Ενότητα 3η : Εισαγωγή στη Θεωρία...

Ενότητα 3η : Εισαγωγή στη Θεωρία

Πιθανοτήτων

Στατιστική Ι, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ

Χ. Εμμανουηλίδης, [email protected]

1

Στατιστική Ι

Ενότητα 3: Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων

Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης

Επίκουρος Καθηγητής

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

1Χ. Εμμανουηλίδης, [email protected]Στατιστική Ι, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ

Θεματολογία

• Βασικές έννοιες: Τυχαία πειράματα,

αποτελέσματα, ενδεχόμενα

• Καταγραφή δειγματικού χώρου, κανόνες

απαρίθμησης

• Πράξεις ενδεχομένων

• Πιθανότητα, ορισμοί, λογισμός πιθανοτήτων

• Πιθανότητα υπό συνθήκη

• Στοχαστική ανεξαρτησία

Χ. Εμμανουηλίδης, [email protected] 2Στατιστική Ι, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ

Ένα κλασικό πείραμα

• Ποια είναι η πιθανότητα να λάβουμε την όψη

κεφαλή στη ρίψη ενός κανονικού νομίσματος;

• Ρίχνουμε το νόμισμα δύο φορές. Θα

λάβουμε μια φορά κεφαλή και μια φορά

γράμματα;

• Ποιο είναι το νόημα της παραπάνω

πιθανότητας;

Ένα κλασικό πείραμα

• Πολλές επαναλήψεις του πειράματος:

Αριθµός Ρίψεων ( n )

Αριθµός Κεφαλών / Αριθµός Ρίψεων

( fK / n )

0.000.00

0.250.25

0.500.50

0.750.75

1.001.00

00 2525 5050 7575 100100 125125

Πειράματα,

Αποτελέσματα, και Ενδεχόμενα

Πειράματα και Δειγματικοί Χώροι

• Τυχαίο Πείραμα

– Κάθε διαδικασία που παράγει συγκεκριμένες

παρατηρήσεις ή αποτελέσματα, με αβεβαιότητα ως

προς το ποιο αποτέλεσμα θα πραγματοποιηθεί.

• Δοκιμή

– Κάθε επανάληψη ενός τυχαίου πειράματος.

• Δειγματικό σημείο

– Κάθε στοιχειώδες αποτέλεσμα του πειράματος.

• Δειγματικός Χώρος (S)

– Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων.

PDF processed with CutePDF evaluation edition www.CutePDF.com

http://www.cutepdf.com





2

Πειράματα και Δειγματικοί Χώροι

Όψη στη ρίψη ενός νομίσματος Κεφαλή, Γράμματα

Όψεις στη ρίψη 2 νομισμάτων ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ

Λήψη ενός χαρτιού 2♥, 2♦, ..., A♠ (52)

Χρώμα στη λήψη ενός χαρτιού Κόκκινο, Μαύρο

Αποτέλεσμα ποδοσφαιρικού αγώνα Νίκη, Ήττα, Ισοπαλία

Έλεγχος ποιότητας Ελαττωματικό, Καλό

Παρατήρηση φύλου Αρσενικό, Θηλυκό

Παρατήρηση εισοδήματος R+

Πείραµα ∆ειγµατικός χώρος

Ενδεχόμενα

• Ενδεχόμενο

– κάθε υποσύνολο ενός δ.χ.

• Απλό ή στοιχειώδες ενδεχόμενο

– ενδεχόμενο που περιέχει μόνο ένα δειγματικό σημείο.

• Σύνθετο ενδεχόμενο

– ενδεχόμενο που περιέχει δύο ή περισσότερα δειγματικά σημεία.

• Γεγονός

– η πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου.

• Αδύνατο ενδεχόμενο

– ενδεχόμενο που δε μπορεί να συμβεί

• Βέβαιο ενδεχόμενο

– ενδεχόμενο που πάντοτε συμβαίνει

Ενδεχόμενα

Δειγματικός χώρος KK, KΓ, ΓΚ, ΓΓ

1 Κεφαλή και 1 Γράμματα ΚΓ, ΓΚ

Κεφαλή στο 1ο νόμισμα ΚΚ, ΚΓ

Τουλάχιστον 1 Κεφαλή ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ

Κεφαλή και στα 2 νομίσματα ΚΚ

Πείραµα: Ρίψη 2 νοµισµάτων.

Ενδεχόµενο Αποτελέσµατα

Καταγραφή Δειγματικού Χώρου

1. Καταγραφή σε λίστα

– S = {Κεφαλή, Γράμματα}

2. Διαγράμματα Venn

3. Διαγράμματα Δένδρου

4. Πίνακες Διπλής Εισόδου

5. Κανόνες Απαρίθμησης

Διαγράμματα Venn

SS

ΓράµµαταΓράµµατα

ΚΚΚΚ

ΓΓΓΓ

ΓΚΓΚΚΓΚΓ

∆ειγµατικός ΧώροςS = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ }

Αποτέλεσµα


Σύνθετο

Ενδεχόµενο

Διαγράμματα Δένδρου

Αποτέλεσµα

S = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ }∆ειγµατικός Χώρος


ΓΓ

ΚΚ

ΓΓ

ΚΚ

ΓΓ

ΚΚΚΚ

ΚΓΚΓ

ΓΚΓΚ

ΓΓΓΓ

ΚΚ





3

Κανόνες Απαρίθμησης

Οι βασικές μέθοδοι απαρίθμησης δειγματικών σημείων ή

ενδεχομένων είναι χρήσιμες σε περιπτώσεις προβλημάτων

όπου ο δ.χ. περιέχει πολλά δειγματικά σημεία που πρακτικά

δε μπορούν να απαριθμηθούν ένα προς ένα για τον

υπολογισμό πιθανοτήτων.

Βάση τους είναι η

Πολλαπλασιαστική αρχή

Πολλαπλασιαστική Αρχή

Πολλαπλασιαστική αρχή

Σε ένα πείραμα που περιλαμβάνει κ βήματα όπου

το πρώτο βήμα μπορεί να έχει n1 δυνατά

αποτελέσματα, το δεύτερο n2, …, και το τελικό βήμα

nκ αποτελέσματα, τότε ο συνολικός αριθμός των

αποτελεσμάτων του πειράματος είναι

n1

×××× n2

×××× … ×××× nκ


• Παράδειγμα:

– Επενδυτής επενδύει σε δύο μετοχές, του ΟΤΕ και της Ε.Τ.Ε. Ο

επενδυτής έχει υπολογίσει πως τα δυνατά αποτελέσματα της

επένδυσής του σε διάστημα 3ων μηνών από τώρα για κάθε

μετοχή είναι τα ακόλουθα:

Κέρδη ή Απώλειες

σε 3 Μήνες (σε € 000)

ΟΤΕ ΕΤΕ

10 8

5 -2

0

-20

Ποιο είναι το

σύνολο των

δυνατών

αποτελεσµάτων;



Η επένδυση μπορεί να ειδωθεί ως πείραμα δύο

βημάτων: ενέχει δύο μετοχές, καθεμιά με έναν

αριθμό δυνατών αποτελεσμάτων.

