίεζαλ ηα θεθαιαία γξάκκαηα θαη αξγόηεξα ρξεζηκνπνίεζαλ ηα κηθξά. Όινη νη αξηζκνί νη κηθξόηεξνη ηνπ 1000 γξάθνληαλ κε ηξία ην πνιύ γξάκκαηα. Γηα λα γξάςνπλ αξηζκνύο κεγαιύηεξνπο από 999 ρξεζηκνπνηνύζαλ δηάθνξα ηερλάζκαηα, ηα νπνία ζηεξίδνληαλ ζε πνιιαπιαζηαζηηθέο αξρέο. Έηζη, γηα παξάδεηγκα, κηα κηθξή γξακκή θάησ αξηζηεξά από ην γξάκκα ζήκαηλε όηη ν αξηζκόο πνιιαπιαζηάδεηαη κε ην 1000.

Οη πην ζύλζεηνη αξηζκνί γξάθνληαλ σο ζεηξά γξακκάησλ, έηζη ώζηε ην άζξνηζκα λα καο δίλεη ηνλ ζπγθεθξηκέλν αξηζκό. Σα γξάκκαηα γξάθνληαλ θαη δηαβάδνληαλ από ηα αξηζηεξά πξνο ηα δεμηά. Γηα λα θαηαιάβνπκε απηό ην ζύζηεκα θαιό ζα ήηαλ λα δνύκε θάπνηα παξαδείγκαηα.

Έηζη:

Ο αξηζκόο 153 γξαθόηαλ ξλγ΄

Ο αξηζκόο 456 γξαθόηαλ πλο’

Ο αξηζκόο 8820 γξαθόηαλ ‚εσθ’

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

,α ,β ,γ ,δ ,ε ,ς ,ζ ,η ,θ

Μπορούμε να πούμε ότι το ελληνικό σύστημα αρίθμησης ήταν δεκαδικό και δεν υπήρχαν επαναλήψεις γιατί οι αριθμοί που βρίσκονταν μεταξύ των μονάδων είχαν τα δικά τους σύμβολα και οι θεμελιώδεις μονάδες του ήταν:

α’ ( = 1),

ι’ ( = 10),

ρ’ ( = 100)

‚α ( = 1000)

Και σε αυτό το σύστημα παρατηρούμε την έλλειψη του «μηδέν». Η ιδέα του «μηδέν» (ουθέν στα αρχαία Ελληνικά), ήταν γνωστή κατά την αρχαιότητα σαν έλλειψη μονάδων, αλλά δεν χρησιμοποιείτο για το σχηματισμό των αριθμών. Έτσι η αξία των αριθμών ήταν συνδεδεμένη με τα σύμβολα. Επειδή το Ελληνικό σύστημα, όπως και τα άλλα αρχαία συστήματα, παρουσίαζε δυσκολίες στην εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, για τη διευκόλυνση των υπολογισμών επινοήθηκαν κατάλληλες συσκευές, που πήραν το όνομα «Άβακες».

Η επινόηση του άβακα ήταν Ελληνική, όπως άλλωστε και το όνομα

Άβαξ.

Οι αριθμοί στους Νεότερους Φρόνους

Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε σήμερα ονομάζονται "αραβικοί", παίρνοντας το όνομά τους από τους Άραβες, οι οποίοι τους έφεραν στην Ευρώπη. Πρέπει όμως να τονιστεί ότι οι αριθμοί είναι Ινδοαραβικοί και αυτό γιατί Ινδοί μαθηματικοί ήταν αυτοί που χρησιμοποίησαν τα εννέα ψηφία και το μηδέν πολύ πριν από οποιονδήποτε άλλο. Ένας Ινδός αστρολόγος – μαθηματικός μάλιστα με το όνομα Βραχμαγκούπτα (628 μ.Φ.) περιέγραψε τα πάντα σε ένα βιβλίο. Πρόκειται για την πρώτη γραπτή μαρτυρία σχετικά με την ύπαρξη των ψηφίων. Αργότερα το 776 μ.Φ, κάποιοι Ινδοί επιστήμονες έφτασαν στην αυλή του Άραβα χαλίφη Αλ- Μανσούρ. Οι Άραβες μαθηματικοί εντυπωσιάστηκαν από το ινδικό σύστημα και λίγο αργότερα ένας Άραβας επιστήμονας ο Αμπού Αμπντουλάχ Μοχάμεντ Ιμπν Μούζα Αλ - Φουαρίζμι (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi), έγραψε για αυτό ένα βιβλίο με τίτλο: « Αλγόριθμοι των Ινδικών αριθμών» το οποίο είναι το πρώτο αραβικό βιβλίο που παρουσιάζει λεπτομερειακά τους ινδικούς αριθμούς και την αξία της θέσης. Σο βιβλίο του Αλ-Φουαρίζμι μεταφράστηκε στα λατινικά από τον Γκεράλντους Κρεμονένσις (Gerardus Cremonensis. Αν και αυτό θα μπορούσε να οδηγήσει στη χρήση του νέου συστήματος στην Ευρώπη, οι Ευρωπαίοι δεν ήθελαν ακόμα να το χρησιμοποιήσουν.

Σην εποχή εκείνη, η Γαλλία, η Αγγλία και η Γερμανία βρίσκονταν στον «Αιώνα του κότους», δηλαδή στο Μεσαίωνα. Τπήρχαν πολύ λίγα σχολεία και βιβλία και γι αυτό με μεγάλη δυσκολία μπορούσε κανείς να μάθει γραφή και ανάγνωση. μως η Ισπανία που βρισκόταν κάτω από την κυριαρχία των Αράβων, ήταν πολύ πιο προοδευτική. Σο 967 μ.Φ. ένας άλλος επιστήμονας, ο Γάλλος μαθηματικός ο Ζερμπέρ ντ' Ωριγιάκ (Gerbert d'Aurillac), ταξίδεψε στην Ισπανία και μελέτησε το βιβλίο του Αλ-Φουαρίζμι. Εντυπωσιάστηκε βαθιά από την ευκολία του νέου συστήματος αρίθμησης και όταν γύρισε στη Γαλλία, έφερε μαζί του τα αριθμητικά σύμβολα του συστήματος αυτού. Αλλά, παρότι το 999 μ. Φ ο Ζερμπέρ ντ' Ψριγιάκ εκλέχτηκε και Πάπας με το όνομα ιλβέστρος ο Β’, οι Ευρωπαίοι παρέμειναν επιφυλακτικοί απέναντι στο ξενόφερτο σύστημα. Μόνο λίγοι ήταν αυτοί που συμβούλευαν να χρησιμοποιούνται οι αραβικοί αριθμοί. Οι περισσότεροι επέμεναν να χρησιμοποιούν τους ρωμαϊκούς χαρακτήρες στους οποίους ήταν συνηθισμένοι. Οι ρωμαϊκοί αριθμοί όμως ήταν δύσχρηστοι και έκαναν τις αριθμητικές πράξεις ακόμα πιο δύσκολες. Έτσι οι άνθρωποι έπρεπε να πηγαίνουν στους ειδικούς στη μέτρηση, για να τους βοηθήσουν να υπολογίσουν ακόμα και μια απλή πράξη. Σο ινδικό σύστημα ήταν πολύ πιο εύκολο και δε χρειαζόταν η χρήση άβακα. Παρόλο αυτά οι Ευρωπαίοι εξακολούθησαν να μένουν προσκολλημένοι στους ρωμαϊκούς αριθμούς. Μάλιστα το 1299 οι Κανονισμοί της «Σέχνης της υναλλαγής» (Arte del Cambio) απαγόρευαν στους τραπεζίτες της Υλωρεντίας να χρησιμοποιούν τα Ινδοαραβικά αριθμητικά ψηφία και επέβαλαν τα ρωμαϊκά.

Σα χρόνια περνούσαν και είχε πια περάσει και ο Μεσαίωνας. Οι άνθρωποι τώρα ήταν πιο ευκατάστατοι και πιο μορφωμένοι. την Ιταλία, ιδιαίτερα, υπήρχαν πολλοί επιχειρηματίες που έπρεπε να κάνουν πολλούς λογαριασμούς για να μπορούν να παρακολουθούν την κίνηση των επιχειρήσεών τους. Έτσι, από τη στιγμή που συνειδητοποίησαν το πόσο βολικοί ήταν οι αραβικοί αριθμοί, άρχισαν να εγκαταλείπουν τους ρωμαϊκούς αριθμούς και να χρησιμοποιούν το καινούριο σύστημα. Σα σύμβολο μηδέν «0» κατάλαβαν ότι ήταν το πιο σπουδαίο από όλα και χρησιμοποίησαν , αρχικά, για να το ονομάσουν, την αραβική λέξη σίφρ. Αργότερα αυτή η λέξη άλλαξε και λεγόταν ζεπίρο, γιατί ήταν πιο εύκολη στην προφορά και φαινόταν πιο φυσική. Από αυτή την λέξη προήλθε και η γνωστή λέξη ζέρο, που είναι και η πιο κοινή λέξη στις ευρωπαϊκές γλώσσες για το σύμβολο μηδέν «0».

Από την Ιταλία οι αραβικοί αριθμοί άρχισαν να εξαπλώνονται και στην υπόλοιπη Ευρώπη. ταν ο Φριστόφορος Κολόμβος ανακάλυψε την Αμερική, όλη η Ευρώπη χρησιμοποιούσε πια τους αραβικούς αριθμούς. Σον περασμένο αιώνα οι αραβικοί χαρακτήρες εξαπλώθηκαν πια σε όλα τα μέρη της γης. ε πολλές ξένες γλώσσες, που χρησιμοποιούν περίεργα σύμβολα για τα γράμματά τους και τις λέξεις τους, θα βρούμε τα γνωστά σύμβολα 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και το 0.

ήμερα όλοι γνωρίζουν ότι αυτό το σύστημα μέτρησης, δηλαδή το Ινδοαραβικό, είναι η

πιο επιτυχημένη ανακάλυψη του ανθρωπίνου πνεύματος που έγινε στη γη. Διαδόθηκε

και υιοθετήθηκε σχεδόν παγκόσμια σε μεγαλύτερη έκταση από ό,τι τα γράμματα του

αλφαβήτου που χρησιμοποιούμε. Γι αυτό θεωρείται ότι το σύστημα αυτό μοιάζει σαν

μια παγκόσμια γλώσσα.

ΟΜΑΔΑ 2

ΜΕΛΗ ΟΜΑΔΑΣ :

ΚΟΚΚΟΡΟΤ ΕΛΕΝΗ

ΠΑΣΡΙΑΝΑΚΟΤ ΠΑΝΑΓΙΨΣΑ

ΣΖΟΡΑΙ ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ

ΣΟΛΛΑΚΟΤ ΓΚΕΣΙΑΝΑ

ΣΡΟΦΑΣΟΤ ΕΤΓΕΝΙΑ

ΦΡΙΣΟΥΙΛΑΚΟ ΠΑΝΑΓΙΨΣΗ

ΤΠΟΘΕΜΑΣΑ ΟΜΑΔΑ 2

υστήματα Αρίθμησης.

Ιδιαίτεροι αριθμοί.

Η έννοια του μηδέν.

Ο αριθμός π , e

Μαθηματική ερμηνεία του π .

Εφαρμογές του π .

Φρονολόγιο του π .

Έκφραση συμβόλων που αναπαριστούν αριθμούς.

ήμερα γίνεται η χρήση του δεκαδικού ή αραβικού αριθμητικού συστήματος για την

αναπαράσταση αριθμών.

ΔΕΝ ήταν πάντα έτσι

1. Αρχαίοι Έλληνες

2. Αρχαίοι Ρωμαίοι

Φρήση γραμμάτων της αλφαβήτου για την αναπαράσταση αριθμών

Απουσία συμβόλου για το μηδέν (0)

Δύσκολη εκτέλεση πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/σμος, διαίρεση).

Δύσκολη η διδασκαλία των πράξεων μιας και δεν υπήρχε τυποποιημένη αναπαράσταση αριθμων

Φρήση γραμμάτων της αλφαβήτου.

Απουσία συμβόλου για το μηδέν (0)

Προσθεση ή αφαίρεση ψηφίων ανάλογα με την θέση τους για την ερμηνεία παραστάσεων.

V (5)+III (3)=VIII(8) (= Σρία μετά το πέντε)

V(5)- I (1)= IV (4) (= ένα πριν το πέντε)

Δύσκολη εκτέλεση πράξεων

Δυσκολη διδασκαλία πράξεων

1=V

5=V

10=X

50=L

100=C

500=D

1000=M

Με δέκα ψηφία μπορούν να εκφραστούν οσοδήποτε μεγάλοι αριθμοί λόγω της

σημασίας της θέσης τους.

υνεπής και μονοσήμαντη αναπαράσταση αριθμών.

