Mathhmatika Thetikhs Kai Texnologikh-Biblio Mathiti
184
description
Biblio_Mathiti.
Transcript of Mathhmatika Thetikhs Kai Texnologikh-Biblio Mathiti
-
'
-
/
/
/ /
/
/
/
..
: :
-
'
/
/
/ /
/
-
, ' . 2 4 ' .
, , -. , - - , . , . . , - . - ' : ., - ., ., . .
, , -.
. . - . , , . ' - - , . , - . , - .
-
. . - , - .
. , . ' - , - . , 396, 153 10 .
-
A' ()
1: - .
1.1 11 1.2 - 16 1.3 24 1.4 37 1.5 50 1.6 Gauss 52 1.7 63
2:
2.1 85 2.2 88 2.3 97 2.4 102 2.5 112
' ()
: - .
1.1 129 1.2 132 1.3 - 148 1.4 157 1.5 165 1.6 176 1.7 182 1.8 188
-
2:
2.1 209 2.2 - 222 2.3 229 2.4 241 2.5 245 2.6 250 2.7 258 2.8 - 272 2.9 - De L ' Hospital 279 2.10 287
3:
3.1 303 3.2 309 3.3 318 3.4 326
3.5 333
3.6 340 3. 7 342
- 365
-
A'
-
1 - 1.1
, , - -:
: 97 DIN. 0-100 km/h 10,7 sec, 180 km/h, 100 km 9,5 lit, 10.
: 100 DIN, 0-100 km/h 12,9 sec, 191 km/h, 100 km 11 lit, 11.
: 45 DIN, 0-100 km/h 17,9 sec, 140 km/h, 100 km, 7,1 lit, 6.
: 174 DIN, 0-100 km/h 7,6 sec, 225 km/h, 100 km 12,5 lit, 20.
:
.
DIN
0-100 km/h
km/h
lit 100 km
DIN
0-100 km/h
km/h
lit 100 km
97 10,7 180 9,5 10 100 12,9 191 11 11 45 17,9 140 7,1 6 174 7,6 225 12,5 20
-
, .
4 5 , . 4x5 4x5 .
:
x y z .
1 1 -3 2 -1 1 2 5 0 -2 1 2 3 0 1 -7 3 3
3x4
3x5 -
:
, x x - .
-
, , . . x i - j- -
ij.
x A :
, 2 x 2
. ,
:
, , , ( ) . =
. ,
, . , -
0, . , :
, ,
.
-
,
, , -
. , - . , , - - , . ,
>
,
-
.
1 . ,,, . - - , ( ) , - , .. .
3 : , , , , , 2 . , , 1 .
-
.
5 x 5
2 . :
i) , -
x -
. ,
ii) , -
-
x y. , x,y .
-
,
1. 0 , , . / , -, - -. , :
)
)
2. 4 x 4
, .
3. ,
4.
.
5. :
1.2 -
, , , . :
-
/ /
18 16 13 20 18 15 12 10 9 15 13 12 9 11 8 13 10 10 14 12 10 17 16 8
, :
/
(18 + 20) (16 + 18) (13 + 15)
(12 + 15) (10 + 13) ( 9 + 12)
( 9 + 13) (11 + 10) ( 8 + 10)
(14 + 17) (12 + 16) (10 + 8)
:
:
:
:
+ . = + . :
x x
. + . ,
-
.
,
3 x 3 , ,
-
. .
- . :
,, x ,
+ = + + ( + ) = ( + ) +
x , x
.
, .
- - ,
- .
-
,
+ + + ( + ), ( + ) + . , ,,, - , :
[( + ) + ] + = ( + ) + ( + ) = [ + ( + )] + = + [ + ( + )] = + [( + ) + ] = [( + ) + ] + .
, + + + - . , -,
-
,
. , , x , - :
- = +(-)
, ,
, - . :
:
+ = , +-=-, = -,
= -, + = - + , + = .
- .
-
, - 20% , 80% . 0,8, :
0,8 - 0,8 , = 0,8. , :
,
.. - . ,
- . , = - 3
:
, x , , - , :
, :
-
:
( ).
'
1. , + - , :
i)
,
ii)
,
-
iii)
,
iv)
,
)
,
2.
A 1 + A 2 + A 3 + A4.
3. x , y , :
4. .
i) ii)
iii)
5. , :
i) 2 ii) 2(-3A) iii) 5-2 iv)
6. :
i)
ii)
7.
-
.
8. , ,,,
:
'
1. x,y :
i) ii)
2. , :
3. ,
4. , 1 2. - .
.
5.
4, E1 E2. -
- :
-
i) , 10%.
ii) 5 , 2 3 (1 = 30 ).
1.3
1 2 -
kg 2 x 3 :
, 2001 2002, :
1 - - . 1 2001
1 , 2 1 + 0 , 6 0 , 8 + 0 , 3 3 = 2 , 5 8
:
-
0 1x1 [2 ,58]
. , 2002 :
1 ,2-1,2 + 0 ,6 -1 + 0 , 3 - 4 = 3 ,24
.
, 2 2001 :
1,4-1 + 0 , 8 - 0 , 8 + 0 , 4 - 3 = 3 ,24
2002 : 1 ,4-1 ,2 + 0,8-1 + 0 , 4 - 4 = 4 ,08
2001 2002.
-
x x ,
- x , ij -
i - - j - . ,
, :
,
. :
,
, ,
, ,
, , ,,
-
, .
, , , -.
() = () (+) = + ( + ) = +
= ()
I x
1, - x A :
= =
O .
, ,
.
I, . x ,
- = .
-
(), () . , ,,, , -
, ,
[()] = ()() = [()] = [()] = [()]
. , , -
,
, , AAA, , . :
. 1 = .
, q , , :
, -, . , -
, ,
, , . ,
, . :
, , :
.
. , , = -
-
:
i) 2=, 2 = -I
ii) + = I
iii)
i)
ii)
+ = I.
iii)
( + )2 =(A + B)(A + ) = A2 + + + 2 = + + -
= + = ( ii))
( ii)).
.
-
, -1,
-
: " = = ;" . -:
x . - x , = = , - A.
, - -1. :
-1 = -1 =I
,
:
, .
, , = =. , , :
x ,
= = I ,
.
, x x A, - = = .
, , :
, (i) :
= , A-1AX = A-1B , = -1 .
-
= -1 , = -1, = . (ii).
- : " = 0 , = 0 = 0". , ,
, ..
, .
= = . :
" , - ".
-, . , -, :
2x2
2 x 2 .
.
,
, = I , ,
(1) (2)
, , (1) (2) .
-
:
, (1) (2) , . (1) (x, z)
(2) (y,)
,
D = 0 , (1) (2) -, .
) ,
(1) (2) .
) ,
= = = = 0,
.
:
,
, ,
:
-
) ,
) ,
i)
ii) =
i) .
ii) , :
'
1. - :
-
i) ii)
iii)
iv)
2. Av
: i) i i ) - iii) .
3. - :
- .
4. - .
i) ii)
5. , , - :
6. i)
-
ii) :
'
1. , :
i)
ii) 3 4 .
2. , x,
3.
2=.
4. , :
i) A2 = I, B 2 = ii)
iii)
5. , :
i) O A -1.
ii)
6. :
i) 2(x) = (2x), 2(X) = -(2x)
ii)
iii)
7. E1 2. - .
-
9
i ) .
ii) E1, 2;
8.
,
:
i)
ii) 2 =I , 3 =
9.
i) -1 (x) =(-x)
ii) (x) = I .
10.
i) A(x)A(y) = A(x + y)
ii) x,y A(y) -
(x).
iii)
11. , :
i) 2 = I , 3 =
-
ii) = 2 ,
iii)
+ + 1 + ... + 10.
12.
i) ii) -
:
13. :
i) 3 = -I
ii) x
1.4 MET
' . .
, , -. ,
-
, (), M(x,y) -
M'(x',y').
-
' x'x.
M(x,y) M'(x',y') -
, ,
(1)
,,,,, . = 0 = 0 , (1)
(2)
-
-
,
, , -
.
( 1,2) '(13,6), B(1,-2)
B'(1,-2), .
-
. ' A(1,0)
(,).
,
' B(0,1) -
( , ) ,
, , :
, A(1,0) ,
, -
, ( 0 , 1 ) ,
.
, , (1,0) (0,1) '(3,1)
'(1,2) ,
, : (0,0) (0,0) .
i) A(x1,y1)
B(x2,y2) .
ii) (A') = ().
-
i)
, A(x1,y1) (x2,y2) A'(-y1 ,x1) '(-y2,x2) .
ii)
. - .
2 . :
:
i) '(2,0), - '(2,0).
ii) :y = -2x +1 .
i)
,
, -
:
-
(2,-2) .
ii) ' . , :
(1)
, M(x ,y ) , -
:
, '(x',y')
, M'(x',y')
M(x,y) : y = -2x + 1
, : y = -2x + 1
, -, :
-
.
