Le calcul de Pi par la méthode d'Archimède - · PDF fileMalices 2004...
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Malices 2004 Collèges Le calcul de π par la méthode d’Archimède A O P M B C 1 x u v y I l s’agit de calculer les périmètres de polygones ayant 6 côtés, puis 12 côtés, puis 24, 48, et enfin, 96 côtés afin d’obtenir un encadrement de π. Comment passer de deux polygones (rouges) à n côtés, aux polygones (bleus) à deux fois plus de côtés (2n) ? Soit u et v les côtés des polygones rouges. On a l’encadrement : π . Calculons les côtés x et y des polygones bleus. nv 2 nu 2 20 bis
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Malices 2004 Collèges
Le calcul de ππpar la méthoded’Archimède
AOP
M
B
C
1
x
u
v
yIl s’agit de calculer les périmètres de polygones ayant6 côtés, puis 12 côtés, puis 24, 48, et enfin, 96 côtésafin d’obtenir un encadrement de π.
Comment passer de deux polygones (rouges) à n côtés,aux polygones (bleus) à deux fois plus de côtés (2n) ?
Soit u et v les côtés des polygones rouges.
On a l’encadrement : � π � .
Calculons les côtés x et y des polygones bleus.
nv�2
nu�2
20 bis
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On a � (*) et � � .
Or � � , d’après le théorème de Thalès.
D’où uv � uy � vy et y � .
D’autre part, les triangles AMC et ABM ont leurs côtés pro-portionnels (car ils ont les mêmes angles) ; donc
� ,
c’est-à-dire � et x ���u2�y��.
Ainsi, à partir de u et v, vous pouvez calculer x et y et avoirun nouvel encadrement de π qui sera « meilleur » que le pré-cédent :
nx � π � ny.Vous pouvez vous-même faire les calculs d’Archimède etvous lancer à la conquête des décimales du nombre π. Il vous suffit de vous munir d’une calculatrice et de remplirle tableau ci-dessous ligne par ligne en calculant comme dansle tableau ci-contre.
u�x
x�y/2
AC�AM
AM�AB
uv�u�v
u�v
OA�OP
OM�OP
y�v�y
BM��MP �BM
BM�BP
BM�BP
OM�OP
Nous avons effectué tous les calculs et trouvé un encadrement de πdans les cases rouge et bleue ; il est bien compatible avec celui annoncé
par Archimède : 3 � � π � 3 � .
3 � = 3,1408… et 3 � = 3,1428…1�7
10�71
1�7
10�71
n u v
2n = yx = uvu + v
uy2
côté du polygone
inscrit
n
côté
du polygonecirconscrit
… …
16 1,154 700 538 3 3,464 101 614
0,517 638 08912 0,535 898 384 3,105… 3,215…
0,261 052 38324 0,263 304 994 3,132… 3,159…
0,130 806 25848 0,131 086 925 3,1393… 3,1460…
0,065 438 16596 0,065 473 220 3,1410… 3,1427…
� π �
n×2
n×2
Savoir utile
Si (OB) est la bissectrice
de MOP, alors :
= .BM�BP
OM�OP
O
M
B
P(*)
Il faudra sûrement vous faire aider (ou vous accro-cher aux branches) pour bien comprendre le calculci-contre ; en effet, trois théorèmes successifs sontà appliquer à trois endroits bien choisis de la figure.Mais vous pouvez vous contenter de faire les cal-culs : il vous suffit d’appliquer les formules en rougepour faire votre « petit Archimède ».
Le côté de l’hexagone circonscrit
au cercle de rayon 1 est .
Et � 1,154700538.2
��3�
2��3�
20 ter
