calcul différentiel et intégral 2012-2013 · Calcul différentiel et intégral/1 CALCUL...
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Calcul différentiel et intégral/1
CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL
Chapitre 1 : Les primitives A. Notion de différentielle 1. Définition Considérons une fonction f continue sur un intervalle [ ],a b et son graphique. A un accroissement arbitrairement choisi xΔ , correspond un accroissement yΔ
Δ Δy f x x f x= + −( ) ( )
( )y df xΔ ≅ pour xΔ suffisamment petit ( 0)xΔ → La droite t tangente au graphique de la fonction f au point P a pour coefficient de direction
( )tdf xmdx
=
La droite s sécante au graphique de la fonction f a pour coefficient de direction :
m yxs =
ΔΔ
Par définition, on a
0 0
( ) ( )( ) lim limx x
f x x f x yf xx xΔ Δ
Δ ΔΔ Δ→ →
+ −′ = =
Prenons un même accroissement de x : x dxΔ =
0 0
( )lim limx dx
y y df xx dx dxΔ
Δ ΔΔ→ →
= =
Donc
′ = = ′f x df xdx
df x f x dx( ) ( ) ( ) ( ) .d'où
où df x( ) est appelée la différentielle de la fonction f
f
x
y
x x+ Δ
Δx
Δy
f x( )
f x x( )+ Δ
s
x
P P
y
df x( ) f x( )
t
dx
x x dx+ x
f
Calcul différentiel et intégral/2
2. Calculs de différentielles La différentielle dy peut être calculée au moyen des règles obtenues à partir des règles de dérivation. Exemples d u v u dv v du d u v u v dx u dx v u v dx( . ) . . ( . ) ( . ) . .= + = ′ = ′ + ′car d x x dx(sin ) cos=
d xxdx(ln ) = 1
d x x x x dx( ) ( )3 2 23 2+ = + De quelle fonction cos x dx est-elle la différentielle ? Exercices De quelle fonction dxex est-elle la différentielle ?
De quelle fonction dx²x1
1+
est-elle la différentielle ?
Que vaut la différentielle de 3x²-2x ? Que vaut la différentielle de sin2x? Application : calcul approché
( )y df xΔ ≅ pour xΔ suffisamment petit ( 0)xΔ →
( ) dx).x('f)x(fxxf ≅−Δ+
( ) dx).x('f)x(fxxf +≅Δ+ (pour xΔ suffisamment petit ( 0)xΔ →
Exercices sur la notion de différentielle
1. Donne une approximation de la valeur de 101 , 1243 , sin 60°1'( ) sans l’aide de la
calculatrice
2. En utilisant la différentielle, montre que lorsque h est petit, 1+ h2
est une bonne
approximation de 1+h
3. En utilisant la différentielle, estime le nombre de volume de peintures (en litres) nécessaire pour recouvrir un cube de 10 dm de côté avec une couche de peinture de 0,001 dm.
4. On mesure le rayon d’une sphère et on obtient 21 cm, avec une erreur possible maximale de 0,05 cm. A ‘aide de la différentielle :
a) estime l’erreur maximale que cette mesure peut engendrer sur le calcul du volume de la sphère
b) trouve l’erreur relative correspondante
Aide : volume d’une sphère= 4π3R3 , erreur relative= ΔV
V=dVV
Calcul différentiel et intégral/3
B. Notion de primitive 1. Définition1 Une primitive d’une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f.
F est une primitive de f si et seulement si F f′ = Exemples 2x est une primitive de 2x car ( )2 2x x
′=
3
3x est une primitive de 2x car
32
3x x
′⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
ln x est une primitive de 1x
car ( ) 1ln xx
′=
2 5x + est une primitive de 2x car ( )2 5 2x x′
+ =
sin x est une primitive de cos x car ( )sin cosx x′ = 2. Théorèmes Théorème 1 Si F est une primitive de f et C une constante réelle, alors CF + est aussi une primitive de f . Théorème 2 Si F est une primitive de f et C une constante réelle, alors toute primitive est de la forme
CF + . Exemple
Les primitives de 2x sont Cx +2 3. Intégrale indéfinie
L'intégrale indéfinie de f , notée ∫ dxxf )( , est l’ensemble des primitives de f .
∫ += CxFdxxf )()( Pour intégrer, il existe diverses méthodes. Nous en étudierons quelques unes : Intégration immédiate
Intégration par décomposition Intégration par substitution Intégration par parties Intégration par changement de variable
1 Par abus de langage on écrira parfois f(x) au lieu de f et F(x) au lieu de F, notamment pour les exemples, cette remarque restant valable pour les chapitres suivants d’analyse.