Αναπαράσταση ΟΛΨΝ των αριθμών

1. Υυσικοί (μη αρνητικοί): 0, 1, 100, 3545…

2. Αρνητικοί:-2, -2786…

3. Ρητοί: -249, -1, 0, ¼, -1/2…

4. Άρρητοι: π, e

5. Εύκολη εκτέλεση πράξεων

6. Εύκολη διδασκαλία πράξεων λόγω της τυποποίησης των πράξεων αυτών.

(Δηλαδή ύπαρξη σαφών κανόνων που λειτουργούν για όλους τους αριθμούς.)

Κάθε ψηφίο αναλογα με την θέση του εκφράζει πόσα πολλαπλάσια δεκαδικών

έχουμε.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:

Ο ακέραιος αριθμός 642 σημαίνει:

600+40+2 (642)

• 2 μονάδες

• 4 δεκάδες (1 δεκάδα= 10 μονάδες)

• 6 εκατοντάδες (1εκατοντάδα=10 δεκάδες=100 μονάδες)

Εμφανίστηκε τον 7ο αιώνα μ.Φ. στην Ινδία (650μ.Φ.)

Μάγια => εικοσαδικό σύστημα αρίθμησης με ένα σύμβολο σε σχήμα κοχυλιού για το μηδέν, συμβολίζοντας την κενή θέση.

Βαβυλώνιοι => πρώτη χρήση του μηδενός ως δείκτη

Έλληνες => δεν χρησιμοποιούσαν το μηδέν ούτε ως αριθμό, ούτε ως σύμβολο δείκτη για τη θέση άλλων.

Πρώτη ανάγκη για χρήση του => καταγραφή αστρονομικών δεδομένων και ανάγκη προσδιορισμού της κενής θέσης.

Σο σύμβολο του προήλθε από το γράμμα όμικρον (Ο) => αρχικό γράμμα της λέξης ΟΤΔΕΝ.

,τι δεν υπάρχει, η ανυπαρξία, το τίποτε ή ό,τι δεν έχει καμία αξία.

Ένα από τα ψηφία του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης

Είναι το μικρότερο στοιχείο συνόλου Ν φυσικών ακεραίων και το μόνο για το οποίο

δεν υπάρχει προηγούμενο στοιχείο στο Ν.

Δείκτης της κενής θέσης στο σύστημα γραφής

αριθμών.

Δύο απόψεις:

Αριθμός ανάμεσα στο -1 και στο 1

Σο ανύπαρκτο από το οποίο έπλασε ο Θεός τον κόσμο.

Σο είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης.

Είναι ο μικρότερος μη αρνητικός ακέραιος.

Εμφανίζεται στο κέντρο του άξονα των αριθμών.

Δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος αριθμός.

Είναι άρτιος αφού διαιρείται με το 2.

ΠΡΟΘΕΗ: ουδέτερο στοιχείο => x+0 = 0+x = x

ΑΥΑΙΡΕΗ: x-0 = x και 0-x = -x

ΠΟΛΛΑΠΛΑΙΑΜΟ: απορροφητικό στοιχείο x*0 = 0*x = x

ΔΙΑΙΡΕΗ: 0:x = 0, για κάθε x διάφορο του 0

ΤΧΨΗ Ε ΔΤΝΑΜΗ: x^0 = x:x = 1

Σο άθροισμα 0 αριθμών είναι πάντα 0.

Σο γινόμενο 0 αριθμών είναι πάντα 1.

Απόλυτη θερμοκρασία σε Κέλβιν είναι το 0. Η χαμηλότερη θερμοκρασία.

ημείο πήξης νερού σε Κελσίου => αυθαίρετα ορισμένο

Ένταση ήχου σε Ντεσιμπέλ ή Υον => μηδενική ένταση είναι τιμή αναφοράς.

Μηδενικό επίπεδο ενέργειας ενός κβαντικού μηχανισμού φυσικού

συστήματος ορίζεται ως η ενέργεια της βασικής κατάστασης του σώματος.

Έχει προταθεί ως ο ατομικός αριθμός υποθετικού χημικού στοιχείου με την

απουσία «τετρανετρονίου». Έχει αποδειχτεί ότι ένα συγκρότημα τεσσάρων

νετρονίων μπορεί να είναι αρκετά σταθερό ώστε να θεωρείται ένα άτομο μόνο

του. Αυτό θα μπορούσε (θεωρητικά) να δημιουργήσει ένα χημικό στοιχείο χωρίς

(καθόλου) πρωτόνια και φορτίο στον πυρήνα του.

τα μαθηματικά πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος

της μονάδας με την ιδιότητα οι μόνοι φυσικοί διαιρέτες του να είναι η

μονάδα και ο εαυτός του.

Σο 0 και το 1 δεν είναι πρώτοι αριθμοί. Σο 0 συχνά δεν θεωρείται ούτε

φυσικός.

Με το κόσκινο του Ερατοσθένη.

το σύνολο των φυσικών αριθμών πρακτικά έως κάποιο μεγάλο αριθμό Ν

αρχίζουμε και αποκλείουμε πρώτα τα πολ/σια του 2, μετά τα πολ/σια του

επόμενου μη διαγραμμένου αριθμού κ.ο.κ ως το Ν.

Παρατηρούμε ότι όλο και λιγότερους αριθμούς θα βρίσκουμε προ

διαγραφή. Οι αριθμοί που θα απομείνουν είναι όλοι οι πρώτοι.

Σέλειος λέγεται ένας ακέραιος αριθμός όταν το άθροισμά των θετικών διαιρετών του είναι ίσο με τον αριθμό αυτό.

ΑΡΤΙΟΙ ΤΕΛΕΙΟΙ:

Ο Ευκλείδης ανακάλυψε ότι οι τέσσερις πρώτοι τέλειοι αριθμοί παράγονται από τον τύπο 2n-1

ΠΕΡΙΤΤΟΙ ΤΕΛΕΙΟΙ:

Σα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός Ν πρέπει να είναι της μορφής 12m+1 ή 36m+9 και να ικανοποιεί κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες.

“Oλοι οι αριθμοί είναι ενδιαφέροντες, μερικοί όμως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και το π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους.”

Ίαν τιούαρτ ,

καθηγητής των Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Warwick.

Περίπου ίσος με 3,14

14 Μαρτίου: παγκόσμια ημέρα της σταθεράς π

Είναι ένας άρρητος αριθμός (δεν μπορεί να γραφτεί ως πηλίκο δύο

ακεραίων)

Έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων σε δεκαδική αναπαράσταση.

Σο μέτρο της αρρητότητας του είναι μεγαλύτερο από του αριθμού e.

Δεν είναι λύση κάποιου μη-σταθερού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές.

Ευαρμογές τοσ π

Δεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε συνδυασμό ρητών και τετραγωνικών αριθμών.

«Δεν μπορεί να τετραγωνιστεί ο κύκλος». Είναι αδύνατον να κατασκευάσουμε μόνο με κανόνα και διαβήτη ένα τετράγωνο του οποίου η περιοχή είναι ίση προς την έκταση ενός δεδομένου κύκλου.

Μετά την έλευση των υπολογιστών ένας μεγάλος αριθμός ψηφίων του π είναι διαθέσιμος για να εκτελέσουμε στατιστικές αναλύσεις.

Ρεκόρ απομνημόνευσης: πάνω από 67.000 ψηφία.

Μαθηματική ερμηνεία τοσ π

Μαθηματική σταθερά.

Ο λόγος της περιφέρειας προς την διάμετρο ενός κύκλου.

Άρρητος αριθμός.

Τπερβατικός αριθμός.

Άπειρα δεκαδικά ψηφία.

Βρίσκεται σε τύπους τριγωνομετρίας και γεωμετρίας ειδικά για κύκλους, ελλείψεις και σφαίρες.

Βρίσκεται στον κλάδο της Κοσμολογίας, της Θεωρίας των αριθμών, της τατιστικής, της Θερμοδυναμικής, της Μηχανικής και του Ηλεκτρομαγνητισμού.

Μαθηματική σταθερά.

Θέμα λογοτεχνικών βιβλιών.

2000 π.Φ. Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούν την τιμή π=8.

1100 π.Φ. Οι Κινέζοι χρησιμοποιούν την τιμή π=3.

550 π.Φ. στην Παλαιά Διαθήκη υποδηλώνεται η τιμή π=3.

434 π.Φ. Ο Αντιφών και ο Βρύσων διατυπώνουν την αρχή της εξάντλησης.

335 π.Φ. Ο Δεινόστρατος προσπαθεί κατασκευαστικά να τετραγωνίσει τον κύκλο.

3ος π.Φ. αι. Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί ένα πολύγωνο με 96 πλευρές για να αποδείξει ότι

310<π και π = 211875:67441 = 3,14163

225 π.Φ. Ο Απολλώνιος βελτίωσε την Αρχιμήδεια προσέγγιση χωρίς να είναι γνωστό κατά πόσο.

130 μ.Φ. Ο Chang hong χρησιμοποιεί την τιμή π=3,1622

250 μ.Φ. Ο Wang Fan χρησιμοποιεί την τιμή π = 3,165555…

263 μ.Φ. Ο Liu Hui χρησιμοποιεί την τιμή π = 3,14159

480 μ.Φ. ο Tsu Chung Chi καθιερώνει το π = 3,1415926 και 3,1415926< π <3,1415927

499 μ.Φ. Ο Aryabhata χρησιμοποιεί την τιμή π = 3,1416

640 μ.Φ. Ο Brahmagupta χρησιμοποιεί την τιμή π = 3,1622

800 μ.Φ. Ο Al-Khwarizmi χρησιμοποιεί π = 3,14159265359

1120 μ.Φ Ο Leonardo of Pica (Fibonacci) βρίσκει π = 3,141818

1400 μ.Φ. Ο Madhava χρησιμοποιεί π = 3,14159265359

1430 μ.Φ Ο Al-Kashi υπολόγισε π = 3,14159265358979

1573 μ.Φ. Ο Francois Vieteβρίσκει πρώτος ένα άπειρο γινόμενο για να περιγράψει το π. Φρησιμοποιεί π = 3,11415926536

Ο Adriaen van Romanus υπολογίζει π = 3,141592653589793

Η μαθηματική σταθερά e

Είναι περίπου ίση με 2,71828

Λέγεται και «αριθμός ιλερ» ή «σταθερά του Napier»

Ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιάκομπ Μπερνούλι όταν

μελετούσε σύνθετους στόκους.

πως και η σταθερά π, το e είναι άρρητος δηλ. δεν είναι λόγος ακεραίων.

Είναι υπερβατικό, δηλ. δεν είναι ρίζα κάθε μη-μηδενικού πολυωνύμου με

ρητούς συντελεστές.

Εφαρμογές του e

Σόκος ανατοκισμού.

Οι δοκιμές του Bernulli.

Ασύμπτωτες.

Συπική κανονική κατανομή.

Ο αριθμός e στο λογισμό

Σο βασικό κίνητρο για την εισαγωγή του e στο λογισμό είναι για να εκτελεί

διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεις με εκθετικές και

λογαριθμικές λειτουργίες.

Εξέταση βάσης λογάριθμου.

ΟΜΑΔΑ 3

ΜΕΛΗ ΟΜΑΔΑΣ:

ΚΑΛΟΤΔΗ ΑΝΕΞΙΝΑ

ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΑΚΟΤ ΑΡΙΣΙΝΑ

ΚΟΚΚΙΝΗ ΜΕΣΑΞΙΑ

ΚΟΛΟΒΟ ΥΨΣΙΟ

ΚΟΤΡΣΟΤΝΗ ΚΨΝΣΑΝΣΙΝΑ

ΠΑΠΑΣΑΘΗ ΕΤΑΓΓΕΛΟ

ΤΠΟΘΕΜΑΣΑ ΟΜΑΔΑ 3

Σριγωνικοί αριθμοί.

Σετραγωνικοί αριθμοί.

Ακολουθία Υιμπονάτσι.

Ο αριθμός φ.

Ο αριθμός 7.

Ακoλοσθία Φιμπονάτσι

ηα Μαζεκαηηθά, νη Αρηζκοί Φηκπολάτση είλαη νη αξηζκνί ηεο παξαθάησ αθέξαηαο αθοιοσζίας:

0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … {\displaystyle 0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots \;} Δμ νξηζκνύ, νη πξώηνη δύν αξηζκνί Φηκπνλάηζη είλαη ην 0 θαη ην 1, θαη θάζε επόκελνο αξηζκόο είλαη ην άζξνηζκα ησλ δύν πξνεγνύκελσλ.

