Ταυτότητα Σεναρίου 1. H 2. 3. 4....

1

Ταυτότητα Σεναρίου

1. Τίτλος H ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Εισαγωγή στην αλγεβρική διάσταση του υπολογισμού των ριζών

2. Συγγραφέας Λυγάτσικας Ζήνων

3. Γνωστική

περιοχή Άλγεβρα Α Λυκείου

4. Τεχνολογικά

Εργαλεία

Internet, Geogebra, Maple, Vpython, Mathematica (Διαχείριση δεδομένων και πληροφοριών, Δυναμικός χειρισμός γεωμετρικών δεδομένων, συμβολική έκφραση και αλγόριθμοι)

5. Θέματα Η γεωμετρική μοντελοποίηση ενός αλγεβρικού προβλήματος

Αξιολόγηση του μοντέλου – το πρόβλημα της προσέγγισης και της γενίκευσης.

Αλγεβρική λύση της εξίσωσης με κατασκευή αλγορίθμου στο MAPLE ή VPYTHON Μερικά αξιοσημείωτα αποτελέσματα της άλγεβρας στην επίλυση δευτεροβάθμιας

εξίσωσης.

Σκεπτικό σεναρίου

1. Προβλήματα

2. Καινοτομίες

Έχει παρατηρηθεί ότι η πλειονότητα των μαθητών αδυνατεί να δώσει μακροπρόθεσμα ένα μαθηματικό περιεχόμενο στην αλγεβρική μέθοδο επίλυσης της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Η

επίλυση των εξισώσεων αυτών είναι μοναδική ευκαιρία για να τονισθεί η αλγεβρική

διάσταση του «υπολογίζω» μια ποσότητα σε αντίθεση με το «υπολογίζω» γεωμετρικά. Ο γεωμετρικός υπολογισμός μοιραία θα ενσωματωθεί στις επόμενες βαθμίδες εκπαίδευσης

μέσα στον αναλυτικό υπολογισμό. Επειδή όμως εδώ η αποτελεσματικότητα της άλγεβρας

στον υπολογισμό των ριζών είναι αναγνωρίσιμη, αναγνωρίσιμη όχι κατανοητή, από το σύνολο των μαθητών, τότε θα είναι μια καλή ευκαιρία να εισάγουμε τον μαθητή στην

άλγεβρα.

Η γεωμετρική μέθοδος είναι η πρώτη μέθοδος που χρησιμοποιήθηκε για να λύσει προβλήματα που ανάγονται γενικά στην επίλυση εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Η μέθοδος

αυτή χρησιμοποιείται σήμερα στο Λύκειο σε αλγεβρικά προβλήματα αναγωγής, δεν έχει

όμως καμία πρακτική αξία στην επίλυση εξισώσεων. Οι αιτίες είναι πολλές, δεν γενικεύεται για το σύνολο των πολυωνυμικών εξισώσεων και ο εκ των πραγμάτων προσεγγιστικός

αριθμητικός υπολογισμός της ρίζας είναι σήμερα μαθηματικά ξεπερασμένος. Παρ ́όλα αυτά,

η εγκυρότητα της γεωμετρικής διάστασης του υπολογισμού δίνει την δυνατότητα ελέγχου της

πολυπλοκότητας και της βελτιστοποίησης των υπαρχόντων αλγορίθμων επίλυσης εξισώσεων ή συστημάτων που χρησιμοποιούνται στο ευρύ φάσμα των επιστημών γενικότερα. Για τον

λόγο αυτό κρίνουμε απαραίτητη την αναφορά σε εναλλακτικές μεθόδους υπολογισμού των

ριζών, εκθέτοντας παράλληλα και τα συγκεκριμένα υπολογιστικά προβλήματα που αυτήν δημιουργεί.

Η καινοτομία της διαδικασίας που προτείνουμε εστιάζεται ουσιαστικά στην αντιπαράθεση

μεταξύ γεωμετρικού και αλγεβρικού υπολογισμού, κάτι που αν και δεν υποστηρίζετε ανοικτά

στο ΑΠΣ, σημειώνετε ότι είναι ένας από τους στόχους του.

Η γεωμετρική μοντελοποίηση της επίλυσης ενός τύπου δευτεροβάθμιας εξίσωσης με την χρήση του Geogebra που θα παρουσιάσουμε, δεν έχει σχέση με την γεωμετρική μέθοδο που

χρησιμοποίησε αργότερα ο Descartes για το ίδιο πρόβλημα. Με αφορμή το πρόβλημα του

Πίνακα ΒΜ 1390 που χρονολογείται από το 1800 πχ, και την βοήθεια της γεωμετρίας θα κατασκευάσουμε μια «μηχανή» για την εύρεση των θετικών ριζών μιας μορφής

δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Η κατασκευή αυτή θα θα μας δώσει την δυνατότητα να θίξουμε

προβλήματα προσέγγισης και ακρίβειας, χωρίς να αναφέρουμε την μέθοδο Newton. Αντίθετα, για το ίδιο πρόβλημα ο αλγεβρικός υπολογισμός παρουσιάζει διαφορετικά

χαρακτηριστικά. Θα αναδείξουμε τον εσωστρεφή χαρακτήρα της μεθόδου με την δημιουργία

αλγορίθμου και με την ανάδειξη των συμμετρικών μορφών των τύπων του Vieta.