Calcul différentiel et intégral/4
C. Méthodes d’intégration Dans ce chapitre et les suivants, nous supposerons que les conditions d'existence sont toutes remplies. 1. Intégrations immédiates
∫ += Cxdx
1,1
1
−≠++
=∫+
nCnxdxxn
n
∫ += Cedxe xx
Cxxdx +=∫ ln
∫ += Caadxax
x
ln
∫ +−= Cxdxx cossin
∫ += Cxdxx sincos
2 tgcosdx x Cx= +∫
∫ +−= Cxx
dx cotgsin2
2 Arctg1dx x Cx
= ++∫
∫ +=−
Cxx
dx sinArc1 2
2. Intégration par décomposition Considérons deux fonctions deux fonctions continues u et v , ainsi que deux réels a et b. On a
( ) ∫∫∫ +=+ dxvbdxuadxvbua Exemples
1. ( )∫ ∫ ∫ ∫ +++=−+=−+ Cxxxdxxdxxdxxdxxxx cos2
34
sin3sin324
33
2. ∫ ∫ ∫ +−=−=− Cexdxedxxdxex xxx sin3cos3)cos3(
3. ( )1 3 5
2 1 1 32 2 2 22 2 2
12
1 1 2 2 21 3 52 2 2
t t t t t tdt dt t dt t dt t dt Ct t
−− − += = − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 3 5 22 2 24 2 22 2 13 5 3 5
t tt t t C t C⎛ ⎞
= − + + = − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
4. ∫ ∫ ∫∫ ∫ +++=++=++=+ Cxxxdxxdxxdxdxxxdxx3
92
696)961()31(32
222
Cxxx +++= 32 33
5. ( )∫ ∫ ∫∫∫ +−−=−−=−−=−+ Cxxxdxdxxdxxdxxxdxxx 83
8282)4()2( 23
22
En général ∫ ∫∫ ≠ uvdx.udxvdx.u
Calcul différentiel et intégral/5
3. Intégration par substitution Exemples 1. ( )∫ + dxxx 513 102 Posons 3 12x t+ =
ce qui entraîne 6x dx dt= et 6dtx dx =
( ) ( )11211102 103 15 5 53 1 5 .
6 6 11 6 11xtx x dx t dt C C
++ = = + = +∫ ∫
2. ∫ dxxx cos.sin3 Posons sin x t= ce qui entraîne cosx dx dt=
CxCtdttdxxx +=+==∫ ∫ 4sin
4cos.sin
4433
3. ∫ dxxex 23.
3
Posons x t3 =
ce qui entraîne 3 2x dx dt=
CeCedtedxxe xttx +=+==∫ ∫33 23.
4. ∫+
dxx
x
9
22
Posons x t2 9+ = ce qui entraîne 2xdx dt=
CxCttdtdx
xx ++=+==+∫ ∫ 9lnln9
2 22
Calcul différentiel et intégral/6
EXERCICES - I° série : Calculez les intégrales suivantes
1) −15 dx∫ 6) 4-t( ). t3 +5( ) dt∫
2) 5x2 dx∫ 7) u3 +5u2-4u2
du∫
3) 8z2
z4 dz∫ 8)
1-t( )2
t dt∫
4) -7x3 +3x2
4− π
$
%&
'
() dx∫ 9) 2-v2( )
4 dv∫
5) 11+ x2
−3x+ 2.8x +ex+2
$
%&
'
()dx ∫
EXERCICES - II° série : Calculez les intégrales suivantes
1) dxxxx∫ −−− )14).(3²2( 10) ∫ − due u 12.7
2) dxxx∫ − ².)1( 73 11) ∫ dt .e325tt
3) ∫ +dx
43x-x²3-2x 12) ( )( )∫ ++− dxexx 1.sin3cos2 π
4) ( )∫ ++ dx
1xx².12x
2 13) ( )∫ −dx
1²3²cos2xx
5) ∫ ++ dxxx
x3 6²
3 14) ∫ 9x²-4
dx
6) ∫ dx 4x²-1
x 15) 1+ ln3t2t
dt∫
7) ∫ dx 4x²-1
1 16) ∫ ++ dv
1v2v
8) dxx∫ − 5)2( 17) t2 + 2t
t +1( )2
dt∫
9) ( )∫ 31-2xdx 18) 1+ sinx
cos2x dx∫
Calcul différentiel et intégral/7
4. Intégration par parties (première présentation) Considérons deux fonctions u et v admettant des dérivées continues. On a ( )uv u v uv′ = ′ + ′ et uv uv u v′ = ′ − ′( ) ce qui entraîne
( )∫ ∫∫ −= vdx'.udx'v.udx'v.u
∫ ∫−= vdx'.uv.udx'v.u Exemples 1. ∫ dxex x
On pose : u x= alors 1u′ = xv e′ = xv e=
∫ ∫ +−=+−=−= CxeCeexdxeexdxex xxxxxx )1(
2. ∫ dxxx cos
On pose : u x= alors 1u′ = cosv x′ = sinv x=
∫∫ ++=−= Cxxxdxxxxdxxx cossinsinsincos
3. ∫ dxxe x 3cos2
On pose : cos 3u x= alors 3sin3u x′ = −
2xv e′ = 212
xv e=
