1

Análise Numérica - Métodos iterativos57

Método Iterativo Simples.(Método do ponto fixo)

Fórmula de recorrência:

)(0)( xxxf ϕ=⇔=

)( Dado

10

nn xxx

ϕ=+

Análise Numérica - Métodos iterativos58

Converge se ( ) 1<′ xϕ

y = x

y = ϕ (x)

x0

xx2 x1X1X0

y = x

y = ϕ (x)

x0xx2x3x1

Análise Numérica - Métodos iterativos59

Diverge se ( ) 1>′ xϕ

y = xy =ϕ(x)

x x0 x2x1

y = xy =ϕ(x)

x1 x2 x3x x0

Análise Numérica - Métodos iterativos60

Condições de convergência

Nas proximidades da raiz.

E no intervalo que contem a raiz?

Análise Numérica - Métodos iterativos61

Condições suficientes de convergência (Teorema)

f ,ϕ e ϕ′ contínuas em I

e x é o único zero de f(x)∈[a,b].

( ) 1max <′=∈

xqIxϕ

( ) xxx nn →=+ ϕ1 [ ] Ibax ⊆∈∀ ,0

Análise Numérica - Métodos iterativos62

Condições suficientes de convergência

Demonstração

( ) ( )nn xxxx ϕϕ −=− +1

( ) ( ) ( ) Ixxxx nn ⊂∈−⋅′= ,ξξϕ

( )nn xxxx

ϕϕ

==

+1

)(

( ) nn xxxx −⋅′=− + ξϕ1 nxxq −≤

2

Análise Numérica - Métodos iterativos63

Raiz única de x=ϕ(x)

Redução ao absurdo∃ x1, x2 ∈[a, b] ⊂ I: x1=ϕ(x1) e x2=ϕ(x2)

x1–x2=ϕ(x1)-ϕ(x2)

x1–x2=ϕ′(η)⋅(x1–x2)

(x1–x2)⋅(1-ϕ′(η))=0

onde η∈( x1, x2) ⊂ I ∴ ϕ′(η) ≠ 1

x1≡x2.

Análise Numérica - Métodos iterativos64

Qual é o intervalo I?

se ϕ([a, b])⊂[a, b]se 1 > ϕ′(x) > 0se -1 < ϕ′(x) < 0

( ) Ixx n ⊂∈ ,ξI≡[a, b]I≡[a, b]I≡[a-(b-a), b+(b-a)]

a b≡xo x b+(b-a)x1

x≡xo

x1

a-(b-a)

Análise Numérica - Métodos iterativos65

Estimativa do erro

Quantas iterações?∆xn ≤ qn⋅∆x0

11 −−−

≤− nnn xxq

qxx

011xx

qqxx

n

n −−

≤−

Análise Numérica - Métodos iterativos66

Ordem do método

Se ϕ′(x) =…= ϕ(k-1)(x) = 0 e ϕ(k)(x) ≠ 0

( )xx

x

n

n

nϕ′=

∆∆ +

∞→

1lim

( ) ( ) ( )( ) ( )nnk

nnn xxkxxxxxx ,!11 ∈

∆=−=−=∆ ++ ξξϕϕϕ

k

ordem k

Análise Numérica - Métodos iterativos67

Caso do Método de Newton

( ))()(

xfxfxx′

−=ϕ

( )0

0≠′=xf

( ) ( )( )xfxfx

′′′

=′′ϕe

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )22

2

1xf

xfxfxf

xfxfxfx′

′′⋅=

′′′⋅−′

−=′ϕ

única parcela sem f(x)

Normalmente f″(x)≠0 e o método é de 2ª ordem

Análise Numérica - Métodos iterativos68

ExercícioDetermine a raiz positiva de ln|x|+x2=0 (x∊[0.6,0.7])

ln(x) + x 2=0 xx ln−=⇔

-0.102777…0.597222692110.120736…0.71795906332-0.142335…0.57562377163

0.70

xn-xn-1n 1ln −−= nn xx

diverge

=ϕ(x)

