Aspetti non perturbativi della QCD

Leonardo Cosmai

INFN - Sezione di Bari

Napoli, 13 dicembre 2002

• Introduzione alla QCD

• Il confinamento del colore

• Formulazione su reticolo della QCD

• Risultati numerici

• Conclusioni

0-0

INTRODUZIONE ALLA QCD

La Cromodinamica Quantistica e considerata la teoria per la descrizio-

ne delle interazioni forti di quark e gluoni e fa parte del cosiddetto Modello

Standard SU(3)× SU(2)× U(1) delle interazioni fondamentali.

La QCD e descritta dalla seguente densita lagrangiana (a meno di termini

di gauge-fixing):

LQCD = −14F (a)

µν F(a)µν + i

∑q

ψiqγ

µ(Dµ)ijψjq −

∑q

mqψiqψqi ,

(1)

con il tensore del campo cromo-elettromagnetico

F (a)µν = ∂µA

aν − ∂νA

aµ − gfabcA

bµA

cν , (2)

la derivata covariante

(Dµ)ij = δij∂µ + ig∑

a

λai,j

2Aa

µ , (3)

e:

g: costante di accoppiamento di gauge

fabc: costanti di struttura dell’algebra di SU(3)

ψiq : spinore di Dirac associato ad ogni campo di quark di colore (3

colori) i e flavor q

Aaµ: potenziale vettore dei campi gluonici (8 gluoni)

LQCD e invariante per trasformazioni di gauge locali del gruppo SU(3)

di colore.

gli unici parametri liberi di QCD sono l’accoppiamento di gauge g e

le masse dei quark mq (q = u, d, s, . . . ).

– 1 –

In QCD i quark interagiscono mediante lo scambio dei gluoni (bosoni

vettoriali massless) che si accoppiano ai quark dei vari flavor con la

stessa intensita proporzionale all’accoppiamento di gauge g

La QCD e una teoria quantistica di campo rinormalizzabile.

L’accoppiamento di gauge dipende dalla scala di energia µ attra-

verso la funzione β della teoria

µ∂αs

∂µ= 2β(αs) = −β0

2πα2

s −β1

4π2α3

s + . . .

αs(µ) =g2(µ)4π

=4π

β0 ln(µ2/Λ2)

[1 − 2β1

β20

ln[ln(µ2/Λ2)]ln(µ2/Λ2)

+ . . .

]

β0 = 11 − 23nf , β1 = 51 − 19

3nf

(4)

0

0.1

0.2

0.3

1 10 102

µ GeV

α s(µ)

ASYMPTOTIC FREEDOM : (per β0 > 0, i.e.: nf < 16)

l’accoppiamento di gauge e debole ad alte energie:

αs → 0 (per µ→ ∞) (5)

– 2 –

La QCD diventa fortemente accoppiata per

µ ∼ Λ ∼ 200 MeV (6)

che corrisponde alla scala adronica ∼ 10−13 cm

Nel regime di basse energie le tecniche perturbative non sono appli-

cabli: il problema degli stati legati in QCD e un problema intrinseca-

mente non-perturbativo

Non c’e contraddizione con la mancata osservazione sperimentale di

quark liberi.

Una ipotesi centrale (sebbene non ancora dimostrata) della Cromo-

dinamica Quantistica e che quark (e gluoni) non possono essere os-

servati come particelle libere.

Per esempio:nquarks

nnucleons

< 10−27 (7)

(in assenza di confinamento: nquarks/nnucleons < 10−12)

– 3 –

IL CONFINAMENTO DEL COLORE

La Lagrangiana della Cromodinamica Quantistica contiene gradi di li-

berta (quark e gluoni) che non sono osservati in natura.

Il confinamento del colore implica che i gradi di liberta di colore sono in

linea di principio non osservabili.

Il confinamento del colore in QCD equivale a dire che tutti gli stati fisici

sono singoletti del gruppo di gauge SU(3) di colore.