ΟΤΕ: n1 = 4

ΕΤΕ: n2 = 2

Συνολικός Αριθμός

Πειραματικών Αποτελεσμάτων: n1n2 = (4)(2) = 8



– Καταγραφή δ.χ. με διάγραμμα δένδρου:

ΟΤΕ

(Βήμα 1)

Κ 5Κ 5

Κ(έρδος) 10Κ(έρδος) 10

Α( ώλεια) 20Α( ώλεια) 20

Κ 0Κ 0




ΟΤΕ ΕΤΕ

(Βήμα 1 (Βήμα 2)

Κ 5Κ 5

Κ 8Κ 8

Κ 8Κ 8


Κ 8Κ 8

Κ 8Κ 8


Α 2Α 2

Α 2Α 2

Α 2Α 2

Α 2Α 2

ΠάγιαΠάγια





4




ΟΤΕ ΕΤΕ Πειραματικά

(Βήμα 1 (Βήμα 2) Αποτελέσματα

Κ 5Κ 5

Κ 8Κ 8

Κ 8Κ 8


Κ 8Κ 8

Κ 8Κ 8


Α 2Α 2

Α 2Α 2

Α 2Α 2

Α 2Α 2

ΠάγιαΠάγια

(10, 8) (10, 8) ΚέρδοςΚέρδος €€18,00018,000

(10, (10, --2) 2) Κέρδος Κέρδος €€8,0008,000

(5, 8) (5, 8) Κέρδος Κέρδος €€13,00013,000

(5, (5, --2) 2) Κέρδος Κέρδος €€3,0003,000

(0, 8) (0, 8) Κέρδος Κέρδος €€8,0008,000

(0, (0, --2) 2) Α ώλεια Α ώλεια €€2,0002,000

((--20, 8) 20, 8) Α ώλεια Α ώλεια €€12,00012,000

((--20, 20, --2)2) Α ώλεια Α ώλεια €€22,00022,000

Σύνθετα Ενδεχόμενα

• Τα σύνθετα ενδεχόμενα προκύπτουν από τις πράξεις ενδεχομένων:

– Τομή Ενδεχομένων

– Ένωση Ενδεχομένων

– Αμοιβαία Αποκλειόμενα Ενδεχόμενα

– Διαμερισμός δ.χ.

– Συμπληρωματικό Ενδεχόμενο

– Διαφορά ενδεχομένων

Τομή Ενδεχομένων

• Τομή Ενδεχομένων

– Το ενδεχόμενο που περιέχει τα αποτελέσματα που

ανήκουν και στο ενδεχόμενο Α και στο ενδεχόμενο Β

– Αντιστοιχεί στο λογικό ΚΑΙ

A B A A A An i

i

n

∩ ∩ ∩ ∩ ==

, ... 1 21

∩

Τομή Ενδεχομένων

SS

Τοµή (ΑΣΣΟΣ ∩∩∩∩ ΜΑΥΡΟ):

AΜ♣♣♣♣, AΜ♠♠♠♠

Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα.(Είδος, Χρώµα, Σύµβολο)

∆ειγµατικός

Χώρος:

2Κ♥♥♥♥, 2Κ♦♦♦♦, 2Μ♣♣♣♣,

..., AΜ♠♠♠♠ΑΣΣΟΣΑΣΣΟΣ

ΜΑΥΡΟΜΑΥΡΟ Ενδεχ.

ΜΑΥΡΟ:

2Μ♣♣♣♣,

2Μ♠♠♠♠, ...,

AΜ♠♠♠♠

Ενδεχόµενο ΑΣΣΟΣ:

AΚ♥♥♥♥, AΚ♦♦♦♦, AΜ♣♣♣♣, AΜ♠♠♠♠

Ένωση Ενδεχομένων

• Ένωση Ενδεχομένων


ανήκουν ή στο ενδεχόμενο Α ή στο ενδεχόμενο Β ή και στα

δύο

– Αντιστοιχεί στο λογικό Η

A B A A A An i

i

n

∪ ∪ ∪ ∪ ==

, ... 1 21

∪

Ένωση Ενδεχομένων

SS

ΜΑΥΡΟΜΑΥΡΟ

ΑΣΣΟΣΑΣΣΟΣ

Ενδεχόµενο (ΑΣΣΟΣ ∪∪∪∪ ΜΑΥΡΟ):

AΚ♥♥♥♥, ..., AΜ♠♠♠♠, 2Μ♣♣♣♣, ..., KΜ♠♠♠♠

Ενδεχ.

ΜΑΥΡΟ:

2Μ♣♣♣♣,

2Μ♠♠♠♠, ...,

AΜ♠♠♠♠


Χώρος:

2Κ♥♥♥♥, 2Κ♦♦♦♦, 2Μ♣♣♣♣,

..., AΜ♠♠♠♠

Ενδεχόµενο ΑΣΣΟΣ:

AΚ♥♥♥♥, AΚ♦♦♦♦, AΜ♣♣♣♣, AΜ♠♠♠♠

Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα.

(Είδος, Χρώµα, Σύµβολο)





5

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα

• Ασυμβίβαστα ή αμοιβαία αποκλειόμενα

– Ενδεχόμενα που δε μπορεί να συμβούν ταυτόχρονα

A B∩ = ∅

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα

SS

♥♥♥♥♥♥♥♥

♠♠♠♠♠♠♠♠Τα ενδεχόµενα ♠♠♠♠ και ♥♥♥♥ είναι Ασυµβίβαστα


Χώρος:

2♥♥♥♥, 2♦♦♦♦, 2♣♣♣♣,

..., A♠♠♠♠

Ενδεχ. ΜΠΑΣΤΟΥΝΙ:

2♠♠♠♠, 3♠♠♠♠, 4♠♠♠♠, ..., A♠♠♠♠

Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα.(Είδος, Σύµβολο)

Ενδεχόµενο

ΚOYΠΑ:

2♥♥♥♥, 3♥♥♥♥, 4♥♥♥♥,

..., A♥♥♥♥

Διαμερισμός Δειγματικού Χώρου

• Διαμερισμός δ.χ.

– Τα μη κενά ενδεχόμενα Α1, Α2, …, Αn για τα οποία ισχύει

για κάθε Αi , Aj , i,j=1,…,n, i≠ j

A A A Si j i

i

n

∩ = ∅ ==

, 1

∪

A1

A5 A

4

A2

A3

∆ιαµερισµός

δειγµατικού χώρου για n=5

Παράδειγμα:

Α1={ Χαρτί ♥}, S = {♥, ♦, ♣, ♠}

Α2={ Χαρτί ♦},

Α3={ Χαρτί ♣},

Α4={ Χαρτί ♠},

S = Α1 ∪ Α2 ∪ Α3 ∪ Α4 , Αi ∩ Αj =∅ , ∀ i≠ j

Διαμερισμός Δειγματικού Χώρου

Συμπληρωματικό Ενδεχόμενο

• Συμπλήρωμα

– Αν Β⊂ Α, το συμπλήρωμα του Β ως προς το Α είναι το

ενδεχόμενο που περιέχει τα αποτελέσματα του Α που δεν

ανήκουν στο Β :

BA

Το συµπλήρωµα του Β ως προς το δ.χ. S : B

Συμπληρωματικό Ενδεχόμενο

SS

MAYMAYΡΟΡΟ

Ενδεχόµενο ΜΑΥΡΟ:

2Μ♣♣♣♣, 2Μ♠♠♠♠, ..., AΜ♠♠♠♠

Συµπληρωµατικό Ενδεχόµενο, ΜΑΥΡΟ :

2Κ♥♥♥♥, 2Κ♦♦♦♦, ..., AΚ♥♥♥♥, Aκ♦♦♦♦

Πείραµα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα.(Είδος, Χρώµα, Σύµβολο)


Χώρος:

2Κ♥♥♥♥, 2Κ♦♦♦♦, 2Μ♣♣♣♣,

..., AΜ♠♠♠♠





6

Διαφορά Ενδεχομένων

• Διαφορά Ενδεχομένων


ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β :

