Metoda Maxwella – Mohra Układy statycznie niewyznaczalne...

Metoda Maxwella – MohraUkłady statycznie niewyznaczalneMetoda siłZasada minimum energii

Metody energetyczne

212 2

N dxdV NduEA

= =

212 2

Ss

S

M dxdV M dGI

ϕ= =

212 2

gg

M dxdV M d

EIϑ= =

212 2T

T dxdV TdvGA

β= =

Energia sprężysta

układu prętowego

( )( )

212Sila wewnętrznadV

dx Sztywnosc=

212

dV Ndx EA

=Rozciąganie:

212

gMdVdx EI

=Zginanie:

212

s

s

MdVdx GI

=Skręcanie:

212

dV Tdx GA

β=Ścinanie:

( )( )

2

0 2

l Sila wewnętrzna dxV

Sztywnosc= ∫

2

0 2

l N dxVEA

= ∫Rozciąganie:

2

0 2

lgM dx

VEI

= ∫Zginanie:

2

0 2

ls

s

M dxVGI

= ∫Skręcanie:

2

0 2

l T dxVGA

β= ∫Ścinanie:

2

2N lVEA

=Rozciąganie:

Jeśli N oraz EA nie zależą od x

2

2s

s

M lVGI

=Skręcanie:

Jeśli Ms oraz GIs nie zależą od x

2

2gM l

VEI

=Zginanie:

Jeśli Mg oraz EI nie zależą od x

2

2T lVGA

β=Ścinanie:

Jeśli T oraz GA nie zależą od x

( )( )

2

2Sila wewnętrzna dlugosc

VSztywnosc

=

Jeśli siła wewnętrzna oraz sztywność nie zależą od x

W przypadku ogólnym energia sprężysta odkształcenia odcinka pręta o długości dx będzie równa sumie prac składowych sił wewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tzna odpowiadających im przemieszczeniach du, dϕ, dθy, dθ z, dυT, dwT.

Jeśli odcinek pręta o długości dx uznać za odrębny układ, to N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz należy traktować jako siły zewnętrzne

( )12 s gy y gz z y T z TdV Ndu M d M d M d T d T dwϕ ϑ ϑ υ= + + + + +

Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są następującymi funkcjami składowych sił wewnętrznych

NdxduEA

= s

s

M dxdGI

ϕ = gyy

y

M dxd

EIϑ =

gzz

z

M dxd

EIϑ = y y

T

T dxd

GAβ

υ = z zT

T dxdwGA

β=

Otrzymamy zależność2 2 22 2 21

2gy gz y ys z z

s y z

M M TN M TdV dxEA GI EI EI GA GA

β β⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

Energia sprężysta w pręcie prostym w przypadku ogólnym

2 2 22 2 2

0

12

lgy gz y ys z z

s y z

M M TN M TV dxEA GI EI EI GA GA

β β⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

Metody energetyczne wyznaczania przemieszczeń

• Castigliana

• Maxwella-Mohra

Metoda Maxwella-Mohra

W celu określenia dowolnego uogólnionego przemieszczenia u w prętowym układzie liniowosprężystym metodą Maxwell-Mohrawykonamy następujące operacje:

• Wyznaczymy siły N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz w prętach układu, wywołane obciążeniem rzeczywistym

• Obciążamy układ siłą jednostkową odpowiadającą poszukiwanemu przemieszczeniu u i wyznaczamy N’, Ms’, M’gy, M’gz, T’y, T’z , które wywołuje ona w prętach

1

W miejsce jednostkowej siły wprowadźmy siłę uogólnioną o wartości P (P=0), która wywoła dodatkowo siły wewnętrzne:

' 2' 2 ' 2

' 2 ' 2 ' 20

( )( ) ( )12 ( ) ( ) ( )

gy gys sl

s y

gz gz y y y z z y

z

M PMN PN M PMEA GI EI

V dxM PM T PT T PT

EI GA GAβ β

⎛ ⎞++ ++ + +⎜ ⎟

⎜ ⎟= ⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟+ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

' ' ' ' '', , , , ,s gy gz y zPN PM PM PM PT PT

0P

VuP =

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

1

1

Metoda Maxwella-Mohra

' ' '' ' '

0

lgy gy gz gz y y ys s z z z

s y z

M M M M T TNN M M T Tu dxEA GI EI EI GA GA

β β⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

W celu określenia przemieszczenia u metodą Maxwella-Mohra dla dowolnego liniowosprężystego układu prętowego należy dokonać sumowania całek, obliczonych dla poszczególnych przedziałów (prętów).

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe

Układ prętowy jest statycznie niewyznaczalny, jeśli nie można określić reakcji w podporach czy sił wewnętrznych w przekrojach prętów, posługując się wyłącznie równaniami równowagi.

Liczba sił statycznie niewyznaczalnych, czyli hiperstatycznych, równa różnicy między liczbą wszystkich sił niewiadomych, a liczbą równań równowagi, określa stopień statycznej niewyznaczalności układu prętowego.

