GABARITO

1Matemática C

Matemática C – Intensivo – V. 2

Exercícios

01) A =−

1 0 1

3 2 1

A = A = (aij)2 x 3, aij = j se i j

i j se i j

=− ≠

2

Aa a a

a a a=

→11 12 13

21 22 23

A =−

1 0 1

3 2 1

02) B

aij = log( )

2

2

i j

i j

se i j

se i j

+

+

=≠

A = a a

a a11 12

21 22

21 1 1 2

2 122 2

2

2

=

+ +

+ +

log

log → A =

1 8

8 2

At =1 8

8 2

03) x = 6 e y = 4.

A = 2 4

6 1x

x y

−+

; B =

2 4

6 6

10

1−

Se A = b, então: x = 6.x + y = 10 → y = 10 – 6 → y = 4

04) 286

A = (aij)20 x 20 ; aij = i3 + jB = (bij)20 x 20 ; bij = 2i + j2

C = A – Bt

a78 = 73 + 8 = 351bt

78 = b87 = 16 + 72 = 65c78 = 351 – 65 = 286

05) C =

6 3 9

3 5 10

0 0 7

−−

C = (cij)3 x 3; c = A + B + I3 I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

C = 1 0 7

2 1 3

0 0 1

−

+

4 3 2

1 5 7

0 0 5

−−

+

1 0 0

0 1 0

0 0 1

→ C =

6 3 9

3 5 10

0 0 7

−−

06)

380 300 250

100 200 200

10 80 50

300

180

300

Segundo semestre = ano todo – 1º semestre500 400 300

150 350 400

90 150 150

600

300

400

120 100 50

50

− 1150 200

80 70 100

300

120

100

=

380 300 250

100 200 200

10 80 50

300

180

300

07) D

a) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa.b) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa.c) Falsa. A multiplicação de matrizes não é comutativa.d) Verdadeira. A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes.e) Falsa.

GABARITO

2 Matemática C

08) A

A =

2 0 1

0 1 2

1 1 1

1 2 0

; B =

3

1

0

; C = A . B

A . B =

2 0 1

0 1 2

1 1 1

1 2 0

.

3

1

0

=

6 0 0

0 1 0

3 1 0

3 2 0

+ ++ ++ ++ +

→ C =

6

1

4

5

9) X = 1

34

014

−

A = 1 3

0 4

; A . X = I2

Seja X = a b

c d

.

1 3

0 4

.

a b

c d

=

1 0

0 1

4c = 0 → c = 0a + 3c = 1 → a = 1

4d = 1 → d = 14

b + 3d = 0 → b + 34

= 0 → b = –34

∴ X = 1

34

014

−

10) E

A = 12

x

y z

→ At =

12

y

x z

12

x

y z

.

12

y

x z

=

1 0

0 1

→

14 2

2

2

2 2

+ +

+ +

xy

xz

yxz y z

= 1 0

0 1

14

+ x2 →  x2 =  34

y2

+ xz →  z = –yx2

y2 + z2 = 1 →  y2 +  yx

2

24 = 1 →  y2 +  y2

434

. = 1 →  y2 + 3

4 

Logo, x2 + y2 =  34

 +  34

 = 32

.

11) A

X . 1 1

1 1

−−

 . Xt = (1)

Como a matriz resultante é 1 x 1, podemos afirmar que X é uma matriz 1 x 2 e Xt é uma matriz 2 x 1.

Sejam X = (a b) e Xt = a

b

, então:

(a b) . 1 1

1 1

−−

.

a

b

= (1) →

→ (a – b – a + b) . a

b

 = (a2 – ab – ab + b2) =

= [(a b)2] = (1)

Como a + b = 1, temos: a = 1 e b = 0 ou a = 0 e b = 1. Então, a . b = 0.12) C

A = log log log

log log log3 4 5

3 4 5

2 3 4

8 27 64

; B =

log log

log log

log log

2 2

3 3

4 4

3 9

4 16

5 25

log log log

log log log3 4 5

3 4 5

2 3 4

8 27 64

.

log log

log log

log log

2 2

3 3

4 4

3 9

4 16

5 25

=

log . log log . log log . log log . log log . log3 2 4 3 5 4 3 22

4 32 3 3 4 4 5 2 3 3+ + + 44 4 5

2 3 3 4 4 5

25 4

2

33

2 43

3 53

4 3

++ +

log . log

log . log log . log log . log log 22 3 3 4 4 532

24

33

25

34

2. log log . log log . log+ +

 = 

=  1 1 1 2 2 2

3 3 3 6 6 6

3 6

9 18

+ + + ++ + + +

=

∴ S = 3 + 6 + 9 + 18 = 36

GABARITO

3Matemática C

13) D

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 será verdadeira se e somente se A . B = B . A, ou seja, quando o produto A . B for comutativo com B . A.