A B−

A B BA− =Αν Β⊂ Α τότε

Διαφορά Ενδεχομένων


Α = { Χαρτί ΚΟΥΠΑ},

Β = { Χαρτί ΑΣΣΟΣ},

Α – Β = { Οι ΚΟΥΠΕΣ που δεν είναι ΑΣΣΟΣ }

Μερικές χρήσιμες ιδιότητες

( ) ( )

( ) ( )

A B B A

A B C A B C A B C

A B B A

A B C A B C A B C

∪ = ∪

∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪

∩ = ∩

∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩

Αντιµεταθετική ιδιότητα ένωσης

Προσεταιριστική ιδιότητα ένωσης

Αντιµεταθετική ιδιότητα τοµής

Προσεταιριστική ιδιότητα τοµής


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Α-Β Α Β

Αν , τότε

A B C A B A C

A B C A B A C

A B B A

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

= ∩

⊂ ⊂

Πρώτη Επιµεριστική ιδιότητα

∆εύτερη Επιµεριστική ιδιότητα


,

,

( )

( )

A A A

A S S A S A

A B A B

A B A B

∪ ∅ = ∩ ∅ = ∅

∪ = ∩ =

∪ = ∩

∩ = ∪

Πρώτος Κανόνας του De Morgan

∆εύτερος Κανόνας του De Morgan

Αρχή του δυϊσµού : Κάθε σχέση µεταξύ συνόλων εξακολουθεί να

ισχύει εάν αντικαταστήσουµε τις ενώσεις µε τις τοµές, τις τοµές µε

ενώσεις, τα σύνολα µε τα συµπληρώµατά τους και αντιστρέψουµε τη

φορά των συµβόλων περιεκτικότητας (εγκλεισµού) ⊂ και ⊃.

Πιθανότητες





7

Ορισμός της Πιθανότητας

Μαθηματικός Ορισμός της Πιθανότητας:

Αν S ο δ.χ. ενός πειράματος και U = {A: A ⊆ S} το σύνολο τωνδυνατών ενδεχομένων του, η πιθανότητα Ρ είναι κάθεσυνάρτηση Ρ: U→R, που ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα:

Αξιώματα της Πιθανότητας (Αξιώματα Kolmogorov)

Α1. Για κάθε ενδεχόμενο Α που ανήκει στο U, 0 ≤ P(Α) ≤ 1

Α2. P(S) = 1

Α3. Αν τα ενδεχόμενα Α1 και Α2 που ανήκουν στο U είναι

ασυμβίβαστα, τότε

P(Α1∪ Α2 ) = P( Α1 ) + P( Α2 )

Υπολογισμός Πιθανότητας

Τρόποι Υπολογισμού:

– Κλασική Μέθοδος (εκ των προτέρων)

• Βασίζεται στην παραδοχή της ίδιας δυνατότητας

εμφάνισης στοιχειωδών αποτελεσμάτων

– Εμπειρική Κλασική Μέθοδος (εκ των υστέρων)

• Βασίζεται σε επαναλαμβανόμενα πειράματα ή ιστορικά

δεδομένα

– Υποκειμενική Μέθοδος

• Βασίζεται στην κρίση του αναλυτή

Κλασική Μέθοδος

• Αν ένα πείραμα έχει n δυνατά στοιχειώδη αποτελέσματα,

τότε με την κλασική μέθοδο θεωρούμε πως κάθε στοιχειώδες

ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 1/n.

• Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α που περιέχει nA

σημεία

είναι

• Απαιτεί εκ των προτέρων γνώση του προβλήματος

• Ο υπολογισμός γίνεται πριν από την εκτέλεση του

πειράματος

του σηµείων νδειγµατικώ αριθµός

του σηµείων νδειγµατικώ αριθµός)(

S

Α

n

nAP A ==

Κλασική Μέθοδος

Παράδειγμα

Πείραμα: Ρίψη ζαριού

Δειγματικός Χώρος: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Πιθανότητες: κάθε δειγματικό σημείο έχει

πιθανότητα 1/6

Πιθανότητα ενδεχομένου Α = {1,2} :

Ρ(Α) = 2/6 = 0.33

Εμπειρική Κλασική Μέθοδος

• Σε επαναλήψιμα πειράματα παρατηρείται στατιστική

κανονικότητα στα αποτελέσματά τους:

– όσο αυξάνει ο αριθμός των επαναλήψεων, οι σχετικές συχνότητες

εμφάνισης των ενδεχομένων τείνουν σε συγκεκριμένες τιμές.

• Για κάθε ενδεχόμενο Α, η τιμή της σχετικής συχνότητάς του fA /

n μετά από μεγάλο αριθμό επαναλήψεων ορίζει την

πιθανότητά του:

n

fAP A

nlim)(

∞→

=


• Εάν τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος είναι

απαριθμήσιμα και έχουν την ίδια δυνατότητα εμφάνισης, οι

πιθανότητες που υπολογίζονται με τον κλασικό και τον

εμπειρικό τρόπο είναι οι ίδιες.

• Χρησιμοποιεί πραγματικά δεδομένα

• Ο υπολογισμός γίνεται μετά την εκτέλεση του πειράματος

• Καλείται επίσης και «Μέθοδος Σχετικής Συχνότητας»





8



Εταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων πολυτελείας θέλει να υπολογίσει

πιθανότητες για τον αριθμό αυτοκινήτων που νοικιάζει ημερησίως.

Από στοιχεία της εταιρίας προκύπτουν οι παρακάτω συχνότητες

ημερησίων ενοικιάσεων για τις τελευταίες 400 ημέρες:

Αριθµός Αριθµός

ενοικιάσεων ηµερών

0 40

1 60

2 180

3 100

4 20



Ο υπολογισμός των πιθανοτήτων γίνεται διαιρώντας τις συχνότητες

με την συνολική συχνότητα (συνολικός αριθμός ημερών).

Αριθµός Αριθµός

ενοικιάσεων ηµερών Πιθανότητες

0 40 0.10.10 = 4= 400/40/4000

1 60 0.15.15 = 6= 600/40/4000

2 180 0.45.45 κοκκοκ..

3 100 0.25.25

4 20 0.05.05

400 1.00

Υποκειμενική Μέθοδος

– Όταν οι οικονομικές συνθήκες αλλάζουν γρήγορα, τότε ο υπολογισμός πιθανοτήτων με τις κλασικές μεθόδους (με ιστορικά δεδομένα) μπορεί να είναι ακατάλληλος.

– Τα ιστορικά δεδομένα (αν υπάρχουν) μπορούν να συνδυαστούν με την εμπειρία και την κρίση του αναλυτή και να προκύψουν πιθανότητας που εκφράζουν το βαθμό πίστηςμας για την πραγματοποίηση ενός ενδεχομένου.

– Συχνά, οι καλύτερες εκτιμήσεις πιθανότητας προκύπτουν συνδυάζοντας τις εκτιμήσεις από την κλασική ή την εμπειρική μέθοδο με τις υποκειμενικές εκτιμήσεις.