Gli unici singoletti di colore sono stati legati di quark e gluoni (carica

elettrica intera):

mesoni: ψiq1ψi

q2

barioni: ψiq1ψj

q2ψk

q3εijk

antibarioni: ψiq1ψj

q2ψk

q3εijk

glueball: stati legati di gluoni .....

Il confinamento sembra essere correlato alla natura non Abeliana della

simmetria di colore. Infatti:

In QED: simmetria di gauge U(1), interazioni mediate da fotoni, for-

za coulombiana elettrone-positrone attrattiva. Il fotone non ha auto-

accoppiamento. Il campo elettrico ha una distribuzione spaziale iso-

tropa.

In QCD: simmetria di gauge SU(3), interazioni mediate da gluoni (che

hanno auto-interazione). Ipotesi: l’auto-interazione dei gluoni potreb-

be essere tale da rendere energeticamente favorevoli configurazioni

di campo cromo-elettrico in tubi di flusso fra quark e antiquark. L’ener-

gia potenziale di siffatte configurazioni di campo dipenderebbe linear-

– 4 –

mente dalla distanza quark-antiquark e questo implicherebbe il confi-

namento (ovvero energia infinita per separare uno stato di singoletto

di colore in stati colorati).

Se consideriamo uno stato legato con un quark e un antiquark a distanza

R. Se E(R) e l’energia dello stato corrispondente alla configurazione di

energia piu bassa, allora:

in assenza di confinamento

E(R) → 2m (R→ ∞) (8)

(m massa rinormalizzata del quark)

in caso di confinamento

E(R) → σR (R→ ∞) (9)

(σ tensione di stringa universale, σ 0.2 GeV2)

• Scala del confinamento ∼ scala adronica ∼ 1 fermi (a questa scala

lo sviluppo perturbativo fallisce):

– lo studio del meccanismo del confinamento in QCD richiede l’u-

tilizzo di metodi non perturbativi:

FORMULAZIONE SU RETICOLO DELLA QCD

– 5 –

QCD SU RETICOLO

La formulazione della QCD su reticolo e basata sull’approccio alle Teo-

rie Quantistiche di Campo mediante il path integral di Feynman (vedi

Montvay and Munster, 1994; Rothe, 1992, per una introduzione).

Punto di partenza: funzioni di Green nello spazio Euclideo:

• rotazione di Wick (connessione fra spazio di Minkowski (3+1 dimen-

sioni) e spazio Euclideo (4 dimensioni) mediante prolungamento ana-

litico, evoluzione dinamica del sistema nel tempo immaginario x0 →−ix4):

xE = (x, x4) , x4 = ix0 (reale) , d4x = −id4xE

x2E = x2

1 + x22 + x2

3 + x24 = −x2

kE = (k, k4) , k4 = −ik0 (reale) , d4k = id4kE

k2E = k2

1 + k22 + k2

3 + k24 = −k2

(10)

si puo mostrare allora che: SE = −iS• (consideriamo solo la parte di gauge)

< O1 . . . On >=1Z

∫DAµ O1 . . .On e

−SE

Z =∫

DAµ e−SE

(11)

integrazione sulle configurazioni di campo classiche “pesate” dall’a-

zione SE

• analogia con le funzioni di correlazione di un sistema statistico clas-

sico definito dalla funzione partizione Z , con una distribuzione di

Boltzmann data da exp(−SE)

– 6 –

• possibilita di calcolare le funzioni di Green in una teoria di campo

euclideo utilizzando i metodi della meccanica statistica.

