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ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE

Par ces performances en terme de couple, d’accélération et de puissance massique, le moteurbrushless (ou moteur synchrone autopiloté) se rencontre fréquemment dans les systèmes de trans-port depuis des petites tailles (modélisme) jusqu’aux plus grandes (TGV atlantique...). Ce sujetaborde quelques éléments de la chaîne de conversion de puissance de l’avion solaire Solar Impulse,dont le schéma synoptique est le suivant :

PARTIE IHACHEUR

L’ensemble des panneaux solaires fonctionne comme une source de tension constante, de

même que la batterie, lorsque les panneaux sont inactifs faute de soleil. L’onduleur et le circuit de

commande fonctionnent comme des sources de tensions.

Le hacheur est un convertisseur à accumulation dont le schéma est donné figure 2 et dans

lequel tous les éléments sont supposés idéaux. La source de tension constant E modélise la tension

obtenue à partir des panneaux solaires ou de la batterie.

La commande des interrupteurs est périodique et s’effectue comme suit:

0 ≤ t < αT, K est fermé tandis que K’ est ouvert;

αT ≤ t < T, K est ouvert tandis que K’ est fermé.

I-1) La source d’entrée est supposée idéale.

a) Que peut-on faire pour rendre les sources réelles (panneaux solaires, batterie) pro-ches du modèle idéal.

b) Pourquoi n’utilise-t-on pas un convertisseur à liaison directe ici ? Justifier la pré-sence d’une bobine dans le convertisseur.

I-2) On suppose dans un premier temps que la charge, constituée par l’association R//C en-tourée en pointillés, se comporte comme une source de tension constante U = E’.

MSONDULEURHACHEUR

BATTERIES

PANNEAUX

SOLAIRESREDUCTEUR HELICE

COMMANDE CAPTEUR

figure 1 : schéma synoptique simplifié de la chaîne de puissance de l’avion Solar Impulse

INSTRUMENTS ET ACCUATEURS

DE NAVIGATION

figure 21

U E

L

R C

K’

K

iL iK’

iK iC iR

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On se place dans l’hypothèse où le courant dans la bobine d’inductance L ne s’annule ja-mais.

a) Déterminer les expressions de iL(t), iK(t) et iK’(t), intensités des courants dans labobine L et les interrupteurs K et K’, sur une période (on notera Im et IM les valeurs minimale etmaximale de iL).

b) Représenter iL(t), iK(t) et iK’(t) .

c) Déduire des expressions précédentes , l’expression de U = E’ en fonction de E etα.

d) Déterminer l’expression de l’ondulation de courant ∆iL = IM – Im.

e) La puissance moyenne fournie par la source de tension E est P. Déterminer la va-leur minimale Im et maximale IM de iL .

I-3) Choix et caractéristiques des interrupteurs.

a) Tracer les portions de la caractéristique courant-tension décrites par chaque inter-rupteur sur les intervalles [0, αT[ d’une part et [αT, T[ d’autre part.

b) En déduire les fonctions de commutation, transistor ou diode, utilisables pour K etK’ (les interrupteurs sont supposés idéaux).

c) Que vaut la valeur moyenne V0 de la tension vK aux bornes de K ?

I-4) En réalité, la tension U aux bornes de l’association R//C n’est pas constante : c’est unefonction périodique qui présente une légère ondulation. On suppose que cela ne modifie pratique-ment pas iL, iK et iK’, qui conservent les mêmes formes que précédemment.

a) Déterminer les intensités moyennes IR et IC des courants dans la charge R et dansle condensateur C en fonction de α, P et E.

b) Déterminer les valeurs moyennes PR et PC des puissances dissipées dans R et dansC.

PARTIE IIMOTEUR SYNCHRONE AUTOPILOTE

Les moteurs synchrones à aimants permanents d’assez

forte puissance (comme ceux envisagés ici) sont en général ali-

mentés par des onduleurs produisant un signal de tension et donc

des courants sinusoïdaux triphasés. Par souci de simplification,

nous étudierons ici un système de courants statoriques diphasés.

La structure du moteur étudié est indiqué figure x. On

supposera que les milieux ferromagnétiques du rotor (aimants

permanents) et du stator sont linéaires.

