Trabalho de Métodos Matemáticos

Professor: Altair

Turma B1

Alunos:

Eduardo Aidê

Ricardo Lustosa

Introdução:

Série de Fourier é a representação de uma função periódica como soma de funções também periódicas do tipo x –> e-inx , harmônicas do tipo eix.

Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou senóides. As séries de Fourier podem ser calculadas pela forma trigonométrica ou pela forma complexa.

Séries Duplas de Fourier:

Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano se:

i. f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um

número finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos

diferenciáveis simples, ou em ambos e;

ii. existe lim( x , y )→( x0 , y0 )

f (x , y ) quando (x0 , y0) é um ponto de descontinuidade de f

e (x,y) tende a (x0 , y0) pelo interior de qualquer uma das regiões em que R

é dividida pelos arcos de descontinuidade

¿ f , g>¿∬ f ( x , y ) g (x , y )dR

¿ f , g>¿∫a

b

∫c

d

f (x , y ) g ( x , y )dx dy

¿ f , g>¿∭…f (x , y , z ,… )g ( x , y , z ,… )dx dy dz…

Teorema: Sejam {f i ( x ) } e {g j ( y )} bases ortogonais dos espaços euclidianos

CP [a,b] e CP [c,d], respectivamente. Então, o conjunto de todos os

produtos {f i ( x ) g j ( y ) }, i = 1,2,... uma base de CP(R), onde R é o retângulo a

≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.

SÉRIE DUPLA DE FOURIER GERAL

f ( x , y )=∑i , j∝i , jhi , j(x , y)

1) Base para CP [-π, π]

f(x) Є CP [-π, π], x Є [-π, π]

{cos nx, sen mx} n=0,1,2,…m=1,2,3 ,…

2) Base para CP[-π, π]

f(y) Є CP [-π, π], y Є [-π, π]

{cos px, sen qx} j=0,1,2,…q=1,2,3 ,…

Assim,

3) Base para CP(R)

{cosnxcos py ,cosnx senqy , senmx cos py , senmx senqy }

Cálculo dos coeficientes de Fourier:

f ( x , y )ЄCP (R )

f ( x , y )=∑i , j∝i , jhi , j ( x , y )

∝i , j=¿ f , hi , j>¿

‖hi , j‖²¿

∝i , j=1

‖hi , j‖²∫−π

π

∫−π

π

f ( x , y )hi , j ( x , y )dxdy

ϑ i ( x )ϑ j( y )

Assim,

f ( x , y )=∑n=0

∑p=0

∝np cosnx cos py+∑n=0

∑q=1

∝nqcos nx senqy

+∑m=1

∑p=0

∝mp senmx cos py+¿∑m=1

∑q=1

∝mq senmx senqy¿

onde,

‖cos (ix)cos( jy)‖²={ 4 π ²2t ²

π ² , i≠0e j≠0

Exemplo: F(x,y) = xy

α np=1

‖cos nxcos py‖²∫−π

π

∫− π

π

xy cosnx cos py dxdy=0

α nq=1

‖cos nx senqy‖²∫−π

π

∫−π

π

xy cosnx sen qydxdy=0

αmp=1

‖senmx sen py‖²∫− π

π

∫−π

π

xy senmx sen py dxdy=0

αmq=1

‖senmx senqy‖²∫−π

π

∫−π

π

xy sen mx sen qydxdy=¿

αmq=∫−π

π

∫−π

π

xy senmx senqy dxdy

∫−π

π

∫−π

π

sen ²mx sen ²qy dxdy=¿

αmq=1π ²∫−π

π

∫−π

π

x senmx dx y senqy dy=¿

αmq=1π ²∫−π

π

x senmxdx∫−π

π

y senqy dy=¿αmq=4π ²∫0

π

x senmxdx∫0

π

y senqy dy=¿

αmq=4π ² [(−1)m+1 π

m ][(−1)q+1 πq ]=¿

αmq=(−1)m+1 4mq

xy= f ( x , y )=4 [sen x sen y− sen x sen 2x1.2

− sen2 x sen y2.1

+ sen x sen3 y1.3

+…]xy=f ( x , y )=4∑

m=1

∞

∑q=1

∞

(−1)m+q senmx senqymq

De um modo mais geral, o conjunto de funções

sen(mπa x) sen( nπb y ) , sen (mπa x )cos(qπb y) ,cos( pπa x )sen( nπb y) ,cos( pπa x )cos (qπb y)é uma base de espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo

–a ≤ x ≤ a, -b ≤ x ≤ b.

TEOREMA

Seja R o retângulo –π ≤ x ≤ π, –π ≤ y ≤ π e suponhamos que seja

contínua em R e que ∂F∂ x

, ∂F∂ y

e ∂ ² F∂x ∂ y existam e sejam limitadas em R.

Então, a série dupla de Fourier de F converge pontualmente para F em R.

Convergência Pontual:

Seja f(x) contínua por partes em (-∞,∞), com período 2π, e suponhamos que:

f ( x )=12¿ para todo x. Então, a série de Fourier de f converge para f(x0) em

cada ponto x0 em que f tem derivadas à direita e à esquerda.

f ¿

f ¿

Quando f é contínua: f ¿

limx→ 1+¿ f ( x )=0¿

¿

limx→ 1−¿ f ( x )=1¿

¿

Convergência em média:

limk→∞

‖f k−f‖=limk→∞ (∫

a

b

[ f k ( x )−f (x)] dx )=0

{ f k ( x ) }→k→∞ f (x )

Mais uma vez ressaltamos que a série converge em média para f, e não que converge pontualmente, no sentido que

f (x0)=a02

+∑n=1

∞

(an cosn x0+bn sin n x0) para todo x0 em [-π,π]. A

convergência pontual ocorre, surpreendentemente, quando f é razoavelmente bem comportada.

f ( x )={−1 ,−π<x<01,0<x<π

f ( x )= 4π∑k=1

∞ sin (2k−1 ) x2k−1

(média). Neste caso a série converge também

pontualmente para f nos pontos de [-π,π], onde f está definida. Além disso, quando x=0, ±π, a série obviamente converge para zero, embora f não esteja definida nesses pontos.

Teorema: seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp[-π,π]. Então, o desenvolvimento em série de Fourier de f converge pontualmente [-π,π], e tem o valor:

f ¿¿ em cada ponto x0 do interior do intervalo, e f ¿¿ em ± π.

Obs: f ¿¿ é a média dos limites à esquerda e a direita de f em x0, e é igual a f(x0) quando x0 é um ponto de continuidade de f.

Assim podemos afirmar que a série:

4π∑k=0

∞ sin (2k−1 ) x(2k−a )

= 4π [sin x+ sin3 x3 + sin 5 x

5+… ] converge pontualmente no

intervalo [-π,π] para:

-π se –π < x < 0

Ou se x = - π,0,π

Ou se 0 < x < π

Convergência absoluta e uniforme:

Teorema: seja f uma função contínua em (-π,π), com período 2π, e suponhamos que f tenha derivada primeira contínua por partes. Então a série de Fourier de f converge uniformemente e absolutamente para f em todo intervalo fechado do eixo x.

Teorema: Seja f continuamente diferenciável por partes e periódica em (-∞,∞) com período 2π. Então a série de Fourier de f converge uniformemente para f em qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de f.

Conclusão:

Conclui-se, após esse estudo, que as Séries de Fourier são importantes pois elas podem representar diversos tipos de equações, como as de Onda e Calor, aplicáveis nos estudos de Engenharia.

Referências:

Notas de aulas – Séries de Fourier, A.S. Assis, 2010

Apostila de Séries de Fourier, R.O. Sacramento, 1980

Introdução à análise linear - autor. Donald L. Kreider, Robert G. Kuller