Η Ακολοσθία Φιμπονάτσι νλνκάζηεθε έηζη από ηνλ Λενλάξλην ηεο Πίδαο, γλσζηό θαη σο Φηκπνλάηζη. Σν βηβιίν ηνπ Φηκπνλάηζη, ην 1202, κε ηίηιν Liber Abaci, εηζήγαγε ηελ αθνινπζία ζηα Μαζεκαηηθά ηεο Γπηηθήο Δπξώπεο αλ θαη ε αθνινπζία είρε πεξηγξαθεί πην πξηλ από ηνπο Ιλδνύο (Καηά κία πην ζύγρξνλε ζύκβαζε, ε αθνινπζία μεθηλάεη κε F0=0. ην Liber Abaci, όκσο, ε αθνινπζία μεθηλάεη κε F1=1, παξαιείπνληαο ην αξρηθό 0, θάηη πνπ αθνινπζείηαη από θάπνηνπο αθόκε θαη ζήκεξα).

Οη Αξηζκνί Φηκπνλάηζη ζρεηίδνληαη κε ηνπο Αξηζκνύο Λνύθαο δεδνκέλνπ όηη είλαη ζπκπιεξσκαηηθό δεύγνο ηεο Αθνινπζίαο Λνύθαο, ελώ είλαη άξξεθηα ζπλδεδεκέλνη θαη κε ηε ρξπζή αλαινγία. Έρεη αξθεηέο εθαξκνγέο ζε ππνινγηζηηθνύο αιγόξηζκνπο, όπσο γηα παξάδεηγκα ε ηερληθή αλαδήηεζεο Φηκπνλάηζη θαη ε δνκή δεδνκέλσλ ζσξόο Φηκπνλάηζη. Δπηπιένλ ππάξρνπλ γξαθηθέο παξαζηάζεηο νη νπνίεο νλνκάδνληαη θύβνη Φηκπνλάηζη θαη ρξεζηκνπνηνύληαη ζηηο παξάιιειεο δηαζπλδέζεηο θαη ζηα θαηαλεκεκέλα ζπζηήκαηα. Σέινο, νη Αξηζκνί Φηκπνλάηζη, εκθαλίδνληαη θαη ζηε Βηνινγία, όπσο γηα παξάδεηγκα ε δηαθιάδσζε ζηα δέληξα, ε δηάηαμε ησλ θύιισλ ζε έλα ζηέιερνο, ηα ζηόκηα ηνπ θαξπνύ ελόο αλαλά, ε αλάπηπμε ηεο αγθηλάξαο θαη πνιιά άιια.

Ιστορία

Η Αθνινπζία Φηκπνλάηζη εκθαλίδεηαη ζηα Μαζεκαηηθά ησλ Ιλδώλ θαη

ζπγθεθξηκέλα ζε αλζθξηηηθέο Πξνζσδίεο. ηελ αλζθξηηηθή πξνθνξηθή

παξάδνζε, δίλνληαλ κεγάιε έκθαζε θαηά πόζν νη καθξόζπξηεο ζπιιαβέο (Μ)

ζπλέπηπηαλ κε ηηο ζύληνκεο (), θαη κεηξνύζαλ ηα δηαθνξεηηθά πξόηππα ησλ Μ

θαη ησλ κέζα ζε έλα πξνθαζνξηζκέλν δηάζηεκα, θάηη πνπ νδήγεζε ζηνπο

αξηζκνύο Φηκπνλάηζη. Ο αξηζκόο ησλ πξνηύπσλ πνπ γίλνληαη m ζύληνκεο

ζπιιαβέο καθξόζπξηεο είλαη ν αξηζκόο Φηκπνλάηζη Fm+1.

Η αλάπηπμε ηε αθνινπζίαο απνδίδεηαη ζηνλ Pingala (200 π.Υ.), αιιά ε πξώηε

μεθάζαξε αλαθνξά ζηελ Αθνινπζία γίλεηαη ζηα έξγα ηνπ Virahanka (700 κ.Υ.),

ηα έξγα ηνπ νπνίνπ δε ζώδνληαη, αιιά κεηαθέξζεθαλ απηνύζηα ζηα έξγα ηνπ

Gopala (1153 κ.Υ.).

Ιστορία

ηε Γύζε, νη αξηζκνί Φηκπνλάηζη εκθαλίδνληαη γηα πξώηε θνξά ζην βηβιίν Liber Abaci (1202) ηνπ Λενλάξλην ηεο Πίδαο, γλσζηνύ θαη σο Φηκπνλάηζη. Ο Φηκπνλάηζη παίξλεη σο δεδνκέλν έλα ηδαληθό πιεζπζκό θνπλειηώλ θαη θάλεη ηηο εμήο ππνζέζεηο: έρνπκε έλα λενγέλλεην δεπγάξη θνπλειηώλ (αξζεληθό θαη ζειπθό) ζε έλα ρσξάθη, ηα θνπλέιηα είλαη ζε ζέζε λα δεπγαξώζνπλ ζε ειηθία ελόο κήλα από ηε γέλλεζή ηνπο, έηζη ώζηε ζην ηέινο ηνπ δεύηεξνπ κήλα ην ζειπθό λα κπνξεί λα γελλήζεη έλα δεπγάξη θνπλειηώλ, ηα θνπλέιηα δε πεζαίλνπλ πνηέ θαη θάζε δεπγάξη θνπλειηώλ γελλάεη έλα λέν δεπγάξη (έλα αξζεληθό θαη έλα ζειπθό) θάζε κήλα από ηνλ δεύηεξν κήλα θαη κεηά. Σν εξώηεκα πνπ έζεζε ν Φηκπνλάηζη ήηαλ: πόζα δεύγε θνπλειηώλ ζα έρνπλ γελλεζεί κέζα ζε έλα έηνο;

ην ηέινο ηνπ πξώηνπ κήλα, δεπγαξώλνπλ, αιιά αθόκε ππάξρεη κόλν έλα δεύγνο.

ην ηέινο ηνπ δεύηεξνπ κήλα ην ζειπθό γελλάεη έλα λέν δεύγνο, νπόηε ζην ρσξάθη ππάξρνπλ δύν δεύγε θνπλειηώλ.

ην ηέινο ηνπ ηξίηνπ κήλα, ην πξώην ζειπθό γελλάεη θαη δεύηεξν δεύγνο, νπόηε έρνπκε ηξία δεύγε θνπλειηώλ.

ην ηέινο ηνπ ηέηαξηνπ κήλα, ην πξώην ζειπθό γελλάεη αθόκε έλα δεύγνο, ην ζειπθό πνπ γελλήζεθε δύν κήλεο πξηλ γελλάεη ην πξώην ηεο δεύγνο, νπόηε έρνπκε πέληε δεύγε θνπλειηώλ ζην ρσξάθη.

ην ηέινο ηνπ ληνζηνύ κήλα, ην πιήζνο ησλ δεπγώλ ησλ θνπλειηώλ είλαη ίζνο κε ην πιήζνο ησλ λέσλ δεύγσλ (n-2) πξνζζέηνληαο πιήζνο δεύγσλ πνπ ππήξραλ ζην ρσξάθη ηνλ πξνεγνύκελν κήλα (n-1). Απηόο είλαη ν ληνζηόο αξηζκόο Φηκπνλάηζη.

Ο Leonardo de Pisa ή Fibonacci έδεζε θνληά ζηελ πόιε ηεο Bejaia, ε νπνία απνηεινύζε έλα ζεκαληηθό εμαγσγέα θεξηνύ ηελ επνρή ηνπ Fibonacci (από εθεί πξνέξρεηαη θαη ε γαιιηθή εθδνρή ηνπ νλόκαηνο ηεο πόιεο απηήο, ―bougie‖, πνπ ζεκαίλεη" θεξί "ζηα γαιιηθά). Μηα πξόζθαηε καζεκαηηθν-ηζηνξηθή αλάιπζε ηεο πεξηόδνπ θαη ηεο πεξηνρήο ζηελ νπνία έδεζε ν Fibonacci πξνηείλεη όηη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα νη κειηζζνθόκνη ηεο Bejaia θαη νη γλώζεηο ηνπο ζρεηηθά κε ηελ αλαπαξαγσγή ησλ κειηζζώλ απνηέιεζαλ ηελ πεγή έκπλεπζεο ηεο αθνινπζίαο Fibonacci θαη όρη ην επξύηεξα ίζσο γλσζηό κνληέιν ηεο αλαπαξαγσγήο θνπλειηώλ.

Ο όξνο «Αθνινπζία Φηκπνλάηζη» ρξεζηκνπνηήζεθε γηα πξώηε θνξά ηνλ 19ν αηώλα από ηνλ Γάιιν καζεκαηηθό Δδνπάξδν Λνύθαο.

Λίστα των αριθμών Υιμπονάτσι

Οι πρώτοι 21 αριθμοί Φιμπονάτςι Fn για n= 0, 1, 2, …, 20 είναι: F0,F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8,F9,F10,F11,F12,F13,F14,

F15,F16,F17,F18,F19,F20

Προσθέστε κείμενο

Φρυσή τομή

ηα Μαζεκαηηθά θαη ηελ ηέρλε, δύν πνζόηεηεο έρνπλ αλαινγία ρξπζήο ηνκήο αλ ν ιόγνο ηνπ αζξνίζκαηνο ηνπο πξνο ηε κεγαιύηεξε πνζόηεηα είλαη ίζνο κε ην ιόγν ηεο κεγαιύηεξεο πνζόηεηαο πξνο ηε κηθξόηεξε. Η εηθόλα ζηα δεμηά αλαπαξηζηά ηε γεσκεηξηθή εξκελεία ησλ παξαπάλσ.

a + b a = a b = def θ , {\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi ,}

θ = 1 + 5 2 = 1.61803 39887 … . {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\ldots .} Η ρξπζή ηνκή αλαθέξεηαη επίζεο θαη σο τρσσός λόγος ή τρσσός κανόνας. Άιια νλόκαηα είλαη τρσσή μετριότητα θαη Θεϊκή αναλογία ελώ ζηνλ Δπθιείδε ν όξνο ήηαλ "άκρος και μέσος λόγος".

Πνιινί θαιιηηέρλεο θαη αξρηηέθηνλεο ηνπ 20νπ αηώλα πξνζάξκνζαλ ηα έξγα ηνπο ώζηε λα πξνζεγγίδνπλ ηελ ρξπζή αλαινγία—ηδίσο ζηε κνξθή ηνπ ρξπζνύ νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ, ζην νπνίν ν ιόγνο ηεο κεγαιύηεξεο πιεπξάο πξνο ηελ κηθξόηεξε είλαη ε ρξπζή ηνκή—πηζηεύνληαο όηη απηή ε αλαινγία είλαη αηζζεηηθά επράξηζηε. Οη Μαζεκαηηθνί από ηελ επνρή ηνπ Δπθιείδε κέρξη ζήκεξα έρνπλ κειεηήζεη ηηο ηδηόηεηεο ηεο ρξπζήο ηνκήο, ζπκπεξηιακβαλνκέλεο ηεο εκθάληζεο ηεο ζηηο δηαζηάζεηο ελόο θαλνληθνύ πεληαγώλνπ θαη ελόο ρξπζνύ νξζνγσλίνπ παξαιιεινγξάκκνπ, ην νπνίν (όπσο θαίλεηαη θαη ζηελ δηπιαλή εηθόλα) κπνξεί λα ρσξηζηεί ζε έλα ηεηξάγσλν θαη έλα παξόκνην παξαιιειόγξακκν κε ηνλ ίδην ιόγν πιεπξώλ όπσο ην αξρηθό. Η ρξπζή ηνκή έρεη ρξεζηκνπνηεζεί επίζεο γηα ηελ αλάιπζε ησλ αλαινγηώλ θπζηθώλ αληηθεηκέλσλ θαζώο θαη ηερλεηώλ ζπζηεκάησλ όπσο νη νηθνλνκηθέο αγνξέο.

Κατασκευή με

κανόνα και

διαβήτη

1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1 (κόκκινο). 2. Υέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο

ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο (γκρι).

3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου.

4. Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου στην οποία έχουμε ορίσει το κέντρο του κύκλου έως το σημείο του κύκλου που τελειώνει η διάμετρος Σο ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με

την προέκταση έχει μήκος φ.

Ιστορία

Η χρυσή τομή συνεπαίρνει Δυτικούς διανοούμενους ποικίλων ενδιαφερόντων για τουλάχιστον 2.400 χρόνια.

Οι Αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί πρώτοι μελέτησαν αυτό που τώρα ονομάζουμε χρυσή τομή γιατί εμφανιζόταν συχνά στη γεωμετρία. Η διαίρεση ενός τμήματος σε "άκρο και μέσο λόγο" (εξ ού και η χρυσή τομή) είναι σημαντική στη γεωμετρία των πενταγράμμων και πενταγώνων. Η αντίληψη αυτή αποδίδεται συνήθως στον Πυθαγόρα και τους ακολούθους του.

