Materia: MATEMÁTICA IISegundo Parcial - Final

Fecha: 24/09/13Examen: 1º parcialProf.: ?

Fecha: 11/05/12Examen: 1º parcialProf.: ?

1. a)Hallar y demostrar por definición: lím (x,y) (2,4) 3x + 2y b)Si ε = 0,01 ¿Qué valor de δ le corresponde?

2. Hallar el dominio de la función f(x.y) = √(9 – x2 – y2), de manera que la ley arroje valores reales y representarlo gráficamente. Nombrar un par ordenado que se encuentre en el dominio de la función.

3. Un fabricante tiene conocimiento que la producción mensual de su fábrica está dada por la función de Cobb-Douglas Q(K,L) = 50 K0,4 L0,6

donde K es el capital en unidades de $1000 y L es la fuerza laborar medida en horas-trabajador.

a) Hallar la productividad marginal del capital y la productividad marginal del trabajo, siendo el capital de $750000 y el nivel de la fuerza laboral de 991 horas-trabajador.

b) ¿Qué le conviene al fabricante para aumentar la producción, invertir capital o aumentar el nivel de la fuerza laboral?

4. La función de producción de una empresa es P(x,y) = 60x + 30y – 2x2 – 3y2. El costo de la empresa es de $2 por unidad del insumo x, y de $3 por unidad del insumo y. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $30, calcular la máxima producción posible sujeta a la restricción presupuestal.

5. Una función de producción P(x,y) presenta rendimientos a escala constantes (es decir, es homogénea de grado 1). Se sabe que cuando se utilizan 3 unidades del factor x, 5 unidades del factor y, la producción es de 90 unidades.a)¿Cuál será la producción si se triplican las cantidades utilizadas de ambos factores?b)¿Y si se aumentan las cantidades utilizadas de dichos factores en un 20% cuál será la producción?

Fecha: 11/05/12Examen: 1º parcialProf.: ?

1. a)Hallar y demostrar por definición: lím (x,y) (1,-2) 3x + 4y b)Si ε = 0,01 ¿Qué valor de δ le corresponde?

2. Hallar el dominio de la función f(x.y) = √(x2 + y2 – 4), de manera que la ley arroje valores reales y representarlo gráficamente. Nombrar un par ordenado que se encuentre en el dominio de la función.

3. La función de producción de una empresa viene dada por la función P(x,y) = 3x1/3 y2/3, donde x es el número de unidades laborales e y el número de unidades de capital utilizados.

a) Hallar ambas productividades marginales si el nivel de producción utiliza 64 unidades laborales y 125 unidades de capital.

b) Si se quiere incrementar alguna de las dos variables ¿Cuál dará un mayor incremento en la producción?

4. La función de producción de una empresa es P(x,y) = 120x + 60y – 4x2 – 6y2. El costo de la empresa es de $4 por unidad del insumo x, y de $6 por unidad del insumo y. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea de $60, calcular la máxima producción posible sujeta a la restricción presupuestal.

5. Una función de producción P(x,y) presenta rendimientos a escala constantes (es decir, es homogénea de grado 1). Se sabe que cuando se utilizan 4 unidades del factor x, 6 unidades del factor y, la producción es de 120 unidades.a)¿Cuál será la producción si se duplican las cantidades utilizadas de ambos factores?b)¿Y si se aumentan las cantidades utilizadas de dichos factores en un 30% cuál será la producción?

Fecha: 7/10/11Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Calcular y probar por definición: lím (x,y) (2,3) 5x + 2y 2. Sean dos bienes X e Y cuyas demandas vienen dadas por D1 = 16 – p2 –

q2, D2 = 8 – p – 2q. Donde p y q son los precios de X e Y respectivamente.

a) Hallar sus dominios y representarlos en un mismo sistema de ejes cartesianos.

b) Clasificar los bienes.c) Hallar la elasticidad de ambas demandas con respecto a q cuando

p=3 q=1 e interpretar los resultados.3. Analizar si existe el lím (x,y) (0,0) [5xy/(3y2 – x2)]4. La función de producción de un fabricante de acumuladores está dada

(en miles de unidades) por F(x,y) = 3x2/3 y1/3, donde x es el número de unidades de capital e y el número de unidades laborales utilizados.

a) Hallar e interpretar las productividades marginales si el nivel de producción utiliza 64 unidades laborales y 125 unidades de capital.

b) Si las ventas fueron buenas y se quiere incrementar una de las dos variables ¿Cuál dará un mayor incremento en la producción?

5. Una empresa tiene dos plantas para elaborar un producto. El costo de producir x unidades en la planta A e y unidades en la planta B está dado por: C(x,y) = 2x2 + 4y2 + 2xy + 1400. Si la empresa cuenta con la restricción 2x + 2y = 1000 ¿Cuántas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

Fecha: 7/10/11Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Calcular y probar por definición: lím (x,y) (1,2) 3x + y 2. Sean dos bienes X e Y cuyas demandas vienen dadas por D1 = 36 – p2 –

q2, D2 = (8 – 2p)/q. Donde p y q son los precios de X e Y respectivamente.

a) Hallar sus dominios y representarlos en un mismo sistema de ejes cartesianos.

b) Clasificar los bienes.c) Hallar la elasticidad de ambas demandas con respecto a q cuando

p=3 q=1 e interpretar los resultados.3. Analizar si existe el lím (x,y) (0,0) [xy/(3y2 – x2)]4. La función de producción de un fabricante de acumuladores está dada

(en miles de unidades) por F(x,y) = 3x1/3 y2/3, donde x es el número de unidades laborales e y el número de unidades de capital utilizados.

a) Hallar e interpretar las productividades marginales si el nivel de producción utiliza 64 unidades laborales y 125 unidades de capital.

b) Si las ventas fueron buenas y se quiere incrementar una de las dos variables ¿Cuál dará un mayor incremento en la producción?

5. Una empresa tiene dos plantas para elaborar un producto. El costo de producir x unidades en la planta A e y unidades en la planta B está dado por: C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700. Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades ¿Cuántas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

Fecha: 5/10/10Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Hallar el dominio y expresarlo como subconjunto de RxR. Graficar en el plano

f(x;y) = ln (2x + y – 1) √(25 – x2 – y2)

Hallar las curvas de nivel para z = 0, 1, 2 y 3 de Z=x2 + y2

2. Analizar la continuidad de f(x;y)f(x;y) = x2 – y2 si (x,y) (0,0)

x + y(0;0) si (x,y) = (0,0)

3. Derivar con respecto a x e y:a. f(x;y) = sin2(x2 + y2).b. f(x;y) = ex+y.

4. El costo de producción C en función de las cantidades producidas x e y de dos tipos de artículos, está dada por C(x;y) = x2 – 10y2. Si x-y = 18 determinar las cantidades que maximizan o minimizan el costo. Determinarlo.

5. El costo variable de dos bienes A y B responde a la función:C = 0,5x2 + 0,2y2 + 0,05xy

Hallar si lo hay, el grado de homogeneidad. Si ambos insumos decrecen en un 12%, ¿cómo varía el costo?

Fecha: 2/10/09Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Calcular y probar por definición lím (x,y) (2,-1) 3x + 2y + x2 =

2. Sea 4x - 2y si (x,y) (0,0)

F(x;y) = 3x + 1y3 si (x,y) = (0,0)

Determinar si F(x,y) es continua en (0,0) y en caso de no serlo clasificar la discontinuidad.

3. La producción de una empresa está dada por la función:P(x,y)=3√(x2 + 4xy + 3y2)

a. Comprobar que es homogénea y hallar el grado.b. Verificar el teorema de Euler.

4. La demanda de un bien en función de la renta o ingreso “r” y del precio “p” del mismo está dada por la función:

D = r/√3p

Calcular la demanda marginal respecto de r para r=100 y p=3 e interpretar económicamente el resultado.

Calcular la demanda marginal respecto de p para r=100 y p=3 e interpretar económicamente el resultado.

Determina la elasticidad de la demanda respecto al precio para r=100 y p=3 e interpretar económicamente.

5. Una empresa tiene dos plantas para obtener un producto. El costo de producir x unidades en una de las plantas e y unidades en la otra está dado por:

C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades

¿Cuántas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

¿Cuál será aproximadamente el costo mínimo si la restricción incrementara en una unidad?

Fecha: 2/10/09Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Calcular y probar por definición lím (x,y) (1,-2) 2x + 3y + x2 =

2. Sea 2x + 5y si (x,y) (0,0)

f(x;y) = 3x - y5 si (x,y) = (0,0)

Determinar si f(x,y) es continua en (0,0) y en caso de no serlo clasificar la discontinuidad.

3. Una empresa tiene dos plantas para obtener un producto. El costo de producir x unidades en una de las plantas e y unidades en la otra está dado por:

C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades

¿Cuántas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

¿Cuál será aproximadamente el costo mínimo si la restricción incrementara en una unidad?.

4. El costo conjunto de dos bienes que elabora una empresa está dado por la función:

C(x,y) = √(4x2y + xy2 + y3) Comprobar que es homogénea y hallar el grado. Verificar el teorema de Euler.

5. La demanda de un bien en función de la renta o ingreso “r” y del precio “p” del mismo está dada por la función:

D = r/√p Calcular la demanda marginal respecto de r para r=100 y p=9 e

interpretar económicamente el resultado. Calcular la demanda marginal respecto de p para r=100 y p=9 e

interpretar económicamente el resultado. Determina la elasticidad de la demanda respecto al precio para

r=100 y p=9 e interpretar económicamente.

Fecha: 28/04/09Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Calcular el siguiente límite y luego probarlo por definición lím (x,y) (2,3) x + 2y + y2

2. Determinar si la siguiente función es continua en (0,0), en caso de no serlo clasificar la discontinuidad. f(x,y) = 3x 2 + 3y

2x2 - y3. Dada la función de ingreso

I(x,y) = 10x - 2x2 + 6xy + 20y - 2y2

Donde x e y son los precios a los cuales se demandan dos productos distintos

Hallar los precios que maximicen el ingreso sabiendo que x + y = 20

¿Cuál será aproximadamente el ingreso máximo si la restricción se incrementara en una unidad?

4. Dada la función de producción P(x,y) = 2.√y.x3. Determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza de los rendimientos a escala y explicar que significa.

5. Sea F(x,y) = 8x2 + √(x2.y3) + 5xy Hallar las derivadas parciales de orden uno. Evaluar las derivadas anteriores en x=2 e y=1 e interpretar los

resultados.

