M. Hribar, S. Kocjančič, A. Likar, S. Oblak, B. Pajk, V. Peruna, N. Razpet, B. Roblek, F Tomažič, M. Tramuš:

Fizika za 3. in 4. letnik srednjih šol

Založba Modrijan, Ljubljana 2005

Električni tok in naboj

Stran 50, naloga 26

V narisanem vezju ima prva baterija gonilno napetost 2 V in notranji upor 1 Ω, druga baterija pa gonilno napetost 4 V in notranji upor 2 Ω. Kolišen je tok po uporniku za 5 Ω?

5

2

4

1

2

2

2

1

1

R

R

VU

R

VU

n

n

?RI

Razlaga:

Nalogo rešimo na 4 načine.

1. Rešitev sistema enačb napetosti v sklenjenih zankah in tokov v vozlišču

Napišemo tri enačbe - dve napetostni enačbi za dve sklenjeni zanki in tokovno enačbo za vozlišče ter izračunamo napetosti in tokove. Na shemi označimo smer opazovanja napetosti s puščico in označimo vse napetosti v smeri puščice kot pozitivne in v obratni smeri za negativne. Upoštevamo,

da je vsota napetosti znotraj sklenjene zanke enaka nič ( 0U ). Prav tako označimo na shemi

tudi smeri tokov v vozlišču. Dogovorimo se, da so pritekajoči tokovi pozitivni in odtekajoči tokovi

negativni. Vsota tokov v vozlišču ja enaka nič ( 0 I ).

2. Metoda superpozicije

Ločeno izračunamo tok skozi upor R, ki ga povzroča napetostni izvir 1U (pri tem si mislimo, da je

namesto 2U kratek stik) in tok, ki ga povzroča napetostni izvir 2U (pri tem si mislimo, da je

namesto 1U kratek stik). Oba toka nato seštejemo.

3. Po Theveninu. Za podano nalogo je to najhitrejša metoda. 4. Metoda zančnih tokov. Nastavimo zančne tokove in izračunamo vejni tok IR.

SATCITANANDA

Rešitev:

Prvi način:

Nastavimo tri enačbe: vsota tokov v vozlišču je enaka nič in vsota napetosti v dveh izbranih sklenjenih zankah je enaka nič.

0

0

0

22

11

21

nR

nR

R

UUU

UUU

III

Iz prve enačbe izrazimo 2I :

12 III R

Napetosti na uporih v drugi in tretji enačbi izrazimo s tokovi in upornostmi po Ohmovem zakonu:

111 nn RIU

222 nn RIU

RIU RR

Vstavimo v sistem enačb in ga preoblikujemo:

)( 221212

111

nRnRnR

Rn

RRIRIRIRIIU

RIRIU

Vstavimo podatke:

R

R

IIV

IIV

.)25(2.4

2./.51.2

1

1

R

R

IIV

IIV

.72.4

.101.24

1

1

Slika 1

Seštejemo enačbi:

in dobimo :

SATCITANANDA

Drugi način: superpozicija tokov na uporu R .

Najprej računamo, kot da je v vezju samo baterija z napetostjo 1U , medtem ko 2U po sliki 1

nadomestimo s kratkim stikom. Izračunamo tok skozi upor R in ga označimo z 1RI . Postopek

ponovimo za drugo baterijo. Dobimo 2RI . Tok skozi upor R dobimo kot vsoto tokov 1RI in 2RI .

R

UI RR 1

2

21

12 //

////. n

nn

nR RRRRR

URRIU

Pri tem je : 2// nRR paralelna vezava upornosti

R in 2nR :

43,1

25

2.5.//

2

22

n

nn

RR

RRRR

VV

U R 18,143,143,11

2

AV

I R 236,05

18,11

R

UI RR 2

1

12

11 //

////. n

nn

nR RRRRR

URRIU

Pri tem je:

833,0

15

1.5.//

1

11

n

nn

RR

RRRR

VV

U R 18,1833,0833,02

4

AV

I R 236,05

18,11

AAAIII RRR 47,0236,0236,021

SATCITANANDA

Tretji način: s pomočjo Theveninovega teorema.

Poiščemo Theveninovo nadomestno vezje: napetost odprtih sponk A-B na mestu upora R (ki ga odstranimo iz vezja) in notranjo upornost Rn na sponkah A-B, kjer napetostna generatorja nodomestimo s kratkim stikom.

Najprej izračunamo napetost na odprtih sponkah A-B:

Izračunamo še upornost na sponkah A-B; napetostna izvora sta kratko sklenjena.

Sedaj lahko preprosto dobimo tok skozi upor R:

SATCITANANDA

Četrti način: metoda zančnih tokov:

Imamo dva zančna toka IA in IB in tri vejne tokove: I1 ,I2 in IR.

IA=I1 , IB=I2 , IR = IA + IB

Nastavimo enačbi za dve zanki:

+IA (Rn1 + R) + IBR - U1 = 0

+ IB (Rn2 + R) + IAR -U2 = 0

Nastavimo enačbi za IA in IB

6 IA + 5 IB = 2

5 IA + 7 IB = 4

in izračunamo:

IB = 0,823 A

IA = -0,353 A

Dobimo rezultat:

IR = IA + IB = 0,47A

SATCITANANDA