Chap-3 Dynamique Fluides Parfaits

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MECA-FLU III : DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS ET INCOMPRESSIBLESDans ce chapitre, les fluides tudis ont une viscosit nulle, et une masse volumique constante (ce qui peut tre le cas des gaz lorsque leur vitesse dcoulement est infrieure 0,3 fois la vitesse du son). Il va ressortir de ce chapitre, deux relations particulirement importantes pour le rgleur : - la relation de continuit - lquation de Bernoulli

QUELQUES RAPPELS :La description dun coulement de fluide se fait dans le cadre de la description eulrienne . Rappelons les principaux points de cette description : les grandeurs cinmatiques et dynamiques ( , v ,) sont associes aux points de lespace. Cest dire quelles sont fonctions du point de lespace considr, et non de la cellule de fluide envisage une cellule de fluide arrivant en un certain point de lespace possde les caractristiques cinmatiques et dynamiques de ce point les lignes de courant (L.C.) sont les courbes partout tangentes aux vecteurs vitesses des points de cette ligne on dfinit un tube de courant (T.C.) par lensemble des L.C. sappuyant sur un contour ferm Un coulement trs utilis dans la pratique est celui pour lequel les grandeurs masse volumique ( ), pression ( p ), et vitesse ( v ) sont INDEPENDANTES DU TEMPS, on parle alors dECOULEMENT STATIONNAIRE ou PERMANENT. ATTENTION : encore une fois, rptons bien que cela ne signifie pas que le fluide a une vitesse constante partout, mais seulement que la vitesse du fluide en un point donn est la mme chaque instant. Le fluide peut subir une acclration entre deux points Nous distinguerons dans le prochain chapitre, les rgimes laminaires et les rgimes turbulents. Mais la distinction ne simpose pas ici, puisque les fluides traits sont supposs parfaits, cest dire que les cellules de fluides glissent sans frottement les unes sur les autres. Par consquent, les L.C. ne peuvent pas se couper. Les diffrents principes de conservation de la Physique vont nous donner des quations trs importantes. Le principe de conservation : de la MASSE dbouche sur lEQUATION DE CONTINUITE de la QUANTITE DE MOUVEMENT dbouche sur le THEOREME DEULER de lENERGIE dbouche sur le THEOREME DE BERNOULLI

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I LEQUATION DE CONTINUITE1) Profil de vitesseLe profil de vitesses donne la norme de la vitesse en fonction de lloignement de la paroi, ou lintrieur dun T.C. :

Pour des fluides rels, la vitesse est quasi-nulle sur la paroi et maximale au centre.

Pour des fluides parfaits, la vitesse est constante sur toute la section.

Dans la plupart des cas, on peut dfinir une vitesse moyenne sur la section, et considrer que cette vitesse moyenne est celle en tout point de la section. Cette faon de raisonner, quand elle est ralisable, est bien pratique : en effet, lcoulement est alors UNIDIMENSIONNEL, cest dire, quil ny a pas de variation transversale (ou dit autrement lcoulement a mme proprit aprs une rotation autour de laxe de la canalisation). Les coulements unidimensionnels seront les seuls abords dans ce cours. EXEMPLE : calculons la vitesse moyenne pour un profil de vitesses parabolique. La vitesse pour un point loign de laxe dune distance r sexprime par : r v(r ) = v0 (1 ) R La vitesse moyenne est donne par la somme de toutes les vitesses pour un r allant de 0 R rayon de la canalisation divise par la section (le nombre de valeurs prises en compte) On dcompose la section de la canalisation en surfaces lmentaires dS suffisamment petites pour considrer que sur ces surfaces dS la vitesse est la mme partout. la surface dS a une aire : dS = 2. .r.dr la somme des vitesses sur dS vaut donc : 2. .r.dr.v(r ) il ne reste plus qu sommer sur toutes les dS :

vTOTALE = 2. .r.v(r ).drR 0

ce qui donne pour la moyenne :

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v moy2) Dbits

R 2.v0 r 1 r 4 R v0 . 2. .v(r ).r.dr = [ ]0 = = .R 0 2 R 2 4.R

En appelant dV et dm respectivement le volume lmentaire et la masse lmentaire traversant une section donne S pendant le temps lmentaire dt , on dfinit : le dbit volumique : dV S .dl dl expression dans laquelle on reconnat la vitesse, do : Qv = = S. dt dt dt