Παράλληλα θα βάλουμε την βάση για την χρήση λογισμικού Υπολογιστικής Άλγεβρας όπως είναι το Μaple ή το Mathematica.

2

3. Προστιθέμενη

αξία

4. Γνωστικά –

διδακτικά

προβλήματα

Η μοντελοποίηση της επίλυσης του αρχαιότερου προβλήματος σχετικά με την μέθοδο

επίλυσης εξίσωσης δευτέρου βαθμού, χρονολογείται από το 1800 πχ, έχει επιστημολογικά

ενδιαφέρον. Παρά το ότι ο προσεγγιστικός χαρακτήρας του υπολογισμού δίνει διαδοχικούς υπολογισμούς νέων ποσοτήτων έτσι ώστε να έχουμε σε κάθε βήμα ένα σταθερό

σημασιολογικό έλεγχο πάνω στις ποσότητες αυτές, δεν έχει τον καθολικό χαρακτήρα που

έχει ο αλγεβρικός υπολογισμός. Στην αλγεβρική διάσταση του υπολογισμού, οι σχέσεις εκφράζονται από την αρχή μέσα σε μια καθολική στατική αναπαράσταση, δες τύπο – σχέση,

που απαιτεί μια αποστασιοποίηση και από το πρόβλημα και από τις ποσότητες. Η δε λύση θα

προκύψει από το λογικό σύστημα που διέπει τον υπολογισμό.

Για πρώτη φορά θα κληθεί ο μαθητής να ισορροπήσει ανάμεσα σε αυτές τις τόσο λεπτές μεθοδολογικές προσεγγίσεις του μαθηματικού υπολογισμού. Η αντιπαράθεση γεωμετρίας -

άλγεβρας θα χρησιμεύσει στο νοητικό ξεκαθάρισμα της διαδικασίας της διερεύνησης καθώς

και στον έλεγχο των υπολογιστικών λαθών σε επίλυση προβλημάτων στις επόμενες τάξεις.

Όπως ήδη έχουμε περιγράψει στην παράγραφο των Προβλημάτων παραπάνω, θεωρούμε ότι

είναι μαθηματικά και διδακτικά ορθό, να διευκρινίσουμε και να υποδείξουμε την δυνατότητα που μας δίνει η άλγεβρα στην διαδικασία του υπολογισμού.

Υπάρχει μια αναστροφή της σκέψης, μετά την ανάλυση της γεωμετρικο/αριθμητικής μεθόδου

στην επίλυση τυ προβληματος του Πίνακα ΒΜ 1390, που συχνά η διδακτική υποτιμά την δυσκολία νομίζοντας ότι είναι αρκετό να δείξει στον μαθητή απλά την λειτουργία του και

μάλιστα σε μερικές περιπτώσεις. Για τον λόγο αυτόν αποφεύγει τις πολυπλοκότερες

μαθηματικές ασκήσεις, κάτι που παιδαγωγικά στα ΑΠΣ χαρακτηρίζεται ξεπερασμένο, για την μαθηματική επιστήμη όπως διδάσκεται στο Λύκειο, πιστεύουμε ότι είναι απαραίτητο.

Εν τω μεταξύ στην πράξη, ο τρόπος ελέγχου του αλγεβρικού υπολογισμού έχει ριζικά

αλλάξει, κάτι που το βλέπουμε να μην είναι κατανοητό στους μαθητές μας όταν στην

αναλυτική γεωμετρία και στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό η διόρθωση του λάθους είναι σχεδόν ανέφικτη.

Ενώ ο γεωμετρικός υπολογισμός οδηγείται από μια αίσθηση ενός εξωτερικού πλαισίου όπου

κάθε πράξη θα μπορούσε να εκφράζεται ποικιλοτρόπως, η άλγεβρα νομιμοποιεί τους μετασχηματισμούς της μέσα από ένα κλειστό σύστημα τυπικών κανόνων.

Διάφορες εκτιμήσεις μεγάλης κλίμακας, στην βιβλιογραφία, δείχνουν ότι οι μαθητές είναι

ανεπαρκώς προετοιμασμένοι να κατανοήσουν αυτές τις λεπτομέρειες που σήμερα έχουν αποκτήσει έναν ευρύτερο παιδαγωγικό χαρακτήρα αφού η βασική ιδέα του αλγεβρικού

υπολογισμού έχει κυριαρχήσει σε πολλές καθημερινές μας δραστηριότητες.

5. Εκπαιδευτική

προσέγγιση

Καθοδηγούμενη ανακάλυψη με φύλλα εργασίας

Πλαίσιο Εφαρμογής

6. Χαρακτηριστι

κά μαθητών

και

προετοιμασία

Σε ποιους απευθύνεται:

Μαθητές της Α τάξης Λυκείου.