L’implementazione numerica dell’approccio mediante path integral richie-

de:

regolarizzazione dell’integrale funzionale:

discretizzazione dello spazio euclideo mediante l’introduzione di un

reticolo 4-dim con passo reticolare finito a (cutoff nello spazio degli

impulsi: −π/a ≤ kµ ≤ π/a)

sito del reticolo: xµ = anµ, nµ ∈ Z, 1 < xµ < Lµ

Volume del reticolo = L1 × L3 × L3 × L4

discretizzazione della azione:

• una trascrizione mediante differenze finite non conserva l’invarianza

di gauge

• per conservare l’invarianza di gauge:

i campi di gauge vanno definiti utilizzando la nozione di tra-

sporto parallelo nel continuo:

U(x, y; C) ≡ P exp ig∫ x

y

Aaµ(z)Tadz

µ

Ta(a = 1, . . . , N2 − 1) : generatori di SU(N)

(12)

– 7 –

x

C

y

U(x, y; C) si trasforma come:

U(x, y) −→ Λ(x)U(x, y)Λ−1(y) (13)

con Λ(x) ∈ SU(N)

su reticolo trasporto parallelo elementare associato al link fra

il sito x e il sito x+ aµ

Uµ(x) ≡ U(x, x+ aµ) = U†(x+ aµ, x)

Uµ(x) ≡ exp igaAbµ(x)Tb

(14)

plaquette percorso chiuso elementare

Uµν(x) ≡ Uµ(x)Uν(x+ µ)U†µ(x+ ν)U†

µ(x) (15)

x x a+ µ

+x aν

azione di Wilson su reticolo per la teoria di gauge SU(N):

SW = β∑

x,µ>ν

(1 − 1

NRe TrUµν(x)

)(16)

– 8 –

invariante per trasformazioni di gauge (Eq. (13))

(nel limite a→ 0 si riottiene l’azione di gauge nel continuo)

(sono possibili altre discretizzazioni gauge invarianti dell’azione

di gauge)

la misura di integrazione:

le variabili di gauge definite su reticolo sono elementi del gruppo di

gauge SU(N) e (al contrario dei campi di gauge Aµ nel continuo)

sono definiti in termini di parametri appartenenti ad un dominio com-

patto (per questo non e necessario fissare il gauge quando si valuta

un integrale funzionale su un reticolo finito). La misura di integrazione

e data dalla misura di Haar. Per ogni gruppo compattoG la misura di

Haar e l’unica misura che soddisfa le proprieta seguenti:

• invarianza:∫

Gf(U)dU =

∫Gf(V U)dU =

∫Gf(UV )dU

• normalizzazione:∫

GdU = 1

Per esempio in SU(2) con la parametrizzazione U = x01 + ix · τla misura di Haar e data da: dU = 1/π2δ(x2 − 1)d4x.

il valore di aspettazione di una osservabile fisica su reticolo:

< O >=1Z

∫ ∏x,µ

dUµ(x)O(Uµ(x))e−SW

Z =∫ ∏

x,µ

dUµ(x)e−SW

(17)

il calcolo numerico dell’integrale funzionale:

• l’integrale definito nella Eq. (17) e ora un integrale ordinario con

un numero finito di dimensioni. Tuttavia non e possibile effettuare

le integrazioni con un semplice metodo numerico di quadratura.

– 9 –

• Esempio: reticolo 404 per SU(3), il numero di variabili di inte-

grazione e: 4 × 404 × 8 = 81, 920, 000. Se considerassi-

mo un campionamento di 10 punti per ogni variabile di integra-

zione dovremmo eseguire 1081,920,000 valutazioni della funzione

integranda !!!

• importance sampling:

data una azione S i punti xi dove viene valutata la funzione da

integrare vengono scelti con una probabilita:

p(xi) ∼ exp(−S(xi)) (18)

-S(x)e

x

• calcolo del valore di aspettazione della osservabile O:

integrazione Monte Carlo

(1) generare una configurazione iniziale C0 di variabili di gauge

associate ai link del reticolo (C0 = Uµ(x), x ∈ lattice)

(2) dato Uµ(x), generare una nuova variabile di gauge U newµ (x)

in modo che dopo un numero sufficiente Ntherm di iterazioni le

configurazioni di gauge CNtherm+1, CNtherm+2, . . . siano di-

stribuite secondo: p(Ci) ∼ exp(−S(ci))(per realizzare questo step varii possibili algoritmi: Metropolis,

Heat-Bath, ...).

