Dedução da Equação da Onda Esférica

João Carlos Moreno BragaUniversidade Federal Fluminense

Palavras Chaves :Solução de Equação Diferencial Parcial, Coordenadas Esféricas, Equação da onda.

Resumo

A equação da onda é inalterada sob rotações das coordenadas espaciais, e conseqüentemente pode-se encontrar soluções que dependem somente da distância radial de um ponto dado. Essas soluções devem apenas obedecer à equação 2Ψ=0.

1. Introdução

A equação de onda é uma importante equação diferencial parcial linear de segunda ordem. Ela descreve a propagação de uma variedade de ondas, como ondas de som e luz. E por isso é de suma importância nos campos como acústica, eletromagnetismo, e dinâmica fluidos. Historicamente, o problema de uma corda vibrando tal como a de um instrumento musical foi estudado por d'Alembert de Jean le Rond, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, e Joseph-Louis Lagrange.

2. Desenvolvimento

Solução da Equação da Onda Esférica

⊡ ² Ψ ( x , θ ,ϕ , t )=0

⊡2=∇2− 1c ²

∂ ²∂ t ²

∇2= 1r2

∂∂ r (r2 ∂

∂ r )+ 1r2 sin2 ϕ

∂∂ϕ (sin ϕ ∂

∂ ϕ )+ 1r2 sin2 ϕ

∂ ²∂θ2

⊡ψ2=∇2ψ− 1c ²

∂² ψ∂ t ²

1r2

∂∂r (x2 ∂ ψ

∂ x )+ 1r2 sin2 ϕ

∂∂ ϕ (sin ϕ ∂ψ

∂ ϕ )+ 1r2 sin2 ϕ

∂ ²ψ∂ θ ²

− 1c ²

∂ ² ψ∂ t ²

=0

Usando o método da separação de variáveis.

ψ=R (r ) P (θ ) φ (ϕ )T (t )

PφTr2

ddr (r2 ∂ R

∂ r )+ PRTr2 sin2 ϕ

ddϕ (sin ϕ ∂ φ

∂ ϕ )+ R φTr2sin 2ϕ

∂2 P∂θ2 −PRφφ

c2∂2T∂ t2 =0

1r2 R [r2 ∂ R

∂ r+r ∂ R

∂ r ]+ 1r ² φsin ϕ [sin ϕ d ² φ

dϕ ²+cos ϕ dφ

dϕ ]+ 1r ² Psin ² ϕ

d ² Pdθ ²

− 1Tc ²

d ² Tdt ²

=0

1r2 [r2 R ' '+srR '

R ]+ 1r2 [r φ'+cotgϕ φ '

φ+

1sin ² ϕ

P ' 'P ]= 1

c ² TT ' '= λ1

T ' '= λc ² T → T’’-λc ² T=0→ α ²− λc ²=0

Como esperamos que a função varie harmonicamente com o tempo, fazemos:λ1=m2 α=± mciT(t)=e−iωt ω=mc

1r2 [r2 R ' '+srR '

R ]+ 1r2 [r φ'+cotgϕ φ '

φ+

1sin ² ϕ

P ' 'P ]=−m ²

[ rR ' '+sr R'

R+m ² r ²]+[ φ ' '+cotgϕ φ '

φ+

1sin ² ϕ

P' 'P ]=0

[ rR ' '+sr R'

R+m ² r ² ]=−[ φ' '+cotgϕ φ '

φ+

1sin ² ϕ

P ' 'P ]=λ2

λ2sin²ϕ=

−[ φ' ' sin ² ϕ+sin ² ϕcotgϕ φ 'φ

+P' 'P ]−λ2sin ² ϕ=0

φ' ' sin ² ϕ+sin ² ϕcotgϕφ 'φ

+ P ' 'P

+λ2sin ² ϕ=0

φ' ' sin ² ϕ+sin ² ϕcotgϕ φ 'φ

+λ2sin ² ϕ=−P ' 'P

=− λ3

P ' 'P

=λ3⟹P' '−λ3 P=0

Como P(θ ¿ é Periódico de período 2 π .λ3=−n ²⟹α=±∋⟹P (θ )=e−inθ

φ' ' sin ² ϕ+sin ² ϕcotgϕ φ 'φ

+λ2sin ² ϕ=n ²

φ ' ' si n2 ϕ+si n2 ϕcotgϕ φ '+φ λ2 si n2 ϕ−n ² φ=0Dividindo por sin²φ:

