ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ, ΦΩΣ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ

f( )xy

x x

zz

ΣΥΝΟΨΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

• J. C. Maxwell (~1860) συνόψισε τη δουλειά ως τότεγια το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο σε 4εξισώσεις.

Νό G Νόμος FaradayqEdA BdEdl

Νόμος Gauss

Νόμος GaussΓ ό

Νόμος Faraday

Νόμος Ampere

0EdA

0BdA

BEdldt

Bdl IΓια μαγνητισμό Νόμος Ampere0BdA 0Bdl I

• Όμως κατανόησε ότι οι εξισώσεις αυτές (όπως• Όμως, κατανόησε ότι οι εξισώσεις αυτές (όπωςμέχρι τώρα τις έχουμε συζητήσει) έχουν μιαασυμμετρία:

Νόμος του Ampere προβληματικός!• Νόμος του Gauss:

• Συμμετρία: Αμφότερα E και B υπακούουν στην ίδια μορφή0

qEdA

0BdA Συμμετρία: Αμφότερα E και B υπακούουν στην ίδια μορφή εξίσωσης (διαφορά: μαγνητικό φορτίο δεν υπάρχει.)

• Νόμοι Ampere και Faraday: !

• Εάν ο νόμος του Ampere ήταν σωστός το δεξιό μέλος του

BdEdldt

0Bdl IΕάν ο νόμος του Ampere ήταν σωστός, το δεξιό μέλος τουνόμου του Faraday θα έπρεπε να είναι 0 – αφού δενυπάρχει μαγνητικό ρεύμα (ροή μαγνητικών φορτίων).

• Συνεπώς ίσως έχει πρόβλημα ο νόμος του Ampere• Συνεπώς ίσως έχει πρόβλημα ο νόμος του Ampere.• Πράγματι, ο Maxwell πρότεινε μια τροποποίηση του νόμουτου Ampere προσθέτοντας άλλο έναν όρο (το ρεύμα“ ό ”) δ ξί έλ ξί ∆ λ“μετατόπισης”) στο δεξί μέλος της εξίσωσης. ∆ηλ.

0 0 0EdBdl I

dt

Ρεύμα ΜετατόπισηςΘεωρείστε φορτιζόμενο πυκνωτή:

Χρησιμοποιούμε το νόμο του Ampere για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο ακριβώς πάνω από το πάνω πλακίδιο

Νόμος του Ampere: 0 encBdl I1) Κόκκινος βρόχος Ampere, Ienc= I2) Πράσινος βρόχος Ampere, I = 0

Ρεύμα Μετατόπισης∆ρόμος P

Στο δρόμο P τερματίζονται δύοεπιφάνειες ο κύκλος S και ηεπιφάνειες ο κύκλος S1 και ηεξογκωμένη επιφάνεια S2 πουπερνά από το διάκενο των

λ ώ Α ό S ά Iοπλισμών. Από την S1 περνά I καιαπό την S2 0.

∆εν έχουμε ρεύμα μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή, όμως έχουμε ένα μεταβαλλόμενο πεδίο E . Μπορεί αυτό να ισοδυναμεί με ρεύμα;

0 00

EQE Q EA

A

0E

dddQ I

dt dt

0 dt dt

Αυτό ονομάζεται ρεύμα μετατόπισης

Εξισώσεις Maxwell

0

qEdA

0BdA Νόμος GaussΝόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο

BdEdldt

Νόμος Faraday

Eddl

dt

0 0 0EdBdl I

dt

Νόμος Ampere Maxwell

Αυτές περιγράφουν όλα τα Η Μ φαινόμενα και είναι

( )F q E v B Νόμος Lorentz

• Αυτές περιγράφουν όλα τα Η-Μ φαινόμενα και είναι συμβατοί με όλες τις άλλες θεωρίες π.χ. σχετικότητα.

• Περιγράφουν και το φως.