(3) dopo aver generato un numero N di configurazioni di gauge il

– 10 –

valore di O e stimato da:

< O >=1N

N∑i=1

O(Ci) (19)

(analogia con il calcolo di una media termica il Meccanica Sta-

tistica)

(4) calcolare l’indeterminazione statistica sull’estimatoreO median-

te procedure di analisi dell’errore statistico che tengono conto

della correlazione fra misure effettuate su configurazioni conse-

cutive (jackknife, bootstrap, ...)

il calcolo numerico dell’integrale funzionale: permette di avere una

determinazione di < O > per un fissato valore di β = 2N/g2 e su

un reticolo di volume dato V = L1 × L2 × L3 × L4.

Perche i risultati ottenuti siano interpretabili in termini fisici e neces-

sario effettuare

(1) limite termodinamico: V → ∞(2) limite continuo: a→ 0

Il limite continuo

Consideriamo per semplicita una teoria di gauge pura su reticolo: e

presente un solo parametro dimensionale dato dal passo reticolare

a. Una generica osservabile fisica dovra essere espressa in unita di

a.

Se q e il valore di aspettazione di una osservabile fisica con le di-

mensioni di una massa, ottenuto a fissato valore dell’accoppiamento

– 11 –

di gauge g:

q =1af(g) (20)

f(g): funzione adimensionale di g che esprime il valore numerico di

q (in unita di 1/a) a fissato g.

Affinche q resti finito nel limite a→ 0 g deve dipendere da a in modo

che:

lima→0

q = lima→0

1af(g(a)) = cq (21)

cq costante finita.

Perche la condizione Eq. (21) sia realizzata deve esistere un valore

critico g per cui:

lima→0

g(a) = g

lima→0

f(g(a)) = f(g) = 0(22)

Teorie di gauge non Abeliane: asymptotic freedom ⇒ g = 0

Imponendo che q(a, g(a)) sia indipendente da a:

d

daq(a, g(a)) =

d

da

[1af(g(a))

]= f(g) + β(g)

df(g)dg

= 0

β(g) = −adg(a)da

(23)

con β(g) β-function (esprime la dipendenza di g da a).

Integrando la Eq. (23):

f(g) = costante exp[−

∫ g

g0

dg′1

β(g′)

](24)

– 12 –

e definendo

Λlatt =1a

exp[−

∫ g

g0

dg′1

β(g′)

](25)

si ottiene

q =1af(g) = costante × Λlatt (26)

Λlatt e indipendente dal cutoff a (Λlatt e una scala fisica ottenuta

da una combinazione dei parametri bare g e a).

La β-function di QCD puo essere calcolata perturbativamente e i pri-

mi 2 termini dello sviluppo sono universali (i.e. indipendenti dalla

regolarizzazione):

f(g) = aΛlatt = (β0g2)−β1/(2β2

0)e−1/(2β0g2)

β0 =11N16π2

β1 =34N2

3(16π2)2(27)

La dipendenza di a da g secondo la (27) implica che per g → 0 il

volume del reticolo deve aumentare in modo opportuno perche una

data scala fisica sia contenuta in esso:

(vedi anche: effetti di volume finito)

– 13 –

Evidenze numeriche del CONFINAMENTO

Lavoro di K.Wilson (Wilson, 1974)

Risultati numerici: il potenziale statico quark-antiquark:

(Necco and Sommer, 2002)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 r [fm]

−0.5

0

0.5

V(r) [GeV]

perturbation theory

V (R) = −α

R+ σR (28)

– 14 –

Risultati numerici: il tubo di flusso cromoelettrico:

(Cea and Cosmai, 1995; Di Giacomo, 1994)

ρW =

⟨tr

(WLUPL

†)⟩〈tr(W )〉 − 1

2〈tr(UP )tr(W )〉

〈tr(W )〉 , (29)

UP = Uµν(x) plaquette nel piano (µ, ν).