On cherche à réaliser un champ magnétique statorique

SB

tournant à vitesse angulaire constante ωS > 0 (donc dans le

sens direct) grâce à une implantation particulière de spires dans

les encoches du stator. Pour cela, on utilise deux enroulements

porteurs de courants déphasés de π/2 :

( ) ( )

( ) ( )1

2

cos

cos / 2

S S

S S

i t I t

i t I t

= ω + β

= ω + β − π.

II-1) On peut montrer l’expression du champ 1SB

en tout point M de l’entrefer d’épaisseur e,si une seule paire d’encoches, située sur l’axe perpendiculaire à x’x (figure 5), est bobinée et par-courue par le courant d’intensité i1(t) :

figure x : structure d’un moteursynchrone

a

e

ruuθ

zu

⊙

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( )( )

] [

( )( )

] [

0 11

0 11

, , pour /2, /22

, , pour /2, 3 /22

S r

S r

i tB r t u

e

i tB r t u

e

µθ = θ∈ − π π

µ θ = − θ∈ π π

.

a) Justifier qu’une répartition judicieuse des brins dans des encoches régulièrementréparties autour du stator peut fournir un champ dont l’allure théorique est de la forme donnée fi-gure 6.

Combien d’encoches réparties correspondent à la courbe de la figure 6 ? Précisez les repèresangulaires sur l’axe des abscisses.

b) Le champ statorique radial 1SB

s’approche d’une fonction sinusoïdale de la forme

( ) ( ) ( )1 1, cosS SB t K i tθ ≈ θ que l’on prendra désormais comme la contribution réelle du courant i1(t)

dans l’enroulement. De quoi dépend la constante KS ?

c) On rajoute le second enroulement décalé spatialement de l’angle +π/2 (donc surl’axe x’x). Le courant i2(t) de cet enroulement est en quadrature retard sur le courant i1(t). Montrerque sa participation au champ radial statorique s’écrira ( ) ( ) ( )2 , sin sinS S s eB t K I tθ ≈ ω + β θ .

d) Montrer que le champ magnétique statorique résultant est un champ tournant dansle sens trigonométrique à la vitesse angulaire ωS, dont on donnera l’amplitude.

II-2) Le champ rotorique peut s’écrire ( ) ( )0, , cos

0r

B r t B t

Bθ

θ = θ − Ω

= où B0 est le champ ma-

gnétique rémanent de l’aimant du rotor et Ω la vitesse angulaire de rotation du rotor dans le réfé-rentiel lié au stator.

a) Montrer que l’énergie magnétique dans l’entrefer (siège des champs rotorique et

statorique) est ( ) ( )22

MAG 0 00 0 0

cos4 4 2S S S S

V V VW B K I B K I t t= + + −Ω + ω + β

µ µ µ en négligeant les

effets de bord et en notant V = 2πaeℓ le volume de l’entrefer (avec a le rayon d’alésage du stator, e,l’épaisseur de l’entrefer et ℓ la longueur du rotor).

b) En déduire l’expression du couple des forces électromagnétiques exercées sur le

rotor, qui vérifie la relation MAG

MAX I

WC

∂=

∂θ où θMAX est la direction du maximum du champ rotorique

dans le référentiel du stator.

c) Quelles conditions sont nécessaires à l’obtention d’un couple moteur moyen posi-tif ? Rappeler, sans démonstration, le domaine des valeurs de βS permettant un fonctionnant stabledu moteur ,en régime établi.

figure x : répartition angulaire du champ statorique BS1

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II-3) On s’intéresse au flux Φ1(t) du champ magnétique produits par le rotor

dans la spire 1 du stator, de normale 1n

. La position du rotor, d’axe ( )n t

, est repé-

rée par l’intermédiaire de l’angle ( )t tα = Ω . Le flux est décrit par le premier harmonique de son

développement en série de Fourier : Φ1(t) = Φ10cos[α(t) + ϕ1]. On conviendra que Φ10 est positif.

a) Déterminer les valeurs de α(t) rendant le flux Φ1(t) nul. En déduire la valeur dudéphasage ϕ1.

b) En déduire, pour Ω = ωS, la force contre-électromotrice e1(t) induite dans la bo-bine 1 du stator en fonction de Φ10, ωS et t. Quelle est sa valeur efficace E1EFF ?

c) Exprimer i1(t) et e1(t) en fonction, en particulier, de α(t) et βS. En notant ψ le dé-phasage entre e1(t) et i1(t), exprimer ψ en fonction de βS. En déduire le signe de ψ lorsque le moteurest en régime établi stable.

