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Materia: MATEMÁTICA II Segundo Parcial - Final Fecha: 24/09/13 Examen: 1º parcial Prof.: ? Fecha: 11/05/12 Examen: 1º parcial Prof.: ? 1. a)Hallar y demostrar por definición: lím (x,y) (2,4) 3x + 2y b)Si ε = 0,01 ¿Qué valor de δ le corresponde? 2. Hallar el dominio de la función f(x.y) = √(9 – x 2 – y 2 ), de manera que la ley arroje valores reales y representarlo

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Materia: MATEMTICA II

Materia: MATEMTICA II

Segundo Parcial - Final

Fecha: 24/09/13

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

Fecha: 11/05/12

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. a)Hallar y demostrar por definicin: lm (x,y) ( (2,4) 3x + 2y

b)Si = 0,01 Qu valor de le corresponde?

2. Hallar el dominio de la funcin f(x.y) = (9 x2 y2), de manera que la ley arroje valores reales y representarlo grficamente. Nombrar un par ordenado que se encuentre en el dominio de la funcin.

3. Un fabricante tiene conocimiento que la produccin mensual de su fbrica est dada por la funcin de Cobb-Douglas Q(K,L) = 50 K0,4 L0,6 donde K es el capital en unidades de $1000 y L es la fuerza laborar medida en horas-trabajador.

a) Hallar la productividad marginal del capital y la productividad marginal del trabajo, siendo el capital de $750000 y el nivel de la fuerza laboral de 991 horas-trabajador.

b) Qu le conviene al fabricante para aumentar la produccin, invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral?

4. La funcin de produccin de una empresa es P(x,y) = 60x + 30y 2x2 3y2. El costo de la empresa es de $2 por unidad del insumo x, y de $3 por unidad del insumo y. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $30, calcular la mxima produccin posible sujeta a la restriccin presupuestal.

5. Una funcin de produccin P(x,y) presenta rendimientos a escala constantes (es decir, es homognea de grado 1). Se sabe que cuando se utilizan 3 unidades del factor x, 5 unidades del factor y, la produccin es de 90 unidades.

a)Cul ser la produccin si se triplican las cantidades utilizadas de ambos factores?

b)Y si se aumentan las cantidades utilizadas de dichos factores en un 20% cul ser la produccin?

Fecha: 11/05/12

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. a)Hallar y demostrar por definicin: lm (x,y) ( (1,-2) 3x + 4y

b)Si = 0,01 Qu valor de le corresponde?

2. Hallar el dominio de la funcin f(x.y) = (x2 + y2 4), de manera que la ley arroje valores reales y representarlo grficamente. Nombrar un par ordenado que se encuentre en el dominio de la funcin.

3. La funcin de produccin de una empresa viene dada por la funcin P(x,y) = 3x1/3 y2/3, donde x es el nmero de unidades laborales e y el nmero de unidades de capital utilizados.

a) Hallar ambas productividades marginales si el nivel de produccin utiliza 64 unidades laborales y 125 unidades de capital.

b) Si se quiere incrementar alguna de las dos variables Cul dar un mayor incremento en la produccin?

4. La funcin de produccin de una empresa es P(x,y) = 120x + 60y 4x2 6y2. El costo de la empresa es de $4 por unidad del insumo x, y de $6 por unidad del insumo y. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $60, calcular la mxima produccin posible sujeta a la restriccin presupuestal.

5. Una funcin de produccin P(x,y) presenta rendimientos a escala constantes (es decir, es homognea de grado 1). Se sabe que cuando se utilizan 4 unidades del factor x, 6 unidades del factor y, la produccin es de 120 unidades.

a)Cul ser la produccin si se duplican las cantidades utilizadas de ambos factores?

b)Y si se aumentan las cantidades utilizadas de dichos factores en un 30% cul ser la produccin?

Fecha: 7/10/11

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Calcular y probar por definicin: lm (x,y) ( (2,3) 5x + 2y

2. Sean dos bienes X e Y cuyas demandas vienen dadas por D1 = 16 p2 q2, D2 = 8 p 2q. Donde p y q son los precios de X e Y respectivamente.

a) Hallar sus dominios y representarlos en un mismo sistema de ejes cartesianos.

b) Clasificar los bienes.

c) Hallar la elasticidad de ambas demandas con respecto a q cuando p=3 q=1 e interpretar los resultados.

3. Analizar si existe el lm (x,y) ( (0,0) [5xy/(3y2 x2)]

4. La funcin de produccin de un fabricante de acumuladores est dada (en miles de unidades) por F(x,y) = 3x2/3 y1/3, donde x es el nmero de unidades de capital e y el nmero de unidades laborales utilizados.

a) Hallar e interpretar las productividades marginales si el nivel de produccin utiliza 64 unidades laborales y 125 unidades de capital.

b) Si las ventas fueron buenas y se quiere incrementar una de las dos variables Cul dar un mayor incremento en la produccin?

5. Una empresa tiene dos plantas para elaborar un producto. El costo de producir x unidades en la planta A e y unidades en la planta B est dado por: C(x,y) = 2x2 + 4y2 + 2xy + 1400. Si la empresa cuenta con la restriccin 2x + 2y = 1000 Cuntas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

Fecha: 7/10/11

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Calcular y probar por definicin: lm (x,y) ( (1,2) 3x + y

2. Sean dos bienes X e Y cuyas demandas vienen dadas por D1 = 36 p2 q2, D2 = (8 2p)/q. Donde p y q son los precios de X e Y respectivamente.

a) Hallar sus dominios y representarlos en un mismo sistema de ejes cartesianos.

b) Clasificar los bienes.

c) Hallar la elasticidad de ambas demandas con respecto a q cuando p=3 q=1 e interpretar los resultados.

3. Analizar si existe el lm (x,y) ( (0,0) [xy/(3y2 x2)]

4. La funcin de produccin de un fabricante de acumuladores est dada (en miles de unidades) por F(x,y) = 3x1/3 y2/3, donde x es el nmero de unidades laborales e y el nmero de unidades de capital utilizados.

a) Hallar e interpretar las productividades marginales si el nivel de produccin utiliza 64 unidades laborales y 125 unidades de capital.

b) Si las ventas fueron buenas y se quiere incrementar una de las dos variables Cul dar un mayor incremento en la produccin?

5. Una empresa tiene dos plantas para elaborar un producto. El costo de producir x unidades en la planta A e y unidades en la planta B est dado por: C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700. Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades Cuntas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

Fecha: 5/10/10

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Hallar el dominio y expresarlo como subconjunto de RxR. Graficar en el plano

f(x;y) = ln (2x + y 1)

(25 x2 y2)

Hallar las curvas de nivel para z = 0, 1, 2 y 3 de Z=x2 + y2

2. Analizar la continuidad de f(x;y)

f(x;y) = x2 y2 si (x,y) ( (0,0)

x + y

(0;0)

si (x,y) = (0,0)

3. Derivar con respecto a x e y:

a. f(x;y) = sin2(x2 + y2).

b. f(x;y) = ex+y.

4. El costo de produccin C en funcin de las cantidades producidas x e y de dos tipos de artculos, est dada por C(x;y) = x2 10y2. Si x-y = 18 determinar las cantidades que maximizan o minimizan el costo. Determinarlo.

5. El costo variable de dos bienes A y B responde a la funcin:

C = 0,5x2 + 0,2y2 + 0,05xy

Hallar si lo hay, el grado de homogeneidad.

Si ambos insumos decrecen en un 12%, cmo vara el costo?

Fecha: 2/10/09

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Calcular y probar por definicin

lm (x,y) ( (2,-1) 3x + 2y + x2 =

2. Sea

4x - 2y si (x,y) ( (0,0)

F(x;y) = 3x + 1y

3 si (x,y) = (0,0)

Determinar si F(x,y) es continua en (0,0) y en caso de no serlo clasificar la discontinuidad.

3. La produccin de una empresa est dada por la funcin:

P(x,y)=3(x2 + 4xy + 3y2)

a. Comprobar que es homognea y hallar el grado.

b. Verificar el teorema de Euler.

4. La demanda de un bien en funcin de la renta o ingreso r y del precio p del mismo est dada por la funcin:

D = r/3p

Calcular la demanda marginal respecto de r para r=100 y p=3 e interpretar econmicamente el resultado.

Calcular la demanda marginal respecto de p para r=100 y p=3 e interpretar econmicamente el resultado.

Determina la elasticidad de la demanda respecto al precio para r=100 y p=3 e interpretar econmicamente.

5. Una empresa tiene dos plantas para obtener un producto. El costo de producir x unidades en una de las plantas e y unidades en la otra est dado por:

C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700

Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades

Cuntas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

Cul ser aproximadamente el costo mnimo si la restriccin incrementara en una unidad?

Fecha: 2/10/09

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Calcular y probar por definicin

lm (x,y) ( (1,-2) 2x + 3y + x2 =

2. Sea

2x + 5y si (x,y) ( (0,0)

f(x;y) = 3x - y

5 si (x,y) = (0,0)

Determinar si f(x,y) es continua en (0,0) y en caso de no serlo clasificar la discontinuidad.

3. Una empresa tiene dos plantas para obtener un producto. El costo de producir x unidades en una de las plantas e y unidades en la otra est dado por:

C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700

Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades

Cuntas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

Cul ser aproximadamente el costo mnimo si la restriccin incrementara en una unidad?.

4. El costo conjunto de dos bienes que elabora una empresa est dado por la funcin:

C(x,y) = (4x2y + xy2 + y3)

Comprobar que es homognea y hallar el grado.

Verificar el teorema de Euler.

5. La demanda de un bien en funcin de la renta o ingreso r y del precio p del mismo est dada por la funcin:

D = r/p

Calcular la demanda marginal respecto de r para r=100 y p=9 e interpretar econmicamente el resultado.

Calcular la demanda marginal respecto de p para r=100 y p=9 e interpretar econmicamente el resultado.

Determina la elasticidad de la demanda respecto al precio para r=100 y p=9 e interpretar econmicamente.

Fecha: 28/04/09

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Calcular el siguiente lmite y luego probarlo por definicin

lm (x,y) ( (2,3) x + 2y + y2

2. Determinar si la siguiente funcin es continua en (0,0), en caso de no serlo clasificar la discontinuidad. f(x,y) = 3x2 + 3y

2x2 - y

3. Dada la funcin de ingreso

I(x,y) = 10x - 2x2 + 6xy + 20y - 2y2

Donde x e y son los precios a los cuales se demandan dos productos distintos

Hallar los precios que maximicen el ingreso sabiendo que x + y = 20

Cul ser aproximadamente el ingreso mximo si la restriccin se incrementara en una unidad?

4. Dada la funcin de produccin P(x,y) = 2.y.x3. Determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala y explicar que significa.