(I) φ ' ' +cotgϕ φ'+[ λ2−n ²

sin ² ϕ ]φ=0

Fazendo uma mudança de variável:

S=cosϕ

dφdϕ

=dφdS

dSdϕ

=−dφdS

sinϕ

d ² φdϕ ²

=−ddϕ [ dφ

dSsinϕ]=−sinϕ d ² φ

dS ²dSdϕ

−dφdS

cosϕ

d ² φdϕ ²

=sin ² ϕ d ² φdS ²

−cosϕ dφdS

S=cosϕ⟹√1−S ²=sinϕSubstituindo em (I)

sin ² ϕ d ² φdS ²

−cosϕ dφdS

−cotgφsinφ dφdS

+¿

( II ) (1−S2 ) d2φd S2−2S dφ

dS+[ λ2−

n2

(1−S2) ]φ=0

Sob esta forma esta equação lembra a equação de Legendre. Para explorar esta semelhança faremos a segunda mudança de variável.

φ=(1−S ²)n2 ω

dφdS

=(1−S ²)n2 dω

dS+ n

2(1−S2 )

n2−1

(−2S)ω

dφdω

=(1−S2 )n2 dω

dS−

nS (1−S2 )n2

(1−S )2ω

¿ (1−S2 )n2 [dω

dS− nSω

(1−s2 ) ]d ² φdS ² =(1−S ²)

n2 d ² ω

dS ² +n2

(1−S2)n2−1

(−2 s ) dωdS −[nS (1−S ²)

n2−1 dω

dS +n(1−S ²)n2−1

ω+ns( n2−1) (1−S2 )

n2−2

(−2 S)ω]d ² φdS ²

=(1−S ²)n2 d ² ω

dS ²−

ns (1−S ²)n2

(1−S ²)❑dωdS

−ns (1−S ²)

n2

(1−s2)dωds

−n (1−S2 )

n2

1−S2 ω+2 nS ² [ n2−1] (1−S2 )

n2

(1−S2 )2ω

d ² φdS ²

=(1−S ²)n2 [d ² ω

dS ²− 2 ns

(1−S ²)❑dωdS

− n1−S2 ω+ n ² S ²

( 1−S2 )2ω− 2 nS ²

(1−S2 )2ω]

d ² φdS ²

=(1−S ²)n2 [ d ² ω

dS ²− 2 ns

(1−S ²)❑dωdS

+ω [ −n1−S2 +

n ² S ²(1−S2 )2

− 2 nS ²(1−S2 )2 ] ]

d ² φdS ²

=(1−S ²)n2 [ d ² ω

dS ²− 2ns

(1−S ²)❑dωdS

+ωn[−2S ²+nS ²−(1−S2)

(1−S2 )2 ]]d ² φdS ² =(1−S ²)

n2 [ d ² ω

dS ² −2 ns

(1−S ²)❑dωdS +ωn[ 1−S2 (n−1 )

(1−S2 )2 ]]Substituindo em (II)

(1−S ²)1+ n

2 d ² ωdS ² −2nS ² (1−S ²)

n2 dω

dS −nω1−S2 ( n−1 )(1−S ²)

n2

(1−S2 )2−2 S (1−S ²)

n2 dω

dS +2nS ²(1−S ²)n2 dω

ds +2n S2 (1−S 2)

n2

1−S2 ω−[ λ2−n2

1−S2 ] (1−S2 )n /2ω=0

Dividindo por: (1−S2 )n2

(1−S ²)n2 d ² ω

dS ²−2 nS dω

dS−nω 1−S2 (n−1 )