-
,
A(1,0), B(-1,3) (0,3) -
''' '(2,-1), B'(1,1) '(3,0) . , , 12...
.
. ,
''' .
''' . .
1.
- M(x,y) '(x',y') . '
, -
-
2. .
, M(x,y) - , M'(x',y'), . x'x, - y'y
y= x. 2. x'x.
' :
, x'x
2. y'y .
' :
y'y
2. y=x. ' :
, y=x
.
-
3. 0 .
Oxy . O - M(x,y) -
M'(x',y'), -
,
O .
x'x , :
(1) (2).
,
, O
. :
) O
) O =
.
) O
) , O = 2
.
.
-
4. .
O - M(x,y) '(x',y')
-
:
,
, A(1,0), -
B(0,1). ,
x'x
x'x A(1,0) B(0,1) -.
5. .
Oxy. -
(x,y)
M'(x',y') (. 14).
-
,
, . , -. .
1 . " O .
C' .
M ( x , y ) ' (x ' , y ' ) .
(1)
-
, M(x,y) C, : xy=1
,
M'(x',y')
, M'(x'y') C',
M(x,y) C.
, O
,
C'
2 . 1 2
. , T1 2,
M(x,y) . M'(x',y') -
T1, M"(x",y") ' -
2,
-
,
T2 1. :
" A1,A2 , T1, T2 -
, 2 1,,
''
'
1. :
A(1,0) (0,1).
2. A(1,0) B(0,1)
(i) (1,2) (-1,3) , (ii) (-1,1) (2,1) .
3. :
O(0,0) A(3,4) - .
4. :
i) '''' -
ii) '''' .
-
5. :
i) A'(0,5)
ii) :y = x +1.
6. :
i) ii)
iii) iv)
) vi)
'
1. :
i) :y = 2x.
ii) 0(0,0) iii) '(1,1) .
2. :
A(x1,y1), B(x2,y2) . -
i) ,
ii) . - ''.
iii) - ''.
-
3. (1,1) (1,-1) :
i) '(0,1) '(2,1)
ii) '(6,3) '(2,1) .
:y = -2x.
4. - .
i) y = - x .
ii) x'x.
iii) y'y.
iv) y=x.
-
- - .
5. . > > 0.
i) C:x2 +y2 =1 -
ii) ''' ,
1.5
, x1,x2,...,x , .
. , x-3y=-3 -. , -
-
, 2x2 -y = 1 -. -
. , (-1, 0, 2)
3x-2y+= - 1 , 3 ( - 1 ) - 2 0 + 2 = - 3 + 2 = - 1 .
, - x . ,
(1)
2 x 3 . , x
( 2 )
1 i ij
ij, 2 j
ij. , 32 x2
. - x , . ,
( - 1 , 0 , 1 ) ( 1 ) ,
2(-1) - 0 + 31 = 1 - 1 + 3 0 - 1 = - 2 .
- . , - . , .
(1)
-
1 2 x 3
3x1
. (1)
, x ( 2 )
, - - -, ( 2 ) =.
,
, - . , . - .
1.6 TOY GAUSS
, - , :
-
.
( ) . , , - , . .
1 1 (1 - 2 - 2 E2
( 1 ) . , 2 x.
1 ( 2 ) - 3 -
3. ,
3 - x.
2 (3) . , -
y 1.
:
-
(9) ( 1) , -
(1, 0, - 1 ) . x , : - , 1,2,..., .
:
1.
2.
3. , ,
.
, -, - . , , , . , :
-
, (1, 0, 1).
3x3 . "" . , - .
:
-
, .. x1, ( , 1)
, x2, x3,
x2, x3. , , ( 3 - 2 x 2 + x 3 , x 2 , x 3 , - 1 , 2 ) , x2 ,x3 . .. x 2 = 1 , x3 = 0 (1, 1, 0, -1 , 2) . , , . , :
x (1) , :
) . )
1 1 .
) 1 .
..
(1) x , , , ) )
, 1.
-
,
.
-.
.
. . - .
1: .
2: - ( 1).
3: (- 2).
4: - ( 3).
5: 1 4 . , 6 .
6: 1 3 .
-
, Gauss, - 1 . Gauss, - . ,
:
( 2)
( 4)
1 ( 5)
( 2)
3)
( 4)
-
2 ( 5)
( 3)
( 6) ( 6)
( 6)
,
:
:
-
3 0 x + 0 y + 0 z + 0 = - 1 0 = - 1 , . ,
-
, , -
.
, , , . , - . .
:
, .
=1 ,
,
( x , 1 - x ) ,
-
'
1.
i) ii)
= , -, -.
2. :
i) ii)
- .
3. - :
i) ii)
iii)
4. Gauss :
i) ii) iii)
-
5. :
i) ii)
iii)
6. :
i) ii)
'
1. , ,
(x ,y ,) = (1, -1 ,1)
2. y= x2 + x + , (1, 0) , (2, 0) (-1, 6).
3.
4.
=
5. -
:
= A
-
6. :
i) ii) iii)
1.7
. , , - , . - 2 x 2 . .
2x2
2 x 2
1122 - 2 1 1 2
,
2 x 2 , 2 . ,
-
3x3
3x3 2 :
3x3
-
(1)
3x3 , 3 .
, ,
(1) .
:
(2)
(2) - .
,
-
(3)
.
,
ij 2 - , ij. ij
Mij.
+ - , ( -1 ) i + j . ( - 1 ) i + J M i j -
ij Aij.
Aij=(-1)i+jMij.
(1), (2) (3) :
1, 2 3
- .
,
-
2 x 2 3x3 .
. , - 1 . . , x
ij = (-l)i+j ij ij, ( -1 ) -
A, ij.
3 , Mij -
ij (-1 )i+j ij -
ij.
1111 +1212 ++1v1 , 3 , - 1 .
:
i i x A : ()
()
-
() i , () j -.
1) ,
2) , - .
3) , ( ) , . ,
2 = 31 .
2
i) ii)
i)
-
,
ii)
x Cramer
, x . - x , , , .
x = .
, (x1 ,x2 , . . . ,xv)
D Dxi, i= 1,2,3,..., D -
i xi, - .
, .
-
:
,
,
( ),
1) x = Cramer, Cramer. 0 Cramer , . ' 2 x 2 3 x 3 .
Gauss Cramer. , - Cramer .
2) x = -
Gauss.
3) x , Dx1 = D x 2 =...=
= Dxv = 0, .
1 .
-
, Cramer,
2 .
D = ( - 1)( +1) 0 , -1 ,1 .
= 0 ,
-
.
= 1,
, (, 1, ),
= -1,
, ( y , y , - l ) ,
3 .
-
D 1 - 2 .
(0, 0, 0 ) .
= 1
= - 2
, (x,x,x,),
'
1.
i) ii) iii)
iv) ) vi)
2. :
i) ii)
-
iii) iv)
3.
i) ii)
iii) iv)
4. .
i) ii)
'
1. :
i) ii)
2. :
3.
i) ii)
iii) iv)
-
4. at2 + t + = 0 , # 0
i) , . -.
ii) , .
5. .
x = yy + , y= + x =x + y
2 + 2 + 2 + 2 = 1
6. :
i) ii)
7.
i)
, = (1).
ii) (1).
'
1.
-
i) ii)
Hi)
2.
i)
=2 +M + I = (-1)2 -M +I, ,
-1 = .
3. :
i) J2 =-
ii) I + J , , .
iii) O I + J ,
4. -
x'x, y'y, y = x - y = -x ;
5.
i) "1-1".
ii) .
-
iii) .
6. :
7. :
8.
9. :
10.
,
= X ,
11. i) :
ii) :
. ;
-
I .
, , - , .
1.
2. '
3. = .
4. = 2I, , , , .
5. = 2I, , , = 2I.
6. ' =
7. 2 =I '
= = -I.
8. .
9. ()2 =22.
10. = , ' = .
11. O
12.
.
-
13. - , .
14. .
15.
16. t 2 + t + = 0 , ,
.
17. .
18. () 3x3 .
i)
.
ii)
.
II. -
1. O ,
) = 2, ) = 0 , ) = 1, ) =3 .
2. 2 x . , = ,
) 2 x 2 , ) 2 x 3 , ) 3 x 2 , ) 3 x 3 .
3. O
) ) ) )
-
4. ,
A) = 0, ) = 1, ) = - 1 , )
5. O
A) .
) .
) .
)
) .
I I I .
-
1. 90 -
. 1. 90 -
.
1.
.
2. x'x y = x.
. 2. x'x
y = x.
.
3. - y = x.
.
3. - y = x.
.
-
"" ' 3 ..
- " ". " " "".
