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AnalisiNumericaII-modulo

D. Lera

LEZIONE 11

Analisi Numerica II-modulo

Daniela Lera

Università degli Studi di CagliariDipartimento di Matematica e Informatica

A.A. 2014-2015


D. Lera

LEZIONE 11

ODE

Analisi dei metodi monostepIn generale un metodo esplicito monostep si può scriverenella forma

ηi+1 = ηi + hΦ(xi, ηi, fi; h), η0 = y0

dove Φ() è detta funzione di incremento, ed fi = f (xi, ηi).

Analogamente si può scrivere

yi+1 = yi + hΦ(xi, yi, f (xi, yi); h) + εi+1

dove yi = y(xi) e εi indica il residuo che si ha nel punto xi sesi pretende di "far verificare" alla soluzione esatta lo schemanumerico.


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ODE

Errori nei metodi monostep

Risulta

εi+1 = yi+1 − yi − hΦ() := ti+1(h)

Se indichiamo

ti+1(h) = hτi+1(h)

τi+1(h) è detto errore di discretizzazione locale (nel nodoxi+1).

ti+1(h) viene detto errore di troncamento locale.


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ODE


Si definisce errore di discretizzazione sull’intervallo:

τ(h) = max0≤i≤N−1

|τi+1(h)|

dove N è il numero totale dei nodi nell’intervallo considerato,N = N(h).

Si noti che τ(h) dipende dalla funzione y, soluzione delproblema di Cauchy.


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ODE

Errori nei metodi monostepChiariamo meglio il concetto di errore di discretizzazionelocale. La soluzione esatta y(x) soddisfa:

yi+1 = yi + hΦ(xi, yi, f (xi, yi); h) + hτ(xi, yi; h) (1)

Inoltre, applicando un passo del metodo supponendo diconoscere yi vale la:

η∗i+1 = yi + hΦ(xi, yi, f (xi, yi); h) (2)

Dalle (1), (2) si ha:

yi+1 − η∗i+1 = hτ(xi, yi; h)


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ODE


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ODE


Si definisce errore globale di discretizzazione nelgenerico nodo xi+1 la quantità

ei+1 = yi+1 − ηi+1, i = 0, 1, 2, ...

E’ possibile scomporre l’errore in due componenti:

ei+1 = (yi+1 − η∗i+1) + (η∗i+1 − ηi+1)


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ODE


La prima componente è il l’ errore di troncamento locale etiene conto dell’errore introdotto al passo i + 1 dalla soladiscretizzazione delle derivata prima.

La seconda componente, detta errore di propagazione,contiene l’accumulo di tutti gli errori commessi ai passiprecedenti all’(i + 1)-esimo.


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ODE

Convergenza

DefinizioneUn metodo si dice convergente se è tale che:

max0≤i≤N

|ηi − y(xi)| → 0 per h→ 0

Il metodo si dice convergente di ordine p se esiste c > 0tale che

max0≤i≤N

|ηi − y(xi)| ≤ chp

.


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ODE

Convergenza

Il tendere a zero del solo errore locale è una condizionenecessaria alla convergenza, ma non sufficiente.

Vediamo più in dettaglio le condizioni di convergenza per imetodi monostep.


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ODE

Analisi dei metodi monostepUno schema esplicito monostep è completamentecaratterizzato dalla sua funzione di incremento Φ.

Esempio 1Nel metodo di Eulero-Cauchy si ha:

Φ(xi, yi, f (xi, yi); h) = f (xi, yi)

Esempio 2Nel metodo di Heun si ha:

Φ(xi, yi, f (xi, yi); h) =12

[f (xi, yi) + f (xi + h, yi + hf (xi, yi))]


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ODE

Consistenza

τi+1 =yi+1 − yi

h− Φ(xi, yi, f (xi, yi); h)

In tutti gli schemi numerici considerati si ha:

limh→0

Φ(xi, yi, f (xi, yi); h) = f (xi, yi), ∀xi ≥ x0

.

Considerato inoltre che vale la:

limh→0

yi+1 − yi

h= y′(xi), ∀i ≥ 0

segue che


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ODE

Consistenza

limh→0

τi(h) = 0, 0 ≤ i ≤ N

Da cui si ricava

limh→0

τ(h) = 0

che esprime la consistenza di un metodo.


