Loγγos Rivista scientifico-culturale on line SEZIONE: Scienza-Teoria dei Quanti

LLAA CCOONNDDEENNSSAAZZIIOONNEE DDII BBOOSSEE--EEIINNSSTTEEIINN

Ricevuto: Luglio 5, 2000 In Rete: Novembre 20, 2000

Autore: Francesco Francica

Studente di Fisica, Università della Calabria,

Italia

Discutiamo la possibilità di osservare un nuovo stato della materia che si manifesta alle proibitive temperature di qualche 0K. Ciò è reso possibile poiché, a tali temperature, entra in gioco un “comportamento quantistico” della materia non trascurabile. Gli atomi sono normalmente considerati come particelle ma, in accordo con la Teoria dei Quanti, hanno anche proprietà tipicamente ondulatorie.Infatti, un atomo ha una lunghezza d’onda di de Broglie, inversamente proporzionale al suo momento, che cresce al diminuire della temperatura.

Circa 70 anni fa Bose edEinstein predissero che a temperature sufficientemente basse la lunghezza d’onda di de Broglie diventa maggiore della distanza inter-atomica ottenendo così la “sovrapposizione degliatomi” che diventano indistinguibili. Si ha uno stato coerente della materia, Condensato di Bose-Einstein (BEC), dove le leggi della Meccanica Quantistica governano il comportamento macroscopico del sistema.

Parole chiave: Bosoni eFermioni; Gas di Bose; Onde di Materia; Stato Coerente; Fase; Particelle Indistinguibili; Statistica Quantistica; Condensazione di Bose-Einstein; Elio Liquido; Superfluidità; Raffreddamento e Intrappolamento d’Atomi.

2

In principio era il Verbo, e il Verbo era

L’Idrogeno …

Harlow Shapley

LLAA CCOONNDDEENNSSAAZZIIOONNEE DDII BBOOSSEE--EEIINNSSTTEEIINN

Nel 1924 il fisico indiano Satyendra Nath Bose inviò ad Albert Einstein un articolo in cui,

trattando i fotoni come un gas di particelle identiche, era riuscito a derivare la legge di

Planck per la radiazione di corpo nero, risolvendo uno dei problemi principali della fisica

d’inizio secolo.

Infatti, la deduzione della legge della radiazione di corpo nero con il metodo di Planck,

anche se ha avuto un brillante successo, non è del tutto soddisfacente poiché poggia ancora

sulle leggi classiche dell’emissione e dell’assorbimento da parte di un oscillatore. In realtà

bisogna minare le basi della statistica classica e fondare una nuova “statistica quantistica”.

In tale direzione si è mosso Bose nel 1924, quindi Einstein nel 1925 applicò tale teoria al

caso di un gas ideale di atomi considerandoli come particelle indistinguibili. Il

procedimento è analogo al caso dei fotoni, l’unica differenza è che in questo caso si

conserva il numero delle particelle.

Inoltre Einstein predisse che, abbassando sufficientemente la temperatura, gli atomi di un

gas bosonico ideale avrebbero occupato un solo “stato quantico” macroscopico,

comportandosi come un’unica entità fisica. Questo comportamento singolare che viene a

creare un nuovo stato di aggregazione della materia, in cui gli atomi perdono la loro

individualità per dare luogo ad un comportamento “coerente”, è chiamato Condensazione di

Bose-Einstein (BEC).

Notiamo che la BEC può avvenire solo quando il numero delle particelle è conservato. Per

esempio, i fotoni non condensano ma possono comparire e scomparire nel vuoto.

Statistica Quantistica di un Gas Ideale

L’ipotesi su cui si basa la nuova statistica è la completa indistinguibilità delle particelle

identiche. Infatti, risulta privo di significato assegnare dei labels alle particelle identiche

poiché lo stato è completamente descritto specificando il numero di particelle che lo

popolano.

3

Ogni particella è descritta assegnando la sua funzione d’onda, mentre un sistema di

particelle, in prima approssimazione, è descritto dal prodotto delle funzioni d’onda delle

singole particelle.

La descrizione dello stato di un siffatto sistema deve avvenire necessariamente con una

funzione d’onda simmetrica o antisimmetrica, non esistendo altre funzioni d’onda che

soddisfano i requisiti dell’indistinguibilità.

Se contiamo gli stati possibili sulla base delle loro funzioni d’onda ci troviamo di fronte a

due statistiche:

-la Statistica di Bose-Einstein nel caso di funzioni simmetriche

-la Statistica di Fermi-Dirac nel caso di funzioni antisimmetriche

Quindi in natura un sistema di N particelle identiche può essere di due tipi, in relazione alle

due statistiche possibili.