14) Mais telefonou: Bruna = 24 ligações.Mais recebeu ligações: Adriana = 27 ligações.

1) Adriana: as ligações feitas são representadas pela primeira linha e as recebidas pela primeira coluna:

• Ligações feitas (LA) LA = 0 + 13 + 10 = 23 • Ligações recebidas (RA) RA = 0 + 18 + 9 = 27

2) Bruna: as ligações feitas são representadas pela segunda linha e as recebidas pela segunda coluna:

• Ligações feitas (LB) LB = 18 + 0 + 6 = 24 • Ligações recebidas (RB) RB = 13 + 0 + 12 = 25

2) Carla: as ligações feitas são representadas pela terceira linha e as recebidas pela terceira coluna:

• Ligações feitas (LC) LC = 9 + 12 + 0 = 21 • Ligações recebidas (RC) RC = 10 + 6 + 0 = 16

15)B

32

23

M N P+ =

9 4

6

6

6

M N P+=

9M + 4N = 6P

98

104

6

12 46

7 16

23 13. . .

x

y

y

x

+ +

=

9 4 42

9 4 4 78

x y

y x

+ =+ + =

( )

9 4 42 9

4 9 62 4

x y

x y

+ = −+ =

. ( )

. ( )

− − =−+ =

+81 36 378

16 36 248

x y

x y( )

–65x = –130x = 2; y = 6 ⇒ y – x = 4

16) A

17) A

18) São verdadeiras: a, c.

Determinantes

19) A2 – 2A é 0

A = 1 1

0 2

A2 = A . A = 1 1

0 2

.

1 1

0 2

=

1 0 1 2

0 0 0 4

+ ++ +

→

→ A2 = 1 3

0 4

2A = 2 2

0 4

A2 – 2A = 1 3

0 4

–

2 2

0 4

= −

1 1

0 0 →

→ −

1 1

0 0 = 0 – 0 = 0

Portanto, o determinante de A2 – 2A é 0.

20) C

A = log log

log logx x 3

3 9

9

1 3

; x ∈ R, x > 0 e x ≠ 1

n = log log

log logx x 3

3 9

9

1 3

; logx x . log9 3 – log3 1 . log3 9 →

n = 1 . 12

– 0 . 2 → n = 12

(1) 6x + 3 = 0 → x = – 12

(2) x+

12

2

= 0 → x = – 12

(3) 9x – 3 = 0 → 32x = 3 → 2x = 1 → x = 12

(4) x2 = 14

→ x = ± 12

(5) x2 = 12

→ x = ± 22

Portanto, a equação que tem n = 12

como única raiz é

a equação (3), e a alternativa correta é a c.

21) A

M = a b

c d

; a, b, c e d ∈ R

det M = ad – bc

PG(a, b, c, d) → ba

dc

q= = → bc = ad = q

det M = ad – bc = q – q → det M = 0

GABARITO

4 Matemática C

22) S = {–22}

x

xx

+

−=

−

1 2 3

1 5

3 1 2

4 1

2

–2(x + 1) + 30 + 3x – (9 – 4x + 5(x + 1)) = –8 – x–2x – 2 + 30 + 3x – 9 + 4x – 5x –5 = –8 – xx + 14 = –8x = –22∴ S = {–22}

23) B

D =

1 1 0

1

0

sec

sec

x tg x

tg x x

= sec2 x + 0 + 0 – 0 – tg2 x – sec

x = 0

Como tg2 x = sec2 x – 1, temos:sec2 x – (sec2 x – 1) – sec2 x = 0

sec = 1 → 1cosx

= 1 →  cos x = 1 →  x = 2π

24) a) 18 kgb) 11 anos

A =

1 1 1

3 0

0 223

−−x

p(x) = det Ap(x) = 0 + 6 + 0 – 0 + 2 + 2x → p(x) = 2x + 8

a) p(5) = 2 . 5 + 8 → p(5) = 18 kg

b) 30 = 2x + 8 → x = 222

→ x = 11 anos

25) 23

A =

a b c

d e f

g h i

→ det A = 23; B =

a d g

b e h

c f i

A matriz B é a trasposta da matriz A, portanto: det A = det B, ou seja, 23.

