Marta Macho S/Stadler, UPV/EHUmtwmastm/UC3_2016.pdfBbfil ll dlBob, fiel al lema del HtlIfiitHotel...
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Paradojas: para sorprender y aprender S / Marta Macho Stadler, UPV/EHU
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Paradojas para sorprender y aprenderS Marta Macho Stadler UPVEHU
d j jparadojo ja(Del lat paradoxus y este del gr παράδοξος)1 adj desus paradoacutejico2 f Idea extrantildea u opuesta a la comuacuten opinioacuten y al sentir de p p y
las personas3 f Asercioacuten inverosiacutemil o absurda que se presenta con
apariencias de verdadera4 f Ret Figura de pensamiento que consiste en emplear
i f l t di ioacute Mi lexpresiones o frases que envuelven contradiccioacuten Mira al avaro en sus riquezas pobre
Guioacuten de la charlaGuioacuten de la charla
1 Paradojas del infinito2 Paradojas geomeacutetricas3 Paradojas loacutegicas3 Paradojas loacutegicas4 Paradojas de la prediccioacuten5 P d j d l b bilid d5 Paradojas de la probabilidad6Y para terminarhellip6 pa a e a
Guioacuten de la charlaGuioacuten de la charla
1 Paradojas del infinito2 Paradojas geomeacutetricas3 Paradojas loacutegicas3 Paradojas loacutegicas4 Paradojas de la prediccioacuten5 P d j d l b bilid d5 Paradojas de la probabilidad6Y para terminarhellip6 pa a e a
1 P d j d l i fi it1 Paradojas del infinito
No haga como Kronecker no deje pasar el infinito sea en el amor en el pensamiento o en la vidaen el amor en el pensamiento o en la vida
Denis Guedj Villa des hommes (2007)
Rob Gonsalves
iexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityiexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityH t l d
Eacuterase una vez Hotel Infinity un hotel con infinitas habitaciones
Hotel de Hilbert
numeradas (1 2 3 4 5 etc) Su eficiente recepcionista ndash
BOB tiene la misioacuten deBOBndash tiene la misioacuten de asegurar el cumplimiento del
lema del hotelhelliplema del hotelhellip
Se garantiza el alojamiento de cualquier
nuevo hueacutesped
BOB
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
iquest
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
d j jparadojo ja(Del lat paradoxus y este del gr παράδοξος)1 adj desus paradoacutejico2 f Idea extrantildea u opuesta a la comuacuten opinioacuten y al sentir de p p y
las personas3 f Asercioacuten inverosiacutemil o absurda que se presenta con
apariencias de verdadera4 f Ret Figura de pensamiento que consiste en emplear
i f l t di ioacute Mi lexpresiones o frases que envuelven contradiccioacuten Mira al avaro en sus riquezas pobre
Guioacuten de la charlaGuioacuten de la charla
1 Paradojas del infinito2 Paradojas geomeacutetricas3 Paradojas loacutegicas3 Paradojas loacutegicas4 Paradojas de la prediccioacuten5 P d j d l b bilid d5 Paradojas de la probabilidad6Y para terminarhellip6 pa a e a
Guioacuten de la charlaGuioacuten de la charla
1 Paradojas del infinito2 Paradojas geomeacutetricas3 Paradojas loacutegicas3 Paradojas loacutegicas4 Paradojas de la prediccioacuten5 P d j d l b bilid d5 Paradojas de la probabilidad6Y para terminarhellip6 pa a e a
1 P d j d l i fi it1 Paradojas del infinito
No haga como Kronecker no deje pasar el infinito sea en el amor en el pensamiento o en la vidaen el amor en el pensamiento o en la vida
Denis Guedj Villa des hommes (2007)
Rob Gonsalves
iexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityiexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityH t l d
Eacuterase una vez Hotel Infinity un hotel con infinitas habitaciones
Hotel de Hilbert
numeradas (1 2 3 4 5 etc) Su eficiente recepcionista ndash
BOB tiene la misioacuten deBOBndash tiene la misioacuten de asegurar el cumplimiento del
lema del hotelhelliplema del hotelhellip
Se garantiza el alojamiento de cualquier
nuevo hueacutesped
BOB
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
iquest
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Guioacuten de la charlaGuioacuten de la charla
1 Paradojas del infinito2 Paradojas geomeacutetricas3 Paradojas loacutegicas3 Paradojas loacutegicas4 Paradojas de la prediccioacuten5 P d j d l b bilid d5 Paradojas de la probabilidad6Y para terminarhellip6 pa a e a
Guioacuten de la charlaGuioacuten de la charla
1 Paradojas del infinito2 Paradojas geomeacutetricas3 Paradojas loacutegicas3 Paradojas loacutegicas4 Paradojas de la prediccioacuten5 P d j d l b bilid d5 Paradojas de la probabilidad6Y para terminarhellip6 pa a e a
1 P d j d l i fi it1 Paradojas del infinito
No haga como Kronecker no deje pasar el infinito sea en el amor en el pensamiento o en la vidaen el amor en el pensamiento o en la vida
Denis Guedj Villa des hommes (2007)
Rob Gonsalves
iexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityiexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityH t l d
Eacuterase una vez Hotel Infinity un hotel con infinitas habitaciones
Hotel de Hilbert
numeradas (1 2 3 4 5 etc) Su eficiente recepcionista ndash
BOB tiene la misioacuten deBOBndash tiene la misioacuten de asegurar el cumplimiento del
lema del hotelhelliplema del hotelhellip
Se garantiza el alojamiento de cualquier
nuevo hueacutesped
BOB
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
iquest
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Guioacuten de la charlaGuioacuten de la charla
1 Paradojas del infinito2 Paradojas geomeacutetricas3 Paradojas loacutegicas3 Paradojas loacutegicas4 Paradojas de la prediccioacuten5 P d j d l b bilid d5 Paradojas de la probabilidad6Y para terminarhellip6 pa a e a
1 P d j d l i fi it1 Paradojas del infinito
No haga como Kronecker no deje pasar el infinito sea en el amor en el pensamiento o en la vidaen el amor en el pensamiento o en la vida
Denis Guedj Villa des hommes (2007)
Rob Gonsalves
iexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityiexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityH t l d
Eacuterase una vez Hotel Infinity un hotel con infinitas habitaciones
Hotel de Hilbert
numeradas (1 2 3 4 5 etc) Su eficiente recepcionista ndash
BOB tiene la misioacuten deBOBndash tiene la misioacuten de asegurar el cumplimiento del
lema del hotelhelliplema del hotelhellip
Se garantiza el alojamiento de cualquier
nuevo hueacutesped
BOB
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
iquest
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
1 P d j d l i fi it1 Paradojas del infinito
No haga como Kronecker no deje pasar el infinito sea en el amor en el pensamiento o en la vidaen el amor en el pensamiento o en la vida