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)Examen: 1º parcialProf.: (turno mañana)

1. Dada la siguiente función, hallar las ecuaciones de las curvas de nivel y representar en el plano XY el mapa de contornos: z = f(x;y) = 2xy – 1 para z = -5; -3; -1; 1; 3; 5.

2. Estudiar el siguiente límite: lím x 2 3 y (x;y) (0;0) x3 + y

3. Las demandas de dos bienes I y II son q1 y q2, y sus respectivos precios son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 + 2(p2) 2 y q2 = (p1) 2 – (p 2) 2

(p1)2 (p2)2

Calcular el ingreso total como función de los precios Calcular los ingresos marginales e interpretar sus signos para p1 =

1 y p2 = 2 Verificar el Teorema de Euler

4. Dada la función implícita f(x;y;z) = z3 - 3(z + x2 + 2y2) + eyz – 1 = 0Calcular las derivadas z’x, z’y y evaluarlas en el punto (x;y;z) = (0;0;1)

5. Sean los precios unitarios de venta de dos bienes 32 y 60 (en $ por kilogramos); y sea la función de costo: C(x;y) = 4x2 + 12y2 + 12xy + 20Donde x e y son las cantidades (en kilogramos) respectivas de cada bien. Encontrar los extremos de la función beneficio.

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)Examen: 1º parcialProf.: (turno mañana)

1. Dada la siguiente función, hallar las ecuaciones de las curvas de nivel y representar en el plano XY el mapa de contornos: z = f(x;y) = x2 + y – 5 para z = -5; -3; -1; 1; 3; 5.

2. Estudiar el siguiente límite: lím x 2 y . (x;y) (0;0) 3x4 + y2

3. Las demandas de dos bienes A y B son q1 y q2, y sus respectivos precios son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 y q2

= (p1) 2 . (p1)2 - (p2)2 (p1)2 + (p2)2

Calcular el ingreso total como función de los precios Calcular los ingresos marginales e interpretar sus signos para p1 =

1 y p2 = 2 Verificar el Teorema de Euler

4. Dada la función implícita f(x;y;z) = x3 - ln(z + x2 - y2) + yz – 2 = 0Calcular las derivadas z’x, z’y y evaluarlas en el punto (x;y;z) = (1;1;1)

5. Sean los precios unitarios de venta de dos bienes 15 y 8 (en $ por kilogramos); y sea la función de costo: C(x;y) = 3x2 + 3xy + y2 + 10Donde x e y son las cantidades (en kilogramos) respectivas de cada bien. Encontrar los extremos de la función beneficio.

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)Examen: 1º parcialProf.: (turno mañana)

1. Hallar el dominio de la siguiente función y graficarlo: f(x;y) = ln(y) .

(x2 + y2 -16)

x 3 – 2x 2 y + xy 2 si x2 – xy 02. Estudiar la continuidad en (0:0) de la función: f(x;y) = x2 – xy

-1 si x2 – xy = 0

Y en caso de ser discontinua clasificar su tipo3. Las demandas de dos bienes A y B son q1 y q2, y sus respectivos precios

son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 y q2 = (p1) 2 - (p 2) 2

p1 - 2p2 p1 + 2p2

Calcular las demandas marginales cruzadas (entre bienes) correspondientes

A partir de ellas clasificar a dichos bienes (uno en relación al otro) Calcular la función de ingreso y estudiar homogeneidad

4. Dada la función compuestaW = f(u;v) = u2(u – 3v) / u = g(x;y) = e (x2 – 4y2), v = h (x;y) = ln2

[(x/y) – 1]Calcular las derivadas w’x, w’y y evaluarlas en el punto (y;z) = (2;1)

5. Dada la función de costo C(x;y) = 8x2 + y3 – 32x – 6y2 – 36y + 200Donde x e y son las cantidades de dos bienes (en cientos de unidades). Analizar la existencia de extremos

Fecha: 14/10/08 (= 9/10/07)Examen: 1º parcialProf.: (turno mañana)

1. Hallar el dominio de la siguiente función y graficarlo: f(x;y) = x . ln(x2

+ y2 – 25)

x 3 – 2xy + x 2 y – 2y 2 si x + y 02. Estudiar la continuidad en (0:0) de la función: f(x;y) = x + y

1 si x + y = 0

Y en caso de ser discontinua clasificar su tipo3. Las demandas de dos bienes I y II son q1 y q2, y sus respectivos precios

son p1 y p2. Las funciones que los relacionan son: q1 = p1p2 + (p2) 2 y q2 = 2(p1) 2 - (p 2) 2

p1 p1 + p2

Calcular las demandas marginales cruzadas (entre bienes) correspondientes

A partir de ellas clasificar a dichos bienes (uno en relación al otro) Calcular la función de ingreso y estudiar homogeneidad

4. Dada la función compuestaz = f(x;y) = x ln(x + 2y) / x = g(u;v) = (u2 – v2) , x = h(u;v) = sen2 (v/u)

Calcular las derivadas z’u, z’v y evaluarlas en el punto (u;v) = (1;0)

5. Dada la función de costo C(x;y) = y4 + x3 – 4y – 3x2 – 9x + 100Donde x e y son las cantidades de dos bienes (en cientos de unidades). Analizar la existencia de extremos

Fecha: 25/04/08Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Usando L unidades del insumo mano de obra y K unidades del insumo capital, una empresa produce un artículo, cuyo costo total T (en millones

de dólares) está dado por T(L,K) = 40 – 5K – 3L – 2KL + 1,5K2 + L 2. Determinar: a) la cantidad de cada insumo para minimizar el costo; b) cuál es el costo mínimo?

2. Si f(x,y) = 2x + y, se pide determinar: a) dominio e imagen de la función; b) graficar: las curvas de nivel; c) graficar el dominio; d) graficar la función.

3. Trazar las curvas de nivel de f(x,y) = 2x2 – y. Hallar el dominio y graficarlo.

4. Decir si es V o F la siguiente igualdad: lím (x;y) (0;0) x + y . = 0. Estudiar la continuidad de

(y + x2)f en el punto (0,0). Si fuese discontinua, ¿es salvable?

Fecha: 6/10/06Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Un agricultor tiene la siguiente función de producción: P = 110x – 3x2 – 2xy – 2y2 + 140y, donde x es el número de quintales de trigo e y son los quintales de maíz. Hallar: a) los puntos críticos; b) las cantidades que deben producirse de cada cultivo para que la producción se máxima; c) determinar el valor máximo de la producción.

2. Dada la función z = (2x – y), se pide hallar: a) Domf; b) representar gráficamente el Domf; c) las curvas de nivel; d) lím (x,y) (3,2) z.

3. Una empresa vende todas las unidades que produce a $ 4 cada una. El costo total C de la empresa pro producir x unidades está dado en u$s por: C = 50 + 1,3x + 0,001x2. Se pide hallar: a) la función de utilidad G(x); b) el volumen de producción de manera que la utilidad G sea máxima; c) el valor de la utilidad G máxima.

Fecha: 5/5/06Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Calcular y probar por definición: lím (x,y) (1,3) 2x + 5y + xy2. Analizar si la siguiente función es continua en (0,0), en caso de no serlo

clasificar la discontinuidad. f(x,y) = 2x 2 – 3xy x2 + y

3. Los costos de una empresa están dados por: C(x,y) = 2x2 + 4y2 – 2xyDonde x e y son los costos de fabricar ciertos productos. Hallar los costos de dichos productos para minimizar los costos totales si se quiere que 2x + 2y = 32

4. Dada la función de producción f(x,y) = 3xy + 3x2 + 2y2 hallar las productividades marginales para x = 2 e y = 3 e interpretar los resultados.

5. Dada la función de utilidad U(x,y) = 2xy2

Determinar el grado de homogeneidad e interpretar los rendimientos a escala.

Verificar que se cumple el Teorema de Euler. Hallar la tasa marginal de sustitución de x por y en (3,2)

6. Calcular la derivada parcial respecto de y de f(x,y) = 3yx + (3y2 + 2x2y)

Fecha: 5/5/06Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Analizar si la siguiente función es continua en (0,0), en caso de no serlo clasificar la discontinuidad. f(x,y) = x 2 – 3xy 2

x2 + y3

2. Calcular y probar por definición: lím (x,y) (2,1) 3x + 2y + xy3. Los costos de una empresa están dados por: C(x,y) = x2 + 2y2 – xy

Donde x e y son los costos de fabricar ciertos productos. Hallar los costos de dichos productos para minimizar los costos totales si se quiere que x + y = 16

4. Dada la función de producción P(x,y) = 5xy + 2x2 + 2y2 hallar las productividades marginales para x = 1 e y = 2 e interpretar los resultados.

5. Dada la función de utilidad U(x,y) = 3x2y Determinar el grado de homogeneidad e interpretar los

rendimientos a escala. Verificar que se cumple el Teorema de Euler. Hallar la tasa marginal de sustitución de x por y en (2,3)

6. Calcular la derivada parcial respecto de y de f(x,y) = (x2 + 3x2y3) – 5xy

Fecha: 7/10/05Examen: 1º parcialProf.: Cassiba/Martínez

1. Hallar el dominio de la siguiente función, expresarlo como subconjunto de 2, representarlo en el plano y en el espacio: f(x,y) = (x2 + y2 – 16) + ln (-x2 + y + 2)

2. La función de costos es la siguiente: C = ½ x2 – y + 1 ; donde x e y son las cantidades de dos insumos variables que intervienen en el proceso de fabricación.