26) C

I. Falsa. O determinante pode ser nulo por outras propriedades.

II. Verdadeira. Por (P7).III. Verdadeira. ( 2 + 1) . ( 2 – 1) = 2 – 1 = 1.

27) 625

A = x y

z w

; det A = – 25

det A . At = det A . det At e det At = det A∴ det A . At = (–25) . (–25) → det A . det At = 625

28)

17

37

27

17−

A = 1 3

2 1−

det A = 1 3

2 1− = –1 – 6 = –7 ≠ 0; portanto, existe a in-

versa de A.

A–1 = a b

c d

1 3

2 1−

.

a b

c d

= 1 0

0 1

a + 3c = 0 a + 3c = 1

2a – c = 1 x (3) 6a – 3c = 0

7a = 1 a = –⇒ 1

7

Substituindo b, temos:17

+ 3c = 1 → 1 21

777

+=

c → 21c = 6 → c =

27

Substituindo b, temos:37

+ 3d = 0 → 3d = –37

→ d = –321

17

=−

∴ A–1 =

17

37

27

17−

29) D

16 . det A–1 = det 2AA matriz é de ordem 2. Logo:

16 . 1

det A = 22 . det A → (det A)2 = 4 →

→ det A = 2 ou det A = –2 (não convém)∴ det A = 2

GABARITO

5Matemática C

30) A

A = |aij|2 x 2, aij = i se i j

i se i j

2

3

=≠

det A . det A–1 = 1

A = 1 3

6 4

→ det A = 4 – 18 = –14

det A–1 = – 114

31) E

A =

1 2 3

0 1 1

1 0 2

−

; B–1 = 2A

det A =

1 2 3

0 1 1

1 0 2

−

= –2 + 2 + 0 + 3 – 0 – 0 → det A = 3

B–1 = 2A → det B–1 = det 2A; como o determinante é de ordem 3, det B–1 = 23 det A.

det B–1 = 8 . 3 → 1

det B = 24 → det B = 1

24

32) C

A = 1 . 1 – 2 . 2 ∴ A = – 3B = 2 . 1 – 3 . 0 ∴ B = 2C = 1 . 2 – 0 . 3 ∴ C = 2AB – C2 = (–3) . 2 – 22 ∴ AB – C2 = –10

33) 18

A = a a

a a11 12

21 22

a11 = 3 . 1 + 1 = 4; a12 = 2a21 = 3 . 2 + 1 = 7; a22 = 3 . 2 + 2 = 8

A = 4 2

7 8

→ At =

4 7

2 8

det At = 4 7

2 8

= 4 . 8 – 7 . 2 = 18

34) x = –45

e y = 35

35

45

x y

3545

x

y

= 1 0

0 1

925

1625

35

45

35

45

2 2

+ +

+ +

x y

x y x y =

1 0

0 1

⇒

35

45

0

12 2

x y

x y

+ =

+ =

3x + 4y = 0 ⇒ y = – 34

x

x2 + y2 = 1 ⇒ x2 + 9

16x2 = 1 ⇒ x2 =

1625

45

45

↗

↘

x

x

’

’’

=−

=

x = –45

⇒ y = 35

x = 45

⇒ y = –35

Como det A > 0, temos x = –45

e y = 35

.

35) C

2 4 8

1 1 1

1 0 2

x x x

−

= 0 ⇒

⇒ 2 . 2x – 4x + 8x – 2 . 4x = 0⇒ 2 . 2x – 3 . (2x)2 + (2x)3 = 0

Fazendo 2x = y, temos:

y1 = 0 ⇒ 2x = 0 (∃x ∈ R)y2 = 1 ⇒ 2x = 1 ⇒ x = 0y3 = 2 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1

y3 – 3y2 + 2y = 0

Portanto, os valores de x são inteiros consecutivos.

36) 18

Dividindo uma linha da matriz por 7, o determinante fica dividido por 7. Então, 42 : 7 = 6. Multiplicando uma coluna da matriz por 3, o determinante fica multiplicado por 3; portanto, det M = 6 . 3 = 18.

