1.ΕΙΣΑΓΩΓΗΜηχανική είναι το τμήμα εκείνο των Θετικών Επιστημών το οποίο

εξετάζει την ισορροπία καθώς και την κίνηση των σωμάτων.

Η Μηχανική των στερεών χωρίζεται:

α) Στη Μηχανική του απαραμόρφωτου σώματος, που είναι γνωστή και σαν Στατική.

β) Στη Μηχανική του παραμορφώσιμου σώματος που είναι γνωστή και σαν Αντοχή των Υλικών.

Η Στατική, εξετάζει βασικά τις συνθήκες ισορροπίας των σωμάτων. Για τη μελέτη αυτή θεωρεί τα σώματα απαραμόρφωτα, δηλαδή ότι με την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων επάνω τους, αυτά εξακολουθούν να διατηρούν το αρχικό τους σχήμα και τις διαστάσεις τους, δηλαδή δεν παραμορφώνονται.

Αντίθετα, η Αντοχή των Υλικών δέχεται ότι τα σώματα παραμορφώνονται με την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων (ή και ροπών), γεγονός που συμβαίνει στην πραγματικότητα.

Στο Κεφάλαιο 2 θα αναφερθούμε στις βασικότερες έννοιες της Στατικής, πολλές από τις οποίες είναι γνωστές και από άλλα μαθήματα. Θα ασχοληθούμε με τη σύνθεση και την ανάλυση των δυνάμεων στο επίπεδο, με τις συνθήκες ισορροπίας των σωμάτων και θα εξετάσουμε πώς εφαρμόζονται αυτές στην πράξη. Επίσης θα αναφερθούμε στην τριβή ολίσθησης καθώς και στην τριβή κύλισης.

Στο Κεφάλαιο 3 θα αναπτύξουμε τα περί Αντοχής των Υλικών. Θα αναφερθούμε σε ορισμένα θεωρήματα της Θεωρίας Ελαστικότητας και θα εξετάσουμε τρόπους για τον υπολογισμό της εντατικής κατάστασης των φορέων.

Τέλος, το Κεφάλαιο 4 περιλαμβάνει υπενθυμίσεις από τα Μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιεί η Μηχανική για τη θεωρητική θεμελίωση της. Θα αναπτυχθούν στοιχεία διανυσματικού λογισμού, θεωρίας πινάκων και ολοκληρωτικού λογισμού.

Προκειμένου να μελετήσουμε τα πιο πάνω, θα υπενθυμίσουμε πρώτα - πρώτα μερικές βασικές έννοιες, όπως της δύναμης, της ροπής κ.λ.π.

1

2.ΣΤΑΤΙΚΗ2.1. Δυνάμεις

2.1.1. Δύναμη

Η έννοια της δύναμης είναι θεμελιώδης και δεν υπάρχει ως εκ τούτου ορισμός για την περιγραφή της. Η δύναμη μπορεί να γίνει αισθητή μόνο από τα αποτελέσματά της, που είναι εφαρμογή έλξης ή άπωσης στα φυσικά σώματα. Αν έλξουμε ή ωθήσουμε ένα σώμα τότε δύο αποτελέσματα είναι δυνατό να συμβούν:

1. Το σώμα θα αρχίσει να κινείται προς τη διεύθυνση που ασκούμε τη δύναμη. Χειροπιαστό παράδειγμα είναι η ρυμούλκηση ενός οχήματος το οποίο είναι δεμένο σε προπορευόμενο όχημα. Το πίσω όχημα θα ακολουθήσει την πορεία του ρυμουλκού, δηλαδή της ελκτικής δύναμης που του ασκείται.

2. Το σώμα δεν θα μετατοπισθεί, αλλά θα παραμορφωθεί στην περιοχή που ασκείται η δύναμη. Αν σπρώξουμε ελαφρά ένα μαξιλάρι, εκείνο δεν θα μετατοπισθεί, αλλά θα δημιουργηθεί ένα βαθούλωμα στο σημείο που ασκούμε τη δύναμη. Το βαθούλωμα αυτό είναι μια τοπική παραμόρφωση. Με αύξηση της δύναμης θα έχουμε αύξηση της παραμόρφωσης. Περισσότερη αύξηση της δύναμης θα προκαλέσει έναρξη κίνησης του μαξιλαριού.

Η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος, συνεπώς για την μέτρησή της χρειάζεται να γνωρίζουμε το μέτρο και τη διεύθυνσή της. Είναι, όμως, γνωστό ότι το αποτέλεσμα μιας δύναμης είναι διαφορετικό, αν δράσει σε διαφορετικό σημείο. Στο πιο πάνω παράδειγμα του μαξιλαριού η παραμόρφωση θα είναι διαφορετική αν η δύναμη ασκηθεί σε διαφορετικό σημείο. Γι’ αυτό, στη Μηχανική, η δύναμη χαρακτηρίζεται σαν εφαρμοσμένο διάνυσμα, και για τον προσδιορισμό της απαιτείται επί πλέον το σημείο εφαρμογής της.

Όταν δύο υλικά σώματα βρίσκονται σε επαφή, αναπτύσσονται αμοιβαία μεταξύ τους δυνάμεις, με σημείο εφαρμογής το σημείο επαφής των σωμάτων. Οι δυνάμεις αυτές έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες φορές, ονομάζονται δε δυνάμεις επαφής. Η επαφή δύο σωμάτων δεν είναι ποτέ σημειακή, με την μαθηματική έννοια. Πάντα δύο σώματα εφάπτονται σε μια, έστω και πολύ μικρή, επιφάνεια. Οι δυνάμεις επαφής ασκούνται κάθετα σε αυτή την επιφάνεια επαφής.

Μία από τις βασικότερες αρχές της Στατικής είναι η λεγόμενη αρχή της δράσης - αντίδρασης που διατυπώνεται λεκτικά με τη φράση:

Όταν ένα σώμα Α ασκεί σε ένα άλλο σώμα Β μία δύναμη Ρ1 (δράση), τότε και το σώμα Β ασκεί στο σώμα Α(στο κοινό σημείο επαφής) μία δύναμη Ρ2 (αντίδραση), η οποία έχει το ίδιο μέτρο, τον ίδιο φορέα αλλά αντίθετη φορά από την Ρ1.

2

Έστω, για παράδειγμα, μία σφαίρα που εδράζεται επάνω σε μία επίπεδη επιφάνεια. Η σφαίρα ασκεί επάνω στην επιφάνεια μία δύναμη W (δράση), ίση με το βάρος της. Τότε και η επιφάνεια ασκεί στη σφαίρα μία δύναμη (αντίδραση) ίσου μέτρου αλλά αντίθετης φοράς με αυτήν της W.

Ένα σύνολο δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα ή περισσότερα σώματα, αποτελούν ένα σύστημα δυνάμεων.

Δυνάμεις ασκούνται επίσης σε σώματα που βρίσκονται μέσα σε ενεργά πεδία (βαρυτικό, ηλεκτρομαγνητικό κλπ), ανάλογα με τις ιδιότητες της ύλης τους. Οι δυνάμεις αυτές ονομάζονται δυνάμεις πεδίου.

Στατική λέγεται το ειδικό κεφάλαιο της Μηχανικής που εξετάζει τα σώματα σαν απόλυτα στερεά δηλαδή απαραμόρφωτα. Στο προηγούμενο παράδειγμα του οχήματος, η ρυμούλκησή του δεν προκαλεί παραμόρφωση σε αυτό, αλλά μόνο κίνηση. Η Στατική παραδέχεται ότι το αποτέλεσμα της δράσης μιας δύναμης σε ένα σώμα δεν εξαρτάται από το σημείο εφαρμογής της αλλά μόνο από το μέτρο το φορέα και τη διεύθυνσή της. Η δύναμη κατά τη Στατική είναι ολισθαίνον διάνυσμα. Στο παράδειγμα της ρυμούλκησης αυτοκινήτου, η κίνηση του αυτοκινήτου θα είναι η ίδια αν, αντί να το έλξουμε από εμπρός, το σπρώξουμε στο πίσω μέρος του. Συνεπώς η δύναμη μπορεί να εφαρμοσθεί σε οποιοδήποτε σημείο του αυτοκινήτου, αρκεί να έχει τη διεύθυνση προς την οποία θέλουμε να κινηθεί το όχημα και μέγεθος τόσο ώστε να αρχίσει η κίνηση.

2.1.2. Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος

Διάγραμμα Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.) είναι το διάγραμμα, που θα προκύψει με την απομάκρυνση όλων των σωμάτων με τα οποία το μελετώμενο σώμα έρχεται σε επαφή και την αντικατάστασή τους με τις αντίστοιχες δυνάμεις επαφής, καθώς και την τοποθέτηση των δυνάμεων που προκαλούνται από πεδία.

Τελικά το Δ.Ε.Σ. είναι η σχεδίαση του σώματος με τις εφαρμοζόμενες σε αυτό δυνάμεις. Παράδειγμα ακολουθεί στο επόμενο σχήμα.

3

Σε ένα δοχείο τοποθετούνται τρεις σφαίρες A, B, C όπως φαίνεται αριστερά στο σχήμα. Δεξιά, βλέπετε τα Δ.Ε.Σ. των τριών σφαιρών:

Η σφαίρα Α δέχεται δύναμη από την επαφή της με τη σφαίρα C, από τις δύο επαφές της με τα τοιχώματα του δοχείου και από το βαρυτικό πεδίο της γης (το βάρος της). Συνολικά δηλαδή 4 δυνάμεις.

Η σφαίρα Β δέχεται και αυτή 4 δυνάμεις, για τους ίδιους λόγους, που περιγράφηκαν για τη σφαίρα Α.

Η σφαίρα C δέχεται δυνάμεις επαφής από τις σφαίρες A και B και τη δύναμη του βάρους της.

2.1.3. Γραφική Σύνθεση Δυνάμεων

Έστω δύο δυνάμεις Ρ1 και Ρ2 οι οποίες σχηματίζουν γωνία φ μεταξύ τους και επενεργούν στο υλικό σημείο Α. Για το γραφικό προσδιορισμό της συνισταμένης, ισχύει ο γνωστός κανόνας του παραλληλογράμμου

" Η συνισταμένη δύναμη R δύο δυνάμεων Ρ1 (ΑΒ) και Ρ2 (ΑΔ) είναι το διάνυσμα το οποίο παριστάνεται με τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου (ΑΓ), το οποίο έχει προσκείμενες πλευρές τις συνιστώσες Ρ1 και Ρ2 ".

Μία παραπλήσια κατασκευή με αυτή του παραλληλογράμμου είναι η κατασκευή του δυναμοτριγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση δύο δυνάμεων) ή δυναμοπολυγώνου (όταν πρόκειται για σύνθεση πε-

4

ρισσοτέρων δυνάμεων). Το διάνυσμα Α'Γ' είναι η συνισταμένη δύναμη (R) των δυνάμεων Ρ1 και Ρ2.

Στην περίπτωση που έχουμε να συνθέσουμε περισσότερες από δύο δυνάμεις, η συνισταμένη δύναμη βρίσκεται είτε με διαδοχική εφαρμογή του κανόνα του παραλληλογράμμου, είτε με εφαρμογή του δυναμοπολυγώνου. Για παράδειγμα, έστω ότι οι δυνάμεις Ρ1, Ρ2, Ρ3 ενεργούν στο ίδιο υλικό σημείο Α. Τότε η συνισταμένη δύναμη R βρίσκεται με τις μεθόδους που προαναφέραμε.

Θα πρέπει να τονίσουμε ότι στην περίπτωση του δυναμοπολυγώνου, η συνισταμένη δύναμη R προκύπτει πάντα η ίδια, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία προσθέτουμε τις δυνάμεις. Αυτό σημαίνει ότι, για το ίδιο σύστημα δυνάμεων είναι δυνατό να σχηματίζονται περισσότερα από ένα δυναμοπολύγωνα, που τελικά όμως δίνουν την ίδια συνισταμένη.

Αν συμβεί το πέρας του τελευταίου διανύσματος να συμπέσει με την αρχή του πρώτου, τότε η συνισταμένη δύναμη είναι μηδέν, οπότε λέμε ότι το σύστημα των δυνάμεων βρίσκεται σε ισορροπία. Ισχύει όμως και η αντίστροφη πρόταση κατά την οποία:

Αν ένα σύστημα συντρεχουσών δυνάμεων, οι οποίες ασκούνται σε ένα υλικό σημείο Α, βρίσκεται σε ισορροπία, τότε το δυναμοπολύγωνο των δυνάμεων αυτών είναι κλειστό.

2.1.4. Αναλυτική Σύνθεση Δυνάμεων

Έστω ότι δύο δυνάμεις Ρ1 και Ρ2 ενεργούν στο ίδιο υλικό σημείο Α και σχηματίζουν γωνία φ μεταξύ τους.

Από το παραλληλόγραμμο που σχηματίζουν οι συνιστώσες Ρ1 και Ρ2, με βάση το γνωστό θεώρημα των συνημιτόνων, έχουμε τη σχέση

5

Επειδή τα διανύσματα ΑΓ, ΑΒ, ΑΔ παριστάνουν τις δυνάμεις R, Ρ1 και Ρ2 αντίστοιχα, η πιο πάνω σχέση παίρνει την εξής μορφή:

Επειδή όμως η συνισταμένη δύναμη R είναι διάνυσμα, θα πρέπει να καθοριστεί και η διεύθυνσή της. Αυτό γίνεται με τον προσδιορισμό μιας από τις γωνίες α ή β, από τις σχέσεις

Στην ειδική περίπτωση τώρα που η γωνία φ είναι ίση με 90°, τότε οι εκφράσεις για τις παραπάνω σχέσεις παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

Στην περίπτωση αυτή οι Ρ1 και Ρ2 λέγονται κάθετες συνιστώσες της R. Μία άλλη ειδική κατηγορία σύνθεσης δύο δυνάμεων είναι όταν η γωνία φ, που σχηματίζεται από τους φορείς δύο δυνάμεων, είναι ίση με μηδέν ή ίση με 180°. Στην πρώτη περίπτωση οι δυνάμεις βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία (συγγραμικές) και είναι ομόρροπες. Ενώ, στη δεύτερη περίπτωση οι δυνάμεις είναι συγγραμικές μεν, αλλά αντίρροπες.

Και στις δύο προηγούμενες περιπτώσεις ισχύει ότι:

6

" Το μέτρο της συνισταμένης δύο συγγραμμικών δυνάμεων ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των μέτρων των συνιστωσών της ".

Η συνισταμένη δύναμη τότε, βρίσκεται επάνω στην ίδια ευθεία και έχει τη φορά της μεγαλύτερης δύναμης. Επομένως εύλογα προκύπτει ότι:

Αν δύο δυνάμεις ισορροπούν, τότε θα έχουν το ίδιο μέτρο, θα βρίσκονται επάνω στον ίδιο φορέα (συγγραμικές) και θα έχουν αντίθετη φορά.

Αν έχουμε να συνθέσουμε περισσότερες από δύο συντρέχουσες δυνάμεις, χρησιμοποιούμε ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οχy.

Έστω ότι οι δυνάμεις Ρ1,Ρ2,Ρ3 διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο. Προκειμένου να υπολογίσουμε τη συνισταμένη τους δύναμη R, θα την προσδιορίσουμε πρώτα με τη γραφική μέθοδο του δυναμοπολυγώνου.

Έπειτα φέρνουμε τις προβολές των Ρ1,Ρ2,Ρ3 και R επάνω στους άξονες χ και y. Από το σχήμα παρατηρούμε ότι ισχύουν οι σχέσεις

Από τη γεωμετρία του σχήματος, ισχύει επίσης

Οι παραπάνω σχέσεις, στη γενικευμένη περίπτωση που έχουμε πεπερασμένο αριθμό κ δυνάμεων (Ρ1,Ρ2,Ρ3,...,Ρi,...,Ρκ) γίνονται

RX = ΣΡiχ = ΣΡicosφi

Ry = ΣΡiy = ΣΡisίηφί

Έτσι το μέτρο της συνισταμένης δύναμης R είναι:

Η γωνία διευθύνσεώς της φR, υπολογίζεται με μία από τις σχέσεις

7

2.1.5. Ανάλυση Δυνάμεων

Η αντίθετη διαδικασία από τη σύνθεση λέγεται ανάλυση δυνάμεων: Όταν δίνεται μια δύναμη R και δύο άξονες x,y που συντρέχουν με το φορέα της δύναμης, τότε μπορούμε να αναλύσουμε τη δύναμη R σε δύο συνιστώσες Fx και Fy, που θα βρίσκονται πάνω στους δεδομένους άξονες. Η διαδικασία είναι ανάλογη με αυτή που περιγράφηκε για τη σύνθεση δυνάμεων με το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων. Οι δύο δυνάμεις που ισοδυναμούν με την R λέγονται συνιστώσες δυνάμεις.

Αν οι άξονες, στους οποίους θα αναλύσουμε την R είναι κάθετοι μεταξύ τους, τότε οι δύο συνιστώσες λέγονται ορθογώνιες συνιστώσες. Στην περίπτωση αυτή, για τις δύο συνιστώσες έχουμε:

Η ανάλυση των δυνάμεων σε ορθογώνιες συνιστώσες βοηθά στον εύκολο αναλυτικό υπολογισμό της συνισταμένης πολλών δυνάμεων.

Η διαδικασία, για δυνάμεις που δρουν σε ένα επίπεδο, είναι η εξής: Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τη συνισταμένη των δυνάμεων F1, F2, ..., Fn. Ορίζουμε σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων Oxy, ως προς το οποίο

8

αναλύουμε τις δυνάμεις σε ορθογώνιες συνιστώσες, ήτοι κατά τον άξονα Ox τις F1x, F2x, ..., Fnx και κατά τον άξονα y τις F1y, F2y, ..., Fny. Η συνισταμένη R των δυνάμεων θα έχει ορθογώνιες συνιστώσες Rx= F1x+ F2x+ ...+ Fnx και Ry= F1y+ F2y+ ...+ Fny. Και το μέτρο της θα είναι

.

Η διαδικασία για τυχούσες δυνάμεις του χώρου είναι παρόμοια, με ανάλυση σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

2.1.6. Μετατόπιση δύναμης πάνω στο φορέα της

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας ισχύει ότι:

" Όταν ένα σύστημα δυνάμεων ενεργεί επάνω σε ένα σώμα, τότε το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας παραμένει το ίδιο εάν προσθέσουμε επάνω στο σώμα αυτό ένα άλλο σύστημα δυνάμεων το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία ".

Για παράδειγμα έστω ότι έχουμε το στερεό σώμα του σχήματος. Επάνω στο σημείο Α του σώματος εφαρμόζεται δύναμη Ρ της οποίας ο φορέας διέρχεται και από το σημείο Β. Αν λάβουμε υπόψη μας την προηγούμενη πρόταση, μπορούμε να προσθέσουμε στα σημεία Α και Β δύο δυνάμεις -Ρ και Ρ αντίστοιχα (οι οποίες βρίσκονται σε ισορροπία). Κατά τον ίδιο συλλογισμό μπορούμε να αφαιρέσουμε από το σημείο Α τις δυνάμεις -Ρ και Ρ. Βλέπουμε δηλαδή ότι πετύχαμε την μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης Ρ από το σημείο Α στο σημείο Β χωρίς να παρατηρηθεί καμία μεταβολή στην κατάσταση του στερεού σώματος. Το συμπέρασμα αυτό διατυπώνεται και σαν θεώρημα της μεταφοράς (ή ολίσθησης) μιας δύναμης επάνω στο φορέα της.

Επομένως μπορούμε να μεταφέρουμε μία δύναμη στη διεύθυνση του φορέα της, γι' αυτό λέμε ότι, η δύναμη θεωρείται ολισθαίνον διάνυσμα.

2.1.7. Ισορροπία Δυνάμεων

Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκείται ένα σύστημα δυνάμεων , το σώμα ισορροπεί μόνο αν το άθροισμα των δυνάμεων είναι

μηδέν, δηλαδή:

9

Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται μόνο δύο δυνάμεις, τότε, για να ισορροπεί το σώμα, οι δυνάμεις πρέπει να έχουν ίσα μέτρα, τον ίδιο φορέα και αντίθετες διευθύνσεις.

Όταν σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται τρεις δυνάμεις, τότε για να ισορροπεί το σώμα, οι δυνάμεις πρέπει αφ’ ενός να συντρέχουν και αφ’ ετέρου, τοποθετούμενες επάλληλα, να ορίζουν τρίγωνο, (καλούμενο δυναμοτρίγωνο).

Κατ’ επέκταση, για την ισορροπία στερεού υπό την επίδραση περισσοτέρων δυνάμεων, αυτές πρέπει να σχηματίζουν κλειστό δυναμοπολύγωνο.

Έστω ότι σε ένα απόλυτο στερεό ασκούνται n δυνάμεις:

εκφρασμένες με τις συνιστώσες τους , ως προς το σύστημα ορθογώνιων συντεταγμένων Oxyz. Τότε για την ισορροπία του σώματος, απαιτείται το άθροισμα των συνιστωσών κατά κάθε κύριο άξονα να είναι μηδέν, δηλαδή:

Οι σχέσεις αυτές αποτελούν αναγκαίες συνθήκες ισορροπίας του σώματος. Δεν είναι και ικανές, δηλαδή δεν αρκεί να ισχύουν για να ισορροπεί ένα σώμα. Οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες θα αναπτυχθούν στο επόμενο κεφάλαιο.

2.1.8. Η μέθοδος του σχοινοπολυγώνου

Η μέθοδος του σχοινοπολυγώνου είναι η γενική γραφική λύση της ισορροπίας ενός σώματος για ένα σύστημα δυνάμεων οι οποίες δεν συντρέχουν. Στο Δ.Ε.Σ. υπάρχουν κατά μέγεθος, διεύθυνση και θέση όλες οι ασκούμενες δυνάμεις. Σε μια άλλη θέση σχεδιάζεται το δυναμοπολύγωνο, με την διαδοχική τοποθέτηση των δυνάμεων. Η συνισταμένη ορίζεται έτσι κατά μέτρο και διεύθυνση (από την αρχή της πρώτης και το πέρας της τελευταίας). Για τον προσδιορισμό του φορέα (θέσης) της, εκτελούμε τα ακόλουθα: Από τυχόν σημείο Ο ορίζουμε διανύσματα με πέρατα τις αρχές ή τα πέρατα των δυνάμεων του δυναμοπολυγώνου. Τα διανύσματα αυτά μαζί με τις δυνάμεις ορίζουν δυναμοτρίγωνα. Τα διανύσματα μεταφέρονται παράλληλα στο Δ.Ε.Σ., φροντίζοντας να συντρέχουν όλες οι τριάδες, που αποτελούν δυναμοτρίγωνα. Τότε η συνισταμένη δύναμη θα διέρχεται από το σημείο τομής των διανυσμάτων, που κλείνουν δυναμοτρίγωνο με αυτή στο διάγραμμα του δυναμοπολυγώνου.

10

Έστω ότι σε ένα σώμα επενεργούν οι δυνάμεις Ρ1,Ρ2,Ρ3. Κατασκευάζουμε το δυναμοπολύγωνο ΑΒΓΔ, του οποίου η κλείουσα πλευρά ΑΔ, καθορίζει το μέτρο και τη διεύθυνση της συνισταμένης των δυνάμεων. Απομένει να προσδιορίσουμε το φορέα εφαρμογής της R.

Για το σκοπό αυτό, από ένα τυχαίο σημείο Ο το οποίο ονομάζεται πόλος και Βρίσκεται έξω από το δυναμοπολύγωνο, φέρνουμε ευθύγραμμα τμήματα ΑΟ, ΒΟ, ΓΟ, ΔΟ. Τα τμήματα αυτά ονομάζονται ακτίνες και συμβολίζουν δυνάμεις, οι οποίες είναι συνιστώσες των δυνάμεων Ρ1,Ρ2,Ρ3. Στη συνέχεια, φέρνουμε από τυχαίο σημείο α τμήμα αβ παράλληλο με το διάνυσμα ΑΟ. Από το σημείο β, τμήμα βγ παράλληλο με το διάνυσμα ΒΟ. Από το σημείο γ, τμήμα γδ παράλληλο με το ΓΟ και από το σημείο δ, τμήμα δε παράλληλο με το ΔΟ. Η πολυγωνική γραμμή αβγδε που σχηματίσθηκε χαρακτηρίζεται σαν σχοινοπολύγωνο των δυνάμεων Ρ1,Ρ2,Ρ3.

Τέλος ενώνουμε τις ευθείες των ακραίων τμημάτων αβ και δε. Από το σημείο τομής ζ διέρχεται η συνισταμένη δύναμη R. Έτσι προσδιορίσαμε και τον φορέα επάνω στον οποίο ενεργεί η συνισταμένη δύναμη R.

Είναι απαραίτητο να σημειωθεί ότι, στην περίπτωση κατά την οποία το δυναμοπολύγωνο είναι κλειστό (R = 0) δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το σύστημα των δυνάμεων ισορροπεί. Σ' αυτήν την περίπτωση έχουμε δύο ενδεχόμενα:

α') Το σύστημα των δυνάμεων να ισορροπεί.

β') Το σύστημα των δυνάμεων να ανάγεται σε ζεύγος δυνάμεων (που μπορεί να προκαλέσει περιστροφή στο σώμα).

Έτσι, προκειμένου να εξασφαλίσουμε την ισορροπία του συστήματος, θα πρέπει και το σχοινοπολύγωνο να είναι κλειστό. Επομένως, " ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισορροπεί ένα σύστημα μη συντρεχουσών δυνάμεων, είναι τόσο το δυναμοπολύγωνο όσο και το σχοινοπολύγωνο, να είναι κλειστά ".

11

2.1.9. Λυμένες Ασκήσεις

1: Σε κολώνα έχουν δεθεί δύο συρματόσχοινα, που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία φ=140ο. Η τάση των συρματόσχοινων είναι P=80KN. Να βρεθεί κατά μέτρο και θέση η συνισταμένη δύναμη, που ασκείται στην κολώνα.

Στο σχήμα φαίνεται η διάταξη του προβλήματος.

Το μέτρο της συνισταμένης δύναμης βρίσκεται με κατευθείαν εφαρμογή του τύπου:

Η διεύθυνση της συνισταμένης βρίσκεται από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο KRP, δηλαδή:

Βρίσκουμε δηλαδή ότι .Το αποτέλεσμα ήταν

αναμενόμενο, διότι το παραλληλόγραμμο των δυνάμεων είναι ρόμβος (αφού οι δυνάμεις είναι ίσες). Και είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του.

2: Σφαίρα ακτίνας και βάρους αναρτάται από σταθερό σημείο Α κατακόρυφου τοίχου με τη βοήθεια σχοινιού μήκους

δεμένου στο κέντρο της. Να υπολογίσετε την τάση Τ του σχοινιού και τη δύναμη R που ασκεί η σφαίρα στον τοίχο.

12

A

KB B

TA

W

RK

r

θx

y

Για την επίλυση του προβλήματος πρέπει να εξετάσουμε την ισορροπία της σφαίρας. Η σφαίρα δέχεται τις ακόλουθες δυνάμεις:

Το βάρος της W, το οποίο εφαρμόζεται στο κέντρο Κ και με διεύθυνση προς το κέντρο της γης.

Την τάση Τ του σχοινιού. Αυτή έχει τη διεύθυνση του σχοινιού.

Την δύναμη R από την επαφή της με τον τοίχο. Η δύναμη αυτή ασκείται στο σημείο επαφής και έχει διεύθυνση κάθετη στην (κατακόρυφη) επιφάνεια επαφής, άρα είναι οριζόντια.

Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, κατασκευάζουμε το Δ.Ε.Σ. της σφαίρας.

Παρατηρούμε ότι όλες οι δυνάμεις βρίσκονται στο επίπεδο ΑΒΚ, συνεπώς μπορούμε να εξετάσουμε το πρόβλημα μόνο στο επίπεδο αυτό. (Αφού δεν υπάρχουν δυνάμεις κατά διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο ΑΒΚ, αυτόματα ικανοποιείται η συνθήκη ισορροπίας κατά τη διεύθυνση αυτή).

Για την ισορροπία της σφαίρας πρέπει να ικανοποιούνται οι άλλες δύο συνθήκες ισορροπίας (πάνω στο επίπεδο ΑΒΚ), που είναι:

(1)

Κατ’ αρχάς πρέπει να επιλέξουμε σύστημα αξόνων, που να απλοποιεί τη διαδικασία εύρεσης των συνιστωσών των δυνάμεων στους κύριους άξονες. Στο πρόβλημά μας επιλέγεται σύστημα με τον άξονα x παράλληλο στη δύναμη R και άξονα y παράλληλο στο βάρος W. Οι συνιστώσες όλων των δυνάμεων ως προς αυτό το σύστημα είναι:

13

(2)

Παρατηρώντας το σχήμα βλέπουμε ότι:

(3)

Με αντικατάσταση των (2) και (3) στην (1), παίρνουμε:

3: Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα θέσης ενός φορέα και οι δυνάμεις , που ασκούνται πάνω του. Να υπολογίσετε γραφικά το μέγεθος και τη θέση της συνισταμένης δύναμης.

P P

P

12

3

3P

2P

1P

R

O

A

B

C

D

a

b

c

d

a

bc

d

R

Δίπλα στο διάγραμμα θέσης, κατασκευάζουμε το δυναμοπολύγωνο, μεταφέροντας παράλληλα τις δυνάμεις, έτσι ώστε

. Βρίσκουμε έτσι κατά μέγεθος και διεύθυνση

τη συνισταμένη .

Για τον προσδιορισμό της θέσης της , εργαζόμαστε ως εξής:

Επιλέγουμε τυχόν σημείο Ο. Από αυτό φέρουμε τις ΟΑ, OB, OC, OD, ορίζοντας έτσι τα διανύσματα .

Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα ορίζουν ένα τρίγωνο. Συνεπώς ισορροπούν μεταξύ τους, άρα, στο διάγραμμα θέσης πρέπει να περνούν από το ίδιο σημείο. Ερχόμαστε στο διάγραμμα θέσης και σχεδιάζουμε μια τυχούσα a ευθεία παράλληλη στο διάνυσμα . Από το

14

σημείο τομής των θα διέρχεται η b. Σχεδιάζουμε μια ευθεία b

παράλληλη στο διάνυσμα , διερχόμενη από το σημείο τομής των .

Με παρόμοιες παρατηρήσεις φέρουμε και τις υπόλοιπες ευθείες, ώστε η c να διέρχεται από το σημείο τομής των και η d από το

σημείο τομής των .

Τέλος, βλέπουμε ότι τα διανύσματα , στο δυναμοπολύγωνο ορίζουν ένα τρίγωνο. Επομένως ισορροπούν. Άρα στο διάγραμμα θέσης θα συντρέχουν. Δηλαδή η συνισταμένη θα διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών a και d.

Στο διάγραμμα θέσης, λοιπόν, σχεδιάζουμε παράλληλη προς την , η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών a και d.