Προαπαιτούμενες γνώσεις δεξιότητες μαθητών:

Γνωστικές: Γνωρίζουν την μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγώνου σε απλές

δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Κοινωνικοσυναισθηματικές: Έχουν μικρή εμπειρία εργασίας σε ομάδες

Τεχνολογικές: Γνωρίζουν τις βασικές εντολές των λογισμικών Geogebra, Maple,

Vpython, Mathematica.

Προετοιμασία: Ο εκπαιδευτικός έχει εγκαταστήσει το λογισμικό στο εργαστήριο Η/Υ και

έχει αποθεκεύσει τα συγκεκριμένα αρχεία σε κατάλληλο φάκελο των σταθμών εργασίας.

3

Έχει βιντεπροβολέα για την παρουσίαση του προβλήματος και των απαντήσεων των

μαθητών

7. Συνθήκες

υλοποίησης

και Διάρκεια

Το σενάριο θα υλοποιηθεί σε τέσσερις (4) διδακτικές ώρες. Μία διδακτική ώρα στο εργαστήριο πληροφορικής όπου θα συμπληρωθούν τα φύλλα εργασίας και οι υπόλοιπες

μπορεί να ολοκληρωθούν στην τάξη χρησιμοποιώντας βιντεοπροβολέα όπου χρειάζεται.

8. Βοηθητικά

υλικά και

εργαλεία

Ιστοσελίδες (Wikipedia), λογισμικά Geogebra, Maple ή Vpython, Mathematica,

βιντεοπροβολέας.

9. Στόχοι Ως προς το γνωστικό αντικείμενο

o Να εφαρμόζουν την συμπλήρωση τετραγώνων για να πάρουν τον αλγεβρικό

τύπο επίλυσης εξίσωσης δευτέρου βαθμού.

o Να διερευνούν τις συνθήκες έτσι ώστε μια παραμετρική εξίσωση δευτέρου βαθμού να έχει λύση.

o Να μπορούν να βγάζουν συμπεράσματα για την ποιότητα των ριζών από την

σχέση των συντελεστών του πολυωνύμου. o Να μπορούν να πειραματίζονται και με γεωμετρικά εκτός των αλγεβρικών

εργαλείων, στην λύση προβλημάτων.

o Να προσεγγίσουν το θέμα από διαφορετικές γνωστικές περιοχές

(Μαθηματικά, Ιστορία, Φιλοσοφία.)

Ως προς τις γνωστικές δράσεις

o Να δημιουργούν παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τον συγκεκριμένο γεωμετρικό υπολογισμό.

o Να μπορούν να επαξεργασθούν λύσεις προβλημάτων με γεωμετρικούς και

αριθμητικούς εκτός των αλγεβρικών.

Την τεχνολογία

o Να γνωρίσουν νέες λειτουργίες του λογισμικού Geogebra και τις

εξειδικεύσεις των λογισμικών Maple και Mathematica που αφορούν τον

συμβολικό υπλογισμό. o Να δημιουργούν το δικό τους πακέτο προγραμμάτων με δυνατότητα

εμπλουτισμού σε κάθε στάδιο μάθησης.

Τις κοινωνικές δράσεις

o Να διαπραγματευτούν με τα μέλη της ομάδας τους τις απαντήσεις τους στα

ερωτήματα του φύλλου εργασίας αναπτύσσοντας κατάλληλη

επιχειρηματολογία.

o Να επικοινωνήσουν τα συμπεράσματά τους στην ομάδα αλλά και σε ολόκληρη τη τάξη όπου αναμένεται να προκύψουν διαφορετικές ή

βελτιωμένες απαντήσεις.

10. Ρόλοι και

κοινωνική

ενορχήστρωση

της τάξης:

Οι δραστηριότητες της 1ης

Φάσης και η συμπλήρωση του φύλλου εργασίας θα εκτελεστούν

συνεργατικά από τους μαθητές. Συγκεκριμένα:

Ομάδες μαθητών:

Οι μαθητές με την καθοδήγηση του εκπαιδευτικού και με κριτήριο την καλύτερη

λειτουργία της ομάδας , θα χωριστούν σε ομάδες των 2 ατόμων όπου ο ένας θα

γνωρίζει τουλάχιστον την χρήση του Geogebra. Ένας εξ αυτών θα χειρίζεται τον Η/Υ και θα καταγράφει τα σημεία προβληματισμού και τις δυσκολίες, ο άλλος θα

καταγράφει τα αποτελέσματα στο Φύλλο Εργασίας.

4

Αλληλεπίδραση με τον εκπαιδευτικό:

Ο εκπαιδευτικός συντονίζει τις συζητήσεις που διεξάγονται στην τάξη και

παρακολουθεί διακριτικά την ομαδική εργασία των μαθητών. Διασφαλίζει ότι όλοι

οι μαθητές εργάζονται και συμμετέχουν και ενθαρρύνει τις ομάδες να ολοκληρώσουν τις δραστηριότητές τους. Ανάλογα με την πορεία της δραστηριότητας μπορεί να

παρέμβει κατά την διάρκειά της και να απευθυνθεί σε ολόκληρη την τάξη για να

«μοιράσει» σε όλους μια χρήσιμη ιδέα ή πρακτική, ώστε να δώσει ώθηση σε όλες τις ομάδες,

Περιγραφή Σεναρίου 11. Ροή και

περιγραφή των

δραστηριοτήτ

ων

11.1. Α΄Φάση

Στην πρώτη φάση θα εισάγουμε τους μαθητές στην μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου μέσα

από την πρώτη περιγραφή της μεθόδου που πρωτοπαρουσιάζεται στον Πίνακα ΒΜ 13901,

δες http://fr.wikipedia.org/wiki/BM_13901.