3 , 2 1 39 dou . 2 , 3 1 - 34 dou . 1 , 2 3 - 26 dou . .
- x, y, z:
3x +2y +z = 39
2z +3y +z = 34. x + 2 y +3z = 26
, , :
1 2 3 2 3 2 3 1 1
26 34 39
:
2 3 ' 2 3 , :
1 3 2 5 2 3 1 1
26 24 39
-
1 3 ' 3 , :
3
4 5 2
8 1 1
39 24 39
, 1 5 ' 4 2 ,
3
5 2 36 1 1
99 24 39
3x+2y +z = 39 5y +z = 24
36z = 99
-, x, y. , - , :
1
1
1 .
"", - , - . , 19 , :
- . ( 4 - )
O ( ). , , , , - 20, , , 30, , , - 40 , , 50. , , :
-
++=+ 20 ++=+ 30 + + = + 40 + + = + 50
O , , -, 4 . - , , : + ++ = 2x, ++=+ 20 + + + = 2( + 20 2x = 2 + 20 =x-10. , - = x - 1 5 , =x-20 =x-25. 4 - , +++ = 4 x - 7 0 2x= 4 x - 7 0 x= 35
= 3 5 - 1 5 = 20, = 3 5 - 2 0 = 15, = 3 5 - 2 5 = 10, = 3 5 - 1 0 = 25
" " G.W. Leibniz, l' Hospital 28-4-1693, - , . 3 2 -, :
10 + 11x+12y = 0 20 + 21x + 22y = 0 (1)
30+31x + 32y = 0
- . "" (- Leibniz) - , -. , Leibniz , 1 2 1 3. :
10.22 +11.22x -12.20 -12.21x = 0
10.32+ 11.32x-12.30 -12.31x = 0
x ( x ) -:
10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31 = 10.22.31 + 11.20.32 + 12.21.30
10.21.32 + 11.22.30+12.20.31-10.22.31-11.20.32-12.21.30 = 0 .
-
' (1)' ( - ). Leibniz - , -. Leibniz -, -.
- C. MacLaurin 1729, G. Cramer, - " " (1750). 5
A + By+Cx + Dy2 +Exy + x2 =0
Cramer ' 5 - A,B,C,D,E. , - , - . - Cramer - . d e t e r m i n a n t e m () C.F. Gauss 1801 . A.L. Cauchy 1815. "" - :
( 2 , - . Cayley 1841).
, , , .
-
, - , . matrix (, ), - , J.J. Sylvester 1850, - . 1855 . Cayley , 1858 " - ", . Cayley, x' = x + b y , y' = cx+dy -, (x ,y ) (x ' ,y ' ) , Cayley
. .., (x ,y ) (x ' , y ' ) - (x ' , y ' ) ( x " , y " ) x" = ex' + f y ' , y" = gx' + hy' , , -
:
x" = (e + fc)x + (eb + fd)y
y'' = (g+hc)x + (gb + hd)y.
Cayley , , :
. 0 - , , . 1925, W. Heisenberg ( 1932) , .
-
2 (1)
2.1
3 . x3 + x2+x + = 0
, x3 =px + q. 16 S. del Ferro . Tar tagl ia , -
"" D , - . , 3 = 9 + 28 D = 169 x = 4 , . , , - 2 : , , -, x3 = 1 5 x + 4 , 4 (
D ! -
(1) , , , : Ferro-Tartagl ia 3 , 4, .
(1) : ' - : .., ., ., . .
-
. 16 R. Bombelli . ,
.
(1) x = 4 ,
! + i
, - . J. Hadamard, 1896 " ", :
" ".
. x2 = - 1 , . "" , , x2 = - 1 , -
i , , i2 = - 1 . :
i, i
+ i, . - . :
, :
, , (0) (1) .
i , i2 = - 1 ,
z z = + i,
-
, .
, i, . z Re(z), Im(z). -, +0i, i 0 + i.
, z = + i, .
z + i, + i + i , = = . :
, 0 = 0 + 0 i ,
. , ,
. , ,
, .
+ i (, ) . , (, ) + i. + i. z = + i, (, ) - ( z ) . . x'x -, (,0) -
= + 0i, y'y ,
-
(0,) i = 0 + i
z = + i ,
, (, ).
2.2
, - +x , x i . :
+ i + i :
( + i) + ( + i) = ( + ) + ( + )i.
, (3 + 4i) + (5 - 6i) = (3 + 5) + (4 - 6)i = 8 - 2 i .
+ i + i, - + - - i, :
( + i) - ( + i) = ( + i) + (- - i) = (-) + (- )i .
( + i)-( + i) = (-) + (-)i.
(3 + 4i) - (5 - 6i) = (3 - 5) + (4 + 6)i =-2+10i.
1(,) 2(,) + i + i ,
( + i) + ( + i) = ( + ) + ( + )i
(+ , + ).
, , :
-
" + i +i ".
,
( + i)-(+i) = (-) + (-)i
( - , - ).
, , :
" + i + i ".
+ i + i :
( + i)( + i) = ( + i) + i( + i) = a + i + i + (i)(i) = = + + + 1 = + + - = ( - ) + ( + )i.
,
(+ i)( + i) = ( - ) + ( + )i.
,
(3 + 4i) (5 - 6i) = 15 - 1 8 i + 20i - 24i2 = (15 + 24) + (20 -18 ) i = 39 + 2 i .
, : ( + i)( - i) = 2 + 2. - i
+ i .
, + i, - i .
, , ,
+ i, - :
-
,
:
, :
, > 1. , ,
.
. i :
, :
, i4 i . , - i , = 4 + , 4, :
:
, , , .
-
(, )
'(,-) z= + i
.
z = + i
, , :
z1= + i z2 = + i , :
. - :
1 3 - . :
, z1 = z2 = ... = z = z, :
-
,
z2+z+=0 i2 = - 1 ( - i ) 2 = i 2 = - 1 , x2 = - 1
, x1=i x 2 = - i . ,
x2 = - 4 , x1 =2i
x2 = - 2 i ,
, , C. -,
z2 + z + =0,
- , , :
= 2 -4 . , -
:
> 0 . :
= 0 . :
< 0 . , , -
:
:
(1)
.
, Z 2 - 5 z + 6 = 0 = 2 5 - 2 4 = 1 > 0
: . , z 2 - 2 z + 2 = 0
-
= 4 - 8 = - 4 < 0 :
:
1 . -
-
i i . ,
, = 4 + 4, :
= 0 . =4 ,
=1. =4 +1 ,
= 2 . =4 +2,
=3 . =4 +3 ,
2 . -
) ) .
z-x + yi, :
-
:
) O , , -
, x2 - x + y2 -2y = 0 , ,
, z
, (0,2).
) O , , ,
2x + y-2=0
, z 2x + y - 2 = 0 , (0,2).
'
1. , z = ( + 3i) (2- i ) : ) ) .
2. x,y :
) (x+y) + (x-y)i = 3-i
)
) 9 - 2 7 i = (3x + 2y)-yi.
-
3. - : 1 + i , 1, i, - 2 i , 3 + 4i , 3 - 4 i , 5, 0.
4. z : ) . ) . ) .
5. + i
) ( - 4 + 6i)+ ( 7 - 2 i ) ) ( 3 - 2 i ) - ( 6 + 4i)
) (3+ 4i)+ ( - 8 - 7 i ) + (5+3i)
) 3i(6+i)
) (3 + 2i)(4 + 5i)
) (4 + 3i)(4-3i) ) i(3 + i ) ( 2 - i ) .
6. + i:
) ) i6
) i2 +2i + 1 )
) )
7. , :
) (3 -2 i ) 2 - ( x + iy) = x - y i
)
) (3 - 2i)(2x - iy) = 2(2x - iy) + 2i - 1 .
8. :
) i6 +i1 6 +i 2 6 +i3 6 +i4 6 +i5 6
)
9. , : ) z = - 5 + 7i ) z = - 4 - 9i ) z = 4i ) z = 11 ) z = -i ) z = 0 .
-
10. - z = x + yi
11. , z1+z2 -
, z1-z2 .
12. z :
) ) ) )
13. :
) ) )
14. 2x2 + x + = 0 , , 3+2i , .
'
1. , , , -
.
2. ,
3. (1 +i) 2 0 - ( 1 - i ) 2 0 .
4. i+i-;
5.
) )
6. z . -
7. ( + i)10 +(- i)10 = 0 ,
8. ) z :
-
O z ,
z ,
) -
, -
.
9. z :
) )
2.3
M(x,y) z = x+yi . z ,
,
z
, , - x.
z = x+yi, -z =-x-yi . .
- . z1,z2 ,
-
, :
, , .
.
,
, - z1 + z2
z1 - z 2 :
,
. :
" - " .
:
, ,
- - 2 + i , (2,1), - 3 . , - (2,1) = 3 .