2.1.10. Ασκήσεις για λύση

1. Ένα φωτιστικό σώμα βάρους 12,5 Κρ κρεμιέται με δυο καλώδια. Ζητούνται να προσδιορισθούν οι τάσεις των καλωδίων SCA και SCΗ

γραφικά. και αναλυτικά.

2. Μια ράβδος ΑΒ έχει βάρος 25 Κρ ανά μέτρο μήκους και συγκρατείται στην οριζόντια θέση υπό ένα συρματόσχοινο ΑC, ενώ στο άλλο της άκρο στηρίζεται με άρθρωση. Ζητούνται να προσδιορισθούν, α) γραφικά και β) αναλυτικά, η τάση του συρματόσχοινου S και η αντίδραση R στο σημείο Β.

3. Μια σφαίρα με ακτίνα 20 cm και βάρος 20 Κρ κρεμιέται με ένα νήμα ενώ συγχρόνως εφάπτεται σε μια κατακόρυφη παρειά, η οποία υποτίθεται ότι είναι τελείως λεία.

Ζητούνται να προσδιορισθούν γραφικά και αναλυτικά η τάση του νήματος S και η ώθηση R της παρειάς από τη σφαίρα.

15

4. Ζητείται το μέγεθος της δύναμης F που απαιτείται για να πραγματοποιηθεί έναρξη περιστροφής του κυλίνδρου, βάρους 100 Κρ, γύρω υπό το σημείο Α.

20.Ζητείται να προσδιορισθεί το βάρος της σφαίρας WΑ προκειμένου το σύστημα του Σχήματος Ι.34 να ισορροπεί.

Το βάρος του σώματος Β είναι W =120 Κρ. Η τροχαλία C θα θεωρηθεί ότι περιστρέφεται χωρίς τριβή.

2.2. Ροπές. Ισορροπία στερεού σώματος.

2.2.1. Ζεύγη δυνάμεων .

Στο προηγούμενο κεφάλαιο, είδαμε ότι για να ισορροπούν δύο δυνάμεις, πρέπει να έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες διευθύνσεις. Επίσης πρέπει να ενεργούν πάνω στον ίδιο φορέα (να είναι συνευθειακές).

F1

-F1

16

Εάν δύο δυνάμεις έχουν ίσα μέτρα και αντίθετες διευθύνσεις, αλλά δεν είναι συνευθειακές, τότε λέγεται ότι αποτελούν ζεύγος δυνάμεων.

F1-F1

Η εφαρμογή ενός ζεύγους δυνάμεων σε ένα σώμα προκαλεί περιστροφή του σώματος. Πρακτική εμπειρία αυτού έχουμε από την περιστροφή ενός βιδωτού πώματος μπουκαλιού, η οποία προκαλείται όταν ασκήσουμε ένα ζεύγος δυνάμεων με τα δάκτυλά μας.

Το φυσικό μέγεθος, που προκαλεί την περιστροφή των σωμάτων, λέγεται ροπή. Ένα ζεύγος δυνάμεων δεν προκαλεί μετατόπιση, αλλά μόνο περιστροφή, συνεπώς είναι ισοδύναμο με μια ροπή.

2.2.2. Η ροπή σαν εξωτερικό γινόμενο.

Η ροπή μιας δύναμης προς ένα σημείο Α ορίζεται μαθηματικά σαν το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος που άγεται από το Α προς την αρχή της δύναμης επί την δύναμη. Συμβολικά αυτό γράφεται:

2.2.3. Θεώρημα του Varignon .

Έστω ότι σε ένα υλικό σώμα ασκείται σύστημα συνεπίπεδων δυνάμεων . Ας υποθέσουμε ότι είναι η συνισταμένη τους. Το

θεώρημα του Varignon λέει ότι η ροπή της ως προς ένα σημείο Α του

17

επιπέδου των δυνάμεων είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων προς το ίδιο σημείο Α.

2.2.4. Σύνθεση παράλληλων δυνάμεων

Μία χαρακτηριστική περίπτωση σύνθεσης μη συντρεχουσών δυνάμεων, είναι αυτή των παράλληλων δυνάμεων. Οι παράλληλες αυτές δυνάμεις μπορεί να είναι ομόρροπες ή αντίρροπες.

Στην πρώτη περίπτωση η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με

R = Ρ1 + Ρ2

Ο φορέας της βρίσκεται ενδιάμεσα στους φορείς των Ρ1, Ρ2 και σε απόσταση που προσδιορίζεται από εφαρμογή του θεωρήματος του Varignoη, που δίνει

Η φορά της R, είναι ίδια προφανώς με τη φορά των Ρ1,Ρ2. Στη δεύτερη περίπτωση η συνισταμένη δύναμη είναι,

ενώ ο φορέας της βρίσκεται έξω από τους φορείς των Ρ1, Ρ2 και προς το μέρος της Ρ2 (της μεγαλύτερης δύναμης). Η απόσταση α είναι,

Η φορά της R τώρα, είναι ίδια με τη φορά της μεγαλύτερης δύναμης.

2.2.5. Ισορροπία σώματος .

Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα μη συντρεχουσών δυνάμεων Ρ1, Ρ2,. . . , Ρi, ... , Ρη το οποίο βρίσκεται πάνω σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων Oxy. Σε αυτήν την περίπτωση αν

α') Μεταφέρουμε παράλληλα όλες τις δυνάμεις έτσι ώστε η αρχή τους να είναι στο σημείο Ο και

18

β') Προσθέσουμε τις ροπές όλων των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο, τότε το νέο σύστημα δυνάμεων που σχηματίζεται είναι ισοδύναμο με το πρώτο.

Είναι αντιληπτό ότι προκειμένου να ισορροπεί το σύστημα δεν αρκεί να ισχύει μόνο ΣΡiχ = 0 και ΣΡiy = 0 διότι παρόλο που οι σχέσεις αυτές μας εξασφαλίζουν το μηδενισμό της συνισταμένης δεν μας εξασφαλίζουν την απουσία ζεύγους δυνάμεων από το σύστημα, που θα του προκαλούσαν περιστροφή. Γι' αυτό το λόγο θα πρέπει και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων ως προς την αρχή των αξόνων Ο, να είναι μηδέν. Δηλαδή ΣΜο = 0.

Επομένως οι εξισώσεις ισορροπίας συστήματος μη συντρεχουσών δυνάμεων, είναι αυτές που παρουσιάζονται πιο κάτω:

οι οποίες συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται ως εξής:

Για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, εκλέγεται η προσφορότερη ομάδα εξισώσεων στατικής ισορροπίας, προκειμένου να αντιμετωπιστούν οι ιδιομορφίες του δεδομένου συστήματος δυνάμεων.

Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν από την επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας μπορούμε να τα επαληθεύσουμε αν χρησιμοποιήσουμε μια επιπλέον εξίσωση ισορροπίας, η ικανοποίηση της οποίας επιβεβαιώνει την ορθότητα των αποτελεσμάτων. Η επιπλέον αυτή εξίσωση είναι γραμμικά εξαρτημένη με εκείνες που χρησιμοποιούνται για τη λύση του προβλήματος. Αν για την επίλυση του προβλήματος χρησιμοποιηθούν οι τρεις εξισώσεις ισορροπίας, τότε η επιπλέον εξίσωση μπορεί να είναι μια εξίσωση μηδενισμού ροπών ως προς κάποιο σημείο διαφορετικό από εκείνο που είναι το κέντρο ροπών για τη βασική εξίσωση μηδενισμού ροπών.

19

Σημειώνουμε όμως, ότι εκτός από την επιλογή των κατάλληλων στερεοστατικών εξισώσεων, ένα άλλο επίσης σημαντικό βήμα στην επίλυση προβλημάτων Στατικής αποτελεί η κατασκευή του διαγράμματος ελεύθερου σώματος προκειμένου να εξασφαλιστεί η σωστή μαθηματική διατύπωση του προβλήματος που έχουμε να αντιμετωπίσουμε.

2.2.6. Λυμένες Ασκήσεις

1: Να υπολογισθεί η συνισταμένη δύο παράλληλων δυνάμεων

με μέτρα και που απέχουν 20m.

x

y

P

R

P

φθυ

Or r

1

2

R P2

Επιλέγω σύστημα συντεταγμένων τέτοιο ώστε ο άξονας y να είναι παράλληλος στους φορείς των δυνάμεων και η δύναμη να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Σε αυτή την περίπτωση έχω τις συνιστώσες των δυνάμεων:

Συνεπώς, οι συνιστώσες της συνισταμένης θα είναι:

Βλέπουμε ότι η συνισταμένη θα είναι παράλληλη στον άξονα y (άρα και παράλληλη στις δύο δυνάμεις).

Υπολογίσαμε τη συνισταμένη κατά μέτρο και διεύθυνση. Απομένει να υπολογίσουμε τη θέση της.

Σύμφωνα με το θεώρημα του Varignon η ροπή της συνισταμένης

των δυνάμεων ως προς τυχόν σημείο είναι ίση με το άθροισμα των

ροπών των ως προς το ίδιο σημείο.

20

Επιλέγω το σημείο Ο της αρχής των αξόνων ως προς το οποίο θα εξετάσω τις ροπές των δυνάμεων. Θα πρέπει, λοιπόν:

Άρα η συνισταμένη θα έχει μέτρο , θα είναι παράλληλη στις και θα έχει από την απόσταση .

2. Στην ράβδο του σχήματος ζητούνται να προσδιορισθούν:

α') Η ροπή της δύναμης Ρ= 80 Ν ως προς το σημείο Α.

β') Η απόσταση του φορέα της δύναμης Ρ από το σημείο Α. Δίνεται ότι α = 3 m, φ -- 50°.

α') Σύμφωνα με το Θεώρημα του Varignon, η ροπή Μη της δύναμης Ρ ως προς το σημείο Α είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών δυνάμεων Ρχ,Ρy ως προς το σημείο Α.

Θεωρούμε αρχικά σαν θετική φορά περιστροφής την φορά των δεικτών του ρολογιού. Έτσι, αφού η ροπή της δύναμης Ρχ ως προς το Α είναι μηδέν (ο φορέας της περνάει από το Α, άρα η απόστασή τους είναι μηδέν), Θα έχουμε

ΜΑ =Ρy•3 =Psinφ•3 -80sin50" •3 = 183.9 Nm

β') Εάν χ είναι η απόσταση του φορέα της Ρ από το σημείο Α, τότε Θα έχουμε

2.3. Στατική του επιπέδου σώματος .

Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι, με την επιβολή τυχαίας φόρτισης επί ενός σώματος, οι συνθήκες ισορροπίας είναι:

21

Εάν το σώμα φορτίζεται με δυνάμεις, που έχουν συνιστώσες μόνο κατά τις διευθύνσεις δύο αξόνων του συστήματος (έστω x και y), τότε λέγεται ότι το σώμα καταπονείται από επίπεδη φόρτιση.

Οι συνθήκες ισορροπίας σε επίπεδη φόρτιση διαμορφώνονται ως εξής:

Οι παραπάνω συνθήκες ισορροπίας μπορούν να εκφρασθούν σαν συνθήκες ισορροπίας ροπών των δυνάμεων ως προς τρία μη συνευθειακά σημεία A,B,C, με την ακόλουθη μορφή:

Όπου r,s,t είναι οι αποστάσεις των δυνάμεων από τα σημεία A,B,C αντίστοιχα.

2.3.1. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1: Σε μια ράβδο ΑΒ μήκους 5 μέτρων ασκείται δύναμη P=10KN στη θέση C, που απέχει 2m από το σημείο Α. Η ράβδος στηρίζεται σε απλό εφέδρανο το οποίο υπάρχει κάτω από το σημείο Α και με άρθρωση στο σημείο Β. Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις των στηρίξεων.

22

A Bφ=60 φ

V V

H x

y

AC

B

P P

A B

BC

O

Κατ’ αρχάς επιλέγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων, το οποίο θα διευκολύνει τους υπολογισμούς μας. Ένα κατάλληλο σύστημα είναι αυτό, που έχει τον άξονα x κατά τη διεύθυνση του άξονα της ράβδου.

Ύστερα, σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. της ράβδου, αντικαθιστώντας τις στηρίξεις με τις αναπτυσσόμενες δυνάμεις, με το ακόλουθο σκεπτικό:

Το έδρανο της στήριξης Α απαγορεύει στη ράβδο να υποχωρήσει στο σημείο εκείνο. Συνεπώς από τη στήριξη Α θα αναπτύσσεται στη ράβδο μια δύναμη με κατακόρυφη διεύθυνση.

Στη στήριξη του σημείου Β απαγορεύεται οποιαδήποτε μετατόπιση της ράβδου (επιτρέπονται μόνο στροφές). Επομένως από τη στήριξη Β θα αναπτύσσεται στη ράβδο μια δύναμη με άγνωστη διεύθυνση, που θα είναι αντίθετη της δύναμης που ασκεί η ράβδος στη στήριξη. Αναλύοντας αυτή τη δύναμη σε δύο συνιστώσες κατά τους άξονες x,y θα έχουμε δύο άγνωστες αντιδράσεις .

Τέλος, αναλύουμε την εφαρμοζόμενη δύναμη στις συνιστώσες της κατά τους κύριους άξονες x,y με μέτρα:

Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε τις συνθήκες ισορροπίας, θεωρώντας μηδενισμό του αθροίσματος των συνιστωσών των δυνάμεων κατά x και κατά y και μηδενισμό των ροπών ως προς το σημείο Α.

2.4. Δικτυώματα Το δικτύωμα είναι ένα σύστημα ευθύγραμμων ράβδων, οι οποίες

συνδέονται στα άκρα τους με αρθρώσεις, έτσι ώστε να αποτελούν ένα στερεό σώμα.

Το σημείο στο οποίο συνδέονται δύο ή περισσότερες ράβδοι ονομάζεται κόμβος.

23

Επίπεδο δικτύωμα, είναι ένα δικτύωμα στο οποίο οι άξονες των ράβδων και οι εξωτερικές δυνάμεις που το φορτίζουν, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Παράδειγμα επίπεδου δικτυώματος αποτελεί το δικτύωμα γέφυρας του σχήματος.

Όπως είναι ήδη γνωστό, κατά την εφαρμογή μιας δύναμης Ρ σε κάποιον από τους κόμβους, θα εμφανιστούν αντιδράσεις στα σημεία στήριξης, καθώς και εσωτερικές αξονικές δυνάμεις στις ράβδους, οι οποίες ονομάζονται τάσεις. Ο καθορισμός των τάσεων αυτών, αποτελεί την λεγόμενη "ανάλυση του δικτυώματος".

Για τα δικτυώματα, χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί:

α') Οι κόμβοι συμβολίζονται με λατινικούς αριθμούς Ι,ΙΙ,ΙΙΙ,IV κ.λ.π.

β') Οι ράβδοι συμβολίζονται με αραβικούς αριθμούς 1,2,3,4 κ.λ.π.

γ') Οι τάσεις συμβολίζονται με το λατινικό γράμμα S, το οποίο έχει σαν δείκτη τον αριθμό της ράβδου. Για παράδειγμα, η τάση της ράβδου 4 συμβολίζεται S4 και εδώ είναι θλιπτική.

δ') Οι εξωτερικές δυνάμεις και οι αντιδράσεις συμβολίζονται (συνήθως) με λατινικά γράμματα.

Για την ανάλυση ενός δικτυώματος, γίνονται οι παρακάτω παραδοχές:

1) Οι ράβδοι συνδέονται μεταξύ τους με αρθρώσεις, χωρίς τριβές.

2) Όλα τα φορτία του συστήματος επενεργούν μόνο στους κόμβους

3) Οι κεντροβαρικοί άξονες των ράβδων, διέρχονται από το θεωρητικό σημείο του κόμβού.

Τέλος υπάρχουν τρεις βασικές μέθοδοι ανάλυσης ενός δικτυώματος:

α' ) Μέθοδος των κόμβων.

β' ) Μέθοδος των τομών - Rίtter.

γ' ) Μέθοδος Βοw - Cremona.

Η περιγραφή καθώς και η εφαρμογή των μεθόδων αυτών, πραγματοποιείται στο αμέσως επόμενο παράδειγμα.

2.4.1. Λυμένες Ασκήσεις

24

ΑΣΚΗΣΗ 1: Δίνεται το δικτύωμα του σχήματος 20. Οι εξωτερικές δυνάμεις, που ασκούνται στους κόμβους είναι: . Η γωνία . Ζητείται να υπολογισθούν οι τάσεις των ράβδων.

Στο παράδειγμά μας θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των κόμβων. Συμβολίζουμε με S τις εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται στις ράβδους. Π.χ. την αξονική δύναμη της ράβδου 1 τη συμβολίζουμε με S1.

Εξετάζουμε την ισορροπία κάθε κόμβου παίρνοντας τις συνιστώσες των δυνάμεων κατά τους άξονες , όπου ο άξονας είναι κατά τη διεύθυνση ΑΒ.

Ισορροπία κόμβου Α:

(1)

(2)

Ισορροπία κόμβου Ι:

(3)

(4)

Ισορροπία κόμβου ΙΙ:

(5)

(6)

25

Ισορροπία κόμβου ΙΙΙ:

(7)

0)()()( 372 SinSSinSSinS (8)

Ισορροπία κόμβου Β:

(9)

(10)

Καταστρώσαμε σύστημα δέκα εξισώσεων (με την αρίθμηση που δόθηκε δίπλα σε κάθε μία). Οι άγνωστοι του συστήματος είναι δέκα: Οι αξονικές δυνάμεις των επτά ράβδων και οι τρεις άγνωστες αντιδράσεις των στηρίξεων. Οι δυνάμεις καθώς και η γωνία είναι γνωστές. Επομένως η λύση του συστήματος θα μας δώσει όλες τις άγνωστες δυνάμεις. Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα βρίσκουμε:

Το αρνητικό πρόσημο της σημαίνει ότι η δύναμη έχει αντίθετη φορά από αυτή που αρχικά αυθαίρετα της δόθηκε.

2.5. Τριβή

2.5.1. Τριβή ολίσθησης .

Όπως γνωρίζουμε, προκειμένου να ολισθήσουν δύο σώματα που βρίσκονται σε επαφή και συγκεκριμένα το ένα επάνω στο άλλο, θα πρέπει να εφαρμόσουμε μία δύναμη Ρ η οποία θα εξουδετερώσει την τριβή, δηλαδή τη δύναμη εκείνη η οποία αντιστέκεται στην ολίσθηση (Σχ.28.α).

Από πειράματα σχετικά με την τριβή ολίσθησης, ο Coulomb διατύπωσε τους παρακάτω κανόνες:

α') Η δύναμη τριβής δεν επηρεάζεται από την έκταση της επιφάνειας επαφής.

β') Η δύναμη τριβής είναι ανάλογη της κάθετης δύναμης.

26

Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε ένα σώμα βάρους W επάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ. Το σώμα, λόγω της δύναμης τριβής,

αρχικά θα παραμένει ακίνητο μέχρι η γωνία να πάρει μία μέγιστη (οριακή) τιμή φο κατά την οποία το σώμα θα αρχίσει να κινείται.

Όσο το σώμα βρίσκεται σε ισορροπία, εκτός από την ορθή δύναμη Ν θα ασκείται πάνω του και μία άλλη δύναμη Τ. Η συνισταμένη δύναμη R των Ν και Τ είναι ίση και αντίθετη με την W. Από το (Σχ.28.β) παρατηρούμε ότι είναι

Για την οριακή τιμή φο της γωνίας, η οποία ονομάζεται στατική γωνία τριβής και πέρα της οποίας το σώμα αρχίζει να κινείται, ισχύει

Σ' αυτήν την περίπτωση η δύναμη Το ονομάζεται δύναμη στατικής τριβής. Ο συντελεστής μο ονομάζεται συντελεστής στατικός τριβής και είναι μο = tαηφο. Εξαρτάται δε αυτός από τη φύση των σωμάτων που έρχονται σε επαφή. Χαρακτηριστικές τιμές του δίνονται στον παραπάνω πίνακα.

Όταν τώρα η γωνία πάρει μία τιμή μεγαλύτερη από την φο όπως προαναφέραμε, το σώμα αρχίζει να ολισθαίνει. Σ' αυτήν την περίπτωση η δύναμη Τ ονομάζεται δύναμη κινητικής τριβής και είναι ίση με

27

όπου μ είναι ο συντελεστής κινητικής τριβής. Χαρακτηριστικές τιμές δίνονται και για αυτόν στον πίνακα.

Με βάση τις τιμές του πίνακα βλέπουμε ότι η κινητική τριβή είναι μικρότερη από την στατική τριβή. Έτσι βγάζουμε το συμπέρασμα ότι:

" Η απαιτούμενη δύναμη για τη διατήρηση της ολίσθησης είναι μικρότερη από αυτήν που απαιτείται για την έναρξή της ".

Παράδειγμα - Επάνω σε ένα κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ = 30°, εδράζεται ένα σώμα βάρους W=4 ΚΝ (Σχ.α). Να βρεθεί αν η οριζόντια δύναμη Ρ=6 ΚΝ, είναι ικανή να διατηρεί το σώμα σε ισορροπία, όταν ο συντελεστής στατικής τριβής είναι μο = 0.30.

Θα δεχθούμε αρχικά ότι το σώμα ισορροπεί και θα υπολογίσουμε ποια είναι η μέγιστη δύναμη Ρ, ώστε το σώμα να Βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας. Το διάγραμμα ελεύθερου σώματος φαίνεται στο (Σχ.β).

Στην περίπτωση αυτή, η τριβή που αναπτύσσεται είναι η στατική τριβή ολίσθησης (Το). Έτσι από τις συνθήκες ισορροπίας έχουμε

Έχουμε δύο εξισώσεις με τρεις αγνώστους. Χρειάζεται άλλη μία εξίσωση η οποία είναι η έκφραση της στατικής τριβής

Έτσι, από την επίλυση του συστήματος βρίσκουμε:

Παρατηρούμε ότι η μέγιστη δύναμη Ρ η οποία διατηρεί το σώμα ακίνητο είναι Ρmαx=4.3 ΚΝ. Επομένως η οριζόντια δύναμη Ρ=6.0 ΚΝ > Ρmax

που αναπτύσσεται στο σώμα, Θα κινήσει το τελευταίο προς τα επάνω.

2.5.2. Τριβή κύλισης .

Όταν επάνω σε έναν κύλινδρο ή σε έναν τροχό ενεργήσει μία ορι-ζόντια δύναμη Ρ, τότε λόγω της παραμόρφωσης του τροχού αλλά και του επιπέδου στο οποίο βρίσκεται, θα αναπτυχθούν πιέσεις ρ των οποίων συνισταμένη είναι η δύναμη R. Η οριζόντια συνιστώσα της R ονομάζεται αντίσταση τριβής και αντιστέκεται στην κύλιση του τροχού.

Από το διάγραμμα ελεύθερου σώματος με βοήθεια της εξίσωσης ισορροπίας ΣΜ = 0, έχουμε

28

Επειδή όμως η γωνία φ είναι πολύ μικρή, θεωρούμε ότι α = r. Επομένως θα έχουμε

Ο λόγος f/r = fr ονομάζεται συντελεστής τριβής κύλισης και η απόσταση f βραχίονας αντίστασης. Ο βραχίονας αντίστασης υπολογίζεται πειραματικά.

Επομένως η παραπάνω σχέση γράφεται

Χαρακτηριστικές τιμές του συντελεστή τριβής είναι οι ακόλουθες:

α' )fr = 0.02 για ελαστικό τροχό με αεροθάλαμο επάνω σε λείο κατάστρωμα

β' )fr = 0.006 για χαλύβδινο τροχό επάνω σε χαλύβδινη τροχιά.

Παράδειγμα: Ένας χαλύβδινος τροχός ακτίνας r = 2 cm και βάρους W, κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο από χάλυβα (Σχ.α). Ο βραχίονας της αντίστασης κύλισης είναι f = 0.12 mm. Να υπολογιστεί η γωνία φ του κεκλιμένου επιπέδου.

Κατασκευάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Σχ.β). Παρατηρούμε πως πάνω στο σώμα ασκείται το Βάρος του, η αντίδραση Ν από το επίπεδο, καθώς και η αντίσταση τριβής Τ. Το βάρος W αναλύεται στις δυνάμεις:

Έτσι, παίρνοντας ροπές ως προς το σημείο Α, έχουμε

29

2.5.3. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1: Σώμα τετραγωνικής διατομής με πλευρά και βάρος W=4KN εδράζεται σε κεκλιμένο δάπεδο με γωνία και στηρίζεται σε τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογίσετε τις τριβές που ασκούνται στο σώμα ( ).

φ

1

φ

WN

T2

P T

A

W

W2

1

Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. τοποθετώντας τις δυνάμεις που ασκούνται στo σώμα:

Στην επαφή του με το δάπεδο ασκείται δύναμη Ν με διεύθυνση κάθετη στο δάπεδο. Επίσης ασκείται τριβή , κατά τη διεύθυνση του δαπέδου.

Στην επαφή του με τον τοίχο ασκείται δύναμη Ρ κάθετη στην επιφάνεια επαφής, άρα οριζόντια. Επίσης ασκείται τριβή , κατά τη διεύθυνση του τοίχου.

Στο κέντρο βάρους του σώματος ασκείται το βάρος του .

Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες, την κάθετη στην

επιφάνεια του δαπέδου και την παράλληλη προς το δάπεδο. Οι δύο αυτές συνιστώσες είναι:

30

Η μέγιστη τριβή που μπορεί να αναπτυχθεί στην επαφή του σώματος με το δάπεδο είναι:

Επειδή το σώμα ισορροπεί, πρέπει να ισχύουν οι εξισώσεις ισορροπίας. Θεωρούμε σύστημα με άξονα y κατά τη διεύθυνση του βάρους και άξονα x κάθετο σε αυτόν. Ροπές υπολογίζουμε ως προς το σημείο Α. Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι:

(1)

(2)

(3)

Παρατηρούμε ότι διαθέτουμε τρεις εξισώσεις για να υπολογίσουμε τέσσερις αγνώστους ( ). Συνεπώς χρειαζόμαστε άλλη μια σχέση.

Αρχικά δεχόμαστε ότι η παίρνει τη μέγιστη τιμή της:

(4)

Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1),(2),(3),(4) βρίσκουμε:

Όμως, η τιμή της δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από:

Συνεπώς η παραδοχή μας ότι ήταν εσφαλμένη.

Δεχόμαστε τώρα ότι η παίρνει τη μέγιστη τιμή της. Τότε θα έχουμε:

(5)

Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1),(2),(3),(5) βρίσκουμε:

(6)

Η λύση αυτή είναι αποδεκτή, διότι:

Τέλος, κάνουμε την παραδοχή ότι η παίρνει την ελάχιστη τιμή της:

31

(7)

Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1),(2),(3),(7) βρίσκουμε:

(8)

Η λύση αυτή είναι επίσης αποδεκτή, διότι

Επειδή οι συναρτήσεις των τριβών είναι γραμμικές, όλες οι τιμές της είναι αποδεκτές, επομένως, λαμβάνοντας υπόψη τα αποτελέσματα (6) και (8), έχουμε τελικά σαν αποδεκτές τιμές:

Διαπιστώνουμε ότι δεν είναι δυνατό να υπολογίσουμε ακριβείς τιμές για τις άγνωστες δυνάμεις, διότι το σύστημα εξισώσεων είναι υποορισμένο (έχουμε λιγότερες εξισώσεις από ότι αγνώστους). Απλώς μπορούμε να περιορίσουμε το πεδίο τιμών κάθε μιας δύναμης, θέτοντας περιορισμούς, που μας δίνει η θεωρία των τριβών.

2.6. Κέντρα βάρους

2.6.1. Στατική ροπή

Αν θεωρήσουμε μια στοιχειώδη επιφάνεια dF και ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο της επιφάνειας, τότε η στατική ροπή dS της επιφάνειας ως προς κάποιον άξονα του συστήματος είναι το γινόμενο του εμβαδού της επί την απόστασή της από τον άξονα.

dFx

y

Συμβολικά γράφουμε:

Στατική ροπή S μιας επιφάνειας F ως προς ένα άξονα του επιπέδου της είναι το άθροισμα των στατικών ροπών όλων των στοιχειωδών επιφανειών, από τις οποίες αποτελείται η F. Δηλαδή, για το σύστημα συντεταγμένων Oxy, ισχύει:

32

dFx

y

F

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων O’x’y’ μετατοπισμένο παράλληλα προς το Oxy, έτσι ώστε οι συντεταγμένες ενός σημείου ως προς το νέο σύστημα να είναι

dFx

y

Fy

x

y'

x'

O

O'

b

a

Οι στατικές ροπές της επιφάνειας F ως προς τους άξονες του νέου συστήματος είναι:

Το οποίο σημαίνει ότι:

Η στατική ροπή μιας επιφάνειας ως προς άξονες παράλληλους μεταξύ τους διαφέρει κατά το γινόμενο της επιφάνειας επί την απόσταση των αξόνων.

33

2.6.2. Κέντρο βάρους επιφάνειας

Κέντρο βάρους μιας επιφάνειας F λέγεται το σημείο εκείνο, όπου αν θεωρήσουμε μια στοιχειώδη επιφάνεια ίση με την F, τότε αυτή θα έχει ίση στατική ροπή με την επιφάνεια F, ως προς οποιοδήποτε άξονα. (Σε πολλές βιβλιογραφίες το κέντρο βάρους επιφάνειας αναφέρεται σαν κεντροειδές).

Κεντροβαρικοί άξονες λέγονται οι άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους της επιφάνειας. Η στατική ροπή μιας επιφάνειας ως προς τους κεντροβαρικούς της άξονες είναι μηδέν.

Για να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους Κ μιας επιφάνειας F, ως προς σύστημα ενεργούμε ως εξής:

Θεωρούμε το , ένα κεντροβαρικό σύστημα με άξονες παράλληλους στους γενικούς άξονες.

Οι στατικές ροπές της επιφάνειας ως προς τους κεντροβαρικούς άξονες είναι μηδέν, συνεπώς:

(1)

Οι στατικές ροπές της επιφάνειας ως προς τους άξονες του συστήματος (όπως διαπιστώσαμε στην προηγούμενη παράγραφο) είναι:

(2)

Λαμβάνοντας υπόψη τις (1) και επιλύοντας τις εξισώσεις (2) ως προς έχουμε:

2.6.3. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1: " Κέντρο βάρους ορθογωνίου παραλληλογράμμου ".

Ας υποθέσουμε ότι δεν γνωρίζουμε το ΚΒ. του ορθογωνίου παραλ-ληλογράμμου, το οποίο έχει βάση b και ύψος h.

34

Έστω λοιπόν Κ το ζητούμενο σημείο με συντεταγμένες (xk,yk), τις οποίες και Θα προσδιορίσουμε.

Για το σκοπό αυτό θεωρούμε βοηθητικό σύστημα αξόνων Oxy, τέτοιο ώστε το σχήμα μας να βρίσκεται στο (Ι) τεταρτημόριο των αξόνων. Στη συνέχεια, σχεδιάζουμε στοιχειώδη επιφάνεια dF με τέτοιο τρόπο, ώστε να είναι κάθετη στον άξονα (έστω χ) που Θέλουμε να υπολογίσουμε τη συνιστώσα του (χk).