∫∫ ∫ +=−−= dxxexedxxexedxxe xxxxx 3sin233cos
21)3sin3(
213cos
213cos 22222
Calculons ∫ dxxe x 3sin2
On pose : sin 3u x= alors 3 cos 3u x′ =
2xv e′ = 212
xv e=
∫∫ ∫ −=−= dxxexedxxexedxxe xxxxx 3cos233sin
213cos3
213sin
213sin 22222
et ∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+= dxxexexedxxe xxxx 3cos
233sin
21
233cos
213cos 2222
∫ ∫−+= dxxexexedxxe xxxx 3cos493sin
433cos
213cos 2222
( )∫ +=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + xxedxxe xx 3sin33cos2
413cos
491 22
( )∫ += xxedxxe xx 3sin33cos2413cos
413 22
( ) Cxxedxxe xx ++=∫ 3sin33cos21313cos 22
Calcul différentiel et intégral/8
5. Intégration par parties (deuxième présentation) Considérons deux fonctions u et v admettant des dérivées continues. On a
dvuvduvud ..).( += et
∫ ∫ ∫+= dvuvduvud ..).(
∫ ∫+= duvdvuvu ...
∫ ∫−= duvvudvu ...
∫ ∫−= du.vv.udv.u Exemples 1. xxe dx∫
On pose : u x= alors du dx= xdv e dx= xv e=
∫ ∫ +−=+−=−= CxeCeexdxeexdxex xxxxxx )1( 2. ∫ dxxx cos
On pose : u x= alors du dx= cosdv xdx= sinv x=
∫∫ ++=−= Cxxxdxxxxdxxx cossinsinsincos 3. ∫ dxxe x 3cos2
On pose : cos3u x= alors 3 sin 3du x dx= −
2 xdv e dx= 212
xv e=
∫∫ ∫ +=−−= dxxexedxxexedxxe xxxxx 3sin233cos
21)3sin3(
213cos
213cos 22222
Calculons ∫ dxxe x 3sin2
On pose : sin3u x= alors 3cos3du xdx=
2 xdv e dx= 212
xv e=
∫∫ ∫ −=−= dxxexedxxexedxxe xxxxx 3cos233sin
213cos3
213sin
213sin 22222
et ∫ ∫ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+= dxxexexedxxe xxxx 3cos
233sin
21
233cos
213cos 2222
∫ ∫−+= dxxexexedxxe xxxx 3cos493sin
433cos
213cos 2222
( )∫ +=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ + xxedxxe xx 3sin33cos2
413cos
491 22
( )∫ += xxedxxe xx 3sin33cos2413cos
413 22
( ) Cxxedxxe xx ++=∫ 3sin33cos21313cos 22
Calcul différentiel et intégral/9
EXERCICES - III° série : Calculez les intégrales suivantes
1) ∫ − dxex x. 6) ∫ dx cos2 xe x
2) lnxx
dx∫ 7) ∫ dx sinex x
3) ∫ dx ln x 8) ( )∫ + dx .e1x -x2
4) ∫ dx ln³. xx 9) ∫ dxxxArccos
5) ∫ dxArctgx ( )∫ ∈ )( ln)10 0INndxx n
6. Intégration par changement de variable Considérons une fonction f continue. Remplaçons x par ( )tϕ où ϕ est une fonction admettant une dérivée continue. On a
( )∫ ∫= dtttfdxxf )(')()( ϕϕ Exemple 1
∫ − dx²x1
Posons x t= sin ce qui entraîne dx t dt= cos
2 2 2 21 1 sin cos cos cos cos
cos2 1 1 1 1 1cos2 sin 22 2 2 4 2
x dx t t dt t t dt t dt
t dt t dt dt t t C
− = − = =
+= = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫
1 1sin cos2 2
t t t C= + + = − + +12
1 12
2x x Arc x Csin
Exemple 2
∫ −1²xxdx
Posons t
x 1= alors dtt
dx²1−=
∫ −1²xxdx = ∫
−1²11²
-
ttt
dt = ∫ −−
²1 tdt = - Arcsin t C+ = - 1Arcsin C
x+
Calcul différentiel et intégral/10
Chapitre 2. Les intégrales A. Intégrale définie 1. Exemple introductif Considérons la fonction 2: :f x x→ →R R Calculons une valeur approchée de l’aire de la surface S délimitée par le graphique de la
fonction f , l’axe Ox et les droites d’équations 12
x = et 3x = .