5. Sea F(x,y) = 8x2 + (x2.y3) + 5xy

Hallar las derivadas parciales de orden uno.

Evaluar las derivadas anteriores en x=2 e y=1 e interpretar los resultados.

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)

Examen: 1 parcial

Prof.: (turno maana)

1. Dada la siguiente funcin, hallar las ecuaciones de las curvas de nivel y representar en el plano XY el mapa de contornos: z = f(x;y) = 2xy 1 para z = -5; -3; -1; 1; 3; 5.

2. Estudiar el siguiente lmite: lm x2 3(y

(x;y) ( (0;0) x3 + y

3. Las demandas de dos bienes I y II son q1 y q2, y sus respectivos precios son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 + 2(p2)2 y q2 = (p1)2 (p2)2

(p1)2

(p2)2

Calcular el ingreso total como funcin de los precios

Calcular los ingresos marginales e interpretar sus signos para p1 = 1 y p2 = 2

Verificar el Teorema de Euler

4. Dada la funcin implcita f(x;y;z) = z3 - 3((z + x2 + 2y2) + eyz 1 = 0

Calcular las derivadas zx, zy y evaluarlas en el punto (x;y;z) = (0;0;1)

5. Sean los precios unitarios de venta de dos bienes 32 y 60 (en $ por kilogramos); y sea la funcin de costo: C(x;y) = 4x2 + 12y2 + 12xy + 20

Donde x e y son las cantidades (en kilogramos) respectivas de cada bien. Encontrar los extremos de la funcin beneficio.

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)

Examen: 1 parcial

Prof.: (turno maana)

1. Dada la siguiente funcin, hallar las ecuaciones de las curvas de nivel y representar en el plano XY el mapa de contornos: z = f(x;y) = x2 + y 5 para z = -5; -3; -1; 1; 3; 5.

2. Estudiar el siguiente lmite: lm x2 y .

(x;y) ( (0;0) 3x4 + y2

3. Las demandas de dos bienes A y B son q1 y q2, y sus respectivos precios son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 y q2 = (p1)2 .

(p1)2 - (p2)2

(p1)2 + (p2)2

Calcular el ingreso total como funcin de los precios

Calcular los ingresos marginales e interpretar sus signos para p1 = 1 y p2 = 2

Verificar el Teorema de Euler

4. Dada la funcin implcita f(x;y;z) = x3 - ln(z + x2 - y2) + yz 2 = 0

Calcular las derivadas zx, zy y evaluarlas en el punto (x;y;z) = (1;1;1)

5. Sean los precios unitarios de venta de dos bienes 15 y 8 (en $ por kilogramos); y sea la funcin de costo: C(x;y) = 3x2 + 3xy + y2 + 10

Donde x e y son las cantidades (en kilogramos) respectivas de cada bien. Encontrar los extremos de la funcin beneficio.

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)

Examen: 1 parcial

Prof.: (turno maana)

1. Hallar el dominio de la siguiente funcin y graficarlo: f(x;y) = ln(y) .

((x2 + y2 -16)

x3 2x2y + xy2 si x2 xy ( 0

2. Estudiar la continuidad en (0:0) de la funcin: f(x;y) = x2 xy

-1 si x2 xy = 0

Y en caso de ser discontinua clasificar su tipo

3. Las demandas de dos bienes A y B son q1 y q2, y sus respectivos precios son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 y q2 = (p1)2 - (p2)2

p1 - 2p2

p1 + 2p2

Calcular las demandas marginales cruzadas (entre bienes) correspondientes

A partir de ellas clasificar a dichos bienes (uno en relacin al otro)

Calcular la funcin de ingreso y estudiar homogeneidad

4. Dada la funcin compuesta

W = f(u;v) = u2((u 3v) / u = g(x;y) = e (x2 4y2), v = h (x;y) = ln2 [(x/y) 1]

Calcular las derivadas wx, wy y evaluarlas en el punto (y;z) = (2;1)

5. Dada la funcin de costo C(x;y) = 8x2 + y3 32x 6y2 36y + 200

Donde x e y son las cantidades de dos bienes (en cientos de unidades). Analizar la existencia de extremos

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)

Examen: 1 parcial

Prof.: (turno maana)

1. Hallar el dominio de la siguiente funcin y graficarlo: f(x;y) = (x . ln(x2 + y2 25)

x3 2xy + x2y 2y2 si x + y ( 0

2. Estudiar la continuidad en (0:0) de la funcin: f(x;y) = x + y

1 si x + y = 0

Y en caso de ser discontinua clasificar su tipo

3. Las demandas de dos bienes I y II son q1 y q2, y sus respectivos precios son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 + (p2)2 y q2 = 2(p1)2 - (p2)2

p1

p1 + p2

Calcular las demandas marginales cruzadas (entre bienes) correspondientes

A partir de ellas clasificar a dichos bienes (uno en relacin al otro)

Calcular la funcin de ingreso y estudiar homogeneidad

4. Dada la funcin compuesta

z = f(x;y) = x ln(x + 2y) / x = g(u;v) = ((u2 v2) , x = h(u;v) = sen2 (v/u)

Calcular las derivadas zu, zv y evaluarlas en el punto (u;v) = (1;0)

5. Dada la funcin de costo C(x;y) = y4 + x3 4y 3x2 9x + 100

Donde x e y son las cantidades de dos bienes (en cientos de unidades). Analizar la existencia de extremos

Fecha: 25/04/08

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Usando L unidades del insumo mano de obra y K unidades del insumo capital, una empresa produce un artculo, cuyo costo total T (en millones de dlares) est dado por T(L,K) = 40 5K 3L 2KL + 1,5K2 + L 2. Determinar: a) la cantidad de cada insumo para minimizar el costo; b) cul es el costo mnimo?

2. Si f(x,y) = 2x + y, se pide determinar: a) dominio e imagen de la funcin; b) graficar: las curvas de nivel; c) graficar el dominio; d) graficar la funcin.

3. Trazar las curvas de nivel de f(x,y) = 2x2 y. Hallar el dominio y graficarlo.

4. Decir si es V o F la siguiente igualdad: lm (x;y) ( (0;0) x + y . = 0. Estudiar la continuidad de

((y + x2)

f en el punto (0,0). Si fuese discontinua, es salvable?

Fecha: 6/10/06

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Un agricultor tiene la siguiente funcin de produccin: P = 110x 3x2 2xy 2y2 + 140y, donde x es el nmero de quintales de trigo e y son los quintales de maz. Hallar: a) los puntos crticos; b) las cantidades que deben producirse de cada cultivo para que la produccin se mxima; c) determinar el valor mximo de la produccin.

2. Dada la funcin z = ((2x y), se pide hallar: a) Domf; b) representar grficamente el Domf; c) las curvas de nivel; d) lm (x,y) ( (3,2) z.

3. Una empresa vende todas las unidades que produce a $ 4 cada una. El costo total C de la empresa pro producir x unidades est dado en u$s por: C = 50 + 1,3x + 0,001x2. Se pide hallar: a) la funcin de utilidad G(x); b) el volumen de produccin de manera que la utilidad G sea mxima; c) el valor de la utilidad G mxima.

Fecha: 5/5/06

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Calcular y probar por definicin: lm (x,y) ( (1,3) 2x + 5y + xy

2. Analizar si la siguiente funcin es continua en (0,0), en caso de no serlo clasificar la discontinuidad. f(x,y) = 2x2 3xy

x2 + y

3. Los costos de una empresa estn dados por: C(x,y) = 2x2 + 4y2 2xy

Donde x e y son los costos de fabricar ciertos productos. Hallar los costos de dichos productos para minimizar los costos totales si se quiere que 2x + 2y = 32

4. Dada la funcin de produccin f(x,y) = 3xy + 3x2 + 2y2 hallar las productividades marginales para x = 2 e y = 3 e interpretar los resultados.

5. Dada la funcin de utilidad U(x,y) = 2xy2

Determinar el grado de homogeneidad e interpretar los rendimientos a escala.

Verificar que se cumple el Teorema de Euler.

Hallar la tasa marginal de sustitucin de x por y en (3,2)

6. Calcular la derivada parcial respecto de y de f(x,y) = 3yx + ((3y2 + 2x2y)

Fecha: 5/5/06

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Analizar si la siguiente funcin es continua en (0,0), en caso de no serlo clasificar la discontinuidad. f(x,y) = x2 3xy2

x2 + y3

2. Calcular y probar por definicin: lm (x,y) ( (2,1) 3x + 2y + xy

3. Los costos de una empresa estn dados por: C(x,y) = x2 + 2y2 xy

Donde x e y son los costos de fabricar ciertos productos. Hallar los costos de dichos productos para minimizar los costos totales si se quiere que x + y = 16

4. Dada la funcin de produccin P(x,y) = 5xy + 2x2 + 2y2 hallar las productividades marginales para x = 1 e y = 2 e interpretar los resultados.

5. Dada la funcin de utilidad U(x,y) = 3x2y

Determinar el grado de homogeneidad e interpretar los rendimientos a escala.

Verificar que se cumple el Teorema de Euler.

Hallar la tasa marginal de sustitucin de x por y en (2,3)

6. Calcular la derivada parcial respecto de y de f(x,y) = ((x2 + 3x2y3) 5xy

Fecha: 7/10/05

Examen: 1 parcial

Prof.: Cassiba/Martnez

1. Hallar el dominio de la siguiente funcin, expresarlo como subconjunto de (2, representarlo en el plano y en el espacio: f(x,y) = ((x2 + y2 16) + ln (-x2 + y + 2)

2. La funcin de costos es la siguiente: C = x2 y + 1 ; donde x e y son las cantidades de dos insumos variables que intervienen en el proceso de fabricacin.