Statycznie niewyznaczalne układy prętowe

Rozwiązanie każdego zadania statycznie niewyznaczalnego oprócz wykorzystania warunków równowagi wymaga uwzględnienia geometrycznych i fizycznych aspektów odkształcalności ciała.

Formułuje się w tym celu trzy grupy zależności:

A. Równania równowagi,

B. Warunki geometryczne

C. Związki fizyczne

Wyróżnić można dwie podstawowe metody rozwiązywania zadań statycznie niewyznaczalnych:

- metodę sił - metodę przemieszczeń

Równania równowagi

2

01 02

A B

A A

ql R R

M R l ql

− − =

− + − =

Równania: 2

Niewiadome: 3

Zadanie jednokrotnie (3-2) statycznie niewyznaczalne

Warunki geometryczne

0Bυ =

Reakcja RB (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest spowodowana

podparciem belki w punkcie B, co odpowiada następującemu warunkowi geometrycznemu

Związki fizyczne

Związek fizyczny powinien uzależniać υB od sił działających na belkę oraz jej własności

sprężystych.

Okazuje się, że warunek geometryczny υB=0 jest po prostu dodatkowym warunkiem

brzegowym.

Metoda sił

1. Określić rodzaj i liczbę wielkości podporowych i sformułować równania równowagi

Algorytm postępowania

Metoda sił

- Punkt C – podpora przegubowa stała – dwie reakcje (pozioma i pionowa)

- Punkt A – utwierdzenie – trzy reakcje (pozioma, pionowa i moment)

równania równowagi

2

00

1 02

A C

A C

C C A

H H qlV V

V l H l ql M

+ + =+ =

− − + =

Metoda sił

2. Obliczyć stopień statycznej niewyznaczalności i utworzyć podstawowy układ prętowy


Metoda sił

- Liczba niewiadomych 5 (reakcje)

- Liczba równań 35 – 3 = 2 - rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Wielkości hiperstatyczne:

X1=Hc X2=Vc

Metoda sił

3. Określić warunki geometryczne oraz związki fizyczne i sformułować na ich podstawie równania kanoniczne metody sił


Metoda sił

u1 = 0, u2 = 0

Związki fizyczne

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

P

P

u f X f Xu f X f X

= + + Δ= + + Δ

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

00

P

P

f X f Xf X f X

+ + Δ =+ + Δ =

1 2,P PΔ Δ - część przemieszczeńu1 i u2 spowodowana działaniem obciążenia q.

Metoda sił

4. Obliczyć współczynniki równań kanonicznych metody sił


Metoda sił

Algorytm postępowania12 12 11 22 21 21

0 0

1 12

l l

g g g gf M M dx M M dx fEI EI

= + =∫ ∫ 2 211 11 21

0 0

1 12

l l

g gf M dx M dxEI EI

= +∫ ∫

1 1 11 2 210 0

1 12

l l

P g P g g P gM M dx M M dxEI EI

Δ = +∫ ∫

2 222 12 22

0 0

1 12

l l

g gf M dx M dxEI EI

= +∫ ∫

2 1 12 2 220 0

1 12

l l

P g P g g P gM M dx M M dxEI EI

Δ = +∫ ∫

Mg11, Mg21 Mg12, Mg22 Mg1P, Mg2P

1

2

11

XX

==

Metoda sił

5. Wyznaczyć z równań kanonicznych metody sił wielkości hiperstatyczne


1 2X X

Metoda sił

6. Wykorzystując równania równowagi, znaleźć pozostałe niewiadome


Metoda sił

7. Sformułować równania i narysować wykresy sił wewnętrznych


Metoda sił

8. Wyznaczyć poszukiwane przemieszczenia


Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliana

Energia sprężysta układu statycznie niewyznaczalnego V jest wyrażona przez znane siły zewnętrzne (obciążenia) i niewiadome wielkości hiperstatyczne X1, ..., Xn oraz niehiperstatyczne.

Jeżeli wykorzystując równania równowagi, uzależni się niewiadomeniehiperstayczne od wielkości hiperstatycznych oraz obciążeń, energia V stanie się funkcją X1, ..., Xn, jako zmiennych niezależnych.

Warunki geometryczne, jakie muszą spełniać przemieszczenia u1, ..., un, odpowiadające wielkościom hiperstatycznym X1, ...,Xn, można zapisać nastepująco

u1 = 0, ..., un = 0


Stosując metodę Castigliana, można określić przemieszczenia z wykorzystaniem do tego celu energii sprężystej V(X1, ..., Xn)

11

, ... , nn

V Vu uX X

∂ ∂= =

∂ ∂związki fizyczne

Po podstawieniu do związków geometrycznych:

1

0, ... , 0n

V VX X

∂ ∂= =

∂ ∂


Spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X1, ..., Xn zbiorem rzeczywistych

wielkości hiperstatycznych jest ten, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość minimalną.

Metoda Maxwella – Mohra Układy statycznie niewyznaczalne...

Documents

Transcript of Metoda Maxwella – Mohra Układy statycznie niewyznaczalne...