37) E

Como C e D são matrizes quadradas de ordem 3, pre-ciso multiplicar as três linhas de D por 3 para obter a matriz C. Logo, det C = 3 . 3 . 3 . det D ∴ det C = 27 det D.

38) A

a) det (M . N) = det M . det Nb) Se a matriz é de ordem 2, det (kA) = k2 det A.

c) 2 2

2 2

= 0, embora a matriz

2 2

2 2

não seja nula.

GABARITO

6 Matemática C

d) Se A = X = 1 1

1 1

, det A = 0 e A . X =

2 2

2 2

≠

0 0

0 0

e) Se A = 1 0

0 0

e B =

0 0

0 2

⇒ det A = 0,

det B = 0 e det (A + B) = 2.

39) A

A ∈ Mn; B ∈ Mn

det . .

det

det . det . det

det

A B A

B

A B A

B

− −( )=

1 1

=

det A–1 . det A = det(A–1 . A) = det In = 1

40)A

A ∈ Mn; B ∈ Mn

det (4A . B–1) = det (4A) . det (B–1) =

4n . det A . 1

det B =

4n ab.

Sistemas lineares

41) a) Não b) Sim

3 4 8

4 5 2 20

2 3 6

x y z

x y z

x y z

+ − =+ + =− + =

a) (0, 0, 0) 3 . 0 + 4 . 0 – 0 ≠ 8; portanto (0, 0, 0) não é solução

do sistema.b) (1, 2, 3)

3 1 4 2 3 8

4 1 5 2 2 3 20

1 2 2 3 3 6

. .

. . .

. .

+ − =+ + =− + =

= 20; (1, 2, 3) satisfaz as

equações; portanto, é solução do sistema.

42) m = 3 e n = 4

Dois sistemas são equivalentes quando possuem a mesma solução.

x y

x y

x x

− =+ =

= → =

2

4

2 6 3

Substituindo x, temos:3 – y = 2 → y = 1

Substituindo x e y no segundo sistema, temos:3 13

3 9 33 13

3 9 27

m n

m n xm n

m n

+ =− + =

→+ =

− + =

( )

10n = 40 → n = 4

Substituindo n, temos:3m + 4 = 13 → 3m = 9 → m = 3

43)a) Dois sistemas lineares são equivalentes se apresentam a mesma solução.

b) C1 = 32

e C2 = –12

S1 ≡ S2

a) Sistemas lineares equivalentes são sistemas que apre-sentam a mesma solução.

b) Resolvendo S1, temos:

x y

x y

x x

− =+ =

= → =

0

2

2 2 1

Substituindo x, temos: 1 – y = → y=1 Substituindo x e y em S2, temos:

C C

C C

C C

C C1 2

1 2

1 2

1 2

1 1 1

1 1 2

1

2

. .

. .

+ =− =

→+ =

− =� �������������

= → =2 3321 1C C

Substituindo C1, temos:

32

+ C2 = 1 → C2 = 1 – 32

→ C2 = –12

∴

C1 = –32

e C2 = –12

44) a) 7 embalagens de 30 g e 2 embalagens de 50 g.b) 330 g (6 de 50 g e 1 de 30 g).

x = quantidade de embalagens de 30 gy = quantidade de embalagens de 50 g

a) 10 15 100 3

30 50 310

30 45 300

30 50 31

x y x

x y

x y

x y

+ = −+ =

→− − =−

+ =( )

00

5 10 2

= → =y y

Substituindo y, temos:10x + 15 . 2 = 100 → 10x = 100 – 30 → x = 7

Portanto, a quantidade de cada tipo de embalagem é 7 de 30 g e 2 de 50 g.

b) 10x + 15y = 100 → em gramas: 30x + 50y

GABARITO

7Matemática C

Verificando os casos possíveis, temos:

10

7

4

1

0

2

4

6

300 g

210 + 100 = 310 g

120 + 200 = 320 g

30 + 300 = 330 g

x y Quantidade em gramas = 30x + 50y

Portanto, com R$100,00 uma pessoa pode comprar no máximo 330 g.