Hallar las ecuaciones de los isocostos (curvas de nivel) correspondientes a C = 2, C = 4 y C = 5 respectivamente

Graficar el mapa de contornos correspondiente al tem anterior

3. La produccin P en funcin de los insumos x e y est dada por: P(x;y) = x2 4y2 + 5xy

Hallar las cantidades x e y que maximizan la produccin si se considera la siguiente restriccin: 2x + 3y = 74

Indicar la produccin mxima

4x4y .

si (x,y) ( (0,0)

4. En la siguiente funcin: f(x;y) = x3 + y6

1

si (x,y) = (0,0)

5. Dada la siguiente funcin: f(x;y) = r2.ln(s/r)

Demostrar que es homognea y verificar el Teorema de Euler

Obtener las elasticidades para r = 1 y s = 2. Interpretar los resultados obtenidos

Fecha: 7/10/05

Examen: 1 parcial

Prof.: Cassiba/Martnez

1. Hallar el dominio de la siguiente funcin, expresarlo como subconjunto de (2, representarlo en el plano y en el espacio: f(x,y) = ((-x2 + 4y2 + 16) + ln (-x + y + 3)

2. La funcin de produccin es la siguiente: P = (x2/4) (y2/9) ; donde x e y son las cantidades de dos insumos variables que intervienen en el proceso de fabricacin.

a. Hallar las ecuaciones de las curvas de nivel correspondientes a P = 1, P = 4 y P = 25 respectivamente

b. Graficar el mapa de contornos correspondiente al tem anterior

3. Una fbrica produce dos artculos. La funcin de costo es C(x,y) = x2 + 2y2 x y se quiere minimizar el costo.

Determinar las cantidades que maximizan (?) el costo

Indicar el valor del costo mnimo

2x2y .

si (x,y) ( (0,0)

4. En la siguiente funcin: f(x;y) = x4 + y2

1

si (x,y) = (0,0)

Analizar:

Si es continua en (0,0)

Si es discontinua indicar el tipo

5. Dos bienes A y B se producen en cantidades x e y, resultando la funcin de costo conjunto o total C(x,y) = (x2/y) / (x - y2)

Demostrar que es homognea y verificar el Teorema de Euler

Obtener las elasticidades para x = 4 e y = 1. Interpretar econmicamente los resultados obtenidos

Fecha: 20/5/05

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Sea la funcin de costos totales C(x,y) = 15x + 20y + 200 siendo x la cantidad de harina e y la de levadura que se utilizan para fabricar cierto producto. Hallar las curvas de isocostos (curvas de nivel) para C = 300 y C = 500 y graficarlas

2. Determinar si f(x,y) = (x + y)/(2x y) es continua en (0,0). En caso de no serlo clasificar la discontinuidad

3. Calcular y probar por definicin : lm (x,y) ( (1,-2) x2 3y + x

4. La funcin de produccin en funcin de las cantidades x e y es P(x,y) = 2x2 + 10xy 8y2

Hallar las cantidades x e y que maximizan la produccin si 4x + 6y = 148

5. Si f(x,y) = y2 + 6xy + 3x2 indica unidades producidas por x mquinas e y trabajadores

Hallar las productividades marginales

Evaluarlas en (7,14) e interpretar los resultados

6. Calcular las derivadas parciales de f(x,y) = (x2 + 3xy3)2 + ln(5x2 + 3xy2)

Fecha: 20/5/05

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Un productor produce dos artculos x e y siendo la funcin de ingreso I(x,y) = 2x + 5y. Hallar las curvas de isoingresos (curvas de nivel) para I = 100 y I = 150 y graficarlas

2. Determinar si f(x,y) = (2x + y2)/(x + y2) es continua en (0,0). En caso de no serlo clasificar la discontinuidad

3. Calcular y probar por definicin : lm (x,y) ( (1,-2) x2 3y + y

4. La funcin de produccin en funcin de las cantidades x e y de los insumos A y B es P(x,y) = x2 + 5xy 4y2

Hallar las cantidades x e y que maximizan la produccin si 2x + 3y = 74

5. Si f(x,y) = x2 + 6xy + 3y2 indica unidades producidas por x mquinas e y trabajadores

Hallar las productividades marginales

Evaluarlas en (15,8) e interpretar los resultados

6. Calcular las derivadas parciales de f(x,y) = ln((x2 + 3x2y3)

Fecha: 6/5/03

Examen: 1 parcial

Prof.: turno maana

1. Sea z = 5/((1 x2 y2)

Determinar el dominio de la funcin y representarlo

Determinar las curvas de nivel correspondientes a z = 1 y z = 5. Representar

2. Analizar la continuidad de la siguiente funcin

xy .si (x,y) ( (0,0)

f(x;y) = 2x2 + y2

1

si (x,y) = (0,0)

en los puntos (0,0) y (1,1). En caso de ser discontinua clasificar la discontinuidad

3. Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = ln((l3.k) + el.k, en donde l es el nmero de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la produccin semanal. Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando l = 1 y k = 1. Interpretar los resultados

4. Encontrar una ecuacin del plano tangente a la superficie f(x,y) = x4y + x2(y en el punto (1,1,2)

5. Determinar la distancia ms corta desde el punto (0,1,-2) hasta el plano x + 2y + z = 4

6. La produccin mensual de una fbrica depende de dos insumos A y B de acuerdo con la siguiente ley: P(x,y) = 36x + 40y 4x2 2xy 8y2 . Donde x representa la cantidad del insumo A e y la del insumo B expresadas en miles. Qu cantidad de cada insumo deber utilizarse para maximizar la produccin? Calcule dicha produccin.

Fecha: 6/5/03

Examen: 1 parcial

Prof.: turno maana

1. Sea z = 3/((x2 + y2 - 4)

Determinar el dominio de la funcin y representarlo

Determinar las curvas de nivel correspondientes a z = 1 y z = 3. Representar

2. Analizar la continuidad de la siguiente funcin

xy .si (x,y) ( (0,0)

f(x;y) = 2x2 + 3y2

1

si (x,y) = (0,0)

en los puntos (0,0) y (2,1). En caso de ser discontinua clasificar la discontinuidad

3. Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = 3ln((l.k) + el.k, en donde l es el nmero de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la produccin semanal. Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando l = 1 y k = 1. Interpretar los resultados

4. Encontrar una ecuacin del plano tangente a la superficie f(x,y) = x4y + x2(y en el punto (1,4,6)

5. Determinar la distancia ms corta desde el punto (0,-1,2) hasta el plano x + 2y + z = 4

6. Los costos mensuales de una empresa de publicidad dependen de la cantidad de dinero invertida en la compra de insumos x (expresada en cientos), y del nmero de empleados mensuales y (expresados en cientos), de acuerdo con la siguiente ley: C(x,y) = 8/x + x/y + 20. Cunta plata deber invertir y cuntos empleados deber contratar por mes a fin de minimizar los costos?

Fecha: ?

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Demostrar que lm (x,y) ( (1,3) 5x + xy + 4y = 20

2. Analizar la continuidad de la siguiente funcin

2x - 9y si (x,y) ( (0,0)

f(x;y) = 6x + 2y

1

si (x,y) = (0,0)

3. Hallar la derivada parcial de la funcin f(x,y) = 2x4 4xy + y2 respecto de y empleando la definicin

4. Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = y/((x3 + y3), en donde x es el nmero de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la produccin semanal.

Hallar las funciones de productividad marginal

Evaluarlas cuando x = 1 e y = 0. Interpretar los resultados

Analizar si es una funcin homognea, en dicho caso indicar grado de homogeneidad

5. Calcular el incremento y el diferencial total de la siguiente funcin:

f (x,y) = 2x2 y3 1 en el punto (3,-2) siendo (x = -0,01 y (y = 0,03

6. Encontrar una ecuacin del plano tangente a la superficie x3 + 2y2 + z4 = 10 en el punto (1,2,1)

7. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la produccin entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La funcin de costos totales est dada por :

C (q1, q2) = 3q12 + q1q2 + 2q22

En donde q1 y q2 son el nmero de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. Cmo se debe distribuir la produccin con el objeto de minimizar los costos?

Fecha: ?

Examen: 1 parcial

Prof.: ?

1. Demostrar que lm (x,y) ( (1,2) 3x + xy + 2y = 9

2. Analizar la continuidad de la siguiente funcin

3x + 2y si (x,y) ( (0,0)

f(x;y) = 4x - 5y

4

si (x,y) = (0,0)

3. Hallar la derivada parcial de la funcin f(x,y) = 5x2 4xy + y3 respecto de x empleando la definicin

4. Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = x/((x3 + y3), en donde x es el nmero de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la produccin semanal.

Hallar las funciones de productividad marginal

Evaluarlas cuando x = 1 e y = 0. Interpretar los resultados

Analizar si es una funcin homognea, en dicho caso indicar grado de homogeneidad

5. Calcular el incremento y el diferencial total de la siguiente funcin:

f (x,y) = x2 + y3 3 en el punto (2,-1) siendo (x = 0,01 y (y = -0,02

6. Encontrar una ecuacin del plano tangente y la ecuacin de la recta normal a la superficie

x4 - 5y3 + 3z2 = 18 en el punto (1,-1,2)

7. Los costos mensuales de una agencia de viajes dependen de la cantidad de dinero invertida en publicidad x (expresada en miles), y la invertida en alojamiento y pasajes (expresada en miles), de acuerdo con la siguiente ley: C(x,y) = x2 + 2y2 xy . Sujeta a la siguiente restriccin presupuestaria g(x,y) = x + y 16 = 0. Cunta plata deber invertir en publicidad y alojamiento/pasajes por mes a fin de minimizar costos? Determinar dicho costo

Fecha: 24/11/09

Examen: recup. 1 parcial

Prof.: ?

1. Dada P(x,y) = x2 5xy + 6y2 una funcin de produccin. Determinar el grado de homogeinidad y la naturaleza de los rendimientos a escala y explicar lo que significa.

2. Determinar si existe el lm (x,y) ( (0,0) f(x,y) donde f(x,y) = (2x3y)/(x4 + y2)

3. Calcular y probar por definicin: lm (x,y) ( (3,1) 2x 3y + x2

4. Una empresa tiene dos plantas para obtener un producto. El costo de producir x unidades una de las plantas e y unidades en la otra, est dado por:

C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700

Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades

a. Cuntas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

b. Cul ser aproximadamente el costo mnimo si la restriccin incrementara en una unidad?

5. Hallar las derivadas parciales de f(x,y) = ln [x2/(x2 + y2)]

Segundo Parcial

Fecha: 12/11/13

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

Fecha: 17/6/11

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Resolver la siguiente ecuacin matricial: A-T.(X - 2.B) = CT

1 0 1

3 0 -1

1 -1 0

sabiendo que:A = 1 2 -1B = 2 1 0

C = 0 -2 1

0 1 2

4 0 1

1 2 0

2. Resolver y clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + y 2.w = -1

x + y z + w = 3

y + 3.z + 3.w = 2

3. Un fabricante produce tres modelos X, Y y W de un determinado artculo; cada uno de los cuales requiere en su construccin de 6 insumos I1, I2, I3, I4 y I5. El requerimiento en cuanto al nmero de unidades de cada insumo para cada modelo est resumido en el cuadro siguiente

X

Y

W

I1

I2

I3

I4

I5

2

3

1

0

5

1

1

2

3

1

5

4

0

1

1

El costo de cada unidad de materia prima est dado por la siguiente matriz:

CU = [10 20 15 30 25] (donde cada columna corresponde al correspondiente insumo).

Calcular el costo de cada modelo de artculo.

2

Si esta fbrica tiene una demanda D =5 de los modelos X, Y y W, respectivamente,

3

calcular el costo de la produccin total.