Πρώτα, χρησιμοποιώντας το λογισμικό

Geogebra, θα δώσουμε την μηχανιστική

γεωμετρική ερμηνεία της μεθόδου που

περιγράφεται στον Πίνακα (δες αρχείο ΒΜ

13901.ggb). Η περιγραφή του προβλήματος

θα δοθεί σε μετάφραση.

Στην συνέχεια, θα δώσουμε την δυνατότητα

(σαν αξιολόγηση της ορθής χρήσης της

μεθόδου) στους μαθητές να δημιουργήσουν

το δικό τους πρόβλημα, το οποίο θα λύσουν με τον μηχανισμό του Geogebra (δες αρχείο ΒΜ

13901_1.ggb).

5

Στο τέλος, θα δώσουμε ένα πρόβλημα με άρρητους συντελεστές, έτσι ώστε να τεθεί το

πρόβλημα της προσέγγισης και της υπολογιστικής ακρίβειας που θα αναλυθεί στην επόμενη

φάση.

Η 1η Φάση θα ολοκληρωθεί σε μια διδακτική ώρα.

12. Β΄Φάση

Στην δεύτερη Φάση, θα «μεταφράσουμε» τον μηχανισμό που κατασκευάσαμε στην πρώτη

φάση, σε αλγεβρική γλώσσα. Ουσιαστικά, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο

«Brâhmasphutasiddhânt» που είδαμε στο βιβλίο της Γ τάξης του Γυμνασίου, σελ. 94.

Επίσης, έχουμε ήδη δώσει σαν άσκηση την μετατροπή σε μαθηματική γλώσσα του

περιεχομένου του Πίνακα. Ουσιαστικά, θα δώσουν μια ασθενή περιγαφή της συμπλήρωσης

τετραγώνου.

Επανερχόμενοι στο προηγούμενο παράδειγμα με τους άρρητους συντελεστές, θα τονίσουμε

την ουσιαστική διαφορά της προσεγγιστικής μηχανιστικής μεθόδου με την αλγεβρική

παραθέτοντας και τον συμβολικό υπολογισμό της ρίζας της πολυωνυμικής εξίσωσης, μέσα

από το παράθυρο CAS του Geogebra. Στην περίπτωσή μας, οι ρίζες της εξίσωσης είναι πολύ

απλά ένας αλγεβρικός συνδυασμός των συντελεστών του πολυωνύμου.

Είμαστε έτοιμοι να δώσουμε τον αλγόριθμο επιλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης με

αριθμητικούς συντελεστές. Το λογισμικό μορεί να παράγει γενικευμένους αλγορίθμους.

Αυτό θα μας βοηθήσει να περάσουμε στην διερεύνηση των παραμετρικών εξισώσεων.

6

Η μεταγραφή του αλγορίθμου σε μια γλώσσα προγραμματισμού μπορεί να γίνει εύκολα.

Μεταξύ των γλωσσών αυτών θα διαλέξουμε το Maple, το πλέον γενικευμένο από τα δύο, ή

το VPython.

Αλγόριθμος 1: Ο αλγόριθμος στο Vpython και Maple

H συνάρτηση MyEquation1 δίνει στο Maple την λύση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού κάτι

που κατασκευάσαμε στην επίλυση εξισώσεων 1ου

βαθμού.

Έχοντας βρεί τους τύπους καθορισμού των ριζών, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις

7

δύο συμμετρικές μορφές, δηλαδή τους τύπους του Vieta.

Προτείνουμε να γίνουν οι παρακάτω δραστηριότητες, οι οποίες θα είναι ταυτόχρονα και

αξιολογήσεις:

Στο πρώτο βιβλίο των «Αριθμητικών», πρόβλημα 27 ο Διόφαντος (3 – 4ος αιώνας μ.Χ)

διατύπωσε το εξής πρόβλημα:

Να βρεθούν δύο αριθμοί οι οποίοι να έχουν άθροισμα και γινόμενο δεδομένους αριθμούς. Για παράδειγμα:

1Δ. Υπάρχουν αριθμοί που έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο – 5? Να βρεθούν οι αριθμοί

αυτοί.

2Δ. Όταν η μια εκ των δύο ριζών μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού είναι ο 2 και το

άθροισμα των ριζών είναι 4, τότε η διακρίνουσα είναι 0?

3Δ. Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των α, β και γ, α ≠ 0, έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης

αx2+βx+γ=0 να είναι:

1) αντίθετοι αριθμοί

2) αντίστροφοι αριθμοί

Η 2η Φάση θα ολοκληρωθεί σε δύο διδακτικές ώρες.