Υποκειμενική Μέθοδος

ΠαράδειγμαΕπενδυτής σε μετοχές του ΟΤΕ και της Ε.Τ.Ε. εφαρμόζοντας την υποκειμενική μέθοδο έκανε τους παρακάτω υπολογισμούς πιθανότητας:

Πειραμ. Αποτέλεσμα Χρηματικό Αποτέλεσμα Πιθανότητα

( 10, 8) €18,000 0.20

( 10, -2) €8,000 0.08

( 5, 8) €13,000 0.16

( 5, -2) €3,000 0.26

( 0, 8) €8,000 0.10

( 0, -2) - €2,000 0.12

(-20, 8) - €12,000 0.02

(-20, -2) - €22,000 0.06

Λογισμός Πιθανοτήτων

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )BAPAPBAP

AP1AP

APAPAA

0P

2121

∩−=−

−=

≤⊆

=∅

, αν

• Με βάση τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας και τις πράξεις ενδεχομένων αναπτύχθηκε ο λογισμός πιθανοτήτων για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων ορισμένων ενδεχομένων από τις πιθανότητες άλλων.

• Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων

Πιθανότητα αδύνατου ενδεχόµενου :

Πιθανότητα εγκλεισµού ενδεχοµένων :

Πιθανότητα συµπληρωµατικού

ενδεχοµένου :

Πιθανότητα διαφοράς ενδεχοµένων :

• Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων – Προσθετικός Κανόνας


1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P A A P A P A P A A∪ = + − ∩

−++∩∩+∩−=

=≠≠=

−

≠===

∑∑∑ ∩∪n

1i

i

n

kji1kji

1n

kji

n

ji1ji

ji

n

1i

i

n

1i

i AP1AAAPAAPAPAP,,,

)(...)()()(

Αν τα n ενδεχόµενα είναι ανά δύο ασυµβίβαστα:

Για n ενδεχόµενα :

P A P Aii

n

i

i

n

= =

=∑

1 1

∪ ( )

Πιθανότητα ένωσης

ενδεχοµένων :

1 2 3 1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

P A A A P A P A P A

P A A P A A P A A

P A A A

∪ ∪ = + +

− ∩ − ∩ − ∩

+ ∩ ∩

2 1 όροιn −





9

SS

AA33

ΑΑ11

AA22


321 AAA ∪∪

321 AAA ∩∩

31 AA ∩

21 AA ∩

32 AA ∩

Υπολογισμός Πιθανοτήτων με Πίνακα

Συνάφειας

• Πίνακες συνάφειας μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την καταγραφή του δειγματικού χώρου και τον υπολογισμό πιθανοτήτων όταν το τυχαίο πείραμα αφορά μέτρηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΦΥΛΟ ΝΑΙ ΟΧΙ

Άντρας 140 100

Γυναίκα 220 40

Παράδειγµα: Σε τυχαίο δείγµα µεγέθους 500 οι συµµετέχοντες

ερωτήθηκαν «Είστε ικανοποιηµένοι από το επίπεδο των υπηρεσιών;».

Από τους 240 άνδρες, οι 140 απάντησαν «Ναι». Από τις 260 γυναίκες,

οι 220 απάντησαν «Ναι».

Παράδειγμα Υπολογισμού Πιθανοτήτων

με Πίνακα Συνάφειας

Παράδειγμα: Σε τυχαίο δείγμα μεγέθους 500 οι συμμετέχοντες ερωτήθηκαν «Είστε ικανοποιημένοι από το επίπεδο των υπηρεσιών;». Από τους 240 άνδρες, οι 140 απάντησαν «Ναι». Από τις 260 γυναίκες, οι 220 απάντησαν «Ναι».

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΦΥΛΟ ΝΑΙ ΟΧΙ ΣΥΝΟΛΟ

Άντρας 140 100 240

Γυναίκα 220 40 260

ΣΥΝΟΛΟ 360 140 500

Περιθώρια

αθροίσµατα στηλών

Περιθώρια

αθροίσµατα γραµµών



Παράδειγμα: Ικανοποίηση από το επίπεδο υπηρεσιών

Ρ(Α1) =

Ρ(Α2) =

Ρ(Β1) =

Ρ(Β2) =

Α1={ Ο ερωτώµενος είναι Άντρας }

Α2={ Ο ερωτώµενος είναι Γυναίκα }

Β1={ Ο ερωτώµενος απαντά Ναι }

Β2={ Ο ερωτώµενος απαντά Όχι }

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

ΦΥΛΟ ΝΑΙ (B1) ΟΧΙ (B2) ΣΥΝΟΛΟ

Άντρας (A1) 140 100 240

Γυναίκα (A2) 220 40 260

ΣΥΝΟΛΟ 360 140 500

240/500 = 0.48

260/500 = 0.52

360/500 = 0.72

140/500 = 0.28




Ρ(Α1) = 240/500 = 0.48

Ρ(Α2) = 260/500 = 0.52

Ρ(Β1) = 360/500 = 0.72

Ρ(Β2) = 140/500 = 0.28

Περιθώριες ή ολικές πιθανότητες

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.48

Γυναίκα (A2) 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1




Πιθανότητες τοµών ή κοινές πιθανότητες

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 140 100 240

Γυναίκα (A2) 220 40 260

ΣΥΝΟΛΟ 360 140 500

Α1∩Β1 : Ρ(Α1∩Β1) = 140/500 = 0.28

Α1∩Β2 : Ρ(Α1∩Β2) = 100/500 = 0.20

Α2∩Β1 : Ρ(Α2∩Β1) = 220/500 = 0.44

Α2∩Β2 : Ρ(Α2∩Β2) = 40/500 = 0.08





10




Ρ(Α1∩Β1) = 140/500 = 0.28Ρ(Α1∩Β2) = 100/500 = 0.20

Ρ(Α2∩Β1) = 220/500 = 0.44

Ρ(Α2∩Β2) = 40/500 = 0.08

Κοινές πιθανότητες

Πίνακας Κοινών Πιθανοτήτων

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.28 0.2 0.48

Γυναίκα (A2) 0.44 0.08 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1




Παρατηρήσεις:

• Τα ενδεχόμενα Α1, Α2 είναι διαμερισμός του δ.χ.

• Τα ενδεχόμενα Β1, Β2 είναι διαμερισμός του δ.χ.

• Τα ενδεχόμενα Α1∩Β1, Α1∩Β2 , Α2∩Β1 , Α2∩Β2 είναι διαμερισμός του δ.χ.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.28 0.2 0.48

Γυναίκα (A2) 0.44 0.08 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1



Παράδειγμα: Μέτρηση Φύλου και Εισοδήματος

Σε δείγμα 1000 εργαζομένων καταγράφηκε το φύλο και το ετήσιο εισόδημα. Τα αποτελέσματα ταξινομήθηκαν στον πίνακα συνάφειας:

ΕΙΣΟ∆ΗΜΑ

ΦΥΛΟ <10,000 10,000-20,000 >20,000

Άντρας 180 300 120

Γυναίκα 180 170 50

α) Κατασκευάστε τον Πίνακα Κοινών Πιθανοτήτων.

β) Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι άνδρας;

γ) Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι γυναίκα µε εισόδηµα

≥10,000;

Δεσμευμένη Πιθανότητα


SS

Β={ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και ∆ΕΚΑ}Β={ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και ∆ΕΚΑ}

Α={ΑΣΣΟΣ}Α={ΑΣΣΟΣ}

ΠείραµαΠείραµα: : Λήψη Χαρτιού από ΤράπουλαΛήψη Χαρτιού από Τράπουλα..