45) A

x y x

x yx y

x y

y y

− = −− =

→− + =−

− =

− = → =−

1 3

3 4 53 3 3

3 4 5

2

( )

22

Substituindo y, temos:x – (–2) = 1 → x + 2 = 1 → x = –1

Portanto, o sistema é SPD com solução S = {(–1, –2)}.

46)D

Sejam a, b e c o número de folhas que as impressoras A, B e C imprimem.

a b

a c

b c

+ =+ =+ =

150

160

170→ somando as duas primeiras equações, temos: 2 . a + b + c = 310.

Substituindo b + c = 170, teremos:

2a + 170 = 310 → 2a = 310 – 170 → a = 140

2 → a = 70

Em 1 hora, a impressora A imprime 70 folhas sozinha.

47) –6

f(x) = ax3 + bx2 + cx; f(1) = 0, f(–1) = 2, f(2) = 14f(1) = a + b + c = 0f(–1) = –a + b –c = 2f(2) = 8a + 4b + 2c = 14

Comos dados, temos a b c

a b c

a b c

+ + =− + − =+ − =

0

2

8 4 2 14

→ somando as duas primeiras equações, temos: 2b = 2 → b = 1. Então:

− + − =+ + =

→− − =+ =

→− −a c

a c

a c x

a ca c1 2

8 4 2 14

1 2

8 2 102 2( ) ==+ =

= → =

2

8 2 10

6 12 2

a c

a a

Substituindo a, temos:–2 – c = 1 → c = –3 ∴ f(x) = 2x3 + x2 – 3x e f(–2) = –16 + 4 + 6 = –6

GABARITO

8 Matemática C

De (II), temos: y2 . y x−

12

= 0 → y = 0 ou y = 12

x

Se y = 0, em (I) teremos: 2x . 20 = 34

→

→ 2x = 34

→

log 2x = log 34

→ x log2 2 = log2 3 – log2 4 →

→ x = log2 3 – 2

Se y = 12

x, teremos: 2x . 2x = 34

→ 22x = 34

→

→ log2 22x = log2 3 – log2 4 →

→ 2x = log2 3 – 2 →

x = log2 32

– 1

51) S = {(1, –2, 0)}

Determinando o sistema da equação matricial, temos:

6 8 4

7 5 3 3

2 9 4 16

x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =−+ + =−

D =

6 1 8

7 5 3

2 9 4

= 120 + 504 + 6 – 80 – 162 – 28 =

= 630 – 270 → D = 360

Dx =

4 1 8

3 5 3

16 9 4

−−

= 80 – 216 – 48 + 640 + 12 – 108 =

= 732 – 372 → Dx = 360

Dy =

6 4 8

7 3 3

2 16 4

−−

= –72 + 24 – 896 + 48 – 112 + 288 =

= 360 – 1080 → Dy = –720

Dz =

6 1 4

7 5 3

2 9 16

−−

= –480 – 6 + 252 – 40 + 162 +

+ 112 = 526 – 526 → Dz = 0

x = DD

x =360360

→ x = 1

y = D

Dy =−

720360

→ y = –2

z = DD

z =0

360 → z = 0

S = {(1, –2, 0)}

48) Amendoim: 250 gramas; castanha-de-caju: 125 gramas e castanha-do-pará: 125 gramas.

x = quantidade de amendoim em kgy = quantidade de castanha-de-caju em kgz = quantidade de castanha-do-pará em kg

a) Pelo enunciado, temos:x y z

x y z

y x z

x y z I

x

+ + =+ + == +

→+ + =+

0 5

5 20 16 5 75

3

0 5

5 2

,

,

, ( )

00 16 5 75

3 0 3

y z II

x y z x z y III

+ =− + = → + =

, ( )

( )

b) Substituindo (III) em (I), temos: 3y + y = 0,5 → 4y = 0,5 → y = 0,125

Substituindo y em (II) e (III), temos:

5 20 0 125 16 5 75

3 0 125

x z

x y

+ + =+ =

→. ( , ) ,

. ( , )

5 16 3 250

0 375 5x z

x z x+ =+ = −

→,

, ( )

5 16 3 250

5 5 1875

11 1375 0 125

x z

x z

z z

+ =− − =−

= → =

,

,

, ,

Substituindo z, temos:x + 0,125 + 0,125 = 0,5 → x = 0,250

Portanto, cada lata terá 250 gramas de amendoim, 125 gra-mas de castanha-de-caju e 125 gramas de castanha-do-pará.