ρWa→0−−−→ a2g

[〈Fµν〉qq − 〈Fµν〉0

]. (30)

Fµν(x) =√β

2ρW (x) . (31)

Al variare della distanza e della orientazione della plaquette UP ri-

spetto al loop di Wilson W , distribuzione dei campi nel tubo di flusso

quark-antiquark.

– 15 –

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

SU(2) 244 β=2.7

xt

ExEy

EzBxBy

Bz

Fµν

(xl=

0)

String tension: energia nel tubo di flusso per unita di lunghezza

σ 12

∫d2xtE

2l (xl, xt) . (32)

0

1

2

3

4

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1a Λ

MS__

√σ ,

√σA

√σ

ΛMS

= 1.76(6) ,√σWL

ΛMS

= 1.79(12) . (33)

– 16 –

Studio del vuoto di QCD

Per studiare la struttura del vuoto delle teorie di gauge su reticolo a tem-

peratura zero e stata introdotta (Cea and Cosmai, 1999; Cea, Cosmai,

and Polosa, 1997) una azione effettiva invariante di gauge definita me-

diante il funzionale di Schrodinger su reticolo (Luscher, Narayanan,

Weisz, and Wolff, 1992; Luscher and Weisz, 1995)

Z[U extk ] =

∫DU e−SW . (34)

SW e l’azione di Wilson e l’integrazione funzionale e estesa ai link di un

reticolo L3s ×Lt con geometria ipertoroidale e con i seguenti vincoli (xt:

coordinata temporale)

Uk(x)|xt=0 = U extk (x) , (k = 1, 2, 3) , (35)

U extk (x) e la versione su reticolo del potenziale di gauge nel continuoAext(x) = Aext

a (x)λa/2.

Si impone anche che:

i link alla frontiera spaziale del reticolo sono fissati secondo i vincoli

dati nella Eq. (35) ,

(questo corrisponde ad imporre nel continuo che le fluttuazioni sul campo

di background si annullino all’infinito).

L’azione effettiva su reticolo per il campo di background statico Aext(x)e data da:

Γ[ Aext] = − 1Lt

ln

Z[ Aext]Z[0]

. (36)

– 17 –

Nel limite continuo:

Γ[ Aext] e l’energia del vuoto in presenza del campo di backgroundAext.

Inoltre:

L’azione effettiva per il campo di background e invariante per trasfor-

mazioni di gauge dei link esterni U extk .

A temperatura finita consideriamo la funzione partizione termica (Gross,

Pisarski, and Yaffe, 1981) in presenza di un campo di background stati-

co.

Su reticolo e stata introdotta (Cea and Cosmai, 2001a,b) la seguente

funzione partizione in presenza del campo di background

ZT

[Aext

]=

∫Uk(Lt,x)=Uk(0,x)=U ext

k (x)

DU e−SW , (37)

con la temperatura fisica data da T = 1/aLt. Su un reticolo con

estensione spaziale finita imponiamo anche che:

• i link uscenti da siti apartenenti alla frontiera spaziale sono fissati

secondo i vincoli dati nella Eq. (35).

Si puo verificare che

• quando la temperatura fisica va a zero, il funzionale termicoZT

[Aext

]si riduce al funzionale di Schrodinger a temperatura zero.

La quantita rilevante a temperatura finita e il funzionale energia libera

definito come

F [ Aext] = − 1Lt

lnZT [ Aext]ZT [0]

. (38)

– 18 –

Quando la temperatura fisica va a zero

il funzionale energia liberaF [ Aext] si riduce all’azione effettiva Γ[ Aext].

L’azione effettiva gauge-invariante viene utilizzata per investigare

la dinamica del vuoto e il confinamento del colore nelle teorie di

gauge su reticolo.

Sono stati ottenuti alcuni risultati nello studio del vuoto delle teorie di

gauge su reticolo U(1), SU(2) e SU(3).