(1−S2)2 −2 S dωdS

+ 2 n S2

1−S2 ω+[ λ2−n2

1−S2 ]ω=0

(1−S ²)n2 d ² ω

dS ²−(2nS+2 S ) dω

dS+ω( 2n S2

1−S2 −n 1−S2 (n−1 )(1−S2 )2

+λ2−n2

1−S2 )=0

(1−S ²)n2 d ² ω

dS ² −(2 nS+2 S ) dωdS +ω( 2 nS ²−n (1−S2 (n−1 ) )+λ2 (1−s2 )−n ²

(1−s2) )=0

(1−S ²)n2 d ² ω

dS ² −2 S (n+1 ) dωdS +ω(2 nS ²−n+n ² S ²−nS ²+λ2 (1−s2 )−n ²

(1−s2) )=0

(1−S ²)n2 d ² ω

dS ² −2 S (n+1 ) dωdS +ω ( λ2 (1−s2 )−n(1−S2+n−ns)

(1−s2) )=0

(1−S ²)n2 d ² ω

dS ² −2S (n+1 ) dωdS +ω ( λ2 (1−s2 )−n ( n+1 )(1−S2)

(1−s2) )=0

(1−S ²)n2 d ² ω

dS ²−2S (n+1 ) dω

dS+ω ( λ2−n (n+1))=0

Portanto se fizermos λ2=l(l+1) esta equação será satisfeita pelos Pl

(n )→ n−esimaderivada de Pl

φ lm=sinϕn Pln(cosθ)

λ2=l (l+1 ) — voltando a equação em Rr2 R' '+2 rR'

R+m2 r2=l (l+1 )

r2 R' '+2 r R '+(m2r2−l (l+1 ) ) R=0

Fazendo x=mr e R(r)→ y (r )

x2

m2d2 y

d ( xm )

2 +2 xm

dy

d ( xm)

+( x2−l ( l+1 ) ) y=0

x ² d2 yd x2 +2 x dy

dx+ (x2−l ( l+1 ) ) y=0

y ( x )=u ( x ) x−12

dydx =x

( 12 ) du

dx +u ( x )(−12 ) x

−32

d2 yd x2 =x

−12 d2u

d x2−2

2 2√x3

dudx

+ 34√ x3

u ( x )

d2 yd x2 =

1√x

d2 ud x2−

1√ x3

dudx

+ 34 √x5 u ( x )

Substituindo na equação III

x2[ 1√ x

d2ud x2 −

1√ x3

dudx

+ 34√x5

u (x)]+2 x [ 1√ x

dudx

−u(x )

2√ x3 ]+[ x2−l (l+1)] u(x )√x

=0

x2

√xd2 ud x2 +[ 2 x

√x− x2

√x3 ] dudx

+[34

x2

√ x5− x

√ x3+x2−l(l+1)] u(x)

√x=0

x2

√xd2 ud x2 +[ 2 x

√x− x2

√x3 ] dudx

+[ 34

x2

x2√ x− x

x √x+ x2

√ x−

l ( l+1 )√ x ]u(x )=0

x2

√xd2 ud x2 + x

√xdudx

+[ 34

1√x

− 1√x

+ x2

√ x−

l ( l+1 )√ x ]u(x )=0

d2ud x2 +

1x

dudx

+[ 14 x

−1− l (l+1 )x2 ]u(x)=0

d2ud x2 +

1x

dudx

+[1−(l2+l)x2 − 1

4 x2 ]u(x )=0

d2ud x2 +

1x

dudx

+[1−(4 l2+4 l+1)4 x2 − 1

4 x2 ]u(x )=0

d2ud x2 +

1x

dudx

+[1−4 (4 l2+l+1/ 4)4 x2 − 1

4 x2 ]u(x )=0

d2ud x2 +

1x

dudx

+[1−4 (l+1/2)x2 ]u(x )=0

Comparando com a equação de Bessel modificada:

d2 zd t 2 +

2v+1t

dzdt

+[ v2−∝2 p2

t2 +∝2 β2

t 2−2∝ ] z=0

2 v+1=1→ v=0

v3−∝2 p2=−¿¿

∝2 β2=1→ β2=1→ β=±1

Com l= inteiro e p≠ inteiro.