Denis Guedj Villa des hommes (2007)
Rob Gonsalves
iexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityiexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityH t l d
Eacuterase una vez Hotel Infinity un hotel con infinitas habitaciones
Hotel de Hilbert
numeradas (1 2 3 4 5 etc) Su eficiente recepcionista ndash
BOB tiene la misioacuten deBOBndash tiene la misioacuten de asegurar el cumplimiento del
lema del hotelhelliplema del hotelhellip
Se garantiza el alojamiento de cualquier
nuevo hueacutesped
BOB
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
iquest
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
iexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityiexclBienvenidas(os) al Hotel InfinityH t l d
Eacuterase una vez Hotel Infinity un hotel con infinitas habitaciones
Hotel de Hilbert
numeradas (1 2 3 4 5 etc) Su eficiente recepcionista ndash
BOB tiene la misioacuten deBOBndash tiene la misioacuten de asegurar el cumplimiento del
lema del hotelhelliplema del hotelhellip
Se garantiza el alojamiento de cualquier
nuevo hueacutesped
BOB
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
iquest
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
iquest
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El hotel se encuentra llenohellip y llega un hombre
B b fi l l l d l H t l I fi it li itBob fiel al lema del Hotel Infinity solicita a todas y todos sus clienteshellip
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten n a la habitacioacuten n+1
por favorp
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
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iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la
uacutelti h bit ioacute uacuteltima habitacioacuten
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
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4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Asiacute la habitacioacuten nuacutemero 1 queda libre para el nuevo hueacutespedhellip
iquestY queacute pasa con el hueacutesped que se encontraba en la uacuteltima habitacioacutenencontraba en la uacuteltima habitacioacuten
no hay ldquouacuteltimahellip no hay uacuteltima habitacioacutenrdquo iexclBRAVO
BOB
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
BOB entra en paacutenicopaacutenico
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Llega al Hotel Infinity (que estaacute lleno) una excursioacuten con infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4 )infinitos Boy Scouts (numerados 1 2 3 4hellip)
iexclCaacutembiate de tu habitacioacuten na la habitacioacuten 2n
f por favor
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
De esa forma todas las y los hueacutespedes se mudan a una habitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libreshabitacioacuten par y las habitaciones impares quedan libres
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
iexclHay tantos nuacutemeros pares (e impares) como nuacutemeros t l N l it dnaturales iquestNo son la mitad
Naturales Pares
1 2 iexclBRAVO BOB
1 2
2 42 4
3 6
4 85 105 10
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
no me quieras mentir zenon amigola flecha horadara mi corazonpor mas infinitud de infimos trayectos que ha de cubrir
Jesuacutes Malia A Zenoacuten de Elea en La cinta de Moebius (2007)
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho aacute l l t t heacute it i t t j lmaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al
lsquolentiacutesimorsquo animal
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja almaacutes veloz que la tortuga ndashy es un heacuteroendash permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animal La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar p q q pa la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Se arregla una carrera entre Aquiles y la tortuga Como Aquiles es mucho maacutesveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lsquolentiacutesimorsquo animalveloz que la tortuga permite una cierta ventaja al lentiacutesimo animal
La prueba asombrosa de Zenoacuten es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la tortuga independientemente de lo raacutepido que corra y de lo larga que sea la carrera cada vez que el perseguidor llega a un lugar donde ha estado el animal la tortuga se adelanta un poco
La paradoja laparece al
pensar que todo intervalotodo intervalo de tiempo ndasho de espaciondash
es infinitamente
di i ibldivisible
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
2 P d j eacutet i2 Paradojas geomeacutetricas
Se duerme la tangenteen el punto efiacutemero donde la circunferencia orillaun encuentro
Daniel Ruiz Geometriacutea en Πoetas (2011)
Guy Billout
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Los Embajadores
(1533)(1533)
Holbein el joven
(1497-1543)
National Gallery de LondresLondres
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
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Anamorfosis oblicua
desde arriba
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Anamorfosis ciliacutendrica
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Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Jean de Dinteville (1504-1555)embajador franceacutes en Inglaterra
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
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Anamorfosis oblicua
desde arriba
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Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
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Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaur
Relojes solares un globo j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Jean de Dinteville (1504-1555)
embajador franceacutes en Inglaterra
Georges de Selve (1508-1541)
obispo de Lavaurg
Relojes solares un globo iquestY esto j gterraacutequeo instrumentos de navegacioacuten y de astronomiacutea libro de aritmeacutetica
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
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Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Antes de descubrirlo un poco dehistoria Fecha 11 de abril de 1533
Poco tiempo antes Enrique VIIIsolicitaba al papa Clemente VII anularsu matrimonio con Catalina deAragoacuten ya que de su unioacuten no habiacuteanacido ninguacuten heredero varoacuten El
d t f lpapa no accede a este favor lo queno impide al monarca desposar ensecreto a Ana Bolena el 25 de enerode 1533de 1533A principios de abril ThomasCranmer el arzobispo de Canterburyanula el matrimonio con Catalina yanula el matrimonio con Catalina ydeclara a Ana Bolena Reina deInglaterra