49) A

De acordo com o enunciado, temos:4 6 6 2 50

4 2 3 21

2 3 3 24

A B C D I

A B C D II

A B C D III

+ + + =+ + + =+ + + =

( )

( )

( )

De (I) e (III), temos:4 6 6 2 50

2 3 3 24 2

A B C D

A B C D x

+ + + =+ + + = −

→ ( )

4 6 6 2 50

4 6 6 2 48

0 2

A B C D

A B C D

+ + + =− − − − =−

= (impossível)

50) E

2 434

12

03 2

x y

y xy

. =

− =

( )

( )

I

II

GABARITO

9Matemática C

52) Grupo I: 100 000, grupo II: 150 000 e grupo III: 50 000.

x = nº de pessoas do grupo Iy = nº de pessoas do grupo IIz = nº de pessoas do grupo III

De acordo com o enunciado, temos:

 x y z

x y z

x y z

+ + =+ + =+ + =

3 5 800 000

2 3 2 600 000

3 500 000

→ resolvendo o sistema, vem:

D =

1 3 5

2 2 2

3 1 1

= 2 + 18 + 10 – 30 – 6 – 2 → D = –8

Dx =

800 000 3 5

600 000 2 2

500 000 1 1

100 000

8 3 5

6 2 2

5 1 1

= =

= 100 000 . (16 + 30 + 30 – 50 – 16 – 18) → → Dx = –800 000

Dy =

1 800 000 5

2 600 000 2

3 500 000 1

100 000

1 8 5

2 6 2

3 5 1

= =

= 100 000 . (6 + 48 + 50 – 90 – 16 – 10) →→ Dy = –1 200 000

Dz =

1 3 800 000

2 2 600 000

3 1 500 000

100 000

1 3 8

2 2 6

3 1 5

= =

= 100 000 . (10 + 16 + 54 – 48 – 6 – 30) →Dz = – 400 000

x = DD

x =−−

800 0008

= 100 000

y = D

Dy =−

−1 200 000

8 = 150 000

z = DD

z =−−

400 0008

= 50 000

Então, grupo I = 100 000 pessoas, grupo II = 150 000 pessoas e grupo III = 50 000 pessoas.

53) B

log . log .2 4 1

2

m x n y

x y

( ) +( ) =+ =

o sistema será possível e determinado se D ≠ 0.log log2 4

1 1

m n ≠ 0 → log2 m – log4 n ≠ 0 →

→ log2 m ≠ loglog

2

2 4n

→ log2 m ≠ log2

2n →

→ 2log2 m ≠ log2 n → log2 m2 ≠ log2 n →

→ m2 ≠ n → m ≠ n

54) E

a b x a b y

a b x a b y

−( ) − +( ) =+( ) + −( ) =

1

1

D = a b a b

a b a b

− − +( )

+ − =

= a2 – ab + b2 + a2 + 2ab + b2 = 2 . (a2 + b2)

Se D = 0 → 2 . (a2 + b2) = 0 → a = b = 0, pois a e b são reais.

0 0 1

0 0 1

x y

x y

+ =+ =

→ O sistema é impossível.

Se D ≠ 0 → a2 + b2 ≠ 0 → o sistema será possível e determinado se a e b não forem simultaneamente nulos.

Dx = 1

1

− +( )

−a b

a b = a – b + a + b → Dx = 2a

Dy = a b

a b

−+

1

1 = a – b – a – b → Dy = –2b

x = DD

aa b

x =+

=2

2 2 2. ( )a

a b2 2+

x = D

Db

a by =

−+

=2

2 2 2. ( )−+b

a b2 2

x2 + y2 = a

a b

b

a b a ba b

2

2 2 2

2

2 2 2 2 22 2 11

+( )+

+( )=

+= +( )−

Portanto: I. (Falsa); II. (Verdadeira); III. (Verdadeira).

55) C

x y

x my

x y

− =+ =− =

2 7

2 0

3 6

( )

( )

( )

I

II

III

Resolvendo (I) e (II), temos:

x y x

x y

x y

x y

y

− = −− =

→− + =−

− =

=−

2 7 3

3 6

3 6 21

3 6

5 15

( )

→→ =−y 3

Substituindo y, temos:

3x – (–3) = 6 → x = 33

→ x = 1

Para que o sistema seja possível e determinado, 2x + my = 0.

