1

FI5003 Mekanika KuantumMomentum Sudut

Dosen: Prof. Freddy P. Zen, D.Sc

Tinjau operator momentum sudut J dan momentum sudut arah-z Jzyang bekerja dengan cara

J2 |λm〉 = λ |λm〉 (1)

Jz |λm〉 = m |λm〉 . (2)

Didefinisikan

J± = Jx ± iJy (3)

(J+)† = J−, (4)

2

sehingga

[J+, Jz] =[Jz + iJy, Jz

]= [Jx, Jz] + i

[Jy, Jz

]= −iJy + i (iJx) = −

(Jx + iJy

)= −J+, (5)

[J−, Jz] = J−, (6)

[J+, J−] = 2Jz, (7)[J2, J±

]= 0. (8)

Lalu,

J2z + J+J− = J2

z + J2x − i

(JxJy − JyJx

)︸ ︷︷ ︸iJz

+J2y

= J2x + J2

y + Jz + J2z

= J2 + Jz, (9)

atauJ+J− = J2 − J2

z + Jz. (10)

3

Dengan cara yang sama diperoleh

J−J+ = J2 − J2z − Jz. (11)

Jelas bahwa,

〈φ| J2 |φ〉 = (Jxφ, Jxφ) +(Jyφ, Jyφ

)+ (Jzφ, Jzφ) ≥ (Jzφ, Jzφ)

⇒ λ ≥ m2. (12)

Dan

Jz (J+ |λm〉) = J+Jz |λm〉 + J+ |λm〉= (m + 1) J+ |λm〉 ⇒ J+ |λm〉 = am |λm〉 , (13)

menunjukkan bahwa J+ |λm〉 adalah vektor eigen dari Jz dengan nilaieigen (m + 1). Lalu,

J2 (J+ |λm〉) = J+J2 |λm〉 = λ (J+ |λm〉) , (14)

menunjukkan bahwa J+ |λm〉 adalah vektor eigen dari J2 dengan nilaieigen λ. Sehingga J+ adalah ”raising operator” untuk m. Dapat dilakukan

4

iterasi, yaitu mengerjakan operator J+ berulang kali pada |λm〉. Prosesini harus berhenti untuk nilai m = j (nilai m tertinggi), di mana λ ≥ j2,sehingga

J+ |λj〉 = 0, |λm〉 6= 0. (15)

Dengan cara yang sama untuk J− |λm〉,Jz (|λm〉) = (m− 1) (J− |λm〉)⇒ J− |λm〉 = bm |λ(m− 1)〉 , (16)

sehingga J− |λm〉 adalah vektor eigen dari operator Jz dengan nilai eigen(m−1). Sehingga J− adalah ”lowering operator”. Dapat dilakukan iterasiberulang kali, sehingga akhirnya didapatkan

J−∣∣λj′⟩ = 0,

∣∣λj′⟩ 6= 0, (17)

di mana j − j′ = l⇔ j = j′ + l dengan l suatu bilangan bulat.

5

Dari persamaan (15) dan (17) diperoleh

J−J+ |λj〉 = 0 =(J2 − J2

z − Jz)|λj〉 =

(λ− j2 − j

)|λj〉 (18)

J+J−∣∣λj′⟩ = 0 =

(J2 − J2

z + Jz

) ∣∣λj′⟩ =(λ− j′2 + j′

) ∣∣λj′⟩ . (19)

Solusinya adalah λ = j(j+1) = (−j′)(−j′+1). Untuk j > j′ solusi yangkonsisten adalah j′ = −j. Sehingga, dari syarat j = j′+ l dengan l suatubilangan bulat, dihasilkan 2j = l dengan l bilangan bulat. Jadi, diperolehkesimpulan bahwa nilai eigen dari J2 adalah j(j + 1) dengan

j = 0,1

2, 1,

3

2, . . . , dan (20)

m = −j, . . . , j, (21)

dan vektor eigen untuk J2 kita notasikan dengan |jm〉. Sehingga⟨j′m′

∣∣ J2 |jm〉 = j(j + 1)δjj′δmm′, (22)⟨j′m′

∣∣ Jz |jm〉 = mδjj′δmm′. (23)