Ο χρυσός λόγος ήταν γνωστός στους Πυθαγόρειους. το μυστικό τους σύμβολο, την πεντάλφα, ο χρυσός λόγος εμφανίζεται στις πλευρές τους αστεριού καθώς και στο πηλίκο του εμβαδού του κανονικού πενταγώνου με κορυφές τις άκρες της πεντάλφα προς το εμβαδόν του κανονικού πενταγώνου που σχηματίζεται εντός του αστεριού.

Σα τοιχεία του Ευκλείδη παρέχουν τον πρώτο γραπτό ορισμό αυτού που σήμερα ονομάζουμε χρυσή τομή: "Μια ευθεία γραμμή λέγεται ότι έχει κοπεί σε άκρο και μέσο λόγο, όταν όλη η ευθεία είναι για το μεγαλύτερο κομμάτι ότι είναι το μεγαλύτερο κομμάτι για το μικρότερο". Ο Ευκλείδης παραθέτει μια για το χώρισμα της γραμμής σε "άκρο και μέσο λόγο". ε όλα τα τοιχεία αρκετές προτάσεις και οι αποδείξεις τους εμπεριέχουν τον χρυσό λόγο.

Η πρώτη γνωστή προσέγγιση του (αντίστροφου) χρυσού λόγου από δεκαδικό κλάσμα, ως "περίπου 0,6180340", γράφτηκε το 1597 από τον Michael Maestlin του Πανεπιστήμιο του Σύμπιγκεν σε ένα γράμμα του προς τον πρώην φοιτητή του Γιοχάνες Κέπλερ.

Από τον 20ο αιώνα, η χρυσή τομή παριστάνεται με τον ελληνικό γράμμα Υ ή φ (φ, από το αρχικό γράμμα του γλύπτη Υειδία ο οποίος λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που τον χρησιμοποίησε στα έργα του) και πιο σπάνια από το τ το αρχικό γράμμα της λέξης τομή.

Φρονολόγιο

Υξνλνιόγην ζύκθσλα κε ηνλ Priya Hemenway:

Ο Φεηδίαο (490–430 π.Υ.) έθηηαμε ηα αγάικαηα ηνπ Παξζελώλα ηα νπνία θαίλεηαη λα ελζσκαηώλνπλ ηελ ρξπζή αλαινγία.

Ο Πιάησλ (427–347 π.Υ.), ζηνλ Τίκαηο, πεξηγξάθεη ηα πέληε Πιαησληθά ζηεξεά: ην ηεηξάεδξν, ηνλ θύβν, ην νθηάεδξν, ην δσδεθάεδξν, θαη ην εηθνζάεδξν), θάπνηα από ηα νπνία ζρεηίδνληαη κε ηελ ρξπζή ηνκή.

Ο Δπθιείδεο (π. 325–π. 265 π.Υ.), ζηα ηνηρεία, έδσζε ηνλ πξώην γξαπηό νξηζκό ηεο ρξπζήο ηνκήο, ηελ νπνία νλόκαζε "ἄθξνο θαὶ κέζνο ιόγνο"

Ο Φηκπνλάηζη (1170–1250) αλέθεξε ηελ αθνινπζία αξηζκώλ πνπ ηώξα θέξεη ην όλνκα ηνπ ζην βηβιίν ηνπ Liber Abaci; ν ιόγνο δηαδνρηθώλ ζηνηρείσλ ηεο αθνινπζίαο Φηκπνλάηζη πξνζεγγίδεη αζπκπησηηθά ηελ ρξπζή ηνκή.

Ο Λνύθα Παηζηόιη (Lucη Pacioli, 1445–1517) θαζνξίδεη ηελ ρξπζή ηνκή σο "Θετθή αλαινγία" ζην νκώλπκν έξγν ηνπ Divina Proportione.

Ο Μίραει Μαίζηιηλ (Michael Maestlin, 1550–1631) δεκνζηεύεη ηελ πξώηε γλσζηή πξνζέγγηζε ηνπ (αληίζηξνθνπ) ρξπζνύ ιόγνπ από δεθαδηθό θιάζκα.

Ο Γηνράλεο Κέπιεξ (1571–1630) απνδεηθλύεη όηη ε ρξπζή ηνκή είλαη ην όξην ηεο αθνινπζίαο ησλ ιόγσλ δηαδνρηθώλ όξσλ ηεο αθνινπζίαο Φηκπνλάηζη, ( lim n → ∞ F n + 1 F n = θ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi } ) θαη πεξηγξάθεη ηελ ρξπζή ηνκή σο "πνιύηηκν θόζκεκα": "Η Γεσκεηξία έρεη δύν ζεζαπξνύο: ν έλαο είλαη ην Ππζαγόξεην Θεώξεκα, θαη ν άιινο ε ηκήζε κηαο επζείαο ζε άθξν θαη κέζν ιόγν· ηνλ πξώην κπνξνύκε λα ηνλ ζπγθξίλνπκε κε ρξπζό, ηνλ δεύηεξν κε έλα πνιύηηκν θόζκεκα." νη δύν απηνί ζεζαπξνί ζπλδπάδνληαη ζην Σξίγσλν ηνπ Κέπιεξ.

Ο Charles Bonnet (1720–1793) επηζεκαίλεη όηη ζηε θπιινηαμία θπηώλ πνπ πεγαίλνπλ κε ηελ θνξά ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ θαη αληίζηξνθα ππήξραλ ζπρλά δύν δηαδνρηθέο αθνινπζίεο Φηκπνλάηζη.

Ο Martin Ohm (1792–1872) πηζηεύεηαη όηη είλαη ν πξώηνο πνπ ρξεζηκνπνίεζε ηνλ όξν goldener Schnitt (ρξπζή ηνκή) γηα λα πεξηγξάςεη απηό ην ιόγν, ην 1835.

Ο Édouard Lucas (1842–1891) δίλεη ζηελ αθνινπζία πνπ ηώξα είλαη γλσζηή σο Φηκπνλάηζη ην ζεκεξηλό ηεο όλνκα.

Ο Mark Barr (20νο αηώλαο) πξνηείλεη ην ειιεληθό γξάκκα θ, ην πξώην γξάκκα ηνπ γιύπηε Φεηδία γηα ηνλ ζπκβνιηζκό ηεο ρξπζήο ηνκήο.

Ο Ρόηδεξ Πέλξννπδ (γελ. 1931) αλαθάιπςε έλα ζπκκεηξηθό κνηίβν πνπ ρξεζηκνπνηεί ηελ ρξπζή ηνκή ζην πεδίν ησλ απεξηνδηθώλ

Αισθητική

Σο De Divina proportione, ένα τρίτομο έργο του Luca Pacioli, δημοσιεύθηκε

το 1509.Ο Pacioli, ένας Υραγκισκανός μοναχός, ήταν κυρίως γνωστός ως

μαθηματικός, αλλά είχε επίσης εκπαιδευτεί και έδειχνε έντονο ενδιαφέρον για

την τέχνη.το De Divina proportione διερευνήθηκαν τα μαθηματικά της

χρυσής αναλογίας.Παρ'ότι λέγεται συχνά ότι ο Pacioli υποστήριζε την

εφαρμογή της χρυσή αναλογίας για να δώσει ευχάριστες, αρμονικές

αναλογίες,ο Livio επισημαίνει ότι η ερμηνεία έχει προήλθε από ένα λάθος το

1799, και ότι ο Pacioli υποστήριζε πραγματικά το Βιτρούβιο σύστημα των

ρητών αναλογιών.[6] Ο Pacioli επίσης παρατήρησε θρησκευτική σημασία

στην αναλογία, η οποία οδήγησε στον τίτλο του έργου του. Σο De Divina

proportione περιλαμβάνει απεικονίσεις των κανονικών στερεών από τον

Leonardo da Vinci, παλιό φίλο και συνεργάτη του Pacioli.

Αρχιτεκτονική

Πνιιέο από ηηο αλαινγίεο ηνπ Παξζελώλα θέξνληαη λα εκθαλίδνπλ ηελ ρξπζή αλαινγία

Η πξόζνςε ηνπ Παξζελώλα, θαζώο θαη ηα ζηνηρεία ηεο πξόζνςεο απηνύ ιέγεηαη από θάπνηνπο όηη νξηνζεηήζεθαλ από νξζνγώληα κε ρξπζέο αλαινγίεο. Άιινη κειεηεηέο αξλνύληαη όηη νη Έιιελεο είραλ θάπνηα αηζζεηηθή ζπζρέηηζε κε ηε ρξπζή αλαινγία. Γηα παξάδεηγκα,ν Midhat J. Gazale ιέεη, "...Ωζηόζν, έπξεπε λα θηάζνπκε ζηνλ Δπθιείδε πξνθεηκέλνπ λα κειεηεζνύλ νη καζεκαηηθέο ηδηόηεηεο ηεο ρξπζήο ηνκήο. ηα ηνηρεία (308 π.Υ.), ν Έιιελαο καζεκαηηθόο απιώο ζεσξνύζε ηνλ αξηζκό απηό σο έλαλ ελδηαθέξνληα άξξεην αξηζκό, ζε ζρέζε κε ηηο κεζαίεο θαη αθξαίεο αλαινγίεο. Η εκθάληζε ηνπ ζε θαλνληθά πεληάγσλα θαη δεθάγσλα ήηαλ δεόλησο ζεβαζηή, θαζώο επίζεο θαη ζην δσδεθάεδξν (έλα θαλνληθό πνιύεδξν πνπ έρεη σο έδξεο δώδεθα θαλνληθά πεληάγσλα ). Δίλαη πξάγκαηη ππνδεηγκαηηθό όηη ν κεγάινο Δπθιείδεο, ζε αληίζεζε κε ηηο γεληέο ησλ κπζηηθηζηώλ πνπ αθνινύζεζαλ, αληηκεηώπηζε κε λεθαιηόηεηα ηνλ αξηζκό απηό γηα απηό πνπ είλαη, ρσξίο λα πξνζθνιιήζεη ζε απηόλ άιιεο από ηηο πξαγκαηηθέο ηνπ ηδηόηεηέο." Καη ν Κεζ Νηέβιηλ, ιέεη," ίγνπξα, ν ζπρλά επαλαιακβαλόκελνο ηζρπξηζκόο όηη ν Παξζελώλαο ζηελ Αζήλα βαζίδεηαη ζηε ρξπζή αλαινγία δελ ππνζηεξίδεηαη από ηηο πξαγκαηηθέο κεηξήζεηο. ηελ πξαγκαηηθόηεηα, νιόθιεξε ε ηζηνξία γηα ηνπο Έιιελεο θαη ηελ ρξπζή αλαινγία θαίλεηαη λα είλαη αβάζηκε.Σν κόλν πξάγκα πνπ γλσξίδνπκε κε βεβαηόηεηα είλαη όηη ν Δπθιείδεο, ζην πεξίθεκν βηβιίν ηνπ ηνηρεία , πνπ γξάθηεθε γύξσ ζην 300 π.Υ., έδεημε πώο ππνινγίδεηαη ε ηηκή ηεο ρξπζήο αλαινγίαο ". Δγγύο πεγέο ηεο επνρήο, όπσο ν Βηηξνύβηνο ζπδεηνύλ απνθιεηζηηθά αλαινγίεο πνπ κπνξνύλ λα εθθξαζηνύλ ζε αθέξαηνπο αξηζκνύο. Ο Π. Φνπηάθεο κειέηεζε ηηο δηαζηάζεηο 15 αξραίσλ λαώλ, 18 κλεκεηαθώλ ηάθσλ, 8 ζαξθνθάγσλ θαη 58 επηηύκβησλ ζηειώλ γηά ην δηάζηεκα από ηνλ 5ν αηώλα π.Υ. κέρξη ηνλ 2ν αηώλα κ.Υ. Οη αξραίνη λανί απνηεινύζαλ ην θαηεμνρήλ κέξνο επηθνηλσλίαο κεηαμύ αλζξώπσλ θαη ζεώλ, ελώ νη ηάθνη, ζαξθνθάγνη θαη επηηύκβηεο ζηήιεο ζπλδένληαλ κε ην πέξαζκα ησλ ζλεηώλ από ηελ πιηθή ζηελ αηώληα δσή. Δάλ ε ρξπζή ηνκή είρε νπνηεζδήπνηε ζεηθέο, κπζηηθηζηηθέο ή αηζζεηηθέο ηδηόηεηεο, ηόηε νη πεξηζζόηεξεο από απηέο ηηο θαηαζθεπέο ζα ραξαθηεξίδνληαλ από ηνλ θαλόλα ηεο ρξπζήο αλαινγίαο. Σν απνηέιεζκα απηήο ηεο πξσηόηππεο έξεπλαο είλαη μεθάζαξν: ε ρξπζή ηνκή ήηαλ εληειώο απνύζα από ηελ ειιεληθή αξρηηεθηνληθή ηνπ θιαζηθνύ 5νπ αηώλα π.Υ., θαη ζρεδόλ απνύζα γηα ηνπο επόκελνπο έμη αηώλεο. Σέζζεξα ζπάληα, θαη γηα απηό πνιύηηκα, παξαδείγκαηα εθαξκνγήο αλαινγηώλ ρξπζήο ηνκήο εληνπίζζεθαλ ζε έλα αξραίν πύξγν ηεο Μεζώλεο Μεζζελίαο, ζην Μεγάιν Βσκό ηεο Πεξγάκνπ (ζην νκώλπκν κνπζείν ηνπ Βεξνιίλνπ), ζε κηα επηηύκβηα ζηήιε από ηελ Έδεζζα θαη ζε έλα κλεκεηαθό ηάθν ζηελ Πέιια. Δίλαη ε πξώηε θνξά πνπ παξνπζηάδεηαη απόδεημε γηα εθαξκνγή ρξπζήο ηνκήο ζε αξραία ειιεληθή θαηαζθεπή, σζηόζν, ζύκθσλα κε ην ζπγγξαθέα, εθαξκνγή πεξηζσξηαθή ε νπνία ππνδειώλεη όηη νη αξραίνη Έιιελεο δελ έδσζαλ ηδηαίηεξε ζεκαζία ζηε ρξπζή ηνκή ζην ρώξν ηεο αξρηηεθηνληθήο.