Ενδεχόµενα: Α={ΑΣΣΟΣ}, Β={ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και ∆ΕΚΑ} Ενδεχόµενα: Α={ΑΣΣΟΣ}, Β={ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και ∆ΕΚΑ}

Ποιες είναι οι πιθανότητες Ποιες είναι οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Ρ(Α∩∩∩∩Β);


SS




52

4

n

nAP A ==)(

20( )

52

BnP B

n= =

52

2

n

nBAP BA ==∩ ∩)(





11


SS




2( | )

20

A B

B

nP A B

n

∩= =

Αν ξέρουµε ότι το χαρτί είναι ΜΑΥΡΟΑν ξέρουµε ότι το χαρτί είναι ΜΑΥΡΟ από ΑΣΣΟ έως και ∆ΕΚΑ, από ΑΣΣΟ έως και ∆ΕΚΑ,

δηλαδή το Β έχει συµβεί, ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να δηλαδή το Β έχει συµβεί, ποια είναι η πιθανότητα το χαρτί να

είναι ΑΣΣΟΣ; ∆ηλαδή ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το Α είναι ΑΣΣΟΣ; ∆ηλαδή ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το Α

δεδοµένουδεδοµένου του Βτου Β;;


SS



Το Το B B πραγµατοποιείταιπραγµατοποιείται: : Όλα τα άλλα Όλα τα άλλα

αποτελέσµατα είναι πλέον αδύνατα αποτελέσµατα είναι πλέον αδύνατα

ΕνδεχόµενοΕνδεχόµενο (A(A ∩∩ B)B)

(S)(S)BB


Επειδή το Επειδή το ΒΒ έχει συµβεί, ο δ.χ. έχει συµβεί, ο δ.χ. SS περιορίζεται περιορίζεται στο στο ΒΒ

Ορισµός δεσµευµένης πιθανότητας


ΕνδεχόµενοΕνδεχόµενο (A(A ∩∩ B)B)

(S)(S)BB


)(

)(

/

/)|(

BP

BAP

nn

nn

n

nBAP

B

BA

B

BA ∩=== ∩∩ 2

20

A B

B

n

n

∩ =

=

( ) 2 / 52 2( | )

( ) 20 / 52 20

P A BP A B

P B

∩= = =


• Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α δεδομένου ότι ένα άλλο

δυνατό ενδεχόμενο Β έχει πραγματοποιηθεί ονομάζεται

δεσμευμένη ή υπό συνθήκη πιθανότητα του Α δεδομένου

του Β.

• Συμβολίζεται ως P(A|B)

• Επειδή το Β έχει συμβεί, ο δ.χ. S περιορίζεται στο Β και η

παρατήρηση αυτή οδηγεί στον ορισμό

)(

)()|(

BP

BAPBAP

∩=

Β

Α

Α ∩ Β


Αποδεικνύεται πως η Ρ(Α|Β) ικανοποιεί τα αξιώματα της

πιθανότητας :

Α1. Για κάθε ενδεχόμενο Α,

A2. Για το βέβαιο ενδεχόμενο S,

A3. Για τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α1 και Α2,

Για ανά δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα,

1)|(0 ≤≤ BAP

1)|( =BSP

P A A B P A B P A B( | ) ( | ) ( | )1 2 1 2∪ = +

nAAA ,...,, 21

∑==

=

n

i

i

n

i

i BAPBAP11

)|(|∪


• Συνεπώς οι γνωστοί κανόνες λογισμού πιθανοτήτων ισχύουν

και για τις δεσμευμένες πιθανότητες.

– Π.χ. ο απλός προσθετικός κανόνας:

• Η Ρ(Α) ονομάζεται ολική ή απόλυτη ή περιθώρια ή χωρίς

συνθήκη πιθανότητα του Α. Είναι και αυτή μια υπό συνθήκη

πιθανότητα δεδομένου του δειγματικού χώρου S :

)()(

)()|(

1)(

)()(

APSP

SAPSAP

SP

APSAP

=∩

=⇒

=

=∩

και

)|()|()|()|( BAAPBAPBAPBAAP 212121 ∩−+=∪





12


Χρησιμότητα της δεσμευμένης πιθανότητας :

α) επιτρέπει ακριβέστερο προσδιορισμό της πιθανότητας σε υποσύνολα του δειγματικού χώρου κατά την εκτέλεση μετρήσεων ή πειραμάτων,

β) υποδηλώνει τη «συσχέτιση» ενδεχομένων ή γεγονότων, είτε ως αιτιακή είτε απλά ως στατιστική κανονικότητα, και

γ) ως απόρροια του (β), σε πολλές περιπτώσεις επαναλήψιμων πειραμάτων, όταν υπάρχει έστω μερική πρότερη γνώση του φαινομένου που μελετάται με το πείραμα, επιτρέπει την ακριβέστερη πρόβλεψη του αποτελέσματος του πειράματος πριν από την εκτέλεσή του.

• Ο πολλαπλασιαστικός κανόνας μας δίνει έναν τρόπο

υπολογισμού της πιθανότητας της τομής δύο ενδεχομένων.

• Προκύπτει από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας:

• Για n ενδεχόμενα του S, , ο κανόνας γενικεύεται

ως εξής:

Πολλαπλασιαστικός Κανόνας

( )

⋅=∩

⋅=∩

⇒∩

=

)()|()(

)()|()(

)(

)(|

APABPBAP

ή

BPBAPBAP

BP

BAPBAP

n21 ,..., Α,ΑΑ

)|(...)|()|()( ∩∩1n

1j

jn213121

n

1i

i AAPAAAPAAPAPAP−

==

⋅⋅∩⋅⋅=

Πολλαπλασιαστικός Κανόνας

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

1 2 1 3 1 2

1 1

1 2 1 2 1

1 2

1 2 3 3 3 1 2 3 1 2

1 2 1 2 1

( ) ( | ) ( | ) ... ( | )

Για 2

|

Για 3

Θέστε

Άρα ( ) ( | ) |

Όµως |

Συνεπώς

n n

i n j

i j

P A P A P A A P A A A P A A

n

P A A P A P A A

n

A A B

P A A A P B A P B P A B P A A P A A A

P A A P A P A A

−

= =

= ⋅ ⋅ ∩ ⋅ ⋅

=

∩ =

=

∩ =

∩ ∩ = ∩ = = ∩ ∩

∩ =

∩ ∩

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2 | |

Και µε τον ίδιο τρόπο γενικεύουµε για οποιοδήποτε n

P A A A P A P A A P A A A∩ ∩ = ∩


Συνάφειας


Σε τυχαίο δείγμα μεγέθους 500 οι συμμετέχοντες ερωτήθηκαν «Είστε ικανοποιημένοι από το επίπεδο των υπηρεσιών;». Από τους 240 άνδρες, οι 140 απάντησαν «Ναι». Από τις 260 γυναίκες, οι 220 απάντησαν «Ναι».

α) Είναι πιθανότερο να απαντήσει ΝΑΙ µια γυναίκα ή ένας άνδρας; β) Ένα άτοµο έχει

απαντήσει ΟΧΙ. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Ποια η πιθανότητα να είναι

γυναίκα; γ) Να καταγραφούν τα αποτελέσµατα σε διάγραµµα δέντρου

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 140 100 240

Γυναίκα (A2) 220 40 260

ΣΥΝΟΛΟ 360 140 500


Συνάφειας


α) Είναι πιθανότερο να απαντήσει ΝΑΙ μια γυναίκα ή ένας άνδρας;


ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.28 0.2 0.48

Γυναίκα (A2) 0.44 0.08 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1

Ζητούνται οι Ρ(Β1|Α1) και Ρ(Β1|Α2)


Συνάφειας


α) Πίνακας Κοινών Πιθανοτήτων

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.28 0.2 0.48

Γυναίκα (A2) 0.44 0.08 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1

5830480

280

AP

ABPABP

1

1111 .

.

.

)(

)()|( ==

∩=8460

520

440

AP

ABPABP

2

2121 .

.

.