Hallar las ecuaciones de los isocostos (curvas de nivel) correspondientes a C = 2, C = 4 y C = 5 respectivamente

Graficar el mapa de contornos correspondiente al ítem anterior3. La producción P en función de los insumos x e y está dada por: P(x;y) =

x2 – 4y2 + 5xy Hallar las cantidades x e y que maximizan la producción si se

considera la siguiente restricción: 2x + 3y = 74 Indicar la producción máxima

4x 4 y . si (x,y) (0,0)4. En la siguiente función: f(x;y) = x3 + y6

1 si (x,y) = (0,0)5. Dada la siguiente función: f(x;y) = r2.ln(s/r)

Demostrar que es homogénea y verificar el Teorema de Euler

Obtener las elasticidades para r = 1 y s = 2. Interpretar los resultados obtenidos

Fecha: 7/10/05Examen: 1º parcialProf.: Cassiba/Martínez

1. Hallar el dominio de la siguiente función, expresarlo como subconjunto de 2, representarlo en el plano y en el espacio: f(x,y) = (-x2 + 4y2 + 16) + ln (-x + y + 3)

2. La función de producción es la siguiente: P = (x2/4) – (y2/9) ; donde x e y son las cantidades de dos insumos variables que intervienen en el proceso de fabricación.

a. Hallar las ecuaciones de las curvas de nivel correspondientes a P = 1, P = 4 y P = 25 respectivamente

b. Graficar el mapa de contornos correspondiente al ítem anterior3. Una fábrica produce dos artículos. La función de costo es C(x,y) = x2 +

2y2 – x y se quiere minimizar el costo. Determinar las cantidades que maximizan (?) el costo Indicar el valor del costo mínimo

2x 2 y . si (x,y) (0,0)4. En la siguiente función: f(x;y) = x4 + y2

1 si (x,y) = (0,0)Analizar:

Si es continua en (0,0) Si es discontinua indicar el tipo

5. Dos bienes A y B se producen en cantidades x e y, resultando la función de costo conjunto o total C(x,y) = (x2/y) / (x - y2)

Demostrar que es homogénea y verificar el Teorema de Euler Obtener las elasticidades para x = 4 e y = 1. Interpretar

económicamente los resultados obtenidos

Fecha: 20/5/05Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Sea la función de costos totales C(x,y) = 15x + 20y + 200 siendo x la cantidad de harina e y la de levadura que se utilizan para fabricar cierto producto. Hallar las curvas de isocostos (curvas de nivel) para C = 300 y C = 500 y graficarlas

2. Determinar si f(x,y) = (x + y)/(2x – y) es continua en (0,0). En caso de no serlo clasificar la discontinuidad

3. Calcular y probar por definición : lím (x,y) (1,-2) x2 – 3y + x4. La función de producción en función de las cantidades x e y es P(x,y) =

2x2 + 10xy – 8y2

Hallar las cantidades x e y que maximizan la producción si 4x + 6y = 148

5. Si f(x,y) = y2 + 6xy + 3x2 indica unidades producidas por x máquinas e y trabajadores

Hallar las productividades marginales

Evaluarlas en (7,14) e interpretar los resultados6. Calcular las derivadas parciales de f(x,y) = (x2 + 3xy3)2 + ln(5x2 + 3xy2)

Fecha: 20/5/05Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Un productor produce dos artículos x e y siendo la función de ingreso I(x,y) = 2x + 5y. Hallar las curvas de isoingresos (curvas de nivel) para I = 100 y I = 150 y graficarlas

2. Determinar si f(x,y) = (2x + y2)/(x + y2) es continua en (0,0). En caso de no serlo clasificar la discontinuidad

3. Calcular y probar por definición : lím (x,y) (1,-2) x2 – 3y + y4. La función de producción en función de las cantidades x e y de los

insumos A y B es P(x,y) = x2 + 5xy – 4y2

Hallar las cantidades x e y que maximizan la producción si 2x + 3y = 745. Si f(x,y) = x2 + 6xy + 3y2 indica unidades producidas por x máquinas e y

trabajadores Hallar las productividades marginales Evaluarlas en (15,8) e interpretar los resultados

6. Calcular las derivadas parciales de f(x,y) = ln(x2 + 3x2y3)

Fecha: 6/5/03Examen: 1º parcialProf.: turno mañana

1. Sea z = 5/(1 – x2 – y2) Determinar el dominio de la función y representarlo Determinar las curvas de nivel correspondientes a z = 1 y z = 5.

Representar2. Analizar la continuidad de la siguiente función

xy . si (x,y) (0,0)f(x;y) = 2x2 + y2

1 si (x,y) = (0,0)en los puntos (0,0) y (1,1). En caso de ser discontinua clasificar la

discontinuidad3. Un fabricante ha establecido que su función de producción es P =

ln(l3.k) + el.k, en donde l es el número de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la producción semanal. Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando l = 1 y k = 1. Interpretar los resultados

4. Encontrar una ecuación del plano tangente a la superficie f(x,y) = x4y + x2y en el punto (1,1,2)

5. Determinar la distancia más corta desde el punto (0,1,-2) hasta el plano x + 2y + z = 4

6. La producción mensual de una fábrica depende de dos insumos A y B de acuerdo con la siguiente ley: P(x,y) = 36x + 40y – 4x2 – 2xy – 8y2 . Donde x representa la cantidad del insumo A e y la del insumo B expresadas en

miles. ¿Qué cantidad de cada insumo deberá utilizarse para maximizar la producción? Calcule dicha producción.

Fecha: 6/5/03Examen: 1º parcialProf.: turno mañana

1. Sea z = 3/(x2 + y2 - 4) Determinar el dominio de la función y representarlo Determinar las curvas de nivel correspondientes a z = 1 y z = 3.

Representar2. Analizar la continuidad de la siguiente función

xy . si (x,y) (0,0)f(x;y) = 2x2 + 3y2

1 si (x,y) = (0,0)en los puntos (0,0) y (2,1). En caso de ser discontinua clasificar la

discontinuidad3. Un fabricante ha establecido que su función de producción es P =

3ln(l.k) + el.k, en donde l es el número de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la producción semanal. Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando l = 1 y k = 1. Interpretar los resultados

4. Encontrar una ecuación del plano tangente a la superficie f(x,y) = x4y + x2y en el punto (1,4,6)

5. Determinar la distancia más corta desde el punto (0,-1,2) hasta el plano x + 2y + z = 4

6. Los costos mensuales de una empresa de publicidad dependen de la cantidad de dinero invertida en la compra de insumos x (expresada en cientos), y del número de empleados mensuales y (expresados en cientos), de acuerdo con la siguiente ley: C(x,y) = 8/x + x/y + 20. ¿Cuánta plata deberá invertir y cuántos empleados deberá contratar por mes a fin de minimizar los costos?

Fecha: ?Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Demostrar que lím (x,y) (1,3) 5x + xy + 4y = 202. Analizar la continuidad de la siguiente función

2x - 9y si (x,y) (0,0)f(x;y) = 6x + 2y

1 si (x,y) = (0,0)3. Hallar la derivada parcial de la función f(x,y) = 2x4 – 4xy + y2 respecto

de y empleando la definición4. Un fabricante ha establecido que su función de producción es P = y/(x3

+ y3), en donde x es el número de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la producción semanal.

Hallar las funciones de productividad marginal Evaluarlas cuando x = 1 e y = 0. Interpretar los resultados

Analizar si es una función homogénea, en dicho caso indicar grado de homogeneidad

5. Calcular el incremento y el diferencial total de la siguiente función:f (x,y) = 2x2 – y3 – 1 en el punto (3,-2) siendo x = -0,01 y y = 0,03

6. Encontrar una ecuación del plano tangente a la superficie x3 + 2y2 + z4

= 10 en el punto (1,2,1)7. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa

desea distribuir la producción entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La función de costos totales está dada por :C (q1, q2) = 3q1

2 + q1q2 + 2q22

En donde q1 y q2 son el número de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. ¿Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos?

Fecha: ?Examen: 1º parcialProf.: ?

1. Demostrar que lím (x,y) (1,2) 3x + xy + 2y = 92. Analizar la continuidad de la siguiente función

3x + 2y si (x,y) (0,0)f(x;y) = 4x - 5y

4 si (x,y) = (0,0)3. Hallar la derivada parcial de la función f(x,y) = 5x2 – 4xy + y3 respecto

de x empleando la definición4. Un fabricante ha establecido que su función de producción es P = x/(x3

+ y3), en donde x es el número de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la producción semanal.

Hallar las funciones de productividad marginal Evaluarlas cuando x = 1 e y = 0. Interpretar los resultados Analizar si es una función homogénea, en dicho caso indicar grado

de homogeneidad5. Calcular el incremento y el diferencial total de la siguiente función:

f (x,y) = x2 + y3 – 3 en el punto (2,-1) siendo x = 0,01 y y = -0,026. Encontrar una ecuación del plano tangente y la ecuación de la recta

normal a la superficiex4 - 5y3 + 3z2 = 18 en el punto (1,-1,2)

7. Los costos mensuales de una agencia de viajes dependen de la cantidad de dinero invertida en publicidad x (expresada en miles), y la invertida en alojamiento y pasajes (expresada en miles), de acuerdo con la siguiente ley: C(x,y) = x2 + 2y2 – xy . Sujeta a la siguiente restricción presupuestaria g(x,y) = x + y – 16 = 0. ¿Cuánta plata deberá invertir en publicidad y alojamiento/pasajes por mes a fin de minimizar costos? Determinar dicho costo

Fecha: 24/11/09Examen: recup. 1º parcialProf.: ?

1. Dada P(x,y) = x2 – 5xy + 6y2 una función de producción. Determinar el grado de homogeinidad y la naturaleza de los rendimientos a escala y explicar lo que significa.

2. Determinar si existe el lím (x,y) (0,0) f(x,y) donde f(x,y) = (2x3y)/(x4 + y2)3. Calcular y probar por definición: lím (x,y) (3,1) 2x – 3y + x2

4. Una empresa tiene dos plantas para obtener un producto. El costo de producir x unidades una de las plantas e y unidades en la otra, está dado por:

C(x,y) = x2 + 2y2 + xy + 700Si la empresa tiene una orden de compra de 500 unidades

a. ¿Cuántas unidades debe producir en cada planta a fin de minimizar los costos?

b. ¿Cuál será aproximadamente el costo mínimo si la restricción incrementara en una unidad?

5. Hallar las derivadas parciales de f(x,y) = ln [x2/(x2 + y2)]

Segundo Parcial

Fecha: 12/11/13Examen: 2º parcialProf.: ?

Fecha: 17/6/11Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Resolver la siguiente ecuación matricial: A-T.(X - 2.B) = CT

1 0 1 3 0 -1 1 -1 0sabiendo que: A = 1 2 -1 B = 2 1 0 C = 0 -2 1

0 1 2 4 0 1 1 2 02. Resolver y clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + y – 2.w = -1x + y – z + w = 3y + 3.z + 3.w = 2

3. Un fabricante produce tres modelos X, Y y W de un determinado artículo; cada uno de los cuales requiere en su construcción de 6 insumos I1, I2, I3, I4 y I5. El requerimiento en cuanto al número de unidades de cada insumo para cada modelo está resumido en el cuadro siguiente

X Y WI1

I2

I3

I4

I5

23105

11231

54011

El costo de cada unidad de materia prima está dado por la siguiente matriz:CU = [10 20 15 30 25] (donde cada columna corresponde al correspondiente insumo). Calcular el costo de cada modelo de artículo.