Εξισώσεις Maxwellπερνώντας από την ολοκληρωτική στην διαφορική μορφή

Γύρω από ένα τυχαίο σημείο του χώρου (x,y,z) θεωρώ έναναπειροστά μικρό κύβο και υπολογίζω την ροή από τηνεπιφάνειά του καθώς και το φορτίο που περικλείει καιεφαρμόζω τον νόμο του Gauss0

qEdA

Ροή στην διεύθυνση x:

Εx(x+∆x/2,y,z)·∆y∆z-Εx(x-∆x/2,y,z)·∆y∆z=∆Ε ∆ ∆ ί

E(x+∆x/2,y,z)

εφαρμόζω τον νόμο του Gauss.0

∆Εx·∆y∆z και ομοίως κατά y: ∆Εy·∆z∆x και κατά z: ∆Εz·∆x∆y.Η συνολική ροή είναι το άθροισμα στις τρειςκατευθύνσεις και σύμφωνα με το νόμο του

∆z

E(x-∆x/2 y z)

∆y∆z∆y∆z

κατευθύνσεις και σύμφωνα με το νόμο τουGauss ισούται το περικλειόμενο φορτίοδιαιρεμένο με το ε0.Το φορτίο που περικλείεται στον όγκο είναι: ∆ ∆ ∆ ό

∆y∆x

E(x-∆x/2,y,z)

ρ·∆x∆y∆z, οπότε:

0

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) x y zE y z x E z x y E x y z

E E E 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ[ ]E E Ex y z x y z Ex y z x y z

0

E

Εξισώσεις Maxwellπερνώντας από την ολοκληρωτική στην διαφορική μορφή

Γύρω από ένα τυχαίο σημείο του χώρου (x,y,z) θεωρώ ένααπειροστά μικρό τετράγωνο και υπολογίζω την κυκλοφορίατου ηλεκτρικού πεδίου που την εξισώνω με (-) τηνμαγνητική ροή από την επιφάνειά του (νόμος του Faraday)

BdEdldt

Απειροστή διαδρομή στο επίπεδο xy:Εx(x,y-∆y/2,z)·∆x + Εy(x+∆x/2,y,z)·∆y --Ε (x y+∆y/2 z)·∆x -Ε (x-∆x/2 y z)·∆y=

μαγνητική ροή από την επιφάνειά του (νόμος του Faraday).

E(x,y+∆y/2,z)Φορά διαγραφής

Εx(x,y+∆y/2,z) ∆x Εy(x-∆x/2,y,z) ∆y[Εy(x+∆x/2,y,z)-Εy(x-∆x/2,y,z)]·∆y-[Εx(x,y+∆y/2,z)-Εx(x,y-∆y/2,z)]·∆xσχετίζεται με την μεταβολή της μαγνητικής

∆yBz(x,y,z)

E(x-∆x/2,y,z) E(x+∆x/2,y,z)σχετίζεται με την μεταβολή της μαγνητικής ροής στο –∆(Βz(x,y,z)·∆x∆y)/∆t∆x

E EE EB B E(x,y-∆y/2,z)

ˆ ˆ ˆx y z y yx xz z

E EE EB Bx y t x y t

x y z

x y z

yBt

E E E

και παρομοίως για τετράγωνα στα (yz) και (zx):

BEt

y xz

E BEy z t

yx z

BE Ez x t

Εξισώσεις Maxwell(Διαφορική μορφή)(Διαφορική μορφή)

E Νόμος Gauss

0E

Νόμος Gauss

Νόμος Gauss για0B Νόμος Gauss για το μαγνητικό πεδίο

BEt

Νόμος Faraday

EB J 0 0 0B J

t

Νόμος Ampere Maxwell

• Στον ελεύθερο χώρο οι εξισώσεις του Maxwell ανάγονται στις εξής:

Εξισώσεις MaxwellΣτον ελεύθερο χώρο οι εξισώσεις του Maxwell ανάγονται στις εξής:

0EdA 0BdA BdEdl

EdBdl Edl

dt 0 0Bdl

dt

0E 0B

BE

0 0EB

t 0 0 t

3-D Κυματική εξίσωση για Ε, Β(στον κενό χώρο)(στον κενό χώρο)

0E 0B 0 0EBt

BEt

E

tt

0 0( )( )( ) ( )

EB B tEt t t

0 2

0 0 2( ) ( )

t t tEE E

t

0

22

0 0 2EE

t

22

0 0 2BB

t

και ομοίως:2t 2t

Σύνοψη κυμάτων2 21h h • Κυματική εξίσωση σε μια διάσταση: 2 2

2 2 2

1h hx v t

• Κυματική εξίσωση σε μια διάσταση:

(το περιγράφει μία «διαταραχή» h που διαδίδεταιπ.χ. πίεση για ακουστικά κύματα, E,B για Η/Μ κ.τ.λ.)έχει γενική λύση της μορφής*:

1 2( , ) ( ) ( )h x t h x vt h x vt έχει γενική λύση της μορφής :

όπου h1 παριστά διαταραχή που οδεύει στην +x διεύθυνση και 1 ρ ρ χή η ηh2 στην -x διεύθυνση.

Θεωρούμε την f(x) f(x-vt);

Το f(x-vt) είναι ένα οδεύον κύμα κινούμενο προς τα δεξιά (+x)

*Απόδειξη( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )h t h t h t h th t t t

2 22 ( ) ( )( ) h x vt h x vth x t

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

h x vt h x vt h x vt h x vth x t x vt x vtx x vt x x vt x x vt x vt

1 22 2 2

( ) ( )( , )( ) ( )

h x vt h x vth x tx x vt x vt

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )h x vt h x vt h x vt h x vth x t x vt x vt 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

v vt x vt t x vt t x vt x vt

2 222 21 2( ) ( )( , ) h x vt h x vth x t

2 21h h

2 21 22 2 2

( ) ( )( )( ) ( )

v vt x vt x vt

2 2

2 2 2

1h hx v t

Σύνοψη κυμάτων• Μια ειδική λύση αφορά αρμονικά κύματα 0.5

1

t = 0

που οδεύουν στην +x διεύθυνση:0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

2 2, sin sinh x t A x t A kx tT

t= Τ/50.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

T

2k v f 22 f

A = πλάτος, T= περίοδος, f= συχνότητα, = μήκος κύματος («χωρική περίοδος»), k= κυματάριθμος («χωρική συχνότητα»), = ταχύτητα φάσης

t = 2Τ/5λ

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

v f

k2 f

T

Κάθε σημείο στο χώρο εκτελείακριβώς την ίδια απλή αρμονικήταλάντωση με περίοδο Τ αλλά

ht = 3Τ/5

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

1

x =0Τ

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

καθώς το κύμα διαδίδεται μεπεπερασμένη ταχύτητα v έχουνδιαφορετική φάση.t= 4Τ/5

-1

-0.5

0.5

1

x =3λ/5h

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

A = 1t= Τ

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

t από 0 έως 3 sec

ω, f, Τ, καθορίζονται από την πηγήv, λ, k, καθορίζονται από το μέσοδιάδοσης

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

x από 0 έως 3 m

= 1 mT = 1 sec

t από 0 έως 3 secΓιατί αρμονικά κύματα; ∆ιότι όλα μπορούν, μέσωμετασχηματισμού Fourier, να αναλυθούν σεεπαλληλία αρμονικών κυμάτων.