El hecho no tiene precedentes y seenviacutea una embajada francesa paraintentar una reconciliacioacuten con elintentar una reconciliacioacuten con elpapa dos de estos embajadoresestaacuten representados en el cuadro
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecede vista aparecehellip
Anamorfosis
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Y al salir de la sala al mirar el cuadro desde otro punto de vista aparecehellipotro punto de vista aparecehellip
Anamorfosis
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
iquestFirma del pintor HOLBEIN = (bein) hueso (hohl) hueco
iquestMuerte de la dinastiacutea (Los Tudor)
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
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Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
iquestQueacute es una anamorfosisiquestQueacute es una anamorfosis
Una anamorfosises una deforma-cioacuten reversible decioacuten reversible de una imagen a traveacutes de proce-dimientos matedimientos mate-maacuteticos u oacutepticos
En este grabado de Durero el artista usa un retiacuteculo (velo de
Alberti) para guardar lasAlberti) para guardar lasproporciones de la modelo
iquestY si no se coloca el enrejado deiquestY si no se coloca el enrejado de forma perpendicular
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
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Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
La anamorfosis de Los Embajadores es de tipo oblicuo
San Juan Evangelista en Patmos fresco ejecutado en los conventos de los Miacutenimos en Roma 1642 y en Paris 1644y
Hay anamorfosis de muchos tipos ciliacutendricas coacutenicas piramidales o combinaciones de variascoacutenicas piramidales o combinaciones de varias
de ellas
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
Anamorfosis coacutenica
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
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Anamorfosis oblicua
desde arriba
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Anamorfosis ciliacutendrica
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Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Anamorfosis ciliacutendrica Mario Bettini LOeil du cardinal Colonna 1642
httpmembersaolcomManuelLuque3miroirshtm
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Luis XIII (1638)
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Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
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AnamorfosisAnamorfosis oblicua
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Jonty Hurwitz
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Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
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Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
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iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
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Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Istvaacuten Orosz La isla misteriosa
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Istvaacuten OroszIstvaacuten OroszLa isla misteriosa y el retrato de Julio Verne
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Luis XIII (1638)
Anamorfosis coacutenica
Siglo XVIII Museo del Cinema de
Girona
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
AnamorfosisAnamorfosis oblicua
desde abajo
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis oblicua
desde arriba
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Anamorfosis ciliacutendrica
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Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis ciliacutendrica
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
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Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
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Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
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Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
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iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
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25 6
3
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Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
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Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
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quedado el conejo que
falta25 6
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3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
ANAMORPH MEExisten programas de libre acceso que permiten realizar anamorfosisUna de ellas es Anamorph Me que puede descargarse gratuitamented d htt h i ft ht ldesde httpwwwanamorphosiscomsoftwarehtml
Anamorfosis coacutenica
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Jonty Hurwitz
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Istvaacuten Orosz
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Esculturas anamoacuterficasanamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Esculturas anamoacuterficas
Jonty Hurwitz
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
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Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
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Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
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Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Deceptive outward appearance (httpolemartinlundbocom) de Ole Martin Lund Bo (Apariencia externa engantildeosa)
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
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siacute mismashellip
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4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
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Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
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l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Le temps deacuteplo eacute es na anamorfosis en 3D de Y es Charna Es nLe temps deacuteployeacute es una anamorfosis en 3D de Yves Charnay Es un dodecaedro de acero inoxidable y aluminio con una altura de 5 metros una anchura de 6 y una profundidad de 11hellip