A solução é do tipo:

u ( x )=x−0 {J (x )e+1/2+J (x)−e−1/2 }

y ( x )=u (x)√ x

y ( x )=c1 J (x)e+1/2

√ x+

c2 J (x )−e−1/2

√x

Je (x )=√ 1πx

J e+1/2→ J e+ 1/2=√πx J e( x)

ne ( x )=√ 1πx

N e+1 /2 → Je +1/2=A√πx ne (x)

N ( x )e+1/2 J ( x )−e−1 /2

y ( x )=c1 J (x)e+1/2

√ x+

c2 J (x )−e−1/2

√x

y ( x )=Ae J e ( x )+Be ne (x)

x=mr

R (r )=Ae Je (mr )+Be ne(mr)

Ψ (r , θ ,∅ , t )=R (r ) P (θ ) G (∅ ) T ( t )

Ψ (r , θ ,∅ , t )=∑em ,n

Ψ em ,n(†)

(*) Agora consideremos ym (θ ,∅ ) uma função já conhecida denominada Harmônica esférica e seja:

1sin ϕ

∂∂ ϕ (sin ϕ ∂ ² Y

∂ θ ² )+ 1sin ² ϕ

∂ ² Y∂θ ²

+λY =0

O autovalor λ será determinado pela segunda equação [Y(ϕ , θ) deve ser finito para 0 ≤ ϕ ≤ π e para 0 ≤ θ ≤ 2π], e teremos funções características Y λ(ϕ,θ) correspondentes a estes auto autovalores. Então, toda a função ψk poderá ser descrita por uma superposição do tipo

ψk (r) = ∑λ

C λRλ(r)Yλ(ϕ,θ).

Observação. A “soma” em relação a λ deve ser considerada simbólica, pois ainda não exploramos a natureza do espectro de λ: se é continuo ou discreto, se há ou não degenerescências.

Para determinarmos os valores permissíveis de λ, completamos a separeção de variáveis, fazendo Y( ϕ, θ) = Θ(ϕ)Φ(θ). Isso conduz às equações

∂∂ ϕ (sin ϕ ∂ Θ

∂ ϕ )+(−sin λ1 ϕ+λ1

sin ϕ )Θ=0, ∂ y∂ x

− λ1Φ=0

Que já resolvemos. Sabemos que o espectro de λ 1 é discreto, e consta de λ 1 = -m²(m = 0,1,2,...), e as funções características podem ser definidas como segue.

Para m=0,

Φ0(θ) = 1,

e para m ≠0

cos mθ

Φm(θ) = ou

sen mθ

Estas funções são ortogonais entre si e suas integrais de normalização são

∫0

2 π

[Φ0(θ) ] ² dθ=¿2 π , ¿ ∫0

2π

cos ² mθ dθ=∫0

2 π

sin ² mθ dθ=π

É agora conveniente termos estas funções características normalizadas de modo a terem norma 1, multiplicando-as por constantes apropriadas de maneira que todas as integrais de normalização sejam iguais à unidade. Esta condição define as funções normalizadas

Φ0(θ) = 1

√2 π (m =0),

Φm(+)(θ) =

1√π

cosmθ

(m ≠0),

Φm(-)(θ) =

1√π

sin mθ

onde os símbolos (+) e (-) nos lembram que estas funções são pares ou ímpares com relação à mudança θ ↔ - θ. No que concerne às funções Θ, sabemos que o espectro de λ é também discreto, com

λ = - l ( l + 1 ) ( l = 0,1,2,3,...)

mas para que um m dado, devemos ter l ≥m. As soluções da equação em Θ são as funções de Legrendre associadas Pl

m(cos ϕ). É conveniente normalizá-las para também terem norma um, definindo

Θlm(cos ϕ) = √ 2 l+1

2. (l−m )!

(l+m) !Pl

m(cos ϕ),

de maneira que

∫0

π

[Θlm(cosϕ )] ² sin ϕ dϕ = 2l+1

2. (l−m )!