)(

)()|( ==

∩=

Άρα µια γυναίκα είναι πιθανότερο να έχει απαντήσει ΝΑΙ





13


Συνάφειας


β) Ένα άτομο έχει απαντήσει ΟΧΙ. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Ποια η πιθανότητα να είναι γυναίκα;


ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.28 0.2 0.48

Γυναίκα (A2) 0.44 0.08 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1

Ζητούνται οι Ρ(Α1|Β2) και Ρ(Α2|Β2)


Συνάφειας


β) Πίνακας Κοινών Πιθανοτήτων

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.28 0.2 0.48

Γυναίκα (A2) 0.44 0.08 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1

2860280

080

BP

BAPBAP

2

2222 .

.

.

)(

)()|( ==

∩=7140

280

200

BP

BAPBAP

2

2121 .

.

.

)(

)()|( ==

∩=

Άρα ένα άτοµο που έχει απαντήσει ΟΧΙ είναι πιθανότερο να είναι άνδρας


Συνάφειας


β)

286071401BAP1BAP 2122 ..)|()|( =−=−=

Παρατήρηση: Η Ρ(Α2|Β2) θα µπορούσε να προκύψει από τον προσθετικό

κανόναως εξής:

⇒

∩−+=∪ )|()|()|()|( 2212221221 BAAPBAPBAPBAAP

Όµως τα Α1 και Α2 είναι διαµερισµός του δ.χ., άρα

1BAAPSAA 22121 =∪⇒=∪ )|(

0BAAPAA 22121 =∩⇒∅=∩ )|(

)|()|()|()|( 2212122122 BAAPBAPBAAPBAP ∩+−∪=


Συνάφειας


γ) Να καταγραφούν τα αποτελέσματα του τυχαίου πειράματος της μέτρησης της ικανοποίησης σε ένα διάγραμμα δένδρου. Να καταγραφούν επίσης όλες οι πιθανότητες που αντιστοιχούν στους κλάδους και τα μονοπάτια του δένδρου.


ΑΠΑΝΤΗΣΗ


Άντρας (A1) 0.28 0.2 0.48

Γυναίκα (A2) 0.44 0.08 0.52

ΣΥΝΟΛΟ 0.72 0.28 1


Συνάφειας


γ)

P

A1

A2

P(A1)=0.48

P(A2)=0.52


Συνάφειας


γ)

P

A1

A2

P(A1)=0.48

P(A2)=0.52

B2

B1

B2

P(B1|A1)=0.583

P(B2|A1)= 0.417

P(B1|A2)=0.846

P(B2|A2)=0.154

B1





14


Συνάφειας


γ)

P(B1 ∩ A1 )= P(B1|A1) P(A1)

= 0.28

P(B2 ∩ A1) = P(B2|A1) P(A1)

= 0.20

P(B1 ∩ A2) =P(B1|A2) P(A2)

= 0.44

P(B2 ∩ A2)=P(B2|A2) P(A2)

= 0.08

P

A1

A2

P(A1)=0.48

P(A2)=0.52

B2

B1

B2

P(B1|A1)=0.583

P(B2|A1)= 0.417

P(B1|A2)=0.846

P(B2|A2)=0.154

B1


Συνάφειας


Παρατηρήσεις:

α) Η κοινή πιθανότητα κάθε μονοπατιού είναι το γινόμενο των

πιθανοτήτων κάθε κλάδου του

β) Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των κλάδων με κοινή κορυφή

είναι 1

γ) Το άθροισμα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε όλα τα

μονοπάτια είναι 1

Δένδρα Πιθανότητας

Είναι δένδρα των οποίων οι κόμβοι αντιστοιχούν σε αποτελέσματα και

οι κλάδοι σε πιθανότητες πραγματοποίησης των αποτελεσμάτων.

• Η κοινή πιθανότητα κάθε μονοπατιού είναι το γινόμενο των πιθανοτήτων κάθε κλάδου του

• Το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των κλάδων με κοινή κορυφή είναι 1

• Το άθροισμα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν σε όλα τα μονοπάτια είναι 1

B1

P

A1

A2

B2

B1

B2

P(A1)

P(A2)

P(B1|A1)

P(B2|A1)

P(B1|A2)

P(B2|A2)

P(B1 ∩ A1 )=P(B1|A1) P(A1)

P(B2 ∩ A1) =P(B2|A1) P(A1)

P(B1 ∩ A2) =P(B1|A2) P(A2)

P(B2 ∩ A2)=P(B2|A2) P(A2)

B1

P

A1

A2

B2

B1

B2

P(A1)

P(A2)

P(B1|A1)

P(B2|A1)

P(B1|A2)

P(B2|A2)

P(Γ1|A1 ∩B1 )

P(Γ2|A1 ∩B1 )

P(Γ1|A1 ∩B2 )

P(Γ2|A1 ∩B2 )

P(Γ1|A2∩B1 )

Γ1

Γ2

Γ1

P(Γ2|A2∩B1 )

P(Γ1|A2∩B2 )

P(Γ2|A2∩B2 )

Γ1

Γ1

P(Ai ∩ Bj ∩ Γk )= P(Ai ) P(Bj|Ai ) P(Γk|Ai ∩ Bj )

Γ2

Γ2

Γ2

ΠαράδειγμαΕταιρία έρευνας μάρκετινγκ εκτίμησε ότι οι αγοραστές ενός νέου

προϊόντος ταχείας διακίνησης (fast moving) είναι μια συγκεκριμένη

περίοδο 12340 άτομα, το 60% άνδρες (Α) και κατά 40% γυναίκες (Γ).

Σε μελέτη που διεξήγαγε την ίδια περίοδο το 70% των ανδρών

δήλωσε υψηλό (Υ) επίπεδο ικανοποίησης από το προϊόν και το 30%

χαμηλό (Χ) επίπεδο ικανοποίησης. Για τις γυναίκες τα αντίστοιχα

ποσοστά ήταν 80% και 20%. Επίσης, το 80% των περισσότερο

ικανοποιημένων και το 10% των λιγότερο ικανοποιημένων ανδρών

δήλωσε πως στην επόμενη περίοδο θα αγοράσει (Ν) το προϊόν. Οι

υπόλοιποι δήλωσαν πως δε θα αγοράσουν (Ο) το προϊόν. Για τις

γυναίκες τα αντίστοιχα ποσοστά ήταν 90% και 20%.

Ποια είναι η εκτίμησή σας για το μέγεθος και τη σύσταση της αγοράς

την επόμενη περίοδο με βάση τα παραπάνω στοιχεία; Κατασκευάστε

το δέντρο πιθανότητας και κάντε τους υπολογισμούς με βάση αυτό.

Στατιστική Ι, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, [email protected] 83





ΕΙΣΟ∆ΗΜΑ

ΦΥΛΟ <10,000 10,000-20,000 >20,000

Άντρας 180 300 120

Γυναίκα 180 170 50

α) Κατασκευάστε τον Πίνακα Κοινών Πιθανοτήτων.

β) Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι άνδρας;

γ) Ποια η πιθανότητα ένα τυχαίο µέλος του δείγµατος να είναι γυναίκα µε εισόδηµα

≥10,000;





15





δ) Είναι πιθανότερο µια γυναίκα ή ένας άνδρας να έχει εισόδηµα 10,000 και πάνω; ε)

Εργαζόµενος έχει εισόδηµα >20,000. Ποια η πιθανότητα να είναι άνδρας; Ποια η

πιθανότητα να είναι γυναίκα; στ) Κατασκευάστε το δένδρο πιθανότητας για το

πρόβληµα αυτό.