Suponiendo que el sistema de precios para X. Y y W est representado por la matriz de precios que se da a continuacin, calcular el beneficio por unidad de modelo y el beneficio total de acuerdo con la demanda establecida.400

P = 375

300

En cada caso resolver usando matrices y justificar las expresiones.

4. La bodega SENETINER de Lujan de Cuyo en Mendoza, elabora 2 tipos de vinos varietales: el INSIGNIA que comercializa a $90 la botella y el TERRAZAS que lo hace a $ 105 la botella. Cada uno de estos vinos lleva una cuidadosa terminacin: 3 horas de lacrado, 12 horas de etiquetado y 9 horas de embalaje, cada 1000 botellas, el INSIGNIA y, 8 horas, 6 horas y 9 horas respectivamente el TERRAZAS. Para responder a cierto pedido se dispone de 48 horas de lacrado, 42 horas de etiquetado y 36 horas de embalaje.

Plantear el modelo de PPL que maximice el beneficio.

Indicar grficamente la regin viable.

Resolver aplicando el mtodo SIMPLEX y de ah responder las siguientes cuestiones:

Qu cantidad de botellas resulta ptimo producir?

Qu beneficio se obtendra en tal caso?

Qu disponibilidad en horas se puede reducir sin afectar la produccin y en qu medida?

Aumentara la produccin y el beneficio si se duplicasen las horas disponibles para el embalaje? Si as fuera, en cunto?

Entre qu valores puede variar el beneficio de cada botella de TERRAZAS manteniendo la poltica de produccin?

Fecha: 19/11/10

Examen: 2 parcial

Prof.: (turno maana)

1. Resolver la siguiente ecuacin matricial: A.(X - 2.BT) = C

1 0 -1

2 0 3

1 -1 0

sabiendo que:A = 1 2 -1B = 0 2 2

C = 0 -2 1

0 1 2

0 2 -2

1 2 0

2. Un fabricante produce tres modelos A, B y C de un determinado artculo. Cada uno de los cuales requiere en su construccin de 4 materias primas M1, M2, M3 y M4. El requerimiento en cuanto al nmero de unidades de cada materia prima para cada modelo est resumido en el cuadro siguiente

M1

M2

M3

M4

A

2

3

1

0

B

1

1

2

3

C

5

0

0

1

El costo de cada unidad de materia prima est dado por la siguiente matriz:

C = {1 2 1,5 3} (donde cada columna se corresponde con materia prima).

Calcular el costo de cada modelo de artculo.

Si esta fbrica tiene una demanda D = {2 5 3} de los modelos A, B y C, respectivamente, calcular el costo de la produccin total.

Suponiendo que el sistema de precios para A, B y C est representado por la matriz de precios que se da a continuacin, calcular el beneficio por unidad de modelo y el beneficio total de acuerdo con la demanda establecida.

200

P =125

100

En cada caso resolver usando matrices y justificar las expresiones.

3. Hallar la solucin y clasificar al sistema de ecuaciones linealesx-2y+3z-w=0

2x+2z+3w=3

x+3y-4w=-1

4. La qumica PINTATODO, elabora 2 tipos de lacas: la clsica que comercializa a $18 el tarro de 1 litro y la profesional que lo hace a $21 el tarro de 1 litro a igual costo de materiales. Cada uno de estos barnices lleva elaboracin en tres pasos: 3 horas de preparado de componentes, 12 horas de mezclado y refinado y 9 horas de embalaje, cada 1000 latas, la clsica y, 8 horas, 6 horas y 9 horas respectivamente la profesional.

Para responder a cierto pedido se dispone de 48 horas de preparado, 42 horas de mezclado y refinado y 36 horas de embalaje.

Qu cantidad de latas de ambas lacas resulta ptimo producir?

Qu beneficio se obtendra en tal caso?

Fecha: 19/11/10

Examen: 2 parcial

Prof.: (turno maana)

1. Resolver la siguiente ecuacin matricial: (X + 3.B).A = CT

1 0 1

3 0 -1

1 -1 0

sabiendo que:A = 1 2 -1B = 2 1 0

C = 0 -2 1

0 1 2

4 0 1

1 2 0

2. Un fabricante produce tres modelos X, Y y W de un determinado artculo. Cada uno de los cuales requiere en su construccin de 5 insumos I1, I2, I3, I4 e I5. El requerimiento en cuanto al nmero de unidades de cada insumo para cada modelo est resumido en el cuadro siguiente

I1

I2

I3

I4

I5

X

2

3

1

0

5

Y

1

1

2

3

1

W

5

4

0

1

1

El costo de cada unidad de materia prima est dado por la siguiente matriz:

10

20

CU =15

30

(donde cada fila se corresponde con un insumo).

25

Calcular el costo de cada modelo de artculo.

2

Si esta fbrica tiene una demanda de los modelos X, Y y W respectivamente D= 5 calcular el costo de la produccin total.

3

Suponiendo que el sistema de precios para X, Y y W est representado por la matriz de precios que se da a continuacin, calcular el beneficio por unidad de modelo y el beneficio total de acuerdo con la demanda establecida.

400

P =375

300

En cada caso resolver usando matrices y justificar las expresiones.

3. Hallar la solucin y clasificar al sistema de ecuaciones linealesx+3y+z=0

-3x+7y+4z=12

5y+2z=3

-x+2y+z=3

La empresa farmacutica BELLPONS SA, elabora 2 tipos de cremas, cuyos beneficios son de $3 y $4 para el tipo I y para el tipo II, respectivamente. Se requiere de 8 horas en lo referente al preparado de los componentes, 2 horas de mezclado y 6 horas de envasado, para la crema tipo I. En cuanto al tipo II, requiere 4 horas, 6 horas y 5 horas respectivamente. Todo esto cada mil unidades. Se dispone de un mximo para estas actividades de 160 horas de preparado, 60 horas de mezclado y 150 horas de envasado.

Qu cantidad de unidades de potes de cremas tipo I y II conviene producir?

Qu beneficio se obtendra en tal caso?

Fecha: 2 cuat. 10

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

PRCTICA:

1. Una empresa que comercializa celulares y calculadora estudia el costo conjunto mediante la funcin C = 2x2 + 3y2 + xy 22x +120, donde x representa la cantidad de celulares e y la de calculadoras. Si se debe respetar la siguiente restriccin: x y = 2.

Determinar la cantidad de celulares y de calculadoras que general el mnimo costo.

Indicar el valor del costo mximo.

2. Dada la ecuacin diferencial: y = y2 + y

Indicar el orden y el grado.

Hallar la solucin general.

Encontrar la solucin particular para el punto C = (0;1)

3. La produccin de una empresa est expresada por la funcin:

P = 3(2x2 + xy + y2)

Demostrar que es homognea y verificar el teorema de Euler.

Si se desea aumentar un 20% la produccin en qu porcentaje se deben aumentar las variables?

4. Dada la expresin e2xyz + 4xy + z2 = 10

Hallar las derivadas parciales Zx y Zy (aplicar derivadas de funciones implcitas).

Determinar los de las derivadas parciales en el punto (0;2;3). Interpretar econmicamente cada resultado como si Z fuera una funcin de beneficio.

TEORA:

1. Dar la definicin de las derivadas parciales y la interpretacin geomtrica de cada una.

2. Si Z = f(x;y) y a su vez x = g(t) e y = h(t) Demostrar que Zt = Zxxt + Zyyt

Fecha: 2 cuat. 10

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

PRCTICA:

1. Las funciones de demanda de x carteras y de y zapatos son: x = 7 p + q e y = 6 + p 2q, donde p es el precio de cada cartera y q el de cada par de zapatos. Los costos unitarios de produccin de ellos son de 3 y 2 dlares respectivamente.

Hallar las cantidades de carteras y de zapatos, con sus precios respectivos, que generan un beneficio mximo.

Determinar el beneficio mximo.

2. Dada la funcin de produccin P = 40C0,6T0,4 donde C es el capital y T el trabajo

Hallar las productividades marginales para C = 40y y T = 80 e interpretar econmicamente los resultados obtenidos.

Hallar las elasticidades parciales y dar la interpretacin econmica correspondiente.

3. Dada la ecuacin diferencial: xy = x + y

Indicar el orden y el grado.

Hallar la solucin general y la particular para el punto B = (;0)

4. Dada la funcin: Z = x2 + x/ysiendox = u.v

y = u/v

Hallar las derivadas parciales Zu y Zv.

Obtener los resultados para u = 2 y v = 1 e interpretar los resultados econmicamente considerando a Z como una funcin de Costo.

TEORA:

1. Definir de funciones homogneas y dar un ejemplo de aplicacin econmica.

2. Si F(x;y;z)=0 es una funcin implcita y z = f(x;y), demostrar que

zx = -(Fx /Fz ) y zy = -(Fy /Fz )

Fecha: 13/11/09

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x1 + 2x2 + x4 = 0

x1 + 2x2 + x3 = 1

6x1 + 8x2 + 3x3 + x4 = 3

2. Sean las matrices A y B ( (3x3. Hallar X ( (3x3 / AX + B = 2I si

1 0 -1

2 0 3

A = 0 -1 1^B = 0 2 2

0 0 1

0 2 -2

3. Dada la siguiente ecuacin diferencial dy/dx = (2x + 1)/[2(y 1)]

a. Clasificar y resolver.

b. Hallar una solucin particular para x = -1 e y = 0

4. Un fabricante produce bicicletas y motos, las cuales deben procesarse a travs de dos centrales de produccin. La central I tiene un mximo de 120 horas disponibles y la central II tiene un mximo de 180 horas. La manufactura de una bicicleta requiere 6 horas en la central I y 3 en la II; la fabricacin de una moto requiere 4 horas en la central I y 10 horas en la II. Si la utilidad por bicicleta es de $45 y por moto $55; determinar el nmero de bicicletas y motos que se deben fabricar para obtener la mxima utilidad, resuelva empleando el mtodo grfico. Calcule dicha utilidad.

5. Una economa hipottica de dos industrias A y B, est representada en la siguiente tabla:

A

B

DF

PT

A

4

4

4

12

B

6

6

12

24

VA

2

14

16

PT

12

24

36

Hallar la matriz de produccin X si la DF es 45 para A y 30 para B.

Construir la tabla para la nueva produccin.

Fecha: 13/11/09

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3x1 + 2x2 + x4 = 0

x1 + 2x2 + x3 = 1

5x1 + 6x2 + 2x3 + x4 = 2

2. Sean las matrices A y B ( (3x3. Hallar X ( (3x3 / XB + A = I si

2 3 -1

1 0 3

B = 1 2 1

^A = 0 1 1

-1 -1 3

0 1 -1

3. Dada la siguiente ecuacin diferencial dy/dx = (y + 3)/(x + 1)

c. Clasificar y resolver.

d. Hallar una solucin particular para x = 2 e y = -2

4. Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos: A, B y C. Los requerimientos mnimos son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos marcas usuales de fertilizante en el mercado. La marca I cuesta $5 el kg y contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La marca II cuesta $20 el kg y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. Cuntos kg de cada marca debe comprar el granjero cada semana para minimizar los costos y satisfacer los requerimientos nutritivos? Emplee el mtodo grfico.