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
En la mitologiacuteaEn la mitologiacutea griega Medusa
era la maacutes terrible de las e b e de as
hermanas Gorgonas
de su cabeza -en lugar de cabellos-
saliacutean serpientes venenosas y
cualquiera que la mirara quedaba
instantaacuteneamente convertido en
estatua d i dde piedra
Truly Design(2011)(2011)
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Eduardo Relero
Grandes chorizos
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Las anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para queLas anamorfosis se usan a menudo en sentildeales de traacutefico para que las sentildeales sean correctamente interpretadas por conductorasas
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
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Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
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25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
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quedado el conejo que
falta25 6
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3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Desapariciones geomeacutetricasp g
FICHERO GIF httpwwwgifbincom983889
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El segmento azul genera dos triaacutengulos y el rojo dos
trapezoides se reajustanhellip
iquestVes la parte blanca Es un paralelogramo
aacute 1con aacuterea 1
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El aacutengulo agudo del paralelogramo blanco es p g
90deg - 682deg - 20556deg = 1244deg
Asiacute el aacuterea del paralelogramoAsiacute el aacuterea del paralelogramo blanco es
8544 x sen(1244) x 5385 = 0 998809988hellip
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Sam LoydT dd d th LiTeddy and the Lion
(1909)
Teddy es Theodore Roosvelt
que fue a Aacutefrica a un qsafari en 1909
7 hombres y 7 l ileones y si
giras el ciacuterculo centralcentral
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
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quedado el conejo que
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3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
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EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
6 hombres y 8 leones iquestqueacute hombre se ha
transformado en leoacutenleoacuten
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
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razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
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diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
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precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
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5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
25 6
3
4 466
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
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Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
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5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Paradoja de CurryCurry
El primer rectaacutengulo 1 1 3
tiene 6x13=78conejos
Tras cortar y2 Tras cortar y recolocar
quedan iexcl77
2
5 quedan iexcl77conejos
iquestDoacutende ha
quedado el conejo que
falta25 6
falta3
4 466
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
3 P d j loacute i3 Paradojas loacutegicas
Tomen un ciacuterculoTomen un ciacuterculo acariacutecienlo y se haraacute un ciacuterculoharaacute un ciacuterculo
vicioso
Eugegravene Ionesco La cantante calva
Rafał Olbiński
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
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EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Soacutecrates iquestNo hay ninguna manera de eliminar estas paradojas Teeteto Hay una manera muy simple Soacutecrates Soacutecrates iquestCuaacutel es Teeteto Evitarlas como hace casi todo el mundo y no preocuparse por ellas Karl Popper 1983pp
El pleito de los honorarios tiene lugar entre el maestro Protaacutegoras ylugar entre el maestro Protaacutegoras y
su disciacutepulo Evatlo el maestro acoge a Evatlo en su academia
l di ioacute d lsquolcon la condicioacuten de que lsquole pague los honorarios del curso al
ganar su primer pleitorsquo
Terminado el curso Evatlo no tiene ninguacuten cliente para representar g p ppero Protaacutegoras demanda a su
disciacutepulo con lo que se plantea un pleito en el que ambos representanpleito en el que ambos representan
sus intereses argumentandohellipProtaacutegoras
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Evatlo Tanto si gano gcomo si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten detendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras
bull Si gano el pleito nobull Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute
d ti d ldesestimado la demanda
bull Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer
pleito y por lo tanto no p y pse habraacute cumplido la
condicioacuten que me obligaba pagar losobligaba pagar los
honorarios
Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
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mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
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Evatlo Tanto si gano como si pierdo este pleito en ninguacuten caso tendreacute obligacioacuten de pagar a Protaacutegoras Si gano el pleito no tendreacute que pagar ya que el Juez habraacute desestimado la demanda Si lo pierdo no habreacute ganado mi primer pleito y por lo tanto no se habraacute cumplido la condicioacuten que me obligaba pagar los honorariosg p g
Protaacutegoras Tanto si gano como si pierdo este pleito Evatlo tendraacutepierdo este pleito Evatlo tendraacute obligacioacuten de pagarme bull Si gano la demanda tendraacute que pagarme pues eacutesta es la cuestioacutenpagarme pues eacutesta es la cuestioacuten que se debate en este pleito bullY si la pierdo tambieacuten tendraacute que pagarme porque significaraacute que hapagarme porque significaraacute que ha ganado su primer pleito es decir se habraacute cumplido la condicioacuten de nuestro acuerdo
iquestQuieacuten de los dos tiene razoacuten iquestO l t d aacute i Coacuteno la tendraacute ninguno iquestCoacutemo solucionar este pleito
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