II-4) On modélise la bobine 1 du stator par le schéma électrique de lafigure 8.

a) Écrire l’équation donnant u1(t) en fonction de i1(t) et e1(t).On note ϕ le déphasage entre u1(t) et i1(t), donner la représentation de Fres-nel de cette équation en régime établi stable.

b) En déduire une relation simple entre les valeurs efficaces E1EFF, U1EFF et les dé-phasages ϕ et ψ dans le cas où l’on néglige la chute ohmique de potentiel devant les autres tensions.

II-5) Le moteur est alimenté par un convertisseur continu-alternatif qui est relié à une

source de tension constante de valeur UC telle que U UC EFF=3 6

1π

ϕcos( ) . Il absorbe le courant

constant d’intensité I0.

Afin d'assurer en permanence le synchronisme entre le rotor et le champ glissant créé par le

stator, ce qui évite tout risque de décrochage, les signaux de commande des interrupteurs du

convertisseur sont élaborés à partir d'impulsions issues d'un capteur qui détecte très précisément la

position du rotor. Ainsi, il est possible

d’asservir la fréquence des courants statoriques à la vitesse angulaire du rotor ;

de fixer l’angle interne βS.

Le moteur ainsi alimenté et contrôlé est dit autopiloté.

a) Montrer que la vitesse de rotation de l’arbre du moteur est proportionnelle à UC.

b) Le convertisseur ayant un rendement unitaire et en négligeant les pertes dans lemoteur, montrer que le couple exercé par le moteur est proportionnel à I0.

c) Le type de moteur étudié ici, avec son pilotage, est souvent appelé moteur à cou-rant continu sans balai ou brushless. Justifier cette expression et indiquer ses avantages par rapportau moteur à courant continu à excitation séparée.

PARTIE IIIETUDE DU CAPTEUR DE VITESSE ANGULAIRE

Considérons le dispositif schématisé sur la fi-

gure, composé de deux bobines (Rt) et (St), couplées

par un circuit magnétique. Les bobines comportent

respectivement nR et nS spires, de section identique S.

Le circuit magnétique se compose d'un cylindre cen-

tral en fer, d'une couronne extérieure en fer et d'un

entrefer annulaire comportant de l'air. D'un point de

fer

bobine (Rt) bobine (St)iR iS

fer

ligne de champmoyenne

espace annulairerempli d’air

i1(t)

u1(t) R1 L1

e1(t)

figure 8

figure 7

n (t)

n 1

α(t)

M

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vue magnétique, l'air est assimilable au vide. On appelle Hfer et Hair les excitations magnétiques

dans le fer et dans l'air, Bfer et Bair les champs magnétiques dans le fer et dans l'air. On raisonnera

toujours sur la ligne de champ moyenne qui a une longueur ferℓ dans le fer et

airℓ dans l'air.

On suppose que la bobine (Rt) est parcourue par un courant d'intensité iR et que la bobine

(St) n'est parcourue par aucun courant.

III-1) Par application du théorème d'Ampère sur un contour à pré-ciser, déterminer la relation existant entre Hfer, Hair, fer

ℓ , airℓ , nR et iR.

III-2) En écrivant la conservation du flux sur un petit cylindre debase Σ et de longueur h (comme le montre la figure ci-contre), donner unerelation simple entre Bfer et Bair.

III-3. Le fer est assimilé à un matériau de perméabilité relative µr.

a) Déterminer l'expression de Bfer en fonction de ℓfer, ℓair, nR,

ir, µr et µ0.

b) Simplifier cette expression dans le cas du fer supposéparfait, de perméabilité relative µr infinie.

c) Quel intérêt a-t-on, pour un champ magnétique donné, à réduire autant que possi-

ble la longueur ℓair de l'entrefer ?

