MHXANIKH I-Typologio & Meuodologia

ΣΤΑΤΙΚΗ (ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι) Τυπολόγιο & Μεθοδολογία

ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ Οι συντεταγµένες του Κ.Β. µιας επίπεδης επιφάνειας F ως προς σύστηµα x,y είναι :

∫= xdFF1

cx ∫= ydFF1

cy

Κέντρα βάρους απλών επιφανειών

3α

cx = 3b

cy =

2α

cx = 2b

cy =

0cx = π3R4

cy =

π3R4

cx = π3R4

cy =

Κέντρο βάρους σύνθετων επιφανειών

Χωρίζεται η σύνθετη επιφάνεια σε απλές από 1…..n

nF....2F1FηFηx....2F2x1F1x

cx+++

+++=

nF....2F1FηFηy....2F2y1F1y

cy+++

+++=

Αν µια επιφάνεια αφαιρείται (τρύπα) τότε F 0<

Κέντρα βάρους επιφανειών ανάµεσα σε καµπύλες

Σε περίπτωση που η επιφάνεια περιορίζεται από τις καµπύλες y=f2(x) και y=f1(x) και τις ευθείες x=α και x=b οι συντετα- γµένες του Κ.Β. είναι :

( ) ( )( )∫ −= βα dxx1fx2fx

F1

cx

( ) ( )( )∫ −= βα dxx2

1fx22f

21

F1

cy

( ) ( )( )∫ −= βα dxx1fx2fF

Ανάλογα όταν η επιφάνεια περιορίζεται από τις καµπύλες x=g1(y) και x=g2(y) και τις ευθείες y=δ και y=γ.

( ) ( )∫ −=

δ

γ dyy21gy2

2g21

F1

cx

( ) ( )( )∫ −= δγ dyy1gy2gy

F1

cy

( ) ( )( )∫ −= δ dyy1gy2gF γ

ΡΟΠΕΣ Α∆ΡΑΝΕΙΑΣ

Ροπές αδράνειας β’ βαθµού (ορισµοί) Η ροπή αδράνειας υπολογίζεται πάντα ως προς κάποιον άξονα

∫Α

= dA2yxxI ∫Α

= dA2xyyI

∫−==A

xydAyxIxyI

( )∫ +=+= yyIxxIdA2y2xPI

Αν ο x ή ο y είναι άξονας συµµετρίας τότε 0Ixy =

© ∆ωρεάν ∆ιάθεση

Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων Σχέσεις που συνδέουν ροπές αδράνειας δυο συστηµάτων µε το ίδιο κέντρο όπου το x΄y΄ είναι στραµµένο κατά γωνία θ ως προς το xy :

++=′′ )II(I yyxx21

xx

θ2sinθ2cos)II( xyyyxx21 Ι+−+

−+=′′ )II(I yyxx21

yy

θ2sinθ2cos)II( xyyyxx21 Ι+−−

θ2cosθ2sin)II(I xyyyxx21

yx Ι++−=′′

Παράλληλη µετατόπιση αξόνων ( θ. Steiner)

Σχέσεις που συνδέουν τις ροπές αδράνειας όταν το σύστηµα x΄y΄ είναι µετατοπισµένο παράλληλα ως προς το xy.

Α+=′′2οyxxIxxI

Α+=′′2οxyyIyyI

Α−=′′ οοyxxyIyxI

Ροπές αδράνειας απλών διατοµών

Ορθογώνιο Παρ/µο

0I12

3hbyyI

12

3bhxxI

xy =

=

=

Κύκλος

0Ixy

4

4RyyI

4

4RxxI

==

=

π

π

Ισοσκελές τρίγωνο

0I48

3hbyyI

36

3bhxxI

xy =

=

=

Ορθογώνιο τρίγωνο (Α: το εµβαδόν του τριγ.)

2h2b721

xyI

18

2byyI

18

2hxxI

=

Α=

Α=

Ηµικύκλιο

0xyI

4R393,0yyI

4R11,0xxI

=

=

=

Ροπές αδράνειας σύνθετης επιφάνειας

)n(xyI....)2(

xyI)1(xyIxyI

yyI....)2(yyI)1(

yyIyyI

I....III)n(

)n(xx

)2(xx

)1(xxxx

+++=

+++=

+++=

Οι ροπές αδράνειας υπολογίζονται πρώτα στο Κ.Β. της κάθε επιφάνειας και έπειτα ανάγονται µε το θ.Steiner στο Κ.Β. της επιφάνειας και προστίθενται.