ΕΙΣΟ∆ΗΜΑ

ΦΥΛΟ <10,000 10,000-20,000 >20,000

Άντρας 180 300 120

Γυναίκα 180 170 50

Στοχαστική Ανεξαρτησία


• Αν η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α δεν

επηρεάζεται από το εάν το ενδεχόμενο Β συμβεί ή όχι,

τότε το ενδεχόμενο Α είναι στοχαστικά ή στατιστικά

ανεξάρτητο ή απλά ανεξάρτητο του ενδεχόμενου Β.

• Η σχέση ορισμού είναι

)()|( APBAP =


• Από τη σχέση ορισμού της στοχαστικής ανεξαρτησίας και τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας προκύπτουν οι ισοδύναμες σχέσεις:

άρα, αν το Α είναι ανεξάρτητο του Β τότε και το Β είναι ανεξάρτητο του Α.

• Καθώς οι παραπάνω τρεις σχέσεις είναι ισοδύναμες, αρκεί να δείξουμε την ισχύ μιας από αυτές για να είναι τα Α και Βανεξάρτητα.

)()(

)()(

)(

)()|( BP

AP

BPAP

AP

BAPABP =

⋅=

∩=

)()()( BPAPBAP ⋅=∩

)()|( APBAP =

Στοχαστική Ανεξαρτησία -


• Δίνεται ότι: Ρ(Α)=0.35, Ρ(Β)=0.20, Ρ(Α∩Β)=0.07 Είναι

τα Α και Β ανεξάρτητα;

⇒

=

==∩

=

200BP

200350

070

AP

BAPABP

.)(

..

.

)(

)()|(

⇒

=∩

=⋅=⋅

070BAP

070200350BPAP

.)(

.).().()()(Τα Α και Β είναι Τα Α και Β είναι

ανεξάρτηταανεξάρτητα

Εναλλακτικός τρόπος:

Τα Α και Β είναι Τα Α και Β είναι

ανεξάρτηταανεξάρτητα

Γενίκευση σε n ενδεχόμενα, :

n ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα αν και μόνο αν ισχύουν και οι δύο παρακάτω συνθήκες

α) τα n ενδεχόμενα είναι ανά δύο ανεξάρτητα, δηλαδή για κάθε i ≠ j, i,j = 1, 2, …, n ισχύει

και

β)

Πολλαπλασιαστικός κανόνας

για ανεξάρτητα ενδεχόµενα


n21 ΑΑΑ ,...,,

)()()( jiji APAPAAP ⋅=∩

∏==

=

n

1i

i

n

1i

iAPAP )(∩





16

Στοχαστική Ανεξαρτησία - Παράδειγμα

• Δίνεται ότι: Ρ(Α)=0.4, Ρ(Β)=0.5, Ρ(Γ)=0.3, P(Α∩Β)=0.2,

Ρ(Α∩Γ)=0.12, Ρ(B∩Γ)=0.15, Ρ(Α∪Β∪Γ)=0.80. Είναι τα Α, Β

και Γ ανεξάρτητα;

)()()(

)()()()()(

Γ∩+Γ∩+∩+

Γ−−−Γ∪∪=Γ∩∩

BPAPBAP

PBPAPBAPBAP

Άρα τα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ανεξάρτηταΆρα τα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ανεξάρτητα

Ρ(Α∩Β)=Ρ(Α).Ρ(Β), Ρ(Α∩Γ)=Ρ(Α).Ρ(Γ), Ρ(Β∩Γ)=Ρ(Β).Ρ(Γ) Ισχύει

0.80 1.2 0.47 0.07= − + =

Άρα τα Α, Β και Γ δεν είναι όλα µαζί ανεξάρτηταΆρα τα Α, Β και Γ δεν είναι όλα µαζί ανεξάρτητα

060305040PBPAP .).)(.)(.()()()( ==Γ⋅⋅ ( )P A B≠ ∩ ∩ Γ


Παράδειγμα• Δίνεται ότι: Ρ(Α)=0.4, Ρ(Β)=0.5, Ρ(Γ)=0.3, P(Α∩Β)=0.2,

Ρ(Α∩Γ)=0.12, Ρ(B∩Γ)=0.15, Ρ(Α∪Β∪Γ)=0.80. Είναι τα Α, Β

και Γ ανεξάρτητα;

)|()()(

)|()|()()(

BAPBPAP

BAPABPAPBAP

∩Γ⋅⋅=

∩Γ⋅⋅=Γ∩∩

Ενώ το Γ είναι ανεξάρτητο των Α και Β Ενώ το Γ είναι ανεξάρτητο των Α και Β ξεχωριστά,ξεχωριστά, δεν δεν είναι ανεξάρτητο της είναι ανεξάρτητο της

τοµής τοµής τουςτους. . Μπορεί να δειχθεί ότι κανένα από τα Α,Β, και Γ δεν είναι Μπορεί να δειχθεί ότι κανένα από τα Α,Β, και Γ δεν είναι

ανεξάρτητο της ανεξάρτητο της τοµής των άλλων δύο.τοµής των άλλων δύο.

Όντως, παρατηρήστε ότι (πολλαπλασιαστικός κανόνας):

( ) 0.07( | ) 0.35

( ) 0.2

P A BP A B

P A B

∩ ∩ ΓΓ ∩ = = =

∩( )P≠ Γ


Παρατήρηση 1: Και οι δύο συνθήκες είναι αναγκαίες για να είναι

τα n ενδεχόμενα ανεξάρτητα. Η συνθήκη (β) δεν προκύπτει από

την (α), δηλαδή μπορεί n ενδεχόμενα να είναι ανά δύο

ανεξάρτητα αλλά να μην είναι όλα μαζί ανεξάρτητα.

Παρατήρηση 2: Υπάρχει σαφής διάκριση ανάμεσα στις έννοιες

«ασυμβίβαστα» και «ανεξάρτητα» ενδεχόμενα. Δύο ενδεχόμενα

με μη μηδενικές πιθανότητες δε μπορούν να είναι ταυτόχρονα

και ασυμβίβαστα και ανεξάρτητα. Αν ένα από δύο αμοιβαία

αποκλειόμενα ενδεχόμενα συμβεί, τότε η πιθανότητα να συμβεί

το άλλο γίνεται μηδενική. Έτσι, τα ενδεχόμενα αυτά δεν είναι

ανεξάρτητα.



Πείραμα: Λήψη Χαρτιού από Τράπουλα.

Δίνονται τα ενδεχόμενα:

Α = { Χαρτί κάτω του 5 }

Β = { Χαρτί ΚΟΥΠΑ }

Γ = { Χαρτί ΜΑΥΡΟ κάτω του 6 }

α) Είναι τα Α και Β ανεξάρτητα;

β) Είναι τα Α, Β, και Γ ανεξάρτητα;




α) Α = { Χαρτί κάτω του 5 } Β = { Χαρτί ΚΟΥΠΑ }

Άρα τα Α και Β είναι ανεξάρτητα

52

16AP =)(

52

13BP =)(

52

4BAP =∩ )(

52

4

52

13

52

16BPAP =⋅=⋅ )()(




β) Α = { Χαρτί κάτω του 5 } Β = { Χαρτί ΚΟΥΠΑ }

Άρα τα Α και Γ δεν είναι ανεξάρτητα

και συνεπώς ούτε τα Α, Β, και Γ δεν

είναι ανεξάρτητα.

52

16AP =)(

52

13BP =)(

52

8AP =Γ∩ )(

52

083

52

10

52

16PAP

.)()( ≅⋅=Γ⋅

Γ = { Χαρτί ΜΑΥΡΟ κάτω του 6 }

52

10P =Γ)(

Πολύ πιο απλά, θα µπορούσατε να δείτε ότι τα Β και Γ είναι ασυµβίβαστα

και συνεπώς εξαρτηµένα και να καταλήξετε στο ίδιο συµπέρασµα.