Qv = S .v moy le dbit massique : dm .dV qui permet dcrire : Qm = = dt dt

Qm = .Qv = .S .vmoyReprenons lexemple de notre profil parabolique afin de montrer lintrt de la vitesse moyenne : calculons directement le dbit travers une section de rayon R : on dcompose comme prcdemment la section en petites section dS pour lesquelles le dbit est, par dfinition dQv = dS .v(r ) = 2 .r.dr.v(r ) le dbit total est la somme de tous ces dbits lmentaires, soit : R v Qv = dq v = 2 .r.v(r ).dr = R . 0 0 2 en utilisant la vitesse moyenne : v ce qui donne bien le mme rsultat. Qv = S .v moy = .R . 0 2

3) Conservation de la masseRaisonnons sur un T.C. lmentaire limit par sa section dentre dS 1 , sa section de sortie dS 2 et sa section latrale dS L : si entre dS1 et dS 2 il ny a ni accumulation de matire (pas de condensation, vaporation) ni apparition de matire (pas de tuyau raccord), alors :

dm dm = dt dS1 dt dS 2La question ne se pose pas pour la surface latrale, puisquelle est forme des lignes de courant. Ainsi :

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1.dS1.soit encore :

dl1 dl = 2 .dS2 . 2 dt dt

1 .dS1 .v1 = 2 .dS 2 .v2et en introduisant le dbit massique :

dQm ,1 = dQm , 2qui donne aprs intgration pour tous les tubes de courant traversant la section S1 et aboutissant sur la section S 2 :

Qm ,1 = Qm , 2

soit :

1.S1.v1 = 2 .S 2 .v2

DANS LE CAS PARTICULIER DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES :La masse volumique en (1) est la mme que celle en (2), alors 1 = 2 et dans ce cas, le dbit volumique est aussi conserv :

Qv ,1 = Qv , 2ATTENTION :

soit :

S1.v1 = S2 .v2

Le dbit massique est conserv, mais le dbit volumique ne lest que si le fluide est INCOMPRESSIBLE..

II EQUATION DEULER ET THEOREME DE BERNOULLI1) DmonstrationCette dmonstration repose sur la relation fondamentale de la dynamique (ou 2me loi de Newton)

F

ext .

= m.aG .

Nous allons appliquer cette relation une particule de fluide, de dimensions trs petite dx , dy , et dz et situ en un point de coordonnes x , y et z . Le volume de cette particule est donc dV = dx.dy.dz Le fluide contenant cette particule de fluide est dans le champ de gravitation terrestre (considr comme uniforme g ) :

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Une dmonstration similaire dans le cas dun fluide immobile nous avait permis dobtenir la relation fondamentale de la dynamique. Rappelons le rsultat obtenu alors : p p p .dx = 0 ; .dy = 0 ; .dz = .g .dz x y z Les forces prendre en compte sont les forces de pression exerces sur les 6 faces de la cellule, ainsi que le poids. La R.F.D. tant une relation vectorielle, projetons cette relation sur chacun des 3 axes. selon laxe Ox : faces en x et en x + dx

p( x + dx, y, z ).dy.dz + p ( x, y, z ).dy.dz = .dx.dy.dz.

o v x est la vitesse de la cellule selon Ox, et bien sr, .dx.dy.dz est la masse de cette cellule La simplification de cette quation donne :

dv x dt

p ( x + dx, y, z ) + p ( x, y, z ) = .dx.ou encore :

p ( x + dx, y, z ) p( x, y, z ) dv = . x dx dt

dv x dt

dans le membre de gauche, on reconnat la dfinition de la drive de la fonction p(x,y,z) par rapport la variable x . Mais, comme la fonction p(x,y,z) dpend aussi dautres variables (y et z), cette drive est qualifie de partielle et est note en d-rond :

p dv = . x x dt

( E1 )

selon laxe Oy : faces en y et en y + dy

p ( x, y + dy, z ).dx.dz + p ( x, y, z ).dx.dz = .dx.dy.dz.mme remarque que ci-dessus., et on obtient cette fois lquation ( E2 ) :

dv y dt

dv p = . y y dt

( E2 )

selon laxe Oz : ici, le poids intervient et lquation scrit :