5. Una economa hipottica de dos industrias A y B, est representada en la siguiente tabla:

A

B

DF

PT

A

2

3

3

8

B

4

12

2

18

VA

2

3

5

PT

8

18

26

Hallar la matriz de produccin X si la DF es 18 para A y 12 para B.

Construir la tabla para la nueva produccin.

Fecha: 1 cuat. 09

Examen: 2 parcial

Prof.: Arra

PRCTICA:

1. Una empresa que comercializa artefactos elctricos estudia el comportamiento de estufas elctricas y de estufas a gas mediante la siguiente funcin beneficio: B = (x + y)/(x y), donde x = pq e y = qp2, siendo x la cantidad de estufas elctricas producidas e y las que son a gas, y p y q sus precios respectivos.

Hallar los costos marginales Bp y Bq.

Determinar los costos marginales cuando los precios de cada estufa son de 80 y 144 pesos respectivamente e interpretar econmicamente cada resultado.

2. Las funciones de demanda para zapatos de mujeres y de hombres en un mercado de competencia resultan: x = 36 3p y = 40 5q respectivamente, donde p es el precio de cada par de zapatos de mujer en dlares e y el de hombres. La funcin de costo conjunto est dado por: C = x2 + 2xy + 3y2, hallar:

La funcin beneficio y la cantidad de pares de zapatos de mujer y de hombre, y sus precios respectivos, que se deben comercializar para obtener un mximo beneficio.

Indicar el valor del mximo beneficio.

3. Dada la ecuacin diferencial: (x + x2)(1 + y2)dx xydy = 0

Indicar el orden y el grado.

Hallar la solucin general y la particular para el punto Q = (3;0)

4. El costo conjunto de dos bienes que elabora una empresa est expresada por la funcin:

C = [(x + y)/(x y)]

Comprobar que es homognea, indicar el grado y verificar el teorema de Euler.

Si se desea reducir el costo un 25% qu porcentaje deben variar las variables?

TEORA:

1. Dar la definicin de diferencial para funciones de dos variables y su interpretacin geomtrica.

2. Si F(x;y;z) = 0 es una funcin implcita y z = f(x;y), demostrar que zx = -(Fx/Fz) y zy = -(Fy/Fz)

Fecha: 1 cuat. 09

Examen: 2 parcial

Prof.: Arra

PRCTICA:

1. Una empresa que comercializa artculos de librera y desea estudiar el comportamiento de sus cuadernos y de sus lapiceras en el mercado. Las funciones de demandas de estos productos son: x = p 5q e y = 5p 10q, donde p es el precio de cada cuaderno y q el de cada lapicera y la restriccin que se tiene es que la diferencia entre los precios de 18 pesos.

Determinar el precio que debe tener cada cuaderno y cada lapicera para obtener el mximo ingreso.

Indicar el valor del ingreso mximo.

2. Dada la ecuacin diferencial: y = y2 4y 5

Indicar el orden y el grado.

Hallar la solucin general.

Encontrar la solucin particular para el punto P = (0;1)

3. Una funcin de produccin de Cobb-Douglas responde a la expresin P = 40C0.6T0.4 donde C representa el capital y T el trabajo. Se pide:

Calcular las productividades marginales respecto de C y de T para C = 100 y T = 50. Interpretar econmicamente los resultados.

Determinar las elasticidades respecto de cada variable en los valores anteriores. Interpretar econmicamente.

4. Un fabricante de indumentarias estima que el costo C de fabricar x unidades de pantalones e y unidades de sacos est dado por la siguiente funcin implcita:

ln(x2 + C2) y/(x2 + C2) 82/10 = 0

Hallar los costos marginales Cx y Cy

Determinar los costos marginales cuando se producen 12 camisas y 20 sacos e interpretar econmicamente cada resultado.

TEORA:

1. Dar la definicin de las derivadas parciales y la interpretacin geomtrica de cada una.

2. Si Z = f(x;y) y a su vez x = g(t) e y = h(t) Demostrar que Zt = Zxxt + Zyyt

Fecha: 19/06/09

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Hallar la matriz X que verifique que X . B = C siendo B = 3 5 y C = 1 3

-2 -4 5 8

2. Hallar el siguiente determinante:

2 -1 3 5

4 2 -3 1

-2 5 6 2

4 5 6 2

3. Hallar el conjunto solucin del siguiente sistema:

x + y + z = 6

x y z = -4

3x + y + z = 8

4. Una economa hipottica de dos industrias A y B est representada en la siguiente tabla:

Ind. A

Ind. B

Demanda final

Total

Ind A

Ind B

Otros factores

Total

9

27

9

45

24

24

12

60

12

9

45

60

Construir la correspondiente matriz de insumo-producto, si la demanda final cambia a 6 para la Ind. A y 3 para la Ind. B.

5. Un granjero quiere mezclar fertilizantes que proporcionen un mnimo de 15 unidades de potasa, 20 unidades de nitratos y 24 de fosfatos. La marca M1 proporciona 3 unidades de potasa, 1 unidad de nitratos y 3 de fosfatos, su precio es de $ 120. La marca M2 proporciona 1 unidad de potasa, 5 unidades de nitratos y 2 de fosfatos, su precio es de $ 60. Hallar la proporcin de fertilizante que minimiza el costo.

Fecha: 19/06/09

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Hallar el conjunto solucin del siguiente sistema:

2x + 2y + 2z = 12

x y z = -4

3x + y + z = 8

2. Hallar la matriz X que verifique que X . B = C siendo B = 3 2 y C = 2 5

-2 -4 3 4

3. Hallar el siguiente determinante:

2 -1 3 5

4 2 -1 1

-4 10 12 4

4 5 -1 2

4. Un fabricante de sillas fabrica dos modelos de juegos, A y B. El modelo A requiere 6 horas de preparacin, 4 horas de montaje y 5 horas de terminacin. En cambio el modelo B requiere 3 horas de preparacin, 6 horas de montaje y 5 horas de terminacin. Se dispone de 54 horas de preparacin, 48 horas de montaje y 50 horas de terminacin. Los beneficios que dejan cada modelo son $ 30 y $ 20. Cul es la produccin que maximiza el beneficio?

5. Dada la matriz de insumo producto

Ind. A

Ind. B

Demanda final

Total

Ind A

Ind B

Otros factores

Total

40

40

20

100

44

10

6

60

16

10

100

60

Construir la matriz de insumo-producto cuando la demanda final cambia a 21 para la Ind. A y a 14 para la Ind. B.

Fecha: 20/06/08

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Hallar el conjunto solucin del sistema de ecuaciones:

x1 + 2x2 + x3

=1

3x1 + 2x2 + x4

=0

6x1 + 8x2 + 3x3 + x4=3

2. Dado el siguiente sistema:

3x + k.y =2

(k+1)x + (k+5)y =4

Determinar los valores de k para los cuales el sistema:

Sea compatible determinado (solucin nica).

Sea compatible indeterminado (infinitas soluciones).

Sea incompatible (ninguna solucin).

3. Dada la ecuacin diferencial: dy/dx = (2x + 1)/3y, clasificarla y resolverla.

4. Una economa de dos industrias A y B est representada por:

A

B

Otros

P. Total

A

4

6

2

12

B

4

6

14

24

D Final

4

12

16

Produccin total

12

24

Hallar la produccin total si la demanda final cambia a 30 para A y a 15 para B.

Construir la tabla anterior con los nuevos valores hallados en el punto anterior.

5. Un fabricante produce dos tipos de productos, Tipo I y Tipo II. Durante el proceso de produccin se usan tres mquinas, A, B y C. El modelo I requiere 2 hs en la mquina A, 4 hs en la B y 2 hs en la C. El modelo II necesita 4 hs en la mquina A, 2 hs en la B y 2 hs en la C. Las mquinas A y B disponen de 24 horas cada una para su empleo, mientras que la mquina C dispone de 18 horas. Si las utilidades para el modelo I y para el II son de $4 y $8 respectivamente, qu cantidad de cada tipo se debe fabricar para maximizar las utilidades?

Fecha: 2 cuat. 07

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

PRCTICA:

1. Un comerciante vende distintos tipos de gaseosas y quiere particularmente estudiar el comportamiento de dos de ellas: la gaseosa sin azcar y la comn. Las funciones de demandas estn dadas por: x = 26 p e y = 10 q, donde x representa la cantidad demandada de gaseosa sin azcar e y la de comn; y p y q son los precios correspondientes a cada una. La funcin de costo conjunto es: C(x;y) = x2 + 2xy + y2.

Hallar la funcin de ingreso total en trminos de x e y.

Determinar las gaseosas de un tipo y de otro, as como los precios que maximicen el beneficio.

Indicar el beneficio mximo.

2. Una empresa fabrica un producto que necesita dos tipos de insumos, la produccin est expresada por la funcin: P(x;y) = x2 + 5y2

2x + y

Comprobar que es homognea, indicar el grado y verificar el teorema de Euler.

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, obtener la solucin general y la particular correspondiente.

y = 8y

hallar la solucin particular para (0;2).

y + 4y = x

hallar la solucin particular para (1;0)

4. Hallar las funciones derivadas parciales aplicando la definicin de: k(r;s) = ((2r s)

TEORA:

1. Dar la definicin y la interpretacin geomtrica de la derivada parcial, con respecto a y solamente, de la funcin z = f(x;y).

2. Explicar los pasos que se deben seguir para hallar los extremos de una funcin de tres variables con restriccin.

3. Qu indican las elasticidades parciales para una funcin de dos variables? Dar un ejemplo.

4. Explicar orden y grado de una ecuacin diferencial. Ejemplificar.

Fecha: 2 cuat. 07

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

PRCTICA:

1. Una empresa dedicada a la reparacin de dos modelos de automviles analiza sus costos mediante la funcin: C(x;y) = 3y2 + 2x2 + xy 22x + 5, donde x representa la cantidad de automviles del modelo A e y la cantidad del modelo B. Determinar cuntos automviles de un modelo y de otro debe reparar la empresa para obtener el mnimo costo posible, sabiendo que se debe respetar la siguiente restriccin: x y = 2. Indicar el costo mnimo.

2. Una empresa fabrica un producto que necesita dos tipos de insumos, la demanda de este producto est expresada por la funcin: D(p;q) = ((8p + q2).

Hallar las derivadas parciales para p = 4 y q = 2 e interpretar los resultados obtenidos.