Η κυματική εξίσωση για Ε, Β2 21h h

2 2

2 2

2 2 2

1h hx v t

22

0 0 2EE

t

22

0 0 2BB

t

2 2

0 0

1v c

Οι παραπάνω εξισώσεις περιγράφουν λοιπόν κύματα για ταΕ και Β που διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα. ∆ΕΝ είναι όμως

0 0

μ η χ η μ ςανεξάρτητα μεταξύ τους. Οφείλουν να είναι συμβατά με όλεςτις εξισώσεις Maxwell. Αν θεωρήσουμε ότι το Ε έχει μόνον yσυνιστώσα και διαδίδεται στο άξονα x οι συσχετισμοίστροφής των πεδίων απαιτούν το Β να έχει μόνονσυνιστώσα κατά z και να διαδίδεται επίσης στον άξονα x.

1-D Κυματική Εξίσωση και Η/Μ ΑκτινοβολίαΑμφότερα τα E & B οδεύουν ως κύματα:

2 2y yE E

2 2

z zB B 0 02 2x t

0 02 2x t

Συσχετίζονται αυστηρά μεταξύ τους:χ ζ ηρ μ ξ ς

0 0yz EB

x t

yz EB

t x

Τα Ey και το Bz είναι “ίδια” και οδεύουν κατά μήκος του άξονα x

Αν θεωρήσω: 0 0( ); ( )y zE E f x vt B B f x vt 0 0( ); ( )y zf f

0 0 0 0( ) ( ) ( )yz EB f x vt x vt f x vtB E vB E

t x x t x

Ey και Bz είναι τα «ίδια» όμως έχουν διαφορετικά πλάτη

Ιδιότητες ΗΜ κυμάτωνΤαξιδεύουν (στο κενό) με την ταχύτητα του φωτός

8

0 0

1 3 10 mc vs

0 0

Σε κάθε σημείο και κάθε χρονική ή E B ί ά

0EE c στιγμή τα E και B είναι σε φάση μεταξύ τους, με 0

cB B

τα E και B κάθετα μεταξύ τους και προς την διεύθυνσητα E και B κάθετα μεταξύ τους και προς την διεύθυνση διάδοσης (είναι εγκάρσια):

∆ιεύθυνση διάδοσης = ∆ιεύθυνση του E B

Ηλεκτρομαγνητικά κύματαΜήκος κύματος(m)

Συχνότητα (Hz)Συχνότητα (Hz)

Ορατό φως

Υπενθύμιση: λf =c

Ενέργεια και διάνυσμα Poynting

Πυκνότητες ενέργειας: 2 20

0

1,2 2e mu E u B

02 2Θεωρούμε κύλινδρο:

1 1 Ενέργεια στον κύλινδρο:

2 20

0

1 1( )2e mdU u u Adz E B Acdt

Ροή ενέργειας (ενέργεια ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα χρόνου)

2 20 0

0 0

1 1 12 2

dU c cS E B cEB EBA dt c

EB EB

20 0

0 01

2EB EBc

∆ιάνυσμα Poynting και ένταση Ι∆ιεύθυνση ροής ενέργειας = διεύθυνση διάδοσης κύματος

E×BS

∆ιάνυσμα Poynting

0S

20 0

02 2

ˆ ˆcos ( )( )

ˆ ˆ

E B kx t y zS

Για αρμονικό κύμα θα έχουμε:

Η ισχύς ανά μονάδα επιφανείας αυξομειώνεται συνεχώς. Αυτό που ανιχνεύουμε είναι η μέση τιμή της η ένταση ακτινοβολίας Ι

2 22 20 0

0 0

ˆ ˆcos ( ) cos ( )E x cB xkx t kx t

c

Ένταση I:2 2

0 0 0 0

2 2 2E B E cBI S

c

είναι η μέση τιμή της, η ένταση ακτινοβολίας Ι.