12.1. Γ΄Φάση

Στην 3η Φάση θα αξιοποιήσουμε τα κυριότερα μαθηματικά αποτελέσματα που είδαμε στην

1η και 2

η Φάση. Πρώτα θα εξαντλήσουμε, στο μέτρο του δυνατού, την δυνατότητα που

προσφέρει η αλγεβρική μέθοδος να καθορίσουμε την ποιότητα των ριζών από αλγεβρικές ιδιότητες και συνδυασμούς των συντελεστών της πολυωνυμικής εξίσωσης ή εξισώσεων.

Δεύτερον, θα συνδυάσουμε τον αριθμητικό υπολογισμό με τον αλγεβρικό, μέσα από μια

χαρακτηριστική δραστηριότητα.

Έστω 2 τριώνυμα:

p(x) = a x2 + b x +c και q(x) = a’ x

2 + b’ x +c’

1Δ. Iκανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι οι ρίζες των εξισώσεων p(x)=0 και q(x)=0

ίσες είναι η c'

c=

b'

b=

a'

a

(Η απόδειξη βασίζεται στους τύπους του Vieta)

Οι υπόλοιπες συνθήκες μπορεί εύκολα να εξαχθούν από την 1Δ.


αντίθετες είναι η c'

c=

b'

b=

a'

a-

3Δ. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι οι ρίζες των εξισώσεων p(x)=0 και q(x)=0

αντίστροφες είναι η a'

c=

b'

b=

c'

a


8

ανάλογες με λόγο λ είναι η c'2

λ

c=

λb'

b=

a'

a

Δύο δραστηριότητες θα ολοκληρώσουν την διδασκαλία του κεφαλαίου. Η δραστηριότητα 1Δ

απευθύνεται στο να αντιληφθεί την «κλειστότητα» του αλγεβρικού ορισμού και

μεθοδολογίας και η 2Δ, να συνδυάσει τις δύο μεθοδολογίες αριθμητικη και αλγεβρική.

1Δ. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουν οι 2 εξισώσεις p(x) = 0 και q(x) = 0 κοινή

ρίζα είναι: η παράσταση (απαλείφουσα)

R = (ac’- a’c )2 – (ab’ - ba’ ) (bc’ – b’c) = 0 με ab’ – ba’ ≠ 0.

2Δ. Υπάρχει διψήφιος αριθμός n έτσι ώστε

Το άθροισμα των ψηφίων να είναι 13 και αντιστρέφοντας την διάταξη των ψηφίων

να πάρουμε έναν αριθμό m έτσι ώστε το γινόμενο με τον n να είναι τέτοιο ώστε: n x m = 4930;

Η 3η Φάση θα ολοκληρωθεί σε 1 διδακτική ώρα.

13. Επεκτάσεις του

Σεναρίου

1η Πρόταση: Θα μπορούσαμε να ζητήσουμε την κατασκευή του γεωμετρικού μηχανισμού

υπολογισμού από τους μαθητές.

2η Πρόταση: Στο λογισμικό Mathematica υπάρχει η συνάρτηση Reduce η οποία έχει την

δυνατότητα να απαλείφει τους ποσοδείκτες από έναν αλγεβρικό προτασιακό τύπο. Χρησιμοποιώντας την συνάρτηση αυτή θα μπορούσαμε να εισάγουμε ευρύτερα διαθεματικά

προβλήματα στην εκπαιδευτική διαδικασία.. Μερικά θα μπορούσε να είναι και προβλήματα

εντασσόμενα στο πρόγραμμα STEM. Για παράδειγμα η διερεύνηση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι απλά η έξοδος με λογικούς συνδέσμους:

3η Πρόταση: Στην «Γεωμετρία», βιβλίο πρώτο σελ. 302, ο Descartes, περιγράφει την

γεωμετρική λύση μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Στην Β Λυκείου (με το υπάρχον ΑΠΣ) θα

μπορούσαμε να εισάγουμε τους μαθητές στον γεωμετρικό υπολογισμό των ριζών της

εξίσωσης. Είναι σημαντικό επίσης, για μαθηματικούς λόγους (που θα φανούν μετέπειτα στην ακαδημαική περίοδο των μαθητών μας) να δοθεί η γεωμετρική ερμηνεία της διακρίνουσας.

Στο σημείο αυτό θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι πλήρης η παρουσίαση της επίλυσης

εξίσωσης δευτέρου βαθμού, καλύπτοντας το υπάρχον φάσμα της μαθηματικής πολυμορφίας του υπολογισμού.

4η Πρόταση: Ιστορικά θα μπορούσαμε να παρακινήσουμε τους μαθητές,με την βοήθεια

ενός φιλολόγου ενδεχομένως, να κάνουν μια έρευνα για την εύρεση αρχαίων των

προβλημάτων της αρχαιότητας στα μαθηματικά και φυσική, δες σχετικά την βιβλιογραφία.