Ροπή αδράνειας α΄ βαθµού (στατική)

CAyxS =

CAxyS =

Στατική ροπή αδράνειας σύνθετης επιφάνειας

nCynA....2Cy2A

1Cy1A

)n(XS....)2(

XS)1(XSXS

+++=

=+++=

nCxnA....2Cx2A

1Cx1A

)n(yS....)2(

yS)1(ySyS

+++=

=+++=

ΙΣΟΡΡΟΠΊΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο

Στερεά σε ισορροπία Για να βρίσκεται ένα στερεό σε ισορροπία στο επίπεδο πρέπει να πληρούνται οι εξισώσεις ισορροπίας : ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0

Στις εξισώσεις συµπεριλαµβάνονται όλες οι δυνάµεις και ροπές που ενεργούν στο σώµα (φορτία κ αντιδράσεις)

Είδη στήριξης και αντιδράσεις Το κάθε είδος στήριξης εισάγει και τις αντίστοιχες αντιδράσεις. Κύλιση

∆ηλαδή : επιτρέπει την οριζόντια µετατόπιση και την στροφή. Άρθρωση

∆ηλαδή : επιτρέπει την στροφή.

Πάκτωση ∆ηλαδή : δεν επιτρέπει κανενός είδους µετακίνηση. Οι αντιδράσεις στα ισοστατικά προβλήµατα υπολογίζονται από τις εξισώσεις ισορροπίας

Στερεά µε ενδιάµεση άρθρωση (∆οκοί ή ∆ικτυώµατα) Στις τρεις εξισώσεις ισορροπίας προστίθεται η :

0G =ΣΜ

Ισοστατικά προβλήµατα Ισοστατικοί λέγονται οι φορείς στους οποίους το πλήθος των αντιδράσεων ισούται µε το συνολικό αριθµό των διαθέσιµων εξισώσεων ισορροπίας.

Υπερστατικά προβλήµατα Ο αριθµός των αντιδράσεων είναι µεγαλύτερος από τον αριθµό των εξισώσεων ισορροπίας.

x

y

•

•

•

•

•

y

xy

y

y

x

x

x

y

x

)x(fy 2=

)x(fy 1=

α b

x

y x΄y΄

θ

+

KB

cx

cy

x

y

y

x

)y(gx 1=

)y(gx 2=

δ

γ

x

y x΄

y΄

0

S(K.B.)

)y,x( oo

y

b

KB

xh

R

y

x

b

hx

y

KB

b

h

y

x

KB

y

x

R

AV

AVAH

AVAHAM

G

Ροπή δύναµης F ως προς σηµείο Ο • διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο περιστροφής • προεκτείνω το φορέα της F • φέρνω την κάθετη προς το Ο (µοχλοβραχίονας) • Μ = F• d • για το πρόσηµο βρίσκω τη φορά περιστροφής της απόσταση γύρω από το Ο

Όταν η δύναµη και ο µοχλοβραχίονας βρίσκονται επί του επιπέδου x-y το διάνυσµα της ροπής έχει την διεύθυνση του άξονα z.

Είδη φορτίσεων • Συγκεντρωµένες δυνάµεις • Συγκεντρωµένες ροπές • Κατανεµηµένα Φορτία/ ροπές

Κατανεµηµένα φορτία Τα φορτία ισοδυναµούν µε δυνάµεις συγκεντρωµένες ίσες µε το εµβαδόν της κατανοµής που ασκούνται στο κέντρο βάρος της εκάστοτε διανοµής.

Mονάδες στο S.I. Μήκος → m Γωνία→ rad ∆ύναµη → N Ροπή → Nm Τάση → N/m2 = Pα Προθέµατα

610µ1310m1

910G1610M1310k1−=−=

===

Μετατροπές

2cmkp1at1...2mN1Pa1

kp1000t1...N81.9kp1

==

==

ΑΠΛΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Φορτία διατοµής : Είναι οι εσωτερικές δυνάµεις του φορέα. Αυτές ενεργούν σε µια διατοµή και είναι : Ν : αξονική δύναµη, Q : τέµνουσα δύναµη, Μ : ροπή κάµψης.