-
,
(z 0 ) .
, -
1 + 2i - 1 + 3i, A(1,2) ( -1 ,3) . , .
,
A(z1) (z2).
1 . z1,z2,...,z
.
z 1 , z 2 , . . . . z , z, ,
z-i z+i
.
.
2. z , :
-
) O z .
)
) (2,2)
. , -
(2,2) , -
(x-2)2+(y-2)2 =2.
) (z) O(0,0), () . , , ,
() (OA).
, , y = x. ,
>
(1,1) (3,3). ,
'
1. :
2. :
-
3. z = x + yi :
) ) )
4. :
) )
) )
)
5. :
) )
6. ,
= 1
7. z, , - ;
8. , w w = 2z +1.
9. z1 z2
'
1. :
2. , . :
, -
.
3. . : O
,
-
4. , . :
, .
5. (0,0) = 1, -
6.
(0,0) = 1 .
7. -
. -.
8. z , : .
(0,0).
9. 1 2 z1 z2
, : 1
O(0,0) 4, 2 .
10. ) ,
) z1,z2,...,z
:
2.4
, , .
-
, -
(x + yi)(x - yi) . , , , . 1739 . de Moivre,
(
x3 = px + q)
, -
. 1748 L. Euler, ,
+ i
( de
Moivre), , , nz nz . - , -. - ( C. Wessel 1799 R. Argand 1806) , . . C.F. Gauss 1831.
z = x + yi -
.
z [0,2). z Arg(z). :
To Arg(z) - z x'x.
z 2,
-
z = 0 . ', , - ,
, .
z, , - ,
x = y =
,
z z.
, ,
:
, ,
:
, , - r > 0 , z .
, :
" , 2".
-
:
z1 z2,
z1 z2, :
, , :
:
,
,
:
-
:
2 1 2 1
:
O ,
2 2 (. 12). , -
+i - z , . , z i -
,
-
z2 =2(2 +2) ,
-2
De Moivre
z = (+i) ,
:
,
, :
- ,
{) .
= 1 z1 =1[(1) + i(1)] , , , . (1) .
, () , ( + 1) , ,
,
, () .
-
, , :
De Moivre '
De Moivre -.
,
1 . , -
z = x + yi ,
,
,
-
,
:
, = 2 x'x.
2 .
)
)
.
, a,b c :
:
-
'
1. :
) )
) )
) 4 ) - 4 .
2. :
)
)
)
3.
) )
)
4.
) )
)
5.
6. z2000.
-
7. ,
, .
8. z i.
9. ,
10.
'
1. ) w,
)
2. )
)
3. :
,
4. z , :
) ) )
5. , :
)
) .
-
6. z = + i. :
7. z w :
) w. ) w,
8. -
z.
9.
z1 z2 .
2.5
3 4 , "" - . , , , -. ,
" ",
, . O R. Descartes, "La Geometrie" (1637) : " - [. ]
-
", "", "" "" :
"... - , , 2, ".
, ( ). G.W. Leibniz 1702
() x4 + 4 1 2 . - 1 2 , -. d 'Alembert (1746), L. Euler (1749) J.L. Lagrange (1772), C.F. Gauss 1799 ( 22 ), : " ".
z = 1
z =1 , 2 = 1, , 2 = 1 2 = - 1 , .
zv = 1, . :
.
-
.
z =1 , -, , :
r( + i) , , z =1 . ,
, rv - 1 -0 = 2, , r = 1 . -
, z = 1, (1)
,
z = 1,
, z =1
(1)
- 0 z0 = 1.
, zv = 1, :
-
:
...
, , z =1 (1) - . - .
, = + :
, z
. . 1 ,2
, , :
1 - 2. , 0 < 1 - 2 < . ,
z =1
.
1,,2,3,...,-1 zv = 1 -, (0,0) r = 1. :
-
0 1
1
2 2
-.
3 3
.
a = ( + i) a. de Moivre :
z = a
, ,
,
z = a
:
-
z = a , - ,
:
z = a - ,
O(0,0) ,
(1)
, z (1)
:
= 2 .
, (z) = 0 , -
,
-
. z1 ,z2 , . . . ,zv (z) ( - ) , :
, - .
. , , , , , , . - , , - . Horner :
,
, 1. . - - .
3
, - .
, , :
z0 , :
-
, z0 .
1. :
) )
)
)
2 . . x1,x2 - , 2
,
-
:
, :
3 .
(x) , ,
, (x) ,
(x) , - 3x + 2 .
-
, , - - , ( ) .
'
1. :
) ) )
2. :
) )
)
3. :
) ) )
4. :
) )
5. 2 + i
.
6. w ,
7.
-
8. - .
1. : ) )
2.
3. - -
4.
5. z.
6. . -
7. x1 x2.
) x1+x2 x1x2
8. )
.
9.
-
1.
)
) , () 0. - M(x,y),
2. z, w w1, :
-
z -
.
3.
)
) w
) O(0,0).
4. z , :
5. z 1 , z 2 , . . . , z O(0,0),
6.
-
7. x2 +x+ , : )
) z1 z2
8.
:
)
)
1. : (i) , :
. .
(ii) O :
. .
. . .
2. z :
3. z - , :
-
. .
. .
. .
.
. .
4. :
( k >0 )
. k + ki a. -45 . k - ki . 225
. -k-ki .
45
. -k+ki . 180
. 60
. 135
5. . :
. 1 . 2 . 3 . 4 . 5
6. , , :
:
:
:
:
-
7. z , :
-
'
-
1-
1.1
, . (. 1)
,
, ,
:
.
-
. . , - :
1)
2)
3)
4)
5) , :
6)
7) > 0 ,
-
, :
, , - .
, , -
:
, .
- .
:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
-
:
i)
ii)
1.2
. - , .
-
. - () f ,
. f x f(x).
, :
x, - , , f x, .
f Df .
f , - f f(A). :
:
.
" f ' " , . f(B) f :
, f :
, f(x), x .
, , f f(x). - f x, f ( x ) . , ,
-
" , "
f , , "
"
f :
i) ii)
i) f ,
1 2. , -
,
, f
f ,
, f
f Oxy - . M(x,y) y = f ( x ) , M(x , f (x ) ) , , - f Cf . , , y = f(x) -
-
C f . , y = f(x)
f.
,
f . - f (. 7). , (. 7).
Cf f, :
) f Cf..
) f f(A)
Cf.
) f
x = x0 Cf (. 8).
C f , f , ,
-f
-
) - -f ,
x'x, - f, M'(x,-f(x)) -
M(x,f(x)), -
x'x. (. 9).
) -
Cf
x'x , - x'x, Cf
. (. 10).
-, .
-
. O y'y
-
:
, f(x) = x f(x) = x
= 2., f(x) = x = .
-
:
: :
:
1)
2)
3)
7)
8)
- . - , .
-
:
i)
ii)
iii) h(x) = g ( x - l ) , h , - g .
:
-
:
- f g
- f(x) = g(x),
f g . :
f g :
f(x) = g (x ) .
f g f = g .
f, g , - . f(x) = g(x), - f g - . (. 22) ,
,
:
) 1,2 3 [0,1],
f, g, -
-
4 (0,1], A, -
x g(x) = 0 ,
1,2,3 4 , , - f , g . :
f, g
f + g , f-g fg - f g ,
x -
g(x),
x
) y = x-1
) y = x-1
) f(x) = x - 1 , (' )
-
) , (' ).
, x
(x) = g(f(x)).
f g gof . f, - f(x)
g, . :
f, g , , - f g, gof,
gof f -
f f(x) g.
gof
, - -.
:
i) gof ii) fog.
-
f , g
i) :
(1)
, ,
, gof
ii) :
, ,
x > 0 . , , fog
, f, g gof fog, .
f, g, h ho(gof), (hog)of
f, g h hogof. .
-
1. ;
2. f x'x, :
3. f g, :
4. :
(x) = 2,89x+70,64 ( )
(x) = 2,75x + 71,48 ( )
, . - 0,45 m.
) ;
) ;
5. l = 20 cm x cm ( 2 0 - x ) c m .
. .
6. :
-
- f .
7. f = g.
-
f(x) = g(x).
8.
9.
10. gof,
11. . - gof fog .
12. f -,
-
1. f :
2. x cm 628 cm3. 4 cm2, 1,25 cm2. x. 5 cm;
3. = 1, = 3 = 2 . - x = AM , - .
4. - x cm - = 10cm - = 5 cm. - - x..
5. :
-
f .
6. f , :
7. f(x) = x+1 g(x) = x+ 2 .
fog = gof .
8. :
9. , - X ,
. t
- .
i) - t.
ii) 120 .;
1.3 -
" ", " " . , :
-
f ( 1 ) :
' , x1
-
"", "", . :
f :
() , f ( x 0 ) ,
(. 27)
() , f ( x 0 ) ,
(. 27).