Η στοιχειώδης αυτή επιφάνεια έχει απόσταση έστω χ από την αρχή των αξόνων, έχει ύψος h, πλάτος dχ και εμβαδόν dF=hdx. Το χ προφανώς μεταβάλλεται από χ = 0 στο σημείο Ο, μέχρι χ = b στο σημείο Α.

Έτσι, σύμφωνα με τη σχέση (7.3 ), έχουμε

Εργαζόμενοι εντελώς ανάλογα, αλλά με στοιχειώδη επιφάνεια dF' = bdy και όρια μεταβολής του y, από y = 0 στο σημείο Ο μέχρι y = h στο σημείο Γ, Βρίσκουμε ότι η άλλη συντεταγμένη του Κ.Β. είναι, yk=hl2. Δηλαδή, Κ(xk,yk)=Κ(bl2,hl2).

ΑΣΚΗΣΗ 2: " Κέντρο βάρους τριγώνου ".

Εντελώς ανάλογα με την προηγούμενη άσκηση, θα προσδιορίσουμε το άγνωστο Κ.Β. του τριγώνού ΑΒΓ που έχει βάση b και ύψος h.

Θεωρούμε βοηθητικό σύστημα αξόνων Γχy, έτσι ώστε το τρίγωνο να βρίσκεται στο (Ι) τεταρτημόριο των αξόνων. Έστω λοιπόν Κ το ζητούμενο σημείο με άγνωστες συντεταγμένες Κ(xk,yx).

35

Θεωρούμε στοιχειώδη επιφάνεια dF κάθετη στον άξονα y, η οποία έχει μήκος z, ύψος dy και εμβαδόν dF= zdy.

Ας υποθέσούμε ότι θέλουμε να υπολογίσουμε πρώτα τη συντεταγμένη yk. Αυτή προκύπτει από τη σχέση ορισμού της

Παρατηρούμε όμως από το σχήμα, ότι το τ δεν είναι σταθερό αλλά μεταβάλλεται συναρτήσει του y με κάποια σχέση. Η σχέση αυτή προσδιορίζεται από τα όμοια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΤ', από όπου έχουμε

Οπότε, αντικαθιστώντας την τιμή του z, βρίσκουμε:

Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουμε τη συντεταγμένη χk και βρίσκουμε, χk=2b/3. Δηλαδή οι συντεταγμένες του κέντρού βάρους Κ είναι, Κ(xk,yk) = Κ(2b/3,h/3).

ΑΣΚΗΣΗ 3: Να αποδειχθεί ότι η στατική ροπή κύκλου ως προς οποιαδήποτε διάμετρό του είναι μηδέν. Βάσει αυτού να βρεθεί το κέντρο βάρους κύκλου.

36

y

xOφφ

dr

cR r

d

dF

y

Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα R. Θεωρούμε σύστημα με αρχή το κέντρο του κύκλου. Επειδή είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες, θεωρούμε σύστημα πολικών συντεταγμένων (r,φ) με αρχή το σημείο Ο και μηδενική διεύθυνση την .

Παίρνουμε μία στοιχειώδη επιφάνεια dF του κύκλου, η οποία βρίσκεται σε απόσταση r από το Ο και σε γωνία φ από τον άξονα . Η dF μπορεί να εκφρασθεί σαν συνάρτηση μιας στοιχειώδους μεταβολής dr κατά μήκος της ακτίνας r και μιας στοιχειώδους μεταβολής dφ της γωνίας φ.

Το εμβαδό της επιφάνειας dF είναι:

(1)

Το στοιχειώδες πλάτος c της επιφάνειας είναι:

(2)

Επειδή η γωνία dφ είναι πολύ μικρή, ισχύει , οπότε η

σχέση (2) γίνεται

(3)

Από τις (1) και (3) έχουμε τελικά:

(4)

Οι αποστάσεις της στοιχειώδους επιφάνειας από τους άξονες είναι:

(5)

37

Συνεπώς, οι στατικές ροπές του κύκλου ως προς τους άξονες και είναι:

Σύμφωνα με τις παραπάνω σχέσεις, αποδείχθηκε ότι η στατική ροπή του κύκλου ως προς τυχαίους άξονες, που διέρχονται από το κέντρο του, είναι μηδέν. Άρα κάθε διάμετρος του κύκλου είναι κεντροβαρικός άξονας, επομένως το κέντρο του είναι το κέντρο βάρους του, σαν τομή όλων των κεντροβαρικών αξόνων.

ΑΣΚΗΣΗ 4: Να προσδιοριστεί το κέντρο βάρούς Κ της διατομής ενός γωνιακού ελάσματος, που φαίνεται στο σχήμα.

Για την επίλυση τέτοιων σύνθετων διατομών, ακολουθούμε τα εξής βήματα:

1. Ορίζουμε βοηθητικό σύστημα αξόνων Oxy, έτσι ώστε η διατομή να βρίσκεται (κατά προτίμηση) στο (Ι) τεταρτημόριο των αξόνων.

2. Χωρίζουμε τη γωνιακή διατομή σε άθροισμα δύο ορθογωνίων F1 και F2 των οποίων υπολογίζουμε το εμβαδόν τους, καθώς και τις συντεταγμένες (χi , yi) του Κ.Β. του καθενός από αυτά ως προς το βοηθητικό σύστημα αξόνων Oxy, οπότε βρίσκουμε

38

3. Έστω xk,yk οι ζητούμενες συντεταγμένες του Κ.Β της διατομής. Εφαρμόζουμε το θεώρημα των στατικών ροπών ως προς τον άξονα y, οπότε έχουμε

4. Όμοια, εφαρμόζουμε το Θεώρημα των στατικών ροπών και ως προς τον άξονα χ, ή και διαφορετικά χρησιμοποιούμε τη σχέση ορισμού, οπότε έχουμε

2.6.4. Ασκήσεις για λύση

ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογισθεί η θέση του κέντρου βάρους τριγώνου και ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

ΑΣΚΗΣΗ 2: Να υπολογισθεί η στατική ροπή κύκλου ως προς άξονα, ο οποίος εφάπτεται του κύκλου.

2.7. Ροπή αδρανείας

2.7.1. Ροπή αδρανείας.

Ροπή αδρανείας μιας στοιχειώδους επιφάνειας ως προς ένα άξονα του επιπέδου της λέγεται το γινόμενο του εμβαδού της επί το τετράγωνο της απόστασής της από τον άξονα.

Σύμφωνα με τον ορισμό αυτόν, η ροπή αδρανείας της ως προς τους άξονες ενός συστήματος ορθογώνιων συντεταγμένων είναι:

Ροπή αδρανείας μιας επιφάνειας ως προς άξονα του επιπέδου της λέγεται το άθροισμα των ροπών αδρανείας όλων των στοιχειωδών επιφανειών, που αποτελούν την . Σε σχέση με το σύστημα αξόνων οι ροπές αδρανείας της δίνονται από τις σχέσεις:

Η ροπή αδρανείας έχει μονάδες μήκους στην 4η (L4), είναι επομένως πάντα θετική ποσότητα και χαρακτηρίζει το είδος της επιφάνειας.

39

Ακτίνα αδρανείας ως προς άξονα είναι η απόσταση του σημείου εκείνου, όπου θα έπρεπε να συγκεντρωθεί η επιφάνεια , έτσι ώστε να δίνει την ίδια ροπή αδρανείας ως προς τον δεδομένο άξονα. Η ακτίνα αδρανείας υπολογίζεται σα ρίζα της εξίσωσης:

Συνεπώς οι ακτίνες αδρανείας ως προς τους άξονες είναι:

2.7.2. Πολική ροπή αδρανείας .

Πολική ροπή αδρανείας μιας επιφάνειας ως προς σημείο λέγεται το ολοκλήρωμα του τετραγώνου των αποστάσεων των στοιχειωδών επιφανειών , που αποτελούν την σε ολόκληρη την επιφάνεια. Συμβολικά:

2.7.3. Θεώρημα Steiner .

Έστω επιφάνεια ορισμένη σε σύστημα συντεταγμένων και έστω το κέντρο βάρους της. Θεωρούμε τους κεντροβαρικούς άξονες

, που είναι παράλληλοι με τους κύριους άξονες του συστήματος.

Αν υποθέσουμε ότι είναι γνωστές οι ροπές αδρανείας της

επιφάνειας ως προς τους κεντροβαρικούς άξονες , τότε η ροπή αδρανείας της επιφάνειας ως προς τον άξονα δίνεται από τη σχέση:

40

(1)

Το πρώτο ολοκλήρωμα είναι η ροπή αδρανείας ως προς

τον κεντροβαρικό άξονα . Το δεύτερο ολοκλήρωμα είναι η

στατική ροπή της επιφάνειας ως προς τον κεντροβαρικό άξονα , η

οποία είναι μηδέν. Το τρίτο ολοκλήρωμα είναι το εμβαδό της

επιφάνειας . Επομένως, η σχέση (1) γίνεται τελικά:

η οποία είναι γνωστή σαν θεώρημα του Steiner.

2.7.4. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1: Να υπολογισθεί η ροπή αδρανείας τριγώνου ως προς άξονα, που περνά από τη βάση του. Στη συνέχεια να υπολογισθεί η ροπή αδρανείας τριγώνου ως προς κεντροβαρικό άξονα παράλληλο στη βάση του.

α) Θεωρούμε το τρίγωνο του σχήματος και το σύστημα αξόνων , που περνά από τη βάση του. Για τον υπολογισμό της ροπής αδρανείας παίρνουμε μια στοιχειώδη λωρίδα πλάτους και ύψους .

Από τον ορισμό της ροπής αδρανείας, έχουμε:

(1)

Το πλάτος της στοιχειώδους λωρίδας είναι:

(2)

Αντικαθιστώντας τη (2) στην (1) παίρνουμε:

41

β) Με εφαρμογή του θεωρήματος του Steiner για τον κεντροβαρικό άξονα η ροπή αδρανείας είναι:

42

3.ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝΑντοχή των Υλικών λέγεται εκείνο το κεφάλαιο της Μηχανικής,

που ασχολείται με την επίπτωση που έχουν τα φορτία στα υλικά σώματα. Η Αντοχή των Υλικών θεωρεί τα σώματα σαν παραμορφώσιμα, σε αντίθεση με τη Στατική.

Είναι γνωστό ότι, δύο δομικά στοιχεία από διαφορετικά υλικά π.χ από χάλυβα το ένα και από ξύλο το άλλο, με ίδια γεωμετρική κατασκευή, όταν τους επιβληθούν ίσες εξωτερικές δυνάμεις, αυτά παρουσιάζουν γενικά διαφορετική συμπεριφορά. Το ένα υλικό για παράδειγμα μπορεί να αντέξει, ενώ το άλλο να σπάσει, ή το ένα στοιχείο να παραμορφωθεί πολύ περισσότερο από το άλλο.

Γίνεται έτσι αντιληπτό ότι, τα διάφορα στερεά σώματα που χρησι-μοποιούμε στις κατασκευές (μέταλλα, ξύλα κ.λ.π.), είναι πρακτικά χρήσιμα και εξυπηρετούν τον προορισμό τους, όταν αφ' ενός δεν θραύονται με την επενέργεια των εξωτερικών φορτίων αλλά ανθίστανται τόσο, ώστε αφετέρου, οι αναπόφεύκτες παραμορφώσεις τους να μην υπερβαίνουν κάποια όρια, τα οποία προκύπτουν είτε από κατασκευαστικούς λόγους είτε από λόγους αισθητικής.

Για τους παραπάνω λόγους είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε μέχρι ποιου ορίου μας επιτρέπεται να φορτίζουμε τα διάφορα υλικά, έναντι των δύο κινδύνων που προαναφέραμε, δηλαδή έναντι του κινδύνου της θραύσης και έναντι της υπερβολικής παραμόρφωσης.

Έτσι, η Αντοχή των Υλικών από πρακτική άποψη, έχει σαν αντικείμενο:

i. Να προσδιορίσει τα επικίνδυνα όρια φόρτισης των διαφόρων υλικών οε όλα τα είδη των καταπονήσεων και στη συνέχεια, να καθορίσει τα επιτρεπτά όρια φόρτισης για κάθε ένα είδος φόρτισης ξεχωριστά.

ίί. Να καθορίσει το πλέον κατάλληλο σχήμα των φορέων και στη συνέχεια να υπολογίσει τις διαστάσεις τους, έτσι ώστε αυτοί να είναι σε θέση να παραλάβουν με ασφάλεια, (έναντι του κινδύνου Θραύσης αλλά και έναντι της υπερβολικής παραμόρφωσης) και συγχρόνως κατά τον οικονομικότερο δυνατό τρόπο τη φόρτιση, η οποία είναι δυνατόν να προέρχεται:

α') Από εξωτερικές δυνάμεις, τις οποίες προορίζονται να υποβαστάξουν και οι οποίες οφείλονται σε μόνιμα ή σε κινητά φορτία.

β') Από καταπονήσεις που προέρχονται από Θερμοκρασιακές μεταβολές, ή από υποχωρήσεις στηρίξεων, ή από αυτεντατικές καταστάσεις λόγω κατασκευαστικής ατέλειας, κ.λ.π.

γ' ) Από το ίδιο το βάρος του φορέα ή της κατασκευής.

iii. Να υπολογίσει το μέγιστο δυνατό φορτίο το οποίο μπορεί με ασφάλεια να αναλάβει ένας φορέας ή μία κατασκευή και να ελέγξει, κατά πόσο αυτός είναι ασφαλής έναντι δεδομένης φόρτισης (στατικός έλεγχος), ή τέλος να ελέγξει κατά πόσο οι προκληθείσες παραμορφώσεις βρίσκονται εντός των παραδεκτών ορίων.

Ο πρώτος από τους στόχους της Αντοχής των Υλικών, επιτυγχάνεται στα ειδικά Εργαστήρια Αντοχής των Υλικών. Οι δύο άλλοι επιτυγχάνονται με υπολογισμούς, οι οποίοι εξαρτώνται από το σχήμα των

43

φορέων, από τον τρόπο που άρούν οι δυνάμεις επάνω τους από το υλικό τους, κ.ά.

Ανακεφαλαιώνοντας μπορούμε να πούμε ότι:

" Αντοχή Υλικών είναι η Επιστήμη που υποδεικνύει αναλυτικές μεθόδους για τον υπολογισμό της αντοχής, της ακαμψίας, και της ευστάθειας (είναι η ιδιότητα των σωμάτων να μη λυγίζουν) των μελών μίας κατασκευής με γνώμονα το κόστος να είναι το ελάχιστο δυνατό ".

Τα κατασκευαστικά μαθήματα ειδικότητας (π.χ. τα Στοιχεία Μηχανών για τους Μηχανολόγους, το Οπλισμένο Σκυρόδεμα για τους Πολιτικούς Μηχανικούς, κ:λ.π.), εφαρμόζουν τις μεθόδους που υποδεικνύει η Αντοχή των Υλικών για τον υπολογισμό των ειδικών κατασκευών, λαμβάνοντας επιπλέον υπόψη τους ισχύοντας κανονισμούς φόρτισης, τις κατασκευαστικές και λοιπές λεπτομέρειες του έργου, κ.λ.π.

3.1. Θεωρία Ελαστικότητας Η θεωρία της Ελαστικότητας εξετάζει τα στερεά σώματα σαν

απόλυτα ελαστικά. Δέχεται ότι, υπό την επίδραση συστήματος δυνάμεων, τα υλικά σώματα παραμορφώνονται ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους, όπως η δομή των κρυστάλλων τους, η συνάφεια των μορίων τους, κλπ.

3.1.1. Παραμορφώσεις

Η Αντοχή των Υλικών παραδέχεται ότι με την επιβολή εξωτερικής φόρτισης σε ένα σώμα, αυτό παραμορφώνεται, δηλαδή μεταβάλλονται οι φυσικές του διαστάσεις. Τα είδη των παραμορφώσεων είναι:

Επιμήκυνση λέγεται η αύξηση μιας διάστασης του σώματος.

Επιβράχυνση λέγεται η μείωση μιας διάστασης του σώματος.

Στρέβλωση είναι η αλλαγή της ακτίνας καμπυλότητας μιας διάστασης του σώματος.

Η μέτρηση της παραμόρφωσης ενός σώματος σε κάθε διεύθυνση μετράται σαν το ποσοστό της επιμήκυνσης (ή βράχυνσης) του φορέα κατά τη διεύθυνση αυτή. Αν υποθέσουμε ότι ένα σώμα είχε αρχικό μήκος s και μετά την παραμόρφωσή του έχει αυξηθεί το μήκος του κατά Δs, τότε η παραμόρφωση είναι:

Η παραμόρφωση είναι καθαρός αριθμός, αφού είναι πηλίκο δύο μεγεθών με μονάδες μήκους.

3.1.2. Είδη καταπονήσεων

Καταπόνηση είναι η αιτία που προκαλεί παραμόρφωση σε ένα σώμα. Αιτία των καταπονήσεων είναι η επιβολή εξωτερικών φορτίων.

44

Τα φυσικά σώματα αποτελούνται από μικροσκοπικά σωματίδια που ονομάζονται άτομα. Για την περιγραφή των καταπονήσεων θα χρησιμοποιήσουμε αυτή τη μικροσκοπική θεώρηση των υλικών σωμάτων.

Η δράση εξωτερικών φορτίσεων (δυνάμεων και ροπών) σε ένα σώμα προκαλεί καταπονήσεις, οι οποίες διακρίνονται στα ακόλουθα κύρια είδη:

Εφελκυσμός είναι η καταπόνηση η οποία προκαλεί επιμήκυνση του φορέα, δηλαδή τείνει να απομακρύνει τα άτομα κατά μια ορισμένη διεύθυνση. Προκαλείται από δύο αντίθετες δυνάμεις που δρουν στο όριο του φορέα με φορά προς τα έξω.

Θλίψη είναι η καταπόνηση η οποία προκαλεί επιβράχυνση του φορέα, δηλαδή τείνει να συμπιέσει τα άτομα κατά μια ορισμένη διεύθυνση. Προκαλείται από δύο αντίθετες δυνάμεις που δρουν στο όριο του φορέα με φορά προς τα μέσα.

-P P

Εφελκυσμός Θλίψη

-P P

-M M

Κάμψη

-P

P

Διάτμηση

Χωρίς καταπόνηση

Διάτμηση είναι η καταπόνηση η οποία τείνει να μετατοπίσει μια στιβάδα ατόμων σε σχέση με τη γειτονική της κατά μια ορισμένη διεύθυνση. Λόγω του τρόπου με τον οποίο ενεργεί ονομάζεται και ψαλιδισμός. Προκαλείται από ένα ζεύγος δυνάμεων σε πολύ μικρή απόσταση μεταξύ τους.

Κάμψη είναι η καταπόνηση η οποία τείνει να μετατρέψει την ορθογώνια θέση των στιβάδων σε πολική. Οι στιβάδες, δηλαδή, κατατάσσονται κατά μήκος των ακτίνων ενός κύκλου και το σώμα στρεβλώνεται. Η κάμψη προκαλείται από την εφαρμογή ροπής (ή ζεύγους δυνάμεων) στο φορέα.

45

Στρέψη. Ένα σώμα καταπονείται σε στρέψη, όταν οι δυνάμεις απο-τελούν ζεύγος με επίπεδο κάθετο στον άξονά του, το οποίο τείνουν να περιστρέψουν.

Λυγισμός. Ο λυγισμός από άποψη δράσης των δυνάμεων μοιάζει με τη θλίψη, ενώ από άποψη παραμορφώσεων μοιάζει με την κάμψη. Τελικά όμως διαφέρει αρκετά και από τις δύο προηγούμενες, αποτελώντας ιδιαίτερο τρόπο καταπόνησης, η οποία μάλιστα, είναι πολύ επικίνδυνη στις κατασκευές.

Σύνθετες καταπονήσεις. Ένα σώμα, είναι δυνατό να φορτίζεται με συνδυασμό δύο, ή και περισσοτέρων απλών καταπονήσεων, οπότε η προκύπτουσα καταπόνηση ονομάζεται σύνθετα.

Συχνά συναντώνται εφελκυσμός και κάμψη συγχρόνως, στρέψη και κάμψη, εφελκυσμός και διάτρηση, κ.λ.π., ή και συνδυασμός περισσοτέρων από δύο είδη καταπονήσεων. Ένα σώμα, εκτός από εξωτερικές δυνάμεις, μπορεί να καταπονείται και από άλλες αιτίες, όπως είναι η Θερμοκρασιακή μεταβολή, οι γεωμετρικοί καταναγκασμοί που προέρχονται από κατασκευαστική ατέλεια, κ.λ.π.

Έτσι, αν εμποδίζεται η ελεύθερη διαστολή της ράβδου, λόγω αύξησης (Δt > 0) της θερμοκρασίας, αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, να ανα-πτύσσονται θλιπτικές δυνάμεις στις δύο στηρίξεις της, όπως θα δούμε αναλυτικά σε επόμενο κεφάλαιο.

46

3.1.3. Είδη φορτίων .

Τα φορτία (δυνάμεις και ροπές), που καταπονούν ένα σώμα, κατατάσσονται στις παρακάτω ταξινομήσεις, ανάλογα με α) τη χρονική συνάρτηση που τα περιγράφει β) τον τρόπο δράσης τους και γ) την έκταση της περιοχής δράσης τους:

Χρονική συνάρτηση

Σύμφωνα με αυτή την ταξινόμηση τα φορτία κατατάσσονται ως εξής:

Μόνιμα φορτία είναι εκείνα που καταπονούν ένα σώμα μόνιμα ή για μεγάλο χρονικό διάστημα. Π.χ. το βάρος ενός τοίχου, το χιόνι στη στέγη ενός σπιτιού κ.λπ.

Κρουστικά (ή στιγμιαία) φορτία είναι αυτά που επιβάλλονται για ελάχιστο χρονικό διάστημα. Π.χ. η δύναμη στους τροχούς ενός αεροπλάνου κατά την προσγείωση.

Εναλλασσόμενα (ή δυναμικά) είναι τα φορτία, που μεταβάλλονται χρονικά σύμφωνα με μια περιοδική συνάρτηση. Π.χ. σεισμικά φορτία, θαλάσσια κύματα.

Τρόπος δράσης

Υπ’ αυτή τη θεώρηση παρατηρούμε δύο είδη φορτίων:

Επιφανειακά φορτία είναι εκείνα που δρουν στο όριο (επιφάνεια) του σώματος, λέγονται δε και φορτίσεις επαφής.

Καθολικά φορτία, είναι αυτά που ασκούνται σε κάθε μόριο του σώματος, αλλιώς δε λέγονται φορτία πεδίου.

Περιοχή δράσης

Σύμφωνα με αυτή την κατάταξη υπάρχουν τα εξής είδη φορτίων:

Συγκεντρωμένα φορτία είναι αυτά που δρουν σε ένα υλικό σημείο του συνόρου του σώματος. Μια απειροελάχιστη, αμελητέα επιφάνεια θεωρείται υλικό σημείο, γι' αυτό τα φορτία αυτά ονομάζονται και σημειακά φορτία. Τέτοιου είδους δυνάμεις προκύπτουν για παράδειγμα, από την πίεση του τροχού του τραίνου επάνω σε μια γραμμή (δοκό).

Γραμμικά κατανεμημένα φορτία είναι αυτά που ενεργούν πάνω σε μια γραμμή, στην επιφάνεια του σώματος. (Η γραμμή εδώ έχει την έννοια ενός συνόλου υλικών σημείων). Η κατανομή των φορτίων αυτών, μπορεί να είναι ομοιόμορφη, τριγωνική, τραπεζοειδής (που προκύπτει από άθροισμα της ομοιόμορφης και της τριγωνικής), παραβολική, κλπ. Ένα παράδειγμα της περίπτωσης αυτής, αποτελεί το ίδιο το βάρος μίας ευθύγραμμης δοκού με σταθερή διατομή, γιατί αποτελεί ένα ομοιόμορφο κατανεμημένο φορτίο σε όλο της το μήκος. Στην τελευταία αυτή περίπτωση, εκφράζεται με μία σταθερή ποσότητα. Τα ομοιόμορφα κατανεμημένα φορτία, για υπολογιστικούς και μόνο λόγους, μπορούν να θεωρηθούν σαν συγκεντρωμένα που ασκούνται στο μέσο του μήκους που

47

επενεργούν. Αν η κατανομή είναι τριγωνική, άρούν στο 1 /3 (ή στα 2/3 ανάλογα) του μήκους που επενεργούν.

Επιφανειακά κατανεμημένα φορτία όπως είναι το ίδιο βάρος των επιφανειών, το βάρος του χιονιού σε μία επιφάνεια κ.λ.π., καθώς επίσης και φορτία κατανεμημένα σε όλο τον όγκο (χώρο) του σώματος που χαρακτηρίζονται σαν χωρικά κατανεμημένα φορτία. Τέτοιο είδος είναι το ειδικό Βάρος ενός ομογενούς σώματος.

Εκτός από τα παραπάνω είδη φορτίων, ένα σώμα μπορεί επίσης να φορτίζεται και από εξωτερική ροπή, που συνήθως μετριέται σε Νm, tm. Στην πράξη πολλές φορές συνηθίζονται και τα πολλαπλάσια των μονάδων αυτών π.χ. ΚΝm, ΜΝm κ.λ.π.

Υπενθυμίζουμε ακόμη ότι, εκτός από τις εξωτερικές δυνάμεις και ροπές, ασκούνται επιπλέον στα σώματα και οι αντιδράσεις, που εξαρτώνται από τους διάφορους τρόπους στήριξης του σώματος.

Έτσι, όταν σε μία δοκό για παράδειγμα επενεργούν εξωτερικές δυνάμεις, αυτές μεταφέρονται στις στηρίξεις της. Αλλά τότε, σύμφωνα με την αρχή της δράσης-αντίδρασης και οι στηρίξεις θα ασκούν στην δοκό δυνάμεις ίσες και αντίθετες, που ονομάζονται αντιδράσεις. Σημειώνουμε ακόμη ότι με τη λέξη αντιδράσεις, εννοούμε τόσο δυνάμεις όσο και ροπές.

Οι εξωτερικές δυνάμεις διακρίνονται πολλές φορές και ανάλογα με το είδος της καταπόνησης που επιφέρουν στο σώμα. Έτσι, μια αξονική δύναμη χαρακτηρίζεται και σαν εφελκυστική ή θλιπτική αν καταπονεί το σώμα σε εφελκυσμό ή θλίψη αντίστοιχα, ενώ μία δύναμη που καταπονεί ένα σώμα σε διάτμηση χαρακτηρίζεται σαν διατμητική δύναμη. Επίσης, αν οι δυνάμεις τείνουν να περιστρέψουν το σώμα χαρακτηρίζονται σαν στρεπτικές δυνάμεις, ενώ αν καταπονούν ένα σώμα σε κάμψη αναφέ-ρονται και σαν καμπτικές δυνάμεις.

3.1.4. Είδη φορέων .

Φορέας λέγεται κάθε σώμα το οποίο φέρει εξωτερικά φορτία. Άξονας ενός φορέα λέγεται η γραμμή που συνδέει τα κέντρα βάρους των κάθετων τομών του κατά τη διεύθυνση της μεγαλύτερης διάστασής του. Στην Αντοχή των Υλικών διακρίνουμε τα ακόλουθα είδη φορέων:

48

Ράβδος είναι ένας φορέας, του οποίου η μια διάσταση είναι πολύ μεγαλύτερη από τις άλλες και καταπονείται μόνο από αξονικά φορτία, δηλαδή φορτία κατά τη διεύθυνση του άξονά της. Οι καταπονήσεις που μπορούν να υφίστανται οι ράβδοι είναι μόνο εφελκυσμός και θλίψη.

Δοκός είναι ένας φορέας, του οποίου η μια διάσταση είναι πολύ μεγαλύτερη από τις άλλες και καταπονείται από κάθε είδος φορτίου. Οι δοκοί μπορούν να υφίστανται όλα τα είδη καταπόνησης.

Τόξο είναι ένα είδος δοκού, αλλά με καμπύλο άξονα.

Δίσκος είναι ο φορέας εκείνος, του οποίου η μια διάσταση θεωρείται αμελητέα σε σχέση με τις άλλες δύο. Σύμφωνα με την περιγραφή του, ο δίσκος έχει δύο άξονες. Οι καταπονήσεις που μπορούν να υφίστανται οι δίσκοι είναι μόνο εφελκυσμός και θλίψη κατά μήκος των μεγάλων διαστάσεών τους.

Πλάκα είναι ένας δίσκος, στον οποίο, όμως, εφαρμόζεται κάθε είδους καταπόνηση. Η πλάκα μπορεί να δεχθεί κάθε είδους φορτίσεις.

Κέλυφος είναι ένα είδος δίσκου με καμπύλη μέση επιφάνεια.

3.1.5. Παραδοχές της Αντοχής Υλικών

Όπως είναι γνωστό, μακροσκοπικές ονομάζονται οι ιδιότητες ενός υλικού σε επίπεδο δομικών λίθων (μόρια, άτομα κ.λ.π.).

Οι μακροσκοπικές ιδιότητες αποτελούν τις μέσες ιδιότητες που παρουσιάζει ένα υλικό στις συνήθεις εφαρμογές και οι οποίες αφορούν το σύνολο του σώματος και όχι μόνον ένα τμήμα του, πολύ δε περισσότερο τα μόρια ή τα άτομά του το καθένα ξεχωριστά. Στην επιστήμη του Μηχανικού όμως, ενδιαφέρει προφανώς η γνώση των ιδιοτήτων των διαφόρων σωμάτων σε μακροσκοπικό μόνον επίπεδο.

Ισότροπο λέγεται το υλικό εκείνο που παρουσιάζει τις ίδιες ιδιότητες προς όλες τις κατευθύνσεις μέσα στη μάζα του. Αν οι ιδιότητες του υλικού εξαρτώνται από τη διεύθυνση, τότε ονομάζεται ανισότροπο.

Ανισότροπο υλικό είναι το ξύλο, το οποίο παρουσιάζει άλλες μηχανικές ιδιότητες σε διεύθυνση παράλληλα στις ίνες του και άλλες εγκάρσια. Ομογενές ονομάζεται το υλικό που παρουσιάζει τις ίδιες ιδιότητες σε όλα τα σημεία της μάζας του.

Έτσι, η ομογένεια εξασφαλίζει τις ίδιες ιδιότητες του υλικού από σημείο σε σημείο του, ενώ η ισοτροπία εξασφαλίζει τις ίδιες ιδιότητες κατά τις διάφορες διευθύνσεις του.

Συνεχές ονομάζεται ένα υλικό που οι δομικοί του λίθοι είναι στενά συνδεδεμένοι μεταξύ τους, έτσι ώστε το σώμα να μην παρουσιάζει κενά ή άλλες ασυνέχειες μέσα στη μάζα του, διαφορετικά ονομάζεται ασυνεχές.

49

Η Αντοχή των Υλικών υποθέτει, ότι όλα τα σώματα είναι ισότροπα, ομογενή και συνεχή.