In aggiunta ai due sistemi naturali è conveniente definire un sistema di particelle, noto come

sistema di Boltzmann, che non esiste in natura, poiché le particelle sono bosoni o fermioni,

ma è un modello matematico che ad alte temperature descrive bene il comportamento

termodinamico di entrambi i sistemi reali. Già a temperatura ambiente il comportamento di

un gas segue le leggi della meccanica statistica classica di Boltzmann: ogni atomo si

comporta come una particella distinta che segue traiettorie proprie, interagendo con le altre

particelle e con le pareti del contenitore.

Normalmente gli atomi sono considerati come particelle ma, in accordo alla meccanica

quantistica, presentano anche delle proprietà ondulatorie. Infatti, a ciascun atomo

corrisponde un “pacchetto d’onde” con dimensione spaziale dell’ordine della lunghezza

d’onda termica di de Broglie

Tkm

h

B2πλ =

Tale quantità è una misura dello spread della funzione d’onda quantistica degli atomi, così

quando la distanza media tra gli atomi d diventa paragonabile con λ � le funzioni d’onda di

atomi adiacenti si sovrappongono ed essi perdono la loro identità. A differenza dei fermioni,

per i quali vale il principio di esclusione di Pauli che li forza a rimanere in stati quantici

diversi, i bosoni tendono ad occupare insieme lo stesso stato quantico. Tale comportamento

è responsabile dell’elevato numero di atomi che si trovano nello stato di minima energia

quando la temperatura è sufficientemente bassa da avere d≈λ . A questo punto il gas entra

in una nuova fase, con molti bosoni formanti un singolo stato quantico coerente, dove le

leggi della statistica quantistica governano il comportamento del sistema macroscopico.

Questo è possibile a basse temperature, mentre a temperatura ambiente λ è molto più

4

piccola della distanza media tra gli atomi così le onde di materia sono “incoerenti” ed il gas

è descritto dalla statistica di Boltzmann.

Lo stato coerente della materia nella BEC è descritto da una funzione d’onda macroscopica,

ed è analogo allo stato coerente della luce in un fascio laser. Infatti ad un gas di atomi

ordinario è associata una collezione di “onde di materia” non correlate, come si ha per la

luce ordinaria. Ma nella BEC gli atomi perdono la loro identità essendo descritti da una

singola funzione d’onda e perciò crea una forma di materia coerente, come la luce coerente

di un laser.

La BEC ed il LASER sono entrambi sistemi macroscopici che esibiscono un

comportamento quantistico tipicamente confinato a sistemi microscopici.

Gas Ideale di Bose: Comportamento Termodinamico

La BEC è di solito descritta per un ensemble di N bosoni identici non interagenti, confinati

dentro una scatola di volume V in equilibrio termodinamico alla temperatura T: gas di Bose

diluito.

L’assenza di interazione mutua ci permette di determinare i livelli energetici En del sistema

determinando i livelli energetici di una singola particella, precisamente ogni autovalore di

energia di un sistema ideale è una somma dell’energia di ogni singola particella. Questa è

data dall’energia cinetica del suo moto traslazionale

mp

2

2

p =ε

Bisogna ricordare, comunque, che, ogni volta che è assente un’interazione mutua diretta, la

meccanica quantistica provvede a fornire un peculiare effetto mutuo alle particelle che sono

nello stesso stato quantico, chiamato “effetto di scambio”. Occorre inoltre precisare che gli

stati quantici non vanno confusi con i livelli energetici quantistici; diversi stati differenti

corrispondono ad un dato livello di energia se quest’ultimo è degenere.

Sia np il numero di particelle che hanno momento p nello stato considerato, n p è detto

numero di occupazione dello stato quantico. Nel caso dei bosoni un dato stato può essere

occupato da un numero qualsiasi di particelle, quindi non ci sono limitazioni sul valore

ammesso per ogni numero di occupazione ed avremo K,3,2,1,0np = .

Risulta che, per particelle identiche senza spin, lo stato di un sistema ideale è determinato

completamente una volta specificato un set di numeri di occupazione { np }.

5

Infatti, due qualsiasi configurazioni del sistema che differiscono solo per uno scambio di

due o più particelle identiche sono visti come uno stesso stato.

Si può calcolare che il numero di occupazione medio pn per un singolo stato, avente

momento p ed energia εp , di un ensemble di bosoni non interagenti in equilibrio

termodinamico è dato dalla funzione di distribuzione di Bose

1

1

1

1)( pp1

np

−=

−=

µε −ββε−

eez

dove i parametri z e β sono due moltiplicatori di Lagrange e sono determinati dalle

condizioni

Ep

pp n =∑ε Np

pn =∑

il parametro z s’identifica come la fugacità ed è legato al potenziale chimico µ, che è

l’energia richiesta per aggiungere un’ulteriore particella al sistema, dalla relazione ez βµ= ,

mentre dalla termodinamica risulta che Tk

1B

=β .

E’ evidente che fisicamente pn

deve essere positivo quindi risulta che 0p >− µε ,

assumendo inoltre che lo stato fondamentale con p = 0 abbia energia nulla ε0 = 0 segue che

µ < 0 ponendo così la condizione ez βµ= < 1 sui possibili valori che può assumere la

fugacità z.