:
(. 28) x0 = 0 ,
f(0) = 1,
(. 28) x0 =1 ,
f(1) = 0 ,
-
f(x) = x (. 29) , y = l ,
, y = -1, -
f(x) = x3 (. 29) , -
, .
, - , , . () () f f.
1 - 1
:
'
:
" -
".
1 - 1 ( ). :
1 - 1 , :
-
:
1 - 1 , -
:
:
f(x) = x + , 1 - 1 . (. 31, )
, f(x1) = f(x2), :
f(x)= 1-1 (. 31), f(x1) = f ( x 2 ) = -
- f(x) = x2 (. 32) -
1 - 1 , f(-1) = f(1) = 1 -
f 1 - 1 , :
- y f(x) = y - x.
- . f (. 33).
-
, , . -,
1 - 1 . , , 1 - 1 -,
. - 1 - 1 , y , f ( ) , f - x f(x) = y.
f ( x ) = y.
g :
f(A) f,
- f
- :
-
, f x , g y x . g f. g f - .
, .
1 - 1 .
f-1 f. -
, -,
x=y .
. ,
g(x) = loga x.
1 - 1 f - C C' f f-1 (. 37).
(, )
C f , '(,) -
-
C' f-1 . , , xOy x'Oy'. :
C C' f f-1 -
y = x xOy x'Oy'.
, f(x) = ax g(x) = l o g a x , 0 < # 1, y = x.
1 - 1 .
. . :
f y = f(x) . :
-
, , f -
'
1. -
2. "1-1" '
3, f , g , .
-
f,g,, ' - .
4. :
i) f , -f .
ii) f,g - , f + g .
iii) f,g -
, fg .
, f,g .
1.4
- :
;
;
;
, "", , .
-
, y = x +1 (1,2) (. 38). , :
" x, x 'x, - 1, f ( x ) , y'y , -
2. , f ( x ) 2 , x#1 1".
" f ( x ) , x 1, 2". :
f l, x x0,
" f(x), x x0, l"
" f(x) x0 l".
-
:
f x0, f -
" x 0 " , f ' -
To x0 (. 39, 39) ' (. 39).
f x0, ,
x0 (. 39) . (. 39).
, ,
. : x 1 (x < 1), f - 2. :
x 1 (x>1) , f -
4. :
:
f - l1, x x0 ( x < x 0 ) , :
: " f(x), x x0 , l1''.
f l2 , x x0 (x > x 0 ) ,
:
-
: " f(x), x x0 , l2''
/
x0 l1 f x0, l2
f x0. :
, (. 42)
x0 = 0 , :
. , f(x) -
l , "
x 0 " . , , :
-
" f(x) - V
(1)
.
" x # x0 x0"
(2)
. (
.
- - , x (2), f(x) (1). :
*
f
f x0 > 0 > 0
, :
, f x0, - , ,
,
f x0 l .
:
f (x 0 , )
x0 < x < x0 + , f
-
(,x 0 )
x0 - < x < x0,
:
f -
(x0,), - ( ,x 0 ) , :
,
f - ( ,x 0 ) , - (x0,), :
.
, -
(,x 0 ) (x 0 , ) f.
,
x 0 = 0 ,
,
, ,
-
, f
:
) f -
.
) f ( , x 0 ) , ' -
, ( x 0 , ) .
) f ( x 0 , ) , ' -
, ( ,x 0 ) .
, x0 = 0 ,
.
-
:
f ( x ) = x (.
47) x0 x0,
g(x) = c (. 47) x0 c.
-
1. , -
f :
2. f , , :
3. :
-
4. f - . .
5. f
,
1.5
.
1
f ( x ) > 0 x0 (. 48)
f (x )< 0 x0 (. 48)
-
2
f , g x0
x0,
-
.
1 3 - . :
-
,
:
,
,
(x), Q(x) x
,
,
,
Q(x0) = 0 , 4 .
1 ii), .
-
1 . :
i)
ii) -
( 4). x-2
. x # 2 , :
,
iii) x = 1 . - :
:
-
,
2 . , , x0 =1
x
-
, ., x # 0
, , :
. :
*
x = 0 .
x = {MM1) < () < (A) = x .
(1) ,
, ,
, , x = 0.
- :
-
1.
(1)
:
,
2x = 1 - 2 x ,
, ,
2.
-
*
(A) < ( OAM) < ( ), :
,
)
-
. , ,
fog x0, :
1. u = g ( x ) . 2. ( )
3. ( )
, g(x) # u0 x0,
l , :
, -
: .
:
)
)
-
,
'
1. :
2. f
3.
-
4.
5. ( ) , f x0 :
6. :
7. :
8. :
9.
'
1. :
-
2.
3. = 1. :
= 1. :
4. :
1.6
54 - f x0. - , - x'x x0, f(x) - - . f x0
-
55 - f x0. - , x - x'x x0, f(x) - - - ( > 0) . -
f x0 -
*
f
> 0 > 0 ,
f(x) >
> 0 > 0 ,
f(x)
-
:
:
-
,
:
1 ( )
2 ( )
, , - ( ) . . , - :
:
-
:
:
,
:
.
1 . :
i) 1,
:
ii) (x-2)2 > 0 2,
-
2 .
x0 = 2 , f(x) 2.
x-2 > 0 x > 2 ,
x-2 < 0 x < 2,
. f 2.
'
1. ( ) f x0 :
2. ( ) f x0, :
-
1. ( )
2. :
i) f(x) = x
ii) f(x) = x 0.
3.
.
4. :
1. 7
f , g , h
x .
-
f(x) l. - f
g(x) . g
h(x) . h
f f , ,
f,g,h :
- :
,
-
x0
: .
. :
,
# 0 :
-
,
,
- ( 1 ) :
> 1 (. 60),
0 < < 1 (. 61),
(1) .
-
. -:
() ,
( ) . ,
. ,
, - O - :
, . - . , . - . ,
1. :
-
2. :
3. :
'
1. , - : , - :
2. -
3. -
4. :
-
1.8 !
f,g,h .
:
f :
g x0
h x0 .
f x0. , , x0 f. , .
f x0 x0 .
f
, 0,
, f x0 :
-
) x0 ) x0, ,
f ( x 0 ) , x0.
:
0,
f 0.
1,
f , , , .
:
,
, x0
f(x) = x g(x) = x ,
, :
f(x) = x g(x) = logx , 0 < # 1 .
-
x0 :
f g x0, x0 :
x0.
: f(x) = x f(x) = x - .
g(x) = 3x-2 .
,
g(x) = xx
f1(x') = x f2 (x) = x..
, - :
f x0 g f ( x 0 ) , gof x0.
, (x) = (x2 -1 )
f(x) = x2 - 1 g(x) = x .
;
-
f - .
f
. f , x0 = 0 ,
:
f(0) = 2 .
, 2 = 1 , ,
. , , - f - ' .
f (,), (,). (. 63)
f [,], (,)
(, ], [, ).
-
:
Bolzano
- f [ , ] . A(,f()) (,f()) - x'x, f - . .
f, [,]. :
f [, ] , ,
f() f() < 0,
, , ,
f (x 0 ) = 0.
, , , f(x) = 0
(,).
Bolzano :
f ' ,
. (. 65)
f f .
-
f x. , :
) f.
) , - f . - f .
,
f(x) = 0 [0,2].
f
f .
x0
0 2
f(x) - 1 1 - 1
-
+ -
, f(x) < 0 ,
-
Bolzano - .
f, [, ]. :
f [, ]
f() # f()
, f() f() ,
f(x0 )= n
f() < f ( ) . f() < < f() (. 67).
g(x) = f ( x ) - , :
g [, ]
g()g()< 0,
g() = f() - < 0 g ( ) = f ( ) - > 0 . , Bolzano, ,
g(x0) = f(x0) - = 0 , o f ( x 0 ) = .
f [ , ] , , , - .
:
f() - f .
-
[ ,] , .
( )
f [,], f [,] m. (. 69)
, , . m = f(x1) = f ( x 2 ) ,
f [, ] [ m , M ] , m .
, f(x) = x, [-1,1],
[0,2] m = -1 = 1.
-
, :
f (,), - (, ) (. 71),
, , f (, ), - (, ) (. 71 ).
,
-
(. 72),
, (. 73)
f [, ], [, ) (, ].
-
x + x = 4 , , - (,2).
f [,2] .
, Bolzano , ,
1. -. .
2. x0 -:
-
3. ,
4.
5. :
6. x - x + 1 = 0 -
(0,).
7. f, , (, + 1) - f(x) = 0
-
8.
,,> 0 < < , , (, ) (,).
9. f - x, :
10.