Υποθέτει επίσης, ότι οι επιβαλλόμενες εξωτερικές δυνάμεις αυξάνουν πολύ αργά έτσι ώστε, να μπορούν να θεωρηθούν στατικές ή ημιστατικές, σε διάκριση με τις δυναμικές και τις πληκτικές δυνάμεις οι οποίες οδηγούν σε ταλαντώσεις και σε άλλα δυναμικά φαινόμενα.

Δέχεται ακόμη ότι στα διάφορα υλικά, οι παραμορφώσεις επέρχονται ή αναιρούνται αμέσως μετά την επιβολή ή την αφαίρεση των εξωτερικών φορτίων, διαφορετικά λέμε ότι έχουμε το φαινόμενο της υστέρησης. Δέχεται τέλος, ότι κατά την έναρξη της φόρτισης δεν προϋπάρχουν εσωτερικές δυνάμεις ή τάσεις εντός του σώματος. Η παραδοχή αυτή δεν ισχύει πάντα, όπως χαρακτηριστικά συμβαίνει στις περιπτώσεις των ξύλινων κατασκευών, όπου συνήθως προϋπάρχουν αρχικές τάσεις, που οφείλονται στη μη ομοιόμορφη ξήρανση του ξύλου.

Εκτός των παραπάνω, μία γενική παραδοχή της Αντοχής των Υλικών είνάι, ότι οι προκαλούμενες παραμορφώσεις του σώματος, είναι πολύ μικρές σε σύγκριση με τις διαστάσεις του. Με βάση την παραδοχή αυτή ισχύουν οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας που διατυπώνονται για το αρχικά μη παραμορφωμένο σώμα (Θεωρία Ιης τάξης). Διαφορετικά τα προβλήματα θα ήταν πολύ δύσκολα, γιατί οι ακριβείς διαστάσεις του παραμορφωμένου σώματος, για το οποίο διατυπώθηκαν οι εξισώσεις αυτές, είναι εξ' αρχής άγνωστες. Απεναντίας σε προβλήματα λυγισμού ή ευστάθειας γενικότερα μίας κατασκευής, για να καταστεί δυνατή η μελέτη τους, πρέπει οι εξισώσεις ισορροπίας να διατυπώνονται στο παραμορφωμένο σώμα, έστω και αν η παραμόρφωση αυτή είναι πολύ μικρή (Θεωρία ΙΙης τάξης).

Μία ακόμη παραδοχή της Αντοχής των Υλικών, που είναι γνωστή και σαν Αρχή του Saint Venant, είναι η εξής:

" Τα στατικά ισοδύναμα συστήματα, επιφέρουν ίδιες τάσεις και παραμορφώσεις σε ικανοποιητική απόσταση από την περιοχή εφαρμογής τους". Έτσι αν ένα κατανεμημένο φορτίο q είναι στατικά ισοδύναμο με το συγκεντρωμένο φορτίο Ρ (Σχ.1.2), με βάση την αρχή αυτή, σε μια περιοχή π.χ. μ-ν που έχει " ικανοποιητική απόσταση " από το σημείο φόρτισης, η τάση και η παραμόρφωση είναι ίδια και στις δύο αυτές περιπτώσεις. Δηλαδή με βάση την αρχή αυτή, μπορούμε να αντικαταστήσουμε ισοδύναμα ένα κατανεμημένο φορτίο με μία συγκεντρωμένη δύναμη και αντίστροφα.

Η " ικανοποιητική " αυτή απόσταση εξαρτάται από το συγκεκριμένο πρόβλημα καθώς και από την ακρίβεια της λύσης του. Στις δοκούς για παράδειγμα, μία απόσταση της τάξης μεγέθους του ύψους της από το σημείο εφαρμογής του φορτίου, θεωρείται ικανοποιητική.

50

Στην πραγματικότητα, στη φύση δεν συναντάται υλικό που να μπορεί να θεωρηθεί ομογενές, ισότροπο και συνεχές, ούτε υπάρχούν επίσης κατασκευαστικά υλικά που να παρουσιάζουν όλες τις παραπάνω ιδιότητες. Χρησιμοποιούνται όμως οι παραπάνω παραδοχές σαν βάση για τη μελέτη των διαφόρων υλικών, διότι απλοποιούν και διευκολύνουν σημαντικά τους περαιτέρω υπολογισμούς.

3.1.6. Μέθοδος τομών.

Όπως ήδη αναφέραμε, ένας από τους βασικούς στόχους του μαθήματος είναι η μελέτη της αντοχής των διαφόρων κατασκευών. Η διαδικασία με την οποία προβαίνουμε στον έλεγχο της αντοχής αυτής, είναι η εξής:

Απομονώνουμε ένα-ένα τα στοιχεία της κατασκευής αντικαθιστώντας τις συνδέσεις τους με τις αντίστοιχες δυνάμεις. Κατασκευάζουμε με αυτόν τον τρόπο, το διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ.) του σώματος-μέλους της κατασκευής έστω (Σ).

Για να βρίσκεται το σώμα (Σ) σε ηρεμία, πρέπει προφανώς οι εξωτερικές δυνάμεις (δράσεις αλλά και αντιδράσεις) Ρ,,Ρ2,...,Ρν, να ισορροπούν.

Το μέτρο των εξωτερικών δυνάμεων πρέπει να είναι τέτοιο, ώστε αφενός να μην επέλθει θραύση του σώματος και αφετέρου να μην υποστεί μόνιμη (πλαστική) παραμόρφωση.

Ας φανταστούμε όμως λίγο το φαινόμενο της θραύσης. Τα δύο τμήματα της κατασκευής, πριν αποχωριστούν μεταξύ τους λόγω της θραύσης, συγκρατούνταν ενωμένα από κάποιες εσωτερικές δυνάμεις τις οποίες αναπτύσσουν οι δομικοί λίθοι (άτομα, μόρια, κ.τ.λ.) του ενός τμήματος του σώματος με τους δομικούς λίθους του άλλου του τμήματος. Η Θραύση του υλικού επέρχεται, επειδή οι εσωτερικές αυτές δυνάμεις ξεπέρασαν σε μέτρο κάποιο χαρακτηριστικό όριο που μπορεί να αντέξει το συγκεκριμένο υλικό του σώματος αυτού.

Από τα παραπάνω έγινε αντιληπτό, ότι για να μπορούμε να ελέγ-χουμε την αντοχή κάθε σώματος μέλους μιας κατασκευής, πρέπει:

51

" Να μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέτρο των εσωτερικών δυνάμεων σε αυθαίρετες τομές, οι οποίες διέρχονται από τυχαία σημεία του σώματος ".

Ο προσδιορισμός του μέτρου των εσωτερικών αυτών δυνάμεων σε εντελώς τυχαίες τομές είναι απαραίτητος, αφού δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εκ των προτέρων τη διεύθυνση κατά την οποία θα συμβεί το φαινόμενο της Θραύσης, ώστε σε αυτήν μόνο τη διεύθυνση να υπο-λογίσουμε τις εσωτερικές δυνάμεις. Το τελευταίο αυτό σημαίνει, ότι θα πρέπει να θεωρήσουμε στο σώμα (Σ) αυθαίρετες νοητές τομές και να προσδιορίσουμε σε αυτές το μέτρο των εσωτερικών δυνάμεων.

Έτσι, θεωρούμε το σώμα (Σ), το οποίο ισορροπεί με την επενέργεια των εξωτερικών δυνάμεων αλλά και των αντιδράσεων Ρ1 , Ρ2 ,...,Ρν . Έστω ότι με μια νοητή τομή μ-ν που επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του επιπέδου (Π), διαχωρίζουμε το σώμα (Σ) που βρίσκεται σε κατάσταση στατικής ισορροπίας, σε δύο τμήματα στο τμήμα (Ι) και στο τμήμα (ΙΙ). Κάθε ένα από τα τμήματα αυτά, πρέπει να βρίσκεται επίσης σε κατάσταση ισορροπίας. Για να συμβεί όμως αυτό, θα πρέπει στην επιφάνεια τομής, να ασκούνται δυνάμεις (οι οποίες ονομάζονται εσωτερικές δυνάμεις) από το ένα τμήμα του σώματος στο άλλο του τμήμα, τέτοιες ώστε. να εξουδετερώσουν την επίδραση των εξωτερικών δυνάμεων στο θεωρούμενο τμήμα του σώματος. Οι εσωτερικές αυτές δυνάμεις είναι προφανώς κατανεμημένες σε όλη την επιφάνεια της τομής, και σύμφωνα με το τρίτο αξίωμα του Newton (action = reaction, δράση = αντίδραση), είναι ίσες και αντίθετες μεταξύ τους.

52

Ο ακριβής υπολογισμός της κατανομής αυτής είναι, από τα πιο δύσκολα προβλήματα, η συνισταμένη όμως της κατανομής αυτής είναι ήδη γνωστή από τη Στατική, και τελικά οι εσωτερικές δυνάμεις (ή και δυνάμεις διατομής) ανάγονται στην αξονική δύναμη Ν, την τέμνουσα δύναμη Q και τη ροπή κάμψης Μ, όπως φαίνεται στην περίπτωση μιας δοκού.

Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι, κάθε αποκοπτόμενο τμήμα του σώματος με τις εξωτερικές δυνάμεις και τις αντιδράσεις στήριξης, καθώς και με τις εσωτερικές δυνάμεις συμπεριφέρεται σαν ένα ελεύθερο σώμα που χαρακτηρίζεται από το Διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ.).

53

Έτσι, στην κατάσταση ισορροπίας ενός σώματος οι εσωτερικές και οι εξωτερικές δυνάμεις τελικά εξουδετερώνονται μεταξύ τους.

Οι εσωτερικές δυνάμεις εξαρτώνται καθοριστικά από τη διεύθυνση της τομής όπως θα δούμε αναλυτικά στα επόμενα.

3.1.7. Εσωτερικές τάσεις .

Σύμφωνα με την προηγούμενη ανάλυση, διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τις εσωτερικές φορτίσεις σε οποιοδήποτε σημείο ενός φορέα.

Αυτό, όμως, δεν είναι αρκετό για να γνωρίζουμε τις παραμορφώσεις του φορέα. Από την πείρα μας είναι γνωστό ότι αν σε δύο φορείς με διαφορετικές διαστάσεις ασκηθεί η ίδια δύναμη, τότε θα προκληθούν διαφορετικές παραμορφώσεις. Συνεπώς εκείνο που μας ενδιαφέρει για τον υπολογισμό των παραμορφώσεων είναι το μέγεθος της εσωτερικής φόρτισης ανά μονάδα επιφάνειας της διατομής στην οποία ασκείται.

Τάση (σ) λέγεται το πηλίκο του μέτρου μιας δύναμης (P) προς την επιφάνεια (F) στην οποία ασκείται. Συμβολικά:

Η τάση έχει μονάδα δύναμης ανά επιφάνεια. Συνήθης μονάδα μέτρησης της τάσης είναι το Pa(Πασκάλ) και ισχύει 1Pa=1N/m2.

Η Αντοχή των Υλικών ερευνά πειραματικά τα διάφορα υλικά και υπολογίζει την αντοχή τους σε διάφορες περιπτώσεις φόρτισης. Κατ’ αυτό τον τρόπο συντάχθηκαν πίνακες στους οποίους καταγράφονται οι κρίσιμες τάσεις για τα διάφορα υλικά.

Κρίσιμες τάσεις είναι:

Όριο διαρροής λέγεται η τάση εκείνη για την οποία παρατηρείται δυσανάλογη παραμόρφωση του υλικού με μικρή μόνο αύξηση των τάσεων.

Όριο θραύσης λέγεται η τάση εκείνη για την οποία έχουμε αστοχία του υλικού και επέρχεται σπάσιμο των δεσμών των ατόμων.

3.1.8. Διαγράμματα τάσεων – παραμορφώσεων

Όπως είναι γνωστό, η Στατική για να εξετάσει την ισορροπία των διαφόρων σωμάτων τα θεωρεί απαραμόρφωτα. Υποθέτει δηλαδή, ότι με την επιβολή των εξωτερικών δυνάμεων, αυτά δεν μεταβάλλουν ούτε το σχήμα τους ούτε τις γραμμικές τους διαστάσεις.

Στην πραγματικότητα όμως, όλα τα σώματα με την επίδραση των εξωτερικών δυνάμεων παραμορφώνονται, μεταβάλλουν δηλαδή είτε το σχήμα τους, είτε τις αρχικές τους διαστάσεις ή και τα δύο.

Η Αντοχή των Υλικών εξετάζει τα διάφορα σώματα λαμβάνοντας υπόψη αφενός μεν τα αποτελέσματα της Στατικής, αφετέρου δε τις προκαλούμενες παραμορφώσεις. Επομένως, η Αντοχή των Υλικών μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι η Στατική των Παραμορφώσιμων Σωμάτων. Επειδή

54

όμως τα εξεταζόμενα σώματα θεωρούνται συνήθως ελαστικά, μπορεί να λεχθεί και γενικότερα Μηχανική των Ελαστικών Σωμάτων.

Όπως γνωρίζουμε, τα διάφορα υλικά σώματα αποτελούνται από μικρότατα σωματίδια ύλης όπως είναι τα μόρια, τα άτομα κ.λ.π., μεταξύ των οποίων ασκούνται δυνάμεις συνοχής. Οι δυνάμεις αυτές εκδηλώνονται σαν αντίσταση του υλικού εναντίον των επιβαλλόμενων εξωτερικών δυνάμεων, οι οποίες τείνουν να του προκαλέσουν παραμόρφωση ή ακόμη και λύση της συνεχείας του, δηλαδή θραύση. Στην περίπτωση αυτή λέμε, ότι το υλικό σώμα βρίσκεται σε εντατική κατάσταση.

Γενικότερα, όταν σε ένα σώμα επιβληθούν εξωτερικά φορτία, λέμε ότι το σώμα αυτό υφίσταται καταπόνηση ή ότι καταπονείται, ή και ότι φορτίζεται.

Οι εξωτερικές δυνάμεις άρούν στα σώματα με διάφορους τρόπους και προκαλούν διάφορα είδη απλών αλλά και σύνθετων καταπονήσεων.

Η απλούστερη αλλά ίσως η βασικότερη καταπόνηση, είναι ο εφελκυσμός. Ένα σώμα καταπονείται σε εφελκυσμό, όταν επάνω του επενεργούν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις, οι οποίες τείνουν να το διασπάσουν.

Αν το σώμα έχει έναν ευθύγραμμο κεντροβαρικό άξονα συμμετρίας (όπως π.χ. οι πρισματικές1 ράβδοι) και οι δυνάμεις κείνται επάνω στον άξονα αυτόν, τότε ο εφελκυσμός ονομάζεται αξονικός ή μονοαξονικός ή και κεντρικός. Αν οι δυνάμεις όμως είναι μεν παράλληλες με τον άξονα της ράβδου αλλά δεν κείνται επάνω σε αυτόν, τότε ονομάζεται έκκεντρος εφελκυσμός .

Ένα σώμα καταπονείται σε θλίψη, όταν επάνω σε αυτό επενεργούν δύο ίσες και αντίθετες δυνάμεις οι οποίες τείνουν να το συνθλίψουν.

Ανάλογα με τον εφελκυσμό, διακρίνουμε την αξονική ή μονοαξονική ή κεντρική θλίψη και την έκκεντρη θλίψη.

Στο εξής, όταν λέμε ότι ένα σώμα καταπονείται σε εφελκυσμό θα θεωρούμε πάντα τον αξονικό εφελκυσμό και όταν λέμε σε θλίψη θα θεωρούμε την αξονική θλίψη.

Ο εφελκυσμός και η θλίψη ονομάζονται από κοινού αξονικές κατα-πονήσεις, και νοούνται συνήθως σε σώματα που έχουν μήκος αισθητά

55

μεγαλύτερο από τις άλλες τους διαστάσεις, όπως είναι για παράδειγμα οι ράβδοι.

Στην καταπόνηση του εφελκυσμού οι δυνάμεις τείνουν να αυξήσουν το μήκος του σώματος ενώ αντίθετα στη θλίψη τείνουν να το ελαττώσουν, όπως αναλυτικότερα θα δούμε σε επόμενη παράγραφο.

Προκειμένου να γίνει καλύτερα αντιληπτός ο τρόπος που οι εξωτερικές δυνάμεις καταπονούν εφελκυστικά τα διάφορα σώματα, θεωρούμε την περίπτωση, στην οποία σε μία πακτωμένη και αβαρή ράβδο ΑΒ ασκείται αξονική εφελκυστική δύναμη Ρ στο άκρο της Β.

Επειδή η ράβδος ισορροπεί, για να γίνει η συνισταμένη μηδέν, θα πρέπει και στο σημείο της Α να ασκείται δύναμη ίση και αντίθετη της Ρ, όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος της ράβδου.

Την τελευταία αυτή δύναμη Ρ, την ασκεί (στο σημείο Α της ράβδου) η πάκτωση. Λόγω δράσης-αντίδρασης όμως και η ράβδος ασκεί στην πάκτωση μία δύναμη ίση και αντίθετη με την Ρ .

Διαπιστώνουμε δηλαδή ότι, η εξωτερική αξονική δύναμη Ρ, καταπονεί σε εφελκυσμό όλες τις μεταξύ Β και Α ενδιάμεσες διατομές της ράβδου, μεταφέρεται δε μέσω αυτής και στην πάκτωση, την οποία επίσης καταπονεί με δύναμη Ρ.

Διαπιστώνουμε επίσης, ότι η πακτωμένη ράβδος είναι στατικά ισοδύναμη με την ελεύθερη ράβδο όπου και στις δύο περιπτώσεις εφελκύεται από δύναμη Ρ, που λέγεται και εφελκύουσα δύναμη.

Αν προς στιγμή υποθέσουμε, ότι στο σημείο Α της ράβδου δεν ασκούνταν η δύναμη Ρ (που προέρχεται από την πάκτωση) και υπήρχε μόνον η εξωτερική δύναμη στο άκρο της Β, τότε η ράβδος δεν θα ισορροπούσε και Θα εκτελούσε ομαλή επιταχυνόμενη κίνηση, που βέβαια είναι άτοπο.

Επειδή λοιπόν η ράβδος ισορροπεί μεν αλλά έχει υποστεί παρα-μόρφωση, όπως στην αρχή της παραγράφου αναφέραμε, η Αντοχή των Υλικών (Στατική του Παραμορφώσιμου Σώματος), στο εξής θα διατυπώνει τους νόμους μεταξύ των αιτίων (δυνάμεων) και των αποτελεσμάτων (παραμορφώσεων). Η αναφερθείσα παραμόρφωση δεν φαίνεται στο. Ας παρατηρήσουμε όμως σε αυτό, ότι το προκύπτει από το άθροισμα των δύο άλλων σχημάτων.

Σε εφελκυσμό καταπονούνται συνήθως ράβδοι, καλώδια, συρμα-τόσχοινα, χορδές, ιμάντες μηχανών, κοχλίες σύσφιξης, αλυσίδες μεταφοράς ισχύος, αναρτήρες κρεμαστών γεφυρών, ελκυστήρες σε ορισμένα δικτυώματα, κ.λ.π.

Σε θλίψη καταπονούνται συνήθως στύλοι. Θεμέλια οικοδομών, άνω πέλματα δικτυωμάτων που χρησιμοποιούνται σε γέφυρες και στέγες, ορισμένα στοιχεία μηχανών, γρύλοι, καθώς επίσης και όλα τα σώματα λόγω του ιδίου τους βάρους.

3.1.9. Είδη τάσεων – Εντατική κατάσταση

Διακρίνουμε δύο είδη τάσεων, την ορθή και τη διατμητική ή εγκάρσια. Η συνισταμένη των δύο προηγούμενων τάσεων, ονομάζεται ολική τάση. Τα είδη των τάσεων αυτών αναλύουμε αμέσως πιο κάτω.

56

ί. Ορθή τάση

Έστω π αβαρής πρισματική ράβδος ΑΒ , η οποία είναι πακτωμένη στο ένα της άκρο (Σχ.2.4.α). Στο άλλο της άκρο εφαρμόζουμε ένα αξονικό εφελκυστικό φορτίο Ρ (το οποίο δηλαδή διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατομής της).

Χρησιμοποιώντας τη " μέθοδο των τομών ", με την οποία επιτυγχάνουμε οι εσωτερικές δυνάμεις της ράβδου να φαίνονται στο σχήμα " σαν εξωτερικές ", σε τυχαίο σημείο Γ που έχει απόσταση έστω χ από το άκρο της ράβδου, θεωρούμε τομή μ-ν κάθετη στον άξονά της.

Για να ισορροπεί το δεξιά της τομής μ-ν τμήμα ΓΒ της ράβδου, πρέπει σε αυτή να αναπτυχθεί εσωτερική δύναμη έστω S, τέτοια ώστε να είναι ίση και αντίθετη με την εξωτερική δύναμη Ρ.

Στο άκρο Γ της ράβδου ΓΒ αναπτύσσονται " οι απειροστές εσωτερικές δυνάμεις " (που ονομάζονται τάσεις), οι οποίες οφείλονται στις δράσεις των σωματιδίων του αριστερά τμήματος ΑΓ, επί εκείνων που ήταν σε επαφή και παρέμειναν τελικά στο δεξιό τμήμα ΓΒ μετά την τομή.

Οι πολύ μικρές αυτές δυνάμεις, υποθέτουμε ότι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε όλη την επιφάνεια της τομής μ-ν και είναι κάθετες σε αυτήν, είναι δηλαδή συγγραμμικές με την εξωτερική δύναμη Ρ.

Από τη συνθήκη ισορροπίας του ελεύθερου σώματος ΓΒ, προκύπτει ότι η συνισταμένη της ομοιόμορφης αυτής κατανομής των στοιχειωδών

εσωτερικών δυνάμεων, πρέπει να είναι συγγραμμική, ίση και αντίθετη με το εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο Ρ.

Έτσι, αν F είναι το εμβαδόν της διατομής της ράβδου και σ η εσωτερική δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας (τάση), από τη συνθήκη ισορ-ροπίας της ράβδου κατά τον άξονά της προκύπτει: S = σF= Ρ και συνεπώς:

Το πηλίκο Ρ/F ονομάζεται ορθή ή κάθετα τάση και έχει μονάδες μέτρησης Ν/m2, kp/cm2, t/m2, κ.ά.

Η τάση έχει γενικά τα χαρακτηριστικά της δύναμης, είναι δηλαδή διάνυσμα, συνεπώς μπορεί να αναλυθεί σε συνιστώσες κ.λ.π.

57

Το κυριότερο χαρακτηριστικό ίσως γνώρισμα της ορθής τάσης είναι ότι επενεργεί κάθετα στη διατομή F και επιπλέον δεχόμεθα ότι, έχει την ίδια τιμή σε κάθε σημείο της (ομοιόμορφη κατανομή των τάσεων).

Η τάση σ επειδή προέκυψε από εφελκυστική δύναμη Ρ, θα την ονομάζουμε ορθή εφελκυστική τάση, ή απλά εφελκυστική τάση και θα τη θεωρούμε Θετική (+).

Αν η δύναμη Ρ επενεργεί θλιπτικά, η ορθή τάση που αναπτύσσεται εντός του υλικού της ράβδου ονομάζεται τότε ορθή θλιπτική τάση, ή απλά θλιπτική τάση και θα τη θεωρούμε αρνητική (-).

Για να προκληθεί από το εξωτερικά επιβαλλόμενο φορτίο Ρ ομοιόμορφη κατανομή των τάσεων σε κάθε διατομή της ράβδου (όπως πιο πάνω υποθέσαμε), πρέπει ο φορέας του να διέρχεται από το κέντρο βάρους κάθε διατομής, δηλαδή το φορτίο Ρ να είναι συγγραμμικό με τον κεντροβαρικό άξονα της ράβδου, δηλαδή κεντρικό.

Για την απόδειξη της παραπάνω πρότασης, Θεωρούμε μία τυχαία διατομή που φαίνεται στο (Σχ.2.5) και έστω dF στοιχειώδης επιφάνεια με συντεταγμένες χ και y. Υποθέτοντας ομοιόμορφη κατανομή των τάσεων, η τάση σ είναι σταθερή σε όλη τη διατομή και επομένως η στοιχειώδης δύναμη που δρα στην επιφάνεια dF, είναι σdF και είναι βέβαια κάθετη στο επίπεδο του σχήματος.

Η συνισταμένη έστω S των παράλληλων αυτών στοιχειωδών δυνάμεων, είναι επίσης κάθετη στη διατομή και είναι

Αν χ, y είναι οι συντεταγμένες του άγνωστου σημείου εφαρμογής της δύναμης S και xk,yk είναι οι συντεταγμένες του κέντρου Βάρους Κ της διατομής, με εφαρμογή του Θεωρήματος των ροπών ως προς τους δύο άξονες, θα πρέπει " η ροπή της συνισταμένης δύναμης S να ισούται με το άθροισμα των ροπών των στοιχειωδών δυνάμεων σdF, " δηλαδή

όπου το ολοκλήρωμα παριστάνει τη στατική ροπή της επιφάνειας F ως προς τον άξονα y, που ισούται όπως είναι γνωστό με Fxk.

58

Έτσι, για ομοιόμορφη κατανομή των ορθών τάσεων, η συνισταμένη S των τάσεων, άρα και το εξωτερικό φορτίο Ρ, πρέπει να διέρχεται από το κέντρο βάρους Κ της διατομής.

ii. Διατμητική τάση

Έστω τώρα γενικότερα, ότι η δύναμη Ρ δρα με κλίση ως προς την επιφάνεια F και σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα της ράβδου. Όπως είναι γνωστό, η δύναμη Ρ μπορεί να αναλυθεί σε μία συνιστώσα δύναμη Ν κάθετη στην επιφάνεια F και σε μία άλλη Q, η οποία κείται επάνω στο επίπεδο της διατομής F. Με βάση τα παραπάνω ορίζουμε τις τάσεις, ολική σολ, ορθή σ και διατμητική τ, ως εξής:

σολ = P/F , ολική τάση στην επιφάνεια F

σ = N/F , ορθή ή κάθετη τάση στην επιφάνεια F

τ = Q/F , διατμητική τάση στην επιφάνεια F

Από τη γεωμετρία, προκύπτουν οι παρακάτω εξισώσεις

Παρατηρούμε επίσης ευκολότερα με τη μέθοδο των τομών και συγκεκριμένα με την τομή μ-ν ότι, η συνιστώσα δύναμη Ν καταπονεί τη ράβδο σε εφελκυσμό και συνεπώς προκαλεί την ανάπτυξη ορθής τάσης σ εντός του υλικού της ενώ η συνιστώσα Q καταπονεί τη ράβδο σε διάτμηση και συνεπώς προκαλεί την ανάπτυξη διατμητικής τάσης τ, η οποία όμως κείται επάνω στο επίπεδο της διατομής.

Για διδακτικούς μόνο λόγους, στα επόμενα σχήματα η διατμητική τάση θα συμβολίζεται με μισό βέλος για να ξεχωρίζει από την ορθή τάση.

59

Από τις παραπάνω σχέσεις παρατηρούμε ότι η τάση σολ, άρα και οι συνιστώσες της σ και τ, μεταβάλλονται αν η επιφάνεια F αλλάξει διεύθυνση.

ϊίί. Εντατική κατάσταση σώματος

Όπως προαναφέραμε, όταν μία δύναμη Ρ ασκείται σε ένα σώμα λέμε ότι, η δύναμη Ρ καταπονεί το σώμα, ή ότι το σώμα Βρίσκεται σε εντατική κατάσταση. Γενικά εντατική κατάσταση σε κάποιο σημείο ενός σώματος, είναι η εικόνα των τάσεων στα διερχόμενα επίπεδα από το σημείο αυτό.

Έστω ένα σημείο Σ του σώματος που βρίσκεται σε εντατική κατάσταση. Θεωρούμε μία στοιχειώδη επιφάνεια dF, η οποία μπορεί να περιστραφεί γύρω από το σημείο Σ. Εντατική κατάσταση του σώματος στο σημείο Σ, είναι η εικόνα που παρουσιάζει το διάνυσμα της ολικής τάσης σολ για κάθε προσανατολισμό της μοναδιαίας επιφάνειας. Από το διάνυσμα σολ εξαρτάται η ορθή και η διατμητική τάση.

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις εντατικής κατάστασης:

α' ) αξονική ή μονοαξονική εντατική κατάσταση

β' ) επίπεδη ή διαξονική εντατική κατάσταση

γ' ) χωρική ή τριαξονική εντατική κατάσταση

Μονοαξονική εντατική κατάσταση (ή απλά αξονική), έχουμε όταν για οποιοδήποτε προσανατολισμό της μοναδιαίας επιφάνειας γύρω από το σημείο Σ, το διάνυσμα σολ βρίσκεται πάντα στην ίδια ευθεία π.χ. μο-νοαξονικός εφελκυσμός ράβδου.

Διαξονική ή επίπεδη εντατική κατάσταση, έχούμε όταν για οποιο-δήποτε προσανατολισμό της μοναδιαίας επιφάνειας γύρω από το Σ, το διάνυσμα σολ βρίσκεται πάντα στο ίδιο επίπεδο (επίπεδο τάσεων), π.χ. όταν το σώμα δέχεται την ταυτόχρονη επίδραση αξονικών εφελκυστικών δυνάμεων, κατά δύο κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις.

Τριαξονική ή χωρική εντατική κατάσταση, έχουμε όταν για οποιο-δήποτε προσανατολισμό της μοναδιαίας επιφάνειας γύρω από το Σ, το διάνυσμα σολ βρίσκεται σε οποιαδήποτε διεύθυνση στο χώρο, έτσι ώστε να σχηματίζει μία κεντρική δέσμη ευθειών γύρω από το Σ, όπως π.χ. κατά το πείραμα του εφελκυσμού στο οποίο εμφανίζεται ο λαιμός θραύσης.

3.1.10. Είδη παραμορφώσεων

Όπως έχουμε αναφέρει, τα διάφορα σώματα καταπονούμενα από εξωτερικές δυνάμεις παραμορφώνονται, μεταβάλλουν δηλαδή τις γραμμικές τους διαστάσεις ή τις γωνίες τους ή και τα δύο (γενικότερα το σχήμα τους) ή όπως λέμε, υφίστανται τροπή.

Διακρίνουμε δύο είδη παραμορφώσεων, τη γραμμική και τη γωνιακή παραμόρφωσα. Έχει όμως επικρατήσει, η γραμμική παραμόρφωση να λέγεται απλά παραμόρφωση και έτσι θα τη χρησιμοποιούμε και εμείς.

Τα δύο αυτά είδη των παραμορφώσεων αναλύουμε αμέσως πιο κάτω.

60

i. Γραμμική παραμόρφωση

Αν στην αβαρή ράβδο ΑΒ αρχικού μήκους ~ , επιβληθεί εφελκυστικό φορτίο Ρ στο κέντρο βάρους Β της διατομής της, θα παρατηρήσουμε ότι το σημείο Β θα μετατοπιστεί δεξιότερα στη θέση έστω Β'. Η απόσταση Δl = (ΒΒ') ονομάζεται επιμήκυνση ή μήκυνση της ράβδου.

