Universite se Caen-Basse Normandie

UFR des Sciences

Master 1

2010 - 2011

Mecanique des Fluides

TD3 – Analyse dimensionnelle et Similitude

Analyse dimensionnelle

Exercice III.1 : La chute de pression ∆p dans une conduite cylindrique depend de

la vitesse moyenne de l’ecoulement U , du diametre D, de langueur L et de la rugosite ε de

conduite ; elle depend aussi des proprietes de fluide. Etablir une relation donnant ∆p en

fonction des parametres de l’ecoulement.

Exercice III.2 : Quels sont les parametres sur lesquels la force de frottement F exercee

par un fluide en mouvement a la vitesse U sur une plaque plane, de longueur L et de largeur

H ? L’ecoulement est suppose parallele a L. Etablir une relation donnant F en fonction

de ces parametres.

Exercice III.3 : Soit une helice de diametre D en rotation a une vitesse angulaire ω

dans un fluide en mouvement a la vitesse U . Developper une expression adimensionnelle

pour la force de pousse engendree par cette helice.

Exercice III.4 : Dans un canal a fond horizontal, on desir etudier une caracteristique

geometrique lineaire X d’un ressaut forme par l’ecoulement d’un liquide sous une vanne de

hauteur a soumise a une charge H , le tirant d’eau a l’aval ayant pour valeur y.

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H

a y

X

Etudier dimensionnellement le probleme, en negligeant les force de viscosite et de tension

superficielle.

Exercice III.5 : On admet que la surelevation permanente h d’un lac due au vent

depend de la profondeur moyenne H de ce lac, de sa longueur ℓ, du poids volumique de

1

l’eau et la force tangentielle τ due au vent.

Donner une formule generale exprimant h.

Exercice III.6 : On s’interesse aux ondes de gravite (respectivement capillaires) qui

se produisent lors d’un equilibre entre une force destabilisant, l’inertie, et une force de

rappel, la gravite (respectivement la force de tension superficielle σ (N/m)). La vitesse de

propagation d’onde (celerite d’onde) de gravite, notee c, depend en general de l’acceleration

de gravite g, de la longueur d’onde λ, de la densite du liquide ρ et de l’amplitude a d’onde :

c = f(g, λ, ρ, a). La vitesse (ou celerite) d’onde de petite amplitude ne depend pas de a et

la relation se reduit a : c = f(g, ρ, λ). En utilisant l’analyse dimensionnel determiner cette

relation.

Determiner la relation correspondante pour les ondes capillaires.

Similitude

Exercice III.7 : Une maquette de digue, constituee par un empilement de blocs de

beton de masse unitaire egale a 1 kg, est soumis la houle produit dans un laboratoire. cette

maquette ne subit pas de dommages tant que la hauteur H de la houle ne depasse pas 0,30

m.

Quel devra etre la masse minimale des bloc de meme beton constituant la digue proto-

type pour que celle-ci resiste a une houle geometriquement et hydrodynamiquement sem-

blable, et pouvant atteindre 6 m de hauteur.

Exercice III.8 : Un modele reduit destine a l’etude des marees a ete construit en

adoptant l’echelle de 1/500 en plan et 1/80 en hauteur.

Quelle doit etre, sur ce modele, la duree d’une maree dont la periode serait, dans la

nature, egale a 12h25 mn ?

Meme question pour des echelles de 1/50000 en plan et 1/500 en hauteur.

Exercice III.9 : En regime laminaire, l’equation regissant les ecoulements transitoires

2

de gaz dans un conduit de faible section peut se metter sous la forme

∂p

∂t= C

D2

64µ

∂2p2

∂x2

ou p est la pression a l’instant t et au point d’abscisse x, D le diametre du conduit, C une

constante dependant de la forme de la section et µ la viscosite dynamique du gaz.

1. Trouver la relation qui doit lier les echelles de similitude :

λ =x1

x2

, α =p1

p2

, θ =t1t2

, δ =D1

D2

2. En deduire quelle serait l’influence d’une diminution de longueur de moitie et d’une

multiplication du diametre par 3 sur le temps d’etablissement d’une meme pression

d’un meme gaz. Que deviendrait ce temps s’il etait initialement egal a 6 mois?

Exercice III.10 : A fin de determiner la puissance necessaire Pp pour motoriser

un dirigeable de longueur Lp a une vitesse Up = 6 m/s dans l’air (ρair = 1.205 kg/m3,

µair = 1.8 × 10−5kg/m.s.), on utilise une maquette de longueur Lm = Lp/30, a mettre en

mouvement dans l’eau, ρeau = 1000 kg/m3, µau = 1.0× 10−3kg/m.s.

1. Determiner la vitesse de maquette Um.

2. Si la mesure de la force de frottement subie par la maquette donne Fm = 2700 N,

estimer la force de frottement Fp a laquelle le prototype serait subi.

3. Calculer Pp.

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