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ODE

Consistenza

DefinizioneUn metodo si dice consistente quando l’errore didiscretizzazione è infinitesimo rispetto ad h.

Un metodo ha ordine di consistenza p se

τ(h) = O(hp), per h→ 0


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ODE

Consistenza

Esempio: metodo di Eulero-CauchyConsideriamo lo sviluppo di Taylor arrestato al secondoordine:

y(x + h) = y(x) + y′(x)h + y”(ξ)h2

2x < ξ < x + h

⇒ y(x + h)− y(x)

h− y′(x) = y”(ξ)

h2


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ODE

Consistenza: metodo di Eulero-Cauchy

Ma y′(x) = f (x, y(x)), quindi

τ(h) = y”(ξ)h2

|τ(h)| ≤ M2

h

con M = maxx<ξ<x+h |y”(ξ)|.

Eulero-Cauchy è consistente del primo ordine


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ODE

La zero-stabilità

Consideriamo il metodo numerico:

ηi+1 = ηi + hΦ(xi, ηi, fi; h) (1)

DefinizioneIl metodo numerico (1) per la risoluzione del problema diCauchy si dice zero-stabile se esistono h0 > 0 e C > 0 taliche:

|z(h)i − η

(h)i | ≤ Cε (2)

∀h ∈ (0, h0], con 0 ≤ i ≤ N, z(h)i e η(h)

i rispettivamentesoluzioni dei seguenti problemi:


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ODE

La zero-stabilità

{z(h)

i+1 = z(h)i + h[Φ(xi, z

(h)i , f (xi, z

(h)i ); h) + δi+1]

z0 = y0 + δ0

{η

(h)i+1 = η

(h)i + h[Φ(xi, η

(h)i , f (xi, η

(h)i ); h)

η0 = y0

con 0 ≤ i ≤ N − 1 e|δk| ≤ ε per ogni 0 ≤ k ≤ N


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ODE

La zero-stabilità

La zero-stabilità richiede quindi che in un intervallo limitatovalga la (2) per ogni valore di h ≤ h0.

La zero-stabilità riguarda in particolare il comportamentodel metodo numerico nel caso limite h→ 0. E’ una proprietàdel metodo, e non del problema di Cauchy.

La (2) assicura che il metodo numerico sia poco sensibilealle piccole perturbazioni e sia quindi stabile.


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ODE

La zero-stabilità

Diremo che il metodo è instabile nel senso che leperturbazioni, che risultano nella soluzione ηi, sono nonlimitate se si considera il limite per h→ 0.

N.B. La costante C nella (2) è indipendente da h (e quindida N), ma può dipendere dall’ampiezza dell’intervallo diintegrazione: potrebbe crescere al crescere dell’intervallo.


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ODE

Teorema 1.(Zero-stabilità)Si consideri il generico metodo esplicito monostep:

ηi+1 = ηi + hΦ(xi, ηi, fi; h) (1)

per la risoluzione del problema di Cauchy.

Si supponga che la funzione di incremento Φ siauniformemente lipschitziana di costante Λ rispetto alsecondo argomento, cioé:

|Φ(xj, zj, f (xj, zj); h)− Φ(xj, ηj, f (xj, ηj); h)| ≤ Λ|zj − ηj|

xj ∈ [x0, x0 + T].

Allora il metodo numerico (1) è zero-stabile.


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ODE

Teorema 2.(Convergenza)Nelle stesse ipotesi del Teorema 1 si ha:

|yi − ηi| ≤ (|y0 − η0|+ ihτ(h))eihΛ, 1 ≤ i ≤ N

Pertanto se il metodo è consistente e|y0 − η0| → 0, per h→ 0, allora il metodo è convergente.

Inoltre se il metodo ha ordine di consistenza p e|y0 − η0| = O(hp), allora converge con lo stesso ordine p.


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ODE

Quindi dal Teorema 2 si ha

CONSISTENZA + ZERO-STABILITA’ = CONVERGENZA

Questa proprietà è nota come teorema di equivalenza.

Il viceversa: "un metodo convergente è zero-stabile" èovviamente vero.