Il metodo e applicabile anche in presenza di fermioni dinamici (risulta-

ti preliminari sulla transizione di deconfinamento con 2 flavors) (Cea,

Cosmai, and D’Elia, 2002).

Verranno mostrati risultati riguardanti:

SU(3) in un campo cromomagnetico costante:

T = 0 T = 0

– 19 –

Campo Cromomagnetico Abeliano di Background: T = 0

(Cea and Cosmai, 1999)

Consideriamo un campo esterno cromomagnetico Abeliano costante e

statico

Aexta (x) = Aext(x)δa,3 , Aext

k (x) = δk,2x1H . (39)

Su reticolo

U ext1 (x) = U ext

3 (x) = 1

U ext2 (x) =

ei

gHx12 0 0

0 e−igHx1

2 0

0 0 1

. (40)

Per essere consistente con la geometria iperoroidale imponiamo che il

campo magnetico H sia quantizzato

gH

2=

2πL1next , (41)

con next intero.

Per l’invarianza di gauge dell’azione effettiva per trasformazioni di gauge

statiche del campo di background, Γ[ Aext] e proporzionale al volume

spaziale V .

Pertanto la quantita rilevante e la densita di azione effettiva

ε[ Aext] = − 1Ω

ln[Z[Aext]

Z[0]

], (42)

con Ω = V · T .

– 20 –

Per evitare il problema di effettuare un calcolo diretto di una funzione

partizione (e l’esponenziale di una quantita estensiva) consideriamo la

derivata di ε[ Aext] rispetto a β con next (i.e. gH) fissato

ε′[Aext

]=∂ε

[Aext

]∂β

= − 1Ω

[1

Z[U ext]∂Z[U ext]∂β

− 1Z[0]

∂Z[U ext]∂β

]

=

⟨1Ω

∑x,µ>ν

13

ReTrUµν(x)

⟩0

−⟨

1Ω

∑x,µ>ν

13

ReTrUµν(x)

⟩Aext

(43)

Uµν(x)’s sono le plaquette nel piano (µ, ν).

Se consideriamo il contributo dei link dinamici (i.e. i link che non sono

soggetti a vincoli nella integrazione funzionale)

ε′int[ Aext] =

⟨1

Ωint

∑x∈Λ,µ>λ

13

ReTrUµν(x)

⟩0

−⟨

1Ωint

∑x∈Λ,µ>λ

12

ReTrUµν(x)

⟩Aext

,

(44)

dove Λ e l’insieme dei siti del reticolo che non appartengono alla frontiera.

Per valutare εint(β, next) possiamo integrare numericamente i dati per

ε′int(β, next)/ε′ext

εint(β, next) = ε′ext

∫ β

0

ε′int(β, next)ε′ext

dβ′ , (45)

con ε′ext la derivata della densita di energia dovuta al campo esterno di

background:

ε′ext =23

[1 − cos(gH

2)] =

23

[1 − cos(2πL1next)] . (46)

– 21 –

L4 = L1 = 32 L2 = L3 = L⊥ (47)

0 5 10 15

β

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

ε′

L⊥ = 8 L⊥ = 12L⊥ = 16L⊥ = 24L⊥ = 32

Nella regione di weak coupling si trova che

εint(β, next) a(next)12H2 , β 1 (48)

dove a(next) decresce al crescere di L⊥ o del campo esterno di back-

ground. Questo comportamento e peculiare delle teorie di gauge non

Abeliane (abbiamo infatti verificato che nel caso della teoria Abeliana U(1)

a(next) 1 indipendentemente da L⊥ e next).