5η Πρόταση: Ένα άλλο θέμα που θα μπορούσε να αγγίξει και την Ιστορία και την

Φιλοσοφία των επιστημών, είναι η ιστορική αναδρομή πάνω στην έννοια του αριθμού, δες

σχετικά στο βιβλίο του Ο Spengler. Πως οι Ιταλοί μαθηματικοί αντιμετώπισαν την χρήση της

τετραγωνικής ρίζας, των αρνητικών αριθμών και των αριθμών που σήμερα αποκαλούμε μιγαδικούς, έτσι ώστε να κάνουν εφικτή την αλγεβρική επίλυση της δευτεροβάθμιας

εξίσωσης. Επίσης, θα μπορούσαμε να επεκτείνουμε την ιστορική έρευνα και στην

αντιμετώπιση της τριτοβάθμιας εξίσωσης από τον Khayyam. Μια άλλη αξιοσημείωτη

επέκταση θα ήταν η μελέτη των συμμετρικών αλγεβρικών σχέσεων από τον Cartano έως τον Lagrange και Galois.

9

14. Βιβλιογραφία 1. Berggren. J.L. Episodes in the mathematics of Medieval Islam, Springer New York, 1986.

2. Chouchoud S., Mathematiques egyptiennes, Margnard, Paris, 1960.

3. O'Connor J.J. and Robertson E.F. δες http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sridhara.html

4. Descartes R., Discours de la Methode, Librairie Philosophique J. Vrin, Paris, 1979.

5. Descartes R., La Geometrie, Editions de l’ AREFPPI, Paris, 1984.

6. Djebbar A., Une histoire de la science arabe, Seuil, Paris, 2001.

7. Εξαρχάκου Θ., Iστορία των μαθηματικών, τόμ. Α, 1997.

8. Flegg G., Numbers, their History and Meaning, Dover, New York, 2002.

9. Ifrah G., Histoire universelle des chiffres, T.2, Robert Laffont, Paris, 1994.

10. IREM, Histoires de problemes, histoires des mathematiques, Ellipses, Paris, 1993.

11. Focus in High School Mathematics: reasoning and sense making, NCTM, 2009.

12. Θωμαίδης Γ., Εξισώσεις και Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού στα «Αριθμητικά» του Διοφάντου, Ζήτη, 2011.

13. Katz V.J., A History of Mathematics, brief Edition, Pearson Addison Wesley, New York, 2004.

14. Λυγάτσικας Ζ. Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου, Βαρβάκειο Λύκειο, 2012.

15. Maple 11 Introductory Programming Guide, MapleSoft 2007.

16. MATH Seconde, Hachette Education, 2000,2005,2006.

17. Mahammed N., Histoire des equations algebriques, Diderot-Multimedia, Paris, 1998.

18. Sesiano J., Une introduction a l’histoire de l’ algebra, Presses polytechniques et romandes, Lausanne, 1999.

19. Smith D.E., History of Mathematics, T2, Dover New York, 1958.

20. Σπένγκλερ Ο., Η ΠΑΡΑΚΜΗ ΤΗΣ ΔΥΣΗΣ Ι ΜΟΡΦΗ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ, εκδ. ΤΥΠΩΘΗΤΩ, 2003.

21. Σταμάτης Ε., Διοφάντου Αριθμητικά, ΟΕΔΒ, 1963.

22. Taton R., La science Moderne, T.2, PUF, Quadrige, Paris, 1969.

23. Thureau-Dangin F., L’ equation du second degre dans la mathematique babylonienne d’ apres une tablette inedit du British Museum. Revue d’ Assyriologie, T. 33, 1936.

24. Van der Warden B.L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, Berlin, 1983.

25. Youschkervitch A.P., Les mathematiques Arabes, Vrin, Paris 1976.

http://www.greekbooks.gr/books/istoria/i-parakmi-tis-disis-i-morfi-ke-pragmatikotita.product

10

Παράρτημα-Φύλλα εργασίας

Φύλλο εργασίας 1 Πίνακας ΒΜ 13901

Πρόκειται για ένα πρόβλημα που επιλύεται με την δημιουργία μιας εξίσωσης 2ου βαθμού. Η

λύση βασίζεται στην δημιουργία τέλειου τετραγώνου στο αριστερό μέλος της και μετά

ακολουθεί η εξαγωγή της θετικής τετραγωνικής ρίζας.

Εικόνα 1 Πίνακας ΒΜ 13901, δες [20].

11

προσθέτω

την

επιφάνεια

και την

πλευρά του

τετραγώνου

μου και

κάνουν 45’

60

45452 'xx

Οι αριθμοί είναι

με βάση το 60.