0 0 02 2 2c 2 2

0

1 1 cos(2( )) 1 1 1cos ( ) cos ( ) ( )2 2 2

T kx t Tkx t kx t dt d kx tT T T

∆ιεύθυνση ροής ενέργειας = διεύθυνση διάδοσης κύματος

Ορμή Η/Μ κύματος και Πίεση ακτινοβολίας dp EB SΌ έ έ Η/Μ β λί έ ή

2 20

p SdV c c

Όπως φέρει ενέργεια, η Η/Μ ακτινοβολία φέρει και ορμή:

όταν διέρχεται από επιφάνεια εμβαδού Α η ροή της θα είναι (V=c·dt):

1 1 1dp EB S dp S dp S I

Πίεση ακτινοβολίας:

2 20

1 1 1dp EB S dp S dp S IA cdt A dt c A dt c cc c

Αν σε μία επιφάνεια η Η/Μ ακτινοβολία απορροφηθεί ή ανακλαστεί κατά 100%τότε η μεταβολή ορμής ανά μονάδα επιφανείας (δύναμη/επιφάνεια) ισοδυναμείμε μία πίεση, την πίεση ακτινοβολίας:

Πίεση ακτινοβολίας:

με μία πίεση, την πίεση ακτινοβολίας:

Σ Γ έ Ι 1 4kW/ 2 4 7 P ό β λί

radIpc

2

radIp

cαπορρόφηση ανάκλαση

Στη Γη έχουμε Ι1.4kW/m2 και prad4.7 μPa για απορρόφηση της ακτινοβολίας.

Αμελητέα μεν όπως εμφανίζεται παραπάνω, αλλά στο εσωτερικό τωναστέρων διέπει την εξέλιξή τους! Πρέπει να προβλέπεται στονρ η ξ ξή ς ρ ρ βυπολογισμό της τροχιάς των διαστημοπλοίων και αποτελεί, επίσης,σοβαρή πρόταση ως πηγή ενέργειας για την κίνηση στο διάστημα(ηλιακά ιστία (πανιά)).

Μέτωπα κύματος και ακτίνεςΣε ένα οδεύον επίπεδο κύμα ιδανικά καλύπτεταιολόκληρος ο χώρος. Όλα τα σημεία που έχουν την ίδιαφάση (ακριβώς και όχι πολλαπλάσιο) συνιστούν έναεπίπεδο. Σε αυτό ταλαντώνονται με την ίδια φάση τα Εεπίπεδο. Σε αυτό ταλαντώνονται με την ίδια φάση τα Εκαι B, ενώ το κύμα διαδίδεται κάθετα σε αυτά. Ταεπίπεδα χαρακτηρίζονται ως μέτωπα κύματος ενώ οικάθετες σε αυτά όπου διαδίδεται το κύμα είναι οιακτίνες.ακτίνες.Από μία σφαιρικής συμμετρίας πηγή που εκπέμπειισότροπα τα μέτωπα κύματος θα είναι σφαίρες. Καθώςη επιφάνεια είναι περιορισμένη και ίση με 4πR2, ηένταση Ι θα είναι φθίνει με την απόσταση από την πηγήένταση Ι θα είναι φθίνει με την απόσταση από την πηγήακόμη και αν δεν έχουμε απώλειες ενέργειας. Αν ήταν Ι1σε απόσταση R1 η συνολική ενέργεια και η έντασηακτινοβολίας σε απόσταση R2 θα είναι:

Μέτωπα κύματος

222 2 1

1 1 2 2 2 1 22

4 4 RE P I R I R I IR

Πως θα σχετίζονταν οι εντάσεις ακτινοβολίας σε μίας χ ζ ς β ς μιδανική, γραμμική άπειρου μήκους και ισότροπηςεκπομπής πηγή;

∆ιάδοση σε ιδανικό διηλεκτρικόΗ όδ ξ ξί Η/Μ ύ ό (δ ά 10 ό )Η απόδειξη για την εξίσωση Η/Μ κύματος στο κενό (διαφάνεια 10 της ενότητας)δεν αλλάζει σε τίποτα εάν το μέσο το οποίο μελετούμε δεν έχει ελεύθεραφορτία, ούτε και ρεύματα συνεπώς δεν εμφανίζει απώλειες και είναι ομογενέςκαι ισότροπο. Στην περίπτωση αυτή απλά πρέπει να αντικαταστήσουμε ε0ε