Bisogna tener presente che, per un dato valore del momento p, lo stato della particella

dipende ancora dall’orientazione dello spin.

Pertanto per ottenere il numero di particelle in un elemento di volume dpxdpydpzdV

nello spazio delle fasi si deve moltiplicare la funzione di distribuzione di Bose per

h

dVdpdpdpgdg

3

zyx=τ

dove g = 2s+1 è il numero di stati di spin possibili, essendo s lo spin della particella.

Risulta che la legge di distribuzione di Bose-Einstein per gli atomi è

1

dgdN

e TkB

)( p

−µε −

τ=

6

Integriamo ora in dV per trovare la distribuzione per le componenti del momento della

particella,inoltre usando le coordinate polari sferiche nello spazio dei momenti ed

integrando su tutti gli angoli, otteniamo

ϕϑϑ= dddppdpdpdp sen2

zyx →

−

−

µεµε −−

πϕϑϑ= =∫ ∫ ∫π π

1h

dppgVdVdsend

1h

dppgNd

TT kk BB

)(

3

2

0

2

0

V

0)(

3

2

pp

4p

ee

Esprimiamo tale distribuzione in termini di energia, utilizzando la relazione

m2p2

p =ε → ε= dmdpp → εε= dmm2dpp2

⇒

−

=

−

=µεµε −−

εεπεεπε

1h

dm2gV4

1h

dmm2gV4Nd

TT kk BB

)()( pp

3

3

3 ee

Queste formule prendono il posto della distribuzione classica di Maxwell.

Se si ignorano le fluttuazioni del numero di particelle attorno al loro valore medio, si può

utilizzare il risultato

∑∑−

==εβ−p 1p

p

1znN

p

1

e

Poiché, per V>>1 , lo spettro degli stati εp di una singola particella del sistema è

approssimabile con un continuo, le sommatorie possono essere riposte con un integrale

∫∑∞ ∞

ε∫=→ εερ0 0p

Nd d)(

Quindi il numero totale medio di particelle è dato da

εεπ∫∞

−

∞

ε

−

µε∫ == d

1h

mgVNdN

0)(

03

3

TkB

p

24

e

(1)

Riscriviamo questa equazione in termini di una nuova variabile di integrazione Tk

xB

pε=

7

( ) )(1

1

22

1

24 zgdxz

x

h

kmgdxxTk

hmg

VN gT

23

B

23B 3

013

0

3

3

x

kx

23

23

TB

)(λ

ππ

ππ =−

=

−

= ∫∫∞

−

∞

− µ e

e

dove Tkm

h

B2π=λ

ed abbiamo utilizzato la funzione di Bose ∑∞

=

∞

=∫ −=

−π10

1 232

3zdx

z

xz1

2)(x

gl

l

le

calcolata in letteratura ed il cui andamento per z∈[0, 1] è monotono crescente.

Pertanto, per una data densità e temperatura, dall’equazione precedente possiamo

determinare implicitamente il potenziale chimico µ del gas, poichè ez βµ= , risolvendo

l’equazione

T

g2

3

1

2

1)(km

hgV

NgV

Nz

B

23

33

λπ

==

Come T diminuisce, con la densità fissata, )(zg2

3 cresce ed essendo una funzione monotona

crescente per z∈[0, 1] si ha una crescita di z che implica una crescita di µ fino a quando non

raggiunge il suo valore massimo annullandosi, poichè µ<0, ottenendo così z = 1, in

corrispondenza del quale

612,2)(1)1( 23

12

32

3g === ζ∑∞

=l

l

l

mentre per tutti i valori di z tra 0 e 1 si ha 612,2)()( 23zg

23 =ζ≤

La temperatura Tc alla quale z = 1 e corrispondentemente µ = 0 , è detta temperatura

critica per la BEC ed è determinata dall’equazione

)1(2

1

22 gTT2

3B

hkmgdxx

hkmg

VN

20

2

cc

23

23

xB

=

−

= π

ππ ∫

∞

e

8

⇒ km

hg

B2)(1

2

23/

32

32

VNTc πζ

=

Per T < Tc è impossibile soddisfare l’equazione (1) per qualsiasi valore reale di µ. Questa

apparente contraddizione nasce poiché per temperature T < Tc non è legittimo riporre la

somma con l’integrale .

Infatti il processo di approssimazione con uno spettro continuo consiste nel considerare una

densità di stati continua ε∝ρ , ciò fa in modo che il peso associato al termine di N

relativo allo stato fondamentale con ε0 = 0 sia nullo.

Questo è chiaramente sbagliato perché in una trattazione quantistica si deve dare un peso

statistico unitario ad ogni stato non-degenere di ogni singola particella del sistema.