2 Si esta fábrica tiene una demanda D = 5 de los modelos X, Y y

W, respectivamente,3

calcular el costo de la producción total. Suponiendo que el sistema de precios para X. Y y W está representado

por la matriz de precios que se da a continuación, calcular el beneficio por unidad de modelo y el beneficio total de acuerdo con la demanda establecida. 400

P = 375300

En cada caso resolver usando matrices y justificar las expresiones.4. La bodega SENETINER de Lujan de Cuyo en Mendoza, elabora 2 tipos

de vinos varietales: el INSIGNIA que comercializa a $90 la botella y el TERRAZAS que lo hace a $ 105 la botella. Cada uno de estos vinos lleva una cuidadosa terminación: 3 horas de lacrado, 12 horas de etiquetado y 9 horas de embalaje, cada 1000 botellas, el INSIGNIA y, 8 horas, 6 horas y 9 horas respectivamente el TERRAZAS. Para responder a cierto pedido se dispone de 48 horas de lacrado, 42 horas de etiquetado y 36 horas de embalaje. Plantear el modelo de PPL que maximice el beneficio. Indicar gráficamente la región viable. Resolver aplicando el método SIMPLEX y de ahí responder las

siguientes cuestiones:

¿Qué cantidad de botellas resulta óptimo producir? ¿Qué beneficio se obtendría en tal caso? ¿Qué disponibilidad en horas se puede reducir sin afectar la

producción y en qué medida? ¿Aumentaría la producción y el beneficio si se duplicasen las

horas disponibles para el embalaje? Si así fuera, ¿en cuánto? Entre qué valores puede variar el beneficio de cada botella

de TERRAZAS manteniendo la política de producción?

Fecha: 19/11/10Examen: 2º parcialProf.: (turno mañana)

1. Resolver la siguiente ecuación matricial: A.(X - 2.BT) = C1 0 -1 2 0 3 1 -1 0

sabiendo que: A = 1 2 -1 B = 0 2 2 C = 0 -2 10 1 2 0 2 -2 1 2 0

2. Un fabricante produce tres modelos A, B y C de un determinado artículo. Cada uno de los cuales requiere en su construcción de 4 materias primas M1, M2, M3 y M4. El requerimiento en cuanto al número de unidades de cada materia prima para cada modelo está resumido en el cuadro siguiente

El costo de cada unidad de materia prima está dado por la siguiente matriz:

C = {1 2 1,5 3} (donde cada columna se corresponde con materia prima).

Calcular el costo de cada modelo de artículo. Si esta fábrica tiene una demanda D = {2 5 3} de los modelos A, B y

C, respectivamente, calcular el costo de la producción total. Suponiendo que el sistema de precios para A, B y C está

representado por la matriz de precios que se da a continuación, calcular el beneficio por unidad de modelo y el beneficio total de acuerdo con la demanda establecida. 200

P = 125100

En cada caso resolver usando matrices y justificar las expresiones.3. Hallar la solución y clasificar al sistema de ecuaciones lineales x-2y+3z-

w=02x+2z+3w=3x+3y-4w=-1

4. La química PINTATODO, elabora 2 tipos de lacas: la clásica que comercializa a $18 el tarro de 1 litro y la profesional que lo hace a $21 el tarro de 1 litro a igual costo de materiales. Cada uno de estos barnices lleva elaboración en tres pasos: 3 horas de preparado de componentes, 12 horas de mezclado y refinado y 9 horas de embalaje, cada 1000 latas, la clásica y, 8 horas, 6 horas y 9 horas respectivamente la profesional.

M1 M2 M3 M4

A 2 3 1 0B 1 1 2 3C 5 0 0 1

Para responder a cierto pedido se dispone de 48 horas de preparado, 42 horas de mezclado y refinado y 36 horas de embalaje.

¿Qué cantidad de latas de ambas lacas resulta óptimo producir? ¿Qué beneficio se obtendría en tal caso?

Fecha: 19/11/10Examen: 2º parcialProf.: (turno mañana)

1. Resolver la siguiente ecuación matricial: (X + 3.B).A = CT

1 0 1 3 0 -1 1 -1 0sabiendo que: A = 1 2 -1 B = 2 1 0 C = 0 -2 1

0 1 2 4 0 1 1 2 0

2. Un fabricante produce tres modelos X, Y y W de un determinado artículo. Cada uno de los cuales requiere en su construcción de 5 insumos I1, I2, I3, I4 e I5. El requerimiento en cuanto al número de unidades de cada insumo para cada modelo está resumido en el cuadro siguiente

El costo de cada unidad de materia prima está dado por la siguiente matriz: 10

20CU = 15

30(donde cada fila se corresponde con un insumo).25 Calcular el costo de cada modelo de artículo.

2 Si esta fábrica tiene una demanda de los modelos X, Y y W

respectivamente D= 5 calcular el costo de la producción total. 3

Suponiendo que el sistema de precios para X, Y y W está representado por la matriz de precios que se da a continuación, calcular el beneficio por unidad de modelo y el beneficio total de acuerdo con la demanda establecida. 400

P = 375300

En cada caso resolver usando matrices y justificar las expresiones.3. Hallar la solución y clasificar al sistema de ecuaciones lineales

x+3y+z=0-3x+7y+4z=125y+2z=3-x+2y+z=3

La empresa farmacéutica BELLPONS SA, elabora 2 tipos de cremas, cuyos beneficios son de $3 y $4 para el tipo I y para el tipo II, respectivamente. Se requiere de 8 horas en lo referente al preparado de

I1 I2 I3 I4 I5

X 2 3 1 0 5Y 1 1 2 3 1W 5 4 0 1 1

los componentes, 2 horas de mezclado y 6 horas de envasado, para la crema tipo I. En cuanto al tipo II, requiere 4 horas, 6 horas y 5 horas respectivamente. Todo esto cada mil unidades. Se dispone de un máximo para estas actividades de 160 horas de preparado, 60 horas de mezclado y 150 horas de envasado.

¿Qué cantidad de unidades de potes de cremas tipo I y II conviene producir?

¿Qué beneficio se obtendría en tal caso?

Fecha: 2º cuat. ‘10Examen: 2º parcialProf.: ?

PRÁCTICA:1. Una empresa que comercializa celulares y calculadora estudia el costo

conjunto mediante la función C = 2x2 + 3y2 + xy – 22x +120, donde x representa la cantidad de celulares e y la de calculadoras. Si se debe respetar la siguiente restricción: x – y = 2.

Determinar la cantidad de celulares y de calculadoras que general el mínimo costo.

Indicar el valor del costo máximo.2. Dada la ecuación diferencial: y’ = y2 + y

Indicar el orden y el grado. Hallar la solución general. Encontrar la solución particular para el punto C = (0;1)

3. La producción de una empresa está expresada por la función:P = 3√(2x2 + xy + y2)

Demostrar que es homogénea y verificar el teorema de Euler. Si se desea aumentar un 20% la producción ¿en qué porcentaje se

deben aumentar las variables?4. Dada la expresión e2xyz + 4xy + z2 = 10

Hallar las derivadas parciales Zx y Zy (aplicar derivadas de funciones implícitas).

Determinar los de las derivadas parciales en el punto (0;2;3). Interpretar económicamente cada resultado como si Z fuera una función de beneficio.

TEORÍA:1. Dar la definición de las derivadas parciales y la interpretación

geométrica de cada una.2. Si Z = f(x;y) y a su vez x = g(t) e y = h(t) Demostrar que Z t = Zxxt +

Zyyt

Fecha: 2º cuat. ‘10Examen: 2º parcialProf.: ?

PRÁCTICA:1. Las funciones de demanda de x carteras y de y zapatos son: x = 7 –

p + q e y = 6 + p – 2q, donde p es el precio de cada cartera y q el de

cada par de zapatos. Los costos unitarios de producción de ellos son de 3 y 2 dólares respectivamente. Hallar las cantidades de carteras y de zapatos, con sus precios

respectivos, que generan un beneficio máximo. Determinar el beneficio máximo.

2. Dada la función de producción P = 40C0,6T0,4 donde C es el capital y T el trabajo Hallar las productividades marginales para C = 40y y T = 80 e

interpretar económicamente los resultados obtenidos. Hallar las elasticidades parciales y dar la interpretación económica

correspondiente.3. Dada la ecuación diferencial: xy’ = x + y

Indicar el orden y el grado. Hallar la solución general y la particular para el punto B = (½;0)

4. Dada la función: Z = x2 + x/y siendo x = u.vy = u/v

Hallar las derivadas parciales Zu y Zv. Obtener los resultados para u = 2 y v = 1 e interpretar los

resultados económicamente considerando a Z como una función de Costo.

TEORÍA:1. Definir de funciones homogéneas y dar un ejemplo de aplicación

económica.2. Si F(x;y;z)=0 es una función implícita y z = f(x;y), demostrar que

zx = -(Fx /Fz ) y zy = -(Fy /Fz )

Fecha: 13/11/09Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:3x1 + 2x2 + x4 = 0 x1 + 2x2 + x3 = 16x1 + 8x2 + 3x3 + x4 = 3

2. Sean las matrices A y B 3x3. Hallar X 3x3 / AX + B = 2I si1 0 -1 2 0 3

A = 0 -1 1 ^ B = 0 2 20 0 1 0 2 -2

3. Dada la siguiente ecuación diferencial dy/dx = (2x + 1)/[2(y – 1)]a. Clasificar y resolver.b. Hallar una solución particular para x = -1 e y = 0

4. Un fabricante produce bicicletas y motos, las cuales deben procesarse a través de dos centrales de producción. La central I tiene un máximo de 120 horas disponibles y la central II tiene un máximo de 180 horas. La manufactura de una bicicleta requiere 6 horas en la central I y 3 en la II; la fabricación de una moto requiere 4 horas en la central I y 10 horas en la II. Si la utilidad por bicicleta es de $45 y por moto $55; determinar el número de bicicletas y motos que se deben fabricar para obtener la máxima utilidad, resuelva empleando el método gráfico. Calcule dicha utilidad.

5. Una economía hipotética de dos industrias A y B, está representada en la siguiente tabla:

A B DF PTA 4 4 4 12B 6 6 12 24VA 2 14 16PT 12 24 36

Hallar la matriz de producción X si la DF es 45 para A y 30 para B. Construir la tabla para la nueva producción.

Fecha: 13/11/09Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:3x1 + 2x2 + x4 = 0 x1 + 2x2 + x3 = 15x1 + 6x2 + 2x3 + x4 = 2

2. Sean las matrices A y B 3x3. Hallar X 3x3 / XB + A = I si2 3 -1 1 0 3

B = 1 2 1 ^ A = 0 1 1-1 -1 3 0 1 -1

3. Dada la siguiente ecuación diferencial dy/dx = (y + 3)/(x + 1)c. Clasificar y resolver.d. Hallar una solución particular para x = 2 e y = -2

4. Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos: A, B y C. Los requerimientos mínimos son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos marcas usuales de fertilizante en el mercado. La marca I cuesta $5 el kg y contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La marca II cuesta $20 el kg y contiene 2 unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántos kg de cada marca debe comprar el granjero cada semana para minimizar los costos y satisfacer los requerimientos nutritivos? Emplee el método gráfico.