Ε λέ δή δ ό ό λ ό έκαι μ0μ. Επιπλέον, επειδή δεν πρόκειται για μαγνητικό υλικό έχουμε μμ0.Συνεπώς έχουμε ακριβώς τις ίδιες εξισώσεις και λύσεις τους με τη διαφορά ότι ηταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι:

0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

r r r r r r rv c c

Οπότε η ταχύτητα διάδοσης φάσης σε ιδανικό διηλεκτρικό είναι μικρότερη τηςΟπότε η ταχύτητα διάδοσης φάσης σε ιδανικό διηλεκτρικό είναι μικρότερη τηςταχύτητας του φωτός. Καθώς όμως λ=υ/f και η συχνότητα καθορίζεται από τηνπηγή το μήκος κύματος θα είναι μικρότερο μέσα στο υλικό.Το κλάσμα της ταχύτητας κύματος στο κενό (c) σε σχέση με την

1 rc cn

nc

ταχύτητα του εντός του μέσου μας δίνει τον δείκτη διάθλασηςτου μέσου:

rc

∆ιασκεδασμός: Ο δ.δ. n για ένα υλικό δεν είναι ο ίδιος για όλες τιςσυχνότητες ω (μήκη κύματος λκενό)n=n(λ).

Η/Μ κύμα σε διαχωριστική επιφάνεια δύο ιδανικών διηλεκτρικών

Γ ίζ λύ δ άδ Η/Μ έ ό ήΓνωρίζουμε τις λύσεις διάδοσης των Η/Μ για μέσα ισότροπα, ομογενή καιχωρίς αποσβέσεις (απορρόφηση). Πως αυτές συνδέονται στην διαχωριστικήεπιφάνεια δύο τέτοιων μέσων;

Κύμα προσπίπτει με γωνία φ στην διαχωριστική επιφάνειαn1, υ1, λ1

φ

μ ρ μ γ φ η χ ρ ή φτων δύο μέσων. Όταν το «αριστερό» τμήμα του μετώπουκύματος βρεθεί πάνω στην διαχωριστική επιφάνεια ηδιαταραχή θα αρχίσει να διαδίδεται και στα δύο μέσα (μεδιαφορετική ένταση βέβαια) και διαφορετικές ταχύτητεςχαρακτηριστικές του μέσου Η απόσταση για να φτάσειχαρακτηριστικές του μέσου. Η απόσταση για να φτάσειστην διαχωριστική επιφάνεια και το «δεξιό» μέρος τουκύματος είναι s.Όταν και το «δεξιό» μέρος του μετώπου φτάσει στηνεπιφάνεια θα έχει παρέλθει χρόνος t=s/υ1 Τότε η

s1s

s2

ω

θ

επιφάνεια θα έχει παρέλθει χρόνος t s/υ1. Τότε ηδιαταραχή θα έχει φτάσει σε απόσταση s1=υ1·t=s στοπρώτο μέσο και s2=υ2·t=υ2·s/υ1 στο δεύτερο. Τα μέτωπακύματος καθορίζονται από την εφαπτομένη σε όλους του“κύκλους” στο κάθε μέσο.

2

n2, υ2, λ2

Από την γεωμετρία s/sinφ=s1/sinω και s=s1, οπότε φ=ω.Αντίστοιχα, s2/sinθ=s/sinφ και s2=υ2·s/υ1 , οπότευ2·sinθ=υ1·sinφ. ∆ηλαδή: sin sinn n Ανάκλαση: ∆ιάθλαση: 1 2sin sinn n Ανάκλαση: ∆ιάθλαση:

Ο διασκεδασμός, n=n(λ), συνεπάγεται ότι διαφορετικά λ διαθλώνται σε διαφορετικές γωνίες,δηλαδή έχουμε ανάλυση του κύματος (φωτός) στις φασματικές συνιστώσες του. (πρίσματα,ουράνιο τόξο, κ.τ.λ. )