∆ιαγράµµατα Ν, Q, M Σχεδιάζονται κατά µήκος του φορέα και µας δείχνουν πως µεταβάλλονται τα Ν, Q, M σε κάθε θέση. Προσδιορισµός Ν, Q, M Αντικαθιστούµε τις στηρίξεις µε τις αντιδράσεις τους και φτιάχνω το ∆ιάγραµµα Ελευθέρου Σώµατος (∆.Ε.Σ). Υπολογίζουµε τις αντιδράσεις στήριξης από τις εξισώσεις ισορροπίας. Βρίσκουµε τα χαρακτηριστικά σηµεία όπως τα: • άκρα δοκού • σηµεία που ασκούνται συγκεντρωµένες φορτίσεις • σηµεία που αρχίζουν και τελειώνουν σε κατανεµηµένα φορτία

Σε κάθε περιοχή µεταξύ δυο διαδοχικών χαρακτηριστικών σηµείων κάνουµε µία τοµή σε τυχαία θέση που απέχει απόσταση x από το άκρο της δοκού. Υπολογίζουµε τα N, Q, M από τις εξισώσεις ισορροπίας ενός από τα δύο τµήµατα µε τις εξισώσεις ισορροπίας που προκύπτουν από την τοµή, µε θετική φορά αυτή των N, Q, M. Θετικά πρόσηµα για Ν, Q, M Το N είναι θετικό όταν είναι εφελκυστικό. Το Μ καθορίζεται από τη θετική ίνα µε φορά από αυτήν στην άλλη πλευρά. • οριζόντιοι δοκοί

• πλαίσια

Αν υπάρχουν στρεπτικές ροπές τότε ψάχνω και την εσωτερική στρεπτική ροπή Mx: ΣΜx=0 → Μx=-Μt

ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ∆οκός Gerber ή αρθρωτή δοκός : Η άρθρωση χωρίζει την αρθρωτή δοκό σε στηρίζον τµήµα ΙΙ και στηριζόµενο Ι και υπολογίζονται οι Gx , Gy στην άρθρωση.

Οι Gx και Gy µεταφέρονται σαν φορτία στη στηρίζουσα δοκό ΙΙ και επιλύεται η ΙΙ.

Τριαρθρωτό τόξο :

Η άρθρωση G χωρίζει το φορέα σε δυο τµήµατα ισοδύναµα από άποψη στατικής λειτουργίας. Χρησιµοποιούµε τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας ΣFx=0, ΣFy=0 και ΣΜ=0 όλου του φορέα και την εξίσωση ΣΜG = 0 του δεξιού ή του αριστερού τµήµατος, για τον υπολογισµό των τεσσάρων εξωτερικών αντιδράσεων. ∆ΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

Στερεά που απαρτίζονται µόνο από ράβδους.

Κάθε ράβδος καταπονείται µόνο µε αξονικές δυνάµεις. Στερεό είναι ένα δικτύωµα όταν: • είναι παράθεση τριγώνων • αποτελείται από δύο στερεά που συνδέονται µε 3 ράβδους που δεν συντρέχουν • αποτελείται από τρία στερεά που συνδέονται ανά δύο µε δύο ράβδους που τέµνονται σε µη συνευθειακά σηµεία Οι αντιδράσεις υπολογίζονται όπως και για δοκούς από τις τρεις εξισώσεις ισορροπίας. Οποιαδήποτε ράβδος µπορεί να αντικατασταθεί από την αντίστοιχη δύναµης της. Αν σε ένα δικτύωµα θεωρήσουµε όπου, ρ: αριθµός ράβδων, α: αριθµός αντιδράσεων η0: αριθµός κόµβων τότε, Αν ρ+α = 2η0 τότε είναι ισοστατικό Αν ρ+α >2η0 τότε είναι υπερστατικό Αν ρ+α<2η0 τότε είναι υποστατικό ή µηχανισµός

Μέθοδοι υπολογισµού δικτυωµάτων

1) Μέθοδος κόµβων: Αποµονώνουµε έναν κόµβο και σχεδιάζω τις δυνάµεις πάνω του

=Σ

=Σ

0Fy

0Fx

2) Μέθοδος Ritter: Χωρίζουµε το δικτύωµα σε δύο στερεά κόβοντας τουλάχιστον τρεις ράβδους.