EnBarbilandia el barbero
Jon afeita a los que nolos que no se afeitan a siacute mismossiacute mismos
Q ieacuteiquestQuieacuten afeita al
barbero debarbero de Barbilandia
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip hellipcon lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo por lo tanto una de las personas que se afeitan a siacutelo tanto una de las personas que se afeitan a siacute mismashellip
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Si Jon no se afeita a siacute mismo seraacute una de las personas de Barbilandia que no se afeitan a siacute mismashellip
hellip con lo cual Jon deberiacutea de afeitarse siendo l t t d l f itpor lo tanto una de las personas que se afeitan a
siacute mismashellip
hellip no debiendo por tanto afeitarseafeitarse
iquestiquest
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
iexclEsta sentencia es contradictoria
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
iexclJON NO EXISTE
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
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(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
4 Paradojas de la prediccioacuten
Un caballo bayo y una d tvaca parda son tres
el caballo lla vaca
y el conjunto caballo y vaca
Hui Tzu (siglo III)Hui Tzu (siglo III)
Itsvan Orosz
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
La paradoja del condenadoLa paradoja del condenado
En la Edad Media un rey de reconocida sinceridad pronuncia su sentencia
Una mantildeana de este mesUna mantildeana de este mes seraacutes ejecutado pero no lo sabraacutes hasta esa misma mantildeana de modo que cada noche te acostaraacutes con la d d i tduda que presiento terrible de si esa seraacute tu uacuteltima sobre la Tierrauacuteltima sobre la Tierra
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
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diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
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Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
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Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
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O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
En la soledad de su celdaEn la soledad de su celda el reo argumenta
Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 yaajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana i i h b iacute dsiguiente habriacutea de
morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la p p psentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la
h t d eacute l t dnoche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado j
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
Continuando de este modo el prisio-nero concluye triunfalmente que la ycondena es de ejecucioacuten imposible y comienza a dormir aliviado aguardan-do que transcurra el mes para pedir sudo que transcurra el mes para pedir su libertadhellip
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
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t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
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La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
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mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
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Buenafuente
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Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
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GGRRAACCIIAASS
En la soledad de su celda el reoargumentaargumenta Si el mes tiene 30 diacuteas es evidente que no podreacute ser ajusticiado el diacutea 30 ya que el 29 por la noche sabriacutea que a la mantildeana siguiente habriacutea de morir Asiacute que el uacuteltimo diacutea posible paraAsiacute que el uacuteltimo diacutea posible para cumplir la sentencia es el 29 Pero entonces el 28 por la noche tendreacute la certeza de que por la mantildeana sereacute ejecutado
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La sentencia se cumple literalmente
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diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
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Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
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Frege y Russellg y
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Zadeh
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Zadeh
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Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
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O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Pero SORPRESA un diacutea cualquiera ndashpor ejemplo el diacutea 13ndash el verdugo con el hacha afilada en la mano despierta al reo que instantes maacutes tarde es decapitado
La sentencia se cumple literalmente
iquestDoacutende haiquestDoacutende ha fallado el
razonamientorazonamiento del
condenadocondenado
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
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Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Una solucioacuten puede pasar por la nocioacuten fundamental de p p pque no es lo mismo el diacutea 30 maacutes el diacutea 29 maacutes el diacutea 28 etc que el mes
Un conjunto es diferente y contiene cualidades distintas de la mera adicioacuten de sus partesde la mera adicioacuten de sus partes
El anaacutelisis individual diacutea por diacutea por parte del prisionero es irreprochable pero el defecto de su argumento aparece cuando atribuye al conjunto (este mes) las mismas y exclusivas cualidades que poseiacutean sus partes (cada diacutea) no advirtiendo que el conjunto mes ha i d l t iacute ti t t l dincorporado algunas caracteriacutesticas entre otras la de contenerhellip
diacutehellip diacuteas sorpresa
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
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precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
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mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
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Buenafuente
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Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
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precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