Αρχιτεκτονική

Μία γεσκεηξηθή αλάιπζε πξνεγνύκελεο έξεπλαο ην 2004 γηα ην Μεγάιν Σδακί ηεο Κατξνπάλ απνθαιύπηεη κηα ζπλεπή εθαξκνγή ηεο ρξπζήο αλαινγίαο ζε όιν ην ζρεδηαζκό, ζύκθσλα κε ηνλ Boussora θαη ηνλ Mazouz. Βξήθαλ αλαινγίεο θνληά ζηε ρξπζή ζην ζπλνιηθό πνζνζηό ηνπ ζρεδίνπ θαζώο θαη ζην ρώξν πξνζεπρήο θαη ζην ρώξν ηνπ δηθαζηεξίνπ . Οη ζπληάθηεο ζεκεηώλνπλ, σζηόζν, όηη νη πεξηνρέο πνπ βξέζεθαλ λα έρνπλ αλαινγίεο θνληά ζηελ ρξπζή δελ απνηεινύλ κέξνο ηεο αξρηθήο θαηαζθεπήο, θαη ζεσξνύλ όηη απηά ηα ζηνηρεία πξνζηέζεθαλ ζε κηα αλαθαηαζθεπή.

Ο Διβεηόο αξρηηέθηνλαο Λε Κνξκππδηέ γλσζηόο γηα ηε ζπκβνιή ηνπ ζην ζύγρξνλν δηεζλέο αξρηηεθηνληθό ζηπι, εζηίαζε ηε θηινζνθία ηνπ ζρεδηαζκνύ ηνπ ζε ζπζηήκαηα αξκνλίαο θαη αλαινγίαο. Η πίζηε ηνπ Λε Κνξκππδηέ ζηε καζεκαηηθή ηάμε ηνπ ζύκπαληνο ήηαλ ζηελά ζπλδεδεκέλε κε ηε ρξπζή αλαινγία θαη ηε ζεηξά Φηκπνλάηζη, ηηο νπνίεο πεξηέγξαςε σο "ξπζκνύο εκθαλείο δηα γπκλνύ νθζαικνύ θαη ζαθείο ζηηο ζρέζεηο ηνπο ην έλα κε ην άιιν. Καη απηνί νη ξπζκνί βξίζθνληαη ζηε ξίδα ησλ αλζξσπίλσλ δξαζηεξηνηήησλ. Αληερνύλ ζηνλ άλζξσπν από νξγαληθό αλαπόθεπθην, ην ίδην αλαπόθεπθην πνπ πξνθαιεί ηελ παξαηήξεζε ηεο Υξπζήο Σνκήο από ηα παηδηά, ηνπο ειηθησκέλνπο, ηνπο άγξηνπο θαη ηνπο κνξθσκέλνπο ".

Ο Λε Κνξκππδηέ ρξεζηκνπνίεζε ξεηά ηε ρξπζή αλαινγία ζην Modulor ζύζηεκα ηνπ γηα ηελ θιίκαθα ηεο αξρηηεθηνληθήο αλαινγίαο. Δίδε ην ζύζηεκα απηό, σο ζπλέρεηα ηεο καθξάο παξάδνζεο ηνπ Βηηξνύβηνπ,ηνπ "Άλζξσπνο ηνπ Βηηξνύβηνπ" ηνπ Leonardo da Vinci, ηνπ έξγν ηνπ Leon Battista Alberti, θαη ησλ άιισλ πνπ ρξεζηκνπνίεζαλ ηηο αλαινγίεο ηνπ αλζξώπηλνπ ζώκαηνο γηα λα βειηηώζνπλ ηελ εκθάληζε θαη ηε ιεηηνπξγία ηεο αξρηηεθηνληθήο. Δθηόο από ηε ρξπζή αλαινγία, ν Λε Κνξκππδηέ ζεκειίσζε ην ζύζηεκα πάλσ ζηηο αλζξώπηλεο κεηξήζεηο θαη ηνπο αξηζκνύο Φηκπνλάηζη . Δπίζεο, πξόηεηλε ηελ εθαξκνγή ηεο ρξπζήο αλαινγίαο ζε αλζξώπηλεο αλαινγίεο: ρώξηζε ην ύςνο ελόο αλζξώπηλνπ κνληέινπ ζηνλ νκθαιό κε ηα δύν ηκήκαηα λα βξίζθνληαη ζε ρξπζή αλαινγία, θαηόπηλ ππνδηαίξεζε απηά ηα δύν ηκήκαηα ζε ρξπζή αλαινγία ζηα γόλαηα θαη ην ιαηκό θαη ρξεζηκνπνίεζε απηέο ηηο αλαινγίεο ζην Modulor ζύζηεκα ηνπ. Η Villa Stein ζηηο Garches πνπ ζρεδίαζε ν Λε Κνξκππδηέ ην 1927 απνηέιεζε παξάδεηγκα ηεο εθαξκνγήο ηνπ ζπζηήκαηνο ηνπ Modulor. Η νξζνγώληα θάηνςε ηεο βίιαο, ην πςόκεηξν, θαη ε εζσηεξηθή δνκή πξνζεγγίδνληαη από νξζνγώληα κε ρξπζέο αλαινγίεο.

Έλαο άιινο Διβεηόο αξρηηέθηνλαο, ν Μάξην Μπόηα (Mario Botta), βαζίδεη πνιιά από ηα ζρέδηά ηνπ ζε γεσκεηξηθά ζρήκαηα. Αξθεηέο ηδησηηθέο θαηνηθίεο πνπ ζρεδίαζε ζηελ Διβεηία απνηεινύληαη από ηεηξάγσλα θαη θύθινπο, θύβνπο θαη θπιίλδξνπο. ε έλα ζπίηη πνπ ζρεδίαζε ζην Origlio, ε ρξπζή αλαινγία είλαη ε αλαινγία κεηαμύ ηνπ θεληξηθνύ ηκήκαηνο θαη ησλ πιεπξηθώλ ηκεκάησλ ηνπ ζπηηηνύ.

ε έλα πξόζθαην βηβιίν, ν ζπγγξαθέαο Jason Elliot εηθάδεη όηη ε ρξπζή αλαινγία ρξεζηκνπνηήζεθε από ηνπο ζρεδηαζηέο ηνπ Naqsh-e Jahan Square θαη ηνπ παξαθείκελνπ Lotfollah ηδακηνύ .

Ζωγραφική

Ο θηιόζνθνο Υάηλξηρ Κνξλέιηνπο Αγθξίπα ηνπ 16νπ αηώλα δσγξάθηζε έλαλ άλζξσπν πάλσ ζ'έλα πεληάγξακκν κέζα ζε έλα θύθιν, γεγνλόο πνπ ζπλεπάγεηαη κηα ζρέζε κε ηε ρξπζή αλαινγία. Οη εηθνλνγξαθήζεηο ηνπ Λενλάξλην ληα Βίληζη ζηα πνιύεδξα ζηελ De divina proportione (Στελ ζεϊθή αλαιογία) θαη νη απόςεηο ηνπ όηη νξηζκέλεο ζσκαηηθέο αλαινγίεο εκθαλίδνπλ ηελ ρξπζή αλαινγία έρνπλ νδεγήζεη νξηζκέλνπο επηζηήκνλεο λα εηθάδνπλ όηη ελζσκάησζε ηε ρξπζή αλαινγία ζηα έξγα ηνπ. Ωζηόζν, ε άπνςε όηη ζηελ Μόλα Λίδα , γηα παξάδεηγκα, ρξεζηκνπνηεί ρξπζή αλαινγία, δελ ππνζηεξίδεηαη ζε θαλέλα από ηα θείκελα ηνπ. Οκνίσο, αλ θαη ν Άλζρωπος τοσ Βητρούβηοσ ζπρλά θαίλεηαη λα είλαη ζπλδεδεκέλνο κε ηε ρξπζή αλαινγία, νη αλαινγίεο ηνπ ζρήκαηνο ζηελ πξαγκαηηθόηεηα δελ ηαηξηάδνπλ κε απηήλ ηελ άπνςε, θαη ην θείκελν αλαθέξεη κόλν αλαινγίεο αθεξαίσλ αξηζκώλ.

Ο αιβαδόξ Νηαιί, επεξεαζκέλνο από ηα έξγα ηνπ Matila Ghyka, ρξεζηκνπνίεζε ξεηά ηε ρξπζή αλαινγία ζην αξηζηνύξγεκά ηνπ,The Sacrament of the Last Supper (Το Μσστήρηο τοσ Μσστηθού Γείπλοσ). Οη δηαζηάζεηο ηνπ θακβά είλαη έλα ρξπζό νξζνγώλην. Έλα ηεξάζηην δσδεθάεδξν, κε ηελ πξννπηηθή ηα άθξα λα εκθαλίδνληαη ζε ρξπζή αλαινγία κεηαμύ ηνπο, αλαζηέιιεηαη πάλσ θαη πίζσ από ηνλ Ιεζνύ.

Έρεη εηπσζεί όηη ν Πεη Μνληξηάλ έρεη ρξεζηκνπνηήζεη ηελ ρξπζή ηνκή εθηελώο ζηα γεσκεηξηθά έξγα ηνπ, αλ θαη άιινη εκπεηξνγλώκνλεο (ζπκπεξηιακβαλνκέλσλ ηνπ θξηηηθνύ Yve-Alain Bois) έρνπλ ακθηζβεηήζεη ηνλ ηζρπξηζκό απηό.

ε κηα ζηαηηζηηθή κειέηε ζε 565 έξγα ηέρλεο δηαθόξσλ ζπνπδαίσλ δσγξάθσλ, ε νπνία δηελεξγήζεθε ην 1999, δηαπηζηώζεθε όηη απηνί νη θαιιηηέρλεο δελ είραλ ρξεζηκνπνηήζεη ηε ρξπζή αλαινγία σο πξνο ην κέγεζνο ησλ θακβάδσλ ηνπο. Η κειέηε θαηέιεμε ζην ζπκπέξαζκα όηη ε κέζε αλαινγία ησλ δύν πιεπξώλ ησλ έξγσλ δσγξαθηθήο είλαη 1,34, κε ην κέζν όξν γηα κεκνλσκέλνπο θαιιηηέρλεο λα θπκαίλεηαη από 1,04 (Γθόγηα) ζε 1,46 (Μπειιίλη).