]7.0,6.0[14.2ln

1)( ∈−<<−≈−

−=′ xxx

xϕ

3

Análise Numérica - Métodos iterativos69

ExercícioDetermine a raiz positiva de ln|x|+x2=0 (x∊[0.6,0.7])

ln(x) + x 2=02xex −=⇔

-0.0873…0.612626394210.0744…0.68707549712-0.0633…0.62370814353

0.70

xn-xn-1n2

1−−= nxn ex

lentamente convergente

=ϕ(x)

]7.0,6.0[185.0)65.0()2()(2

∈−>−≈≅−=′ − xxex x ϕϕ

|ϕ′(x)|≲1

Análise Numérica - Métodos iterativos70

Uma boa fórmula de recorrência.

Se q≈0 o método é rapidamente convergente.

θ ?

0)( =xf

)()( xxfxx ϕθ =⋅+=⇔

0)(0

=⋅⇔≠

xfθθ

( ) ( ) ( )xfxfx

xf ′−=⇔=′⋅+=′

≠′

1010)(θθϕ

ϕ′(x)=0

Análise Numérica - Métodos iterativos71

x x0 x1

Algumas fórmulas

( )xf ′−=

1θ

Método de 1ª ordem

( ))()( 1

1

−

−

−−

−=nn

nn

xfxfxxθ

x0

x4x3

x2x1

Método da secanteOrdem p=1.618…

(método superlinear)

( )nxf ′−=

1θ

Método de Newton de 2ªordem

Análise Numérica - Métodos iterativos72

Programação dos métodos

Critérios de paragem|f (xn)| ≤tol1

|xn-xn-1| ≤ tol2

n > nmax

31 tol≤

− −

n

nn

xxx

processos lentamente convergentes

Para evitar ciclos

processos divergentes

Análise Numérica - Métodos iterativos73

Critérios de paragemComo controlar o erro?

|f (xn)| ≤ tol1

( )nnn xxfxxxfxf ,)()()()(0

∈′−=−=

ηη

)(min)(

11

yfmmxf

xxxVy

nn ′=≤−

∈

ε≤− nxx 11 tol)( =≤ εmxf n

Análise Numérica - Métodos iterativos74

Critérios de paragemComo controlar o erro?

|xn-xn-1| ≤ tol2

Métodos de 1ª ordem

• Método da Falsa Posição

• Método iterativo Simples

Método de Newton

ε≤∆ nx 21 tol=≤− − Kxx nn

ε1−−≤∆ nnn xxKx

1

11

mmMK −

=

qqK−

=1

21

1

2

2 −−≤∆ nnn xxm

Mx

ε≤∆ nx 22

11 tol2

=≤− − Mmxx nnε

4

Análise Numérica - Métodos iterativos75

Programas MatlabMétodo das bissecções sucessivas

[c,iter,int]=bissec(f,a,b,tol,n,kt,kg)f de f(x)=0 pode ser uma função handle

x∈[a,b]amplitude de int ≤ toln=nmax

• c – solução com erro ≤ tol• iter – número de iterações• int – intervalo final

Opcional (escrita de informação intermédia)

Análise Numérica - Métodos iterativos76

Programas MatlabMétodo da Falsa Posição

[x,iter]=falsaposfix(f,x0,c,tol,n,kt)f de f(x)=0 pode ser uma função handle

x0 – x0

c=β|xn-xn-1|≤toln=nmax

• x – solução• Iter – número de iterações

Opcional (escrita de informação intermédia)

Análise Numérica - Métodos iterativos77

Programas MatlabMétodo de Newton

[x,iter]=newton(f,df,x0,tol,n,kt)f de f(x)=0 pode ser uma função handle

df – f ′ (...função handle)

x0 – x0

|xn-xn-1|≤toln=nmax

• x – solução• iter – número de iterações

Opcional (escrita de informação intermédia)

Análise Numérica - Métodos iterativos78

Programas MatlabMétodo iterativo simples (ponto fixo)

[x,iter]=fixed(g,x0,tol,n,kt)g de x=g(x) pode ser uma função handle

x0 – x0

|xn-xn-1|≤toln=nmax

• x – solução• iter – número de iterações

Opcional (escrita de informação intermédia)