x
y
Calcul différentiel et intégral/11
Partageons l’intervalle ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ 3,21
en cinq intervalles de même longueur.
♦ Construisons cinq rectangles ayant un de ces intervalles comme base et comme hauteur la valeur que prend la fonction au milieu de la base.
♦ Calculons la mesure 5S de la somme des aires des cinq rectangles.
2 2 2 2 25 0, 5 . (0, 75) 0, 5 . (1, 25) 0, 5 . (1, 75) 0, 5 . (2, 25) 0, 5 . (2, 75) 8, 90625S = + + + + =
On peut dire que 5S est une valeur approchée de S. Si on veut une meilleure approximation de S, il suffira de choisir une subdivision plus fine de l'intervalle de départ, c’est à dire des rectangles dont les bases seront de plus en plus petites. On obtient
10 8,9453125...20 8,955078...SS
==
Par le calcul intégral, on trouve 0,958666...S =
x
y
x
y
Calcul différentiel et intégral/12
2. Définitions d’une intégrale définie 1re définition Considérons une fonction : : ( )f x f x→ →R R continue et positive sur un intervalle [ ]ba, . Partageons [ ]ba, en n intervalles consécutifs tels que :
bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210 Posons : 011 xxx −=Δ
122 xxx −=Δ !
1−−=Δ iii xxx !
1−−=Δ nnn xxx Dans chaque intervalle [ ]ii xx ,1− , choisissons un nombre réel ia et construisons le point
))(,( ii afa
x
y
Erreur ! Signet non défini.
b xn= x1 x2 a1
( ))a(f,a 11
a x= 0
Δx1 Δx2 Δxn
( ))a(f,a 22
a2
Calcul différentiel et intégral/13
Considérons la somme des aires des rectangles hachurés de base ixΔ et de hauteur )( iaf
nniin xafxafxafxafS Δ++Δ++Δ+Δ= )(...)(...)()( 2211
∑=
Δ=n
iiin xafS
1
)(
♦ Choisissons une subdivision plus fine de l'intervalle de départ. La base ixΔ de chacun
des rectangles tend vers 0. )( ∞→n ♦ On peut démontrer que dans ces conditions, la somme nS tend vers une limite finie qui
est indépendante : - du choix des extrémités des intervalles, - du choix du nombre pris ( ia ) dans chacun de ces intervalles.
On écrira : ∑ ∫=∞+→∞+→
=Δ=n
i
b
aiinnn
dxxfxafS1
)()(limlim
∫b
a
dxxf )(
se lit : "intégrale définie de la fonction f(x) entre les bornes a et b". a est la borne inférieure. b est la borne supérieure. Remarque On peut généraliser cette expression à toute fonction continue sur a b, .
Calcul différentiel et intégral/14
2e définition Considérons une fonction : : ( )f x f x→ →R R continue et positive sur l’intervalle [ ]ba, . Partageons [ ]ba, en n intervalles consécutifs tels que :
bxxxxxxa nii =<<<<<<<= − ...... 1210 Comme précédemment on pose
011 xxx −=Δ , 122 xxx −=Δ , … , 1−−=Δ iii xxx , … , 1−−=Δ nnn xxx Appelons im la borne inférieure de f(x) quand x varie dans l'intervalle [ ]ii xx ,1− et iM sa borne supérieure dans le même intervalle. Considérons les sommes
∑=
Δ=Δ++Δ++Δ+Δ=n
iiinnii xmxmxmxmxms
12211 ......
∑=
Δ=Δ++Δ++Δ+Δ=n
iiinnii xMxMxMxMxMS
12211 ......