Allora bisogna separare il termine con p = 0 , che dà il contributo 0

n relativo allo stato

fondamentale, dalla sommatoria

∑≠≠

−

µε −+=+= ∑

0p

0

0

0

p)(

p

1

111

TkB

VVVVVN nn

np

e

In altre parole, per piccoli valori di z si ha 1Tk B

1 >>=/µ−

− ez ne segue che i termini con i

valori più bassi di εp non contribuiscono molto alla somma, si può così trascurare la

popolazione 0n dello stato fondamentale ed è legittimo riporre la somma con un integrale.

Quando invece z → 1 si ha 1Tk B

1 >>=/µ−

− ez quindi i primi termini discreti nella somma

sono importanti e 0n diventa macroscopica rispetto all’ordine di una frazione non

trascurabile di N non potendo così essere trascurata e non rendendo lecito il passaggio

all’integrale.

L’espressione esatta di 0n si ottiene ponendo ε0 = 0 nel termine in p = 0 della somma

zz

zn

11110 −

=−

=−

Quindi per z→1 possiamo sostituire con buona approssimazione il valore Nz 11−=

nell’espressione precedente ottenendo NNn 10 ≈−= .

9

Un’approssimazione dello spettro continuo più accurata quindi deve essere riferita a tutti gli

stati tranne quello fondamentale. Si ottiene così

∫∞

−+

−πλ=

x1

1

dxz

xgVn

V 121

x30N

e

dove Tk

xB

11

ε= , ε1 è l’energia del primo livello eccitato. È chiaro che l’integrale non

cambia se sottraiamo dalla somma un numero finito di termini, quindi possiamo far partire

l’integrale da zero ottenendo la seguente formula generale

)(11

21 zgN2

330

0

30 g

Vndx

z

xgVn

V x1 λπλ+

−+ == ∫

∞

−e

Per temperature molto basse, ed in particolare nel caso T<Tc , µ è molto vicino allo zero,

così per gli stati di energia maggiori di ε0 che corrispondono al caso 0≠p possiamo

trascurare µ. Ciò significa assumere 1z = , pertanto

)1(g2

330

VgnNλ

= +

Per definizione di temperatura critica abbiamo visto che si ha

)1(g2

3

c

3VgN

λ= da cui segue λ=

c

3

N)1(gV2

3g

dove λc è la lunghezza d’onda termica di de Broglie alla temperatura critica Tc , e

sostituendo nella per T<Tc

λλ ++ ==

TTNnNnN

c

c

23

3

030

avendo esplicitato la relazione per λ che dipende da T 21−

.

10

Quindi il numero totale di particelle con energia εε > 0p sarà

=ε T

TNNc

23

p

mentre le rimanenti

==

−ε TTn

c

2

3

01NN

0

sono nello stato più basso di energia.

Possiamo pertanto concludere che c’è un numero macroscopico di particelle nello stato

fondamentale con 0=p : ( )NOn0 ≈ . Questo curioso fenomeno dove un numero

macroscopico di bosoni si accumulano in un singolo stato quantico è detto BEC.

Un fenomeno di condensazione familiare a tutti, appartenendo all’esperienza comune, è il

passaggio dallo stato di vapore a liquido che si ha nello spazio fisico ordinario, comunque

tale processo di condensazione è concettualmente differente dalla BEC.

In primo luogo la BEC è un fenomeno puramente quantistico che nasce dall’indistinguibilità

delle particelle bosoniche non interagenti. Infatti calcolando l’azione caratteristica di tale

fenomeno nell’isotopo dell’elio 4He , le cui grandezze caratteristiche sono la massa

Kgm 271065,6

−⋅= , la densità 3m/Kg146=ρ ,la temperatura di transizione K19,2T =λ

otteniamo sJmTkmTkmrpA343

1653

1

10222 BB ⋅≈ρ=ρ=⋅=−

⋅−

che risulta dell’ordine di h , ciò implica che il fenomeno è di tipo quantistico.

Inoltre la BEC per un gas bosonico diluito in una scatola di volume V all’equilibrio

termodinamico, ha luogo nello spazio dei momenti e non delle coordinate.

Come abbiamo visto precedentemente 612,2)()1()(2

3gg2

32

3 z =ζ=≤

come conseguenza

di ciò si ha che per dati valori di V e T, il numero totale di particelle negli stati eccitati con

0≠p e εp > 0 è limitato

)( 23

3

VgNp

ζλ

≤ε

Quindi se il numero di particelle N del sistema è maggiore di questo valore limite, è naturale

che gli stati eccitati saranno occupati dal numero massimo di particelle che possono

contenere, che si ha nel caso di uguaglianza nella relazione precedente, mentre le particelle

11

rimanenti si dirigeranno “in massa” nello stato fondamentale con ε0=0 ,la cui capacita è

praticamente illimitata.