5. Una economía hipotética de dos industrias A y B, está representada en la siguiente tabla:

A B DF PTA 2 3 3 8B 4 12 2 18VA 2 3 5PT 8 18 26

Hallar la matriz de producción X si la DF es 18 para A y 12 para B. Construir la tabla para la nueva producción.

Fecha: 1º cuat. ‘09Examen: 2º parcialProf.: Arrúa

PRÁCTICA:1. Una empresa que comercializa artefactos eléctricos estudia el

comportamiento de estufas eléctricas y de estufas a gas mediante la siguiente función beneficio: B = (x + y)/(x – y), donde x = p√q e y = qp2, siendo x la cantidad de estufas eléctricas producidas e y las que son a gas, y p y q sus precios respectivos.

Hallar los costos marginales Bp y Bq. Determinar los costos marginales cuando los precios de cada

estufa son de 80 y 144 pesos respectivamente e interpretar económicamente cada resultado.

2. Las funciones de demanda para zapatos de mujeres y de hombres en un mercado de competencia resultan: x = 36 – 3p y = 40 – 5q respectivamente, donde p es el precio de cada par de zapatos de mujer en dólares e y el de hombres. La función de costo conjunto está dado por: C = x2 + 2xy + 3y2, hallar: La función beneficio y la cantidad de pares de zapatos de mujer y de

hombre, y sus precios respectivos, que se deben comercializar para obtener un máximo beneficio.

Indicar el valor del máximo beneficio.3. Dada la ecuación diferencial: (x + x2)(1 + y2)dx – xydy = 0

Indicar el orden y el grado. Hallar la solución general y la particular para el punto Q = (3;0)

4. El costo conjunto de dos bienes que elabora una empresa está expresada por la función:C = √[(x + y)/(x – y)]

Comprobar que es homogénea, indicar el grado y verificar el teorema de Euler.

Si se desea reducir el costo un 25% ¿qué porcentaje deben variar las variables?

TEORÍA:1. Dar la definición de diferencial para funciones de dos variables y su

interpretación geométrica.2. Si F(x;y;z) = 0 es una función implícita y z = f(x;y), demostrar que zx = -

(Fx/Fz) y zy = -(Fy/Fz)

Fecha: 1º cuat. ‘09Examen: 2º parcialProf.: Arrúa

PRÁCTICA:1. Una empresa que comercializa artículos de librería y desea

estudiar el comportamiento de sus cuadernos y de sus lapiceras en el mercado. Las funciones de demandas de estos productos son: x = p – 5q e y = 5p – 10q, donde p es el precio de cada cuaderno y q el de cada lapicera y la restricción que se tiene es que la diferencia entre los precios de 18 pesos.

Determinar el precio que debe tener cada cuaderno y cada lapicera para obtener el máximo ingreso.

Indicar el valor del ingreso máximo.2. Dada la ecuación diferencial: y’ = y2 – 4y – 5

Indicar el orden y el grado.

Hallar la solución general. Encontrar la solución particular para el punto P = (0;1)

3. Una función de producción de Cobb-Douglas responde a la expresión P = 40C0.6T0.4 donde C representa el capital y T el trabajo. Se pide:

Calcular las productividades marginales respecto de C y de T para C = 100 y T = 50. Interpretar económicamente los resultados.

Determinar las elasticidades respecto de cada variable en los valores anteriores. Interpretar económicamente.

4. Un fabricante de indumentarias estima que el costo C de fabricar x unidades de pantalones e y unidades de sacos está dado por la siguiente función implícita:

ln(x2 + C2) – y/(x2 + C2) – 82/10 = 0 Hallar los costos marginales Cx y Cy

Determinar los costos marginales cuando se producen 12 camisas y 20 sacos e interpretar económicamente cada resultado.

TEORÍA:1. Dar la definición de las derivadas parciales y la interpretación

geométrica de cada una.2. Si Z = f(x;y) y a su vez x = g(t) e y = h(t) Demostrar que Z t = Zxxt +

Zyyt

Fecha: 19/06/09Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Hallar la matriz X que verifique que X . B = C’ siendo B = 3 5 y C = 1 3

-2 -4 5 82. Hallar el siguiente determinante:

2 -1 3 54 2 -3 1-2 5 6 24 5 6 2

3. Hallar el conjunto solución del siguiente sistema:x + y + z = 6x – y – z = -43x + y + z = 8

4. Una economía hipotética de dos industrias A y B está representada en la siguiente tabla:

Ind. A Ind. B Demanda final

Total

Ind AInd BOtros factoresTotal

927945

24241260

129

4560

Construir la correspondiente matriz de insumo-producto, si la demanda final cambia a 6 para la Ind. A y 3 para la Ind. B.

5. Un granjero quiere mezclar fertilizantes que proporcionen un mínimo de 15 unidades de potasa, 20 unidades de nitratos y 24 de fosfatos. La

marca M1 proporciona 3 unidades de potasa, 1 unidad de nitratos y 3 de fosfatos, su precio es de $ 120. La marca M2 proporciona 1 unidad de potasa, 5 unidades de nitratos y 2 de fosfatos, su precio es de $ 60. Hallar la proporción de fertilizante que minimiza el costo.

Fecha: 19/06/09Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Hallar el conjunto solución del siguiente sistema:2x + 2y + 2z = 12x – y – z = -43x + y + z = 8

2. Hallar la matriz X que verifique que X . B = C’ siendo B = 3 2 y C = 2 5

-2 -4 3 43. Hallar el siguiente determinante:

2 -1 3 54 2 -1 1-4 10 12 44 5 -1 2

4. Un fabricante de sillas fabrica dos modelos de juegos, A y B. El modelo A requiere 6 horas de preparación, 4 horas de montaje y 5 horas de terminación. En cambio el modelo B requiere 3 horas de preparación, 6 horas de montaje y 5 horas de terminación. Se dispone de 54 horas de preparación, 48 horas de montaje y 50 horas de terminación. Los beneficios que dejan cada modelo son $ 30 y $ 20. ¿Cuál es la producción que maximiza el beneficio?

5. Dada la matriz de insumo productoInd. A Ind. B Demanda

finalTotal

Ind AInd BOtros factoresTotal

404020100

4410660

1610

10060

Construir la matriz de insumo-producto cuando la demanda final cambia a 21 para la Ind. A y a 14 para la Ind. B.

Fecha: 20/06/08Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Hallar el conjunto solución del sistema de ecuaciones:x1 + 2x2 + x3 =13x1 + 2x2 + x4 =06x1 + 8x2 + 3x3 + x4 =3

2. Dado el siguiente sistema:3x + k.y =2(k+1)x + (k+5)y =4

Determinar los valores de k para los cuales el sistema: Sea compatible determinado (solución única). Sea compatible indeterminado (infinitas soluciones). Sea incompatible (ninguna solución).

3. Dada la ecuación diferencial: dy/dx = (2x + 1)/3y, clasificarla y resolverla.

4. Una economía de dos industrias A y B está representada por:

ABOtrosP. Total

A46212

B461424

D Final

41216

Producción total1224

Hallar la producción total si la demanda final cambia a 30 para A y a 15 para B.

Construir la tabla anterior con los nuevos valores hallados en el punto anterior.

5. Un fabricante produce dos tipos de productos, Tipo I y Tipo II. Durante el proceso de producción se usan tres máquinas, A, B y C. El modelo I requiere 2 hs en la máquina A, 4 hs en la B y 2 hs en la C. El modelo II necesita 4 hs en la máquina A, 2 hs en la B y 2 hs en la C. Las máquinas A y B disponen de 24 horas cada una para su empleo, mientras que la máquina C dispone de 18 horas. Si las utilidades para el modelo I y para el II son de $4 y $8 respectivamente, ¿qué cantidad de cada tipo se debe fabricar para maximizar las utilidades?

Fecha: 2º cuat. ‘07Examen: 2º parcialProf.: ?

PRÁCTICA:1. Un comerciante vende distintos tipos de gaseosas y quiere

particularmente estudiar el comportamiento de dos de ellas: la gaseosa sin azúcar y la común. Las funciones de demandas están dadas por: x = 26 – p e y = 10 – ¼ q, donde “x” representa la cantidad demandada de gaseosa sin azúcar e “y” la de común; y “p” y “q” son los precios correspondientes a cada una. La función de costo conjunto es: C(x;y) = x2 + 2xy + y2.

Hallar la función de ingreso total en términos de x e y. Determinar las gaseosas de un tipo y de otro, así como los precios

que maximicen el beneficio. Indicar el beneficio máximo.

2. Una empresa fabrica un producto que necesita dos tipos de insumos, la producción está expresada por la función: P(x;y) = x 2 + 5y 2

2x + yComprobar que es homogénea, indicar el grado y verificar el teorema de Euler.

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, obtener la solución general y la particular correspondiente. y’ = 8y hallar la solución particular para (0;2).

y’ + 4y = x hallar la solución particular para (1;0)4. Hallar las funciones derivadas parciales aplicando la definición de: k(r;s)

= (2r – s)TEORÍA:

1. Dar la definición y la interpretación geométrica de la derivada parcial, con respecto a “y” solamente, de la función z = f(x;y).

2. Explicar los pasos que se deben seguir para hallar los extremos de una función de tres variables con restricción.

3. ¿Qué indican las elasticidades parciales para una función de dos variables? Dar un ejemplo.

4. Explicar orden y grado de una ecuación diferencial. Ejemplificar.

Fecha: 2º cuat. ‘07Examen: 2º parcialProf.: ?

PRÁCTICA:1. Una empresa dedicada a la reparación de dos modelos de automóviles

analiza sus costos mediante la función: C(x;y) = 3y2 + 2x2 + xy – 22x + 5, donde “x” representa la cantidad de automóviles del modelo A e “y” la cantidad del modelo B. Determinar cuántos automóviles de un modelo y de otro debe reparar la empresa para obtener el mínimo costo posible, sabiendo que se debe respetar la siguiente restricción: x – y = 2. Indicar el costo mínimo.

2. Una empresa fabrica un producto que necesita dos tipos de insumos, la demanda de este producto está expresada por la función: D(p;q) = (8p + q2).

Hallar las derivadas parciales para p = 4 y q = 2 e interpretar los resultados obtenidos.