Το τελικό μήκος έστω l' της ράβδου, που προκύπτει μετά την επιβολή του εφελκυστικού φορτίου γίνεται l'_ l + Δl. Δηλαδή στον εφελκυσμό, το αρχικό μήκος μίας εφελκυόμενης ράβδου αυξάνεται κατά Δl.

Αντίστοιχα, αν στη ράβδο επιβάλλουμε θλιπτικό φορτίο Ρ, το σημείο Β μετατοπίζεται αριστερότερα στη θέση Β'. Η απόσταση Δl = (ΒΒ ονομάζεται τότε επιβράχυνση ή βράχυνση.

Το τελικό μήκος μετά την επιβολή του φορτίου γίνεται δηλαδή στη θλίψη το μήκος της ράβδου ελαττώνεται.

Ονομάζουμε ανηγμένη παραμόρφωση ή και ανηγμένη τροπή ε, την ποσότητα:

Από την εξίσωση αυτή παρατηρούμε ότι στην περίπτωση του εφελκυσμού προκύπτει ε>0, που ονομάζεται ανηγμένη επιμήκυνση, ενώ στην περίπτωση της Θλίψης προκύπτει ε<0 που λέγεται ανηγμένη επιβράχυνση.

Η ανηγμένη παραμόρφωση επειδή είναι λόγος μηκών, είναι αδιάστατο μέγεθος και αναφέρεται συνήθως επί τοις εκατό (%) και επειδή ανάγεται στο αρχικό μήκος Ρ της ράβδου, ονομάζεται επακριβώς ανηγμένη (ή ονομαστική) συμβατική παραμόρφωση.

Στην πραγματικότητα όμως, το μήκος της ράβδου στον εφελκυσμό μεταβάλλεται από αρχική τιμή l, μέχρι τελική τιμή l' _ (l + Δl) (περνώντας φυσικά από όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ αυτών των δύο).

61

Κατά την επιμήκυνση αυτή, όταν το σημείο Β για παράδειγμα, βρεθεί στη θέση Β1 που αντιστοιχεί μήκος χ και μετακινηθεί περαιτέρω κατά τη στοιχειώδη απόσταση dχ φθάνοντας έτσι στη θέση Β2 , ορίζουμε ως ανηγμένη πραγματική (ή λογαριθμική) παραμόρφωση ελ την ποσότητα:

Στην ελαστική περιοχή, για μικρές τιμές των παραμορφώσεων αποδεικνύεται ότι τα ε και ελ είναι περίπου ίσα.

Στην πλαστική περιοχή όμως όπου οι παραμορφώσεις έχουν υψηλές τιμές η ισότητα αυτή δεν ισχύει πλέον.

Στην Αντοχή των Υλικών γίνεται βασικά χρήση της συμβατικής ανηγμένης παραμόρφωσης ε, την οποία για συντομία θα λέμε ανηγμένη παραμόρφωση. Αυτή μετριέται πειραματικά με ειδικές συσκευές οι οποίες λέγονται μηκυνσιόμετρα (όπως είναι τα μηχανικά, τα ηλεκτρικά, κ.ά.).

Υπενθυμίζουμε ότι γενικά, ελαστικότητα είναι η ιδιότητα των σωμάτων να επανέρχονται στις αρχικές τους διαστάσεις (ή στο αρχικό τους σχήμα), όταν αφαιρεθούν οι εξωτερικές δυνάμεις, δηλαδή, αίρονται τελείως οι προκαλούμενες παραμορφώσεις.

Πλαστικότητα είναι η ιδιότητα των σωμάτων να παραμένουν οι παραμορφώσεις και μετά την αφαίρεση των εξωτερικών δυνάμεων.

Τα παραμορφωσιακά λοιπόν αποτελέσματα της επενέργειας των αξονικών δυνάμεων (ή των ορθών τάσεων) στα σώματα, είναι οι επιμηκύνσεις στα εφελκυόμενα και οι επιβραχύνσεις στα θλιβόμενα.

ii. Γωνιακή παραμόρφωση

Για την έννοια της γωνιακής παραμόρφωσης; ας θεωρήσουμε στο εσωτερικό ενός σώματος που βρίσκεται σε επίπεδη εντατική κατάσταση; ένα στοιχείο σε σχήμα κύβου με πλευρά α, στις έδρες του οποίου επενεργούν μόνον οι διατμητικές τάσεις r.

Σύμφωνα με την " πρόταση του Cauchy " που θα δούμε στα επόμενα, οι διατμητικές αυτές τάσεις είναι όλες ίσες μεταξύ τους, και

62

ανά δύο ή κατευθύνονται στην κοινή ακμή τον πρίσματος, ή απομακρύνονται από αυτήν (Σχ.2.10).

Εφόσον δεν υπάρχουν ορθές τάσεις στις έδρες του στοιχείου, τα μήκη των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ δεν θα μεταβληθούν κατά την παραμόρφωσή του (διότι μόνον οι ορθές τάσεις προκαλούν μεταβολή μηκών).

Με την επενέργεια όμως των διατρητικών τάσεων, θα διαταχθούν έτσι ώστε, να σχηματισθεί περίπου ο ρόμβος ΑΒΓ'Δ'.

Η πολύ μικρή γωνία γ που σχηματίζεται από την αρχική έδρα ΑΔ και την τελική ΑΔ' του κύβου, δηλαδή η στερεά γωνία ΔΑΔ'=ΓΒΓ'=γ, θα είναι

Η γωνία γ μετριέται σε ακτίνια (rad) και την ονομάζουμε γωνιακή παραμόρφωση ή γωνία ολίσθησης ή και διατρητική παραμόρφωση και εκφράζει την ανηγμένη ολίσθηση των απέναντι εδρών του κύβου ως προς τις κάθετες.

Τα παραμορφωσιακά λοιπόν αποτελέσματα της επενέργειας εγκάρσιων δυνάμεων (ή διατμητικών τάσεων), είναι οι γωνιακές παραμορφώσεις.

3.1.11. Διαγράμματα σ-ε για εφελκυσμό

Η χρησιμοποίηση των υλικών στις διάφορες κατασκευές προϋποθέτει τη γνώση της συμπεριφοράς τους σε εφελκυσμό - θλίψη.

Για την πληρέστερη κατανόηση της συμπεριφοράς των υλικών σε εφελκυσμό, απαιτείται η εκτέλεση ενός πρότυπου πειράματος εφελκυσμού μέχρι τη θραύση του δοκιμίου (που συνήθως έχει κυκλική διατομή), η σχεδίαση της καμπύλης μεταβολής της τάσης σ σε συνάρτηση με την ανηγμένη επιμήκυνση ε και ακολούθως η εξαγωγή συμπερασμάτων από την καμπύλη αυτή.

Κατά το σχηματισμό της καμπύλης του διαγράμματος εφελκυσμού έχει θεωρηθεί ότι, οι τιμές της τάσης προκύπτουν με διαίρεση του αξονικού φορτίου Ρ που επιβάλλεται δια του αρχικού εμβαδού F της διατομής (σ = Ρ/F ), ενώ η παραμόρφωση ε ως ο λόγος της μεταβολής του μήκους Δl του δοκιμίου δια του αρχικού του μήκους (δηλαδή ε=Δl/l ).

Στο πρώτο τμήμα του διαγράμματος, από το Ο ως το Α, παρατηρείται μία γραμμική σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης. Η σχέση που συνδέει τις τάσεις και τις παραμορφώσεις είναι σ = Εε, δηλαδή ο νόμος του Hooke που θα εξετάσουμε αναλυτικότερα στο Κεφάλαιο 3. Ο συντελεστής αναλογίας Ε είναι το μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο Young του υλικού και έχει μονάδες τάσης. Πειραματικά το μέτρο ελαστικότητας προσδιορίζεται από το πηλίκο σ/ε, που αντιστοιχεί σε οποιοδήποτε σημείο της περιοχής των ελαστικών παραμορφώσεων (ΟΑ) ή από την εφαπτόμενη της γωνίας φ. Η τάση σΑ πού αντιστοιχεί στο σημείο Α ονομάζεται όριο αναλογίας του υλικού. Δηλαδή, το σημείο Α αποτελεί και το όριο μέχρι του οποίου, ισχύει η γραμμική ελαστικότητα.

63

Η παραμόρφωση που αντιστοιχεί στο σημείο αναλογίας Α στην περίπτωση του χάλυβα, είναι μόλις 0.12% (δηλαδή εΑ = 0.0012). Εξακολουθώντας τη φόρτιση πέρα του σημείου Α, ενώ η σχέση τάσης

παραμόρφωσης δεν συνεχίζει να είναι γραμμική, το υλικό εξακολουθεί

μέχρι ενός σημείου Ε να συμπεριφέρεται ελαστικά, δηλαδή αν αποφορτιστεί επανέρχεται στις αρχικές του διαστάσεις. Η περιοχή (ΑΕ) χαρακτηρίζεται σαν περιοχή μη γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού και η τάση σ£ που αντιστοιχεί στο σημείο Ε λέγεται όριο ελαστικότητας.

Πέρα από το σημείο Ε ακολουθεί μία ασταθής περιοχή (ΕΔ1Δ2) που χαρακτηρίζεται από αύξηση της παραμόρφωσης χωρίς αντίστοιχη σημαντική αύξηση της τάσης. Στην περιοχή αυτή, είναι δυνατόν το δοκίμιο να αυξήσει την επιμήκυνσή του δέκα ως δεκαπέντε φορές περισσότερο από την αύξηση που αντιστοιχούσε στο όριο ελαστικότητας. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διαρροή του υλικού.

Αναλυτικότερα, σε αυτήν την περιοχή παρατηρείται αρχικά πως με την αύξηση των ανηγμένων επιμηκύνσεων, οι ορθές τάσεις αυξάνουν δυσανάλογα μέχρι την τάση που αντιστοιχεί στο σημείο Δ ι που ονομάζεται ανώτερο όριο διαρροής. Μετά από αυτό, και ενώ οι ανηγμένες επιμηκύνσεις εξακολουθούν πάντα να αυξάνουν, οι ορθές τάσεις μικραίνουν φτάνοντας στην ελάχιστη τάση επιρροής που αντιστοιχεί στο σημείο Δ2 και ονομάζεται κατώτερο όριο διαρροής.

Η παρατήρηση των δύο ορίων είναι δυνατή κατά την εκτέλεση πειράματος ακρίβειας, διαφορετικά τα σημεία Ε,Δ1,Δ2 είναι πολύ δύσκολο να διακριθούν μεταξύ τους και η περιοχή (ΕΔ 1Δ2) φαίνεται σαν ένα ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο προς τον άξονα των παραμορφώσεων μέσα στο οποίο και για την περίπτωση του χάλυβα, ενώ η τάση παραμένει σταθερή, η παραμόρφωση αυξάνει από 0.12% σε 2%. Ένα άλλο χαρακτη-ριστικό της περιοχής αυτής αλλά και αιτία της διαρροής είναι η εμφάνιση στην επιφάνεια του δοκιμίου ορατών λεπτών λωρίδων (γραμμών) που είναι κεκλιμένες κατά 45° ως προς τον άξονα του δοκιμίου. Οι γραμμές

64

αυτές ονομάζονται γραμμές Luders και η εμφάνισή τους αποδεικνύει ότι η διαρροή του υλικού οφείλεται σε αστοχία του υλικού σε διάτμηση.

Ο προσανατολισμός των γραμμών Luders εξηγείται θεωρητικά γιατί οι μέγιστες διατρητικές τάσεις εμφανίζονται στα επίπεδα που είναι κεκλιμένα κατά 45° ως προς τον άξονα του δοκιμίου. Εξακολουθώντας τη φόρτιση στο δοκίμιο πέρα από το σημείο Δ2, παρατηρείται μία αύξηση της παραμόρφωσης μέχρι ενός σημείου Μ. Η αύξηση της τάσης στην περιοχή (Δ2Μ) γίνεται με μικρότερο ρυθμό από εκείνον της ελαστικής περιοχής (ΟΑ ) ώστε το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης να εμφανίζεται πεπλατυσμένο και στρέφοντας τα κοίλα προς τα κάτω. Στην περιοχή (Δ2Νη θα μπορούσαμε να πούμε ότι το υλικό ανακτά μέρος της ελαστικής του συμπεριφοράς. Η περιοχή αυτή ονομάζεται περιοχή κράτυνσης του υλικού και η μέγιστη τάση σΜ που αντιστοιχεί στο σημείο Μ χαρακτηρίζεται σαν όριο αντοχής ή όριο θραύσης του υλικού, δηλαδή σΜ=PmaxlF.

Πέρα από το Μ παρατηρείται μία πτώση της τάσης ενώ η παραμόρφωση εξακολουθεί να αυξάνει μέχρι του σημείου Θ όπου το υλικό σπάει απότομα. Η τάση που αντιστοιχεί στο σημείο Θ ονομάζεται τάση θραύσης σε εφελκυσμό του υλικού.

Χαρακτηριστικό της περιοχής ΜΘ είναι ότι λίγο μετά το όριο θραύσης Μ, το δοκίμιο παρουσιάζει λαιμό δηλαδή παρατηρείται μία ορατή ελάττωση της διατομής στο μέσου του δοκιμίου.

Ένα σημείο που πρέπει να επισημανθεί είναι ότι στο διάγραμμα εφελκυσμού έχει σχεδιαστεί η συμβατική τάση σ, δηλαδή η δύναμη Ρ ανά μονάδα επιφανείας της αρχικής διατομής F του δοκιμίου, σαν συνάρτηση της προκαλούμενης παραμόρφωσης.

Λαμβάνοντας υπόψη την ελάττωση της επιφάνειας της διατομής του δοκιμίου, σε συνάρτηση με την πραγματική παραμόρφωση, προκύπτει η πραγματική τάση σ'= Ρ/F'.

Στην καμπύλη αυτή φαίνεται ότι η τάση θραύσης είναι η μέγιστη τάση που παρατηρείται, ενώ το Μ από σημείο μέγιστης τάσης μετατρέπεται σε σημείο καμπής. Στην πράξη όμως, συντίθεται ο υπολογισμός της τάσης με βάση την αρχική διατομή του δοκιμίου.

Μία διαφορετική περίπτωση είναι αυτή του αλουμινίου, όπως και άλλων υλικών, όπου η έναρξη της διαρροής δεν είναι εύκολο να προσδιοριστεί με μεγάλη ακρίβεια, επειδή η αντίστοιχη καμπύλη του διαγράμματος εφελκυσμού δεν παρουσιάζει έκδηλα χαρακτηριστικά

65

σημεία. Αντίθετα, παρατηρείται στα υλικά αυτά, ότι μετά το όριο διαρροής η τάση εξακολουθεί να αυξάνεται μη γραμμικά μέχρι τη μέγιστη τάση ώστε στη συνέχεια το υλικό να οδηγηθεί σε θραύση.

Στην περίπτωση αυτή μπορεί να οριστεί ένα συμβατικό όριο διαρροής σΔ , που βρίσκεται αν από ένα σημείο του άξονα των παραμορφώσεων, που αντιπροσωπεύει παραμόρφωση ίση με ε = 0.2% (ε = 0.002), φέρουμε ευθεία παράλληλη προς το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα του διαγράμματος. Η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας αυτής με την καμπύλη ορίζει το συμβατικό όριο διαρροής σα. Συνεχίζοντας τη φόρτιση του υλικού πέρα από το όριο διαρροής και μέχρι ενός σημείου Γ στο διάγραμμα, και αν κατόπιν επέλθει αποφόρτιση του υλικού, η μεταβολή της τάσης και της παραμόρφωσης ακολουθεί περίπου μία ευθεία (ΓΖ), η οποία είναι παράλληλη στο αρχικό ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ.

Στο σημείο Ζ, όπου το φορτίο έχει μηδενιστεί, παρατηρείται μία πα-ραμένουσα παραμόρφωση (ΟΖ) στο δοκίμιο που χαρακτηρίζεται και ως πλαστική παραμόρφωση.

Υποθέτοντας τώρα ότι το δοκίμιο που αποφορτίσαμε προηγούμενα, το επαναφορτίζουμε με εφελκυστικό φορτίο, παρατηρούμε ότι η καμπύλη επαναφόρτισης (ΖΓ) ακολουθεί σχεδόν την καμπύλη αποφόρτισης (ΓΖ). Στο διάγραμμα γίνεται φανερό ακόμα ότι, κατά την επαναφόρτιση το ευθύγραμμο τμήμα (ΖΚ είναι μεγαλύτερο από το αρχικό (ΟΑ) και ότι μετά το σημείο Κ η καμπύλη ακολουθεί την πορεία της αρχικής καμπύλης (ΟΑΓ) μέχρι τη θραύση του υλικού (σημείο Θ).

Τα προηγούμενα σημαίνουν πως με την αποφόρτιση και στη συνέχεια με την επαναφόρτιση του υλικού, το όριο αναλογίας όπως και το όριο ελαστικότητας, αυξάνονται σε σχέση με τα αντίστοιχα αρχικά, ενώ το όριο Θραύσης παραμένει αμετάβλητο.

3.1.12. Νόμος του Hooke .

Στο προηγούμενο Κεφάλαιο, ανάλογα με τον τρόπο επιβολής της δύναμης, π.χ. εφελκυστική, θλιπτική, διατμητική, κ.λ.π., διακρίναμε δύο είδη τάσεων, την ορθή και τη διατμητική τάση, αλλά και δύο είδη παραμορφώσεων, τη γραμμική παραμόρφωση και τη γωνιακή.

Ο Robert Hooke (1678) απέδειξε πειραματικά ότι υπάρχει σχέση μεταξύ τάσης και παραμόρφωσης, την οποία και διατυπώνουμε πιο κάτω.

i. Σχέση μεταξύ ορθής τάσης - γραμμικής παραμόρφωσης

66

Έστω η πρισματική αβαρής ράβδος ΑΒ, η οποία καταπονείται από αξονική εφελκυστική δύναμη Ρ που ασκείται στο κέντρο βάρους Β της διατομής της (Σχ.3.1.α). Έστω επίσης F το εμβαδόν της διατομής (το οποίο Θεωρείται σταθερό σε ολόκληρο μήκος ν) της ράβδου.

Όπως ήδη προαναφέραμε, με την επενέργεια της εφελκυστικής δύναμης Ρ η ράβδος Θα επιμηκυνθεί κατά Δ e και τελικά το σημείο Β εφαρμογής της δύναμης, θα μετατοπιστεί δεξιότερα στη θέση Β', οπότε το τελικό μήκος της ράβδου, θα γίνει e'.

Πειραματιζόμενος λοιπόν με τέτοιες πρισματικές ράβδους ποικίλων υλικών, υποβαλλόμενες σε μονοαξονικό εφελκυσμό εντός της περιοχής της ελαστικής συμπεριφοράς των υλικών, ο Hooke παρατήρησε ότι, η

επιμήκυνση ΔΡ της ράβδου ήταν ανάλογη τόσο προς την εφελκύουσα δύναμη Ρ, όσο και προς το αρχικό μήκος της 2 και αντιστρόφως ανάλογη του εμβαδού της διατομής της F, δηλαδή ΔQ ΡΡ/F.

Η πλήρης μαθηματική διατύπωση του νόμου του Hooke είναι η εξής:

Όπου: Δl = l' = (ΒΒ’), είναι η παραμόρφωση της ράβδου που για τον εφελκυσμό καλείται επιμήκυνση ή μήκυνση ενώ για τη θλίψη επιβράχυνση ή βράχυνση, (σε m, cm, mm, κ.λ.π.).

Ρ, είναι το αξονικό φορτίο (δύναμη) εφελκυσμού (σε Ν, t, κ.λ.π.).

F είναι το εμβαδόν της κάθετης διατομής στον άξονα της ράβδου (σε m2, cm2, κ.λ.π.).

Ε, είναι ό συντελεστής αναλογίας, που είναι η ελαστική σταθερά η οποία εξαρτάται από το είδος του υλικού. Η σταθερά αυτή ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας ή μέτρο του Υουng (σε Ν/m2, at, κ.λ.π.).

0 νόμος του Hooke που δίνεται από την παραπάνω εξίσωση, ισχύει επακριβώς εφόσον πληρούνται οι παρακάτω απλοποιητικές παραδοχές:

Παραδοχές ισχύος του νόμου του Hooke

α') Ο άξονας της ράβδου είναι ευθύγραμμος.

β') Η δύναμη δρα στη διεύθυνση του άξονα της ράβδου και το σημείο εφαρμογής της είναι το κέντρο βάρους της διατομής.

γ') Οι τάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στη διατομή.

67

Αυτό στην πραγματικότητα, δεν συμβαίνει πολύ κοντά στο σημείο εφαρμογής της δύναμης, πραγματοποιείται όμως πρακτικά σε μικρή απόσταση από αυτό.

δ') Στα Θλιβόμενα μέρη δεν υπάρχει κίνδυνος λυγισμού. Περισσότερα γι' αυτό στο Κεφάλαιο του Λυγισμού.

ε') Όλες οι κατά μήκος ίνες της ράβδου επιμηκύνονται το ίδιο.

στ')Οι διατομές που είναι αρχικά επίπεδες και κάθετες στον άξονα της ράβδου παραμένουν έτσι και μετά την παραμόρφωση.

ζ' ) Οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι μικρότερες από την τάση αναλογίας σΑ του υλικού.

Δηλαδή, ο νόμος του Hooke ισχύει μόνον εντός της γραμμικά ελαστικής περιοχής του διαγράμματος σ-ε.

Ο νόμος αυτός επιβεβαιώθηκε στη συνέχεια από πολλούς ερευνητές, οι οποίοι πειραματίστηκαν σε μεγάλο πλήθος δοκιμίων και από διάφορα υλικά. Διαπιστώθηκε δε ότι αυτός ισχύει όχι μόνο για δοκίμια υποβαλλόμενα σε εφελκυσμό, αλλά και σε θλίψη.

Με την παραδοχή που προαναφέραμε, ότι οι αναπτυσσόμενες ορθές τάσεις σε μία τυχαία διατομή της ράβδου κατανέμονται ομοιόμορφα σε αυτήν (όπως συμβαίνει περίπου και στην πράξη) και αν αμελήσουμε το ίδιο βάρος της, η ορθή τάση σ είναι σ=PlF, η δε ανηγμένη (ή ειδική) παραμόρφωση ε από τη σχέση ορισμού της, είναι ε=Δl/l.

Οπότε λαμβάνοντας υπόψη τις δύο προηγούμενες εξισώσεις, ο νόμος του Hooke γράφεται και με την εξής απλούστερη μορφή:

Η εξίσωση αυτή εκφρασμένη με λόγια, διατυπώνει συνοπτικά το νόμο του Hooke με την παρακάτω φράση:

" Η τάση είναι ανάλογη προς την ανηγμένη παραμόρφωση ".

Το μέτρο ελαστικότητας Ε είναι ο συντελεστής αναλογίας μεταξύ της τάσης και της ανηγμένης παραμόρφωσης, όπως προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση. Λύνοντάς την δε ως προς Ε, έχουμε

Επειδή η ανηγμένη παραμόρφωση ε είναι αδιάστατο μέγεθος (καθαρός αριθμός), το μέτρο ελαστικότητας Ε εύκολα φαίνεται ότι έχει μονάδες τάσης. Από τον ορισμό του προκύπτει ότι το Ε αντιπροσωπεύει την τάση εκείνη σ, η οποία θα προκαλούσε ανηγμένη παραμόρφωση ε =1, δηλαδή Δl = l, ή διαφορετικά, αντιπροσωπεύει την εφελκυστική εκείνη τάση, η οποία θα διπλασίαζε το αρχικό μήκος μιας ράβδου, αν βέβαια ήταν δυνατόν το υλικό της να παραμείνει απόλυτα ελαστικό σε όλη τη διάρκεια της υπερβολικής αυτής παραμόρφωσης. Αναμένουμε λοιπόν μεγάλες τιμές για το μέτρο ελαστικότητας, που για τον χάλυβα είναι 2.1.106 at = 210 GN/m2, για τον ορείχαλκο είναι 90 GN/m2, για το σκυρόδεμα 25 GN/m2, κ.λ.π.

68

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης σ = εΕ σε άξονες ε και σ είναι η ευθεία ΟΑ. Η γραφική αυτή παράσταση απεικονίζει το γνωστό διάγραμμα τάσης-ειδικής παραμόρφωσης σε εφελκυσμό εντός της περιοχής της ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού και συγκεκριμένα μέχρι το όριο αναλογίας (σημείο Α), όπου ισχύει γραμμικότητα μεταξύ τάσεων και παραμορφώσεων. Εντελώς ανάλογο με αυτό είναι και το διάγραμμα δυνάμεων - παραμορφώσεων, με διαφορετική βέβαια κλίση φ' φ.

Το μέτρο ελαστικότητας Ε, είναι η κλίση της ευθείας ΟΑ στο διάγραμμα αυτό, δηλαδή είναι

Σημειώνουμε ότι στο αντίστοιχο διάγραμμα σ-ε του χάλυβα για παράδειγμα, η τιμή της γωνίας αυτής φ, είναι 89.9° περίπου.

Το Ρ για τα περισσότερα υλικά κατασκευής έχει την ίδια τιμή για εφελκυσμό και Θλίψη με αντιπροσωπευτικό παράδειγμα το χάλυβα, χωρίς αυτό βέβαια να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν και αρκετές εξαιρέσεις.

Το τελικό μήκος l' της ράβδου που θα προκύψει μετά την παραμόρφωση που προκάλεσε η δύναμη Ρ, είναι: l' = l + Δl = l + εl και συνεπώς:

Οι εξισώσεις ισχύουν και για την περίπτωση ράβδων που καταπονούνται σε θλίψη. Το ΔΡ τότε αντιπροσωπεύει την επιβράχυνση

69

της ράβδου, το ε την ανηγμένη επιβράχυνση και το σ τη θλιπτική τάση, που όλα θεωρούνται ποσότητες αρνητικές.

70

3.1.13. Διαστασιολόγηση εφελκυόμενης ράβδου

Η αστοχία μιας κατασκευής, επέρχεται συνήθως όταν η υπάρχουσα τάση υπερβεί μία κρίσιμη τιμή. Η κρίσιμη αυτή τιμή, μπορεί να είναι η τάση διαρροής (για όλκιμα υλικά ή η τάση θραύσης (για ψαθυρά υλικά). Για να είναι μία κατασκευή ασφαλής, πρέπει η τάση να μην υπερβαίνει την επιτρεπόμενη τάση του υλικού. Η επιτρεπόμενη τάση, είναι ένα κλάσμα μόνον της τάσης αστοχίας του υλικού.

Αν τα φορτία που καταπονούν μία κατασκευή είναι γνωστά; τότε η τάση εξαρτάται από τις τυχόν διαστάσεις της διατομής. Αντικείμενο του Μηχανικού είναι η εκλογή των κατάλληλων διαστάσεων, ώστε η κατασκευή να είναι ασφαλής, λειτουργική και οικονομική.

Έστω ράβδος η οποία καταπονείται από αξονική δύναμη Ρ και έστω σεπ η επιτρεπόμενη τάση του υλικού της. Σύμφωνα με όσα έχουμε προ-αναφέρει στο Κεφάλαιο 2, πρέπει η τάση λειτουργίας σ, να είναι μικρότερη ή το πολύ ίση με την επιτρεπόμενη τάση του υλικού, δηλαδή:

Η απαιτούμενη δηλαδή διατομή μιας ράβδου που εφελκύεται ή Θλίβεται υπό αξονικό φορτίο, πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή το πολύ ίση με το πηλίκο του φορτίου, προς την επιτρεπόμενη τάση του υλικού της.

Αν γνωρίζουμε τη διατομή F και την επιτρεπόμενη τάση σεπ , μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο φορτίο εφελκυσμού ή Θλίψης, που μπορεί να παραλάβει με ασφάλεια η κατασκευή, από τη σχέση

Το φορτίο Ρmax ονομάζεται φορτοϊκανότητα της διατομής.

Η παραπάνω μέθοδος για την επιλογή της διατομής, ονομάζεται ελαστική μέθοδος. Η ελαστική μέθοδος δίνει εντελώς διαφορετικό συντελεστή ασφαλείας, ανάλογα με το είδος της διατομής και της κατα-σκευής. Γι' αυτό τείνει να εκτοπιστεί από τη μέθοδο συνολικής αντοχής, η οποία προσφέρει ένα σχετικά ομοιόμορφο συντελεστή ασφαλείας.

Ο έλεγχος των κατασκευών στην περίπτωση αυτή, γίνεται ως εξής:

α') Υπολογίζεται το φορτίο που προκαλεί την κατάρρευση της κατασκευής με τη βοήθεια του ελαστοπλαστικού μοντέλου ή άλλων πλαστικών μοντέλων συμπεριφοράς. Η κατασκευή καταρρέει όταν κάποια διατομή, δεν μπορεί να παραλάβει πρόσθετο φορτίο.

β') Το φορτίο που προκαλεί την κατάρρευση, συγκρίνεται με το εφαρμοσμένο φορτίο και ο λόγος τους, είναι ο υπάρχού συντελεστής ασφαλείας ν, ο οποίος πρέπει να είναι μεγαλύτερος (ή το πολύ ίσος) από αυτόν που προτείνουν οι προδιαγραφές. Αν ο συντελεστής είναι μικρό-τερος, τότε αυξάνουμε τη διατομή και επαναλαμβάνουμε τον έλεγχο.

Σε απλές διατομές, πολλαπλασιάζουμε το φορτίο με το συντελεστή ασφαλείας και βρίσκουμε εύκολα την απαιτούμενη διατομή.

71

Ο συντελεστής ασφαλείας ν, είναι το γινόμενο μερικών επιμέρους συντελεστών ασφαλείας ν1, ν2,. . . , νn που προκύπτουν από διάφορους παράγοντες που τον επηρεάζουν. Έτσι, ο πρώτος συντελεστής ν1 εξαρτάται από το είδος του υλικού, ο ν2 από το είδος των φορτίων κ.λ.π

Αναφέρουμε επίσης, ότι για τον υπολογισμό των αναπτυσσομένων τάσεων, τις περισσότερες φορές απαιτείται να ληφθούν υπόψη και οι προκαλούμενες παραμορφώσεις όπως θα δούμε σε επόμενες παραγράφους.

Τέλος, εκτός από τον έλεγχο αντοχής, πρέπει να γίνεται και ο έλεγχος λυγηρότητας, δηλαδή υπολογίζεται το μέγιστο βέλος κάμψης από το συγκεκριμένο φορτίο που καταπονεί την κατασκευή. Κανονισμοί εκτέλεσης έργων δίνουν την επιτρεπόμενη τιμή του, ώστε οι κατασκευές να είναι στην ελαστική περιοχή. Έτσι, για αμφιέρειστη δοκό μήκους l για παράδειγμα, το βέλος κάμψης, πρέπει να είναι μικρότερο από 1 /250 του l.