2 . 1 + m . (–3) = 0 → 2 – 3m = 0 → m = 23

Se m ≠ 23

, o sistema será impossível.

GABARITO

10 Matemática C

56) 3

2 2 2 7

2 2 2 9

2 2 2 2

1

1 1

x y z

x y z

x y z

+ + =+ − =− + =

+

+ +

; considerando 2x = a, 2y = b e 2z = c, temos:

a + b + c = 7 a + b + c = 7 a + b + c = 7(– 2)(– 1)(– 3)2a + b – c = 9 0a – b – 3c = – 5 – b – 3c = – 5

a – 2b + 2c = 2 0a – 3b + c = – 5 0b + 10c = 10

c = 1–b – 3 . 1 = –5 → b = 2a + 2 + 1 = 7 → a = 4

Substituindo a, b e c, temos:

2x = a → 2x = 4 → 2x = 22 → x = 22y = b → 2y = 2 → y = 12z = 1 → 2z = 20 → z = 0∴ soma = 2 + 1 + 0 = 3

57) 2000 maçãs, 3000 peras e 5000 laranjas.

x = quantidade de caixas de maçãsy = quantidade de caixas de perasz = quantidade de caixas de laranjas

50x + 60y + 100z = 10 000 x + y + z = 140

x + y + z = 140 x + y + z = 140

(– 50)(– 20)

(– 2)

x + y + z = 140 50x + 60y + 100z = 10 000

0x + 10y + 50z = 3300 10y + 50z = 3000

20x + 40y + 10z = 3300 20x + 40y + 10z = 3300

0x + 20y – 10z = 500 0y – 110z = – 5500

z = 5010y + 50 . 50 = 3000 → y = 50x + 50 + 50 = 140 → x = 40

x = quantidade de maçãs = 50 . 40 = 2000y = quantidade de peras = 60 . 50 = 3000z = quantidade de laranjas = 100 . 50 = 5000

58) V – V – F

1 1 1

1 2 0

0 1 5

−−

.

I

I

I

1

2

3

0

16

20

= −

00. Verdadeira. O número de equações é o mesmo que o número de incógnitas, e o determinante

D = 1 1 1

1 2 0

0 1 5

−−

= –10 – 1 + 0 – 0 – 5 – 0 → D = –16 ≠ 0.

GABARITO

11Matemática C

01. Verdadeira.

D2 = 1 1 1

1 16 0

0 20 5

−−

= 1 . (–80 – 0) – 1 . (20 – 0) → D2 = – 100

I2 = 1 0 1

1 16 0

0 20 5

−−

:

1 1 1

1 2 0

0 1 5

−−

→ I2 = −

−10016

= 6,25

02. Falsa. No enunciado, chamando I1 de x, I2 de y e I3 de z, e passando da forma matricial para a forma de um sis-tema, temos:

x + y – z = 0

x + y – z = 0 x + y – z = 0 x + y – z = 0 x + y – z = 0(–1)

x – 2y = –16

x – 2y = –16 – 3y + z = –16 y + 5z = 20 (3) y + 5z = 20

resolvendo por escalonamento, temos:y + 5z = 20

y + 5z = 20 y + 5z = 20 –3y + z = –16 16z = 44

z = 2,75 y + 5 . 2,75 = 20 → y = 6,25 x + 6,25 – 2,75 = 0 → x = –3,5

Portanto, I1 = –3,5A, I2 = 6,25A e I3 = 2,75A.

59) O sistema é impossível.

ax y

x y

+ =−+ =−

3 2

3 7 D =

a 3

3 1 → D = a – 9

Se a – 9 ≠ 0 → a ≠ 9 → o sistema é possível e determinado.

9x + 3y = –2 3x + y = –7 3x + y = –7

3x + y = –7 9x + 3y = –2 0x + 0y = 19(–3)Se a = 9 o sistema é impossível.

60) c ≠ 2

x y cz

y z

x y z

+ + =+ =+ + =−

2 1

2

3 2 2 1

a) 1 2

0 1 1

3 2 2

c

→ det A =

1 2

0 1 1

3 2 2

c

= 2 + 6 + 0 – 3c – 0 – 2 → det A = 6 – 3c

b) Para que o sistema admita uma única solução, D ≠ 0, então: 6 – 3c ≠ 0 → c ≠ 2.