Μουσική

Ο Ernő Lendvai αλαιύεη ηα έξγα ηνπ Μπέια Μπάξηνθ ζαλ λα είλαη βαζηζκέλα ζε δύν αληηηηζέκελα ζπζηήκαηα,ηεο ρξπζήο αλαινγίαο θαη ηεο αθνπζηηθήο θιίκαθαο , αλ θαη άιινη επηζηήκνλεο κνπζηθήο απνξξίπηνπλ ηελ αλάιπζε απηή. ην Music for Strings,Percussion and Celesta ηνπ Bartok, ε εμέιημε ηνπ μπιόθσλνπ ζπκβαίλεη ζηα δηαζηήκαηα 1:2:3:5:8:5:3:2:1.Ο Γάιινο ζπλζέηεο Δξίθ αηηέ ρξεζηκνπνίεζε ηε ρξπζή αλαινγία ζε πνιιά από ηα θνκκάηηα ηνπ, ζπκπεξηιακβαλνκέλνπ ηνπ Sonneries de la Rose + Croix. Η ρξπζή αλαινγία είλαη επίζεο εκθαλήο ζηελ νξγάλσζε ησλ ηκεκάησλ ζηε κνπζηθή ηνπ Κισλη Νηεκππζζύ Reflets dans l'eau (Αλταλαθιάσεης στο λερό), από ηηο Δηθόλες (1ε ζεηξά, 1905), ζηηο νπνίεο «ε αθνινπζία ησλ πιήθηξσλ ραξαθηεξίδεηαη από ηα δηαζηήκαηα 34, 21, 13 θαη 8, θαη ε θύξηα θνξύθσζε εκθαλίδεηαη ζηελ ζέζε ηνπ θ "Ο κνπζηθνιόγνο Roy Howat έρεη παξαηεξήζεη όηη ηα ηππηθά όξηα ηεο La Mer αληηζηνηρνύλ αθξηβώο ζηε ρξπζή ηνκή. Ο Trezise βξίζθεη ηα εγγελή ζηνηρεία «αμηνζεκείσηα», αιιά πξνεηδνπνηεί όηη θαλέλα γξαπηό ή αλαθεξόκελν ζηνηρείν δελ δείρλεη όηη ν Debussy αλαδεηνύζε ζπλεηδεηά ηέηνηεο αλαινγίεο.

Η εηαηξία Pearl Drums ηνπνζεηεί ηνπο αεξαγσγνύο ησλ Masters Premium κνληέισλ ηεο κε βάζε ηε ρξπζή αλαινγία. Η εηαηξεία ηζρπξίδεηαη όηη ε ξύζκηζε απηή βειηηώλεη ηελ απόθξηζε ησλ κπάζσλ θαη έρεη ππνβάιεη αίηεζε γηα δίπισκα επξεζηηερλίαο γηα απηή ηελ θαηλνηνκία.

Υύση

Ο Adolf Zeising, ηνπ νπνίνπ ηα θύξηα ελδηαθέξνληα ήηαλ ηα καζεκαηηθά θαη ε θηινζνθία, παξαηήξεζε ηε ρξπζή αλαινγία λα είλαη εθθξαζκέλε ζηε δηάηαμε ησλ θιαδηώλ,αλάκεζα ζηνπο κίζρνπο ησλ θπηώλ θαη ηηο θιέβεο ζηα θύιια. Δπέθηεηλε ηελ έξεπλα ηνπ ζηνπο ζθειεηνύο ησλ δώσλ θαη ζηηο δηαθιαδώζεηο ησλ θιεβώλ θαη ησλ λεύξσλ ηνπο, κε ηηο αλαινγίεο ησλ ρεκηθώλ ελώζεσλ θαη ηε γεσκεηξία ησλ θξπζηάιισλ, αθόκε θαη κε ηε ρξήζε ηεο αλαινγίαο ζε θαιιηηερληθέο πξνζπάζεηεο. ε απηά ηα θαηλόκελα είδε ηε ρξπζή αλαινγία λα ιεηηνπξγεί ζαλ θαζνιηθόο λόκνο. ρεηηθά κε ην ζρέδηό ηνπ γηα ηελ ρξπζή αλαινγία κε βάζε ηηο αλζξώπηλεο αλαινγίεο ηνπ ζώκαηνο,ν Zeising έγξαςε ην 1854 γηα έλα θαζνιηθό δίθαην "ζην νπνίν πεξηέρεηαη ην έδαθνο-αξρή ηεο όιεο πξνζπάζεηαο γηα ηελ νκνξθηά θαη ηελ πιεξόηεηα ζηελ ζθαίξα ηόζν ηεο θύζεο όζν θαη ηεο ηέρλεο, θαη ην νπνίν δηαπεξλά, σο πςίζηεο ζεκαζίαο πλεπκαηηθό ηδεώδεο, όιεο ηηο δνκέο, κνξθέο θαη αλαινγίεο, είηε θνζκηθέο είηε κεκνλσκέλεο, νξγαληθέο ή αλόξγαλεο, ερεηηθέο ή νπηηθέο.Καη ην νπνίν βξίζθεη ηελ πιεξέζηεξε πινπνίεζε, σζηόζν, ζηελ αλζξώπηλε κνξθή.

Σν 2010, ην πεξηνδηθό Science αλέθεξε όηη ε ρξπζή αλαινγία είλαη παξνύζα ζε αηνκηθή θιίκαθα ζην καγλεηηθό ζπληνληζκό ησλ πεξηζηξνθώλ ζηνπο θξπζηάιινπο θνβαιηίνπ ληνβίνπ.

Αξθεηνί εξεπλεηέο έρνπλ πξνηείλεη ζπλδέζεηο κεηαμύ ηεο ρξπζήο αλαινγίαο θαη ηνπ αλζξώπηλνπ DNA.

Ωζηόζν, νξηζκέλνη εξεπλεηέο ππνζηεξίδνπλ όηη πνιιέο από ηηο εκθαλείο πεξηπηώζεηο ηεο ρξπζήο ηνκήο ζηε θύζε, ηδίσο ζε ζρέζε κε ηηο δηαζηάζεηο ησλ δώσλ, ζηελ πξαγκαηηθόηεηα είλαη θαληαζηηθέο.

Πόρισμα του ότι ο √5 είναι άρρητος

Άιιε κηα ζύληνκε απόδεημε—ίζσο πην δηαδεδνκέλε—ηνπ όηη ε ρξπζή ηνκή είλαη

άξξεηνο αξηζκόο, είλαη απηή πνπ ρξεζηκνπνηεί ην όηη ην ζύλνιν ησλ ξεηώλ είλαη

"θιεηζηό" σο πξνο ηελ ζπλήζε πξόζζεζε θαη ηνλ ζπλήζε πνιιαπιαζηαζκό (ην γηλόκελν

ξεηώλ είλαη ξεηόο θαη ην άζξνηζκα ησλ ξεηώλ επίζεο). Αλ ν 1 + 5 2 {\displaystyle

\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} είλαη ξεηόο, ηόηε θαη ν 2 ( 1 + 5 2 − 1 2 ) = 5

{\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt

{5}}} είλαη επίζεο ξεηόο, ην νπνίν όκσο είλαη αληίζεην κε ην γεγνλόο όηη μέξνπκε πσο ε

ηεηξαγσληθή ξίδα όισλ ησλ κε-ηεηξάγσλσλ θπζηθώλ είλαη άξξεηνο.

Σετραγωνικός αριθμός

Τετραγωνικός αριθμός

ηα καζεκαηηθά, α τετραγωνικός αριθμός, κεξηθέο θνξέο επίζεο θάιεζε ην α τέλειο

τετράγωνο, είλαη αθέξαηνο αξηζκόο απηόο κπνξεί λα γξαθηεί σο ηεηξάγσλν από θάπνην

άιιν αθέξαην αξηζκό. (Με άιια ιόγηα, έλαο αξηζκόο ν νπνίνο ηεηξαγσληθή ξίδα είλαη έλαο

αθέξαηνο αξηζκόο.) Σόζν παξαδείγκαηνο ράξηλ, 9 είλαη έλαο ηεηξαγσληθόο αξηζκόο

δεδνκέλνπ όηη κπνξεί λα γξαθηεί σο 3 Υ 3. Δάλ νη ινγηθνί αξηζκνί ζπκπεξηιακβάλνληαη,

θαηόπηλ ε αλαινγία δύν ηεηξαγσληθώλ αθέξαησλ αξηζκώλ είλαη επίζεο έλα ηεηξάγσλν

(ε.γ. 2/3 Υ 2/3 = 4/9).

Σα πξώηα 30 ηεηξάγσλα (αθνινπζία A000290 OEIS) είλαη:

12 = 1 , 22 = 4 , 32 = 9 , 42 = 16 , 52 = 25 , 62 = 36 , 72 = 49 , 82 = 64 , 92 = 81 , 102= 100, 112 = 121 , 122 = 144 , 132 = 169 , 142 =196 , 152 = 225 , 162 = 256 , 172 = 289 , 182 = 324 , 192 = 361 , 202 = 400 , 212 = 441 , 222 = 484 , 232 = 529 , 242 = 576 , 252 = 625 , 262 = 676 , 272 = 729 , 282 = 784 , 292 = 841 , 302 = 900

Ο ηύπνο γηα λν ηεηξαγσληθόο αξηζκόο ζνξίνπ είλαη λ2. Απηό είλαη επίζεο ίζν κε ην πνζό ηνπ πξώηνπ λ πεξίεξγνη αξηζκνί (<math>ξ2 = \sum_1^n(2n-1)< /math>), όπσο κπνξεί λα δεη ζηηο αλσηέξσ εηθόλεο, όπνπ έλα ηεηξάγσλν πξνθύπηεη από ηνλ πξνεγνύκελν κε ηελ πξνζζήθε ελόο πεξίεξγνπ αξηζκνύ ζεκείσλ (πνπ ραξαθηεξίδνληαη όπσο "+"). Σόζν παξαδείγκαηνο ράξηλ, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

λν ηεηξαγσληθόο αξηζκόο ζνξίνπ κπνξεί λα ππνινγηζηεί από πξνεγνύκελα ηα δύν κε ηελ πξνζζήθε λ-1ηεηξάγσλν ζνξίνπ ζε ην, αθαίξεζε Ν2ηεηξαγσληθόο αξηζκόο ζνξίνπ, θαη πξνζζέηνληαο 2 (<math>ξ2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2< /math>). Παξαδείγκαηνο ράξηλ, 2Υ52 - 42 + 2 = 2Υ25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36 = 62.

Έλαο ηεηξαγσληθόο αξηζκόο είλαη επίζεο ην πνζό δύν δηαδνρηθώλ ηξηγσληθνί αξηζκνί. Σν πνζό δύν δηαδνρηθώλ ηεηξαγσληθώλ αξηζκώλ είλαη α θεληξνζεηεκέλνο ηεηξαγσληθόο αξηζκόο. Κάζε πεξίεξγν ηεηξάγσλν είλαη επίζεο α θεληξνζεηεκέλνο νθηάγσλνο αξηζκόο.

Lagrangε ηεηξάγσλν ζεώξεκα δειώλεη όηη νπνηνζδήπνηε ζεηηθόο αθέξαηνο αξηζκόο κπνξεί λα γξαθηεί σο πνζό 4 ή ιηγόηεξσλ ηέιεησλ ηεηξαγώλσλ. 3 ηεηξάγσλα δελ είλαη ηθαλνπνηεηηθά γηα ηνπο αξηζκνύο ηεο κνξθήο 4Κ(8κ + 7). Έλαο ζεηηθόο αθέξαηνο αξηζκόο κπνξεί λα αληηπξνζσπεπζεί σο πνζό δύν ηεηξαγώλσλ αθξηβώο εάλ ηνπ πξσηαξρηθή παξαγνληνπνίεζε δελ πεξηέρεη θακία πεξίεξγε δύλακε εκππξεπκαηίδεη ηεο κνξθήο 4Κ+ 3. Απηό είλαη γεληθεπκέλν θνληά Να πξνζέμεη ην πξόβιεκα.

Έλαο ζεηηθόο αθέξαηνο αξηζκόο πνπ δελ έρεη θαλέλα ηέιεην ηεηξάγσλν δηαηξέηεο εθηόο από 1 θαιείηαη ηεηξαγσληθόο-ειεύζεξνο.

Από ην πξντόλ δύν αξλεηηθνί αξηζκνί είλαη ζεηηθόο, θαη ην πξντόλ δύν ζεηηθνί αξηζκνί είλαη επίζεο ζεηηθόο, αθνινπζεί όηη θαλέλαο ηεηξαγσληθόο αξηζκόο δελ είλαη αξλεηηθόο. Απηό έρεη ηηο ζεκαληηθέο ζπλέπεηεο. Αθνινπζεί, εηδηθόηεξα, όηη αξηζ. ηεηξαγσληθή ξίδα κπνξέζηε λα ιεθζείηε ελόο αξλεηηθνύ αξηζκνύ κέζα ζην ζύζηεκα πξαγκαηηθνί αξηζκνί. Απηό αθήλεη έλα ράζκα ζην πξαγκαηηθό ζύζηεκα αξηζκνύ πνπ νη καζεκαηηθνί γεκίδνπλ κε λα ζέζνπλ σο αίηεκα θαληαζηηθνί αξηζκνί, αξρίδνληαο κε η, όπνηα από ηε ζύκβαζε είλαη ε ηεηξαγσληθή ξίδα -1.

