xe

ye

0V α O

g

M(t2)

M(t1)

ze

Mécanique TD2 Dynamique du point matériel I- Mouvement d’une particule chargée soumise à un champ électrique et au champ de pesanteur. Le mouvement se passe sur terre, le référentiel du laboratoire (ou référentiel terrestre) pourra être considéré comme galiléen. On considère un électron dont la position initiale est l’origine O du repère cartésien qui sera utilisé pour l’étude du mouvement.

on note g = - g ye l’accélération de la

pesanteur terrestre. (g = g ≈ 9,81 m.s-2)

Cet électron est soumis à un champ

électrique E dont la valeur en un point M quelconque de l’espace est donnée par la formule :

E = k.x. xe où x est l’abscisse du point M et k est une constante > 0.

(Remarque : le champ électrique dépend donc de la position de M, il s’agit d’un champ non uniforme) On rappelle que la charge q d’un électron est négative et qu’elle vaut : q = - e = - 1,6.10-19 C < 0. (e = 1,6.10-19 C > 0 est appelée charge élémentaire). L’électron, initialement (t = 0) en O a une vitesse initiale :

( ) 00t VV == vecteur présentant un angle α avec l’axe des abscisses (voir figure).

La figure ci-dessus représente la trajectoire du mouvement de l’électron dans le plan Oxy sur une durée de 430µs =430.10-6s. On notera y l’ordonnée du point M. On ne considère aucun frottement. Donnée : masse de l’électron : m = 9,1.10-31 kg.

Rappel : une charge q placée dans une région de l’espace où règne un champ électrique E subit une force : E.qF = 1°) Expliquer brièvement pourquoi on peut considérer que le mouvement sera plan dans le plan Oxy. 2°) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’électron (assimilable ici à point matériel M) dans le référentiel du laboratoire et en déduire l’équation différentielle vérifiée par l’abscisse x du point M puis celle vérifiée son ordonnée y. 3°) Nous allons à présent résoudre les équations différentielles et donner ainsi les expressions littérales de x et y en fonction de la variable temps t et de constantes prises parmi les constantes du problème m, k, V0, α, g et e. a) Résoudre l’équation différentielle vérifiée par x et donner ainsi l’expression littérale de x(t). b) Résoudre l’équation différentielle vérifiée par y et donner ainsi l’expression littérale de y(t).

4°) Donner les expressions littérales des composantes sur xe et sur ye du vecteur vitesse V associé au point

matériel M. On notera respectivement Vx et Vy ces composantes que l’on exprimera en fonction de t et de constantes prises parmi les constantes du problème m, k, V0, α, g et e. 5°) Donner l’expression littérale de l’instant t2 pour lequel le point M repasse en y = 0 (voir figure). On exprimera t2 en fonction de constantes du problème.

6°) Sachant que t2 = 408µs = 408.10-6s et α = 0,01 rad déterminer la valeur numérique de V0 = 0V .

7°) On nomme t1 l’instant pour lequel x atteint pour la première fois sa valeur maximale. L’abscisse du point M à l’instant t1 (noté M(t1) sur le graphe) est x(t1) = 2,24 µm = 2,24.10-6 m. a) Donner l’expression littérale de t1. b) Déterminer la valeur numérique de k (on précisera clairement l’unité associée à cette grandeur). 8°) Déterminer la valeur numérique de t1.

II- Bille en rotation ICNA(2005) Une bille considérée comme un point matériel de masse m peut coulisser sans frottement le long d’une tige. La

tige, de longueur a est en rotation à vitesse angulaire constante Ωdt

dθ=

La bille est abandonnée sans vitesse initiale par rapport à la

tige à une distance 2

a de O.

1°) Calculer en fonction de Ω, l’instant t1 où la bille arrive au bout de la tige.

2°) Donner le vecteur R définissant la force de réaction qu’exerce la tige sur la bille au cours du mouvement. III- On assimile le mouvement du centre de masse d’une voiture à celui d’un point matériel de masse m qui se déplace sur une route horizontale. La voiture est soumise à une force de frottement solide de module m.k (qui est constante durant tout le mouvement et qui s’annule à l’arrêt du véhicule) et une force de frottement fluide de module m.f.v² où k et f sont des constantes et v est le module du vecteur vitesse du point matériel.

A l’instant initial le conducteur du véhicule coupe le moteur, sa vitesse étant alors égale à x00 eVV =

1°) A quel instant T la voiture s’arrêtera-t-elle ? 2°) Quelle est alors la distance L parcourue depuis l’arrêt du moteur.

Donnée cstexarctan²x1

dx +=+∫

IV- Un point matériel de masse m est lâché sans vitesse initiale en un point très proche du sommet d’une sphère sur laquelle il glisse sans frottement. Déterminer la position et la vitesse du point matériel au moment où il quitte la sphère. Angle initial : θ (t=0) = ε ≈ 0

x

z

r θ

M

O

g

M

θ x

y

a

•

g

O

z