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Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
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Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
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Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
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5 Y para5 Y para terminarhellip un
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Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
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La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
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Buenafuente
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GGRRAACCIIAASS
El hombre calvo iquestdescribiriacuteas a un hombre con un pelo en la cabeza como calvoen la cabeza como calvo
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Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
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Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
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Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
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Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
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La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Me conteacute ayer los cabellos de la cabeza y teniacutea 3000000 y no soy calva Si con esta cantidad no soycalva tampoco lo sereacute si me arranco una cana es decir con 2 999 999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si me2999999 pelos seguiriacutea sin ser calva pero entonces si mequito otro pelo tampoco lo seriacutea es decir no seriacutea calva con 2999998 pelos2999998 pelos Continuando de este modo es claro que con 3 pelos no seriacutea hellip
iquestAcercamiento a
l j id l llenguaje ideal los esencial es la
precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminar
Frege y Russellg y
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
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5 Y para5 Y para terminarhellip un
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bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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Buenafuente
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Buenafuente
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Zadeh
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Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
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O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
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Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
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Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Zadeh
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
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mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Acercamiento a lenguaje ideal esencial laiquest ideal esencial la precisioacuten la vaguedaddel lenguaje natural es un defecto a eliminarun defecto a eliminar Frege y Russell
Utilizacioacuten de loacutegicasmultivaluadas(no claacutesicas) como la loacutegica difusade Goguen y Zadeh
Dicho de una persona Que ha
Zadeh
perdido el pelo de la cabeza
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
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Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
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Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
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La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
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Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
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Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
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Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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GGRRAACCIIAASS
5 Paradojas de la probabilidad
Pero de todos es sabido que a las nintildeasPero de todos es sabido que a las nintildeas nos gustan las miniaturasy nunca podremos resistirnos a una muntildeeca rusa hecha de dadosmuntildeeca rusa hecha de dadoscada vez maacutes pequentildeosuno dentro de otro hasta el abismo
Sofiacutea Rhei Alicia tira los dados para abolir el azar en Alicia
laacute il (2010)volaacutetil (2010)
O t i OOctavio OcampoLas visiones del Quijote
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Octavio OcampoLas visiones del Quijote
Miguel de Cervantes
Las visiones del Quijote
Miguel de Cervantes Saavedra
(29 de septiembre de 1547 1616)1547-1616)
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
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La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
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enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
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son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
El rostro humano de las Matemaacuteticas RSME
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
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Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Isaac y Carlos discuten sobre quien la tiene maacutes larga
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
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Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
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Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
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Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
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La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
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Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
g q q j gsiempre limpio ndash razona de la siguiente manera
que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Isaac y Carlos tienen una preciosa corbata matemaacutetica para ocasiones especiales Isaac propone a Carlos elpara ocasiones especiales Isaac propone a Carlos el siguiente juego aquel que tenga la corbata maacutes larga se la regala al otro Carlos ndashque sabe que Isaac no juega
Mi corbata mide C centiacutemetros Hay 1 posibilidad sobre 2 de
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que mi corbata sea maacutes larga que la de Isaac es decir hay un 50 de posibilidades de perder mi corbata de longitud C En caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I yEn caso contrario ganareacute la corbata de Isaac que mide I y es maacutes larga que la miacutea
Asiacute en el 50 de los casos pierdo C y en el 50 de los casos gano maacutes que C La
ganancia media es positiva asiacuteganancia media es positiva asiacute que jugareacute con Isaac
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
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topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
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Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
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Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
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bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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GGRRAACCIIAASS
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
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Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
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La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
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Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
El juego es simeacutetrico asiacute que Isaac puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable
Pero esto es paradoacutejicohellip Debe de haber alguacuten errorEn efecto el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir1 supone que todas las longitudes posibles e imaginables
de corbatas tienen la misma probabilidad de existirde corbatas tienen la misma probabilidad de existir2 y conjetura que dada una longitud cualquiera L la mitad
de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es dede las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menorhellip
Si l b t d C l idi 1Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para
ganar
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
Es decir el error viene de aplicar el principio de indiferencia ndashen ausencia de datos precisos las p
probabilidades entre los distintos casos son igualesndash
Para jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad aPara jugar a este juego habriacutea que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible por ejemplo si C es igual a un metrohellip la probabilidad de encontrar corbatas maacutes largas que un metro seguro que es menor que la de
topar con una maacutes cortahellip
La paradoja d K i hikde Kraichik
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
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Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
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Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
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mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Si la corbata de Carlos midiera 1 metro Isaac lo tendriacutea faacutecil para ganar
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Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
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ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
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Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
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Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
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GGRRAACCIIAASS
Juan es hipocondriacuteaco p
Un amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la u a e e edad ge eacutet ca aretrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasreveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas)
Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1persona entre un milloacuten
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
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Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
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poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Juan es hipocondriacuteaco Una amigo le ha hablado de una enfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que seenfermedad geneacutetica la retrocapiroscosis que se manifiesta soacutelo a partir de los 40 antildeos los que contraen la enfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosasenfermedad entienden al reveacutes gran parte de las cosas que se les dice (aunque conservan el resto de sus facultades mentales intactas) Es una enfermedad muy rara Soacutelo la padece 1 persona entre un milloacuten
Juan cumple en unos diacuteas los 40 yJuan cumple en unos diacuteas los 40 y quiere saber si contraeraacute la
enfermedad
Existe un test geneacutetico que permite averiguar a una persona si padeceraacuteaveriguar a una persona si padeceraacute la enfermedad antes de contraerla
Pero el test falla 1 vez sobre 1 000Pero el test falla 1 vez sobre 1000
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
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Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo rdquoldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
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Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermo
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
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Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
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5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
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Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
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O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
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Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
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Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
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Cilindro Berto
Buenafuente
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GGRRAACCIIAASS
Juan pasa el test y unos diacuteas maacutes tarde el meacutedico le dice ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no teldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero no te preocupes tienes soacutelo 1 posibilidad sobre 1000 de estar enfermordquoenfermoJuan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque elA lo mejor ya soy viacutectima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis ha g y pdado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestcoacutemo se ha invertido soacutelo su primera f frase
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
Strip II de Escher
Mag Lari Berto
Buenafuente
Cilindro Berto
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Cilindro Banda de Moumlbius
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Cilindro (con giro de 360 grados)
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Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo
Juan piensa Eso es absurdo Si el test se equivoca 1 vez de cada 1 000 y mi test es positivo la probabilidad de estarde cada 1000 y mi test es positivo la probabilidad de estar enfermo es del 999
A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
pegar una banda por dos de sus extremos opuestos o bien se obtiene un cilindro (si antes de (pegar los extremos se gira uno de ellos un muacuteltiplo par de 1800) o bien una banda de Moumlbius (sio bien una banda de Moumlbius (si antes de pegar los extremos se
gira uno de ellos un muacuteltiplo impar de 1800)impar de 1800)hellip
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A l j i i d l f d d lA lo mejor ya soy victima de la enfermedad y aunque el meacutedico me ha dicho ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado negativordquo yo he entendido ldquotu test en retrocapiroscosis hanegativo yo he entendido tu test en retrocapiroscosis ha dado positivordquo y entonces probablemente no estariacutea enfermo Pero iquestse ha invertido soacutelo su primera frase iquest p
O a lo mejor mi enfermedad me ha hecho invertir soacutelo el sentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico hasentido de la segunda frase y en realidad el meacutedico ha dicho
ldquotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Perotu test en retrocapiroscosis ha dado positivo Pero preocuacutepate porque tienes 1 posibilidad sobre 1000 de no estar enfermordquo iquest
En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
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Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
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5 Y para5 Y para terminarhellip un
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Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
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Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
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En realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacuteEn realidad Juan divaga lo que ha dicho el meacutedico estaacute bien es la paradoja de los falsos positivos
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute p aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas
t 100 l t t aacuteestas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 99 9) con lo que es muydel 999) con lo que es muy probable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas p
Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
uacute i b d )un uacutenico borde)
iquestQueacute se obtiene si antes de pegar los extremos de la tira depegar los extremos de la tira de papel se gira uno de ellos 3600 Se trata (topoloacutegicamente) de un cilindro este objeto y el obtenidocilindro este objeto y el obtenido al pegar sin realizar ninguacuten giro
son homeomorfos se estaacute id tifi d ( d ) d lidentificando (pegando) del
mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
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Si hacemos pasar el test a 100 millones de personas habraacute aproximadamente 100 personas enfermas y parahabraacute aproximadamente 100 personas enfermas y para casi todas estas 100 personas el test seraacute positivo (la fiabilidad del test es del 999) con lo que es muy ) q yprobable que se equivoque para 1 oacute 2 de esas 100 personas
Para las 99999900 personas restantes el test se equivocaraacute aproximadamente 1 vez por 1000 es decir aproximadamente 100000 veces Son los falsos positivos y su gran cantidad es la clave de la explicacioacuten A causa de ellos en total entre las 100 000+100 personasA causa de ellos en total entre las 100000+100 personas aproximadamente para las que el test es positivo no hay maacutes que unas 100 que estaacuten enfermas y q qEs decir entre las personas con test positivo hay aproximadamente 11000 que estaacuten realmente enfermas
De hecho es un problema de probabilidades p pcondicionadas si la probabilidad de estar enfermo es de 11000000 y el test se equivoca con probabilidad de 11 000 t l b bilid d d t f11000 entonces la probabilidad de estar enfermo sabiendo que el test ha dado positivo es de
11002
Asiacute que Juan puede estar tranquilotranquilo
Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
deberiacutea empezar a preocuparsepreocuparse
5 Y para5 Y para terminarhellip un
poco de t l iacutetopologiacutea
Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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Ahora si se hace otro test y t bieacute l d ititambieacuten le da positivo ya
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Si t ti d l l tSi se toma una tira de papel y se pegan los extremos se obtiene un cilindro es decir una superficie que tiene como
bordes dos circunferencias disjuntas y dos lados
Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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Si se hace lo mismo pero antes de pegar los extremos se gira uno de ellos 1800 se obtiene es una banda de Moumlbiusuno de ellos 180 se obtiene es una banda de Moumlbius
La banda de Moumlbius soacutelo tiene una cara (y
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mismo modo en ambos casos Soacutelo hay dos posibilidades al
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Buenafuente
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Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Cilindro Berto
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Cilindro Banda de Moumlbius
Buenafuente
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
GGRRAACCIIAASS
Cilindro Banda de Moumlbius
Cilindro (con giro de 360 grados)
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