Η αρχή του Huygens

Σ ύ όδ ξ θ ή ό άθ ό έΣτην προηγούμενη απόδειξη θεωρήσαμε ότι κάθε απειροστό μέρος τουμετώπου κύματος που φτάνει στην διαχωριστική επιφάνεια λειτουργεί ωςσημειακή πηγή.Ο Huygens είχε κάνει την γενικότερη διατύπωση ότι κάθε κομμάτι ενόςyg χ η γ ρη η μμ ςμετώπου κύματος (ασχέτως διαχωριστικής επιφάνειας) λειτουργεί ωςδευτερεύουσα, σημειακή πηγή του κύματος. Η διατύπωση αυτή έγινε 200χρόνια πριν την διατύπωση των εξισώσεων του Maxwell και είναι σύμφωνη μεαυτές.ς

∆ευτερεύουσαμέτωπα Αν έχουμε ένα επίπεδο κύμα αλλά σε πεπερασμένο

χώρο π.χ. μία δέσμη λέιζερ. Τι συνέπεια έχει ηχ ρ χ μ μη ζ ρ χ ηπαραπάνω αρχή σε σχέση με το μέγεθος της διατομήτης δέσμης κατά τη διάδοσή της;Οι μεγαλύτερης ή οι μικρότερης διαμέτρου δέσμες«ανοίγουν» περισσότερο;«ανοίγουν» περισσότερο;

Ολική Ανάκλαση

Όταν το φως εισέρχεται από σχετικά πυκνό οπτικά μέσο (n ) σε αραιότεροΌταν το φως εισέρχεται από σχετικά πυκνό οπτικά μέσο (n1) σε αραιότερο(n2<n1) τότε για τη γωνία θ θα ισχύει: 1

2sin sinn

n

n1, υ1, λ1

φ

όμως δεν μπορεί να ισχύει για όλες τις τιμές του φκαθώς |sinθ|=1 και n1/n2>1. Οριακά η διαθλώμενημπορεί να είναι παράλληλη στην διαχωριστικήεπιφάνεια, δηλαδή θ=π/2.φ

φc

90o

Συνεπώς η οριακή γωνία φc θα είναι:

2

1sin c

nn

θ 1για μεγαλύτερες γωνίες δεν μπορεί να υπάρξειδιερχόμενη δέσμη και έτσι όλη η ενέργεια διατίθεταιστην ανακλώμενη: φαινόμενο ολικής ανάκλασης.

n2, υ2, λ2

Εφαρμογές: Πρίσματα 90ο ως100% ανακλαστικά κάτοπτρακαι οπτικές ίνες γιατηλεπικοινωνίες, ενδοσκόπιατηλεπικοινωνίες, ενδοσκόπιακ.τ.λ.

Πόλωση

Ένα επίπεδο κύμα οδεύον στον άξονα x με το ηλεκτρικό πεδίο του ναΈνα επίπεδο κύμα οδεύον στον άξονα x με το ηλεκτρικό πεδίο του ναταλαντώνεται μόνιμα στον άξονα y, λέμε ότι είναι γραμμικά πολωμένο στονάξονα y, καθώς η προβολή του σε επίπεδο κάθετο στην διεύθυνση αυτή είναιμία γραμμή. Μπορούμε να φανταστούμε την επαλληλία δύο

γραμμικά πολωμένων κυμάτων που διαδίδονταιστην κατεύθυνση +x και έχουν ίσα πλάτη έντασης Εαλλά το ένα είναι πολωμένο κατά y και το άλλο κατάz και έχουν μεταξύ τους σταθερή διαφορά φάσης φ.

x

0 siny yE E kx t 0 sinz zE E kx t

•Γραμμικά πολωμένο, φ=0, πο λόγος των πλατών καθορίζει την κλίσηο λόγος των πλατών καθορίζει την κλίση.•Κυκλικά πολωμένο, φ= π/2αριστερόστροφα, δεξιόστροφα πολωμένο•Για λόγο πλατών 1 γίνεται ελλειπτικά πολωμένο με μεγάλο ημιάξονα στο y ή z

wikipediay z πολωμένο με μεγάλο ημιάξονα στο y ή z.

•Ελλειπτικά πολωμένο, φ 0, φ π/2 αριστερόστροφα, δεξιόστροφα πολωμένοΓια λόγο πλατών=1 ο μεγάλος άξονας 45ο

α 1 σ ρίβε η έλλε η βλέ ε σ ή α α Lissajo sΤο «δεξιόστροφο» ή «αριστερόστροφο»καθορίζεται από τη φορά περιστροφής του Ε για 1 «στρίβει» η έλλειψη. βλέπε σχήματα Lissajous.ρ ζ η φ ρ ρ ρ φήςκοιτώντας το κύμα να έρχεται προς τα εμάς.

Το φυσικό φως δεν έχει προτιμητέα πόλωση. Ισοδυναμεί με την παραπάνωπεριγραφή όπου το φ δεν είναι σταθερό και παίρνει όλες τις τιμές τυχαία με τον χρόνο.

Πόλωση - Πολωτές

Κάποια μη ισότροπα υλικά μπορούν χρησιμοποιηθούν ως γραμμικοί πολωτέςΚάποια μη ισότροπα υλικά μπορούν χρησιμοποιηθούν ως γραμμικοί πολωτές.Στον άξονα πόλωσής τους επιτρέπουν όλο (ιδανικά) το παράλληλα πολωμένοσε αυτόν φως να περάσει ενώ στον κάθετο τον αποκόπτουν.

Φυσικόφως

Άξοναςπολωσης

Εάν το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικάΤο φίλτρο απορροφά την οριζόντιας πόλωσης συνιστώσα του φωτός

Το διερχόμενο κύμα είναι γραμμικά πολωμένο στην κατακόρυφο

Εάν το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικάπολωμένου φωτός σχηματίζει γωνία φ μετον άξονα πόλωσης γραμμικού πολωτήτότε το διερχόμενο πεδίο έχει μόνο Εcosφσυνιστώσα. Συνεπώς η έντασησυνιστώσα. Συνεπώς η έντασηακτινοβολίας Ι:

2max cosI I

Πόλωση - Πλακίδια

Άλλα κρυσταλλικά μη ισότροπα υλικά μπορούν χρησιμοποιηθούν για τηνΆλλα κρυσταλλικά μη ισότροπα υλικά μπορούν χρησιμοποιηθούν για τηνμετατροπή γραμμικά πολωμένου σε κυκλικά πολωμένο φως (και τοαντίστροφο). Τα υλικά αυτά δεν απορροφούν φως αλλά παρουσιάζουνδιαφορετικό δ.δ. για πόλωση στον y και στον z. Εφαρμογές:φωτογραφία/μικροσκοπία 3D τηλεόραση κ τ λφωτογραφία/μικροσκοπία, 3D τηλεόραση κ.τ.λ.

wikipedia

Εάν το ηλεκτρικό πεδίο γραμμικά πολωμένου φωτός σχηματίζει γωνία 45o μετον άξονα y και z τότε για τις δύο ίσες συνιστώσες κατά την έξοδό τους από τοπλακίδιο πάχους d θα έχει «συσσωρεύτει» διαφορά φάσης k|ny-nz|d. Ανπρόκειται για «πλακίδιο λ/4», δηλαδή |ny-nz|d=λ/4, η διαφορά φάσης θα είναιρ γ , η ή | y z| , η φ ρ φ ηςπ/2 και το εξερχόμενο φως θα είναι κυκλικά πολωμένο.Αντίστοιχα, πλακίδια λ/2 απλά στρέφουν το επίπεδο πόλωσης γραμμικάπολωμένου φωτός.