– 22 –

Per effettuare il limite termodinamico si introduce la variabile di scaling

x =aH

Leff, (49)

dove aH =√

2πgH e la lunghezza magnetica, e Leff = Ω1/4

int la dimen-

sione effettiva lineare del reticolo. Con la seguente legge di scaling:

x−α ε′int(β, next, Leff)

ε′ext

= κ(β) . (50)

0 5 10 15

β

0

5

10

15

κ(β)

next=1 (L⊥=12)

next=1 (L⊥=16)

next=1 (L⊥=24)

next=1 (L⊥=32)

I dati numerici per i reticoli di size diversa si dispongono su una stessa

curva di scaling κ(β) (con l’esponenteα = 1.5 in Eq. (50), stesso valore

trovato nel caso di SU(2)).

– 23 –

Dalla Eq. (50) e possibile determinare il limite di volume infinito per la

densita di energia del vuoto εint. Si ottiene:

limLeff→∞

εint(β, next, Leff) = ε′ext

∫ β

0

dβ′ κ(β′) limLeff→∞

(aH

Leff

)α

= 0

(51)

su tutto il range di β.

Consegue che nel limite continuo (Leff → ∞, β → ∞) il vuoto di

SU(3) scherma completamente il campo esterno cromomagnetico

Abeliano (per campi esterni non troppo intensi).

– 24 –

Campo Cromomagnetico Abeliano di Background: T = 0

(Cea and Cosmai, 2001a, 2002)

Lo studio di SU(3) in un campo cromomagnetico esterno Abeliano puo

essere esteso al caso di temperatura finita.

Su reticolo la temperatura fisica Tphys e introdotta (in unita di κB = 1)

1/Tphys = Lt · a , (52)

dove Lt e l’estensione lineare nella direzione temporale Lt = L4, l’e-

stensione nelle direzioni spaziali dovrebbe essere infinita. Ovviamente

nelle simulazioni numeriche l’estensione spaziale e finita. Per approssi-

mare il limite termodinamico si impone che Ls Lt.

Le nostre simulazioni nu,eriche sono state effettuate su reticoli 643×Lt,

128 × 642 × Lt con Lt/Ls ≤ 4.

Nel caso di campo cromomagnetico esterno costante, si considera la

densita di energia libera

f [ Aext] = − 1V Lt

lnZT [ Aext]ZT [0]

, V = L3s . (53)

Troviamo che

partendo da un sistema di gauge SU(3) a temperatura zero immer-

so in un campo cromomagnetico Abeliano costante di data intensita

(next = 1) e aumentando la temperatura

la coda perturbativa della derivata rispetto a β della densita di

energia libera f ′int(β, next)/ε′ext cresce con 1/Lt e tende verso

il valore classico f ′int(β, next)/ε′ext 1.

Si puo allora concludere che

– 25 –

al crescere della temperatura non c’e effetto di schermo nella

densita di energia libera e pertanto l’effetto di schermo che si

osserva a T = 0 e correlato al confinamento.

La conoscenza di f ′int(β, next)/ε′ext a temperatura finita ci consente di

determinare la temperatura di deconfinamento Tc.

5 5.25 5.5 5.75 6

β

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

f′ int(β

)/ε′ ex

t

Lt=8

Lt=7

Lt=6

Lt=5

Lt=4

Si vede dalla figura che l’accoppiamento pseudocritico β∗(Lt) dipende

da Lt. Per determinare β∗(Lt) si parametrizza f ′int(β, Lt) vicino al

picco come

f ′int(β, Lt)ε′ext

=a1(Lt)

a2(Lt)[β − β∗(Lt)]2 + 1. (54)

Dopo aver determinato β∗(Lt) la temperatura di deconfinamento puo

– 26 –

essere stimata come

Tc

Λlatt=

1Lt

1fSU(3)(β∗(Lt))

, (55)

dove

fSU(N)(β) =(

β

2Nb0

)51/121

exp(−β 1

4Nb0

), (56)

con b0 = (11N)/(48π2) e N il numero dei colori.