6

Untuk operator ”raising” dan ”lowering” berlaku

〈j m + 1| J+ |jm〉 = am = (〈j m + 1| J−) |jm〉 = b∗m+1. (24)

Sehingga konstanta am didapat dari

J−J+ |jm〉 = amJ− |λ m + 1〉 = ambm+1 |jm〉 = |am|2 |jm〉=(J2 − J2

z − Jz)|jm〉 = (j(j + 1)−m(m + 1)) |jm〉 .

(25)

atau

|am|2 = j(j + 1)−m(m + 1) = (j −m)(j + m + 1)

⇒ am =√

(j −m)(j + m + 1). (26)

Dengan cara yang sama diperoleh bm =√j(j + 1)−m(m− 1) =

√(j + m)(j −m + 1),

sehingga

J+ |jm〉 =√

(j −m)(j + m + 1) |j m + 1〉 , (27)

J− |jm〉 =√

(j + m)(j −m + 1) |j m− 1〉 . (28)

7

Elemen matriksnya,⟨j′m′

∣∣ J+ |jm〉 =√

(j −m)(j + m + 1)δjj′δm′ (m+1), (29)⟨j′m′

∣∣ J− |jm〉 =√

(j + m)(j −m + 1)δjj′δm′ (m−1). (30)

Perumusan ini terdapat pada paper W. Pauli, ”On the Spin Statis-tic”, Phys. Rev. 58, (1940), 716 tentang Lorentz invariant, positiveenergy, positive norm, dan causality.

Dengan menggnakan elemen matriks, kita dapat mencari representasimatriks untuk = 0, 1

2, 1,32, . . ..

• j = 0J+ = (0), J− = (0), Jz = (0), J2 = (0). (31)

• j = 12

J+ =

(0 10 0

), J− =

(0 01 0

), Jz =

( 12 0

0 −12

), J2 =

( 34 0

0 34

),

(32)

8

• j = 1

J+ =

0√

2 0

0 0√

20 0 0

, J− =

0 0 0√2 0 0

0√

2 0

,

Jz =

1 0 00 0 00 0 −1

, J2 =

2 0 00 2 00 0 2

, (33)

9

• j = 32

J+ =

0√

3 0 00 0 2 0

0 0 0√

30 0 0 0

, J− =

0 0 0 0√3 0 0 0

0 2 0 0

0 0√

3 0

,

Jz =

32 0 0 0

0 12 0 0

0 0 −12 0

0 0 0 32

, J2 =

154 0 0 0

0 154 0 0

0 0 154 0

0 0 0 154

, (34)

10

Dengan representasi tersebut, kita dapat melihat sifat matrik uniter ber-ikut: U(ω) = eiωJz,⟨

j′m′∣∣U(ω) |jm〉 = eimωδjj′δmm′, (35)

dengan nilai m bisa bulat atau setengah bulat.

• Untuk j bulat (maka m juga bulat), sehingga⟨j′m′

∣∣U(2π) |jm〉 =

eim2πδjj′δmm′,U(2π) = 1, (36)

single valued, rotasi lengkap.

• Untuk j setengah bulat (m juga setengah bulat), sehingga⟨j′m′

∣∣U(2π) |jm〉 =

eibulat

2 2πδjj′δmm′ = eibulatπδjj′δmm′,

U(2π) = ei(bulat)π = −1. (37)

double valued, 2 kali rotasi (-1 dan +1), disebut ”spinor” karena ap-plicable dengan sifat fisis spin.

11

Atau

• j bulat: U(ω) = U(ω + 2π),

• j setengah bulat: U(ω) = −U(ω + 2π).