Έτσι,

45’ είναι 60

45

30’ είναι 60

30

Πάρε το 1:

την μονάδα 60

45 xxx 1

Γράψε το 1

σαν 2 30’ 60

452 xx60

302

Σπάσε το

30’ και 30΄

σε 15’

60

60

60

15

60

30

60

30

Πρόσθεσε

15’ στο 45’ 60

15

60

452

60

30+=+x

60

302+

2x

Το

τετράγωνο

αυτό είναι

το 1

22

160

30

x

(*) 160

30x

Αφαίρεσε

30’, και

σπάσε το 1:

30’

60

301

60

30

60

30x

Η πλευρά

του

τετραγώνου

είναι:

60

30x

12

Η Γεωμετρική λύση του προβλήματος:

Ανοίξτε το αρχείο BM13901.ggb του Geogebra. Ο Πίνακας εξηγεί το πώς θα βρούμε την

πλευρά τετραγώνου έτσι ώστε αν προσθέσω το εμβαδόν του τετραγώνου και το ορθογώνιο

πλευράς 1μ και η άλλη να είναι ίση με την ζητούμενη πλευρά, να έχουν αριθμητικό άθροισμα

ίσο με τα ¾ του εμβαδού τετραγώνου πλευράς 1μ.

Βρείτε τα ¾ του εμβαδού του τετραγώνου πλευράς ΑΕ = 1μ. Μετακινώντας τον δρομέα x θα

δείτε ότι το άθροισμα των δύο εμβαδών που περιγράψαμε προηγουμένως είναι τα ¾ όταν το

x πάρει την τιμή ……………..

Στο αρχείο BM13901_1.ggb μπορείτε να δημιουργήσετε το δικό σας αντίστοιχο πρόβλημα με

αυτό του Πίνακα.

Γράψτε το πρόβλημα σας:

Βρείτε την θετική λύση της εξίσωσης 3x2- 2x -1 = 0 προσαρμόζοντας κατάλληλα την

εξίσωση και τον μηχανισμό.

Εικόνα 2 ΒΜ 13901.ggb

13

Ανοίξτε το αρχείο BM13901_2.ggb. Στην συνέχεια ανοίξτε το παράθυρο CAS που θα σας

δώσει την δυνατότητα να βρείτε ρίζες εξισώσεων με συντελεστές αρρήτους αριθμούς.

Βρείτε τις ρίζες στο CAS της εξίσωσης x 2

+ x = 2 . Προσπαθείστε να προσδιορίστε στον

γεωμετρικό μηχανισμό τις ρίζες της εξίσωσης.

Κάνετε μια κριτική της μεθόδου που παρουσιάσαμε. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εύρεση

ριζών; Ποιο κατα τι γνώμη σας είναι το ισχυρό στοιχείο της και ποιο το αδύναμο.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Περιγράψτε σε μαθηματική γλώσσα τον αλγόριθμο στον Πίνακα ΒΜ 13901

σημειώνοντας τα διαφορετικά βήματα του αλγορίθμου. Δείξτε ότι η λύση του

προβλήματος, όπως περιγράφεται στο Πίνακα, οδηγεί σε ένα πρόβλημα επίλυσης

μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού.

2) Να λύσετε με τον αλγόριθμο που κατασκευάσατε στην 1η άσκηση την εξίσωση

6

42 xx

14

Φύλλο εργασίας 2

Μέχρι στιγμής η λύση που δώσαμε στο πρόβλημα της επίλυσης εξίσωσης δευτέρου βαθμού

δεν ήταν ικανή να συμπεριλάβει λύσεις οι οποίες είναι αρνητικοί αριθμοί. Σημειώστε ότι η

εισαγωγή των αρνητικών αριθμών είναι σχετικά νέο στην μαθηματική ιστορία. Θα δούμε

στην συνέχεια την αγεβρική μέθοδο η οποία εισάγει κάτι πραγματικά το νέο: εγκλοβίζει την

λύση στην αρχική διατύπωση (τύπο) και επιχειρεί με ένα σύατημα τυπικών κανόνων να

φτάσει στην λύση:

Θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση a x2 + b x + c = 0, a,b,c R με a ≠ 0

a x2 + b x + c = 0

Την ποσότητα b2 – 4ac την ονομάσαμε διακρίνουσα και θα την συμβολίζουμε με το

ελληνικό γράμμα Δ = b2 – 4 ac.

Αν Δ > 0, τότε έχουμε δύο πραγματικές ρίζες:

a2

ac4b±b=x

2

21,

Αν Δ = 0, τότε έχουμε δύο πραγματικές ρίζες ίσες:

a

bxx

221

Αν Δ < 0, τότε ΔΕΝ έχουμε πραγματικές ρίζες αφού δεν μπορούμε να ορίσου-με στο

R ρίζα με αρνητικό υπόριζο. Τέτοιο σύνολο υπάρχει και είναι οι μιγαδικοί αριθμοί

που θα τους δούμε στην Τρίτη Λυκείου.

Είμαστε έτοιμοι τώρα να παρουσιάσουμε ένα σχέδιο αλγορίθμου που θα μαας δίνει τις ρίζες

εξίσωσης :

15

1) Παραδείγματα εξισώσεων στη γενική μορφή. Άγνωστος ο x:

1 4x2+5x+2= 0 α = β = γ =

2 5x2 = 0 α = β = γ =

3 vx2 – t x +3 =0 α = β = γ =

2) Να αναγάγετε τις παρακάτω εξισώσεις στην γενική μορφή:

1 x2 – 34 x = 78 α= β = γ =

2 (2x+3)(4x-1)= 5x + 2 α= β = γ =

3 xx

x

2

643

α= β = γ =

3) AΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Αν Δ = β2 – 4 α γ, να βρείτε την διακρίνουσα των παρακάτω τριωνύμων

που έχουν μεταβλητή το x.