Obtener todas las derivadas parciales segundas y verificar el teorema de Schwarz.

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, obtener la solucin general y la particular correspondiente.

x2 + y2 4yy = 0

hallar la solucin particular para (8;4).

y + (1/x)y = ex

hallar la solucin particular para (1;0)

4. Hallar las funciones derivadas parciales aplicando la definicin de: m(k;t) = k2/t.

TEORA:

1. Indicar los pasos que se deben seguir para hallar los extremos de una funcin de tres variables sin restriccin.

2. Explicar el teorema de Euler y dar un ejemplo.

3. Explicar derivadas de funciones compuestas.

4. Dar un ejemplo de una ecuacin diferencial de variables separables y resolverla.

Fecha: 22/06/07

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. a) Hallar el modelo exponencial y = Cekt que cumple para la poblacin de la ciudad de Detroit, Michigan, si en 1990 tena 3 millones de habitantes y en el 2000 haba 2,73 millones (considerar t = 0 en 1990); b) calcular k; c) estimar cuantos habitantes sern en el 2010.

2. Dada la ecuacin diferencial xy 3y = 0, se pide: a)verificar que y = Cx3 es solucin general; b) si la condicin inicial es y = 2 en x = -3, hallar la solucin particular; c) comprobar que la solucin particular hallada es la correcta.

3. Dado2x 3y + 4z = 13

x + y+ z =4se pide: a) clasificar el sistema; b) hallar el conjunto solucin S;

3x + 5y z = -4

c) si

-11 17 -10

A-1 = 7 -14 0verificar que es la inversa de A; d) hallar de nuevo S pero usando

2 -19 5

la inversa.

Fecha: 23/6/06

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Calcular el siguiente determinante:

-1 4 2 0 1

6 -4 0 2 -2

1 -2 1 -1 0

1 0 5 -2 3

-3 1 4 1 0

2. Hallar el o los valores de k para que la siguiente matriz no admita inversa:

k 1 -1

0 2 k

4 0 -k

3. Hallar la matriz H que verifique H A2 = B . A siendo

1 0 -1

1 2 1

A = 2 2 2

B =

1 3 1

0 0 6

0 0 2

4. Hallar el conjunto solucin de:

2x 3y = 2

x + y 2z = -4

-5y + 4z = 10

5. Una empresa fabrica dos tipos de maquinarias A y B. La empresa tiene una seccin de montaje y una de terminacin. Cada mquina del tipo A necesita 3 hs de montaje y 3 hs en la seccin terminacin. Cada mquina del tipo B necesita 5 hs de montaje y 3 hs de terminacin. La empresa tiene disponible 150 hs en montaje y 120 hs en la seccin terminacin. Si el beneficio para cada mquina del tipo A es de $ 50.000 y el beneficio para cada mquina del tipo B es de $ 60.000. Cuntas unidades de cada tipo de maquinaria se debe fabricar para maximizar el beneficio?

6. Dada la matriz de insumo-producto :

A

B

C

Demanda final

Total

Ind. A

80

100

480

140

800

Ind. B

400

100

240

260

1000

Ind. C

160

300

240

500

1200

Otros factores

160

500

240

Total

800

1000

1200

Fecha: 1/7/05

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Una empresa fabrica dos productos los que deben procesarse en los departamentos 1 y 2. El producto A necesita de 3 hs por unidad de trabajo en el departamento 1 y 4 hs por unidad de trabajo en el departamento 2. El producto B necesita 2 hs por unidad de trabajo en el departamento 1 y 6 hs de trabajo en el departamento 2. El departamento 1 tiene disponible 120 hs y el departamento 2, 260 hs. La utilidad del producto A es de $5 por unidad y la del producto B es de $6 por unidad. Cuntas unidades se debe fabricar de cada producto si se quiere maximizar la utilidad?

2. Calcular el determinante de A =

1 2 -3 4

3 -1 2 4

-2 -4 6 -8

0 3 -1 2

3. Dada la matriz de insumo producto, hallar el vector produccin para cada industria si la demanda final cambia a 300 para A, 200 para B y 400 para C

A

B

C

Demanda final

A

100

400

240

260

B

100

80

480

140

C

300

160

240

500

Otros

500

160

240

Total

1000

800

1200

4. Hallar la solucin, si la hay, del siguiente sistema de ecuaciones

2x y + z = 3

x 2y + z = 1

5x + 2y 2z = 4

Fecha: 1/7/05

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Dada la matriz de insumo producto, calcular la nueva produccin para cada industria si la demanda final cambia a 400 para A, 200 para B y 400 para C

A

B

C

Demanda final

A

100

400

240

260

B

100

80

480

140

C

300

160

240

500

Otros

500

160

240

Total

1000

800

1200

2. Hallar la solucin, si la hay, del siguiente sistema de ecuaciones

4x 2y + 2z = 6

x 2y + z = 1

3x + y z = 2

3. Una compaa quiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo A y del tipo B. Cada unidad tipo A producir una ganancia de $1 mientras que una tipo B generar una ganancia de $1,20. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan 2 minutos en la mquina I y 1 minuto en la mquina II. Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto en la mquina I y 3 minutos en la mquina II. Hay 180 minutos disponibles en la mquina I y 300 minutos disponibles en la mquina II para procesar el pedido. Cuntas piezas de cada tipo debe producir la compaa para maximizar la ganancia?

4. Calcular el determinante de A =

1 2 -3 4

3 -1 3 2

-2 2 3 3

1 3 -2 1

Fecha: 19/11/04

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Dada la T: R3 (R3/T(1,0,0) = (7,-2,0); T(0,1,0) = (-2,6,-2); T(0,0,1) = (0,-2,5), se pide hallar: a) la matriz A asociada a la transformacin; b) la matriz equivalente [A-(I]; c) el polinomio caracterstico y la ecuacin caracterstica; d) los autovalores y los autovectores; e) justificar si A es diagonizable o no y por qu y hallar la diagonal A si es que existe.

2. Dados los vectores de R3: (1,-1,-2) y (4,2,1), se pide hallar: a) el ngulo que forman los 2 vectores; b) un tercer vector perpendicular a los dos a la vez; c) decir si los 3 vectores forman base de R3 o no y por qu.

3. Dado el siguiente sistemax + y + z = 1

2x y + 2z = -1

-x + 2y + 3z = 2

Se pide: a) clasificar el sistema; b) hallar el conjunto solucin S.

Fecha: 19/11/03

Examen: 2 parcial

Prof.: turno noche

1. Una fbrica elabora dos clases de productos. La funcin conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = q1 3.q2 + q1.q2 donde q1 y q2 representan las unidades producidas de cada producto por mes. Si la produccin combinada es de 6 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad mxima.

2. Analizar si el siguiente sistema admite solucin y resolverlo

w x y + 4z = 5

2w 3x 4y + 9z = 13

2w + x + 4y + 5z = 1

3. Un granjero compra fertilizantes con tres ingredientes nutritivos A, B y C. Las necesidades mnimas de dichos componentes son: 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado hay dos marcas de fertilizantes X y Z. El X se vende a $4 la bolsa y contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C; la marca Z se vende a $3 la bolsa y tiene 2 unidades de A, 2 de B y 2 de C. Si se desea minimizar los costos manteniendo el mnimo de ingredientes nutritivos, cuntas bolsas de cada marca debe comprar?

4. Una economa est caracterizada por las siguientes situaciones en millones de unidades monetarias de productos

USUARIO

PRODUCTOS

A

B

C

Demanda final

Produccin total

A

100

400

240

260

1000

B

100

80

480

140

800

C

300

160

240

500

1200

Obtener el vector de produccin si la demanda final cambia a:

PRODUCTO

Demanda final

A

300

B

200

C

400

5. Con cuntos ejes se observa el grfico realizado en Excel y utilizando Solver para el caso de optimizacin de dos variables? En qu celdas de Excel se definen usualmente, las restricciones a los problemas de programacin lineal?

En ambos casos describir el procedimiento utilizado en el laboratorio de computacin

Fecha: 19/11/03

Examen: 2 parcial

Prof.: turno noche

1. Una fbrica elabora dos clases de productos. La funcin conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = 6q1.q2 q22 q12 donde q1 y q2 representan las unidades producidas de cada producto por mes. Si la produccin combinada es de 8 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad mxima.

2. Analizar si el siguiente sistema admite solucin y resolverlo

w + x + y + 4z = 0

w + x + 5z = 0

2w + x + 3y + 4z = 0

w 3x + 2y 9z = 0

3. Una compaa fabrica 2 tipos de artefactos, manual y elctrico, cada uno requiere para su fabricacin el uso de tres mquinas A, B y C. Un artefacto manual requiere el empleo de la mquina A durante 2 hs, de B durante 1 hs y de C durante 1 hs. Cada artefacto elctrico requiere el uso de A durante 1 hs, de B durante 2 hs y de C durante 1 hs. Adems, el nmero mximo de hs disponibles para el suso de las tres mquinas es de 180 hs para A, 160 hs para B y 100 hs para C. La utilidad que se obtiene con cada artefacto mensual es de $4 y $6 para los manuales y elctricos respectivamente. Cuntos artefactos se debe fabricar para maximizar la utilidad?

4. Una economa est caracterizada por las siguientes situaciones en millones de unidades monetarias de productos

USUARIO

PRODUCTOS

A

B

C

Demanda final

Produccin total

A

18

30

45

15

108

B

27

30

60

3

120

C

54

40

60

26

180

Obtener el vector de produccin si la demanda final cambia a:

PRODUCTO

Demanda final

A

50

B

40

C

30

5. Con cuntos ejes se observa el grfico realizado en Excel y utilizando Solver para el caso de optimizacin de dos variables? En qu celdas de Excel se definen usualmente, las restricciones a los problemas de programacin lineal?