Για κάθε στερεό αφού αντικατασταθούν οι ράβδοι που κόβονται µε δυνάµεις ισχύουν οι εξισώσεις ισορροπίας

...BH

...BV

...

00Fy0Fx

=

=

=ΑΗ

⇒=ΣΜ=Σ=Σ

...3F

...2F

...1F

00Fy0Fx

=

=

=

⇒=ΣΜ=Σ=Σ

Πολλές φορές χρησιµοποιούνται µόνο οι εξισώσεις ΣΜ= 0, π.χ. αν ζητώ την δύναµη της ράβδου 2 παίρνω ΣΜ = 0 ως προς το σηµείο τοµής των δυνάµεων 1 και 3.

Μέθοδος Cremona Είναι γραφική (σχεδιαστική) µέθοδος επίλυσης δικτυωµάτων. Χωρίζουµε το δικτύωµα σε περιοχές α,β,γ,…ν.

Οι δυνάµεις συµβολίζονται µε τα γράµµατα των εκατέρωθεν περιοχών τους π.χ. η P1 είναι α→ β η P2

είναι γβ↓ κοκ. Οµοίως και οι δυνάµεις των ράβδων

Για τον υπολογισµό των δυνάµεων των ράβδων σχεδιάζουµε τα δυναµοπολύγωνα του κάθε κόµβου. Τα µήκη των διανυσµάτων στα διαγράµµατα Gremona µας δίνουν µε κατάλληλη κλίµακα τις δυνάµεις των ράβδων.

ΕΥΚΑΜΠΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ – ΚΑΛΩ∆ΙΑ • Κύριο χαρακτηριστικό των καλωδίων είναι ότι δεν παραλαµβάνουν ροπή κάµψης δηλαδή Μ(x)=0 αλλά και Q(x)=0. Εποµένως σε τυχαία θέση εµφανίζεται µόνο αξονική δύναµη πάντα εφαπτοµένη σε αυτό.

• Τα καλώδια φορτίζονται πάντα µε κατακόρυφες φορτίσεις.

Για την εύρεση του Ν. Από Τοµή 1 έχουµε :

=→=Σ=→=Σ

...N0F

...N0Fyy

xx 2y

2x NNN +=⇒

Η εξίσωση ΣΜ=0 χρησιµοποιείται είτε για την εξαγωγή της συνάρτησης y=y(x) που δίνει το σχήµα του καλωδίου είτε για την εύρεση των αντιδράσεων.

ΤΡΙΒΗ

P>Ts = µsN έχουµε ολίσθηση P<Ts = µsN έχουµε κίνηση Η δύναµη της τριβής όταν έχουµε ολίσθηση είναι : Τ=µΝ µs : συντ/στής στατικής τριβής µ : συντ/στής τριβής ολίσθησης

Ο

d

Fy

x

2/l 2/l 3/l 3/2l

lqF = lqF 21=

Q

QMMN

N

1F1F

2FBV AV

AH

BV

1 2 3 AM

xx

Τοµή 2 Τοµή 3

(2)

(1) (3)

N NN QQ

QM

M

AV AV BVAH AHBH

xx

xΤοµή 1 Τοµή 2 Τοµή 3

1tM 2tM

(1) (2)

1tM

xMAtM

Ι ΙΙG

ΙΙ

xGyG

yG

xG

Ι

G

xA

yA

xB

yB

2F

1F3F

1F

3F2F

Από τις εξισώσεις ισορροπίας του κόµβου βρίσκουµε τις άγνωστες δυνάµεις των ράβδων

3F

2F1F

10N10N

A

20N50N

B

α

α

1

23

AH BVBVAV

τοµή α-α

1P2Pβ

α γ

δε

ζη

qA

By

(1)

xAH

AV BV

BH

Τοµή 1

AHAV

Ν

ΤΝ

P

B (βάρος)

MHXANIKH I-Typologio & Meuodologia

Documents

Transcript of MHXANIKH I-Typologio & Meuodologia