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ODE

Metodo di Eulero: convergenzaSi consideri:{

y′ = f (x, y(x)) problema di cauchyy(x0) = y0

{ηi+1 = ηi + hf (xi, ηi) schema numericoη0 = y0

(1)

Applicando Eulero si opera la seguente approssimazione

yi+1 ≈ yi + hf (xi, yi)


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ODE

Metodo di Eulero: convergenza

La soluzione esatta y(x) soddisfa:

yi+1 − yi

h− f (xi, yi) := τ(xi, yi; h)

yi+1 = yi + hf (xi, yi) + hτ(xi, yi; h) (2)

Inoltre vale la:

η∗i+1 = yi + hf (xi, yi) (3)

é il valore che si troverebbe applicando un passo di Eulerosupponendo di conoscere yi.


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ODE


Poniamoei+1 = yi+1 − ηi+1, i = 0, 1, 2, ...

Errore nel nodo i cioé

ei+1 = (yi+1 − η∗i+1) + (η∗i+1 − ηi+1)

Dalle (1), (2) e (3) si ha:

yi+1 − η∗i+1 = hτ(xi, yi; h)

η∗i+1 − ηi+1 = ei + h[f (xi, yi)− f (xi, ηi)]


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ODE


Supponiamo che f (x, y) sia lipschitziana, cioé:

|f (xi, yi)− f (xi, ηi)| ≤ L|yi − ηi| = L|ei|

Quindi

|ei+1| ≤ h|τ(xi, yi; h)|+ |ei|+ h|f (xi, yi)− f (xi, ηi)|

≤ hτ(h) + (1 + Lh)|ei|

doveτ(h) = max

i|τ(xi, yi; h)|


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ODE


Si ha:

|e0| = 0, a = (1 + hL), b = hτ(h)

a e b non dipendono da i.

|ei+1| ≤ b + a|ei| ≤ b + a(b + a|ei−1|) = b(1 + a) + a2|ei−1|

≤ b(1 + a) + a2(b + a|ei−2|) = b(1 + a + a2) + a3|ei−2| ≤ ...

b(1 + a + a2 + ...+ ai) + ai+1|e0| =ai+1 − 1

a− 1b


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ODE


Cioé

|ei+1| ≤(1 + hL)i+1 − 1

hLhτ(h)

Siccome h(i + 1) = xi+1 − x0 e inoltre

1 + t ≤ et, ∀t > 0 ⇒ 1 + hL ≤ ehL

si ha che

(1 + hL)i+1 − 1 ≤ ehL(i+1) − 1 = eL(xi+1−x0) − 1

≤ eL(xi+1−x0)


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ODE


Infine:

|ei+1| ≤ eL(xi+1−x0) τ(h)

L

Conτ(h) ≈ M

2h, M = max |y”(x)|


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ODE


Quindi

l’errore globale ei+1 tende a zero per h→ 0.l’ordine dell’errore globale è pari all’ordine dell’errorelocale.

Il metodo di Eulero è convergente.


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ODE


Teniamo ora conto degli errori di arrotondamento.Siano η̃i le quantità calcolate in presenza di errori diarrotondamento. Lo schema di Eulero si può scrivere:{

η̃i+1 = η̃i + hf (xi, η̃i) + ρi

η̃0 = y0 + ρ0

dove ρi rappresentano gli errori introdotti dal calcolonumerico della quantità η̃i + hf (xi, η̃i) (err. diarrotondamento locali).


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ODE


Si ponga:ε0 = ρ0, εi = η̃i − ηi

Con un procedimento analogo al precedente si ricava:

|εi+1| ≤ eL(xi+1−x0)[|ρ0|+

ρ

hL

]con ρ = maxi |ρi|.

Tende all’∞ per h→ 0 !!


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ODE


Se definiamo come errore totale:

Ei := yi − η̃i = (yi − ηi) + (ηi − η̃i) = ei + εi

si ha:

|Ei+1| ≤ |ei+1|+ |εi+1|

≤ eL(xi+1−x0)

[|ρ0|+

1L

(τ(h) +

ρ

h

)]

E’ necessario un compromesso nella scelta di h. Esiste unh∗ = passo ottimale.


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ODE

Metodo di Eulero: errore totale

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