Η ηαθηνπνίεζε είλαη επίζεο ρξήζηκε γηα ηνπο ζηαηηζηηθνύο ζηνλ θαζνξηζκό ζηαζεξή απόθιηζε από έλαλ πιεζπζκό ή δείγκα από ην ηνπ ζεκάλεηε. Κάζε ζηνηρείν αθαηξείηαη από ην κέζν όξν, θαη ην απνηέιεζκα ηαθηνπνηείηαη. Καηόπηλ έλαο κέζνο όξνο ιακβάλεηαη ηνπ λένπ ζπλόινπ αξηζκώλ (θάζε έλαο ηνπ νπνίνπ είλαη ζεηηθόο). Απηόο ν κέζνο όξνο είλαη δηαθνξά, θαη ε ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο είλαη ε ζηαζεξή απόθιηζε -- ζηε ρξεκαηνδόηεζε, αζηάζεηα.

Έλαο εύθνινο ηξόπνο λα βξεζνύλ νη ηεηξαγσληθνί αξηζκνί είλαη λα βξεζνύλ δύν αξηζκνί πνπ έρνπλ έλαλ κέζν όξν από ην, 212:20 θαη 22, θαη πνιιαπιαζηάζηε έπεηηα ηνπο δύν αξηζκνύο καδί θαη πξνζζέζηε ην ηεηξάγσλν ηεο απόζηαζεο από ην κέζν όξν: 22x20=440+12= 441. Απηή ε εξγαζία ιόγσ ηεο ηαπηόηεηαο

(Υ- y)(x+y)=x2- Τ2

γλσζηόο σο δηαθνξά δύν ηεηξαγώλσλ. Καηά ζπλέπεηα (21-1)(21+1)=212-12= 440, εάλ εξγάδεζηε πξνο ηα πίζσ.

Σέλειος αριθμός

Τέλειος ιέγεηαη έλαο θπζηθόο αξηζκόο όηαλ ην άζξνηζκα ησλ δηαηξεηώλ ηνπ, εθηόο ηνπ αξηζκνύ, είλαη ίζν ηνλ αξηζκό δει. ν n είλαη ηέιεηoο αλ θαη κόλν αλ ζ(n) = 2n.

Ο κηθξόηεξνο ηέιεηνο αξηζκόο είλαη ν 6. Οη δηαηξέηεο ηνπ 6 είλαη νη 1, 2, 3 θαη ην άζξνηζκα απηώλ είλαη ίζν κε 6 (1+2+3=6). Άιινη ηέιεηνη αξηζκνί είλαη νη 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 θαη ν 8128. Απηνί είλαη θαη νη κόλνη γλσζηνί ηέιεηνη θαηά ηελ αξραηόηεηα.

Ο επόκελνο ηέιεηνο αξηζκόο είλαη ν 33.550.336 θαη αθνινπζνύλ νη 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128, 2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176, 191.561.942.608.236.107.294.793.378.084.303.638.130.997.321.548.169.216.

Άρτιοι τέλειοι αριθμοί

Ο Δπθιείδεο αλαθάιπςε όηη νη ηέζζεξηο πξώηνη ηέιεηνη αξηζκνί παξάγνληαη από ηνλ ηύπν 2n−1(2n − 1):

Γηα n = 2: 21(22 − 1) = 6

Γηα n = 3: 22(23 − 1) = 28

Γηα n = 5: 24(25 − 1) = 496

Γηα n = 7: 26(27 − 1) = 8128

Παξαηεξώληαο όηη ηα n ζηνλ παξαπάλσ ηύπν είλαη πξώηνη αξηζκνί, ν Δπθιείδεο απέδεημε όηη ν ηύπνο 2n−1(2n − 1) δίλεη έλαλ άξηην ηέιεην αξηζκό όηαλ ην 2n − 1 είλαη πξώηνο.

Οη Αξραίνη Έιιελεο καζεκαηηθνί έθαλαλ θαη άιιεο εηθαζίεο γηα ηνπο ηέιεηνπο αξηζκνύο από ηηο νπνίεο όκσο νη πεξηζζόηεξεο απνδείρζεθαλ ιαλζαζκέλεο.

Δίλαη εύθνιν λα δεηρζεί όηη αλ ν 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} είλαη πξώηνο, ηόηε ν n {\displaystyle n} είλαη πξώηνο, ρσξίο όκσο λα ηζρύεη θαη ην αληίζηξνθν. Οη πξώηνη αξηζκνί ηεο κνξθήο 2n − 1 είλαη γλσζηνί σο πξώηνη ηνπ Μεξζέλ (Mersenne), από ην όλνκα ηνπ Μαξίλ Μεξζέλ πνπ έδεζε ηνλ 17ν αηώλα θαη ηνπο κειέηεζε πξώηνο.

Γύν ρηιηάδεο ρξόληα κεηά ηνλ Δπθιείδε, ν Όηιεξ (Euler) απέδεημε όηη ν ηύπνο 2n−1(2n − 1) καο δίλεη όινπο ηνπο άξηηνπο ηέιεηνπο αξηζκνύο. Σν απνηέιεζκα απηό είλαη γλσζηό ζαλ Θεώξεκα Δπθιείδε-Όηιεξ.

Μέρξη ζήκεξα, κε ηε βνήζεηα ειεθηξνληθώλ ππνινγηζηώλ, είλαη γλσζηνί 48 πξώηνη ηνπ Μεξζέλ θαη άξα θαη 48 άξηηνη ηέιεηνη αξηζκνί. Ο κεγαιύηεξνο από απηνύο - ν 48νο - απνηειείηαη από 17.425.170 ςεθία. Γελ είλαη γλσζηό αλ ππάξρνπλ άπεηξνη πξώηνη ηνπ Μεξζέλ. Σν ζύζηεκα GIMPS αζρνιείηαη κε ηελ εύξεζε πξώησλ ηνπ Μεξζέλ.

Περιττοί τέλειοι αριθμοί

Είναι άγνωστο αν υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί. Τπάρχουν ωστόσο μια σειρά αποτελέσματα χωρίς όμως οι μαθηματικοί να έχουν φτάσει στην απάντηση της ερώτησης αν υπάρχουν ή όχι.

Σα μέχρι σήμερα γνωστά αποτελέσματα μας λένε ότι κάθε περιττός τέλειος αριθμός N πρέπει να είναι της μορφής 12m + 1 ή 36m + 9 και να ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:N είναι της μορφής

N = q α p 1 2 e 1 … p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}

όπου q, p1, …, pk είναι διαφορετικοί πρώτοι και q ≡ α ≡ 1 (mod 4) (ιλερ).

την παραπάνω παραγοντοποίηση, ο k είναι τουλάχιστον 8, και ο k είναι τουλάχιστον 11 αν το 3 δεν διαιρεί το N (Nielsen 2006).

την παραπάνω παραγοντοποίηση, ένας τουλάχιστον από τους e 1 , e 2 , … e k {\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots e_{k}} είναι μεγαλύτερος από 1. (Steuerwald 1937)

Ο μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 108 (Takeshi Goto and Yasuo Ohno, 2006).

Ο δεύτερος μεγαλύτερος πρώτος που διαιρεί το N είναι μεγαλύτερος από 104 , και ο τρίτος μεγαλύτερος πρώτος είναι μεγαλύτερος από 100 (Iannucci 1999, 2000).

Ο N έχει τουλάχιστον 75 πρώτους στην παραγοντοποίησή του, υπολογίζοντας κάθε μια από τις 2ek επαναλήψεις του pk χωριστά (Kevin Hare 2005).

Ο N είναι μικρότερος από 2 4 n {\displaystyle 2^{4^{n}}} όπου n είναι ο αριθμός των διακεκριμένων πρώτων που τον διαιρούν (οπότε n = k + 1 όπου k όπως πριν) (Nielsen 2003).

Αν ο N υπάρχει, τότε είναι μεγαλφτεροσ από 10500 ςφμφωνα με τουσ υπoλογιςμοφσ του

Σριγωνικοί αριθμοί

Ο n-νζηόο ηξηγσληθόο αξηζκόο Tn είλαη ην άζξνηζκα ησλ πξώησλ n αθεξαίσλ.

Tn=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2

π.ρ. T5=1+2+3+4+5=15.

Μπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηνπο ηξηγσληθνύο αξηζκνύο κε ηζόπιεπξα ηξίγσλα όπσο ην ζρήκα, όπνπ βιέπνπκε ηνλ T4. Γειαδή ν Tn είλαη ην πιήζνο ησλ θνπθίδσλ ζε έλα ηξηγσληθό ζρέδην όπσο ην δηπιαλό, κε n θνπθθίδεο ζηελ βάζε ηνπ, n-1 ζηελ επόκελε γξακκή, n-2 ζηελ επόκελε θ.ν.θ. κέρξη λα θηάζνπκε ζηελ θνξπθή όπνπ ζα ππάξρεη κόλν κία θνπθθίδα.

Θα απνδείμνπκε ηηο παξαθάησ ζρέζεηο κε ηελ βνήζεηα εηθόλωλ.

1. 3Tn+Tn−1=T2n

2. 3Tn+Tn+1=T2n+1

3. (2k+1)Tn+Tkn−1=T(k+1)n (γελίθεπζε ηεο 1.)

4. TnTk+Tn−1Tk−1=Tnk

(2k+1)Tn+Tkn−1=T(k+1)n

TnTk+Tn−1Tk−1=Tnk

3Tn+Tn+1=T2n+1

3Tn+Tn−1=T2n

ΑΡΙΘΜΟ 4

Αριθμος 4 Σι σχέση έχει ο αριθμός 4 με την ζωή μας, τη δουλειά μας και την εξέλιξή μας; Υαίνεται πως αυτός ο αριθμός είναι ένα από τα θεμέλια του κόσμου μας. Για να θυμηθούμε: 4 στοιχεία της φύσης, 4 γωνιές του κόσμου, 4 σημεία του ορίζοντα. Πολλές φορές αντιμετωπίσουμε τον αριθμό 4 στη ζωή μας, και μάλιστα με θεμελιώδεις έννοιες, καθώς φαίνεται ότι με το 4 γίνονται όλες οι βασικές και στέρεες δομές. Ας θυμηθούμε τα 4 ευαγγέλια, το τετραγράμματο του Θεού, και την τετράγωνη λογική. Μέσα στην πολυπλοκότητα και την χαοτική κατάσταση που φαίνεται να χαρακτηρίζει τη δομή και τη λειτουργία του ύμπαντος, ο ανθρώπινος νους, προσπαθώντας να βάλει μια τάξη, έχει ανακαλύψει κάποιες μαθηματικές αρμονίες που διέπουν το ύμπαν . Έτσι ο νους βάζει τάξη στο χάος και κατανοεί τη φύση . Έτσι τα τελευταία χρόνια, η σύγχρονη επιστήμη, μέσω της παρατήρησης της προσπαθώντας να κατανοήσει το «ακατανόητο». Μια τέτοια μελέτη δείχνει ότι οι βιολογικοί οργανισμοί και η ανάπτυξή τους βασίζεται κατά πολύ στον αριθμό 4. Ο ρόλος του αριθμού 4, είναι φανερός στη φύση και είχε επισημανθεί και στην αρχαιότητα. Σο έτος διαιρείται σε 4 εποχές, 4 είναι τα σημεία του ορίζοντα, 4 είναι οι φάσεις της ελήνης, ενώ 4 ήταν και τα στοιχεία της φύσης όπως τα έβλεπαν οι αρχαίοι Έλληνες (και όχι μόνο): Γη, Νερό, Αέρας και Υωτιά . Επιστρέφοντας στη σύγχρονη εποχή, ο Geoffrey West, ερευνητής του επιστημονικού εργαστηρίου του Los Alamos, ανακάλυψε ένα άλλο ρόλο του αριθμού 4, μελετώντας την ανάπτυξη και τον μεταβολισμό των ζωντανών οργανισμών. Ο West μελέτησε πώς κάποιοι μηχανισμοί στα ζώα, όπως ο μεταβολισμός, διαφέρουν ανάλογα με το μέγεθος του κάθε είδους. Ένα συμπέρασμά του ήταν ο ρυθμός της αύξησης του μεταβολισμού (δηλ. ο ρυθμός με τον οποίο τα κύτταρα καταναλώνουν ενέργεια), περνώντας από τα μικρά ζώα στα πιο μεγαλόσωμα, έχει μια σχέση αναλογίας 3 προς 4 (3/4

Έτσι τελικά επιβεβαίωσε το γεγονός ότι 1 γραμμάριο (απ' το σώμα) ενός ποντικού καταναλώνει τρεις φορές περισσότερη ενέργεια ανά δευτερόλεπτο, από 1 γραμμάριο σκύλου και εννιά φορές περισσότερη ενέργεια ανά δευτερόλεπτο από ενός ελέφαντα !!! Καθώς επίσης τα ζώα μεγαλώνουν, ο καρδιακός ρυθμός τους πέφτει, εκθετικά, με βάση το 4. Ένα ζώο 10.000 φορές βαρύτερο από κάποιο άλλο έχει καρδιακό παλμό 10 φορές πιο αργό από το μικρότερο ζώο. Αποτέλεσμα; Θα ζήσει περίπου δεκαπλάσιο χρόνο απ' το μικρό !!! Η έρευνα του West επεκτάθηκε και σε άλλα βιολογικά συστήματα και οδήγησε στη διατύπωση μιας σειράς Νόμων που ονόμασε «Νόμους αλλομετρικής κλίμακας». ε όλους αυτούς τους νόμους θεμελιώδη ρόλο παίζει πάντα ο αριθμός 4. λοι οι οργανισμοί συμπεριφέρονται σαν να ζουν σ' ένα χώρο όχι τριών διαστάσεων όπως κοινώς αντιλαμβανόμαστε, αλλά τεσσάρων όπως προβλέπει και η Θεωρία της χετικότητας του Αϊνστάιν. Ο West θεωρεί ότι ίσως η φύση να εκφράζεται μέσα από τον αριθμό 4 και γενικά μέσα από «τέταρτα», προσπαθώντας να ταιριάξει σ' ένα χώρο τεσσάρων διαστάσεων στον οποίο ζούμε. Μήπως τελικά να μην χαρακτηρίζονταν άδικα τα μαθηματικά, μια Ιερή Επιστήμη, από κάποιους αρχαίους πολιτισμούς; Ίσως στους αριθμούς να βρίσκεται το κλειδί για την κατανόηση της ζωής σ' όλα της επίπεδα, όπως δίδασκε πριν 2.500 χρόνια ο Πυθαγόρας.