Quindi possiamo assumere come condizione per la comparsa della BEC

)( 23

3max

VgNNp

ζλ

=>

ε

che può essere messa nella forma )( 23

3

VN ζλ >

dove il termine λ

3

VN detto

discriminante di degenerazione è un parametro adeguato per esprimere le varie proprietà

fisiche del sistema. Quando diventa dell’ordine dell’unità, il sistema è caratterizzato da

effetti quantistici. È evidente, esplicitando la forma di λ, che tali effetti quantistici sono più

evidenti quando la temperatura è relativamente bassa e la densità ρ=Ν/V relativamente

alta

( )Tkm

h

B2 23

33

πρλρ =

È infatti il rapporto T

23/

ρ , piuttosto che le singole quantità ρ e T separate,che determinano il

grado di degenerazione del sistema. Per esempio, le stelle nane bianche, anche a

temperature dell’ordine di 107 K , costituiscono sistemi statisticamente degeneri. Inoltre,

più piccola è la massa della particella più grande è l’effetto quantistico.

Se invece manteniamo costanti N e V possiamo esprimere la condizione per la BEC in

termini della temperatura ottenendo

ζπ=<

)(VgN

kh

23

B

2

/m

32

2TT c

dove la temperatura critica dipende dalla massa della particella e dalla densità del sistema.

Quindi quando T < Tc c’è una transizione del gas di bosoni liberi, ed il sistema può essere

considerato come un miscuglio di due fasi termodinamiche:

- una fase gassosa, costituita da Npε particelle con 0≠p distribuite negli stati eccitati con

εp > 0

12

- una fase condensata, costituita da NNN p0εε −= particelle con 0=p “ammucchiate” nello

stato fondamentale con ε0 = 0.

Rappresentiamo in figura l’andamento in funzione della temperatura delle frazioni di

particelle complementari NN pε e

NN

0ε

Notiamo che per T < Tc sono presenti le due fasi, mentre per T > Tc abbiamo solo la fase

gassosa essendo il numero di particelle nello stato fondamentale trascurabile rispetto al

numero totale. Allo zero assoluto tutte le particelle occupano il livello fondamentale con

0=p .

Studio di alcune Grandezze Fisiche

Tutte le funzioni termodinamiche di un gas ideale di Bose avranno espressioni analitiche per

la regione di condensazione e per quella complementare, e la brusca variazione nelle

proprietà termodinamiche del sistema per la temperatura critica è un indicatore della

comparsa della BEC. Ciò è riscontrabile matematicamente nel diverso comportamento di

)(zg2

3 nelle due situazioni.

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13

Energia Totale

L’energia totale del gas è determinata solo dalle particelle degli stati eccitati con 0≠p

poiché nello stato fondamentale abbiamo assunto ε0= 0. Possiamo quindi approssimare la

somma con un integrale

ε

−

= ∫∞

−

∞

εεπε =ε∫ p

0 1

3

3

0

dmgVNd

1zh

24

TkB

pp

pp

23

E

e

Riscriviamo questa equazione in termini di una nuova variabile di integrazione Tk

xB

pε=

( ) ( )

)(1k23

1z

12

1z

22

1zk

h24

zgVTTV

TTVTE

25BB

BB

B

33

3

gxdxkg

xdxkh

kmgdxmgV

01

01

p

013

3

x

xx

23

23

23

232

5

λ=

λπ

ππ

π

∫

∫∫

∞

−

∞

−

∞

−

−

−ε

−

=

===

e

ee

Per T < Tc siamo nella situazione in cui 0=µ e 1z =

⇒ )(

)(

1

1

23)1(1

23

gg

kgk23

25

B2

5B

/

/c

3

3TNgVTE

λλ

λ= =

avendo utilizzato la relazione che definisce la temperatura critica )1(VgN g2

3

c

3

λ= per

eliminare gV , inoltre esplicitando la forma di λ, che dipende da T, otteniamo

==

TTTN

TTTNE

cc

23

23 //

kgg

k B

23

25

B 77,01

123

)(

)(

/

/

essendo 341,11 )(g25

/)(

25 =ζ= , risulta quindi TE25/

∝ .

14

Per T > Tc ossiamo utilizzare la relazione )(zg gVN2

33

λ= per eliminare gV ottenendo

)(

)(

1

123

gg

k23

25

B

/

/TNE =

e quando T >>Tc si può porre z→0 ⇒ 11

1)(

)(

gg

23

25

/

/ → riottenendo l’espressione classica

dell’energia TNE kB

23= .

Notiamo che l’andamento dell’energia in funzione della temperatura mostra un improvvisa

variazione nella pendenza per la temperatura critica, che si riflette con la comparsa di un

massimo nella curva del calore specifico.

Calore Specifico a Volume Costante

Riportiamo in figura l’andamento di V,NT

ET)(CV

=

∂∂

dal quale è evidente che nel punto

cTT = la derivata prima è discontinua, infatti si ha una cuspide proprio per cT dove la

funzione assume anche il valore massimo.

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15

Il comportamento del calore specifico di un gas di Bose ideale intorno alla temperatura

critica cT è piuttosto simile a quello per l’elio liquido intorno al cosiddetto “punto λ”, come

fu chiamato da Keesom vista la particolare forma della curva ottenuta sperimentalmente che

ricorda quella della lettera greca λ.