'
3. i) f x0 = 0 . -
f (0) ,
ii) , g(0) g
x0 = 0
4. f , g [0,1] f(0) < g(0) f(l) > g ( l ) ,
f() = g().
-
5. :
, , (1,2).
6. - f g
7. i) f [-1,1],
) f(x) = 0. ) f
(-1,1). ) f -
; ii) f
8. [0,1] f - .
i)
ii) Bolzano Cf
.
9. - C - f - [, ]
M0(x0,y0) - ,
-
i ) d(x) = (M0M) M0(x0,y0) M(x,f(x)) Cf
ii) d [,]
, , Cf -
0 ,
, Cf 0
.
I .
, , - , .
-
II. -
' :
A) l < m
) 1 = m ) m < l.
A) 8 ) 1 ) 0 ) - 8 .
:
) 1 ) - 1 ) 0.
-
A) x0 = 0 B) x0 = 2 ) x0 = - 1 ) x0 = l .
1.
:
) g 2
) f 1
) g
I I I .
2. ;
3. f = [0,3], f(0) = 2 , f(1) = 1 f(3) = - 1 .
' - ;
) f [0,3] 2 - 1 .
-
, , ' . - "" , . . - "-" :
17 . - ( - , , ..) ( ). Descartes, "La Geometrie" (1637), - ( - - -), - :
" y x , ".
"" ( fungor , , ) 1673 ' Leibniz " -" (Methodus tangent ium inversa, seu de functionibus) , y
-
. - , . J. Bernoulli 1718 :
" - ".
" " , - - . , - " ", L. Euler 1748, " ".
" - - ".
, .. , . ' , 18 , y = f(x,t) - t. - ' , - . L. Euler, 1755 , - " -" .
" , , - . - . x , x , - x".
- , "". J. Fourier, 1822, - : ", -
-
f(x) , - . x, f(x). - , . ' ' - ".
- " " , - . , , - "" , , - "", ' - . ' . L. Cauchy 1844, -: " Euler Lagrange, - , . ' , , . , - Euler Langrange , -. .., x , +x -x, x ,
x0 - '-
x0 - - ' .
-
-
, , , . , Euler II - " " ... ".
, Cauchy, -. " ", - , . Cauchy, 1821, : ( . Bolzano 1817).
" f(x) x x ' . x - , f(x+)- f(x),
x. ' , f(x) x, x ' , f(x+)-f(x) ' - ' . , f(x) x, ".
( .. - ) , , , . - -. - , , , - ' . d '
(1) Cauchy , , .
-
Alembert 1765 "" Diderot : " , - ' - ". ' , - , 2 - 1,9 1,99 1,999 1,9999 ..., 1,9 1,99 2 2 ... ( "" 2), - 1,9 2,01 1,9999 2 , 0 0 0 1 . . . ( 2). O ,
S.F. Lacroix 1810
" x -
.
,
, -
.
, x , , -. ,
: x".
-
, , . "" , Weierstrass 19 . , .
-
2
2.1
- S = S(t) t.
S t - . , , t0
0 h, t = t0 +h , . (. 1). t0 t S(t)-S(t0). , '
t t0, t0. , t t0, t0 ( t 0) . :
-
t1 = 1, t2 = 2
t3 = 3 :
, t0
, A. , , y = x 2
A(1,1) (. 4), y = x3
-
A(1,1) (. 4).
, , .
, , (. 5). , , AM . - , - , AM - " " - A. , , - - . f A ( x 0 , f ( x 0 ) ) -.
M ( x , f ( x ) ) , x # x0, f AM A , :
-
x x0 x > x0 AM (. 6). x x0 x < x0 (. 6). AM f .
AM -
Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) )
.
f (x0,f(x0)) C f .
, -
Cf A,
.
, A ( x 0 , f ( x 0 ) )
y - f ( x 0 ) = (x -x0).
, f(x) = x2
(1,1).
Cf
A(1,1). -
-2 y - 1 = 2 ( x - l ) .
,
-
- , :
f ' x 0 ,
. f x0
f ' ( x 0 ) . :
, f(x) = x2 +1, x0 = 1
, f'(1) = 2 .
, , x = x0+h, -
h = x-x0 x, f(x0 + h)- f(x0) =
f(x0 + x ) - f(x0) f(x0) , :
Leibniz x0
O f'(x0) -
Lagrange. , x0 - f, :
f x0 ,
.
-
,
-
0 f'(0) = 0 ,
-
0,
:
, t0,
x = S(t) t0. ,
( t 0 ) = S'(t0).
Cf
f. A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f x0. -
, = f'(x0)
:
f'(x0) A ( X 0 , F ( X 0 ) ) C f f x0.
-
, , f ' A(x0,f(x0)). f x0.
0, ' ,
, M(x,f(x)), x # 0 , Cf , ,
x 0, , y'y. f O(0,0) x = 0 .
0, ' ,
, M(x,f(x)), Cf ,
, x 0, y'y. Cf O(0,0) x = 0. :
-
f x0 :
)
)
)
Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) ) -
x = x0
,
O(0,0) , x = 0 , 0
f - x0 , Cf A ( x 0 , f ( x 0 ) ) .
, -
O(0,0),
-
f
x0 = 0 , ' ,
, , f ' x0 ' . , , f - x0, x0, :
f ' x0, - .
x # x0
f x0. , f
x0.
-
f ' x0, ,
, x0.
:
i) x0 = 0 ; ii) x0 = 0 ;
i) f x0 = 0 ,
, ,
ii) :
# 1,-1, f -.
= 1,
x < 0 ,
x > 0
-
, = 1 f x0 = 0 .
= -1,
x < 0 ,
x > 0
, = - 1 f x0 = 0 .
'
1. f x0,
i) ii)
iii)
-
2. ( ) f x0,
i) ii)
iii) i)
3. f 0, - g(x) = xf(x) 0. f 0, - g(x) = xf(x) 0.
4. x0 -, . x0 -, .
5. Cf ( )
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) 1 2.
Cf ( )
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) 1 2.
1.
x0 = 0 .
2. f :
i) f(1) = 2 ii) f'(1) = 3
3.
A(0,1) -
4.
x0 = 0
-
5. :
i) f(0) = 1
ii)
iii) f'(0) = 1.
6. f x0 = 0 :
i ) f ( 0 ) = 0 i i ) f ' ( 0 ) = l .
7. f 0 -
i) f(0) = 0 ii) f'(0) = 4 .
8. , f x0, , f x0,
i)
ii)
9. - x'x 0sec 8sec. :
- x'x 0sec 8sec. :
-
i) ;
ii) ;
iii) t = 2 sec, t = 4 sec t = 5 sec;
iv) - 0sec 4sec;
) ;
i) ;
2.2 -
f A. :
f , , , -
f (,) -
,
f [ ,] -
, (, )
f [ ,] -
, (, )
f 1 .
f ' ( x ) ,
f f.
"
". y = f'(x) - y = (f(x))'. ". y = f'(x) - y = (f(x))'.
-
1 , - f', , f -
f".
f,
f ( ) .
, , . - , ( ).
f -
f'(x) = 0 ,
, x0 x # x0 :
,
(c)' = 0 .
f(x) = x . f f'(x) = 1,
, x0 x # x0 :
,
(x)' = 1.
-
f -
, :
f
, x0 :
3.1 0.
f(x) = x. f f'(x) = x,
-
,
, (x)' = x .
f(x) = x. f
f'(x) = - x ,
,
, (x)' = -x .
- f(x) = x, g(x) = x x0 =0
f, g ,
-
. f
,
f ( x ) = l n x . f
1. f ( x ) = lnx, .
-
Cf (x0,f(x0))
O(0,0) ,
, M(e, 1).
-
2 . 1 2 - f(x) = x O(0,0) (,0) . : i) 1 2
ii) - 1 , 2 x.
i) f'(x) = (x)' = x, f'(0) = 1 f'() = - 1 1 , 2
= x = -(x - )
.
ii)
1, 2 , -
'
1. f x0 :
i) ii)
iii) iv)
)
2. , , :
i) ii)
-
iii) iv)
3. y = x2 . - f(x) = x 3 ;
y = x2 . - f(x) = x 3 ;
4. - f -.
- f -.
5. - ,
f(0) = 0 , - .
'
1. ,
, x0 = .
2. (,f()), # 0 f. - (,f()) (-,0) Cf A.
3.
f(x) = x3 ( , 3 ) , # 0 . Cf .
f(x) = x3 ( , 3 ) , # 0 . Cf .
4.
,
-
x'x y'y ,
i) .
ii) ,
2.3
f , g x0, :
f , g ' , :
. -, f1,f2,....,fk, ,
,
-
f,g , x0, :
f,g ' ,
.
-. , :
-
,
f ' (c)' = 0 , (2) :
,
.
f , g ' g(x) # 0 , :
,
.
f
-
, :
.