Στην πράξη χρησιμοποιούνται τυποποιημένες διατομές οι οποίες διαμορφώνονται από τα εργοστάσια, κατόπιν διεθνών συμφωνιών. Τέτοιες τυποποιημένες διατομές φαίνονται σε Πίνακες, που υπάρχουν στο Παράρτημα στο τέλος του βιβλίου. Διευκρινίζουμε ότι, αν η διατομή που θα προκύψει από τους υπολογισμούς κείται ανάμεσα σε δύο τυποποιημένες διατομές, προφανώς επιλέγουμε τη μεγαλύτερη από τις δύο.

3.1.14. Λυμένες Ασκήσεις

1: Ένας χαλύβδινος σωλήνας μήκους s=10m κυκλικής διατομής με εσωτερική διάμετρο di=20mm και εξωτερική διάμετρο dο=22mm καταπονείται από μια εφελκυστική δύναμη P=6000 N. Να υπολογισθεί η τάση του σωλήνα και η επιμήκυνσή του όταν το μέτρο ελαστικότητας του χάλυβα είναι Ε=200 GPa.

Η χαλύβδινη επιφάνεια της διατομής του σωλήνα είναι:

Η εφαρμοζόμενη τάση είναι:

Εφαρμόζοντας το νόμο του Hooke έχουμε:

Γνωρίζουμε ότι η παραμόρφωση είναι το ποσοστό επιμήκυνσης άρα η συνολική επιμήκυνση θα είναι:

2: Ένας γερανός πρόκειται να χρησιμοποιηθεί για την φορτοεκφόρτωση εμπορευμάτων μέγιστου βάρους P=30t. Το

72

συρματόσχοινο του γερανού είναι από χαλκό. Να υπολογισθεί η απαιτούμενη διάμετρος του συρματόσχοινου.

Η μοναδική καταπόνηση του συρματόσχοινου θα είναι εφελκυσμός. Πρέπει να επιλέξουμε τέτοιες διαστάσεις που να μην υπάρχει περίπτωση φόρτισής του με κίνδυνο η τάση να υπερβεί το όριο διαρροής.

Από τον Πίνακα 1 βρίσκουμε ότι για το χαλκό το όριο διαρροής σε εφελκυσμό είναι:

Η τάση εφελκυσμού δεν μπορεί να ξεπεράσει το παραπάνω όριο διαρροής, άρα η διατομή του συρματόσχοινου πρέπει να είναι:

Αφού η διατομή του συρματόσχοινου πρέπει να είναι μεγαλύτερη των 1.1m2, η διάμετρός του πρέπει να είναι:

3.1.15. Ασκήσεις για λύση

1: Σε μια ξύλινη γέφυρα το κάθε υποστύλωμα (κυκλικής διατομής) πρέπει να συγκρατεί βάρος P=2t. Να υπολογισθεί η ελάχιστη διάμετρος κάθε υποστυλώματος εάν χρησιμοποιηθεί α) πεύκος και β) δρυς.

2: Μια νάιλον σακούλα, αρχικού μήκους s=0.4m, πάχους d=1/20mm και διαμέτρου 20cm, γεμάτη πατάτες ζυγίζει 8Kp. Να υπολογισθεί η αύξηση του μήκους της κατά τη μεταφορά της.

3.2. Φορείς

3.2.1. Είδη φορέων .

Φορέας είναι κάθε κατασκευή, που μπορεί να παραλαμβάνει φορτία και να τα μεταβιβάζει με ασφαλή τρόπο, δηλαδή δεν μπορεί να μετατοπισθεί εξ αιτίας των φορτίων. Π.χ. οικοδομή, γέφυρα, τραπέζι.

Για να μπορεί να μεταβιβάσει τα φορτία που δέχεται, ο φορέας πρέπει να στηρίζεται με ασφάλεια. Κάθε στήριξη απαγορεύει κάποιες μετακινήσεις στο φορέα, άρα ασκεί στο φορέα αντιδράσεις στις αναπτυσσόμενες από το φορέα φορτίσεις. Οι τρόποι στήριξης αναπτύσσονται στην επόμενη παράγραφο.

73

Ανάλογα με τον τρόπο στήριξης των φορέων, διακρίνουμε τα εξής είδη:

Ισοστατικοί φορείς λέγονται αυτοί που από τις στηρίξεις τους υπάρχουν τόσες αντιδράσεις όσες και οι διατιθέμενες εξισώσεις ισορροπίας.

Υπερστατικοί λέγονται οι φορείς που λόγω στήριξης έχουν περισσότερες δεσμεύσεις κίνησης από τις εξισώσεις ισορροπίας.

Χαλαροί λέγονται οι φορείς που ο τρόπος στήριξής τους είναι τέτοιος, ώστε να μην εξασφαλίζει τη σταθερότητά τους, άρα οι αντιδράσεις των στηρίξεων είναι λιγότερες από τις εξισώσεις ισορροπίας.

3.2.2. Τρόποι στήριξης .

Είναι γνωστό ότι μια φόρτιση (δύναμη ή ροπή) τείνει να κινήσει (να μετατοπίσει ή να περιστρέψει) το σώμα στο οποίο επιδρά. Επομένως οι στηρίξεις πρέπει να έχουν τέτοια κατασκευή, που να απαγορεύει τις κινήσεις που τείνουν να επιβάλουν οι φορτίσεις. Η απαγόρευση των κινήσεων επιτυγχάνεται με την επιβολή αντίθετων φορτίσεων (αντιδράσεων), στις φορτίσεις που δέχεται μια στήριξη.

Οι στηρίξεις κατατάσσονται ανάλογα με τις αναπτυσσόμενες αντιδράσεις στα ακόλουθα τρία είδη:

Έδραση (ή κύλιση) λέγεται η στήριξη εκείνη που αναπτύσσει αντίδραση μόνο κατά διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια στήριξης. Επομένως επιτρέπει στο φορέα κάθε κίνηση εκτός από διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια στήριξης. Π.χ. Στήριξη του τραπεζιού στο πάτωμα.

Άρθρωση λέγεται η στήριξη εκείνη που αναπτύσσει αντίδραση κατά οποιαδήποτε τυχούσα διεύθυνση. Η αντίδραση της άρθρωσης συνήθως αναλύεται σε δύο συνιστώσες: μια συνιστώσα κάθετη και μια παράλληλη στην επιφάνεια επαφής. Επομένως η άρθρωση απαγορεύει στο φορέα κάθε μετατόπιση, αλλά του επιτρέπει να στραφεί. Π.χ. στήριξη πόρτας στο κάσωμα.

Πάκτωση λέγεται η στήριξη εκείνη που αναπτύσσει αντίδραση κατά οποιαδήποτε τυχούσα διεύθυνση και ροπή αντίθετη με αυτή που δέχεται. Συνεπώς απαγορεύει κάθε κίνηση (μετατόπιση ή στροφή) στο φορέα. Π.χ. στήριξη δένδρου στο έδαφος.

3.2.3. Εξισώσεις ισορροπίας.

Ανάλογα με το είδος του φορέα και των επιβαλλόμενων φορτίσεων, καταστρώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας (βλέπε Εργ. μαθήματα 4 και 5). Συγκεκριμένα:

Αν ο φορέας είναι γραμμικός με επίπεδη φόρτιση, καταστρώνουμε τις εξισώσεις ισορροπίας για επίπεδη φόρτιση, που είναι:

74

Αν ο φορέας είναι γραμμικός, αλλά η φόρτισή του είναι γενική, καταστρώνουμε τις γενικές εξισώσεις ισορροπίας στο χώρο, δηλαδή:

Η εξέταση επιφανειακών φορέων ξεφεύγει από τα όρια του μαθήματος και δεν θα αναπτυχθεί εδώ.

3.2.4. Υπολογισμός αντιδράσεων .

Εάν είναι γνωστή η εξωτερική φόρτιση του φορέα, τότε υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:

1. Αν ο φορέας είναι ισοστατικός τότε το σύστημα των εξισώσεων ισορροπίας αρκεί για τον υπολογισμό των αντιδράσεων των στηρίξεων.

2. Αν ο φορέας είναι υπερστατικός τότε δεν υπάρχει επάρκεια εξισώσεων. Γι’ αυτό χρησιμοποιούμε και εξισώσεις από την Αντοχή των Υλικών, θεωρώντας το φορέα σαν παραμορφώσιμο.

Στο υπόλοιπα μαθήματα του Εργαστηρίου θα θεωρηθεί ότι έχουμε πάντα ισοστατικούς φορείς και επίπεδη φόρτιση, εκτός αν ρητά αναφέρεται άλλη περίπτωση.

3.2.5. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1 : Γραμμικός φορέας ΑΒ μήκους στηρίζεται στο σημείο Α με άρθρωση και στο σημείο Β με έδραση. Στο μέσο του φορέα και σε θέση ώστε να ισαπέχει από τα άκρα υπάρχει φορτίο πλάτους 3m

που περιγράφεται από τη συνάρτηση . Να υπολογισθούν οι

αντιδράσεις των στηρίξεων.

75

Στο πρώτο τμήμα του σχήματος φαίνεται ο φορέας με τη φόρτισή του. Προκειμένου να σχεδιάσουμε το Δ.Ε.Σ. θα υπολογίσουμε τη συνολική δύναμη , που ασκεί το φορτίο, καθώς και τη θέση της.

q=x/2

P

H

V V

A B

A B

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Α και άξονα κατά τη διεύθυνση ΑΒ. Το μέτρο του συνολικού φορτίου θα είναι ίσο με το γραμμοσκιασμένο εμβαδό:

Το φορτίο Ρ θα ασκείται στο κέντρο βάρους της επιφάνειας F. Για την εύρεση του κέντρου βάρους εφαρμόζουμε τα όσα περιγράφηκαν στην Εργ. Άσκηση 7.

Η θέση κατά της δύναμης δεν απαιτείται διότι γνωρίζουμε ότι οι δυνάμεις είναι ολισθαίνοντα διανύσματα.

Οι αντιδράσεις των στηρίξεων τοποθετούνται με το σκεπτικό ότι για την άρθρωση έχουμε μια αντίδραση τυχαίας διεύθυνσης (άρα με συνιστώσες H,VA κατά τους δύο άξονες), ενώ στην έδραση μόνο την VB.

Έχουμε κατασκευάσει το Δ.Ε.Σ. και μπορούμε πλέον να καταστρώσουμε τις εξισώσεις ισορροπίας. Ροπές θα πάρουμε ως προς το σημείο Α, για να έχουμε μηδενισμό των αγνώστων , και απλοποίηση των υπολογισμών.

Επιλύοντας το παραπάνω σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους βρίσκουμε:

76

3.3. Ολόσωμοι φορείς Ολόσωμοι λέγονται οι φορείς εκείνοι που δέχονται όλα τα είδη

καταπονήσεων, δηλαδή εφελκυσμό (ή θλίψη), διάτμηση και κάμψη. Οι ολόσωμοι φορεία αποτελούνται από δοκούς, που συνδέονται μεταξύ τους με πακτώσεις ή αρθρώσεις. Ο συνδυασμός των συνδέσεων και των στηρίξεων είναι τέτοιος ώστε ο φορέας να είναι ισοστατικός.

Οι αντίστοιχες εξωτερικές δυνάμεις, που προκαλούν τις καταπονήσεις των ολόσωμων φορέων, είναι:

Αξονικές δυνάμεις. Αυτές είναι οι δυνάμεις, που ενεργούν πάνω στον άξονα κάθε δοκού και προκαλούν εφελκυσμό ή θλίψη.

Τέμνουσες δυνάμεις. Είναι εκείνες που δρουν κάθετα στον άξονα των δοκών, προκαλώντας διάτμηση.

Καμπτικές ροπές. Είναι οι ροπές, που η διεύθυνσή τους είναι κάθετη στο επίπεδο του φορέα, προκαλώντας έτσι κάμψη στη δοκό επί της οποίας ενεργούν.

Στρεπτικές ροπές. Είναι οι ροπές, που η διεύθυνσή τους είναι παράλληλη με τον άξονα μιας δοκού, προκαλώντας έτσι στρέψη στη δοκό επί της οποίας ενεργούν.

Λόγω της επιβολής εξωτερικών φορτίων, οι δοκοί αναπτύσσουν εσωτερικές δυνάμεις, οι οποίες εξασφαλίζουν την ισορροπία κάθε τμήματος του φορέα. Ο υπολογισμός των δυνάμεων αυτών είναι πολύ σπουδαίας σημασίας για τη μελέτη της αντοχής του φορέα. Αν γνωρίζουμε και τις διαστάσεις των δοκών, μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις εσωτερικές τάσεις και συνεπώς την αντοχή της κατασκευής. Ή, αντίστροφα, αφού υπολογισθούν οι εσωτερικές δυνάμεις, υπολογίζεται η διατομή της κάθε δοκού, έτσι ώστε οι εσωτερικές τάσεις που δέχεται να είναι μικρότερες από το όριο ασφαλείας.

3.3.1. Είδη δοκών

Όπως αναφέραμε, η δοκός είναι ένας γραμμικός φορέας, στον οποίο μπορούν να άρούν εξωτερικά φορτία οποιουδήποτε είδους, δηλαδή αξονικά, εγκάρσια, κ.λ.π.

Το απλούστερο είδος δοκού είναι μία πρισματική ράβδος που στηρίζεται στα άκρα της σε δύο στηρίγματα. Μία τέτοια δοκός όμως, μπορεί να φορτιστεί μόνο με κατακόρυφα φορτία (διότι η τριβή στα σημεία επαφής της είναι πολύ μικρή) και επομένως, ακόμη και με μικρό οριζόντιο φορτίο, αυτή θα έπεφτε.

Για να μπορεί λοιπόν μία δοκός να φορτίζεται με εγκάρσια αλλά και με οριζόντια φορτία (άρα και με κεκλιμένα)> πρέπει στο ένα της άκρο να αρθρώνεται με τη βοήθεια ενός πείρου, ενώ στο άλλο να στηρίζεται με τη Βοήθεια ενός κατάλληλου εδράνου κύλισης (π.χ. ρουλεμάν). Τόσο βέβαια η δοκός όσο και τα δύο είδη στηρίξεων, σαν υλικά σώματα έχουν κάποιες διαστάσεις. Για απλούστευση όμως των υπολογισμών, θα θεωρούμε στα επόμενα, τη μεν δοκό σαν ευθύγραμμο τμήμα με μέσο μήκος ~ που συμπίπτει με τον γεωμετρικό της άξονα, τις δε στηρίξεις σαν απλά γεωμετρικά σημεία. Έτσι προκύπτει η εξιδανικευμένη μορφή της απλής αμφιέρειστης δοκού. Στη δοκό αυτή, θεωρούμε ότι το αριστερό της

77

στήριγμα είναι αμετακίνητο (αμετάθετο), ενώ το δεξιό μπορεί να μετακινείται ελεύθερα χωρίς τριβές, με την βοήθεια του εδράνου κύλισης.

Ένας άλλος τρόπος στήριξης είναι ο πρόβολος (ή μονόπακτη δοκός), ο οποίος αποτελείται από μία δοκό που είναι καλά εντοιχισμένη (πακτωμένη) στο ένα άκρο, ενώ το άλλο της είναι ελεύθερο. Το μήκος που προεξέχει ονομάζεται μήκος του προβόλου.

78

Μία δοκός που το μήκος προεκτείνεται και πέρα από το ένα στήριγμα ονομάζεται μονοπροέχουσα (ή και προεξέχουσα). Αν επεκτείνεται εκατέρωθεν και από τα δύο στηρίγματά της, λέγεται αμφιπροέχουσα.

Αν η δοκός επεκτείνεται χωρίς ενδιάμεση διακοπή, πάνω από πολλά στηρίγματα, ονομάζεται συνεχής δοκός

Μερικές φορές η συνέχεια της δοκού διακόπτεται με κατάλληλες αρθρώσεις, οπότε ονομάζεται αρθρωτή ή δοκός του Gerber.

Όταν οι δοκοί, αποτελούνται από συμπαγές υλικό, όπως είναι ο χάλυβας, ονομάζονται ολόσωμοι. Όταν αποτελούνται από περισσότερες ράβδους που συνδέονται κατάλληλα μεταξύ τους με αρθρώσεις (πείρους), τότε ονομάζονται δικτυωτές.

Όταν σε μία δοκό οι αντιδράσεις των στηριγμάτων μπορούν να υπο-λογιστούν από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας, η δοκός αυτή ονομάζεται στατικά ορισμένη ή ισοστατική. Ο υπολογισμός αυτός είναι αντικείμενο της Μηχανικής του απαραμόρφωτου σώματος.

Αντίστροφα, αν ο αριθμός των αντιδράσεων στη δοκό είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των εξισώσεων στατικής ισορροπίας, η δοκός ονομάζεται στατικά αόριστη (ή υπερστατική). Στις εξισώσεις στατικής ισορροπίας, πρέπει τότε να προστεθούν και επιπλέον εξισώσεις, που προκύπτουν από την παραμόρφωση της δοκού. Αυτό είναι αντικείμενο της Αντοχής των υλικών.

3.3.2. Τρόποι στήριξης δοκών

Οι εξωτερικές δυνάμεις που καταπονούν μία δοκό ή ένα σώμα ή και μία κατασκευή γενικότερα, μεταβιβάζονται στα σημεία στήριξης, ενώ σι στηρίξεις αντιδρούν έτσι ώστε να διατηρείται η ισορροπία του σώματος.

79

Έτσι στην απλή αμφιέρειστη δοκό για παράδειγμα, που δέχεται φορτίο Ρ στο μέσον της, θα πρέπει στον σημείο της Α να δέχεται από την άρθρωση αντίδραση VA , ενώ στο σημείο της Β θα δέχεται αντίστοιχα από την κύλιση αντίδραση VB. Για λόγους συμμετρίας θα είναι προφανώς

όπως φαίνεται στο διάγραμμα ελευθέρου σώματος (Δ.Ε.Σ.) της δοκού.

Λόγω δράσης- αντίδρασης όμως και η δοκός θα ασκεί στην άρθρωση δύναμη ίση και αντίθετη της VA. Αναλογικά και η κύλιση θα δέχεται από τη δοκό δύναμη ίση και αντίθετη της VB.

Παρατηρούμε δηλαδή από το σχήμα αυτό, ότι οι στηρίξεις μεταφέρουν τελικά τη δύναμη Ρ στο έδαφος.

Για τη στήριξη των δοκών, χρησιμοποιούνται οι εξής θεμελιώδεις τρόποι:

i. Η κύλιση (ή ελεύθερη έδραση). Σε αυτήν, το σημείο στήριξης είναι ελεύθερο να μετακινείται χωρίς τριβές με την βοήθεια του εδράνου κύλισης μόνον κατά μία διεύθυνση, επιτρέπει δηλαδή ένα βαθμό ελευθερίας για μετακίνηση, επιτρέποντας συγχρόνως και στροφή. Δηλαδή περιορίζεται στην περίπτωση αυτή μόνον ο ένας βαθμός ελευθερίας, θεωρώντας βέβαια κίνηση στο επίπεδο μόνον. Η αντίδραση στην

80

περίπτωση της κύλισης, είναι δύναμη που διέρχεται από το σημείο στήριξης, κάθετα στην κύλιση.

ίί. Η Άρθρωση. Σε αυτήν το σημείο στήριξης συνδέεται μόνιμα με το έδαφος ή άλλο στερεό σύστημα με άρθρωση, η οποία επιτρέπει μόνο την ελεύθερη στροφή της δοκού. Η άρθρωση πρακτικά επιτυγχάνεται με την Βοήθεια ενός πείρου. Η άρθρωση περιορίζει και τους δύο βαθμούς ελευθερίας στο επίπεδο και επιτρέπει μόνο στροφή.

Η αντίδραση της άρθρωσης είναι δυνατόν να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση. Στην περίπτωση αυτή, αναλύουμε συνήθως την αντίδραση σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες, μία οριζόντια και μία κατακόρυφη. 'Μ ταυτόσημα υπολογίζουμε την αντίδραση, καθώς και μία χαρακτηριστική γωνία που σχηματίζει π.χ. με το οριζόντιο επίπεδο.

iii. Η πάκτωση. Η στήριξη αυτού του είδους δεν επιτρέπει καμία μετακίνηση ή στροφή της δοκού. Οι αντιδράσεις στην περίπτωση αυτή είναι, αφενός οι δύο συνιστώσες της αντίδρασης που συναντήσαμε στην άρθρωση, αφετέρου δε και μία ροπή, που αποκλείει την περίπτωση περιστροφής της δοκού και που ονομάζεται ειδικά ροπή πάκτωσης. Με πάκτωση στηρίζονται οι πρόβολοι, οι οποίοι αν ειδικά έχουν πάκτωση και στα δύο τους άκρα ονομάζονται αμφίπακτοι, διαφορετικά μονόπακτοι ή απλά πρό8ολοι.

3.3.3. Υπολογισμός των αντιδράσεων

Όπως αναφέραμε και σε προηγούμενα, όταν σε μια δοκό επενεργούν φορτία κάθετα στον άξονα της, αυτά μεταφέρονται στο έδαφος από τα σημεία στήριξής της. Λόγω δράσης-αντίδρασης όμως, και το έδαφος ασκεί στη δοκό δυνάμεις ίσες και αντίθετες, που ονομάζονται αντιδράσεις.

Αν τα φορτία είναι με κλίση, τα αναλύουμε σε δύο συνιστώσες, σε μία οριζόντια και σε μία κατακόρυφη. Οι αντιδράσεις συμβολίζονται συνήθως με VA ή Α y, η κατακόρυφη συνιστώσα και με ΗΑ ή Αχ, η οριζόντια.

81

Για τον υπολογισμό των αντιδράσεων αυτών, σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος της δοκού, σχεδιάζουμε δηλαδή όλα τα εξωτερικά φορτία που ασκούνται, αλλά τα σημεία στήριξης τα αντικαθιστούμε με δυνάμεις ή ροπές που τα θέτουμε συνήθως κατά την θετική φορά, σύμφωνα με τον Πίνακα της προηγούμενης παραγράφου.

Εφαρμόζοντας στη γενική περίπτωση τις τρεις εξισώσεις στατικής ισορροπίας στο (Δ.Ε.Σ),

προσδιορίζονται οι τρεις άγνωστες αντιδράσεις (ή οι δύο όταν τα φορτία είναι μόνον κατακόρυφα), σύμφωνα με τα γνωστά από τη Στατική.

Για υπενθύμιση, θα υπολογίσουμε τις αντιδράσεις στη δοκό, που φέρει συνεχές φορτίο όχι ομοιόμορφο, αλλά μεταβαλλόμενο κατά μήκος της δοκού κατά καμπύλη γραμμή, της οποίας οι εκάστοτε τεταγμένες q δίνονται με κλίμακα από την γραφική παράστασή του, για οποιοδήποτε σημείο της δοκού. Η σχέση q = q(χ) (αν υπάρχει), φανερώνει πως μεταβάλλονται οι τεταγμένες συναρτήσει των τετμημένων χ, όπου το χ μετρούμενο από το αριστερό στήριγμα Α, ορίζει την καμπύλη φόρτισης.

Η επιφάνεια δηλαδή μεταξύ της καμπύλης φόρτισης και της δοκού, ονομάζεται επιφάνεια φόρτισης, το δε εμβαδόν της, ισούται με την συνισταμένη Q όλων των επί μέρους q(χ) κατά μήκος της δοκού, που είναι:

Για να βρεθεί το σημείο που ασκείται η συνισταμένη δύναμη Q [που αντικαθιστά ισοδύναμα σύμφωνα με την αρχή του Sαίnt Venant όλο το κατανεμημένο φορτίο q(χ)]; εφαρμόζουμε το θεώρημα του Varignοn κατά το οποίο, η ροπή της συνισταμένης ισούται με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών. Οπότε αν η δύναμη Q απέχει απόσταση α από το σημείο Α και όπου οι συνιστώσες δυνάμεις είναι q(χ) dx, οι δε ροπές τους ως προς το σημείο Α είναι q(χ)χdχ , έχουμε

Από τη σχέση αυτή εύκολα παρατηρούμε ότι ισχύει ο εξής κανόνας:

" Η απόσταση α που ορίζει το σημείο που δρα η συνισταμένη δύναμη Q του κατανεμημένου φορτίου q(χ), συμπίπτει με την τετμημένη του κέντρου βάρους της επιφάνειας φόρτισης ".

Οι κατακόρυφες αντιδράσεις έστω Ay και By προκύπτούν εύκολα τώρα από τις συνθήκες της στατικής ισορροπίας της δοκού και βρίσκονται

82

Στον ακόλουθο Πίνακα δίνονται μερικές καμπύλες φόρτισης, με τη συνισταμένη του φορτίου, καθώς και το κέντρο βάρους της επιφάνειας φόρτισης.

Έστω για παράδειγμα δοκός με τριγωνικό φορτίο, με τιμή 0 στο σημείο Α, με γνωστή τιμή έστω qο στο σημείο Β και με γραμμική μεταβολή της καμπύλης φόρτισης μεταξύ των δύο αυτών σημείων Α και Β.

83

Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η στατικά ισοδύναμη δύναμη Q θα ισούται με το εμβαδόν της τριγωνικής επιφάνειας φόρτισης, δηλαδή θα είναι

Θα απέχει δε απόσταση α από το σημείο Α, ίση με την απόσταση του κέντρου βάρους (Κ.Β.) του τριγώνου, που είναι 2l / 3.

Οι αντιδράσεις στα σημεία στήριξης με βάση τα προηγούμενα θα είναι:

3.3.4. Εντατική κατάσταση δοκού

Για την εξέταση της εντατικής κατάστασης μίας δοκού, θεωρούμε ότι αυτή καταπονείται όχι μόνο από αξονικές δυνάμεις αλλά και από εγκάρσιες. Αυτό βέβαια μπορεί να προκύψει και από ανάλυση σε αξονική και εγκάρσια συνιστώσα κάθε μιας επί μέρους κεκλιμένης δύναμης.

Έστω λοιπόν μία δοκός που φέρει τα εξωτερικά φορτία Ρ1,Ρ2,...,Ρν και η οποία ισορροπεί.

Με τη βοήθεια ενός επιπέδου (Π) θεωρούμε νοητή τομή υ-ν, και χωρίζουμε έτσι τη δοκό σε δύο τμήματα, στο τμήμα (Ι) και στο τμήμα (ΙΙ). Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος του ενός από αυτά, π.χ. του τμήματος (ΙΙ). Για να ισορροπεί αυτό, εκτός από τις εξωτερικές δυνάμεις Ρν-ι,Ρν που ήδη ασκούνται, θα πρέπει επιπλέον να ασκούνται δια μέσου της τομής, η δύναμη R και η ροπή Μ που προέρχονται από τη δράση του τμήματος (Ι) της δοκού, όπως ήδη έχουμε αναφέρει. Από αυτές η R είναι η συνισταμένη των δυνάμεων Ρ1,Ρ2,... που ασκούνται στο τμήμα (Ι) η

84

δε Μ είναι η συνισταμένη ροπή των δυνάμεων αυτών ως προς το κέντρο βάρους Κ της διατομής, ή ταυτόσημα είναι η συνισταμένη της ροπής των δυνάμεων αυτών ως προς το Κ.

Οι R και Μ είναι οι συνισταμένες των εσωτερικών δυνάμεων από το τμήμα (Ι), που μεταβιβάζονται στο τμήμα (Π) δια μέσου της τομής μ-ν.

Τη δύναμη R την αναλύουμε κατά τα γνωστά, σε δύο συνιστώσες, μία κατά τη διεύθυνση του άξονα της δοκού, την Ν που ονομάζεται αξονική ή κάθετη ή και ορθή αξονική δύναμη και μία κάθετη σε αυτήν, την Q που ονομάζεται τέμνουσα δύναμη.

Το διάνυσμα της ροπής Μ, το αναλύουμε σε δύο συνιστώσες, το ΜΙ κατά την διεύθυνση του άξονα της δοκού και το Μ6 κάθετο στον άξονα αυτόν. Από αυτές, η συνιστώσα Μι τείνει να περιστρέψει την δοκό ως προς τον

άξονά της και ονομάζεται ροπή στρέψης, η δε συνιστώσα Μ6 τείνει να κάμψει τον άξονα της δοκού και ονομάζεται ροπή κάμψης.

Στο τμήμα (ΙΙ) της δοκού, φαίνεται η ανάλυση της δύναμης R στις συνιστώσες Ν και Q καθώς της ροπής Μ στις συνιστώσες ροπές Μb και Μt, ενώ η R και η Μ δε φαίνονται άμεσα αλλά με τις συνιστώσες της.

Υπενθυμίζουμε ότι οι ροπές γενικά συμβολίζονται με διανύσματα αλλά με δύο βέλη (για να μη συγχέονται με τις δυνάμεις), ή και με καμπύλα διανύσματα. Στο σχήμα αυτό έχουν σχεδιαστεί με τη δεύτερη μόνο μορφή.

Στη γενική περίπτωση, όλα τα παραπάνω μεγέθη Ν, Q, Μt, Μb

μεταβάλλονται κατά μήκος της δοκού. Έχουμε ήδη εξετάσει την απλούστερη περίπτωση, όσου

δηλαδή την περίπτωση της αξονικής καταπόνησης(εφελκυσμός). Όταν είναι

έχουμε την περίπτωση της λεγόμενης καθαρής κάμψης.

Όταν είναι

έχούμε τη γενική κάμψη.

3.3.5. Προσήμανση των μεγεθών N , Q , M

Σαν κατασκευαστικό στοιχείο η δοκός, χρησιμοποιείται σε πάρα πολλές περιπτώσεις. Ο κυριότερος λόγος είναι ότι μπορεί να δεχθεί φορτία τόσο κατά τη διεύθυνση του άξονά της (αξονικά), όσο και κάθετα σε αυτόν (εγκάρσια ή διατρητικά). Ως εκ τούτου, όπως γνωρίσαμε και στην προηγούμενη παράγραφο, μπορεί να καταπονηθεί αξονικά ή διατρητικά, καμπτικά ή και στρεπτικά ακόμη, δηλαδή σύνθετα.

Τα εξωτερικά φορτία που καταπονούν μία δοκό, εφόσον περιέχονται στο ίδιο επίπεδο με τον άξονά της, έχούν σαν συνέπεια την εμφάνιση σε οποιαδήποτε διατομή της, τριών γενικά εντατικών μεγεθών. Αυτά είναι:

85

ί. Η αξονική ή ορθή δύναμη, πού συμβολίζεται με Ν

ii. Η τέμνουσα δύναμη που συμβολίζεται με Q

iii. Η καμπτική ροπή ή ροπή κάμψης που συμβολίζεται με Μb αλλά πού για λόγους συντομίας, στα επόμενα θα την συμβολίζουμε με Μ.

Τα τρία αυτά στατικά εντατικά μεγέθη Ν, Q, Μ ονομάζονται από κοινού φορτία διατομής, επειδή δρουν και τα τρία σε οποιαδήποτε διατομή της δοκού, ή και εσωτερικές δυνάμεις.

Αν τα εξωτερικά φορτία δεν περιέχονται στο ίδιο επίπεδο, όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, τότε εκτός από τα τρία παραπάνω εντατικά μεγέθη, προστίθεται και η ροπή στρέψης Μ,, οπότε τα φορτία διατομής ανέρχονται σε τέσσερα. Τη γενική περίπτωση αυτή θα την εξετάσουμε αναλυτικά στο Κεφάλαιο 14 της Σύνθετης Καταπόνησης.