Fu la similitudine fra queste curve che indusse London, nel 1938, ad associare la curiosa

transizione di fase HeI-HeII nell’isotopo dell’elio 4He alla temperatura K19,2T =λ con la

manifestazione della BEC nel liquido. Infatti se nell’espressione di cT trovata

precedentemente per la BEC in un gas di Bose ideale consideriamo i valori per l’elio 4He

otteniamo K14,3cT ≈ che risulta dello stesso ordine di λT .

Poiché gli atomi di 4He obbediscono alla statistica di Bose-Einstein, anche se a causa della

mutua interazione non trascurabile l’elio non è un gas di Bose, è naturale supporre che la

transizione λ è una BEC modificata dalla presenza delle interazioni mutue.

Elio Liquido e Superfluidità

In natura il solo sistema di Bose che sappiamo esistere a basse temperature è l’elio liquido 4He . Per questo motivo consideriamo brevemente tale sistema, ed in particolare la proprietà

più sorprendente di cui gode:la superfluidità, facendo un confronto con il caso di un gas di

Bose diluito contenuto in una scatola che abbiamo trattato in dettaglio. Quello che

differenzia l’ 4He da tutte le altre sostanze bosoniche, che solidificano molto prima che gli

effetti quantistici diventino considerevoli, è il fatto che le mutue interazioni fra gli atomi

sono 4He particolarmente deboli da permettere agli effetti quantistici, non più trascurabili,

di non rendere la solidificazione necessaria.

Nel trattare l’ 4He usiamo un semplice schema teorico sviluppato da Landau per spiegare il

comportamento dell’He-II a temperature prossime al punto λ. Il liquido viene considerato

come un sistema quanto-meccanico debolmente eccitato, in cui assumiamo che vicino allo

stato fondamentale (privo di eccitazioni) non esistano altre eccitazioni tranne le “eccitazioni

elementari” del sistema. Così gli stati quantici immediatamente sopra lo stato fondamentale

possono essere descritti come un gas di eccitazioni elementari non interagenti con energia

∑ ε+=p

ppn nEE 0

16

dove εp è l’energia di una eccitazione elementare di momento p, che assumiamo obbedire

alla statistica di Bose. Il gas di eccitazioni elementari può essere identificato con la

“frazione normale” del liquido, mentre le particelle nello stato fondamentale con la

“frazione superfluida”.

Quindi la densità del liquido può essere rappresentata come somma della parte normale ρn e

della parte superfluida ρs : sn ρρρ +=

Per KT 0= il liquido si trova nel suo stato non eccitato che per definizione è un superfluido

puro, quindi: 0n =ρ e Hes ρ=ρ .

Come la temperatura cresce iniziano a comparire le eccitazioni, tuttavia per temperature

basse la parte superfluida è ancora rappresentata dalla funzione d’onda dello stato

fondamentale. Quindi possiamo scrivere ns He ρρρ −= fino a quando λ= TT e si avrà

0s =ρ e Hen ρ=ρ ; in tal caso la proprietà di superfluidità scompare completamente e questa

fase del fluido è conosciuta come He-I, questo è il cosiddetto punto λ.

Stabiliamo ora una condizione che regoli la possibile comparsa delle eccitazioni nel liquido,

che come abbiamo visto rompono il carattere superfluido.

La mancanza di superfluidità consiste nella dissipazione di energia cinetica del fluido in

moto in un tubo, a causa dell’attrito con le pareti e dell’attrito interno del fluido.

Consideriamo quindi un liquido superfluido di massa M in moto, con energia cinetica

2vME21= ed impulso vP M= . Supponiamo che nel fluido si crei un’eccitazione di

energia εp ed impulso p, allora le rispettive quantità del fluido cambieranno secondo la

relazione ( )Pv δ⋅=δE inoltre dal principio di conservazione pE εδ −= e pP −=δ quindi

risulta pvp ≤⋅ε = pv ⇒p

v ε≥

Pertanto affinché possa nascere un’eccitazione nel fluido la sua velocità di drift v deve

verificare la disuguaglianza precedente. Perciò se definiamo come velocità critica il minimo

del rapporto pε

: min

c pv

ε=

la condizione per la conservazione della superfluidità è min

c pvv

ε< = noto come “criterio

di Landau” per la superfluidità. Se 0cv ≠ allora possono esistere velocità di drift per cui non

possono comparire eccitazioni nel fluido che conserverà la proprietà di superfluidità. Da ciò

17

segue che per un gas ideale di Bose, il cui spettro energetico è mp

2

2

p =ε , non potrà mai

verificarsi il fenomeno della superfluidità. Infatti la velocità critica è nulla, quindi ogni

velocità è tale da permettere la comparsa di eccitazioni. Questo risultato è di fondamentale

importanza perché fa vedere che le interazioni interatomiche nel liquido comportano uno

spettro per le eccitazioni differente da quello per un gas ideale, che nel caso dell’He-II

assume la forma riprodotta in figura, proposta da Landau analizzando i dati sperimentali

sulle grandezze termodinamiche.