.dx.dy.dz.g p( x, y, z + dz ).dx.dy + p( x, y, z ).dx.dy = .dx.dy.dz.qui donne :

dvz dt

.g

p dv = z z dt

( E3 )

expression de la diffrentielle totale de la pression : la pression est une fonction des 3 variables x , y , et z . Parler de drive de la pression na plus de sens ici, cest pourquoi on a introduit la notion de drive partielle (on drive par rapport une seule des variables, les autres tant considres comme fixes). Par contre, on peut se demander comment varie la pression lorsque chacune des variables varie lgrement, cest dire lorsque x varie de dx, y de dy et z de dz.

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Limpact de ces petites variations sur la fonction est appel la diffrentielle de la fonction et note par d . Ainsi : dp est la diffrentielle de la fonction pression p et le lien avec les drives partielles est :

dp =

p p p .dx + .dy + .dz x y z

commentons succinctement cette expression : p est le taux de variation de la pression dans la direction x (idem en y et z ) x p .dx est donc la valeur de la variation de la pression dans la direction x lorsque la x variable x varie dune petite quantit dx (idem en y et z ) cette expression nous donne simplement la petite variation dp qui rsulte des petites variations de ses 3 variables (x, y et z) A laide des 3 quations ( E1 ) , ( E2 ) , et ( E3 ) :

dp = ( .qui peut se rcrire :

dv y dv x dv ).dx + ( . ).dy + ( .g . z )dz dt dt dtdx dy dz .dv y . .g.dz .dv z . dt dt dt

dp = .dv x .soit :

dp = .v x .dv x .v y .dv y .v z .dv z .g .dzon sapproche de lquation cherche, et en remarquant que

vx v vy vzalors :

dv x dv dv y dv z

v .dv = v x .dv x + v y .dv y + v z .dv z = v.dv

dp = .v.dv .g.dz

Victoire, cest lquation cherche..

dp + .v.dv + .g.dz = 0EQUATION DEULER Cette quation dEuler a une application immdiate : le thorme de Bernoulli.

2) Le thorme de BernoulliIl suffit dintgrer lquation dEuler entre 2 points de la veine de fluide : le point (1) o la pression vaut p1 la vitesse v1 et laltitude z1 le point (2) o la pression vaut p2 la vitesse v2 et laltitude z 2cours CIRA 1re anne 6 PASCAL BIGOT

( 2)

( 2)

(1)

Euler

donne

(1)

dp + .v.dv + .g.dz = 0 = dp + . v.dv + .g. dzp1 v1 z1

p2

v2

z2

soit

[ p] p12 + p

.[v ]v12 + .g.[ z ]z12 = 0 v z 2

do le thorme de Bernoulli pour un fluide parfait, incompressible :

p1 +

2 2 .v1 + .g .z1 = p2 + .v2 + .g .z 2 2 2

Cest le rsultat de base de tout tudiant de CIRA qui se respecte Son obtention est immdiate depuis lquation dEuler, mais on peut aussi lobtenir par un bilan en nergie. Nous ne ferons pas cette dmonstration, par contre, il est fondamental de savoir interprter ce thorme dun point de vue nergtique, en termes de hauteurs ou encore en termes de pressions. Les documents constructeurs (pompes, machines, abaques, pertes de charge.) utilisent notamment les deux dernires interprtations.

III INTERPRETATIONS DU THEOREME DE BERNOULLI1) Bilan nergtiqueOn peut crire ce thorme ainsi :

p1 1 2 p 1 2 + .v1 + g.z1 = 2 + .v2 + g.z2 2 2Les termes prsents sous cette forme peuvent bien tre interprts en nergie : 1 - le terme .v est un terme dnergie cintique PAR kg DE FLUIDE (expression de lEc 2 dans le cas o m = 1 kg) - le terme g.z est un terme dnergie potentielle de pesanteur, l encore PAR kg DE FLUIDE (expression de lEp dans le cas o m = 1 kg) - le terme p/ est aussi un terme dnergie PAR kg DE FLUIDE Le thorme de Bernoulli peut tre crit comme un bilan nergtique par kilogramme de fluide.