Οι ποσότητες Ν(χ). Q(χ), Μ(χ), είναι συναρτήσεις της (τυχαίας) απόστασης χ, εξαρτώνται δηλαδή από την απόσταση της διατομής, αλλά για λόγούς συντομίας θα τις συμβολίζουμε στα επόμενα και απλά Ν, Q, Μ.

Στο σχήμα φαίνεται μία δοκός, που έχει υποστεί νοητή τομή καθώς και τα δύο τμήματά της που προκύπτουν μετά από την τομή. Στα δύο αυτά τμήματα έχούν σημειωθεί ποιες φορές των Ν, Q, Μ, θεωρούνται θετικές για το αριστερό τμήμα και ποιες για το δεξιό, καθώς επίσης έχει σημειωθεί με διακεκομμένη γραμμή η κάτω ίνα που θεωρείται η θετική, και ονομάζεται (θετική) ίνα αναφοράς.

Γενικότερα, αν θεωρήσουμε ένα στοιχειώδες τμήμα της δοκού σαν ελεύθερο σώμα, τότε οι ποσότητες Ν, Q, Μ, θα θεωρούνται θετικές όταν έχουν τις διευθύνσεις του.

α') Σε αυτό παρατηρούμε ότι, η αξονική δύναμη Ν πού εμφανίζεται σε μία διατομή θεωρείται θετική, όταν αυτή τείνει να εφελκύσει το ελεύ-θερο άκρο του σώματος. Αντίθετα, θεωρείται αρνητική όταν τείνει να το θλίψει.

86

β' ) Η τέμνουσα δύναμη Q θεωρείται θετική, όταν τείνει να περιστρέψει το ελεύθερο σώμα δεξιόστροφα ως προς κάποιο εσωτερικό του σημείο έστω το Ο, ή ταυτόσημα θεωρείται θετική όταν τείνει να τμήσει το αριστερό τμήμα της δοκού προς τα επάνω σε σχέση με το δεξιό τμήμα. Αντί6ετα είναι αρνητική όταν τείνει να το στρέψει αριστερόστροφα ή να τμήσει το αριστερό τμήμα προς τα κάτω.

γ') Η καμπτική ροπή Μ που εμφανίζεται σε μία διατομή θεωρείται θετική όταν τείνει να εφελκύσει τον κάτω ίνα της δοκού (που συμβολίζεται με μια διακεκομμένη γραμμή στο κάτω της μέρος) ή ταυτόσημα όταν τείνει να στρέψει τα κοίλα προς τα απάνω. Στην αντίθετη περίπτωση η ροπή κάμψης θεωρείται αρνητική.

3.3.6. Αξονική και τέμνουσα δύναμη. Ροπή κάμψης

Προκειμένου να υπολογίσουμε τα τρία εντατικά μεγέθη Ν, Q, Μ, θεωρούμε την πραγματική αμφιέρειστη δοκό, στην οποία δρουν τα φορτία Ρ1 σε απόσταση α από τον πείρο Α και με γωνία φ ως προς τον άξονα της ράβδου το Ρ2 σε απόσταση β, τα οποία περιέχονται στο επίπεδο φόρτισης, δηλαδή στο επίπεδο που περιέχει τα Ρ1 και Ρ2 καθώς και τον άξονα της δοκού.

Θεωρούμε δεξιόστροφο σύστημα αξόνων με αρχή τον πείρο Α, έτσι ώστε ο άξονας χ να συμπίπτει με το διαμήκη άξονα της δοκού, ενώ ο άξονας y να κατευθύνεται προς τα κάτω, οπότε οι άξονες y και z ορίζουν το επίπεδο της διατομής.

Αναλύουμε κατόπιν την κεκλιμένη δύναμη Ρ1 σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες. Στην οριζόντια Ρ1Χ=Ρ1 cοsφ κατά τον άξονα χ της δοκού, και στην κατακόρυφη Ρ1Υ=Ρ1 sinφ .

87

Στη συνέχεια σχεδιάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος (Δ.Ε.Σ.) της δοκού, αντικαθιστώντας την πραγματική δοκό με τη γραμμική ΑΒ. Τοποθετούμε τις εξωτερικές δυνάμεις Ριχ, Ριy, Ρ2, ενώ στη θέση της άρθρωσης Α τις αντιδράσεις ΗΑ , VA, και στη θέση της κύλισης, την αντίδραση VB. Εφαρμόζουμε στη συνέχεια τις στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας σε ολόκληρη τη ράβδο, προκειμένου να υπολογίσουμε τις άγνωστες αντιδράσεις ΗΑ, VA, VB. Έτσι έχουμε:

88

Φανταζόμαστε στη συνέχεια ότι αποκόπτουμε τη δοκό με μία κατα-κόρυφη τομή μ-ν, μεταξύ των Ρ1, Ρ2 σε απόσταση χ από την άρθρωση Α και ότι απομακρύνουμε το δεξιό τμήμα της δοκού. Για να εξετάσουμε την ισορροπία του αριστερού τμήματος, πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι εκτός της εξωτερικής δύναμης Ρl και των αντιδράσεων ΗΑ, VΑ, ενεργούν ακόμη στο τμήμα αυτό και οι εσωτερικές δυνάμεις, οι οποίες είναι κατανεμημένες σε όλη τη διατομή μ-ν και οι οποίες αντιπροσωπεύουν τη δράση του δεξιού τμήματος της δοκού, στο αριστερό. Η κατανομή των εσωτερικών αυτών δυνάμεων είναι άγνωστη και είναι αρκετά δύσκολο να υπολογιστεί. Υπολογίζεται όμως η συνισταμένη τους, η οποία πρέπει να είναι τέτοια ώστε να εξισορροπεί τις δυνάμεις Ρ1, ΗΑ, VA.

Γνωρίζουμε ότι η συνισταμένη αυτή δύναμη, μπορεί να αντικατασταθεί στατικά ισοδύναμα από μία ίση mς δύναμη που δρα στο κέντρο βάρους Κ της διατομής μ-ν (όχι υποχρεωτικά κάθετα σε αυτήν) και από μία ροπή που δρα στο επίπεδο φόρτισης. Στη συνέχεια, η δύναμη αυτή αναλύεται σε δύο κάθετες συνιστώσες, την Ν(χ) κάθετη στο επίπεδο τομής και την Q(χ) η οποία περιέχεται στο επίπεδο τομής. Έτσι η συνισταμένη εσωτερική δύναμη αντιπροσωπεύεται από τις τρεις ποσότητες Ν(χ), Q(χ), Μ(χ), που είναι σχεδιασμένες κατά τη θετική φορά.

3.3.7. Σχέση μεταξύ Q και M

Θεωρούμε δύο τομές μ-ν και μ'-ν σε δύο παράπλευρες διατομές μιας δοκού που απέχουν μεταξύ τους στοιχειώδη απόσταση dχ. Αποκόπτεται έτσι από τη δοκό ένα στοιχείο της, που στην αριστερή του έδρα ασκούνται η τέμνουσα δύναμη Q καθώς και η καμπτική ροπή Μ, τις οποίες θεωρούμε θετικές. Για την περαιτέρω μελέτη, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.

i. Αν μεταξύ των διατομών μ-ν και μ'-ν' δεν εφαρμόζεται κανένα εξωτερικό φορτίο, τότε στη δεξιά έδρα του στοιχείου αυτού θα ασκούνται, τέμνουσα δύναμη επίσης Q καθώς και καμπτική ροπή (Μ+dΜ), όπου dΜ είναι η μεταβολή της καμπτικής ροπής Μ μεταξύ των δύο αυτών διατομών.

Επειδή το στοιχείο αυτό ισορροπεί, θα πρέπει και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς το σημείο Κ (που είναι το κέντρο βάρους της διατομής), να είναι μηδέν, δηλαδή:

89

Από την παραπάνω σχέση, προκύπτει το εξής συμπέρασμα:

" Σε διατομές της δοκού μεταξύ των συγκεντρωμένων δυνάμεων, η μεταβολή της καμπτικής ροπής ως προς το μεταβλητό μήκος χ ισούται με την τέμνουσα δύναμη ".

ii. Αν μεταξύ των διατομών μ-ν και μ'-ν' υπάρχει και κατανεμημένο φορτίο, έντασης q(χ) στην αριστερή έδρα και q(χ) + dq(χ) στη δεξιά εφαρμόζοντας τη συνθήκη ισορροπίας για τις ροπές του στοιχείου αυτού ως προς το σημείο Κ, περίπου θα ισχύει

Στη σχέση αυτή, επειδή ο τελευταίος όρος αντιπροσωπεύει πολύ μικρή ποσότητα, μπορεί χωρίς αισθητό λάθος να παραληφθεί, οπότε ξαναβρίσκουμε ότι Q=dMldx, που βρήκαμε και στην περίπτωση ί.

Στο στοιχείο αυτό θα πρέπει επίσης, το αλγεβρικό άθροισμα των κατακόρυφων δυνάμεων να είναι μηδέν, δηλαδή:

Από την παραπάνω εξίσωση, προκύπτει το συμπέρασμα ότι:

" Στην ειδική περίπτωση που η δοκός φέρει ομοιόμορφο φορτίο με σταθερή ένταση (q(χ) -- σταθερά), η τέμνουσα δύναμη στην περιοχή αυτή, μεταβάλλεται γραμμικά σε συνάρτηση με το χ ".

Προφανώς, αν το κατανεμημένο φορτίο q(χ) μεταβάλλεται γραμ-μικά με το χ, τότε η τέμνουσα δύναμη Q θα μεταβάλλεται παραβολικά, (καμπύλη δευτέρου βαθμού), κ.ο.κ. Έτσι συμπεραίνουμε επίσης ότι:

90

" Αν δεν υπάρχει κατανεμημένο φορτία σε μία περιοχή της δοκού jq(χ) = 0~, η τέμνουσα δύναμη είναι σταθερή ποσότητα, δηλαδή είναι ανεξάρτητη του χ ".

iii. Αν τέλος, μεταξύ των διατομών μ-ν και μ'-ν' ενεργεί συγκ8ντρωμένο φορτίο Ρ, και Q είναι η τέμνουσα δύναμη στην αριστερή έδρα, ενώ στη δεξιά είναι Q > τότε εφαρμόζοντας τη συνθήκη ισορροπίας των δυνάμεων ως προς τον κατακόρυφο άξονα, βρίσκουμε

Από τη σχέση αυτή, φαίνεται ότι υπάρχει απότομη μεταβολή της τέμνουσας δύναμης στο στοιχειώδες μήκος dχ, που το ονομάζουμε συνήθως άλμα (ασυνέχεια της συνάρτησης).

Εντελώς αντίστοιχα, άλμα παρατηρείται επίσης στη ροπή κάμψης Μ στα σημεία που ασκούνται εξωτερικές ροπές, καθώς και στην αξονική δύναμη Ν στα σημεία που ασκούνται αξονικές δυνάμεις. Προφανώς, και η παράγωγος dΜldx στο σημείο εφαρμογής της δύναμης Ρ, θα παρουσιάζει ασυνέχεια.

Συνοψίζοντας τις σχέσεις και για τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις, έχουμε:

Από τη Μαθηματική ανάλυση είναι γνωστό ότι

" Η ροπή κάμψης γίνεται μέγιστη ή ελάχιστη (ακρότατα), εκεί όπου η τέμνουσα δύναμη μηδενίζεται "

Ακόμη πιο συγκεκριμένα, αν η δεύτερη παράγωγος της Μ στην τιμή του χ που μηδενίζεται η τέμνουσα δύναμη προκύψει αρνητική, τότε η Μ έχει μέγιστο. Στην αντίθετη περίπτωση, στο σημείο αυτό η Μ έχει ελάχιστο.

Για εφαρμογή των παραπάνω, ας επανέλθουμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Έτσι, για το ελεύθερο σώμα, υπολογίζουμε τα Ν, Q, Μ από τις συνθήκες ισορροπίας του, αν χρησιμοποιήσουμε το κέντρο βάρους Κ της διατομής μ-ν σαν κέντρο ροπών, οπότε έχουμε:

Οι εξισώσεις δίνουν τα Ν, Q, Μ σε οποιαδήποτε σημείο της διατομής που έχει απόσταση χ, τέτοια ώστε να ισχύει α < χ < β.

Αν στη συνέχεια θεωρήσούμε τομή μ'-ν ; έτσι ώστε να είναι β < χ < l, (Σχ.8.12.ε), από τις συνθήκες ισορροπίας του τμήματος εκείνου της

91

δοκού που κείται αριστερά της τομής ,μ'-ν’ , βρίσκουμε τα αντίστοιχα μεγέθη

Από τις εξισώσεις φαίνεται ακόμη πιο καθαρά, ότι τα μεγέθη Ν, Q, Μ είναι συναρτήσεις της απόστασης χ και θα έπρεπε να συμβολίζονται αντίστοιχα με Ν(χ), Q(χ), Μ(χ), που για λόγους συντομίας μερικές φορές παραλείπούμε όπως αναφέραμε και πάλι.

Για την εύρεση των εσωτερικών εντατικών μεγεθών Q και Μ, μπορούμε να διατυπώσουμε τους εξής κανόνες:

" Η τέμνουσα δύναμη Q σε μια τυχαία διατομή της δοκού, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα όλων των δυνάμεων (και αντιδράσεων) που ασκούνται αριστερά της εξεταζόμενης διατομής Θεωρώντας Θετικές αυτές που συναντούν πρώτα τη Θετική ίνα και μετά τη δοκό.

Ή και διαφορετικά, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των δεξιά της διατομής αλλά με αντίθετο πρόσημο ".

" Η ροπή κάμψης Μ σε μία τυχαία διατομή της δοκού ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων (και αντιδράσεων) που ασκούνται αριστερά της εξεταζόμενης διατομής θεωρώντας Θετικές όσες τείνουν να περιστρέψουν το αριστερό τμήμα περί την τομή δεξιόστροφα, δηλαδή σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού .

Ή και διαφορετικά, ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των δεξιά της διατομής αλλά με αντίθετο πρόσημο ".

Η απόδειξη του δεύτερου σκέλους των πιο πάνω κανόνων προκύπτει εύκολα, αν για την απόδειξη του πρώτου από αυτούς για παράδειγμα, θεωρήσουμε ότι διαιρέσούμε το σύνολο των εξωτερικών δυνάμεων και των αντιδράσεων σε δύο ομάδες, μία προς τα αριστερά με αλγεβρικό άθροισμα Qα και μία προς τα δεξιά με αλγεβρικό άθροισμα Qδ. Για την ισορροπία της δοκού, θα πρέπει Qα + Qδ = 0 ή Qα=Qδ δηλαδή:

" Η τέμνουσα δύναμη του αριστερού τμήματος είναι ίση με την αντίστοιχη του δεξιού, αλλά με αντίθετο πρόσημο ".

Εντελώς ανάλογη είναι και π απόδειξη για τις ροπές του δεύτερου κανόνα.

Το κριτήριο για την επιλογή του τμήματος από αριστερά ή δεξιά της τομής, είναι ο μικρότερος αριθμός δυνάμεων και ροπών που ενεργούν στο τμήμα που τελικά προτιμάται.

Προφανώς, όταν σε μία δοκό δεν ασκούνται οριζόντιες δυνάμεις, η αξονική δύναμη Ν είναι μηδέν, σε όλες τις διατομές της.

Σαν μία ακόμη εφαρμογή των παραπάνω, θεωρούμε αμφιέρειστη δοκό με ομοιόμορφα κατανεμημένο εγκάρσιο φορτίο, έντασης q (Nlm). Υπολογίζουμε τις αντιδράσεις στα σημεία στήριξης, που για λόγους συμμετρίας είναι ίσες και είναι,

92

Για τον υπολογισμό των Q, Μ (εδώ Ν= 0), θεωρούμε τομή μ-ν σε απόσταση χ από το αριστερό άκρο της δοκού, που τη διαχωρίζει στα τμήματα (Ι) και (ΙΙ). Στο αριστερό τμήμα της δοκού (Ι), θα ενεργεί η αντίδραση ql / 2 στο στήριγμά της και το τμήμα εκείνο του κατανεμημένου φορτίου μεταξύ αριστερού στηρίγματος και τομής. Η συνισταμένη του κατανεμημένου αυτού φορτίου είναι qx και δρα σε απόσταση χ/2 από το Α. Οπότε από τις συνθήκες στατικής ισορροπίας του αριστερού τμήματος (I) της δοκού, έχουμε

Αν θεωρήσουμε την ισορροπία του δεξιού τμήματος της δοκού (ή εφαρμόσουμε τους κανόνες που προαναφέραμε), βρίσκουμε

Όπου η αντίδραση (ql/2) θεωρήθηκε θετική διότι συναντά πρώτα τη θετική ίνα και μετά τη δοκό, ενώ η εξωτερική φόρτιση qχ είναι αρνητική διότι συμβαίνει το αντίθετο. Η ροπή της αντίδρασης (ql/2), είναι θετική διότι τείνει να περιστρέψει ως προς την τομή, το τμήμα (Ι) δεξιόστροφα, ενώ για τη ροπή της δύναμης qχ, ισχύει το αντίθετο.

Προφανώς σϊ εξισώσεις για διατομή με δεδομένη απόσταση χ, όπως εύκολα διαπιστώνουμε μετά από λίγη άλγεβρα, συμπίπτουν. Στην περίπτωση που το κατανεμημένο φορτίο δεν είναι εγκάρσιο αλλά είναι με κλίση, το αναλύουμε σε εγκάρσιο (που ήδη εξετάσαμε) και σε οριζόντιο, από το οποίο θα προκύψει οριζόντια αντίδραση σε μία στήριξη, καθώς και αξονική δύναμη Ν στη διατομή της δοκού.

93

Στην γενικότερη περίπτωση που το κατανεμημένο φορτίο επενεργεί με κλίση γωνίας φ και δίνεται από την καμπύλη φόρτισης q = q(χ), αν q(ξ) dξ είναι ένα στοιχειώδες φορτίο με απόσταση ξ από το σημείο Α της δοκού, τότε σε τυχαία θέση χ, η αξονική δύναμη Ν, η τέμνουσα δύναμη Q, καθώς και η ροπή κάμψης Μ, δίνονται αντίστοιχα από τις σχέσεις:

Όπου Αχ, Α y και By είναι οι αντιδράσεις στα σημεία στήριξης, οι οποίες υπολογίζονται με τον τρόπο που αναφέραμε σε προηγούμενη παράγραφο.

Η ίση και αντίθετα δύναμη της τέμνουσας δύναμης σε μία διατομή ονομάζεται ανθιστάμενη τέμνουσα δύναμη, ενώ η ίση και αντίρροπη της ροπής κάμψης καλείται ανθιστάμενη ροπή. Στους υπολογισμούς όμως χρησιμοποιείται συντ59ως η τέμνουσα δύναμη και η ροπή κάμψης.

3.3.8. Διαγράμματα N , Q , M

Με αυτά που γνωρίσαμε μέχρι τώρα, είδαμε ότι όταν μιά δοκός φορτίζεται με κατακόρυφα φορτία, τόσο η τέμνουσα δύναμη Q, όσο και ροπή κάμψης Μ μεταβάλλονται γενικά με την απόσταση χ, η οποία και ορίζει τη θέση της κάθε διατομής της. Για το λόγο αυτό, είναι χρήσιμο να σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των ποσοτήτων αυτών κατά μήκος της δοκού. Έτσι, στη μεν τετμημένη σχεδιάζουμε τη θέση χ της διατομής της δοκού, στη δε τεταγμένη την αντίστοιχη τιμή της αξονικής δύναμης ή τέμνουσας δύναμης Q ή της ροπής κάμψης Μ.

Οι γραφικές αυτές παραστάσεις ονομάζονται διαγράμματα αξονικών (Δ.Α.Δ) ή τεμνουσών δυνάμεων (Δ.Τ.Δ.) και ροπών κάμψης (Δ.Ρ.Κ.).

94

Για την κατασκευή των διαγραμμάτων αυτών, είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι μερικοί κανόνες, οι οποίοι απορρέουν από τις εξισώσεις που αποδείξαμε στις προηγούμενες παραγράφους, και οι οποίοι είναι:

i. Σε αφόρτιστη περιοχή της δοκού (όπου q=0), η τέμνουσα δύναμη Q έχει σταθερή τιμή και παρίσταται από ευθεία που είναι παράλληλη με τον άξονα της δοκού. Η δε καμπτική ροπή Μ, μεταβάλλεται γραμμικά και παρίσταται από κεκλιμένη ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης Q.

ίί. Σε περιοχή της δοκού που φορτίζεται ομοιόμορφα από κατανεμημένο φορτίο q, η Q μεταβάλλεται γραμμικά, παρίσταται δε από ευθεία με κλίση - q . Η Μ μεταβάλλεται παραβολικά (καμπύλη δευτέρου βαθμού).

ίίi. Σε περιοχή της δοκού που φορτίζεται γραμμικά (τριγωνική ή τραπεζοειδής φόρτιση), δηλαδή το q(χ) είναι εξίσωση πρώτού βαθμού, η Q μεταβάλλεται παραβολικά σε συνάρτηση με το χ, ενώ η Μ μεταβάλλεται κατά καμπύλη τρίτου βαθμού.

Γενικά, αν το εξωτερικό κατανεμημένο φορτίο q(χ) σε ένα τμήμα της δοκού είναι συνάρτηση ν βαθμού, τότε π τέμνουσα δύναμη Q είναι βαθμού ν + Ι , ενώ η καμπτική ροπή Μ είναι ν + 2.

ίν. Η Μ παίρνει ακρότατες τιμές (μέγιστο ή ελάχιστο), εκεί όπου μηδενίζεται η τέμνουσα δύναμη.

ν. Η τιμή της Μ σε κάποια διατομή μπορεί να βρεθεί, αν στην τιμή της καμπτικής ροπής άλλης διατομής, προσθέσουμε αλγεβρικά το εμβαδόν του διαγράμματος των τεμνουσών δυνάμεων που μεσολαβεί ανάμεσα στις δύο αυτές διατομές.

Πράγματι αν στη θέση χι η τιμή της καμπτικής ροπής είναι Μ1 και στη Θέση χ2 είναι Μ2, Θα έχουμε:

dM = Q dx

και ολοκληρώνοντας την παραπάνω εξίσωση από x1 έως x2, βρίσκουμε

Το ολοκλήρωμα όμως του δευτέρου μέλους παριστάνει το εμβαδόν του διαγράμματος τεμνουσών δυνάμεων στο διάστημα μεταξύ χ1 και χ1, οπότε ο ανωτέρω κανόνας αποδείχτηκε.

Για την κατασκευή των (Δ.Τ.Δ.) και (Δ.Ρ.Κ.), χωρίζουμε τη δοκό σε τμήματα, με κριτήρια την εμφάνιση συγκεντρωμένης δύναμης για το διάγραμμα της Q ή συγκεντρωμένης ροπής για το διάγραμμα της Μ, και αρχής ή τέλούς του άλματος στη συνεχή φόρτιση. Δηλαδή, θα πρέπει ο νόμος μεταβολής της εξωτερικής φόρτισης, να είναι ο ίδιος σε όλο το εξεταζόμενο τμήμα. Υπενθυμίζουμε ότι, για τα διαγράμματα της ρ και Μ είναι απαραίτητη πρώτα η εύρεση των αντιδράσεων της δοκού, οι οποίες για ισοστατικές δοκούς βρίσκονται από τις εξισώσεις ισορροπίας που εφαρμόζονται στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος αυτής.

95

Στη συνέχεια, θεωρούμε στα διαγράμματα τις θετικές τέμνουσες δυνάμεις Q προς τα επάνω, ενώ τις θετικές ροπές κάμψης (δεξιόστροφες) Μ προς τα κάτω, οπότε και κατασκευάζουμε τα διαγράμματα Q ή (Δ.Τ.Δ.) και Μ ή (Δ.Ρ.Κ.).

Για την κατασκευή του (Δ.Τ.Δ.), ξεκινάμε με αρχικό σημείο το αριστερό άκρο της δοκού, και ακολουθούμε επακριβώς τη φορά (προς τα επάνω ή προς τα κάτω) των εξωτερικών δυνάμεων αλλά και αντιδράσεων σύμφωνα με τους κανόνες που προαναφέραμε, οπότε τελικά το διάγραμμα πρέπει να κλίνει στο δεξιό άκρο της δοκού.

Για την κατασκευή του (Δ.Ρ.Κ.) ξεκινώντας και πάλι από αριστερά λαμβάνουμε αφενός μεν υπόψη τις εξωτερικές ροπές αλλά και τις ροπές πάκτωσης (αν υπάρχούν) και αφετέρου υπολογίζουμε το εμβαδό του (Δ.Τ.Δ.) αριστερά της κάθε εξεταζόμενης διατομής, το οποίο προσθέτούμε (αλγεβρικά) στην προηγούμενη τιμή της Μ, κ.ο.κ. μέχρις ότου τελικά στο δεξιό άκρο της δοκού, το διάγραμμα να κλείσει.

Διευκρινίζουμε επίσης, ότι για την κατασκευή του (Δ.Ρ.Κ.), θετικές θεωρούνται οι ροπές που είναι δεξιόστροφες, δηλαδή είναι σύμφωνες με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, διαφορετικά θεωρούνται αρνητικές.

Αναφέρουμε επίσης ότι αν, οι θετικές Q και Μ σχεδιάζονται προς τα άνω ή προς τα κάτω είναι θέμα σύμβασης και μόνον. Θεωρούμε όμως, ότι με τον τρόπο που επιλέξαμε για τα θετικά Q (άνω), το (Δ.Τ.Δ.) κατασκευάζεται πολύ εύκολα, ακολουθώντας απλά τη φορά των δυνάμεων και των αντιδράσεων.

Διευκρινίζουμε ακόμη, ότι το πρόσημο της ροπής κάμψης, υποδηλώνει απλά αν αυτή είναι δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη, ενώ στις τεχνικές εφαρμογές ενδιαφέρει σχεδόν αποκλειστικά η απόλυτη τιμή του μεγέθους της ροπής κάμψης ~Μ~ και μόνον και σχεδόν καθόλού η φορά της.

3.3.9. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1: Δοκός ΑΒ στηρίζεται με άρθρωση στο σημείο Α και έδραση στο Β. Φορτίζεται με τα φορτία και . Η γωνία της με τη δοκό είναι . Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις των στηρίξεων και να σχεδιασθούν τα διαγράμματα εσωτερικών δυνάμεων

.

96

AB

A

V

q

P

q

V

H

BA

φ

Py

Px

Σχεδιάζουμε το Δ.Ε.Σ. αντικαθιστώντας τις στηρίξεις με τις δυνάμεις που μεταβιβάζουν και αναλύοντας την σε συνιστώσες κατά τους κύριους άξονες:

Το φορτίο ισοδυναμεί με δύναμη ίση με το εμβαδό του, δηλαδή , άρα οι εξισώσεις ισορροπίας είναι οι εξής:

Αντικαθιστώντας στις παραπάνω τα και επιλύοντας το σύστημα έχουμε:

Για τον υπολογισμό των εσωτερικών δυνάμεων κάνουμε τομές στη δοκό και εξετάζουμε την ισορροπία του ενός από τα δύο τμήματα. Οι συναρτήσεις των εσωτερικών δυνάμεων θα εκφράζονται ως προς και θα είναι αμετάβλητες για τα διαστήματα της δοκού, όπου δεν υπάρχει μεταβολή της εξωτερικής φόρτισης.

97

Συνεπώς, είμαστε υποχρεωμένοι να θεωρήσουμε τόσες τομές όσες είναι και οι περιοχές της δοκού με διαφορετικές συνθήκες φόρτισης. Συγκεκριμένα:

Η πρώτη τομή θα σχεδιασθεί στην περιοχή της δοκού μεταξύ του σημείου Α και του σημείου δράσης της .

Η δεύτερη τομή θα γίνει στην περιοχή μεταξύ του σημείου άσκησης της και του σημείου όπου αρχίζει το συνεχές φορτίο .

Η τρίτη τομή θα είναι στο διάστημα όπου ασκείται το φορτίο .

Κάνουμε την πρώτη τομή σε απόσταση x από το άκρο Α και εξετάζουμε την ισορροπία του αριστερού τμήματος, επειδή έχει τις λιγότερες δυνάμεις και διευκολύνονται οι υπολογισμοί. Στο δεξί άκρο του τμήματος (που είναι ολόσωμο με το υπόλοιπο κομμάτι) θεωρείται ότι υπάρχει πάκτωση, συνεπώς θα ασκούνται αξονικές δυνάμεις (N) τέμνουσες δυνάμεις (Q) και ροπές κάμψης (M). Τις εσωτερικές δυνάμεις τις σχεδιάζουμε με τη συμβατική θετική τους φορά. Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι:

A

VA

H M

N

Q

(1)

(2)

(3)

Px

Py

A

VA

H M

Q

N

Κάνουμε τη δεύτερη τομή σε απόσταση τυχαία από το Α και εφαρμόζουμε τις δυνάμεις στο ελεύθερο άκρο. Οι εξισώσεις ισορροπίας για το κομμάτι αυτό δίνουν:

98

(4)

(5)

(6)

Προχωρούμε τώρα στην κατασκευή της τρίτης τομής. Αυτή θα γίνει σε μια θέση σε απόσταση από το σημείο Α στην περιοχή ενέργειας του φορτίου .

Px

Py

A

VA

H

q

M

N

Q

Οι εξισώσεις ισορροπίας για το τμήμα του σχήματος είναι:

(7)

(8)

(9)

Οι συναρτήσεις (1) ... (9) εκφράζουν όλες τις εσωτερικές δυνάμεις σε όλο το μήκος της δοκού. Συγκεντρωτικά έχουμε:

99

Έχοντας τις συναρτήσεις των εσωτερικών δυνάμεων, μπορούμε πλέον να σχεδιάσουμε τα διαγράμματα .

BA

A B

A B

+

+

+

-

N

Q

M

Όπως παρατηρείτε στις συναρτήσεις των η συνάρτηση της είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης της . Γνωρίζουμε δε, ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο (μέγιστο ή ελάχιστο) εκεί όπου μηδενίζεται η πρώτη παράγωγός της. Σύμφωνα με αυτό, η ροπή θα παρουσιάζει ακρότατη τιμή στο σημείο μηδενισμού της τέμνουσας δύναμης. Πράγματι από το διάγραμμα φαίνεται καθαρά ότι στη θέση , όπου μηδενίζεται η τέμνουσα, έχουμε τη μέγιστη ροπή (Μ=979.3).

3.3.10. Ασκήσεις για λύση

ΑΣΚΗΣΗ 1: Ο φορέας του σχήματος λέγεται τριαρθρωτό πλαίσιο (διότι έχει τρεις αρθρώσεις, στα σημεία Α,Β και Δ). Οι διαστάσεις του φαίνονται στο σχήμα. Τα φορτία που δέχεται είναι:

.