Per ottenere Tc nel limite continuo viene effettuata una estrapolazione

lineare al continuo dei dati per Tc

Λlatt.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

a Tc

0

10

20

30

40

50

60

Tc /

ΛLA

T

Per una teoria di gauge SU(3) su reticolo senza il campo esterno (Fing-

berg, Heller, and Karsch, 1993)

Tc

Λlatt= 29.67 ± 5.47 . (57)

– 27 –

Tc vs.gH

(Cea and Cosmai, 2002)

I risultati ottenuti mostrano che la temperatura di deconfinamento Tc

Λlatt

dipende dalla intensita del campo cromomagnetico Abeliano applicato.

Pertanto si e pensato di fare uno studio sistematico della dipendenza di

Tc dalla intensita gH del campo cromomagnetico di background.

Sono state effettuate simulazioni numeriche su reticoli 643 × Lt con

next = 1, 2, 3, 5, 10 (per verificare possibili effetti di volume finito simu-

lazioni anche su un reticolo 128 × 642 × Lt con next = 3, gli effetti di

volume finito non sono apprezzabili entro l’errore statistico).

Si giunge cosı alla determinazione della temperatura critica Tc

Λlattin fun-

zione della intensita del campo cromomagnetico esterno gH .

0 0.5 1 1.5 2

gH

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tc /

Λla

tt

La temperatura critica decresce al crescere dell’intensita del campo cro-

momagnetico Abeliano.

– 28 –

Se la lunghezza magnetica aH ∼ 1/√gH e la sola scala rilevante del

problema allora per ragioni dimensionali

T 2c ∼ gH . (58)

Si ottiene un buon fit dei dati con la seguente forma funzionale

Tc(gH)Λlatt

=Tc(0)Λlatt

+ α√gH . (59)

0 0.5 1 1.5 2

gH

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tc /

Λla

tt

In particolare α = −42.4 ± 7.4 e Tc(0)/Λlatt (in accordo, entro l’errore

statistico, con Eq. (57)).

– 29 –

Esiste allora un valore critico della intensita del campo applicato

gHc 0.68 (60)

tale che Tc = 0 per gH > gHc. In unita fisiche il valore critico della

intensita di campo e:√gHc

Tc= 8.5 ± 1.4 . (61)

Dati preliminari confermano un risultato analogo nel caso di SU(2)

0 0.05 0.1 0.15 0.2

a Tc

0

10

20

30

40

Tc /

ΛLA

T

SU(2) 64

3 × Lt next=5

per SU(2) la temperatura critica senza il campo di background e (Fing-

berg, Heller, and Karsch, 1993)

Tc

Λlatt= 24.38 ± 2.18 . (62)

– 30 –

CONCLUSIONI

LA FORMULAZIONE SU RETICOLO DELLA QCD PERMETTE DI

INVESTIGARE GLI ASPETTI NON PERTURBATIVI DELLA TEORIA

PARTENDO DALLA LAGRANGIANA

IL CONFINAMENTO DEL COLORE RESTA TUTTORA UN PROBLE-

MA APERTO. SONO STATI TUTTAVIA CONSEGUITI ALCUNI RI-

SULTATI COMPUTAZIONALI CHE POTREBBERO SUGGERIRE POS-

SIBILI PERCORSI VERSO UNA DIMOSTRAZIONE DEL CONFINA-

MENTO DEL COLORE

ALCUNI DI QUESTI RISULTATI SONO STATI MOSTRATI IN QUE-

STO SEMINARIO:

♦ Evidenze numeriche per un comportamento superconduttivo del

vuoto di SU(3):

schermo di un campo cromomagnetico abeliano costante a

temperatura zero

esistenza di un valore critico del campo cromomagnetico abe-

liano costante oltre il quale la temperatura di deconfinamento va

a zero

capire il meccanismo microscopico: condensazione di un cam-

po scalare colorato ...

possibili applicazioni astrofisiche: deconfinamento a bassa tem-

peratura e a bassa densita renderebbe possibile spiegare l’esi-

stenza di stelle di quark compatte recentemente osservate

– 31 –

Riferimenti bibliograficiCea, P., and L. Cosmai, 1995, Phys. Rev. D52, 5152.

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– 31 –