, , > 1. ,
f(x) = x. f
, :
f(x) = x. f
1.
-
:
2 .
A(0,1) .
f'(0) = g'(0). :
A(0,1) :
y = x, - g(x) = 2x f(x) = x. 2x = 2xx,
y = 2x y = 2x, (x)' = x . :
-
, g f g(), fog
, u = g(x),
Leibniz, y = f(u) u = g (x ) ,
.
. -
, .
:
.
, u = l n x , -.
.
(1) , > 1 f x0 = 0
0, .
-
, u = xln, -
,
, u = f(x) , -:
1 .
i) ii) Hi)
-
i) y = f(x)
,
ii)
iii)
2 . M1(x1,y1)
y,
, C
-
[-,] ( - , ). , , y- f(x) 1 (x 1 , y 1 ) ,
(2)
, (2),
, x = x1,
, (1)
, y1 # 0 ,
, :
:
(3)
y 1 = 0 , 1 (x 1 , y 1 ) (,0)
A ' ( - , 0 ) , Cf
x = x = -
. (3) (x1 ,y1) = (,0) (x1, y1) = (-,0) .
- .
-
1.
i) ii)
iii) iv)
2. :
i) ii)
iii) iv)
)
3. :
i) ii)
iii) iv)
4. , , :
i) ii)
5. f, x, f, x,
i) ii) iii)
6. -
f',g'. f' = g' ;
-
7.
A(1,1), .
8.
, Cf A(0,1)
9.
f(x) = x3 -3x + 5 , :
i) y = 9x + 1
ii) y = -x.
f(x) = x3 -3x + 5 , :
i) y = 9x + 1
ii) y = -x.
10. f(x) = x2 A (0 , -1) . f(x) = x2 A (0 , -1) .
11. -
C f ,
A(1,2) y = x .
12. :
i) ii)
iii) iv)
)
13. f x0 :
i) ii)
iii) iv)
14. :
i) ii)
iii) iv)
-
15.
1.
,
.
2. y = 3 x - 2
f(x) = x3
.
y = 3 x - 2
f(x) = x3
.
3. f(x)=x2 + x+2
x0 =1.
4. f(x) = ex g(x) = -x2 -x.
Cf A(0,1) Cg .
f(x) = ex g(x) = -x2 -x.
Cf A(0,1) Cg .
5. , f(0) = 4 ,
f'(-1) = 2, f"(2) = 4 f(3)(1) = 6 .
, f(0) = 4 ,
f'(-1) = 2, f"(2) = 4 f(3)(1) = 6 .
6. f y = x + l y = 3x - 1 A(0,1) B(1,2) .
f y = x + l y = 3x - 1 A(0,1) B(1,2) .
7. x0 = .
i)
ii)
8.
x.
9.
i) ii)
-
Cf O(0,0)
.
10. f f'(1) = 1 g
Cf A(1,f(1)) Cg B(0,g(0)).
11. f, ( - 1 , 1),
i) f '(0)
ii) Cf A ( 0 , f ( 0 ) )
.
Cf A ( 0 , f ( 0 ) )
.
2.4
, t0
S t t0. ,
x,y y = f(x), f - x0,
y x x0 f'(x0).
, t t0 '(t0), t t0. '(t0) t0 ( t 0 ) .
, K, - x . , -
-
K(x0) -
x, x = x0 x0. ,
x0 x0.
1 . . t0 r 50 cm, r 20 cm/sec. - , t0.
E = . r2 r t,
,
2 . x - K(x) (x),
(x) = (x)- (x)
.
i) .
ii) .
i) O
,
-
ii) 0
'
1. . , -, cm r = 4 - t2, t sec. V
. , -, cm r = 4 - t2, t sec. V
, t = 1 sec.
2. O V 100cm3/sec. r - t0, 9cm;
O V 100cm3/sec. r - t0, 9cm;
3. , (x), , (x), x , (x), , (x), x
(x) = 420x .
, (x) = (x)-(x), - .
4. 1 2 . 1 15km/h 2 - 20km/h.
i) - 1 2
1 2 . 1 15km/h 2 - 20km/h.
i) - 1 2
-
ii) d = ( 1 2 ) - .
5. -
x y, x'(t) > 0
'
1. 10cm2/sec, r = 85 cm.
10cm2/sec, r = 85 cm.
2. O(0,0), (x,0) B(0,lnx), x > 1. x - 4cm/sec, , x = 5 cm.
O(0,0), (x,0) B(0,lnx), x > 1. x - 4cm/sec, , x = 5 cm.
3. 3m/s. , - y.
3m/s. , - y.
4. - 100m - 50m/min. - 100m.
- 100m - 50m/min. - 100m.
5. 1,60m - - 8m - 0,8m/s. - ;
1,60m - - 8m - 0,8m/s. - ;
-
6.
-
(-). -
'(t) = -(t) - - - - 3 .
7. 3m - ' . 0 , lm/sec . t0, 2,5m, :
3m - ' . 0 , lm/sec . t0, 2,5m, :
i) - (). - ().
ii) .
8. x2 +y2 = 1 . -
y
3 . x .
2.5
. Rolle, - , Rolle.
-
(Rolle)
f :
[,]
(,)
f() = f()
, , , :
f'() = 0
, , , ,
C f (,f()) -
x.
,
f [1,3], -
(1,3), f'(x) = 2x - 4 f(1) = 2 = f(3),
Rolle,
, f ' () = 0 .
, :
( ...)
f :
[,]
( ,)
, , , :
-
, , . ,
f (,f()) - .
,
f [0,4] -
(0 ,4) , -
, - ,
, :
1 . :
i) , Rolle [0,1], ii)
, , (0,1).
i) f Rolle [0,1]
[0,1]
(0,1) f'(x) = 3x2 + 2 x - ( + 1)
f(0) = f(1) = 0 .
-
ii) , ,
Rolle, , f'() = 0 ,
. , -
2 . f ( x ) = x2 +x + , # 0 [ x 1 , x 2 ] , , -
[ x 1 , x 2 ] ,
f(x) = x2 +x+ [x1 ,x2]
(x 1 ,x 2 ) , f'(x) = 2x + . , -
,
(1)
:
x2 - x1
, (1) :
3 . 200 2,5 . , , 80 .
. (t0) = S'(t0) = 80. S [0, 2,5] (0, 2,5). -
, , -
-
'
1. Rolle , Rolle , , ,
f'() = 0 .
i) ii)
iii) iv)
2. , - , ,
, - , ,
i) ii)
iii)
3. < , ... [,] : ... [,] :
g(x) = lnx 0 < < .
1.
i) f(x) = 0 , , (-1,0) , , (0,1).
ii) , -, (-1,1).
-
2. f(x) = (x -1 ) . :
i) f'(x) = 0 , , -
(0,1).
ii) x = 1 - x , ,
(0,1)
3. i) f f'(x) # 1 - f(x) = x .
ii) x = 0 .
4. i) ,
ii) f
:
5. f [0,4]
A f(0) = 1,
6. f [-1,1]
f(-1) = - 1 f(1) = 1, - f(0) = 0 , ... f [-1,0] [0,1],
7. Rolle Rolle
A(0,1), B(1,2).
2.6
, - . ... - .
-
f .
f
f'(x) = 0 x ,
f .
f(x1) = f ( x 2 ) .
x1 = x2, f(x1) = f(x2)
x1 < x2, [x1 ,x2] f -
. , ,
(1)
, f'() = 0 , , (1),
f(x1) = f(x2) . x2 < x1, f ( x 1 ) = f ( x 2 ) .
, , f(x1) = f (x 2 ) .
f , g .
f, g
f'(x) = g ' (x) x ,
c , :
f(x)=g(x)+c
f - g
, -, f - g . , C , f ( x ) - g ( x ) = c ,
f(x) = g(x)+c .
-
. ,
. f'(x) = 0 f
f
f'(x) = f(x) (1)
i)
ii) f, f(0) = 1.
i) :
,
ii) , , (x) = c
, .
f(0) = 1, 1 = c ,
-
f(x) = x2. f
, f'(x) = 2x < 0 ,
f , -
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f'(x) = 2x > 0 . , , - - . - :
f, .
f'(x) > 0 x , f - .
f'(x) < 0 x , f - .
f'(x) > 0 .
x1 < x2. f(xl) < f(x2) . , - [x1,x2] f ... ,
,
f ' ()>0 x2 -x1 > 0 , f ( x 2 ) - f ( x 1 ) > 0 , f(x1) < f ( x 2 ) .
f'(x)
-
f ( x ) = x2 -2x
f'(x) = 2(x - 1) > 0
f'(x) = 2 (x-1) < 0
-
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) .
- . , f (- ) . ( ) . , , - f(x) = 3x2
f'(0) = 0 .