En ambos casos describir el procedimiento utilizado en el laboratorio de computacin

Fecha: 21/11/03

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Una empresa produce los productos A, B y C en 3 mquinas. El producto A requiere de 3 hs en la mquina I, 1 hs en la mquina II y 2 horas en la mquina III, el B requiere de 1, 2 y 1 hs respectivamente en cada mquina, y el producto C requiere de 2, 4 y 1 hs respectivamente, en cada mquina. Si la mquina I dispone de 600 hs, la mquina II de 900 hs y la mquina III de 400 hs, cuntas unidades de cada producto deberan producirse con el total de horas disponibles por cada mquina? Emplear el mtodo matricial en la resolucin del sistema

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + 2y + 5z = -3

x + y + 3z = -1

x y z = 3

3. Hallar el o los valores de x ( R que verifican la igualdad

x+1 0 0 x-1 0

-3 x-1 0 =

1 1 2 4 x

4. Sea T : R3 ( R3 / T (x,y,z) = (3x, y, z + x), se pide:

Verificar que es una transformacin lineal

Hallar la matriz asociada a la transformacin respecto de las bases cannicas

Hallar T (1,2,-1) mediante la matriz de transformacin

5. Hallar los autovalores y autovectores de la siguiente matriz

4 3

A =3 -4

6. Analizar si la siguiente matriz es diagonizable. En caso afirmativo halle su forma diagonal

2 0 0

A =3 2 0

1 2 2

Fecha: 21/11/03

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Una empresa produce los productos A, B y C en 3 mquinas. El producto A requiere de 3 hs en la mquina I, 1 hs en la mquina II y 2 horas en la mquina III, el B requiere de 1, 2 y 1 hs respectivamente en cada mquina, y el producto C requiere de 2, 4 y 1 hs respectivamente, en cada mquina. Si la mquina I dispone de 400 hs, la mquina II de 400 hs y la mquina III de 300 hs, cuntas unidades de cada producto deberan producirse con el total de horas disponibles por cada mquina? Emplear el mtodo matricial en la resolucin del sistema

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x - 2y + z = 0

2x - y + 5z = 0

x + y + 4z = 0

3. Hallar el o los valores de x ( R que verifican la igualdad

3 3 2 2x 3

0 x-2 1 =

0 0 x+2 3 x-1

4. Sea T : R3 ( R3 / T (x,y) = (2x, y, y + x), se pide:

Verificar que es una transformacin lineal

Hallar la matriz asociada a la transformacin respecto de las bases cannicas

Hallar T (2,3) mediante la matriz de transformacin

5. Hallar los autovalores y autovectores de la siguiente matriz

-3 2

A =1 -2

6. Analizar si la siguiente matriz es diagonizable. En caso afirmativo halle su forma diagonal

2 0 0

A =0 3 4

0 0 2

Fecha: 19/11/03

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Una economa hipottica de dos industrias A y B est representada en la siguiente matriz en una unidad monetaria determinada

Industria A

Industria B

Demanda final

Produccin total

Industria A

40

44

16

100

Industria B

40

0

15

55

Construir la matriz de insumo-producto correspondiente al prximo perodo en la que la demanda final es de

21

14

2. El costo de produccin C en funcin de las cantidades producidas x e y de dos tipos de artculos est dado por C(x,y) = 3x2 + 4y2 xy

Hallar las cantidades x e y que minimizan el costo si se considera la siguiente restriccin 2x + y = 21

Indicar el costo mnimo

3. Un fabricante de sillas fabrica dos modelos de juegos, A y B. El modelo A requiere 6 hs de preparacin, 4 hs de montaje y 5 hs de terminacin. En cambio el modelo B necesita 3 hs de preparacin, 6 hs de montaje y 5 hs de terminacin. Se dispone de 54 hs de preparacin, 48 hs de montaje y 50 hs de terminacin. Los beneficios que dejan cada modelo son $30 y $20 respectivamente. Cuntas sillas de cada modelo deben producirse para obtener el mximo beneficio? Indicar cul es el beneficio mximo

4. Resolver el siguiente sistema aplicando el mtodo de Gauss-Jordan:

2x1 + x2 x3 = 12

3x1 2x2 + 2x3 = -3

-x1 + 3x2 3x3 = 15

Si tiene infinitas soluciones hallar la solucin general y tres soluciones particulares distintas.

Fecha: 5/7/02

Examen: 2 parcial

Prof.: ?

1. Halle el determinante de la siguiente matriz. Puede utilizar propiedades para facilitar el clculo, de ser as explique en cada caso lo realmente efectuado

1 2 -3 4

3 -1 2 4

-2 0 1 -8

0 3 -1 2

2. Hallar el conjunto solucin del sistema

x + y + 2z = 1

3x 2y 4z = -7

2x y 2z = -4

3. Verificar si el conjunto dado es linealmente independiente

(-3,0,2), (4,1,-2.5), (-10,5,-4)

4. Maximizar la funcin objeto z = 3x + y sujeta a las restricciones

4x + 2y ( 16

2x + 3y ( 12

x ( 0

y ( 0

5. Supngase que la economa viene caracterizada por

USUARIO

DEMANDA

PRODUCTOS

A

B

FINAL

TOTAL

A

240

500

460

1200

B

360

200

940

1500

Determinar el vector de produccin de dicha economa si la demanda final cambia de 460 a para la Industria A y de 940 a 1200 para la Industria B.

Fecha: 26/07/08

Examen: recup. 2 parcial

Prof.: ?

1. Hallar el conjunto solucin del sistema

2x + 3y 2z = 0

x 2y 4z = -3

4x + 5y z = 3

2. Dadas las siguientes matrices:

-1 3 1

1 3

A =2 1 1

B =2 4

1 1 -1

-1 1

3. Hallar el siguiente determinante haciendo operaciones entre filas y/o columnas:

1 2 -4 2

-2 1 3 -1

3 1 1 -3

-4 1 2 1

4. Una empresa fabrica dos productos P1 y P2. Cada unidad del producto P1 requiere de 1 hora en la mquina A, 2 horas en la mquina B y 1 hora de terminado. Cada unidad del producto P2 requiere de 1 hora en la mquina A, 1 hora en la mquina B y 3 horas de terminado. Las horas de trabajo disponibles son para la mquina A 40 horas, para la B 70 horas y para terminado se disponen de 90 horas. Si las utilidades de cada unidad de P1 y de cada unidad de P2 son $4 y $6 respectivamente. Cuntas unidades de cada producto deben fabricarse con el objeto de maximizar las utilidades? Cul ser la utilidad mxima?

5. Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial:

dy/dx = y . (x2 + 3)

Final

Fecha: 2 cuat. 13

Examen: Final

Prof.: ?

Fecha: 3/08/10

Examen: Final

Prof.: ?

1. Hallar y probar por definicin lim 2x + y2 =

(x;y)((-1;2)

2. Hallar los valores x, y, z para que la matriz A sea la matriz identidad

y + 2z

0

0

A = 0 x + 6z x y + 3z

0

0 -3x + 4y 7z

3. Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = x/((x3 + y3)

En donde x es el nmero de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la produccin semanal.

Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas para x = 1 e y = 0 e interpretar los resultados.

Analizar si P es una funcin homognea, en caso afirmativo indicar el grado de homogeneidad.

4. Dada la funcin de ingreso:

I(x;y) = 10x - 2x2 + 6xy + 20y 2y2

Donde x e y indican los precios a los cuales se demandan dos productos distintos

Hallar los precios que maximicen el ingreso sabiendo que x + y = 20

Cul ser aproximadamente el ingreso mximo si la restriccin se incrementara en una unidad?

5. Dada

0 3 2

Calcular

2

A =0 2 2

A -1 .3

1 1 2

2

Fecha: 3/08/10

Examen: Final

Prof.: (turno maana)

1. Las demanda qA y qB de los productos A y B son, cada una, funcin de los precios pA y pB son las siguientes

qA = -1/2pA + 1/pBy qB = 10/(pA.pB)

Calcular las demandas marginales cruzadas (entre bienes) correspondientes.

A partir de ellas clasificar a dichos bienes (uno en relacin al otro). justificar.

1. Consideremos una empresa productora de dos bienes. Siendo la funcin de ingreso: I=12q1+18q2 donde q1 representa al nivel de produccin para el primer producto y q2 el del segundo por unidad de tiempo. Conociendo la funcin de costo total igual a C(q1;q2)=2q12+q1+q2+2q22 se pide determinar los precios y los niveles de produccin en ambos productos que maximicen el beneficio, y el valor ptimo de ste.

2. Dada la ecuacin diferencial ex2.y = x.y2 , se pide hallar:

a. La solucin general.

b. La solucin particular si y(0) = 1.

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x + 2y + w = 0

x + 2y + z = 1

5x + 6y + 2z + w = 2

4. Dadas las matrices

-1 -2a 1

a b

2 c

7 a

A = 0 0 2B = 3 0

C = 0 1

D = -4 c+1

-2 1

Halle los valores de a, b y c para que se verifique la siguiente igualdad C2 = D-A.B

5. Una fbrica elabora dos productos P1 y P2. En la elaboracin de los mismos se emplean tres insumos A, B y C. P1 requiere de las cantidades 1, 3 y 3 de ellos y P2 las cantidades 4, 4 y 2 respectivamente. Se sabe que hay una existencia de 280 unidades de A, 360 unidades de B y 300 unidades de C. La venta de esos productos genera una utilidad de 1 y 2 unidades monetarias. Disear un programa de fabricacin para obtener el beneficio mximo, indicando el procedimiento grfico-analtico, los resultados y su interpretacin.

Fecha: 3/03/09

Examen: Final

Prof.: ?

1. Analizar la continuidad de la siguiente funcin. En caso de ser discontinua clasificar la discontinuidad

2

si (x,y) = (0,0)

f (x,y) = 5x 9y .si (x,y) ( (0,0)

3y + 5x

a) Hallar la derivada parcial de la funcin f(x.y) = 2x3 4xy + 5y2 respecto de y empleando la definicin.

b) Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = 3.ln (((l.k)) + el.k en donde l es el nmero de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la produccin semanal.

a. Hallar la productividad marginal de la mano de obra.

b. Evaluarla cuando l = 1 y k = 1. Interpretar el resultado.

2. Para cubrir un pedido de 100 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la produccin entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La funcin de costos totales est dada por: C(q1,q2) = 0,1q12 + 7q1 + 15q2 + 1000. En donde q1 y q2 son el nmero de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. Cmo se debe distribuir la produccin con el objeto de minimizar los costos?

3. Resolver la siguiente ecuacin diferencial: (x2 + 1).dy (xy + 3x).dx = 0

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

- y + z + w = 2

-2x + 3y + 2z = 6

x 2z 2w = -4

b) Dadas las matrices

1 0 0

0 -1 3

1 -2

A = 0 -1 0B = 2 1 2

C = 0 1

-1 1 1

-1 1

calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 3/03/08

Examen: Final

Prof.: ?

1. Demostrar que lim x2 + 2x 5y = -7

(x;y)((1;2)

2. Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = 3((xy) + exy, en donde x es el nmero de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la produccin semanal.

Hallar la productividad marginal de la mano de obra.

Evaluarla cuando x = 2 e y = 4. Interpretar el resultado.

3. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la produccin entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La funcin de costos totales est dada por:

C(x;y) = 3x2 + xy + 2y2

En donde x e y son el nmero de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. Cmo se debe distribuir la produccin con el objeto de minimizar los costos?