Επιστρέφοντας στη σύγχρονη εποχή, ο Geoffrey West, ερευνητής του επιστημονικού εργαστηρίου του Los Alamos, ανακάλυψε ένα άλλο ρόλο του αριθμού 4, μελετώντας την ανάπτυξη και τον μεταβολισμό των ζωντανών οργανισμών. Ο West μελέτησε πώς κάποιοι μηχανισμοί στα ζώα, όπως ο μεταβολισμός, διαφέρουν ανάλογα με το μέγεθος του κάθε είδους. Ένα συμπέρασμά του ήταν ο ρυθμός της αύξησης του μεταβολισμού (δηλ. ο ρυθμός με τον οποίο τα κύτταρα καταναλώνουν ενέργεια), περνώντας από τα μικρά ζώα στα πιο μεγαλόσωμα, έχει μια σχέση αναλογίας 3 προς 4 (3/4). Έτσι τελικά επιβεβαίωσε το γεγονός ότι 1 γραμμάριο (απ' το σώμα) ενός ποντικού καταναλώνει τρεις φορές περισσότερη ενέργεια ανά δευτερόλεπτο, από 1 γραμμάριο σκύλου και εννιά φορές περισσότερη ενέργεια ανά δευτερόλεπτο από ενός ελέφαντα !!! Καθώς επίσης τα ζώα μεγαλώνουν, ο καρδιακός ρυθμός τους πέφτει, εκθετικά, με βάση το 4. Ένα ζώο 10.000 φορές βαρύτερο από κάποιο άλλο έχει καρδιακό παλμό 10 φορές πιο αργό από το μικρότερο ζώο. Αποτέλεσμα; Θα ζήσει περίπου δεκαπλάσιο χρόνο απ' το μικρό !!! Η έρευνα του West επεκτάθηκε και σε άλλα βιολογικά συστήματα και οδήγησε στη διατύπωση μιας σειράς Νόμων που ονόμασε «Νόμους αλλομετρικής κλίμακας». ε όλους αυτούς τους νόμους θεμελιώδη ρόλο παίζει πάντα ο αριθμός 4. λοι οι οργανισμοί συμπεριφέρονται σαν να ζουν σ' ένα χώρο όχι τριών διαστάσεων όπως κοινώς αντιλαμβανόμαστε, αλλά τεσσάρων όπως προβλέπει και η Θεωρία της χετικότητας του Αϊνστάιν. Ο West θεωρεί ότι ίσως η φύση να εκφράζεται μέσα από τον αριθμό 4 και γενικά μέσα από «τέταρτα», προσπαθώντας να ταιριάξει σ' ένα χώρο τεσσάρων διαστάσεων στον οποίο ζούμε. Μήπως τελικά να μην χαρακτηρίζονταν άδικα τα μαθηματικά, μια Ιερή Επιστήμη, από κάποιους αρχαίους πολιτισμούς; Ίσως στους αριθμούς να βρίσκεται το κλειδί για την κατανόηση της ζωής σ' όλα της επίπεδα, όπως δίδασκε πριν 2.500 χρόνια ο Πυθαγόρας.

ΑΡΙΘΜΟ 7

Αριθμος 7

Καταρχάς, ο αριθμός 7 έχει ξεχωριστή θέση και στην Παλαιά διαθήκη. Οι μέρες της Δημιουργίας ήταν 7, την 7η ημέρα έπλασε ο θεός τον άνθρωπο και η 7η ημέρα της Δημιουργίας είναι ημέρα ανάπαυσης και αργίας και συμβολίζει την ολοκλήρωση και την τελειότητα. Σο Πάσχα διαρκούσε 7 ημέρες. Ο Νώε έβαλε στην κιβωτό 7 ζεύγη ζώων και πτηνών, ενώ ο Κατακλυσμός άρχισε 7 μέρες μετά την είσοδο του Νώε στην κιβωτό. Σην 7η μέρα μετά τον Κατακλυσμό έστειλε ο Νώε το περιστέρι έξω και 7 ημέρες και 7 νύκτες ταξίδεψε το περιστέρι μέχρι να επιστρέψει στην Κιβωτό. Ο Υαραώ ονειρεύτηκε 7 παχιές και 7 αδύνατες αγελάδες, καθώς και 7 καρποφόρα και 7 άκαρπα στάχια. Η λυχνία του Μωυσή ήταν επτάφωτη. Ο βασιλιάς Δαβίδ 7 φορές την ημέρα υμνούσε το Θεό και 7 πλεξίδες είχαν τα μαλλιά του αμψών, που του έδιναν τη δύναμή. Ο αριθμός 7 χρησιμοποιείται στην Παλαιά Διαθήκη 70 φορές! την εκκλησία 7 είναι τα ιερά μυστήρια: Γάμος, Βάπτιση, Φρίσμα, Ευχέλαιο, Μετάληψη, Εξομολόγηση, Ιεροσύνη. 7 είναι τα θαύματα του Φριστού κατά τον Ευαγγελιστή Ιωάννη, 7 οι κύριες αρετές (ταπεινότητα, ευσπλαχνία, αγνότητα, φιλαλληλία, επιείκεια, καλοσύνη, εργατικότητα), 7 τα θανάσιμα αμαρτήματα ((φιλαργυρία, πορνεία, γαστριμαργία, φθόνος, οργή, ακηδία). Επίσης, 7 είναι οι ευχές που περιέχει το «Πάτερ ημών», 3 για το Θεό (αγιασθήτω το όνομά σου, ελθέτω η βασιλεία σου, γεννηθήτω το θέλημά σου) και 4 για τις ανάγκες του ανθρώπου (τον άρτον ημών δος, άφες τα οφειλήματα, μη εισενέγκεις εις πειρασμόν, ρύσαι από του πονηρού). Για τους Πυθαγόρειους ο αριθμός 7 είναι «αμήτωρ», αφού δεν είναι γινόμενο παραγόντων. Ακόμη είναι το σύμβολο της τελειότητας, γιατί είναι άθροισμα του 3 και του 4, που εκφράζουν τα δύο τέλεια γεωμετρικά σχήματα, το ισόπλευρο τρίγωνο και το τετράγωνο.

Οι Αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν το 7 ως μυστηριώδη αριθμό και για τις γεωμετρικές του ιδιότητες, επειδή 7 σημεία δε μπορούν να δημιουργήσουν συμμετρία σε ένα κύκλο! Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ακόμα τον αριθμό 7 ως εικόνα και πρότυπο της τάξης και της αρμονίας στη φύση. Ήταν ο αριθμός που περιλάμβανε δύο φορές τον ιερό αριθμό τρία (σύμβολο της θείας τριάδας σε όλους τους λαούς, χριστιανικούς και παγανιστικούς), στην οποία προστίθεται το ένα ή αλλιώς η θεία μονάδα (3Φ2+1=7). Η αρχαία Ελλάδα είχε 7 σοφούς (Θαλής, Βίας, Κλεόβουλος, Περίανδρος, Πιττακός, όλων και Φίλων) και η εκπαίδευση των αγοριών στην αρχαία πάρτη άρχιζε στα επτά τους χρόνια. Οι ελεύθερες τέχνες στην αρχαιότητα ήταν 7 (γραμματική, ρητορική, διαλεκτική, αριθμητική, γεωμετρία, μουσική, αστρονομία) και 7 τα θαύματα του αρχαίου κόσμου (Κολοσσός Ρόδου, πυραμίδα Φέοπος, Μαυσωλείο Αλικαρνασσού, Υάρος Αλεξάνδρειας, κρεμαστοί κήποι Βαβυλώνας, Άγαλμα του Δία στην Ολυμπία και Ναός της Αρτέμιδας στην Έφεσο). 7 στρατηγοί εκστρατεύσανε κατά της Θήβας στους «Επτά επί Θήβαις» του Αισχύλου (Άδραστος –Πολυνείκης – Συδέας – Αμφίαραος – Καπανέας – Ιππομέδοντας – Παρθενοπαίος) και 7 ήρωες (Ετεοκλής – Πολυφόντας – Μελάνιππος – Μεγαρέας – Όπερος – Λασθένης – Άκτορας) υπερασπίστηκαν τις 7 πύλες της Θήβας.

Η Ρώμη χτίστηκε πάνω σε επτά λόφους, όπως και η Κωνσταντινούπολη, που

είχε και επτά ονόματα (Βυζάντιο, Νέα Ρώμη, Αντωνία, Θησαυρός του Ισλάμ,

Διαχωριστής του Κόσμου, Ινσταμπούλ, και Κωνσταντινούπολη.), πολιορκήθηκε

από τους Μωαμεθανούς 7 φορές και αλώθηκε μετά από 7 εβδομάδες από τον

έβδομο ουλτάνο των Οσμανιδών. Σα χρώματα του φάσματος και του

ουράνιου τόξου είναι7 (κόκκινο, πορτοκαλί, κίτρινο, πράσινο, γαλάζιο,

βαθυγάλαζο, βιολετί). Τπάρχουν μάλιστα βάσιμες υποψίες ότι ο Νεύτων, που

μίλησε πρώτη φορά για τα χρώματα, διέκρινε έξι χρώματα και πρόσθεσε το

χρώμα indigo – βαθυγάλαζο, λουλακί – για να συμπληρωθεί ο «μαγικός»

αριθμός επτά. Οι προαναφερόμενες είναι μόνο ορισμένες από τις αναφορές

για τον …. ιερό αριθμό 7, ο οποίος όπως φαίνεται «σημαδεύει» τη ζωή μας από

την αρχαιότητα έως σήμερα με το δικό του ξεχωριστό τρόπο.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΥΙΑ

Βιβλία

Asimov, Isaac. Πως βρήκαμε τους αριθμούς. Αθήνα: Πανεπιστημιακός Σύπος, [198-?].

French, Vivian – Collins, Ross. Από το μηδέν στο δέκα : Η ιστορία των αριθμών. Αθήνα: Καστανιώτης, 2003.

Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάνικα. Αθήνα: Πάπυρος, [1997], τ.40, σ.10-17.

Εκπαιδευτική Ελληνική Εγκυκλοπαίδεια: Μαθηματικά – Υυσική – Φημεία Α. Αθήνα: Εκδοτική Αθηνών, c1991, τ.14, σ.10-17.

Μαθηματικά Α΄ γυμνασίου. 2η έκδ. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων (Ο.Ε.Δ.Β.), 2011.

Πρώτη: Παγκόσμια νεοελληνική εγκυκλοπαίδεια. Θεσσαλονίκη: Εκδοτική Πρώτη, 1983-1984, τ.13, σ.198-204.

Ιστοσελίδες

http://blogs.sch.gr/ekoukogia/files/2014/05 Η-εργασία-Ιστορία-των-αριθμών.pdf

https://www.aegean.gr/lykpeir/synergasies/SE ΙΣΟΡΙΑ ΚΑΙ ΓΡΑΥΗ ΣΨΝ ΑΡΙΘΜΨΝ.html

http://mathcultures.weebly.com/906nukappaalphasigmaf.html

http://www.storyofmathematics.com/https://el.wikipedia.org/wiki/Αριθμός

http://www.otherside.gr/2011/03/arithmoi-poia-einai-i-proeleusi-tous-kai-ti-simainoun/

http://www.pagkritio.gr/files/items/1/144/ta_arithmitika_systimata.pdf