1 . , .
f f'
-
, f:
-
f ' (x)> 0
[0,1]
f ' (x)< 0 (0,1).
-
f'(x) > 0
f' f
[0,1] :
2. i) f ( x ) = x-x-2, - .
ii) x = x-2 [0,] .
i)
, f [0,] . f , 1.8, [ f (0) , f()] = [-3, -1].
ii) :
f [ - 3 , - 1 ] , 0,
f(x0) = 0 . f
[0,], x0 -
-
f(x) = 0 . ,
28, y = x-2 y = x.
1. f.g :
.
2. :
i) ii)
iii)
3. :
i) ii)
4. :
i) ii) iii)
5.
i) f,g . ii) .
iii) :
x = 1.
6. : i) .
ii) x = 0 .
-
1. f '
f .
2. i) [-1,1].
ii) f [-1, 1].
iii) - 2 < < 2 , - (-1,1).
3. t :
- :
i) ;
ii) ;
iii) ;
4. V ( ) , t , -
, , .
5. :
i) -
f .
ii) f ( x ) =
6.
-
7. :
i) f(x) = x - xx -
ii) x - xx > 0 ,
iii)
8. :
i) f(x) = 2x + x -3x , .
ii)
2.7
- f ' (,]. - x = x0 "" x0. f - x0 . x1 x2. :
f, ,
, > 0 ,
x0 , f(x0) - f. x0 , f(x0) - f.
-
f (x)< f(x0) ,
1.3, f ,
f(x0).
x = x0 "" x0. f x0 . -
x1 . , :
f ,
, > 0 ,
x0 , f(x0) -
f.
,
1.3, f .
f(x0)
f , , , f - . f .
,
:
i) x = 0 , f(0) = 0 ,
ii) x = 1 , f(1) = 1.
f , () .
-
i) (.32).
ii) f , - , , , . (. 32). - . - (. 32).
32 ' - x0 f , A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f -, f '(x0) = 0. -, F e r m a t .
( F e r m a t )
f ' x0 . f x0 - , :
f(x0) = 0
f x0 . x0 f ' - , > 0 ,
(1)
-
, , f x0,
,
, (1),
(2)
, (1),
(3)
, (2) (3) f'(x0) = 0. .
, , f' , . -, 29 30, f ' :
1. f .
2. f .
3. ( ).
f - , f . ,
f 1, :
f'(x) = 0 0 2.
-
f' 0 2, 1, - f 0, 1 2. , , 1 2 , 0 . f. , - f . :
f ' ( , ) ,
x0, f .
i) f ' (x)> 0 (,x0) f ' (x)< 0 ( x 0 , ) , f(x0) - f. (. 35)
ii) f'(x) < 0 (,x0) f'(x) > 0 (x0, ) , f(x0) - f. (. 35)
iii) f'(x) f(x0)
f ( , ) . (. 35).
i) f'(x) > 0 f x0, f
( ,x 0 ] .
(1)
f'(x) < 0 f x0, f
[x 0 , ) . :
(2)
, (1) (2), :
f(x0) f (, ) - .
-
ii) .
iii)
f x0
( ,x 0 ] [X 0 , ) . , x1 < x0 < x2
f (x 1 )< f ( x 0 ) < f (x 2 ) . f(x0) f. -
, , f ( , ) . ,
x1 < x2.
f ( , x 0 ] ,
f(x1 ) < f (x2 ) .
f [ x 0 , ) ,
f(x1) < f(x2) , x1 < x0 < x2, f(x1) < f(x0) < f ( x 2 ) .
, f(x1) < f(x2) > f -
(, ).
, f'(x) < 0 , f(x) = X4 - 4x3
f f'(x) = 4x3 - 1 2 x 2 . f'(x) = 0
x = 0 () x = 3, f' -: x = 0 () x = 3, f' -:
-
, /
, x = 3 ,
f(3) = - 2 7 .
- f(x0) f ( , ) , - f(x0) f (, ).
f ' [ , ] , ( 1.8), f . :
1. f.
2. f - .
3. f.
, -
f'(x) = 0 x = 1, x = 4 . , f x = 1, x = 4 . f [0,5]
f(1) = 30, f(4) = 3 , f(0) = 19 f(5) = 14. , f [0,5] 30 x = 1, x 3 x = 4 .
f' x0. , , , x0 -.
f (,) x0 (, ) f .
f '(x0) = 0 f"(x0) < 0 , f(x0) .
f '(x0) = 0 f"(x0) > 0 , f(x0) .
-
, -
f(x) = x + 2x,
f'(x) = 1 - 2 x f"(x) = -2x,
f'
) f.
) f.
1 . , -
- .
E ( X ) = ( ) ( ) = 2 x ( 3 - x 2 ) = - 2 x 3 +6x.
'(x) = -6x2 +6 = -6(x + l ) ( x -1 ) . '(x)-0 x = -1, x = 1.
-
, 4 x = 1.
2 . f(x) = x - 1 - lnx.
i) .
ii) x > 0 .
i)
f'(x) = 0 , x = 1. f :
ii) f x = 1 , -:
x = 1.
3. (x), , , X , (x) = 40000 - 6x. 4000 . 1200 , , .
x
(x) = x ( x ) = x(40000-6x) = - 6 x 2 +40000x.
(x) = 4000x.
:
(x) = 4000x + 1200x = 5200x .
-
,
(x) = (x)-(x)
= -6x2 + 40000x - 5200x
= - 6 x 2 +34800x.
'(x) = -12x+34800, '(x) = 0 x = 2900.
-:
, 2900 50460 .
'
1. f
x f ;
2. ) -:
) -:
) :
-
3. -: -:
i) ii)
4. -: -:
i) ii)
5.
x1 = - 1 x2 =1 . .
6. , - 400m2 , . , - 400m2 , .
7. 80m . .
80m . .
8. x mgr , -
0 < x < 3 . , x, .
9. 2cm. - ,
i) - x.
ii) x , - (x)
2cm. - ,
i) - x.
ii) x , - (x)
10. x -
,
x
-
(x) = 420x - 2x2 . -, .
1.
i) f .
ii)
(0,).
2. i) -
.
ii) -
iii)
.
3. x > 0
i) ) ii) )
) )
iii) )
)
4. . f, ,
2 f 3 ( x ) + 6 f ( x ) = 2 x 3 + 6 x + 1,
f .
-
5. - f,g ' [,].
- f,g ' [,]. -
() Cf Cg
. Cf Cg
(,f()) (,g()) .
6.
f ( x ) = ( x - ) 2 ( x - ) 2 ( x - ) 2 , < <
.
7. 4m x m y m.
i) - x .
ii) x .
4m x m y m.
i) - x .
ii) x .
8.
i) Cf -
.
ii) Cf
AM.
9. , - . - 400m, , .
10. 100 . 100 , 1000 . 5 . , ;
100 . 100 , 1000 . 5 . , ;
-
11. - . - t = 0 r1 = 3 cm r2 = 5 cm t > 0 r1 - 0,05cm/s, r2 0,04 cm/s. :
- . - t = 0 r1 = 3 cm r2 = 5 cm t > 0 r1 - 0,05cm/s, r2 0,04 cm/s. :
i)
ii) .
12. .
)
= 4(1 + )
.
)
= 4(1 + )
.
)
= 4(1 + )
.
)
= 4(1 + )
ii) -;
13. - 100ft (1) - ,
- 100ft (1) - , 300ft . - 3ft/s 5ft/s.
i) M
ii) x ;
14. E1 2
( 1 ) l f t = 30 .48 cm
-
12km - 8 . - d - d, x 1 . ( - ).
2.8 -
-
()
, 38 . .
x = 0 , 0.
, . -, "" "" , .
-
:
f'(x) Cf , f'
g'(x) Cg , g'
f g
, :
f ' . :
f , f' .
f , f' .
, f ( ) , , C f ,
( -) . (. 40)
-
f ( ) , (-
, f ( ) ' , f "" ( "") (. 39), .
, - .
f ' - .
f " (x )> 0 x , x .
f"(x) < 0 x , f .
, f(x) = x3 (. 41),
f"(x) = 6x < 0 ,
f ,
f"(x) = 6x > 0 .
f
. -
, f(x) = x4 (. 42). -
f'(x) = 4x3 f(x) = x4 , f"(x)
f"(0) = 0.
f(x) = x3 (. 41) ,
() O(0,0) f
() x0 =0 , .
-
f "" O(0,0) . C f .
.
f ' (,),
x0.
f ( ,x 0 ) ( x 0 , ) , ,
Cf A ( X 0 , F ( X 0 ) ) ,
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) - f.
A(x0,f(x0)) C f , f -
X0 x0 . -
C f "" . , ,
:
A ( x 0 , f ( x 0 ) ) f
f , f"(x 0) = 0 .
, f" . , f ' - : i)
f" , ii) -
f"