16

Ερώτηση: Για ποιες τιμές του λ το τριώνυμο στο 2ο ερώτημα έχει διπλή ρίζα?

1 x2 – 3x = 3 α= β = γ = Δ =

2 λx2 = 1 – 3(1 + x

2) α= β = γ = Δ =

3 x

t

R

xtv

6

21

3

α= β = γ = Δ =

17


1 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ (θα γίνει στον

Πίνακα)

Σκοπός είναι να ανακαλύψουν τους τύπους του αθροίσματος και του γινομένου των ριζών

εξίσωσης 2ου βαθμού.

Δεδομένα: ax2 + bx + c = 0 με a ≠ 0 και a,b,c R, υποθέτουμε ότι Δ0

Οι δύο ρίζες της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους:

Τότε:

και

Οι τύποι του αθροίσματος και του γινομένου των ριζών ονομάζονται τύποι του Vieta.

Αντίστροφα: Αν μας δίνοντε το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών μπορούμε να βρούμε

μια εξίσωση 2ου βαθμού της οποίας οι δύο αυτοί αριθμοί είναι ρίζες;

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι η ζητούμενη εξίσωση έχει γενική μορφή ax2 + bx + c = 0, με a

≠ 0

τότε :

2a

4ac2bb1,2x

a

b

2a

4ac2bb

2a

4ac2bb2x1x:S

a

c

24a

24ac2b2b)(

2a

4ac2bb

2a

4ac2bb2x1x:P

18

0PSxx2

000 222

a

cx

a

bx

a

cx

a

bxacbxax

2 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Σκοπός της δραστηριότητας είναι να βρίσκουν το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών εξίσωσης καθώς και να εκτελούν την αντίστροφή διαδικασία: αν γνωρίζουν το άθροισμα και το γινόμενο δύο αριθμών να σχηματίζουν την εξίσωση η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς αυτούς.

Η εξίσωση Το άθροισμα S Το γινόμενο P

2x2 + 3 x – 4 = 0

x2 – 5 = 0

To αντίστροφο πρόβλημα: Το πρόβλημα του Διόφαντου. Στο πρώτο βιβλίο των «Αριθμητικών», πρόβλημα 27 ο Διόφαντος (3-4ος αιώνας μ.Χ) διατύπωσε το εξής πρόβλημα:

1Δ. Να βρεθούν δύο αριθμοί οι οποίοι να έχουν άθροισμα και γινόμενο δεδομένους αριθμούς. Για παράδειγμα: Υπάρχουν αριθμοί που έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο – 5?

2Δ. Όταν η μια εκ των δύο ριζών μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού είναι ο 2 και

το άθροισμα των ριζών είναι 4, τότε η διακρίνουσα είναι 0?

3Δ. Να βρεθεί η συνθήκη μεταξύ των α, β και γ, α ≠ 0, έτσι ώστε οι ρίζες της εξίσωσης αx2+βx+γ=0 να είναι:

αντίθετοι αριθμοί αντίστροφοι αριθμοί

19


Έστω 2 τριώνυμα:

p(x) = a x2 + b x +c και q(x) = a’ x

2 + b’ x +c’


ίσες είναι η c'

c=

b'

b=

a'

a

(Η απόδειξη βασίζεται στους τύπους του Vieta)

Οι υπόλοιπες συνθήκες μπορεί εύκολα να εξαχθούν από την 1Δ.


αντίθετες είναι η c'

c=

b'

b=

a'

a-


αντίστροφες είναι η a'

c=

b'

b=

c'

a


ανάλογες με λόγο λ είναι η c'2

λ

c=

λb'

b=

a'

a

Δύο δραστηριότητες θα ολοκληρώσουν την διδασκαλία του κεφαλαίου. Η δραστηριότητα 1Δ απευθύνεται στο να αντιληφθεί την «κλειστότητα» του αλγεβρικού ορισμού και

μεθοδολογίας και η 2Δ, να συνδυάσει τις δύο μεθοδολογίες αριθμητικη και αλγεβρική.

1Δ. Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουν οι 2 εξισώσεις p(x) = 0 και q(x) = 0 κοινή

ρίζα είναι: η παράσταση (απαλείφουσα)

R = (ac’- a’c )2 – (ab’ - ba’ ) (bc’ – b’c) = 0 με ab’ – ba’ ≠ 0.

2Δ. Υπάρχει διψήφιος αριθμός n έτσι ώστε

Το άθροισμα των ψηφίων να είναι 13 και αντιστρέφοντας την διάταξη των ψηφίων

να πάρουμε έναν αριθμό m έτσι ώστε το γινόμενο με τον n να είναι τέτοιο ώστε: n x m = 4930;

Ταυτότητα Σεναρίου 1. H 2. 3. 4....

Documents

Transcript of Ταυτότητα Σεναρίου 1. H 2. 3. 4....