ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΟΗ - ΒΑΘΜΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ...

ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ, ΑΝΟΙΚΤΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Π. Πρίνος, ΑΠΘ

4. ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΟΗ – ΒΑΘΜΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΡΟΗ * Η μεταβολή των χαρακτηριστικών της ροής είναι ήπια * Η κατανομή της πίεσης στο βάθος ροής είναι υδροστατική * Οι κύριες απώλειες ενέργειας οφείλονται στις τριβές 4.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Θεωρώντας υδροστατική κατανομή της πίεσης η συνολική ενέργεια πάνω

από το επίπεδο αναφοράς είναι

Η = + +z hU

g

2

2

Παραγωγίζοντας την σχέση ως προς x έχουμε:


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Α

Τ−+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ Α

Α−+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Α++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Α++=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++=

Η

3

2

3

2

2

2

2

2

2

g

Q1

dx

dh

dx

dz

dh

d

g

Q1

dx

dh

dx

dz

dx

dh

g2

Q

dh

d

dx

dh

dx

dz

g2

Q

dx

d

dx

dh

dx

dz

g2

U

dx

d

dx

dh

dx

dz

dx

d

Αλλά

ddx

S f

Η= − και

dzdx

So= −

dhdx

S SQg

o=

−

−12

3

ΤΑ

f , dhdx

S SFr

o=

−

−1 2f όπου Fr

UgD

=

• Η παραπάνω εξίσωση είναι η διαφορική εξίσωση για τη βαθμιαία μεταβαλλόμενη ροή

με την οποία υπολογίζονται τα προφίλς της ροής (καμπύλες ελεύθερης επιφάνειας).

• Μία ροή με θετική τιμή του dh/dx φανερώνει μία αύξηση του βάθους κατά μήκος του

αγωγού. Ενα τέτοιο προφίλ ροής ονομάζεται και καμπύλη υπερύψωσης (backwater

curve).

• Οταν ο λόγος dh/dx είναι αρνητικός τότε το βάθος μειώνεται στη κατάντη διεύθυνση

και έχουμε καμπύλη κατάπτωσης (drawdown curve).

• Προφανώς όταν η ροή είναι ομοιόμορφη τότε dh/dx = 0 ή So = Sf.


4.2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΠΡΟΦΙΛΣ

(α) Απότομη (Steep) κλίση (hn<hc, So > Sc)

(β) Ήπια (Mild) κλίση (hn>hc, So < Sc)

(β) Κρίσιμη (Critical) κλίση (hn=hc, So = Sc)

(δ) Οριζόντια (Horizontal) κλίση (So = 0)

(ε) Αντίθετη (Adverse) κλίση (So < 0).

Επίσης τρείς βασικές γραμμές υπεισέρχονται στις διάφορες κατηγορίες των

προφίλς: (α) πυθμένας του αγωγού

(β) γραμμή ομοιόμορφου βάθους

(γ) γραμμή κρίσιμου βάθους.

Έτσι δημιουργούνται και τρεις ζώνες

(α) Ζώνη 1 (η περιοχή πάνω από την πάνω γραμμή)

(β) Ζώνη 2 (περιοχή μεταξύ δύο γραμμών)

(γ) Ζώνη 3 (περιοχή μεταξύ πυθμένα και της κάτω γραμμής).

Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα S, C, M, H και Α για τις 5 κατηγορίες κλίσεων

και τους δείκτες 1, 2 και 3 για τις 3 ζώνες μπορούμε να έχουμε προφίλς του

τύπου S2, M1, A2, C3 κλπ.


ΠΙΝΑΚΑΣ: Κατηγορίες Προφίλς σε Πρισματικούς Αγωγούς

Κλίση Ζώνες Τύπος Κοίλα. Τύπος

Αγωγού Ζώνη 1 Ζώνη 2 Ζώνη 3 καμπύλης Ροής

Ηπια So < Schn > hc

M1(h > hn)

Μ2(hn> h >

hc)

M3(h < hc)

Υπερύψωση

Κατάπτωση

Υπερύψωση

Κοίλα επάνω

Κοίλα κάτω


Υποκρίσιμη


Υπερκρίσ.

Κρίσιμη So = Schn = hc

C1(h > hc)

C3(h < hc)

Υπερύψωση

Υπερύψωση

Πρακτικά Ευθεία

Υποκρίσιμη Υπερκρίσ.

Απότομη So > Sc

hn < hc

Οριζόντια So = 0 hn = ∞

Αντίθετη

So < 0 hn = δεν ορίζεται

S1(h > hc)

S2(hn< h <

hc)

H2(h > hc)

A2(h > hc)

S3(h < hc)

H3(h < hc)

A3(h < hc)

Υπερύψωση

Κατάπτωση

Υπερύψωση

Κατάπτωση

Υπερύψωση

Κατάπτωση

Υπερύψωση

Κοίλα κάτω


Κοίλα κάτω

Κοίλα κάτω


Κοίλα κάτω



Υπερκρίσ.

Υπερκρίσ.


Υπερκρίσ.


Υπερκρίσ.


Προφίλς ήπιας κλίσης (Μ)


Προφίλς απότομης κλίσης (S)


Προφίλς κρίσιμης κλίσης (C)


Προφίλς οριζόντιας και αντίθετης κλίσης (Η και Α)


4.3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΒΑΘΜΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗΣ ΡΟΗΣ ΣΕ

ΠΡΙΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

Βαθμιαία μεταβαλλόμενη Ροή σε τμήμα αγωγού

Τμήμα αγωγού μήκους Δx όπου η μέση κλίση της γραμμής ενέργειας είναι Sf

Εφαρμογή της εξίσωσης ενέργειας μεταξύ των διατομών 1 και 2

S x hU

gh

Ug

S xo fΔ Δ+ + = + +112

222

2 2

η

ΔΕ Ε

xS So f

=−−

2 1


Υπολογισμός του Sf

(α) Με τη πρώτη μέθοδο υπολογίζονται οι κλίσεις στα δύο άκρα του βήματος με

την εξ. Manning και το Sf υπολογίζεται σαν ο μέσος όρος των δύο δηλ.