17

Εφαρμογή στην Απλή Τυχαία

Δειγματοληψία

Απλή Τυχαία Δειγματοληψία: Όταν όλα τα δυνατά δείγματαμεγέθους n από έναν πληθυσμό έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισηςμε μια δειγματοληπτική διαδικασία, τότε η δειγματοληψία ονομάζεταιαπλή τυχαία δειγματοληψία.


Σε πληθυσμό Ν=10 προϊόντων, τα 2 είναι ελαττωματικά. Ποια είναι ηπιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n=2, το ένα προϊόν ναείναι ελαττωματικό και το άλλο καλό;

Ζητούμε την πιθανότητα Ρ(Ε∩∩∩∩Κ) ανεξαρτήτως σειράς



α) Δειγματοληψία με επανάθεση:

• Πλήθος δυνατών δειγµάτων µεγέθους n=2

Πολλαπλασιαστική αρχή: (N).(N) = N2 = 102 = 100

• Πιθανότητα εµφάνισης κάθε δείγµατος :

100

1

10

1

N

1P

2n===




• Τρόποι µε τους οποίους µπορεί να προκύψει 1 Ελατ. και 1 Καλό προϊόν :

{ Ε στην 1η λήψη, Κ στην 2η λήψη } : (2)x(8) = 16 τρόποι

• Πιθανότητα Ρ(Ε∩∩∩∩Κ) :

320100

32KEP .)( ==∩

{ Κ στην 1η λήψη, Ε στην 2η λήψη } : (8)x(2) = 16 τρόποι

Σύνολο : 32 τρόποι




Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας :

P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10





P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10

Κ

Ε

Κ

P(Ε|Ε)=Ρ(Ε)=2/10

P(Κ|Ε)=Ρ(Κ)=8/10

P(Ε|Κ)=Ρ(Ε)=2/10

P(Κ|Κ)=Ρ(Κ)=8/10

Ε




Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας :P(Ε ∩ Ε )= P(Ε) P(Ε)

= 4/100

P(Κ∩ Ε) = P(Κ) P(Ε)

= 16/100

P(Ε∩ Κ) =P(Ε) P(Κ)

= 16/100

P(Κ∩ Κ)=P(Κ) P(Κ)

= 64/100

P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10

Κ

Ε

Κ

P(Ε|Ε)=Ρ(Ε)=2/10

P(Κ|Ε)=Ρ(Κ)=8/10

P(Ε|Κ)=Ρ(Ε)=2/10

P(Κ|Κ)=Ρ(Κ)=8/10

Ε

32/100





18



β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση:

• Πλήθος δυνατών δειγµάτων µεγέθους n=2

Πολλαπλασιαστική αρχή: (N).(N-1) = 10x9 = 90

• Πιθανότητα εµφάνισης κάθε δείγµατος :

90

1P =




• Τρόποι µε τους οποίους µπορεί να προκύψει 1 Ελατ. και 1 Καλό

προϊόν :

{ Ε στην 1η λήψη, Κ στην 2η λήψη } : (2)x(8) = 16 τρόποι

• Πιθανότητα Ρ(Ε∩∩∩∩Κ) :

356090

32KEP .)( ==∩

{ Κ στην 1η λήψη, Ε στην 2η λήψη } : (8)x(2) = 16 τρόποι

Σύνολο : 32 τρόποι





P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10





P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10

Κ

Ε

Κ

P(Ε|Ε)=1/9

P(Κ|Ε)=8/9

P(Ε|Κ)=2/9

P(Κ|Κ)=7/9

Ε




Υπολογισμός με δένδρο πιθανότητας :P(Ε ∩ Ε )= P(Ε|Ε) P(Ε)

= 2/90

P(Κ∩ Ε) = P(Κ|Ε) P(Ε)

= 16/90

P(Ε∩ Κ) =P(Ε|Κ) P(Κ)

= 16/90

P(Κ∩ Κ)=P(Κ|Κ) P(Κ)

= 56/90

P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10

Κ

Ε

Κ

P(Ε|Ε)=1/9

P(Κ|Ε)=8/9

P(Ε|Κ)=2/9

P(Κ|Κ)=7/9

Ε

32/90



Όταν Ν>>n, τότε οι πιθανότητες είναι περίπου οι ίδιες είτε με είτεχωρίς επανατοποθέτηση:

Π.χ. Ν=1000, 200 ελαττωματικά (σταθερή αναλογία ΕΛ στο 20%)

• Πλήθος δυνατών δειγµάτων µεγέθους n=2 - Επανατοποθέτηση

Πολλαπλασιαστική αρχή: (N).(N) = N2 = 1,000,000


προϊόν :

{ Ε στην 1η λήψη, Κ στην 2η λήψη } : (200).(800) = 160,000

{ Κ στην 1η λήψη, Ε στην 2η λήψη } : (800).(200) = 160,000

Σύνολο : 320,000





19





• Πιθανότητα - Επανατοποθέτηση

3200000001

000320KEP .

,,

,)( ==∩





• Πλήθος δυνατών δειγµάτων n=2 – Χωρίς επανατοποθέτηση

Πολλαπλασιαστική αρχή: (N).(N-1) = 999,000


προϊόν :

{ Ε στην 1η λήψη, Κ στην 2η λήψη } : (200).(800) = 160,000

{ Κ στην 1η λήψη, Ε στην 2η λήψη } : (800).(200) = 160,000

Σύνολο : 320,000





• Πιθανότητα - Χωρίς επανατοποθέτηση

32030000999

000320KEP .

,

,)( ==∩

Οι πιθανότητες είναι περίπου ίσες




P(Ε ∩ Ε )= P(Ε) P(Ε)

= 4/100

P(Κ∩ Ε) = P(Κ) P(Ε)

= 16/100

P(Ε∩ Κ) =P(Ε) P(Κ)

= 16/100

P(Κ∩ Κ)=P(Κ) P(Κ)

= 64/100

P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10

Κ

Ε

Κ

P(Ε|Ε)=Ρ(Ε)=2/10

P(Κ|Ε)=Ρ(Κ)=8/10

P(Ε|Κ)=Ρ(Ε)=2/10

P(Κ|Κ)=Ρ(Κ)=8/10

Ε

Ανεξαρτησία λήψεων



β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση, Ν>>n :

P(Ε ∩ Ε )= P(Ε|Ε) P(Ε)

≅ 4/100

P(Κ∩ Ε) = P(Κ|Ε) P(Ε)

≅ 16/100

P(Ε∩ Κ) =P(Ε|Κ) P(Κ)

≅ 16/100

P(Κ∩ Κ)=P(Κ|Κ) P(Κ)

≅ 64/100

P

Ε

Κ

P(Ε)=2/10

P(Κ)=8/10

Κ

Ε

Κ

P(Ε|Ε)=199/999 ≅ 2/10=P(E)

P(Κ|Ε)=800/999 ≅ 8/10 =P(K)

P(Ε|Κ)=200/999

≅ 2/10 = P(E)

P(Κ|Κ)=799/999

≅ 8/10 = P(K)

ΕΑνεξαρτησία λήψεων

Στατιστική Ι, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης, [email protected] 114

Τέλος ενότητας

Ενότητα 3η : Εισαγωγή στη Θεωρία...

Documents

Transcript of Ενότητα 3η : Εισαγωγή στη Θεωρία...