La mutuelle inductance M entre les bobines (Rt) et (St) peut se définir comme le coefficient

de proportionnalité entre le flux ΦRS, à travers la bobine (St), du champ magnétique créé par le

courant circulant dans la bobine (Rt), et le courant iR circulant dans la bobine (Rt). M est donc telle

que : ΦRS = M iR .

III-4. Établir l'expression de la mutuelle inductance M en fonction de ℓfer, ℓair, nR, nS, S, µr et

µ0.

III-5) Un résolveur est un capteur de position qui

permet de déterminer la position angulaire θ d'un arbre en

rotation. Il s'apparente à un transformateur tournant dont la

partie mobile, appelée rotor, est constituée d'une bobine (Rt)

et dont la partie statique, appelée stator, est constituée de

deux bobines (St1) et (St2) identiques, disposées selon deux

directions orthogonales. Ces bobines sont couplées par un

circuit magnétique). La partie centrale, attachée à l'arbre de

rotation tourne à la même vitesse angulaire Ω que lui. La

partie extérieure, liée au référentiel du laboratoire est fixe.

Le résolveur peut être schématisé par la figure ci-dessous.

La mutuelle inductance entre les bobines (Rt) et (St1)

lorsque θ = 0 est notée M ; c'est aussi la mutuelle induc-

tance entre les bobines (Rt) et (St2) lorsque θ = π/2, c'est à

dire lorsque le rotor a tourné d'un quart de tour. Un système

de bagues et de balais permet d'alimenter la bobine tournante

(Rt). Les deux bobines fixes (St1) et (St2) sont reliées à des

récepteurs d'impédances infinies.

La bobine (Rt) est alimentée par un courant continu

d'intensité IR0 et le rotor tourne à la vitesse angulaire Ω =d

dt

θ,

supposée constante et positive. Les bobines (St1) et (St2) ne

sont parcourues par aucun courant.

fer

fer

air

h

lignesde champ

Σ

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a) Déterminer les flux d'induction ΦS1 et ΦS2 dans les bobines (St1) et (St2) en fonc-tion de M, θ et IR0 . On respectera la convention d'orientation des surfaces des bobines, définie parles vecteurs

n 1 et

n 2 (voir la figure ci-dessus).

b) En déduire l'expression des tensions induites VS1(t) et VS2(t) aux bornes des bobi-nes (St1) et (St2). Dessiner l'allure de ces deux tensions, en supposant qu'à l'instant t = 0, θ = 0.

c) Expliquez pourquoi le résolveur comporte deux bobines (St1) et (St2), pour mesu-rer des positions angulaires comprises entre 0 et 2π.

III-6) La bobine (Rt) est désormais alimentée par un courant sinusoïdal iR(t) = IRm cos(ωt).

Les bobines (St1) et (St2) ne sont parcourues par aucun courant. Le rotor tourne à une vitesse an-

gulaire Ω =d

dt

θ quelconque (éventuellement nulle si la machine est à l'arrêt).

a) En respectant toujours la convention d'orientation définie sur la figure 5, détermi-ner l'expression des flux d'induction ΦS1 et ΦS2 dans les bobines (St1) et (St2) en fonction de M, θ,Ω, IRm et t.

b) On suppose qu'à l'instant t = 0, on a θ = 0. En déduire l'expression des tensions in-duites VS1(t) et VS2(t) aux bornes des bobines (St1) et (St2). Simplifier ces expressions dans le casoù Ω << ω.

c) Le rotor tourne à une vitesse angulaire Ω constante et non nulle. Dessiner l'alluredes tensions VS1(t) et VS2(t),

d) Comment récupère-t-on la grandeur utile Ω ? Pourquoi est-il préférable d'ali-menter la bobine (Rt) par du courant sinusoïdal haute fréquence plutôt que par du courant continu ?

Rappel :

( ) ( ) ( ) ( )1

cos cos cos cos2

p q p q p q= + + − ; ( ) ( ) ( ) ( )1

sin sin cos cos2

p q p q p q= − − + ;

( ) ( ) ( ) ( )1

sin cos sin sin2

p q p q p q= + + − ; .

( )sin cos2

π θ + = θ

; ( )cos sin2

π θ + = − θ

; ( )cos sin2

π θ − = θ

; ( )sin cos2

π θ − = − θ