(l+m )! ∫−1

+1

[ Plm(x)] ² dx=1

Deveria agora estar claro que a equação dos autovalores

1sin ϕ

∂∂ ϕ (sin ϕ ∂ Y

∂ ϕ )+ 1sin ² ϕ

∂ ²Y∂ θ ²

+λY =0

Possui os autovalores

λ = - l (l + 1) (l = 0,1,2,...),

Que são contudo, degenerados (exceto se l=0), pois para cada valor fixo de l temos várias funções características, ou seja

Φ l0 (cos∅ ) Θ0 (θ ) ,

Φl1 (cos∅ ) Θ1

¿¿

Φ l2 (cos∅ ) Θ2

¿¿

E assim, sucessivamente, até

Φ ll (cos∅ ) Θl

¿¿

Assim, cada valor de l corresponde a (2l+1) funções características distintas, e assim exibe uma degenerescência de ordem (2l+1).

Definimos agora as soluções fundamentais da EDP( satisfeitas as condições de contorno apropriadas)

1sen∅

∂∂∅ (sen∅ ∂ Y

∂∅ )+ 1sen2∅

∂2

∂θ2−l (l+1 )Y =0

Por meio das fórmulas

Y l 0 (∅ , θ )=√ 2 l+14 π

P l (cos∅ )(m=0),

Y lm¿¿

¿√ 2 l+12 π

( l−m )!(l+m )!

Plm (cos∅ ) cosmθ

(m≠0)

Y lm¿¿

¿√ 2 l+12 π

( l−m )!(l+m )!

Plm (cos∅ ) cosmθ

Estas soluções podem ser chamadas de harmônicas esféricas (na definição clássica).Segue-se que a série de Ψk(r) do tipo

Ψ k (r )=∑λ

C λ Rλ (r ) Y λ (∅ , θ )]

Deveria, em realidade, ser da forma

Ψ k (r )=∑λ

Rl (r )¿¿

Suponha que r seja fixo; então Ψ k (r ) torna-se uma função somente de ∅ eθ e estamos lidando com uma expressão do tipo

f (∅ , θ)=∑l=0

A l 0Y l 0 (∅ ,θ )+∑m=1

l

¿¿¿

Este desenvolvimento em série é válido para uma função arbitrária f (∅ , θ ) sujeita a condições usuais semelhantes ás exigidas para as séries de Fourier, séries de Fourier-Legendre, séries de Fourier-Bessel e outras. Os coeficientes do desenvolvimento são obtidos multiplicando f (∅ , θ ) pela harmônica esférica correspondente e pelo fator sen∅ , e integrando em relação aos ângulos:

Al 0=∫0

π

∫0

2 π

f (∅ , θ ) Y l 0(∅ ,θ)sen∅ d∅ dθ (m=0 ) ,

Al 0( ± )=∫

0

π

∫0

2 π

f (∅ ,θ )Y l 0(∅ ,θ) sen∅ d∅ dθ (m ≠ 0 ) ,

Portanto verificamos a solução formal de (†):

Ψ (r , θ ,∅ , t )=∑n=1

∞

∑l=0

∞

∑m=1

∞

( jl (mr ) ) y lm (∅ ,θ ) (Cnlm e−iwt+Cnlm e iwt )

Obs: Não colocamos a função de Neumann pelo simples fato da constante que multiplica tal função admitir valor zero. A solução está de acordo, pois se tivéssemos a função de Neumann, a mesma teria problema no ponto zero pois a função é mal comportada nesse ponto.

3. Conclusão

A partir das soluções expostas, podemos concluir que as mesmas satisfazem a equação inicial 2Ψ=0. E podem ser testadas em um vasto conjunto de condições. Esses resultados são muito importantes, visto que nos permitem presumir o comportamento de uma onda esférica no espaço-tempo.

Referências

Teoria do Eletromagnetismo - Vol 1, Kleber Daum Machado, editora UEPG, Ponta Grossa, 2000.

Mathematical Physics - Eugene Butkov, Addison-Wesley, New York, 1968.