Obtener todas las derivadas parciales segundas y verificar el teorema de Schwarz.

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, obtener la solución general y la particular correspondiente. x2 + y2 – 4yy’ = 0 hallar la solución particular para (8;4). y’ + (1/x)y = ex hallar la solución particular para (1;0)

4. Hallar las funciones derivadas parciales aplicando la definición de: m(k;t) = k2/t.

TEORÍA:1. Indicar los pasos que se deben seguir para hallar los extremos de una

función de tres variables sin restricción.2. Explicar el teorema de Euler y dar un ejemplo.3. Explicar derivadas de funciones compuestas.4. Dar un ejemplo de una ecuación diferencial de variables separables y

resolverla.

Fecha: 22/06/07Examen: 2º parcialProf.: ?

1. a) Hallar el modelo exponencial y = Cekt que cumple para la población de la ciudad de Detroit, Michigan, si en 1990 tenía 3 millones de habitantes y en el 2000 había 2,73 millones (considerar t = 0 en 1990); b) calcular k; c) estimar cuantos habitantes serán en el 2010.

2. Dada la ecuación diferencial xy’ – 3y = 0, se pide: a)verificar que y = Cx3

es solución general; b) si la condición inicial es y = 2 en x = -3, hallar la solución particular; c) comprobar que la solución particular hallada es la correcta.

3. Dado 2x – 3y + 4z = 13 x + y + z =4 se pide: a) clasificar el sistema; b) hallar el

conjunto solución S;3x + 5y – z = -4

c) si -11 17 -10A-1 = 7 -14 0verificar que es la inversa de A; d) hallar de

nuevo S pero usando 2 -19 5

la inversa.

Fecha: 23/6/06Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Calcular el siguiente determinante:-1 4 2 0 1 6 -4 0 2 -2 1 -2 1 -1 0 1 0 5 -2 3-3 1 4 1 0

2. Hallar el o los valores de k para que la siguiente matriz no admita inversa:

k 1 -10 2 k4 0 -k

3. Hallar la matriz H que verifique H – A2 = B . A siendo1 0 -1 1 2 1

A = 2 2 2 B = 1 3 10 0 6 0 0 2

4. Hallar el conjunto solución de:2x – 3y = 2x + y – 2z = -4-5y + 4z = 10

5. Una empresa fabrica dos tipos de maquinarias A y B. La empresa tiene una sección de montaje y una de terminación. Cada máquina del tipo A necesita 3 hs de montaje y 3 hs en la sección terminación. Cada máquina del tipo B necesita 5 hs de montaje y 3 hs de terminación. La empresa tiene disponible 150 hs en montaje y 120 hs en la sección terminación. Si el beneficio para cada máquina del tipo A es de $ 50.000 y el beneficio para cada máquina del tipo B es de $ 60.000. ¿Cuántas unidades de cada tipo de maquinaria se debe fabricar para maximizar el beneficio?

6. Dada la matriz de insumo-producto :

A B C Demanda final

Total

Ind. A 80 100 480 140 800Ind. B 400 100 240 260 1000Ind. C 160 300 240 500 1200Otros factores

160 500 240

Total 800 1000

1200

Fecha: 1/7/05Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Una empresa fabrica dos productos los que deben procesarse en los departamentos 1 y 2. El producto A necesita de 3 hs por unidad de trabajo en el departamento 1 y 4 hs por unidad de trabajo en el departamento 2. El producto B necesita 2 hs por unidad de trabajo en el departamento 1 y 6 hs de trabajo en el departamento 2. El departamento 1 tiene disponible 120 hs y el departamento 2, 260 hs. La utilidad del producto A es de $5 por unidad y la del producto B es de $6 por unidad. ¿Cuántas unidades se debe fabricar de cada producto si se quiere maximizar la utilidad?

2. Calcular el determinante de A = 1 2 -3 4 3 -1 2 4 -2 -4 6 -8 0 3 -1 2

3. Dada la matriz de insumo producto, hallar el vector producción para cada industria si la demanda final cambia a 300 para A, 200 para B y 400 para C

A B C Demanda final

A 100 400 240 260B 100 80 480 140C 300 160 240 500Otros

500 160 240

Total 1000

800 1200

4. Hallar la solución, si la hay, del siguiente sistema de ecuaciones2x – y + z = 3x – 2y + z = 15x + 2y – 2z = 4

Fecha: 1/7/05Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Dada la matriz de insumo producto, calcular la nueva producción para cada industria si la demanda final cambia a 400 para A, 200 para B y 400 para C

A B C Demanda final

A 100 400 240 260B 100 80 480 140C 300 160 240 500Otros

500 160 240

Total 1000

800 1200

2. Hallar la solución, si la hay, del siguiente sistema de ecuaciones4x – 2y + 2z = 6x – 2y + z = 13x + y –z = 2

3. Una compañía quiere producir dos clases de recuerdos de viaje: del tipo A y del tipo B. Cada unidad tipo A producirá una ganancia de $1 mientras que una tipo B generará una ganancia de $1,20. Para fabricar un recuerdo tipo A se necesitan 2 minutos en la máquina I y 1 minuto en la máquina II. Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto en la máquina I y 3 minutos en la máquina II. Hay 180 minutos disponibles en la máquina I y 300 minutos disponibles en la máquina II para procesar el pedido. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia?

4. Calcular el determinante de A = 1 2 -3 4 3 -1 3 2 -2 2 3 3 1 3 -2 1

Fecha: 19/11/04Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Dada la T: R3 R3/T(1,0,0) = (7,-2,0); T(0,1,0) = (-2,6,-2); T(0,0,1) = (0,-2,5), se pide hallar: a) la matriz A asociada a la transformación; b) la matriz equivalente [A-I]; c) el polinomio característico y la ecuación característica; d) los autovalores y los autovectores; e) justificar si A es diagonizable o no y por qué y hallar la diagonal A si es que existe.

2. Dados los vectores de R3: (1,-1,-2) y (4,2,1), se pide hallar: a) el ángulo que forman los 2 vectores; b) un tercer vector perpendicular a los dos a la vez; c) decir si los 3 vectores forman base de R3 o no y por qué.

3. Dado el siguiente sistema x + y + z = 12x – y + 2z = -1-x + 2y + 3z = 2

Se pide: a) clasificar el sistema; b) hallar el conjunto solución S.

Fecha: 19/11/03Examen: 2º parcialProf.: turno noche

1. Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = q1 – 3.q2 + q1.q2 donde q1 y q2 representan las unidades producidas de cada producto por mes. Si la producción combinada es de 6 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad máxima.

2. Analizar si el siguiente sistema admite solución y resolverlow – x – y + 4z = 52w – 3x – 4y + 9z = 132w + x + 4y + 5z = 1

3. Un granjero compra fertilizantes con tres ingredientes nutritivos A, B y C. Las necesidades mínimas de dichos componentes son: 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado hay dos marcas de fertilizantes X y Z. El X se vende a $4 la bolsa y contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C; la marca Z se vende a $3 la bolsa y tiene 2 unidades de A, 2 de B y 2 de C. Si se desea minimizar los costos manteniendo el mínimo de ingredientes nutritivos, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

4. Una economía está caracterizada por las siguientes situaciones en millones de unidades monetarias de productos

USUARIOPRODUCT

OSA B C Demanda

finalProducción

totalA 100 400 240 260 1000B 100 80 480 140 800C 300 160 240 500 1200

Obtener el vector de producción si la demanda final cambia a:PRODUCTO

Demanda final

A 300B 200C 400

5. ¿Con cuántos ejes se observa el gráfico realizado en Excel y utilizando Solver para el caso de optimización de dos variables? ¿En qué celdas de Excel se definen usualmente, las restricciones a los problemas de programación lineal?En ambos casos describir el procedimiento utilizado en el laboratorio de computación

Fecha: 19/11/03Examen: 2º parcialProf.: turno noche

1. Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = 6q1.q2 –q2

2 – q12 donde q1 y q2 representan las

unidades producidas de cada producto por mes. Si la producción

combinada es de 8 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad máxima.

2. Analizar si el siguiente sistema admite solución y resolverlow + x + y + 4z = 0w + x + 5z = 02w + x + 3y + 4z = 0w – 3x + 2y – 9z = 0

3. Una compañía fabrica 2 tipos de artefactos, manual y eléctrico, cada uno requiere para su fabricación el uso de tres máquinas A, B y C. Un artefacto manual requiere el empleo de la máquina A durante 2 hs, de B durante 1 hs y de C durante 1 hs. Cada artefacto eléctrico requiere el uso de A durante 1 hs, de B durante 2 hs y de C durante 1 hs. Además, el número máximo de hs disponibles para el suso de las tres máquinas es de 180 hs para A, 160 hs para B y 100 hs para C. La utilidad que se obtiene con cada artefacto mensual es de $4 y $6 para los manuales y eléctricos respectivamente. ¿Cuántos artefactos se debe fabricar para maximizar la utilidad?

4. Una economía está caracterizada por las siguientes situaciones en millones de unidades monetarias de productos

USUARIOPRODUCT

OSA B C Demanda

finalProducción

totalA 18 30 45 15 108B 27 30 60 3 120C 54 40 60 26 180

Obtener el vector de producción si la demanda final cambia a:PRODUCTO

Demanda final

A 50B 40C 30

5. ¿Con cuántos ejes se observa el gráfico realizado en Excel y utilizando Solver para el caso de optimización de dos variables? ¿En qué celdas de Excel se definen usualmente, las restricciones a los problemas de programación lineal?En ambos casos describir el procedimiento utilizado en el laboratorio de computación

Fecha: 21/11/03Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Una empresa produce los productos A, B y C en 3 máquinas. El producto A requiere de 3 hs en la máquina I, 1 hs en la máquina II y 2 horas en la máquina III, el B requiere de 1, 2 y 1 hs respectivamente en cada máquina, y el producto C requiere de 2, 4 y 1 hs respectivamente, en cada máquina. Si la máquina I dispone de 600 hs, la máquina II de 900 hs y la máquina III de 400 hs, ¿cuántas unidades de cada producto deberían producirse con el total de horas disponibles por cada máquina? Emplear el método matricial en la resolución del sistema

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones linealesx + 2y + 5z = -3x + y + 3z = -1x – y – z = 3