2) Bilan des pressionsCest la prsentation du thorme tel quobtenu dans la dmonstration :

p1 +En particulier, on appelle :

2 2 .v1 + .g .z1 = p2 + .v2 + .g .z 2 2 2

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-

* pression statique : le terme p + .g .z note p

pression dynamique : le terme

v 2

relation entre pression et nergie : pression =

nergie Puissance = volume dbit

REMARQUE :Les pressions exprimes dans le thorme de Bernoulli sont des pressions absolues ! ! !

3) Bilan des hauteursLa dernire criture possible de ce thorme est :

1 2 1 2 p1 p .v1 + z1 = 2 + .v2 + z2 + .g 2.g .g 2.gOn nomme : p .g p hauteur pizomtrique : le terme +z .g 1 hauteur capable : le terme .v 2.g altitude : le terme z la somme des trois termes est la charge totale, ou encore la hauteur

hauteur manomtrique : le terme

manomtrique quivalente

Le bilan en hauteurs permet la construction dun diagramme,

le diagramme pizomtrique :

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4) Premire application : la sonde de PitotCest un instrument de mesure trs employ. Il permet daccder la vitesse du fluide (aronautique) ou encore, si lon connat la section de passage du fluide, au dbit de fluide (procds industriels). Nous en reparlerons dans le cours dinstrumentation.

a- notion de pression darrt :En prsence dun obstacle, les L.C. contournent lobstacle, mais il y en a au moins une qui sarrte en un point de cet obstacle (point M sur le dessin). En ce point M appel point darrt :

vM = 0la charge totale, exprime en pression est :* ptotale,M = p M + .g .z M = p M

tandis quen un point N, en amont de M et sur la mme L.C. :

1 1 2 2 ptotale , N = p N + .g.z N + .v N = p * + .v N N 2 2par diffrence, on obtient (dans le cas o z M = z N ) puisque le long dune L.C. la charge totale est constante :

1 2 p M = p N + .v N 2

qui reprsente la pression darrt

Il y a donc une possibilit de mesurer une vitesse de fluide. Cest ce qui est mis en pratique dans la sonde de Pitot.

b- dispositif de Pitot :On dispose 2 tubes de prises de pression dans la canalisation de lcoulement. Une prise de pression donne accs la pression statique (point N) et une prise de pression qui permet lobtention de la pression darrt (point M). 1 2 pM = p N + .v N dune part 2 p M = p N + .g .h dautre part

do lexpression de la vitesse du fluide dans la canalisation :

v = 2.g .hc- exemple de ralisation :On utilise donc une sonde qui a souvent la forme reprsente ci-dessous :

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En supposant les pressions en M et M trs voisines de celle en N, on a :

1 1 2 p M = p N + .v N p M ' + .v 2 2

p M = p M ' + mano .g.hCest dire :

v=

2. mano .g .h

5) Deuxime application : le tube de VenturiCest un organe dprimogne l encore trs utilis dans les procds. Son principe repose sur leffet Venturi, autrement dit sur le fait que la pression est plus basse l o la section est plus faible. Cet effet ne doit plus nous tonner maintenant que nous avons vu le thorme de Bernoulli, puisque ce qui est gagn dun ct est repris de lautre, savoir une vitesse de fluide plus leve l o la section est plus faible.. Le schma type dun dbitmtre de Venturi est le suivant :

1 2 2 thorme de Bernoulli : p A p B = . .(v B v A ) 2 hydrostatique : p A p B = .g .h dfinition du dbit : QV = S A .v A = S B .v B

ce qui permet dcrire :

1 1 2 1 .g .h = . .QV 2 2 2 SB S A cest dire :2 2 S A SB QV = 2 2 . 2.g.h S .S A B

Dun point de vue pratique, les sections ne sont fonctions que du dispositif, si bien que la relation se retient sous la forme :cours CIRA 1re anne 10 PASCAL BIGOT

QV = kVENTURI . 2.g.hle dbit est proportionnel la racine carre de la hauteur de dnivel

