Metoda symboliczna (liczb zespolonych)
Transcript of Metoda symboliczna (liczb zespolonych)
Metoda symboliczna...
2013 K.M.Gawrylczyk
1/7
Metoda symboliczna (liczb zespolonych)
Postacie liczb zespolonych
( )j 2 2
* * j
j , , , acrtg
cos , sin , j ,
bz a b z z e z a b
a
a z b z z a b z z e
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ −
= + = = + = ±π
= = = − =
Wzór Eulera
j cos j sine ϕ ϕ ϕ= + ⋅
Niektóre działania na liczbach zespolonych
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
j1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
*11 1 2j 1 2 1 2 1 2 2 1
2*2 2 22 2
j
e j
je
z z a a b b
z z z z a a b b a b a b
zz z z a a b b a b a b
z z zz z
ϕ ϕ
ϕ ϕ
+
−
+ = + + +
⋅ = ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅= = =
Metoda symboliczna...
2013 K.M.Gawrylczyk
2/7
Pierwiastkowanie liczby zespolonej
o360j
1 ek
nn nz z zϕ+ ⋅
= = ⋅
Pierwiastek kwadratowy:
oj 180
21,2 e , 0,1
kz z z k
ϕ + ⋅= = ⋅ =
Pierwiastek sześcienny z „1”
oj 120
33 31,2,3 e , 0,1,2
kz z z k
ϕ + ⋅= = ⋅ =
Metoda symboliczna...
2013 K.M.Gawrylczyk
3/7
Zastosowanie metody symbolicznej w teorii obwodów
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
j
j
sin e cos j sin (wzór Eulera)
Przekształcenie odwrotne: sin Imag e
t
t
t t t
t
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
ω ϕ
+
+
+ ⇒ = + + ⋅ +
+ =
Przekształcenie równań do postaci symbolicznej
na przykładzie obwodu RLC
Chcemy wyznaczyć napięcie u(t) zasilające obwód RLC, czyli jego Um oraz φ . Dany jest prąd i(t) oraz wartości elementów R,L,C:
( )
m
R L C
m m m m
( ) sin
( ) ( ) ( ) ( )
1sin sin sin sin
2 2
i t I t
u t u t u t u t
R I t L I t I t U tC
ω
ω ω ω ω ω ϕω
=+ + =
π π + + + − = +
Zamieniamy funkcje sinus na funkcje eksponencjalne:
( )j jjj 2 2
m m m m
j jj j j j j2 2m m m m
j j j2 2
j
1e e e e
1e e e e e e e
e j, e j, upraszczamy e oraz dzielimy przez 2 :
1j j e
1j
t ttt
t t t t
t
R I L I I UC
R I L I I UC
R I L I I UC
I R LC
Z
ω ω ω ϕω
ω ω ω ω ϕ
ω
ϕ
ωω
ωω
ωω
ωω
π π + − +
π π−
π π−
+ + =
+ + =
= = −
+ − =
+ −
���������
je ,U U I Z Uϕ= = ⋅ =
Metoda symboliczna...
2013 K.M.Gawrylczyk
4/7
Prawa Kirchhoffa w postaci symbolicznej Pierwsze prawo Kirchhoffa dla prądów zmiennych:
( )
( ) ( )
( ) ( )
j j
j
0, sin e , 2 Imag e
2 Imag e 0,
2 Re sin Im cos 0,
Re 0, Im 0, 0 j0.
n
n
tn n m n n n n n
N
tn
N
n n
N
n n n
N N N
i i I t I I i I
I
I t I t
I I I
ϕ ω
ω
ω ϕ
ω ω
= = + ⇒ = = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅ + ⋅ =
= = = +
∑
∑
∑
∑ ∑ ∑
Podobne wyprowadzenie moŜna przeprowadzić dla drugiego prawa Kirchhoffa otrzymując:
0.m
M
U =∑
Tak więc prawa Kirchhoffa obowiązują dla zapisu symbolicznego.
Połączenie równoległe elementów
C L
1 1j j
j j
1 1 1 1j j , , .
R L C
U UI I I I C U C U Y U
R L R L
Y C G B G B C B BR L R L
ω ωω ω
ω ωω ω
= + + = + + ⋅ = + + = ⋅
= − − = + = = − = −
Metoda symboliczna...
2013 K.M.Gawrylczyk
5/7
WyraŜenie admitancji zespolonej przy pomocy impedancji zespolonej
1
YZ
=
Na przykład, dla gałęzi szeregowej mamy impedancję
jZ R X= + ⋅
Wtedy admitancja obwodu wynosi:
2 2 2 2
1 1 jj j
j j j
R X R XY G B
R X R X R X R X R X
− ⋅= = ⋅ = − ⋅ = + ⋅+ ⋅ + ⋅ − ⋅ + +
Czyli, konduktancja gałęzi szeregowej wynosi:
2 2 2 2, a jej susceptancja:
R XG B
R X R X
−= =+ +
przy czym zachodzi: C LB B B= − .
Moce przy zapisie symbolicznym Rozpatrzmy gałąź szeregową RL. PoniewaŜ ma ona charakter indukcyjny, kąt φ jest dodatni i leŜy w pierwszej ćwiartce (patrz wykresy na następnej stronie). Moce moŜna wyrazić jako:
2
2
2
cos , gdzie jest wartością skuteczną prądu,
sin , a jest wartością skuteczną napięcia.
P U I R I I I
Q U I X I U U
S U I Z I
ϕ
ϕ
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅
Wprowadzamy moc pozorną zespoloną (definicja):
jS P Q= +
Dla gałęzi szeregowej RL jest wtedy: 2 2 2 * *jS R I X I Z I Z I I U I= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
Wzór ten moŜna uogólnić na inne obwody.
Metoda symboliczna...
2013 K.M.Gawrylczyk
6/7
Wykresy trójkątowe (wskazowe) dla gałęzi RL przy zapisie symbolicznym.
Metoda symboliczna...
2013 K.M.Gawrylczyk
7/7
Kondensator rzeczywisty
Układ zastępczy kondensatora rzeczywistego i jego wykres wektorowy
Kondensator rzeczywisty charakteryzuje pewien prąd Icz (czynny) płynący w dielektryku (izolatorze). Ma on oczywiście charakter rezystancyjny i jest w fazie z napięciem. Kąt δ pokazany na rysunku nazywany jest kątem stratności i odgrywa waŜną rolę w układach izolacyjnych, świadcząc o ich jakości. JeŜeli przyjmiemy płaski model budowy kondensatora, moŜna podać wzór przybliŜony:
= , , stąd:
konduktywność el. izolatora,1tg
przenikalność dielektr. izolatora.
l SR C
S l
R C
εγ
γδω ωε
⋅=⋅
←= =
←
Ze wzoru tego wynika fakt, Ŝe tg δ rośnie dla małych częstotliwości, czyli jego pomiar będzie najdokładniejszy przy zastosowaniu bardzo niskiej częstotliwości.
Cewka rzeczywista
Układ zastępczy cewki rzeczywistej i jego wykres wektorowy
Dobroć cewki: LL
QR
ω=