SU nRf

o1

12 2

14 3= / S

U nRf 2

22 2

23 4= /

και

SS S

ff f

=+1

22

• Για προφίλς M1 και S2

(β) Με τη δεύτερη μέθοδο το Sf υπολογίζεται σαν αυτό που αντιστοιχεί στο

μέσο βάθος και στη μέση ταχύτητα του τμήματος αυτού, δηλ:

SU nR

f =2 2

4 3/

όπου R = υδραυλική ακτίνα που αντιστοιχεί σε βάθος (h1+h2)/2 και U = μέση

ταχύτητα της διατομής με το παραπάνω βάθος.

• Για προφίλς Μ2, Μ3, S1 και S3


4.4 ΒΑΘΜΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΡΟΗ ΣΕ ΜΗ ΠΡΙΣΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΓΩΓΟΥΣ

Θέτοντας z1 και z2 τα υψόμετρα του πυθμένα από το επίπεδο αναφοράς,

έχουμε

h zU

gh z

Ug

h hf1 112

2 222

2 2+ + = + + + +

όπου hf = απώλειες λόγω τριβής σε μήκος Δx,

= δευτερεύουσες απώλειες. h

Το hf μπορεί να γραφεί σαν fS xΔ και το σαν h2 21U UK2g− 2 όπου το Κ

μεταβάλλεται από 0.1 έως 0.3 σε ροές με μείωση της διατομής και από 0.20 σε

0.50 σε ροές με αύξηση της διατομής.

Αρχίζοντας από γνωστές συνθήκες στη διατομή 1 το πρόβλημα

επικεντρώνεται στο προσδιορισμό των συνθηκών στη διατομή 2 έτσι ώστε να

ικανοποιείται η εξίσωση.


Γενικά, οι διατομές είναι γνωστές σε ειδικές θέσεις σε μη-πρισματικούς

αγωγούς και το πρόβλημα σε τέτοιες περιπτώσεις μετατοπίζεται στον

υπολογισμό του βάθους για γνωστές τιμές του x παρά στον προσδιορισμό της

απόστασης για γνωστά βάθη. Η πλέον συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος στις

περιπτώσεις αυτές είναι η μέθοδος του σταθερού βήματος που περιγράφεται

παρακάτω.

Μέθοδος Σταθερού Βήματος

Η μέθοδος βασίζεται στην εξίσωση ενέργειας.

Εξετάζοντας τη περίπτωση της υποκρίσιμης ροής οι υπολογισμοί γίνονται προς

την ανάντη διεύθυνση.

Για δεδομένη παροχή, το βάθος ροής είναι γνωστό σε μία διατομή ελέγχου.

Επομένως χρειάζεται ο υπολογισμός του βάθους ροής στην αμέσως ανάντη

διατομή. Για την διατομή αυτή υποθέτουμε μία τιμή του βάθους και

υπολογίζουμε την ενέργεια ( ). h z U g1 1 12 2+ + /

Αφού τα βάθη στα δύο άκρα του τμήματος είναι γνωστά μπορούν να

υπολογισθούν τα hf και όπως h h Sf f= Δx και h U U= −Κ 12

22 2/ g .

Επομένως η τιμή του (h z ) υπολογίζεται από την εξίσωση ενέργειας

και συγκρίνεται με την προηγούμενη τιμή. Αν οι δύο τιμές δεν συμφωνούν,

υποθέτουμε μία νέα τιμή για το h

U g1 1 12 2+ + /

1 και οι υπολογισμοί επαναλαμβάνονται μέχρι

να έχουμε σύμπτωση των δύο τιμών.

Η διαδικασία μετά συνεχίζεται για τις επόμενες διατομές.


4.5 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΠΑΡΟΧΗΣ

*Υπολογισμός της παροχής σε αγωγό, κλίσης S0 και τραχύτητας n, που

συνδέεται με λίμνη σταθερής στάθμης, ύψους Η

1) Αν ο αγωγός έχει απότομη κλίση ( κλίση τύπου S) στο σημείο σύνδεσης το

βάθος ροής θα είναι κρίσιμο, hc και η παροχή στον αγωγό θα είναι η κρίσιμη

παροχή, Qc.

Τα άγνωστα μεγέθη hc και Qc υπολογίζονται από τις σχέσεις

2

3

Q T 1.0gA

= (1) και Ελιμ = Εαγωγ η 2

c 2

QH h2gA

= + (2)

2) Αν ο αγωγός έχει ήπια κλίση ( κλίση τύπου Μ) στο σημείο σύνδεσης το βάθος ροής θα είναι ομοιόμορφο, hn και η παροχή στον αγωγό θα είναι η ομοιόμορφη παροχή, Qn. Τα άγνωστα μεγέθη hn και Qn υπολογίζονται από τις σχέσεις

2 / 3 1/ 20

1Q AR Sn

= (1) και Ελιμ = Εαγωγ η 2

n 2

QH h2gA

= + (2)

* Για τον υπολογισμό της κλίσης του αγωγού ( S η M) υπολογίζουμε την κρίσιμη κλίση Sc και την συγκρίνουμε με την κλίση του αγωγού S0 . Για S0 > Sc η κλίση είναι τύπου S ενώ για S0 < Sc η κλίση είναι τύπου Μ.

ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΟΗ - ΒΑΘΜΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ...

Documents

Transcript of ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΡΟΗ - ΒΑΘΜΙΑΙΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ...