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Conceitos iniciais

Exercıcio No1.Os angulos de um quadrilatero ABCD saotais que: O angulo A mede 30o, o angulo Bmede 5π

6rad e o angulo C mede 80o, qual e a

medida do angulo D em radianos?

Rpta: 1

Exercıcio No2.Inventamos um sistema de medicao angularα tal que sua unidade angular equivale a 150parte do angulo de uma volta. A quantosgraus α equivalem 300o.

Rpta: 1

Exercıcio No3.Um angulo de um triangulo mede 35o, o outro5π9rad. Quanto mede o terceiro angulo em

radianos?

Rpta: 1

Exercıcio No4.O tramo de uma estrada e formado por tresarcos de circunferencia o primeiro tem umraio de 10km e um angulo central de 40o, osegundo tem um raio de 36 km e um angulocentral de 50o e o terceiro tem um raio de 21km e um angulo central de 45o. Achar a lon-gitude total deste tramo. Use a aproximacaode pi por 22

7.

Rpta: 1

Exercıcio No5.Dois objetos partem ao mesmo tempo e emdirecoes como na figura dos pontos P e Qrespetivamente. Se a velocidade de A e a ve-locidade de B como 3 e a 7. Calcular o angulo

α em radianos se se encontram por primeiravez no ponto R.

Rpta: 1

Exercıcio No6.Na figura adjunta temos dois setores circu-lares tal que a area do setor COD e 3 vezesa aerea do setor AOB, alem disso OB

BC= 2

3.

Achar a medida do angulo α em radianos.

Rpta: 1

Exercıcio No7.Se a roda maior da 14 voltas e a menor da7 voltas nas direcoes indicadas. Achar a dis-

1

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tancia que separa os pontos P e Q, na novaposicao. Considere π = 22

7

Rpta: 1

Exercıcio No8.Sobre um arco de circunferencia encontraseum disco como na figura. Calcular aproxima-damente o numero de voltas que da o discoao ir do ponto A ate o ponto C. O diametrodo disco mide 0,5m AB = 1m, BC = 7m eC e ponto de tangencia.

Rpta: 1

Triangulo retangulo

Exercıcio No1.

Em certo triangulo retangulo temos que a di-ferenca das medidas da hipotenusa com umcateto e de 8u e com o outro e de 9u. Calcularo valor da tangente do maior angulo.

Rpta: 1

Exercıcio No2.Calcular o perımetro do triangulo RST se atangente do angulo oposto ao lado ST es 2, 4e a cotangente do angulo oposto ao lado RSe 0, 75. Alem disso RT mede 42cm.

Rpta: 1

Exercıcio No3.Na figura adjunta temos AB

4= BC

3, calcular

Ctgθ − Cscφ

Rpta: 1

Exercıcio No4.Num triangulo retagulo ABC reto em B setrazam a medianas BM e CN de forma talque estes segmento se intersetam formandoum angulo de 90o. Calcular o valor de SenA,se A < c

Rpta: 1

Exercıcio No5.

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Na figura adjunta calcular aproximadamenteTgα Se E e o ponto meio do lado AC.

Rpta: 1

Exercıcio No6.Sobre um triangulo retangulo ABC reto emC de lados a, b, c respetivamente tal que:p−ca

= 316

e p−bb

= 23, onde p e o semiperımetro

do triangulo. Calcular o valor da tangente doangulo en A.

Rpta: 1

Exercıcio No7.O perımetro de um triangulo retangulo e 12u.Se o quadrado da hipotenusa excede em umaunidade a quatro vezes a area do triangulo.Achar o valor de R = Senα + Cosα. Sendoα o maior angulo agudo do triangulo.

Rpta: 1

Exercıcio No8.Calcular o valor da cotengente de α

2se Tgα =

3−2x7−5x e Tgθ = 10x−2

4x−1 sendo α e θ angulos agu-dos complementarios.

Rpta: 1

Exercıcio No9.Na figura adjunta os triangulos BCD eACD sao triangulos pitagoricos de lados(n; n

2−12

; n2+12

) para algum n impar e (2x; k2+1; k2 − 1) para algum k impar, respetiva-mente. BC < CD < AC, alem dissoCtg(φ

2) − Ctg(α

2) = 1. Calcular a area do

triangulo ABC.

Rpta: 1

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Exercıcio No10.Considere o quadradoABCD como na figura,calcular Tgα

Rpta: 1

Exercıcio No11.No retangulo ABCD da figura adjunta E eo centro de uma semicircunferencia inscrita.Calcular Tgα

Rpta: 1

Exercıcio No12.Se α = 7o30

′calcular

R =Senα

Cos11α+Cos2α

Sen10α+Sen3α

Cos9α+Cos4α

Sen8α+Sen5α

Cos7α

Rpta: 1

Exercıcio No13.

Na figura ABCD e um retangulo PQ//DCCalcular aproximadamente Ctgθ

Rpta: 1

Exercıcio No14.Calcular Senα, com α agudo tal que(sen37o)(Sec16o) = Tgα(Sen60o)(Ctg30o)

Rpta: 1

Exercıcio No15.Calcular Tg φ

4

Rpta: 1

4

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Exercıcio No16.

Na figura adjunta temos dois discos de raios8u e 1u, ligado por uma corda. Se a distanciaque separa os centros dos mesmos mide 25uquanto e o comprimento da corda? ConsidereSen37o = 0, 6 e Sen16o = 0, 28.

Rpta: 1

Exercıcio No17.

Considere a figura adjunta tal que AB =OB e AB ortogonal ao plano P . CalcularCosXOA

Rpta: 1

Exercıcio No18.

Na figura adjunta BCDEFGH e um cubo,P e o ponto meio de AE. Calcular Senθ

Rpta: 1

Exercıcio No19.

Na figura adjunta o angulo θ e chamado de”Angulo de Brocard”, provar que Ctgθ =CtgA+ CtgB + CtgC

Rpta: 1

Cırculo Trigonometrico

Exercıcio No1.Sendo P (5;−3) um ponto do lado final doangulo α que encontrase em posicao normal,calcular o valor de

R = 17(Cos2α− Sen2α) + Ctgα

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Rpta: 1

Exercıcio No2.Se Ctgα = −1, 05 e Cosα < 0, calcular

R =(Senα + Cosα)3

Cos3α + Sen3α

Rpta: 1

Exercıcio No3.Determinar a area das seguintes regioes emfuncao dos angulos envolvidos () cırculo e ocirculo trigonometrico):

Rpta: 1

Exercıcio No4.Se α representa a todos os angulos do se-gundo quadrante, quais dos seguintes valoresnao pode corresponder a α

6: −2π

9, 7π

36ou π

4

Rpta: 1

Exercıcio No5.Qais das seguintes proposicoes e falsa:

1. Senα < 0 e Tgα > 0 entao α ∈ ((2k +1)π; (4k + 3)π

2) para algum kıZ.

2. Se θ ∈ ((4k − 1)π2; 2kπ) para todo k ∈ Z

entao Cosθ > Cscθ

3. Se φ ∈ ((4k − 3)π2; (2k − 1)π) para todo

k ∈ Z entao ) < Senφ < 1

Rpta: 1

Exercıcio No6.Se f(θ) = Sen2θ+Cos4θ

Tg8θ+Csc6θ, calcular f(−π

4) + f(π

4)

Rpta: 1

Exercıcio No7.Se α ∈ [π

2; 3π

2], achar o intervalo onde se en-

contra θ para que a igualdade −3Tg2θ =Cosα, apresentar uma solucao.

Rpta: 1

Exercıcio No8.Se θ ∈ [19π

180; 2π

9] Determinar o intervalo de

existencia de Cos(5θ + 5π36

)

Rpta: 1

Exercıcio No9.Calcular o valor maximo de y =√

(1− Cosx)(1 + 2Cosx) se x ∈ [0; 2π3

]

Rpta: 1

Exercıcio No10.Determinar o valor maximo e mınimo de y =Sen2x− 4Senx+ 7

Rpta: 1

Funcoes Trigonometricas

Exercıcio No1.Calcular o domınio das seguintes funcoes:y = Sen3x, y = Tg2x, y = Sec(x − π

4),

y = Cos2(x+ π3) e y = Ctg(x+ π

3)

Rpta: 1

Exercıcio No2.

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Determinar o domınio, a imagem e o periododas funcoes y = 2+3Sen27x e y = 1+6Sec2 x

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Rpta: 1

Exercıcio No3.

A equacao do grafico adjunto e y = a+Senbx,calcular a+ b

Rpta: 1

Exercıcio No4.

Se f(x) = aSenkx e g(x) = aCoskx saofuncoes com grafico adjunto. calcular as co-ordenadas do ponto P .

Rpta: 1

Identidades Trigonometricas

Exercıcio No1.

Simplificar

R =Sec4φ(1− Sen4φ)− 2Tg2φ

Csc4φ(1− Cos4φ)− 2Ctg2φ

Rpta: 1

Exercıcio No2.Simplificar

R =Senx

1−Senx + Cscx1−Cscx

Cosx1+Cosx

+ Secx1+Seccx

Rpta: 1

Exercıcio No3.Simplificar

U =(1− Senα + Cosα)2

(Senα + Tgα)(Cosα− Ctgα)

Rpta: 1

Exercıcio No4.Reduzir

B =Sen3θ + Cos3θ

Secθ + Cscθ

Tgθ + Ctgθ

1− SenθCosθ

Rpta: 1

Exercıcio No5.Reduzir E = Tg2x−Sen2x

Ctg2x−Cos2x

Rpta: 1

Exercıcio No6.Achar o valor de I para que a igualdade

(1+Sen2φ)3+(1+Cos2φ)3 = I(1−Sen2φCos2φ)

seja uma identidade

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Rpta: 1

Exercıcio No7.Se Tgα + Secα = 4, calcular N = 15Ctgα +17Cosα

Rpta: 1

Exercıcio No8.Se aCos2θ + bSen2θ = c, achar Tg2θ

Rpta: 1

Exercıcio No9.Se Secα−1

Tgα= R e Cscα+1

Ctgα= L Calcular (R −

R−1)(L− L−1)Rpta: 1

Exercıcio No10.Entre que valores esta comprendido a se-guinte expressao:

y =1− Tgx1 + Ctgx

Rpta: 1

Reducao ao Primeiro Quadrante

Exercıcio No1.Se α = 72o e θ = 63o, calcular

R =Sen(7α + 9θ) + Sen(9α + 5θ)

Cos(5α + 7θ) + Cos(17α + 3θ)

Rpta: 1

Exercıcio No2.Se α = −π

3calcular

E =Sen(−15π − α)Cos(92π + α)

Sec(927π2

+ α)Csc(1683π2

+ α)

Rpta: 1

Exercıcio No3.Reduzir Q = Sen897π

14Csc577π

7

Rpta: 1

Exercıcio No4.Reduzir

R = Sen5(α+π

3)+Sen5(α−π

3)+Sen5(α+

2π

3)+Sen5(α−2π

3)

Rpta: 1

Exercıcio No5.Calcular L = Cos635π

6Sen427π

4Tg 907π

3

Rpta: 1

Exercıcio No6.Se Cos2650o = m, calcular Sen6350o

Rpta: 1

Exercıcio No7.Se Sen(−4273π

11) = b, achar N = Cos π

22Tg 6π

11

Rpta: 1

Exercıcio No8.Se 2Senθ = 2Cosθ, com θ ∈ IIIQ, calcularR = Sen(θ − 605π

2)Cos(θ − 903π)

Rpta: 1

Exercıcio No9.Simplificar R = Cos(7

nπ2

+α) +Sen(nπ+α),n ∈ Z+

Rpta: 1

Exercıcio No10.Calcular E =

∑6k=1(−1)kSen(2

kπ7

)

Rpta: 1

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Lei dos Senos e Cosenos e Outros

Exercıcio No1.

Simplificar

E = (Senx+Cosx)(Cosy+Seny)−Sen(x+y)

Rpta: 1

Exercıcio No2.

Simplificar

R + (SenαSecθ

+ SenθSecα

SenαSecθ − CosαCscθ)Ctg(α + θ)

Rpta: 1

Exercıcio No3.

Se α e θ sao as raizes da equacao aCosx +bSenx = c, achar Tg(α + θ)

Rpta: 1

Exercıcio No4.

Pelo v?rtice B de um triangulo FAB reto emA, construimos uma perpendicular a BF ateo ponto C tal que BC = 2AF , A partir deC tracamos uma reta que interseta em D aBF e em E a AF , se DF = AF , AB = 21 eBD = 9 calcular Tg(CEF ).

Rpta: 1

Exercıcio No5.

Na figura adjunta calcular Tgθ se Tgφ = 43,

alem disso AB = BC = CD e EF = 2ED

Rpta: 1

Exercıcio No6.Calcular x

Rpta: 1

Exercıcio No7.Se aCos26o + bSen26o = 0, reduzir aTg10o−b

a+bTg10o

Rpta: 1

Exercıcio No8.Simplificar

L =Tg(α− β) + Tg(β − φ) + Tg(φ− α)

Tg(α− β)Tg(β − φ)Tg(φ− α)

Rpta: 1

Exercıcio No9.Considerando Tg64o = 80

39, calcular Tg71o e

Sen4o.

Rpta: 1

Exercıcio No10.Calcular Sen2θ+Sen2(120o+θ)+Sen2(120−θ) Rpta: 1

Exercıcio No11.Na figura ABCD e um retangulo, se a areado triangulo ABF e igual a area do trianguloADG, calcular k2 + 34k√

3

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Rpta: 1

Funcoes Trig. Inversas

Exercıcio No1.

Calcular θ = ArcCos5665

+ArcTg 512

+ArcCsc53

Rpta: 1

Exercıcio No2.

Se ArcSenp+ArcTgq+ArcSecr = π5, calcu-

lar ArcCosp+ ArcCtgq + ArcCscr

Rpta: 1

Exercıcio No3.

Calcular Sen[2ArcTg[√

3Cos(12SrcSen

√53

)]]

Rpta: 1

Exercıcio No4.

Determinar o dominio da funcao y =2ArcSec(x+ 1

2)

Rpta: 1

Exercıcio No5.

Calcular φ = ArcCos(Cos1) +2ArcCos(Cos3)− ArcCos(Cos7)

Rpta: 2π

Exercıcio No6.

Calcular φ = 2ArcSen(Sen7π8

) +3ArcCos(Cos17π

12) + 5ArcTg(Tg 7π

10)

Rpta: 1

Exercıcio No7.

Calcular a soma de os k primeiros terminosde φ = ArcTg 2

2+12+14+ ArcTg 4

2+22+24+

ArcTg 62+32+34

· · ·

Rpta: 1

Exercıcio No8.Achar x ∈ R tal que se π

4= 3ArcTg(1

4) +

ArcCtgx

Rpta: 1

Exercıcio No9.Resolver ArcSen

√1− x2 − 2ArcCos

√x = 0

Rpta: 1

Exercıcio No10.Resolver ArcSen(

√5+1)x = 3ArcSen(

√5−

1)x

Rpta: 1

Exercıcio No11.Calcular ArcTg2(x − y) se temos queArcCosx − ArcSeny = π

12e ArcSenx +

ArcCosy = 5π12

Rpta: 1

Exercıcio No12.Seja f(x) = α + ArcSen(kx) se termos que

f(0) = π4

e f(12) = π

12, calcular f(−

√22

)

Rpta: 1

Exercıcio No13.Se f(x) = ArcCosx; g(x) = ArcTgx e P ∈Graf(f) ∩Graf(g), calcular as coordenadasde P .

Rpta: 1

Exercıcio No14.Dada a funcao f(x) = ArcCos(Sen4x +Cos4x), inidcar o dominio, a imagem eesbocar o grafico da funcao f(x).

Rpta: 1

Exercıcio No15.

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Se temos que ArcSena + ArcSenb +ArcSenc = π, simplificar E = a

√1− a2 +

b√

1− b2 + c√

1− c2

Rpta: 1

Exercıcio No16.Se ArcSena

ArcSenb= 2

3e ArcCosa

ArcCosb= 4

3, calcular

ArcSec(2a) + ArcSec(2b).

Rpta: 1

Equacoes e Inequacoes

Exercıcio No1.Resolver Senx > 1

2

Rpta: 1

Exercıcio No2.Resolver Senx < −

√32

Rpta: 1

Exercıcio No3.Resolver Cos3x > 1

2se 0 < x < 2π Rpta: 1

Exercıcio No4.Resolver Sen2x < Senx

Rpta: 1

Exercıcio No5.Resolver

√3Senx+Cosx >

√3 se 0 < x < 2π

Rpta: 1

Exercıcio No6.Resolver 2Senx < Tgx se 0 < x < 2π

Rpta: 1

Exercıcio No7.Resolver 2Sen2x+ 3Senx+ 1 se 0 < x < 2π

Rpta: 1

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