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:x + 2y z = 2

-2x + 3y + z = 6

x 2y 2z = -4

5. Dadas las matrices1 0 0

B =0 -1 31 -2

A =0 -1 0

2 1 4 C =0 5

-1 1 1

-1 1

Calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 19/02/08

Examen: Final

Prof.: Martnez

1. Analizar la continuidad de la siguiente funcin en (0;0). En caso de ser discontinua clasificar la discontinuidad

2

si (x,y) = (0,0)

f (x,y) = 5x 9y .si (x,y) ( (0,0)

6y + 10x

2. Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = 3.ln (((l.k)) + el.k en donde l es el nmero de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la produccin semanal.

c) Hallar la productividad marginal de la mano de obra

d) Evaluarla cuando l = 1 y k = 1. Interpretar el resultado

3. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la produccin entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La funcin de costos totales est dada por: C(q1,q2) = 3q12 + q1q2 + 2q22. En donde q1 y q2 son el nmero de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. Cmo se debe distribuir la produccin con el objeto de minimizar los costos?

4. Resolver la siguiente ecuacin diferencial: (x + xy).dy (xy + y) = 0

5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

- y + z + w = 2

-2x + 3y + 2z = 6

x 2z 2w = -4

6. Dadas las matrices

1 0 0

0 -1 3

1 -2

A = 0 -1 0B = 2 1 4

C = 0 5

-1 1 1

-1 1

calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 19/02/08

Examen: Final

Prof.: Martnez

a) Demostrar que lm (x,y) ( (1,2) x2 + 2x - 5y = -7

b) Analizar la continuidad de la siguiente funcin en (0;0). En caso de ser discontinua clasificar la discontinuidad

2

si (x,y) = (0,0)

f (x,y) = 5x 9y .si (x,y) ( (0,0)

6y + 10x

a) Hallar la derivada parcial de la funcin f(x,y) = 4x4 2xy + 7y4 respecto de x empleando la definicin

b) Un fabricante ha establecido que su funcin de produccin es P = 3.ln (((l.k)) + el.k en donde l es el nmero de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la produccin semanal

1) Hallar la productividad marginal de la mano de obra

2) Evaluarla cuando l = 1 y k = 1. Interpretar el resultado

2. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la produccin entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La funcin de costos totales est dada por: C(q1,q2) = 3q12 + q1q2 + 2q22. En donde q1 y q2 son el nmero de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. Cmo se debe distribuir la produccin con el objeto de minimizar los costos?

3. Resolver la siguiente ecuacin diferencial: (x + xy).dy (xy + y) = 0

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

- y + z + w = 2

-2x + 3y + 2z = 6

x 2z 2w = -4

5. Dadas las matrices

1 0 0

0 -1 3

1 -2

A = 0 -1 0B = 2 1 4

C = 0 5

-1 1 1

-1 1

calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 23/2/07

Examen: Final

Prof.: ?

1. Calcular y probar por definicin lm (x,y) ( (2,3) 3x + 4y + x2 =

2. Una fbrica elabora dos clases de productos. La funcin conjunta de utilidad es U (x,y) = 6xy y2 x2 donde x e y representan la cantidad producida por semana. Si la produccin combinada es de 8 unidades semanales, hallar la cantidad semanal de cada producto a fin de maximizar la utilidad.

3. La funcin costo de produccin de una empresa est dada por C (x,y) = ((xy) + 4x 3y 0,004x3 siendo x e y los insumos necesarios

Hallar las derivadas parciales

Evaluar las derivadas parciales en (4,2) e interpretar los resultados

4. Hallar el conjunto solucin

-3x + 4y 7z = 1

4x + 2y 4z = 0

-7x + 2y 3z = 1

2 3 2

2

5. Dada A =0 2 2

Calcular A-1 . 3 =

1 1 2

2

6. Dada la ecuacin diferencial x (dy/dx) = y2 , hallar la solucin general

Fecha: 25/2/05

Examen: Final

Prof.: Cassiba

1. Calcule lmite doble, sucesivo, radial y parablico de f (x). Analice continuidad de dicha funcin en el punto P = (0;0)

x3y

si (x,y) ( (0,0)

f(x;y) = x4 + y4

1

si (x,y) = (0,0)

2. Halle la derivada total dz/dx, si : z = sen ((u + 3v), u = t2.ln t, v = 2t+3

3. Una empresa productora de dos bienes tiene las siguientes funciones de demanda y de costo:

q1 = 40 2p1 p2, q2 = 35 p1 p2, C(q1,q2) = q12 + q22 + 10

Para qu precios se da un beneficio mximo? Determnelo

Qu cantidades en los artculos lo determinan?

4. Resolver y clasificar el siguiente sistema de ecuaciones linealesx y + 2w = -1

x + y z = 2

y + 3z + 3w = 2

Fecha: 17/12/04

Examen: Final

Prof.: ?

1. La funcin de produccin es la siguiente: P(x,y) = 1.5xy2 , donde x e y son las cantidades de capital y trabajo que intervienen en el proceso de fabricacin. Hallar las ecuaciones de las isocuantas (curvas de nivel) correspondientes a una produccin de P = 6 y P = 12 respectivamente.

2. Aplicando la definicin del lmite de una funcin de dos variables, hallar una ( > 0 tal que, para cualquier valor de ( > 0 se verifique la definicin anterior: lm (x,y) ( (1,3) (2x + y 3) = 2

Determinar (, para ( = 0.1

Obtener el valor del lmite para los pares de la forma (x;3x2)

3. Calcular la tasa marginal de sustitucin de x por y, para: f(x,y) = 1.5x2 0.5yx + y2. Interpretar el resultado para el par (10,5).

4. Una fbrica elabora dos clases de productos. La funcin conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = 3q1 + q2 + q1q2, donde q1 y q2 representan las unidades producidas de cada producto por mes. Si la produccin combinada es de 6 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad mxima.

5. Un granjero compra fertilizantes con tres ingredientes nutritivos L, M y N. Las necesidades mnimas de dichos componentes son: 120 unidades de L, 400 de M y 160 de N. En el mercado hay dos marcas de fertilizantes X y Z. El X se vende a $4 la bolsa y contiene 3 unidades de L, 5 de M y 1 de N; la marca Z se vende a $3 la bolsa y tiene 2 unidades de L, 2 de M y 2 de N. Si se desea minimizar los costos manteniendo el mnimo de ingredientes nutritivos, cuntas bolsas de cada marca debe comprar?

Fecha: 11/3/04

Examen: Final

Prof.: ?

1. La funcin de produccin es la siguiente: P(x,y) = 0.5xy2 , donde x e y son las cantidades de capital y trabajo que intervienen en el proceso de fabricacin. Hallar las ecuaciones de las isocuantas (curvas de nivel) correspondientes a una produccin de P = 2 y P = 8 respectivamente.

2. Aplicando la definicin del lmite de una funcin de dos variables, hallar una ( > 0 tal que, para cualquier valor de ( > 0 se verifique la definicin anterior: lm (x,y) ( (1,3) (2x + y 3) = 2

a. Determinar (, para ( = 0.1

3. Obtener el valor del lmite para los pares de la forma (x;3x2)

4. Calcular la tasa marginal de sustitucin de x por y, para: f(x,y) = 0.5x2 yx + 2y2. Interpretar el resultado para el par (10,5).

5. Una fbrica elabora dos clases de productos. La funcin conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = q1 - 3q2 + q1q2, donde q1 y q2 representan las unidades producidas de cada producto por mes. Si la produccin combinada es de 6 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad mxima.

6. Un granjero compra fertilizantes con tres ingredientes nutritivos A, B y C. Las necesidades mnimas de dichos componentes son: 60 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado hay dos marcas de fertilizantes X y Z. El X se vende a $4 la bolsa y contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C; la marca Z se vende a $3 la bolsa y tiene 2 unidades de A, 2 de B y 2 de C. Si se desea minimizar los costos manteniendo el mnimo de ingredientes nutritivos, cuntas bolsas de cada marca debe comprar?

Fecha: 11/3/04

Examen: Final

Prof.: ?

1. La funcin de produccin es la siguiente: P(x,y) = 0.5xy2 , donde x e y son las cantidades de capital y trabajo que intervienen en el proceso de fabricacin. Hallar las ecuaciones de las isocuantas (curvas de nivel) correspondientes a una produccin de P = 2 y P = 8 respectivamente.

2. La funcin de costo de produccin en una empresa viene dada por: C(x;y) = (xy)0.5 + 4x 3y (4/1000)4x3. Donde las variables independientes representan los insumos necesarios.

Obtener las derivadas parciales.

Especializar cuando los insumos estn dados por el par (4;25).

Interpretar los valores obtenidos.

3. Hallar los extremos relativos de la funcin: z(x,y) = x3 + y2 3x. Y tipificar.

4. Sea la transformacin lineal: f (x1;x2;x3) = (x1 + x3;x2 x3). Obtener la matriz asociada a dicha transformacin, respecto de las bases cannicas.

5. Analizar si admite solucin el sistema:

2x y + z = 3

x 2y + z = 1

6x + 2y 2z = 4

En el caso afirmativo obtener la solucin.

Fecha: 16/5/03

Examen: Final

Prof.: ?

1. (Turno maana) Sea la transformacin lineal: f (x1,x2,x3) = (x1 + x3;x2 x3). Obtener la matriz asociada a dicha transformacin, respecto de las bases:

[v] = ((1;1;1);(1;2;0);(-3;0;0)(

[w] = ((-1;0);(0;4)(

(Turno noche) Determinar el lmite por definicin para:

f (x,y) = 3x 2y para x (1 e y ( -2

2. Si f(x,y) = 2x2 + 3xy + y2 evaluar:

a. El incremento de la funcin en el par (1,2)

b. El incremento de la funcin en el mismo par real, pero el cambio en x es 0,02 y el cambio en y es 0,01.

c. La diferencia total en el citado par real.

d. La diferencia total en el citado par real y los cambios definidos en el inciso b.

3. Realizar el estudio completo de la funcin: f(x,y) = -3x2 + 20xy 2y2

4. Analizar si admite solucin el sistema:

2x y + z = 3

x 2y + z = 1

6x + 2y 2z = 4

En el caso afirmativo obtener la solucin.

Fecha: 16/5/03

Examen: Final

Prof.: ?

1. Demostrar que el lmite de: f(x,y) = -x + 6y para x (-2 e y ( 1 es 8. Si ( = 0.001, qu valor debera tomar (?

2. Determinar la derivada parcial con respecto a y de -5x0.5 3y, por medio de la definicin. Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden para: f(x,y) = x3 yx

3. Realizar el estudio completo de la funcin: f (x,y) = x2 + 2xy

4. Analizar si admite solucin el sistema, y en el caso afirmativo obtener la solucin:

-2x 5y + 2z = 5

8x + 3y + 14z = 19

6x 2y + 16z = 24

5. Hallar la solucin aplicando el mtodo grfico:

4x + 12y ( 24

2x + 4y ( 10

2x + 3y ( 15

Obtener el mximo para z = -x + 3y