Quindi da quanto detto possiamo dedurre che un gas ideale di bosoni non interagenti non

può manifestare proprietà superfluide.

Osservazione Sperimentale della BEC in Gas di Bose

Come abbiamo visto la BEC di un gas ideale di bosoni fu predetta da Einstein già nel 1925.

Poiché ci sono sempre delle interazioni tra le particelle di un gas reale che tendono ad

ostacolare la condensazione a basse temperature, per realizzare sperimentalmente la BEC

bisogna produrre un gas sufficientemente diluito così da poter trascurare le interazioni

mutue ma ancora sufficientemente denso da avere la sovrapposizione della lunghezza

d’onda termica di de Broglie. Condensati di Bose-Einstein in gas diluiti furono creati e

direttamente osservati in una serie di esperimenti che seguirono quello realizzato da un

gruppo di fisici del Colorado, che nel giugno del 1995 per primi osservarono la BEC in un

gas di atomi di rubidio 87

Rb spin-polarizzato confinato in una trappola magnetica e portato

a temperature estremamente basse utilizzando tecniche di raffreddamento laser e per

evaporazione. Da quel momento c'è stata una vera e proprio esplosione di interesse per

questi nuovi stati macroscopici quantistici.

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18

Sebbene gli esperimenti del 1995 con gli atomi alcalini costituiscono una pietra miliare

nella storia della BEC, precedentemente sono stati riscontrati delle manifestazioni della

BEC in vari fenomeni fisici tra cui la superfluidità dell’elio liquido, dove però le interazioni

interatomiche alterano significativamente la natura della transizione della BEC. Per questo

motivo la realizzazione della BEC in un gas atomico diluito è stata una meta inseguita a

lungo. La grande difficoltà consiste nel raffreddare il gas a temperature dell’ordine dei µK,

impedendo agli atomi di condensare in un solido o in un liquido.

I primi tentativi per realizzare la BEC in un gas atomico furono compiuti con idrogeno

atomico spin-polarizzato. Tale particella si presta bene visto il piccolo valore della massa

dell’idrogeno.

In questi esperimenti gli atomi di idrogeno venivano prima raffreddati con un refrigeratore a

diluizione, quindi intrappolati in un campo magnetico e ulteriormente raffreddati con la

tecnica dell’evaporazione. In questo modo si era arrivati molto vicini alla BEC, ma i

meccanismi di ricombinazione degli atomi e la conseguente formazione di molecole

impedivano la formazione della BEC.

Negli anni ottanta si sono sviluppate nuove tecniche di raffreddamento basate sul laser e

sull’effetto Doppler, e di intrappolamento di atomi neutri mediante trappole magneto-

ottiche. Tali tecniche forniscono un approccio alternativo per ottenere temperature molto

basse ma l’energia trasportata da un singolo fotone pone un limite alle temperature

ottenibili, che sono ancora alte per la BEC. Comunque, una volta che gli atomi sono

intrappolati, la loro temperatura può essere abbassata ulteriormente per raffreddamento

evaporativo dove vengono rimossi gli atomi con energia superiore ad una certa soglia, gli

atomi rimanenti hanno in media energia più bassa, e le collisioni elastiche ridistribuiscono le

loro energie fino a raggiungere un equilibrio termico a temperature inferiori. L’unico prezzo

da pagare è la perdita di un certo numero di atomi che abbandonano il campione.

Tale tecnica è stata sviluppata per ottenere la BEC nell’idrogeno spin-polarizzato ma

combinata con il raffreddamento laser, che invece si presta bene per gli atomi alcalini, si

raggiungono le temperature e le densità richieste per l’osservazione della BEC in gas di

atomi alcalini. Questi atomi sono particolarmente adatti allo scopo perché le loro transizioni

ottiche sono facilmente eccitabili con i laser a disposizione e la struttura interna dei livelli si

presta al raggiungimento di basse temperature. Mentre i livelli energetici nell'atomo di H

sono più estesamente spaziati (le transizioni corrispondono a luce ultravioletta, per la quale

nessuna fonte laser appropriata è disponibile) rendendo più difficile manipolare e sondare il

campione con laser. Comunque recentemente è stata ottenuta una evidenza sperimentale

della BEC in un gas di idrogeno migliorando la tecnica di raffreddamento evaporativo.

19

Il raffreddamento per evaporazione richiede una trappola per atomi ermeticamente

confinante e stabile, per gli atomi alcalini si presta bene l’utilizzo di una trappola magnetica

dove il confinamento può essere realizzato con un potenziale di quadrupolo sferico.

