1RELACIJE I FUNKCIJE

2Relacije

9Binarna relacija je bilo koji podskupDekartovog proizvoda proizvoljnihskupova A i B

( ) i ,

A B x yx y

3Primer:

9Relaciji

odgovara tablica i grafik

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2 , 3,3 , 4, 4 =

1 2

3 4

4( )( )( )( )

( )( )( )( )

2Neka je . Za relaciju kaemo da je:

( )

( ) ,

( ) ,

( ) , ,

p A

R refleksivna x A x x

S simetri na x y A x y y x

AS asimetri na x y A x y y x x y

T tranzitivna x y z A x y y z x z

=

iiii

5Vrste relacija

9Relacija ekvivalencije (R, S, T)

9Relacija poretka (R, AS, T)

9Ako je ~ relacija ekvivalencije onda se klasaekvivalencije, elementa x, u oznaci Cxdefinie kao.

9Skup klasa ekvivalencije Cx se zovekoliniki skup.

{ }xC y x y=

6Funkcije

:f A B

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

,

, , ,

x A y B x y f

x A y z B x y f x z f y z

=

7Definicija i osobine9 Funkcija , naziva se binarnom operacijom.

9 Poznate binarne operacije su sabiranje, oduzimanje, mnoenje

9 Funkcija je injektivna ako

9 Funkcija je na ili surjektivna ako 9

2:f A A

1 1:f A B

( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2,x x A x x f x f x

( ) ( )( ),y B x A y f x =

8Primer

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

Ispitati da li je funkcija ( ) 2 -1 bijekcija.

Preslikavanje ''1-1'':

,

2 -1 2 -1Preslikavanje ''na'':

1 12 2

1 1,2 2

f x x

x x R x x f x f x

f x f x x xx x x x

x y

y R x R x y

=

= == =

= +

= +

9Proizvod funkcija

( ) ( )( ) ( )( )

: i :

je proizvod, kompozicija ili slaganje preslikavanja i a definie se kao:

f A B g B C

g f f g

x A g f x g f x

=

D

D

10

Primer

11

Inverzna funkcija

( ) ( )( )( )

1

1

1

: bijekcija, onda je inverzna funkcija skupa u skup sa osobinom gde je jedno preslikavanje

Moe se oznaiti i sa

f A B f B Af f I I

x A I x x

f f x x

=

=

=

iD

i

12

Primer

13

OSNOVE KOMBINATORIKE

14

Faktorijel

Proizvod prirodnih brojeva od 1 do oznaava se ! a ita se '' ''.

! 1 2 3 ... ( 2)( 1)Po definiciji je 0! 1

nn n faktorijel

n n n n= =

15

Primeri

4! 1 2 3 4 245! 5 4! 5 24 1206! 6 5! 6 120 720

( 1)! !7! 7 6 5! 425! 5!

n n n

= == = == = = =

= =

16

PERMUTACIJE

9Permutacije bez ponavljanja9Permutacije sa ponavljanjem

17

Permutacije bez ponavljanja

{ }1 2, , ,Ako je broj permutacija skupa od elemenata, onda je:

! gde vai: 0! 1, 1! 1, ! ( 1)......3 2 1

nA a a a

Pn n

Pn nn n n

=

== = =

"

18

Primer

{ }1 2, 3Dat je skup ,Koliko ima permutacija elemenata ovoga skupa, a da se elementi ne ponavljaju?

Ima ih (3) 3! 3 2 1 6To su:

A a a a

P

=

= = =

19

Permutacije sa ponavljanjem

{ }

( )1 2

1 2

1 2

1 31, ,

31 2 1 2

, , ,broj jedinica permutacija , , ,

!! ! !m

n

m

mk k k

m m

A a a ak k k

n k k kn n k nP nk kk k k k k

=

= =

"

"

20

Primer

21

VARIJACIJE

9Varijacije bez ponavljanja elemenata

9Varijacije sa ponavljanjem

22

Varijacije bez ponavljanja

{ }1 2

0

, , ,Varijacija bez ponavljanja -te klase skupa je

svaka uredena -torka razliitih elemenata skupa . ( -1)( - 2) ( - 2)( - 1), ( 1)

Dati izraz moemo krae zapisivati kao:!

(

n

kn n

nk

A a a ak A

k AV n n n n k n k V

nvn

=

= + + =

=

"

)!pri emu je ! jednako: ! ( 1)( 2) 3 2 1

kn n n n n

=

23

Primer

103

Od 10 akcionara jedne kompanije bira se predsednik, izvrni direktor i sekretar. Na koliko naina ovo moe da se izvri?

10 9 8 720V = =

24

Varijacije sa ponavljanjem

{ }1 2, , ,Ako sa oznaimo broj svih varijacija sa ponavljanjem

klase ( 0), tada je

n

kn

kkn

A a a a

Vk k V n

=

=

"

25

Primer

26

KOMBINACIJE

9Kombinacije bez ponavljanja9Kombinacije sa ponavljanjem

27

Kombinacije bez ponavljanja

{ }( ) ( )

1 2, , ,Ako je broj razliitih takvih kombinacija, onda je:

1 1 !! ! ! ( )!

n

kn

nn kk

A a a aC

n n n n kV nCkk k k n k

=

+ = = = =

"

"

28

Primer

29

Kombinacije sa ponavljanjem

{ }1 2, , ,Broj kombinacija sa ponavljanjem od elemenata klase je

1 ( 1)!!( )!

n

nk

A a a an k

n k n kCk k n k

=

+ + = =

"

30

Primer

31

OsobineOsobine99 PERMUTACIJEPERMUTACIJE: koristimo i rasporeujemo sve

elemente zadatog skupa99 VARIJACIJE i KOMBINACIJEVARIJACIJE i KOMBINACIJE: koristimo i

rasporeujemo podskupove zadatog skupa elemenata

9Razlika izmeu VARIJACIJAVARIJACIJA i KOMBINACIJAKOMBINACIJA: kod varijacija je bitno mesto elementa u rasporedu, a kod kombinacija nije.

32

BINOMNA FORMULA

( ) 1 2 2 1

0

Binomna formula glasi:

0 1 2 1

,

n n n n n n

nn k k

k

n n n n na b a a b a b ab b

n n

na b n k N

k

=

+ = + + + + + =

"

33

BINOMNA FORMULA

1

Opti lan binomnog razvoja je oblika:

1 0 1

Binomni koeficijenti poseduju osobinu simetrinosti:

n k kk

nT a b

k

n nn

n nk n k

+

=

= =

=

34

Paskalov trougao

( )( )

( )( )

( )

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

+ =+ = +

+ = + ++ = + + +

+ = + + + +

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 1

++ +

+ + +

+ + + +20

35

PrimerRazviti izraz po binomnoj formuli:

RELACIJE I FUNKCIJERelacijePrimer:Vrste relacijaFunkcijeDefinicija i osobinePrimerProizvod funkcijaPrimerInverzna funkcijaPrimerOSNOVE KOMBINATORIKEFaktorijelPrimeriPERMUTACIJEPermutacije bez ponavljanjaPrimerPermutacije sa ponavljanjemPrimerVARIJACIJEVarijacije bez ponavljanjaPrimerVarijacije sa ponavljanjemPrimerKOMBINACIJEKombinacije bez ponavljanjaPrimerKombinacije sa ponavljanjemPrimerOsobine BINOMNA FORMULABINOMNA FORMULAPaskalov trougaoPrimer