100

BΓ

p

A Δ

q

Ζητούνται τα ακόλουθα:

Να αποδείξετε ότι είναι ισοστατικός φορέας.

Να υπολογίσετε τις αντιδράσεις στηρίξεων.

Να υπολογίσετε τις εσωτερικές δυνάμεις.

Να σχεδιάσετε τα διαγράμματα εσωτερικών δυνάμεων .

Να υπολογίσετε τις ελάχιστες διατομές των δοκών, ώστε να μην υπάρξει αστοχία του φορέα. Ο έλεγχος θα γίνει για τα ακόλουθα υλικά κατασκευής:

Σκυρόδεμα C40 τετραγωνικής διατομής.

Ξυλεία ελάτης κυκλικής διατομής.

Δομικός χάλυβας S400.

ΥΠΟΔΕΙΞΗ: Για το σχεδιασμό των διαγραμμάτων θα θεωρήσετε σε κάθε δοκό του πλαισίου τοπικό σύστημα συντεταγμένων, με άξονα ταυτιζόμενο με τον κεντροβαρικό άξονα της δοκού.

Η εφαρμογή ροπής κάμψης σε μια δοκό ισοδυναμεί με ένα ζεύγος δυνάμεων παράλληλα με τον άξονα της δοκού. Επομένως στα άκρα της δοκού θα εφαρμόζονται εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις ίσες μεταξύ τους και ανάλογες με το ύψος της διατομής.

101

4.ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ4.1. Φυσικά Μεγέθη. Βαθμωτά, Διανυσματικά

4.1.1. Φυσικά Μεγέθη

Οτιδήποτε στη φύση μπορεί να μετρηθεί και να καταταγεί αποτελεί φυσικό μέγεθος. Τα φυσικά μεγέθη δεν είναι τίποτα άλλο από μια αντιστοίχιση των ιδιοτήτων υλικών σωμάτων ή ενεργειακών ποσοτήτων με κάποιο σώμα αριθμών ή μαθηματικό χώρο.

Για παράδειγμα, το βάρος των υλικών σωμάτων είναι ένα φυσικό μέγεθος. Για την περιγραφή του χρησιμοποιεί το σώμα των πραγματικών αριθμών. Για να μπορέσει να υπάρξει μια αντιστοίχιση του βάρους με τους πραγματικούς αριθμούς, πρέπει να ορισθεί το βάρος που αντιστοιχεί στον αριθμό 1. Αυτή είναι η λεγόμενη μονάδα μέτρησης του βάρους. Σε διάφορους τόπους και εποχές έγιναν αρκετές προσπάθειες για ορισμό της μονάδας βάρους. Άλλοι δέχθηκαν το κιλό, άλλοι την λίμπρα, άλλοι την ουγκιά κ.ο.κ. Όποια μονάδα και αν δεχθούμε, για τη μέτρηση του βάρους ενός σώματος γίνεται σύγκριση του βάρους του με τη μονάδα βάρους. Το αποτέλεσμα είναι ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται μέτρο.

Άλλο παράδειγμα φυσικού μεγέθους είναι η ταχύτητα του ανέμου. Για την περιγραφή της ταχύτητας του ανέμου, όμως, δεν αρκεί η αντιστοίχισή της με ένα πραγματικό αριθμό και την ανάλογη μονάδα μέτρησης. Είναι υποχρεωτικό να δοθεί και η διεύθυνση του ανέμου. Έχετε όλοι την εμπειρία της αναγγελίας του δελτίου καιρού, όπου οι άνεμοι περιγράφονται με το μέτρο τους αλλά και την προέλευσή τους (βόρειοι, νοτιοδυτικοί κλπ). Συνεπώς, υπάρχουν φυσικά μεγέθη, που για τον προσδιορισμό τους απαιτείται το μέτρο και η διεύθυνση.

4.1.2. Βαθμωτά Μεγέθη.

Βαθμωτό είναι ένα μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου αρκεί ο προσδιορισμός του μέτρου του (πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης).

Ο συμβολισμός των βαθμωτών μεγεθών γίνεται με χρήση γραμμάτων του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου. Υπάρχει διάκριση μεταξύ κεφαλαίων και πεζών γραμμάτων Παραδείγματα βαθμωτών μεγεθών: (μάζα) m, (χρόνος) t, (θερμοκρασία) T

Παραδείγματα μέτρησης βαθμωτών μεγεθών: μάζα m=5Kg, χρόνος t=34sec, θερμοκρασία T=20oC.

4.1.3. Διανυσματικά μεγέθη.

Διανυσματικό είναι ένα μέγεθος, για την περιγραφή του οποίου χρειάζεται ο προσδιορισμός του μέτρου (πραγματικός αριθμός και μονάδα μέτρησης) και της διεύθυνσής του (γωνία κατά την οποία εφαρμόζεται).

Ο αναλυτικός συμβολισμός των διανυσμάτων γίνεται με ελληνικούς ή λατινικούς χαρακτήρες πάνω από τους οποίους τοποθετείται ένα μικρό οριζόντιο βέλος: . Το μέτρο τους συμβολίζεται με τον τελεστή της απόλυτης τιμής: . Σε μερικές βιβλιογραφίες, για την παράσταση διανύσματος χρησιμοποιείται έντονη γραφή χωρίς βέλος πάνω από το σύμβολο ( ) και για την παράσταση του μέτρου διανύσματος αρκεί η χρήση του συμβόλου του χωρίς βέλος ( ).

102

Παραδείγματα μέτρησης διανυσμάτων είναι τα ακόλουθα: μετατόπιση u=30cm κατά διεύθυνση 25ο ως προς τον άξονα χ, ταχύτητα V=10m/sec κατά τη διεύθυνση του άξονα ψ, δύναμη P=2t κατά διεύθυνση 45ο ως προς τον άξονα χ.

Η γραφική απεικόνιση των διανυσμάτων γίνεται με βέλη μήκους ανάλογου με το μέτρο τους και διεύθυνσης ίδιας με εκείνη του διανύσματος. Η αρχή κάθε βέλους λέγεται αρχικό σημείο και το τέλος του τελικό σημείο του διανύσματος.

A

4.1.4. Άλγεβρα διανυσμάτων .

Για τη θεμελίωση της άλγεβρας διανυσμάτων, δηλαδή των νόμων που ορίζουν την εκτέλεση πράξεων σε αυτά, είναι απαραίτητη η θεώρηση δύο πολύ βασικών διανυσμάτων: του ουδέτερου και του μηδενικού στοιχείου των πράξεων. Πάνω στο χώρο των διανυσμάτων ορίζονται δύο πράξεις: η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού είναι το μοναδιαίο διάνυσμα. Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Μοναδιαίο διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα με μέτρο ίσο με 1, δηλαδή .

Μηδενικό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα με μέτρο ίσο με 0, δηλαδή .

Για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (δηλαδή ) υπάρχει διάνυσμα

, το οποίο είναι μοναδιαίο διάνυσμα και έχει διεύθυνση ίδια με του

.

Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν έχουν ίσα μέτρα και την ίδια διεύθυνση, ανεξάρτητα από τη θέση της αρχής τους.

A

B

Δύο διανύσματα είναι αντίθετα εάν έχουν το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετη διεύθυνση. Το αντίθετο διάνυσμα του συμβολίζεται σαν .

103

A

B

Δύο διανύσματα λέγονται επάλληλα, όταν το τέλος του πρώτου αποτελεί αρχή του δεύτερου.

B

Άθροισμα δύο επάλληλων διανυσμάτων , αποτέλεσμα της πρόσθεσης , είναι διάνυσμα, το οποίο έχει ίδια αρχή με το και ίδιο τέλος με το .

A

B

C

Διαφορά δύο διανυσμάτων είναι ένα διάνυσμα , το οποίο σχηματίζεται σαν άθροισμα του και του , δηλαδή .

Στο προηγούμενο σχήμα το διάνυσμα είναι η διαφορά του από το . Πράγματι, από τη σχέση με μετασχηματισμό έχουμε:

.

Γινόμενο διανύσματος με ένα βαθμωτό μέγεθος είναι ένα νέο διάνυσμα με μέτρο και διεύθυνση ίδια ή αντίθετη με αυτήν του διανύσματος , εξαρτώμενη από το πρόσημο του βαθμωτού .

104

A

2A

A

-2A

4.1.5. Ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα

Μια σημαντική τριάδα μοναδιαίων διανυσμάτων είναι αυτά που έχουν τις διευθύνσεις των κυρίων αξόνων Ox, Oy, Oz ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων Oxyz.

i

k

j

x

y

z

O

4.1.6. Νόμοι άλγεβρας διανυσμάτων .

Εάν είναι διανύσματα και είναι βαθμωτά ισχύουν οι εξής νόμοι:

Αντιμεταθετικός νόμος πρόσθεσης

Προσεταιριστικός νόμος πρόσθεσης

Αντιμεταθετικός νόμος πολλαπλασιασμού

Προσεταιριστικός νόμος πολλαπλασιασμού

Επιμεριστικός νόμος

Επιμεριστικός νόμος

4.1.7. Συνιστώσες διανυσμάτων

Κάθε διάνυσμα μπορεί να μετατοπισθεί παράλληλα, έτσι ώστε η αρχή του να συμπίπτει με την αρχή Ο ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων Oxyz. Έστω Αx,Αy,Αz οι ορθογώνιες συντεταγμένες του τέλους του διανύσματος. Τα διανύσματα

λέγονται συνιστώντα διανύσματα του και, όπως φαίνεται στο

105

παρακάτω σχήμα, ισχύει . Συνεπώς, μπορούμε να γράφουμε

.

Τα βαθμωτά μεγέθη Αx,Αy,Αz λέγονται συνιστώσες του διανύσματος .

Az

Ay

Ax

k

ij

x

y

z

O

A

Ax

Ay

Το μέτρο του διανύσματος είναι: .

4.1.8. Διανύσματα θέσης

Σε κάθε σημείο P του χώρου (ο οποίος ορίζεται από ένα σύστημα Oxyz), μπορεί να αντιστοιχηθεί ένα διάνυσμα με αρχή το σημείο Ο και πέρας το σημείο Ρ. Το διάνυσμα λέγεται διάνυσμα θέσης του σημείου Ρ.

4.1.9. Διανύσματα μετατόπισης

Σε κάθε ζεύγος σημείων του χώρου P και R αντιστοιχεί ένα διάνυσμα με αρχή το πρώτο σημείο και τέλος το δεύτερο. Το διάνυσμα

λέγεται διάνυσμα μετατόπισης του σημείου R ως προς το σημείο P.

4.1.10. Λυμένες Ασκήσεις

1: Δεδομένων δύο μη παράλληλων διανυσμάτων να βρεθεί σχέση που ορίζει κάθε διάνυσμα του επιπέδου των .

106

O

a

A

D R

b BC

r

Αφού τα διανύσματα δεν είναι παράλληλα, μπορούν να μετατεθούν έτσι ώστε οι αρχές τους να συμπέσουν με το σημείο Ο, οπότε ορίζουν ένα επίπεδο. Έστω τυχόν διάνυσμα του επιπέδου αυτού. Το διάνυσμα μπορεί να μετατοπισθεί παράλληλα, έτσι ώστε η αρχή του να συμπέσει με το Ο. Από το πέρας R του φέρομε ευθείες RC, RD παράλληλες προς τα αντίστοιχα. Τότε το διάνυσμα είναι συγγραμμικό με το και το με το . Επομένως θα ισχύουν τα εξής (βλέπε πολλαπλασιασμό διανύσματος με βαθμωτό):

, όπου m είναι βαθμωτό μέγεθος(1)

, όπου n είναι βαθμωτό μέγεθος(2)

Παρατηρούμε επί πλέον ότι:

(3)

Επειδή το ODRC είναι παραλληλόγραμμο, ισχύει:

(4)

Από τις (1),(2),(3),(4) προκύπτει ότι:

(5)

Η σχέση (5) εκφράζει το τυχόν διάνυσμα του επιπέδου των σε συνάρτηση με τα διανύσματα αυτά.

2: Δεδομένων τριών μη συνεπίπεδων διανυσμάτων να βρεθεί σχέση που ορίζει κάθε διάνυσμα στο χώρο τριών διαστάσεων.

107

r2

r1

Q

Rr

P

r1

Ob

a

c

Μετατοπίζουμε τα διανύσματα , και έτσι ώστε οι αρχές τους να συμπέσουν στο σημείο Ο. Από το πέρας R του φέρουμε την RP κάθετη στο επίπεδο των και την QR παράλληλη στην OP. Από το σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο OQRP βλέπουμε ότι ισχύει:

(1)

Το διάνυσμα είναι συγγραμμικό του , άρα:

(2)

Το διάνυσμα ανήκει στο επίπεδο των και όπως αποδείξαμε στην προηγούμενη άσκηση:

(3)

Από τις (1),(2),(3) έχουμε τελικά:

(4)

Η σχέση (4) εκφράζει το τυχόν διάνυσμα του χώρου σε συνάρτηση με τρία μη συνεπίπεδα διανύσματα.

3: Εάν τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, να αποδειχθεί ότι εάν ισχύει τότε υποχρεωτικά θα είναι .

Η απόδειξη θα γίνει με την εις άτοπο απαγωγή.

Ας υποθέσουμε ότι . Τότε από την σχέση προκύπτει:

(1)

Η σχέση (1) εκφράζει ότι τα διανύσματα είναι παράλληλα (πολλαπλασιασμός διανύσματος με βαθμωτό), και έρχεται σε αντίθεση με τα δεδομένα του προβλήματος. Άρα η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη. Συνεπώς:

(2)

108

Αντικαθιστώντας το x στην σχέση , έχουμε:

(3)

Οι σχέσεις (2),(3) αποδεικνύουν το ζητούμενο .

4: Εάν τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά, και ισχύει η

σχέση , όπου είναι βαθμωτά, να αποδειχθεί

ότι και .

Η δεδομένη σχέση μπορεί να γραφεί ως εξής:

(1)

Στην άσκηση 3 αποδείχθηκε ότι για να ισχύει η σχέση (1) πρέπει:

και .

Από τις τελευταίες σχέσεις προκύπτει το ζητούμενο: και

.

5: Αποδείξτε ότι οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου διχοτομούνται.

A D

B C

P

b

b

aa

Ας θεωρήσουμε το παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος. Οι διαγώνιοι τέμνονται έστω στο σημείο P. Ορίζουμε τα διανύσματα που φαίνονται στο σχήμα.

Για τα παραπάνω διανύσματα ισχύουν:

Το διάνυσμα είναι συνευθειακό με το και επομένως:

(1)

Επίσης, το διάνυσμα είναι συνευθειακό με το και επομένως:

(2)

109

Επί πλέον ισχύει:

(3)

Αντικατάσταση των (1),(2) στην (3) δίνει:

(4)

Η μορφή της σχέσης (4) είναι όμοια με τη μορφή της σχέσης στην προηγούμενη άσκηση. Άρα θα ισχύουν:

Αντικαθιστώντας τα m,n στις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει το ζητούμενο:

και

δηλαδή το σημείο P διχοτομεί και τις δύο διαγωνίους.

4.1.11. Ασκήσεις για λύση

1: Δίνονται τα διανύσματα:

Να ευρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων:

α) β) γ)

2: Δίνονται τα διανύσματα:

Να βρεθούν τιμές για τα βαθμωτά μεγέθη a,b,c, ώστε να ισχύει: .

3: Να βρεθεί μοναδιαίο διάνυσμα παράλληλο στο άθροισμα των διανυσμάτων και

4: Δίνεται τυχόν τετράπλευρο ABCD. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο, που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών του ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

5: Δίνεται παραλληλόγραμμο ABCD. Αν P και Q είναι τα μέσα των πλευρών BC και CD αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι οι ευθείες AP και AQ τριχοτομούν τη διαγώνιο BD.

110

4.1.12. Εσωτερικό γινόμενο

Εσωτερικό (ή βαθμωτό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος ίσο με το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων επί το συνημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με μια κουκίδα μεταξύ των διανυσμάτων. Συμβολικά γράφουμε:

όπου

Ισχύουν οι ακόλουθοι νόμοι εσωτερικού γινομένου:

4.1.13. Εξωτερικό γινόμενο

Εξωτερικό (ή διανυσματικό) γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διανυσματικό μέγεθος κάθετο στο επίπεδο των , με φορά που ορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία και μέγεθος ίσο με το γινόμενο των μέτρων των επί το ημίτονο της περιεχόμενης γωνίας. Η πράξη συμβολίζεται με ένα μεταξύ των διανυσμάτων. Συμβολικά, λοιπόν, γράφουμε:

όπου

Στην παραπάνω σχέση το είναι μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη διεύθυνση του . Επομένως το μέτρο του εξωτερικού γινομένου είναι:

Ισχύουν οι ακόλουθοι νόμοι εξωτερικού γινομένου:

111

4.1.14. Τριπλό γινόμενο

Τριπλό γινόμενο τριών διανυσμάτων λέγεται το βαθμωτό

μέγεθος . Το τριπλό γινόμενο δίνει τον όγκο παραλληλεπιπέδου με μήκη πλευρών ίσα με τα διανύσματα .

Ισχύουν οι ακόλουθοι νόμοι τριπλού γινομένου:

4.1.15. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΗ 1: Για δύο τυχόντα διανύσματα και

να αποδειχθεί ότι .

Με απλή αντικατάσταση των διανυσμάτων έχουμε:

112

ΑΣΚΗΣΗ 2: Να ευρεθεί η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και .

Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου, προκύπτει:

(1)

Όπως αποδείχθηκε στην προηγούμενη άσκηση, ισχύει:

(2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

ΑΣΚΗΣΗ 3: Υπολογίστε την τιμή a ώστε το διάνυσμα να είναι κάθετο στο διάνυσμα .

Για να είναι κάθετα δύο μη μηδενικά διανύσματα πρέπει να έχουν εσωτερικό γινόμενο ίσο με μηδέν. Συνεπώς πρέπει:

ΑΣΚΗΣΗ 4: Να αποδειχθεί ότι το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου με πλευρές και είναι ίσο με .

A

B C

Db

a

h

θ

Στο παραλληλόγραμμο του σχήματος τα μήκη των πλευρών είναι:

και (1)

Το εμβαδό του παραλληλογράμμου δίνεται από τον τύπο:

(2)

Το ύψος του παραλληλογράμμου είναι:

113

(3)

Με αντικατάσταση των (1) και (3) στη (2), έχουμε:

ΑΣΚΗΣΗ 5: Αν τα σημεία P,Q,R δεν είναι συνευθειακά και έχουν διανύσματα θέσης αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι το διάνυσμα

είναι κάθετο στο επίπεδο, που ορίζουν τα P,Q,R.

Έστω S τυχόν σημείο του επιπέδου των P,Q,R και το διάνυσμα θέσης του. Τότε τα διανύσματα ανήκουν όλα στο επίπεδο των P,Q,R . Αν θεωρήσουμε το σημείο Ο σαν αρχή του συστήματος συντεταγμένων, τότε θα έχουμε:

(1)

Επειδή τα διανύσματα είναι συνεπίπεδα, το τριπλό γινόμενο μεταξύ τους είναι μηδέν, συνεπώς:

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) με τη (2) παίρνουμε:

114

Από την τελευταία εξίσωση προκύπτει ότι το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα το οποίο ανήκει

στο επίπεδο των P,Q,R. Το σημείο S όμως έχει επιλεγεί τυχαία. Άρα το διάνυσμα είναι κάθετο σε κάθε διάνυσμα του επιπέδου, άρα κάθετο στο επίπεδο των P,Q,R.

4.1.16. Ασκήσεις για λύση

ΑΣΚΗΣΗ 1: Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω διανύσματα σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

(Υπόδειξη: Πρώτα θα αποδειχθεί ότι όντως σχηματίζουν τρίγωνο).

ΑΣΚΗΣΗ 2: Δύο πλευρές τριγώνου σχηματίζονται από τα διανύσματα:

Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

(Υπόδειξη: Χρήση εσωτερικού γινομένου).

ΑΣΚΗΣΗ 3: Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου δίνονται από τα διανύσματα:

Να αποδειχθεί ότι το σχήμα είναι ρόμβος και να υπολογισθούν τα μήκη των πλευρών και οι γωνίες του.

(Υπόδειξη: Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι κάθετες).

ΑΣΚΗΣΗ 4: Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών παραλληλογράμμου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των διαγωνίων του.

ΑΣΚΗΣΗ 5: Να υπολογίσετε το εμβαδό παραλληλογράμμου με διαγωνίους:

115

(Υπόδειξη: Οι πλευρές του παραλληλογράμμου είναι το ημιάθροισμα και η ημιδιαφορά των διαγωνίων του).

4.2. Θεωρία πινάκων

4.2.1. Πίνακες

Πίνακας λέγεται οποιαδήποτε ορθογωνική διάταξη αριθμών με την μορφή:

Ένας πίνακας, του οποίου τα στοιχεία βρίσκονται σε μία μόνο γραμμή, λέγεται πίνακας – γραμμή. Π.χ.

Ένας πίνακας, του οποίου τα στοιχεία βρίσκονται σε μία μόνο στήλη, λέγεται πίνακας – στήλη. Π.χ.

Ένας πίνακας - γραμμή ή πίνακας - στήλη λέγεται κα πίνακας – διάνυσμα. Ένας πίνακας του οποίου ο αριθμός γραμμών είναι ίσος με τον αριθμό στηλών m=n, λέγεται τετραγωνικός πίνακας.

4.2.2. Πράξεις πινάκων.

Άθροισμα δύο πινάκων Α και Β ίδιου τύπου (m επί n) λέγεται ένας πίνακας C ίδιου τύπου με τους Α και Β (m επί n), που κάθε στοιχείο του είναι το άθροισμα των στοιχείων ίδιας τάξης των Α και Β. Δηλαδή

για κάθε i,j.

Γινόμενο πίνακα Α με αριθμό λ είναι ένας νέος πίνακας D, του οποίου κάθε στοιχείο είναι το γινόμενο του στοιχείου ίδιας τάξης του πίνακα Α με τον αριθμό λ. Δηλαδή για κάθε i,j

Γινόμενο δύο πινάκων Α και Β, των οποίων οι μορφές είναι mXn και nXp αντίστοιχα, δηλαδή ο δεύτερος έχει τόσες γραμμές όσες οι στήλες του πρώτου, είναι ένας νέος πίνακας C μορφής mXp δηλαδή έχει

116

όσες γραμμές ο Α και όσες στήλες ο Β και του οποίου κάθε στοιχείο

δίνεται από τη σχέση

Ανάστροφος πίνακας λέγεται αυτός που προκύπτει από την μετάθεση των γραμμών του στη θέση των στηλών του πίνακα

4.2.3. Ορίζουσες

Ορίζουσα A λέγεται κάθε διάταξη αριθμών με μορφή τετραγωνικού πίνακα (ίσος αριθμός γραμμών και στηλών) mXm η οποία αντιστοιχεί σε μια τιμή (ένα αριθμό) που ονομάζεται τιμή της ορίζουσας. Για παράδειγμα:

Η ορίζουσα Α είναι τάξης m.

Μια ορίζουσα Β λέγεται ελάσσων ορίζουσα της Α όταν προκύπτει από την Α με αφαίρεση μιας γραμμής και μιας στήλης. Συνεπώς κάθε ορίζουσα m τάξης θα έχει ελάσσονες ορίζουσες. Κάθε ελάσσων ορίζουσα που προκύπτει μετά την αφαίρεση της γραμμής και της στήλης της Α συμβολίζεται με .

Η χαμηλότερη δυνατή τάξη ορίζουσας είναι 2, δηλαδή ορίζουσα 2 γραμμών και 2 στηλών. Η τιμή της ορίζουσας τάξης 2 είναι:

Η τιμή μιας ορίζουσας mXm υπολογίζεται από τη σχέση:

Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για κάθε μια ελάσσονα ορίζουσα, μέχρι υποβιβασμού σε ορίζουσες 2Χ2.

4.2.4. Συστήματα εξισώσεων

Τα συστήματα εξισώσεων με αγνώστους μπορούν να παρασταθούν σαν μια εξίσωση του γινόμενου δύο πινάκων, του πίνακα των συντελεστών επί το διάνυσμα των αγνώστων προς ένα τρίτο διάνυσμα το διάνυσμα των σταθερών.

Για παράδειγμα:

117

Η τιμή του αγνώστου είναι ίση με το πηλίκο της ορίζουσας, που προκύπτει από την ορίζουσα των συντελεστών μετά την αντικατάσταση της στήλης με τη στήλη των σταθερών, προς την ορίζουσα των συντελεστών.

4.2.5. Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1.

Δίνονται οι πίνακες .

Να υπολογισθούν οι εξής πίνακες: 1. , 2.

1.

2.

Άσκηση 2.

Να υπολογισθεί η τιμή της ορίζουσας:

Με τη μέθοδο των ελασσόνων οριζουσών εκτελούμε κατά σειρά τις πράξεις, με ανάπτυξη της Α ως προς την 1η γραμμή:

118

Η ορίζουσα Α, 4ης τάξης, υποβιβάσθηκε σε άθροισμα 4 οριζουσών 3ης τάξης. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία υποβιβασμού των νέων οριζουσών σε 2ης τάξης.

Σε αυτό το σημείο όλες οι ορίζουσες είναι δεύτερης τάξης και μπορούν να υπολογισθούν. Οι υπολογισμοί ακολουθούν:

Άσκηση 3.

Να γίνει επίλυση του συστήματος:

Το παραπάνω σύστημα συμπληρώνουμε με όλους τους αγνώστους:

Τώρα μπορεί να γραφεί σαν μια ενιαία εξίσωση πινάκων:

Οπότε οι άγνωστοι υπολογίζονται ως εξής:

119

Ο υπολογισμός των οριζουσών γίνεται όπως περιγράφηκε στην προηγούμενη άσκηση.

4.2.6. Ασκήσεις για λύση

Άσκηση 1.

Δίνονται οι πίνακες:

Να υπολογισθούν οι πίνακες , ,

Άσκηση 2.

Να υπολογισθεί η τιμή της ορίζουσας του πίνακα Α της άσκησης 1

Άσκηση 3.

Να επιλυθεί το σύστημα

120

4.3. Ολοκληρωτικός λογισμός

4.3.1. Αόριστα ολοκληρώματα

Αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f(x) λέγεται μια

συνάρτηση φ(x) με την ιδιότητα και παριστάνεται ως εξής:

121

Αόριστα ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων

Λαμβάνοντας υπόψη την θεωρία των παραγώγων, τα αόριστα ολοκληρώματα μερικών στοιχειωδών συναρτήσεων δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί

Μέθοδοι ολοκλήρωσης

α) Άθροισμα στοιχειωδών συναρτήσεων

Αν μια συνάρτηση μπορεί να εκφρασθεί σαν άθροισμα στοιχειωδών συναρτήσεων δηλαδή , τότε το ολοκλήρωμά της είναι το άθροισμα των ολοκληρωμάτων των

, δηλαδή:

β) Ολοκλήρωση κατά παράγοντες

Από το διαφορικό λογισμό είναι γνωστό ότι το διαφορικό του γινομένου δύο συναρτήσεων και είναι:

Η παραπάνω σχέση, μετά από ολοκλήρωση δίνει:

Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος ανάγεται στον υπολογισμό του , το οποίο ενδέχεται να είναι απλούστερο.

γ) Ολοκλήρωση με αντικατάσταση

122

Είναι γνωστό επίσης από το διαφορικό λογισμό ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή μιας συνάρτησης μπορεί να είναι η ίδια συνάρτηση κάποιας άλλης μεταβλητής. Αυτό μας δίνει το δικαίωμα να την αντικαθιστούμε όταν πρόκειται να προκύψουν ολοκληρώματα απλούστερης μορφής. Αν λοιπόν θεωρήσουμε ότι τότε:

4.3.2. Ορισμένα ολοκληρώματα

Έστω μια συνάρτηση , θετικά ορισμένη στο διάστημα [α,β]. Δημιουργούμε μια διαμέριση του διαστήματος [α,β] σε n διαστήματα μήκους Δx. Τότε ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της από το α έως το β το άθροισμα των γινομένων όταν το Δx τείνει στο μηδέν. Συμβολικά γράφουμε:

Αν , τότε το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης

σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] είναι ίσο με:

Συνεπώς για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης είναι προϋπόθεση ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος.

Ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων

Ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων:

α)

β)

γ) , όπου c σταθερά

δ)

ε) Αν είναι σταθερά, τότε

στ) Αν για δύο συναρτήσεις ισχύει για κάθε τότε:

123

Γεωμετρική ερμηνεία των ορισμένων ολοκληρωμάτων

Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης στο διάστημα [α,β] ισοδυναμεί με την επιφάνεια που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, του άξονα x και των ευθειών x=α και x=β.

Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει ότι αυτό ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των στοιχειωδών ορθογωνίων ύψους και μήκους Δx κάθε στοιχειώδους τμήματος, στα οποία έχει διαμερισθεί το διάστημα [α,β]. Καθώς το Δx τείνει στο μηδέν, το άθροισμα των επί μέρους εμβαδών ισούται με το εμβαδό του παραπάνω περιγραφέντος χωρίου.

4.3.3. Λυμένες Ασκήσεις

Άσκηση 1:

Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης

Η δεδομένη συνάρτηση είναι άθροισμα στοιχειωδών συναρτήσεων, επομένως χρησιμοποιούμε τη μέθοδο υπολογισμού ολοκληρώματος αθροίσματος συναρτήσεων:

Άσκηση 2:

Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης

Η σταθερά α μπορεί να θεωρηθεί κοινός παράγοντας, οπότε η συνάρτηση μετατρέπεται σε:

Κάνοντας την αντικατάσταση , η συνάρτηση

μετατρέπεται σε:

124

Από την παραπάνω αντικατάσταση της μεταβλητής προκύπτει ότι , οπότε το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ως εξής:

Άσκηση 3:

Να υπολογισθεί το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης

Είναι γνωστό από το διαφορικό λογισμό ότι . Συνεπώς, με τη μέθοδο ολοκλήρωσης κατά παράγοντες έχουμε:

Άσκηση 4:

Να υπολογισθεί η επιφάνεια που περικλείεται μεταξύ της παραβολής που περιγράφεται από τη συνάρτηση της άσκησης 1 και του άξονα x.

Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης έχει υπολογισθεί στην άσκηση 1.

Είναι δηλαδή .

Για να υπολογίσουμε το εμβαδό που ζητά η άσκηση, πρέπει να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης με όρια τις δύο ρίζες της εξίσωσης .

Η επίλυση της εξίσωσης δίνει , .

Συνεπώς η ζητούμενη επιφάνεια δίνεται από:

Παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα προκύπτει αρνητικό. Αυτό συμβαίνει διότι η συνάρτηση στο θεωρούμενο διάστημα είναι αρνητική. Επειδή δεν είναι δυνατό να δεχθούμε αρνητικό εμβαδό, θεωρούμε ότι αυτό είναι ίσο με την απόλυτη τιμή του υπολογισθέντος ορισμένου

ολοκληρώματος. Συνεπώς .

125