Mecânica AnalíticaMEFT

2o Teste – 16/06/2016

[Justifique cuidadosamente os seus raciocínios. Apresente, sempre que necessário, os cálculosintermédios. Duração máxima do teste: 90 minutos]

I

Considere um sistema físico uni-dimensional (um oscilador não-harmónico) cujo Lagrangianoé dado por:

L(x, x) =1

2x2 − 1

2ω2x2 − αx3 + βxx

onde α e β são constantes.

(i) Escreva o Hamiltoniano do sistema. [2 val]

(ii) Indique, justificando, se o Hamiltoniano é ou não conservado e se coincide ou não com aenergia total do sistema. [2 val]

II

Considere o Hamiltoniano para um oscilador harmónico uni-dimensional:

H =p2

2m+mω2q2

2

e a seguinte transformação:

Q(t) = q(t+ τ) , P (t) = p(t+ τ)

(i) Obtenha, integrando as equações canónicas de Hamilton, as equações do movimento paraq(t) e p(t) para condições iniciais arbitrárias. [2 val]

(ii) Escreva Q(t) e P (t) como funções de q(t) e p(t). [1 val]

(iii) Escreva P (t) e p(t) como funções de q(t), Q(t), m, ω e τ (sem dependência explícita como tempo). [2 val]

(iv) Obtenha uma função geradora do tipo F1. [3 val]

1

III

Considere a seguinte transformação:

q1 = Q1 cosλ+ P2 sinλ , q2 = Q2 cosλ+ P1 sinλ

p1 = −Q2 sinλ+ P1 cosλ , p2 = −Q1 sinλ+ P2 cosλ

(i) Determine os valores λ para os quais a transformação é canónica. [2 val]

(ii) Escreva o seguinte Hamiltoniano nas novas coordenadas (Qi, Pi):

H(qi, pi) =1

2(q21 + q22 + p21 + p22)

Assumindo queQ2 = P2 = 0, resolva a dinâmica do sistema (ou seja, obtenha q1(t), q2(t), p1(t), p2(t)).[3 val]

IV

A densidade, no espaço de fases, de estrelas numa galáxia é dada por f(q,p, t) que é invarianteno tempo se calculada na localização (q(t),p(t)) de qualquer estrela. Considere o movimentode estrelas numa galáxia circular e de espessura desprezável onde a energia potencial de qual-quer estrela é dada por V (R) onde R é a coordenada radial da estrela medida relativamenteao centro da galáxia. Escreva, em termos das coordenadas polares (R,φ) e dos seus momentosconjugados (pR, pφ), o Hamiltoniano do sistema e mostre que a densidade f obedece à seguinterelação:

∂f

∂t+pRm

∂f

∂R+

pφmR2

∂f

∂φ+

(p2φmR3

− ∂V

∂R

)∂f

∂pR= 0 .

[3 val]

funções geradoras

F1(q,Q) −→ F = F1 , p =∂F1

∂q, P = −∂F1

∂Q;

F2(q, P ) −→ F = F2 −QP , p =∂F2

∂q, Q =

∂F2

∂P;

F3(p,Q) −→ F = F3 + qp , q = −∂F3

∂p, P = −∂F3

∂Q;

F4(p, P ) −→ F = F4 + qp−QP , q = −∂F4

∂p, Q =

∂F4

∂P.

2

Mecânica AnalíticaMEFT

1o Teste – 16/06/2016(repetição)

[Justifique cuidadosamente os seus raciocínios. Apresente, sempre que necessário, os cálculosintermédios. Duração máxima do teste: 90 minutos]

I

Uma massa m tem o seu movimento restrito a um aro circular de raio a. O aro roda, nosentido anti-horário, com frequência angular ω em torno de um eixo coincidente com o seudiâmetro e que se encontra alinhado segundo a direcção z (ver figura).

Mecanica Analıtica

MEFT

1o Teste – 18/04/2008

[Duracao maxima do teste: 60 minutos]

I

Um sistema uni-dimensional de uma partıcula de massa m e descrito pelo Lagrangiano

L =1

12m2x4 + mx2V � V 2 ,

onde V = V (x) e um potencial.

(i) Obtenha a equacao do movimento da partıcula. [3 val]

(ii) Caracterize fisicamente o sistema descrito por L [2 val]

(iii) Escreva um Lagrangiano L0 (mais simples do que L) que descreva o mesmo sitema fısico.[3 val]

II

Uma massa m tem o seu movimento restrito a um aro circular de raio a. O aro roda, nosentido anti-horario, com frequencia angular ! em torno de um eixo coincidente com o seudiametro e que se encontra alinhado segundo a direccao z (ver figura).

(i) Quantos graus de liberdade tem o sistema? [1 val]

1(i) Quantos graus de liberdade tem o sistema? Explicite e classifique as ligações presentes nosistema. [2 val]

(ii) Escreva, escolhendo adequadamente as coordenadas generalizadas, o Lagrangiano do sis-tema identificando o potencial efectivo a que a partícula está sujeita. [3 val]

(iii) Escreva as equações do movimento. [1 val]

(iv) Considere as soluções estacionárias das equações do movimento (i.e., soluções onde amassa não se move. Determine a frequência de rotação crítica a partir da qual existe umasolução estacionária não trivial. [3 val]

3

II

Considere o seguinte Lagrangiano a uma dimensão, onde g é uma constante:

L =1

2x2 + gx

(i) Qual o sistema físico descrito por este Lagrangiano? [2 val]

(ii) Considere trajectórias da forma x(t) = x0 + ut+ 1/2gt2 + η(t) onde x0 e u são condiçõesiniciais. Calcule a acção para um caminho x(t) com t1 < t < t2 e onde η(t1) = η(t2) = 0.Determine η(t) tal que a acção seja mínima. Comente o resultado. [3 val]

III

De uma série de medidas efectuadas num sistema oscilatório uni-dimensional foi possível con-cluir que a razão entre os períodos de oscilação de duas trajectórias são inversamente propor-cionais à razão entre as amplitudes de oscilação das duas trajectórias. Escreva o Lagrangianodo sistema.[3 val]

IV

Mostre que, para uma escolha arbitrária de coordenadas generalizadas qi(x, y, z), o Lagrangi-ano para uma partícula livre toma a forma

L = qiaij qj

e explicite os aij . [3 val]

4