IV LE THEOREME DEULER RELATIF A LA QUANTITE DE MOUVEMENTAttention, il sagit ici du thorme dEuler, et non pas de lquation dEuler, vue ci-dessus. Que ce soit lquation dEuler, ou le thorme de Bernoulli qui en dcoule, ces relations ne nous permettent pas de comprendre pourquoi un tuyau darrosage se met se tortiller lorsquon ouvre le robinet, ou encore davoir une ide des forces que subissent les canalisations lors du passage d'un fluide. Le thorme dEuler va nous permettre de tels calculs. Il concerne les systmes ouverts. Prcisons ce quest un systme ouvert : cest un systme pouvant changer de lnergie, mais aussi de la matire avec lextrieur. Il est dlimit par une surface ferme, suppose rigide ici, appele surface de contrle ,et est constitu par le contenu matriel de cette surface de contrle. Ainsi, un tuyau darrosage, ou plutt un tronon de ce tuyau est un systme changeant du fluide avec lextrieur (mme sil contient en rgime permanent la mme masse de fluide chaque instant, ce ne sont pas les mmes particules de fluide..). Le systme ouvert est le contenu dlimit par une frontire (par la pense ou non).

1) Enonc du thorme dEulerNous lnonons uniquement dans le cas dun rgime STATIONNAIRE (donc Qm ,e = Qm , s = Qm ). La surface de contrle est constitue dune surface dentre S e , dune surface de sortie S s et dune surface latrale

SLext

Qm ( v s v e ) =2) Exemple dun changement de section

systme

F

Il semble assez vident que lors dun changement brusque de section le long dune canalisation, le fluide transport lintrieur pousse la canalisation. Exprimons cette pousse laide du thorme dEuler : Le systme ouvert contient lpaulement et est dlimit par une section dentre, un peu en amont, une section de sortie un peu en aval et la section latrale qui est la canalisation elle mme

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Nous nous plaons donc dans le cadre dun rgime stationnaire, et nous nous proposons de dterminer la force exerce par le fluide sur la canalisation F fluide canalisation . Considrons le systme ouvert dlimit par la surface de contrle { S e + S s + S L } et constitu par les particules de fluide prsentes lintrieur de cette surface de contrle. Ce systme est soumis son poids, aux forces de pression sur les sections S e et S s , ainsi qu la force exerce par la conduite sur le fluide Fcanalisation fluide ( = F fluidecanalisation ) Faisons lhypothse dun poids ngligeable devant les autres forces :

Qm (vs ve ) = P + Fpressante , e + Fpressante , s + Fcanalisation fluidesoit, donc :

Qm (vs ve ) Fpressante , e + Fpressante , s + Fcanalisation fluide

Projetons sur un axe (O, i ) horizontal :

Fpressante,e = pe .S e .i ; Fpressante,s = ps .S s .i ; ve = ve .i ; vs = vs .ice qui donne :

Fcanalisation fluide = [Qm .(v s ve ) + p s .S s pe .S e ].iet donc, daprs la 3me loi de Newton :

F fluidecanalisation = [Qm .(vs ve ) + ps .S s pe .S e ].iNoublions pas que la pression et la section lentre sont suprieures la pression et la section la sortie, ce qui fait que le terme entre crochets a de grandes chances dtre ngatif, cest dire que la force due au fluide est selon + i ..

3) Exemple dune conduite coude horizontaleOn sintresse ici un lment de conduite coude horizontale. Le schma ci-contre est une vue de dessus. La surface de contrle est encore : { Se + S s + S L } On cherche l aussi F fluide canalisation , et on nglige le poids de ce systme ouvert. La section dentre est identique la section de sortie : S e = S s = S .

Dans le repre (O, i , j ) :

Fpressante,e

pe .S . cos pe .S .sin

;

Fpressante ,s

ps .S 0

Fx Fcanalisation fluide ; Fy

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vece qui donne :

v. cos v. sin ;

vs

v 0;

Qm = .S .v

Fx = ( .v + p ).S .(1 cos ) Fy = ( .v + p ).S .sin on en dduit :

F fluidecanalisation

(cos 1).S .( .v + p) sin .S .( p + .v )

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