3. Hallar el o los valores de x R que verifican la igualdadx+1 0 0 x-1 0-3 x-1 0 = 1 1 2 4 x

4. Sea T : R3 R3 / T (x,y,z) = (3x, y, z + x), se pide: Verificar que es una transformación lineal Hallar la matriz asociada a la transformación respecto de las bases

canónicas Hallar T (1,2,-1) mediante la matriz de transformación

5. Hallar los autovalores y autovectores de la siguiente matriz4 3

A = 3 -46. Analizar si la siguiente matriz es diagonizable. En caso afirmativo halle

su forma diagonal2 0 0

A = 3 2 01 2 2

Fecha: 21/11/03Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Una empresa produce los productos A, B y C en 3 máquinas. El producto A requiere de 3 hs en la máquina I, 1 hs en la máquina II y 2 horas en la máquina III, el B requiere de 1, 2 y 1 hs respectivamente en cada máquina, y el producto C requiere de 2, 4 y 1 hs respectivamente, en cada máquina. Si la máquina I dispone de 400 hs, la máquina II de 400 hs y la máquina III de 300 hs, ¿cuántas unidades de cada producto deberían producirse con el total de horas disponibles por cada máquina? Emplear el método matricial en la resolución del sistema

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones linealesx - 2y + z = 02x - y + 5z = 0x + y + 4z = 0

3. Hallar el o los valores de x R que verifican la igualdad

3 3 2 2x 3 0 x-2 1 = 0 0 x+2 3 x-1

4. Sea T : R3 R3 / T (x,y) = (2x, y, y + x), se pide: Verificar que es una transformación lineal Hallar la matriz asociada a la transformación respecto de las bases

canónicas Hallar T (2,3) mediante la matriz de transformación

5. Hallar los autovalores y autovectores de la siguiente matriz

-3 2A = 1 -2

6. Analizar si la siguiente matriz es diagonizable. En caso afirmativo halle su forma diagonal

2 0 0A = 0 3 4

0 0 2

Fecha: 19/11/03Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Una economía hipotética de dos industrias A y B está representada en la siguiente matriz en una unidad monetaria determinada

Industria A

Industria B

Demanda final

Producción total

Industria A

40 44 16 100

Industria B

40 0 15 55

Construir la matriz de insumo-producto correspondiente al próximo período en la que la demanda final es de 21

142. El costo de producción C en función de las cantidades producidas x e y

de dos tipos de artículos está dado por C(x,y) = 3x2 + 4y2 – xy Hallar las cantidades x e y que minimizan el costo si se considera la

siguiente restricción 2x + y = 21 Indicar el costo mínimo

3. Un fabricante de sillas fabrica dos modelos de juegos, A y B. El modelo A requiere 6 hs de preparación, 4 hs de montaje y 5 hs de terminación. En cambio el modelo B necesita 3 hs de preparación, 6 hs de montaje y 5 hs de terminación. Se dispone de 54 hs de preparación, 48 hs de montaje y 50 hs de terminación. Los beneficios que dejan cada modelo son $30 y $20 respectivamente. ¿Cuántas sillas de cada modelo deben producirse para obtener el máximo beneficio? Indicar cuál es el beneficio máximo

4. Resolver el siguiente sistema aplicando el método de Gauss-Jordan:2x1 + x2 – x3 = 123x1 – 2x2 + 2x3 = -3-x1 + 3x2 – 3x3 = 15

Si tiene infinitas soluciones hallar la solución general y tres soluciones particulares distintas.

Fecha: 5/7/02Examen: 2º parcialProf.: ?

1. Halle el determinante de la siguiente matriz. Puede utilizar propiedades para facilitar el cálculo, de ser así explique en cada caso lo realmente efectuado

1 2 -3 43 -1 2 4-2 0 1 -80 3 -1 2

2. Hallar el conjunto solución del sistemax + y + 2z = 13x – 2y – 4z = -72x – y – 2z = -4

3. Verificar si el conjunto dado es linealmente independiente(-3,0,2), (4,1,-2.5), (-10,5,-4)

4. Maximizar la función objeto z = 3x + y sujeta a las restricciones4x + 2y 162x + 3y 12x 0y 0

5. Supóngase que la economía viene caracterizada porUSUARI

ODEMANDA

PRODUCTOS

A B FINAL TOTAL

A 240 500 460 1200B 360 200 940 1500

Determinar el vector de producción de dicha economía si la demanda final cambia de 460 a para la Industria A y de 940 a 1200 para la Industria B.

Fecha: 26/07/08Examen: recup. 2º parcialProf.: ?

1. Hallar el conjunto solución del sistema2x + 3y – 2z = 0x – 2y – 4z = -34x + 5y – z = 3

2. Dadas las siguientes matrices:-1 3 1 1 3

A = 2 1 1 B = 2 41 1 -1 -1 1

3. Hallar el siguiente determinante haciendo operaciones entre filas y/o columnas:

1 2 -4 2-2 1 3 -13 1 1 -3-4 1 2 1

4. Una empresa fabrica dos productos P1 y P2. Cada unidad del producto P1 requiere de 1 hora en la máquina A, 2 horas en la máquina B y 1 hora de terminado. Cada unidad del producto P2 requiere de 1 hora en la máquina A, 1 hora en la máquina B y 3 horas de terminado. Las horas de trabajo disponibles son para la máquina A 40 horas, para la B 70 horas y para terminado se disponen de 90 horas. Si las utilidades de cada

unidad de P1 y de cada unidad de P2 son $4 y $6 respectivamente. ¿Cuántas unidades de cada producto deben fabricarse con el objeto de maximizar las utilidades? ¿Cuál será la utilidad máxima?

5. Hallar la solución general de la ecuación diferencial:dy/dx = y . (x2 + 3)

Final

Fecha: 2º cuat. ‘13Examen: FinalProf.: ?

Fecha: 3/08/10

Examen: FinalProf.: ?

1. Hallar y probar por definición lim 2x + y2 = (x;y)(-1;2)

2. Hallar los valores x, y, z para que la matriz A sea la matriz identidady + 2z 0 0

A = 0 x + 6z x – y + 3z 0 0 -3x + 4y – 7z

3. Un fabricante ha establecido que su función de producción es P = x/(x3

+ y3)En donde x es el número de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la producción semanal.

Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas para x = 1 e y = 0 e interpretar los resultados.

Analizar si P es una función homogénea, en caso afirmativo indicar el grado de homogeneidad.

4. Dada la función de ingreso:I(x;y) = 10x - 2x2 + 6xy + 20y – 2y2

Donde x e y indican los precios a los cuales se demandan dos productos distintos

Hallar los precios que maximicen el ingreso sabiendo que x + y = 20

¿Cuál será aproximadamente el ingreso máximo si la restricción se incrementara en una unidad?

5. Dada 0 3 2 Calcular 2 A = 0 2 2 A -1 . 3

1 1 2 2

Fecha: 3/08/10Examen: FinalProf.: (turno mañana)

1. Las demanda qA y qB de los productos A y B son, cada una, función de los precios pA y pB son las siguientes

qA = -1/2pA + 1/pB y qB = 10/(pA.pB) Calcular las demandas marginales cruzadas (entre bienes)

correspondientes. A partir de ellas clasificar a dichos bienes (uno en relación al otro).

justificar.1. Consideremos una empresa productora de dos bienes. Siendo la función

de ingreso: I=12q1+18q2 donde q1 representa al nivel de producción para el primer producto y q2 el del segundo por unidad de tiempo. Conociendo la función de costo total igual a C(q1;q2)=2q1

2+q1+q2+2q22

se pide determinar los precios y los niveles de producción en ambos productos que maximicen el beneficio, y el valor óptimo de éste.

2. Dada la ecuación diferencial ex2.y’ = x.y2 , se pide hallar:a.La solución general.b. La solución particular si y(0) = 1.

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x + 2y + w = 0x + 2y + z = 15x + 6y + 2z + w = 2

4. Dadas las matrices-1 -2a 1 a b 2 c 7 a

A = 0 0 2 B = 3 0 C = 0 1 D = -4 c+1

-2 1Halle los valores de “a”, “b” y “c” para que se verifique la siguiente

igualdad C2 = D-A.B5. Una fábrica elabora dos productos P1 y P2. En la elaboración de los

mismos se emplean tres insumos A, B y C. P1 requiere de las cantidades 1, 3 y 3 de ellos y P2 las cantidades 4, 4 y 2 respectivamente. Se sabe que hay una existencia de 280 unidades de A, 360 unidades de B y 300 unidades de C. La venta de esos productos genera una utilidad de 1 y 2 unidades monetarias. Diseñar un programa de fabricación para obtener el beneficio máximo, indicando el procedimiento gráfico-analítico, los resultados y su interpretación.

Fecha: 3/03/09Examen: FinalProf.: ?

1. Analizar la continuidad de la siguiente función. En caso de ser discontinua clasificar la discontinuidad

2 si (x,y) = (0,0)f (x,y) = 5x – 9y . si (x,y) (0,0)

3y + 5x2.

a) Hallar la derivada parcial de la función f(x.y) = 2x3 – 4xy + 5y2

respecto de y empleando la definición.b) Un fabricante ha establecido que su función de producción es P =

3.ln ((l.k)) + el.k en donde l es el número de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la producción semanal.

a. Hallar la productividad marginal de la mano de obra.b. Evaluarla cuando l = 1 y k = 1. Interpretar el resultado.

3. Para cubrir un pedido de 100 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la producción entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La función de costos totales está dada por: C(q1,q2) = 0,1q1

2 + 7q1 + 15q2 + 1000. En donde q1 y q2 son el número de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. ¿Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos?

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x2 + 1).dy – (xy + 3x).dx = 05.

a) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:- y + z + w = 2-2x + 3y + 2z = 6x – 2z – 2w = -4

b) Dadas las matrices1 0 0 0 -1 3 1 -2

A = 0 -1 0 B = 2 1 2 C = 0 1-1 1 1 -1 1

calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 3/03/08Examen: FinalProf.: ?

1. Demostrar que lim x2 + 2x – 5y = -7(x;y)(1;2)

2. Un fabricante ha establecido que su función de producción es P = 3(xy) + exy, en donde x es el número de horas de mano de obra e y es el capital que se requiere para la producción semanal.

Hallar la productividad marginal de la mano de obra. Evaluarla cuando x = 2 e y = 4. Interpretar el resultado.

3. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la producción entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La función de costos totales está dada por:C(x;y) = 3x2 + xy + 2y2

En donde x e y son el número de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. ¿Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos?

4. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + 2y – z = 2-2x + 3y + z = 6x – 2y – 2z = -4

5. Dadas las matrices 1 0 0 B = 0 -1 3 1 -2 A = 0 -1 0 2 1 4 C = 0 5

-1 1 1 -1 1Calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 19/02/08Examen: FinalProf.: Martínez

1. Analizar la continuidad de la siguiente función en (0;0). En caso de ser discontinua clasificar la discontinuidad

2 si (x,y) = (0,0)f (x,y) = 5x – 9y . si (x,y) (0,0)

6y + 10x2. Un fabricante ha establecido que su función de producción es P = 3.ln

((l.k)) + el.k en donde l es el número de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la producción semanal.c) Hallar la productividad marginal de la mano de obrad) Evaluarla cuando l = 1 y k = 1. Interpretar el resultado

3. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la producción entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La función de costos totales está dada por: C(q1,q2) = 3q1

2 + q1q2 + 2q22. En

donde q1 y q2 son el número de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2,

respectivamente. ¿Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos?

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x + xy).dy – (xy + y) = 05. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

- y + z + w = 2-2x + 3y + 2z = 6x – 2z – 2w = -4

6. Dadas las matrices1 0 0 0 -1 3 1 -2

A = 0 -1 0 B = 2 1 4 C = 0 5-1 1 1 -1 1

calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 19/02/08Examen: FinalProf.: Martínez

1.a) Demostrar que lím (x,y) (1,2) x2 + 2x - 5y = -7b) Analizar la continuidad de la siguiente función en (0;0). En caso de

ser discontinua clasificar la discontinuidad 2 si (x,y) = (0,0)

f (x,y) = 5x – 9y . si (x,y) (0,0)6y + 10x

2.a) Hallar la derivada parcial de la función f(x,y) = 4x4 – 2xy + 7y4

respecto de x empleando la definiciónb) Un fabricante ha establecido que su función de producción es P =

3.ln ((l.k)) + el.k en donde l es el número de horas de mano de obra y k es el capital que se requiere para la producción semanal

1) Hallar la productividad marginal de la mano de obra2) Evaluarla cuando l = 1 y k = 1. Interpretar el resultado

3. Para cubrir un pedido de 200 unidades de un producto, una empresa desea distribuir la producción entre dos de sus plantas, la 1 y la 2. La función de costos totales está dada por: C(q1,q2) = 3q1

2 + q1q2 + 2q22. En

donde q1 y q2 son el número de unidades fabricadas en las plantas 1 y 2, respectivamente. ¿Cómo se debe distribuir la producción con el objeto de minimizar los costos?

4. Resolver la siguiente ecuación diferencial: (x + xy).dy – (xy + y) = 05. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

- y + z + w = 2-2x + 3y + 2z = 6x – 2z – 2w = -4

6. Dadas las matrices1 0 0 0 -1 3 1 -2

A = 0 -1 0 B = 2 1 4 C = 0 5-1 1 1 -1 1

calcular 2A-1 + C.B

Fecha: 23/2/07Examen: FinalProf.: ?

1. Calcular y probar por definición lím (x,y) (2,3) 3x + 4y + x2 =2. Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta de

utilidad es U (x,y) = 6xy – y2 – x2 donde x e y representan la cantidad producida por semana. Si la producción combinada es de 8 unidades semanales, hallar la cantidad semanal de cada producto a fin de maximizar la utilidad.

3. La función costo de producción de una empresa está dada por C (x,y) = (xy) + 4x – 3y – 0,004x3 siendo x e y los insumos necesarios

Hallar las derivadas parciales Evaluar las derivadas parciales en (4,2) e interpretar los resultados

4. Hallar el conjunto solución-3x + 4y – 7z = 14x + 2y – 4z = 0-7x + 2y – 3z = 1

2 3 2 25. Dada A = 0 2 2 Calcular A-1 . 3 =

1 1 2 2

6. Dada la ecuación diferencial x (dy/dx) = y2 , hallar la solución general

Fecha: 25/2/05Examen: FinalProf.: Cassiba

1. Calcule límite doble, sucesivo, radial y parabólico de f (x). Analice continuidad de dicha función en el punto P = (0;0)

x 3 y si (x,y) (0,0)f(x;y) = x4 + y4

1 si (x,y) = (0,0)2. Halle la derivada total dz/dx, si : z = sen (u + 3v), u = t2.ln t, v = 2t+3

3. Una empresa productora de dos bienes tiene las siguientes funciones de demanda y de costo:q1 = 40 – 2p1 – p2, q2 = 35 – p1 – p2, C(q1,q2) = q1

2 + q22 + 10

¿Para qué precios se da un beneficio máximo? Determínelo ¿Qué cantidades en los artículos lo determinan?

4. Resolver y clasificar el siguiente sistema de ecuaciones linealesx – y + 2w = -1

x + y – z = 2y + 3z + 3w = 2

Fecha: 17/12/04Examen: FinalProf.: ?

1. La función de producción es la siguiente: P(x,y) = 1.5xy2 , donde x e y son las cantidades de capital y trabajo que intervienen en el proceso de fabricación. Hallar las ecuaciones de las isocuantas (curvas de nivel) correspondientes a una producción de P = 6 y P = 12 respectivamente.

2. Aplicando la definición del límite de una función de dos variables, hallar una > 0 tal que, para cualquier valor de > 0 se verifique la definición anterior: lím (x,y) (1,3) (2x + y – 3) = 2

Determinar , para = 0.1 Obtener el valor del límite para los pares de la forma (x;3x2)

3. Calcular la tasa marginal de sustitución de x por y, para: f(x,y) = 1.5x2 – 0.5yx + y2. Interpretar el resultado para el par (10,5).

4. Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = 3q1 + q2 + q1q2, donde q1 y q2 representan las unidades producidas de cada producto por mes. Si la producción combinada es de 6 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad máxima.

5. Un granjero compra fertilizantes con tres ingredientes nutritivos L, M y N. Las necesidades mínimas de dichos componentes son: 120 unidades de L, 400 de M y 160 de N. En el mercado hay dos marcas de fertilizantes X y Z. El X se vende a $4 la bolsa y contiene 3 unidades de L, 5 de M y 1 de N; la marca Z se vende a $3 la bolsa y tiene 2 unidades de L, 2 de M y 2 de N. Si se desea minimizar los costos manteniendo el mínimo de ingredientes nutritivos, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

Fecha: 11/3/04Examen: FinalProf.: ?

1. La función de producción es la siguiente: P(x,y) = 0.5xy2 , donde x e y son las cantidades de capital y trabajo que intervienen en el proceso de fabricación. Hallar las ecuaciones de las isocuantas (curvas de nivel) correspondientes a una producción de P = 2 y P = 8 respectivamente.

2. Aplicando la definición del límite de una función de dos variables, hallar una > 0 tal que, para cualquier valor de > 0 se verifique la definición anterior: lím (x,y) (1,3) (2x + y – 3) = 2

a. Determinar , para = 0.1b. Obtener el valor del límite para los pares de la forma (x;3x2)

3. Calcular la tasa marginal de sustitución de x por y, para: f(x,y) = 0.5x2 – yx + 2y2. Interpretar el resultado para el par (10,5).

4. Una fábrica elabora dos clases de productos. La función conjunta de utilidad es: U(q1,q2) = q1 - 3q2 + q1q2, donde q1 y q2 representan las unidades producidas de cada producto por mes. Si la producción combinada es de 6 unidades mensuales, hallar la cantidad mensual de cada producto que da por resultado una utilidad máxima.

5. Un granjero compra fertilizantes con tres ingredientes nutritivos A, B y C. Las necesidades mínimas de dichos componentes son: 60 unidades de A, 200 de B y 80 de C. En el mercado hay dos marcas de fertilizantes X y Z. El X se vende a $4 la bolsa y contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C; la marca Z se vende a $3 la bolsa y tiene 2 unidades de A, 2 de B y 2

de C. Si se desea minimizar los costos manteniendo el mínimo de ingredientes nutritivos, ¿cuántas bolsas de cada marca debe comprar?

Fecha: 11/3/04Examen: FinalProf.: ?

1. La función de producción es la siguiente: P(x,y) = 0.5xy2 , donde x e y son las cantidades de capital y trabajo que intervienen en el proceso de fabricación. Hallar las ecuaciones de las isocuantas (curvas de nivel) correspondientes a una producción de P = 2 y P = 8 respectivamente.

2. La función de costo de producción en una empresa viene dada por: C(x;y) = (xy)0.5 + 4x – 3y – (4/1000)4x3. Donde las variables independientes representan los insumos necesarios.

Obtener las derivadas parciales. Especializar cuando los insumos están dados por el par (4;25). Interpretar los valores obtenidos.

3. Hallar los extremos relativos de la función: z(x,y) = x3 + y2 – 3x. Y tipificar.

4. Sea la transformación lineal: f (x1;x2;x3) = (x1 + x3;x2 – x3). Obtener la matriz asociada a dicha transformación, respecto de las bases canónicas.

5. Analizar si admite solución el sistema:2x – y + z = 3x – 2y + z = 16x + 2y – 2z = 4

En el caso afirmativo obtener la solución.

Fecha: 16/5/03Examen: FinalProf.: ?

1. (Turno mañana) Sea la transformación lineal: f (x1,x2,x3) = (x1 + x3;x2 – x3). Obtener la matriz asociada a dicha transformación, respecto de las bases:[v] = (1;1;1);(1;2;0);(-3;0;0)[w] = (-1;0);(0;4)(Turno noche) Determinar el límite por definición para:f (x,y) = 3x – 2y para x 1 e y -2

2. Si f(x,y) = 2x2 + 3xy + y2 evaluar:a. El incremento de la función en el par (1,2)b. El incremento de la función en el mismo par real, pero el cambio

en x es 0,02 y el cambio en y es 0,01.c. La diferencia total en el citado par real.d. La diferencia total en el citado par real y los cambios definidos en

el inciso b.3. Realizar el estudio completo de la función: f(x,y) = -3x2 + 20xy – 2y2

4. Analizar si admite solución el sistema:2x – y + z = 3x – 2y + z = 1

6x + 2y – 2z = 4En el caso afirmativo obtener la solución.

Fecha: 16/5/03Examen: FinalProf.: ?

1. Demostrar que el límite de: f(x,y) = -x + 6y para x -2 e y 1 es 8. Si = 0.001, qué valor debería tomar ?

2. Determinar la derivada parcial con respecto a y de -5x0.5 – 3y, por medio de la definición. Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden para: f(x,y) = x3 – yx

3. Realizar el estudio completo de la función: f (x,y) = x2 + 2xy4. Analizar si admite solución el sistema, y en el caso afirmativo obtener la

solución:-2x – 5y + 2z = 58x + 3y + 14z = 196x – 2y + 16z = 24

5. Hallar la solución aplicando el método gráfico:4x + 12y 242x + 4y 102x + 3y 15

Obtener el máximo para z = -x + 3y