Il campo magnetico non uniforme confina gli atomi interagendo con il loro momento

magnetico. Dall’analisi di tale interazione risulta che se l’atomo si muove abbastanza

lentamente nel campo, può seguire adiabaticamente i sottolivelli Zeeman in cui si trova

inizialmente: la proiezione dello spin sulla direzione del campo magnetico, che cambia per

un atomo in movimento, rimane costante. Nel caso di un campo quadrupolare, quando

l’atomo passa presso il suo centro di simmetria, dove B= 0, vede la direzione del campo

cambiare tanto rapidamente quanto più passa vicino a tale punto. Quindi lo spin dell’atomo

non riesce a seguire adiabaticamente le variazioni della direzione del campo. Nascono così

delle transizioni non adiabatiche, dette transizioni di Majorana , fra i sottolivelli Zeeman che

fanno passare l’atomo da un sottolivello intrappolante verso un sottolivello non

intrappolante a partire dal quale viene espulso fuori dalla trappola.

Una possibile soluzione per ridurre queste perdite consiste nell’aggiungere un potenziale

repulsivo intorno allo zero del campo magnetico “collegando” il buco.

L’evaporazione si ottiene per risonanza magnetica. Infatti applicando un campo a radio-

frequenza in risonanza con la differenza di energia tra gli stati a spin “su” e spin “giù” i

momenti magnetici degli atomi vengono invertiti, così le forze magnetiche non possono più

confinarli e sono espulsi dalla trappola.

La frequenza del campo r-f è scelta in modo da interagire solo con gli atomi di energia più

alta,quindi quando la temperatura si abbassa bisogna ridurre la frequenza del campo per

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20

assicurare l’evaporazione. Quando tale frequenza raggiunge un valore per cui il gas si trova

alla temperatura critica Tc prende luogo la BEC.

Per ottenere una evidenza sperimentale della BEC ci sono vari metodi tra cui alcuni

distruttivi,come quello utilizzato dai fisici del Colorado il cui risultato è mostrato nella

figura seguente.

Tale figura rappresenta la distribuzione delle velocità per gli atomi di rubidio ottenuta

misurando l’espansione degli atomi, spenta la trappola si riprende un’immagine della nube

espansa con un fascio laser in risonanza con una transizione atomica. Gli atomi del

condensato si espandono molto lentamente perché si trovano nello stato ad energia più

bassa,così la segnatura della BEC si manifesta con un assorbimento intenso al centro

dell’immagine.

Riportiamo nelle figure successive un’ulteriore evidenza sperimentale della BEC ottenuta su

un gas di atomi di sodio. In questo esperimento quando la frequenza del campo r-f diventa

minore di MHz7,0c ≈ν si osservano dei cambiamenti significativi nelle grandezze

misurate che sono interpretati come segnature della BEC.

Nella fig1 si osserva che per frequenze maggiori di νc la distribuzione delle velocità è

perfettamente sferica come ci si aspetta per una nube termica non condensata, poiché

l’assorbimento dei fotoni è equiprobabile per tutti gli atomi, mentre sotto tale valore critico

compare un core ellittico che cresce in intensità al diminuire della frequenza e viene

interpretato come dovuto alla BEC.

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21

Una caratteristica importante delle trappole magnetiche per gli atomi alcalini è che il

potenziale di confinamento è ben approssimato da un potenziale armonico

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2m

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22

e la frequenza di intrappolamento ω fissa la scala per una lunghezza caratteristica del

sistema. Infatti dal principio dell’azione, poiché il fenomeno BEC è quantistico si ha

h≈⋅ω=⋅ aamap ⇒ ω≈ ma h

che dà l’ordine di grandezza della dimensione della nube di atomi condensati che in genere

è di qualche µm. Il fatto che la scala alla quale occorrono le variazioni di densità è fissata

dalla frequenza intrappolante ω e non dalle interazioni interatomiche come nel caso della

scatola, è una delle differenze importanti che si hanno.

Osserviamo inoltre che a temperatura finita solo una parte di atomi condensa, mentre le

N-N0 particelle non condensate formano una “nube termica” la cui ampiezza R può essere

stimata ponendo

TkRm B

22

21 ≈ω → 2

B

m

TkR

ω≈

assumendo kBT >> h ω TkR

aB

ω≈ h < 1 quindi si ha che R è maggiore di a, e ne

risulta una distribuzione spaziale degli atomi intrappolati bimodale, formata da un picco che

emerge da un fondo molto più largo.

Emerge da quanto detto che il gas è non omogeneo e ciò porta ad un’altra importante

differenza rispetto al caso della scatola , cioè il carattere spaziale della BEC per le particelle

intrappolate. Si ha quindi una condensazione sia nello spazio dei momenti che in quello

delle coordinate, mentre nel caso di un gas uniforme dove le particelle condensano nello

stato con p = 0 la BEC non può essere rilevata nello spazio delle coordinate, poiché le

particelle condensate e non condensate occupano lo stesso volume, non avendo un picco

nella distribuzione spaziale che risulta uniforme per tutte le temperature.

23

Bibliografia

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www.lkb.ens.fr/users/laloe/public_html/PHYS/cours/college-de-france/