On peut démontrer que lorsque le nombre d’intervalles augmente indéfiniment )( ∞→n , de sorte que les valeurs ixΔ tendent vers 0, les limites de s et de S existent et sont égales. On désigne cette limite commune par
∫b
a
dxxf )(
∑∫∑=∞+→=∞+→
Δ==Δn
iiin
b
a
n
iiin
xMdxxfxm11
lim)(lim
a x= 0
x1 x2 b xn=
y
x
y f x= ( )
Δx1 Δx2
m1
M m2 3= M m1 2=
Calcul différentiel et intégral/15
Agrandissement L’aire iσ de la surface hachurée est comprise entre les aires des deux rectangles de base
ixΔ et de hauteurs respectives ii Metm .
iiiii xMxm Δ≤≤Δ σ
SsxMxmn
ii
n
iii
n
ii
n
iii ≤≤⇔Δ≤≤Δ ∑∑∑∑
==== 1111
σσ
∑∑∑=∞→=∞→=∞→
Δ≤
∫
≤Δn
iiin
dxxf
n
iin
n
iiin
xMxm
b
a
1
)(
11
limlimlim!!"!!#$
σ
On peut montrer que ces deux définitions sont équivalentes. Remarques
♦ ∫b
a
dxxf )( est un nombre réel qui représente l’aire de la surface délimitée par l’axe Ox, la
courbe d'équation y f x= ( ) et les droites d’équations x a= et x b=
♦ Le symbole ∫ représente la première lettre du mot somme.
♦ f x dx( ) rappelle que les termes de la somme sont du type ii xaf Δ)( .
♦ ∫b
a
dxxf )( est donc un nombre réel qui est la limite de la somme d’un nombre infiniment
grand de termes infiniment petits.
a x= 0 xi−1 x i
mi
M i
y
x b xn=
Δx i
σ i
Calcul différentiel et intégral/16
3. Propriétés de l’intégrale définie
Considérons une fonction f continue sur l'intervalle fermé [ ]ba, . a. L’intégrale définie ne dépend pas de la variable d’intégration.
...)()()( === ∫∫∫b
a
b
a
b
a
dttfdyyfdxxf
b. ∫∫ −=a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
On considère la somme de b à a où les ixΔ ont changé de signe. Remarque
0)( =∫a
a
dxxf
c. Additivité
∫∫∫ =+c
a
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Remarque
Si la fonction f est négative, l’aire située entre la courbe et l’axe Ox est donnée par
∫−a
b
dx)x(f
d. Linéarité
[ ], : ( ) ( ) ( ) ( )b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dxλ µ λ µ λ µ∀ ∈ + = +∫ ∫ ∫R
e. Positivité
[ ], : ( ) 0 ( ) 0b
a
x a b f x f x dx∀ ∈ ≥ ⇒ ≥∫
[ ], : ( ) ( ) ( ) ( )b b
a a
x a b f x g x f x dx g x dx∀ ∈ ≥ ⇒ ≥∫ ∫
a b c x
y
y f x= ( )
y f x= ( ) a b x
y
Calcul différentiel et intégral/17
B. Calcul d’une aire à l’aide d’une primitive Considérons une fonction : , ( )f t f t→ →R R continue, croissante et positive dans l'intervalle [ ]ba,
Appelons ∫=x
a
dttfxS )()( la mesure de l’aire de la surface délimitée par
0,,,)( ==== yxtattfy
∫=β
βa
dttfS )()( la mesure de l’aire de la surface délimitée par
0,,,)( ==== ytattfy β Intuitivement on a
Aire du rectangle MNPQ ≤−≤ )()( βSxS aire du rectangle MNRT )()()()()()( xfxSxSfx ββββ −≤−≤−
βββββ >≠≤
−−≤ xxxfxSxSf ,)()()()(
et
)(lim)()(lim)(lim xfxSxSf
xxx βββ βββ
>>>→→→
≤−−≤
)()(')( βββ fSf ≤≤ d’où
'( ) ( )S fβ β= et par généralisation
'S f= S est donc une primitive de f et la fonction
∫→x
a
dttfx )(
est une primitive de f.
y f t= ( )
a β
x b t
y
f a( )
f ( )β
f b( )
f x( )
T R
Q P
N M
Calcul différentiel et intégral/18
Rappel F est une primitive de f si et seulement si F’ = f et si F est une primitive de f, toute primitive de f est de la forme F + C. On a donc
∫x
a
dttf )( est une primitive de f(x)
c'est-à-dire
CxFdttfx
a
+=∫ )()(
Lorsque x a= , on a successivement
CaFdttfa
a
+=∫ )()(
0 ( )F a C= + ( )C F a= −
Lorsque x b= , on a successivement
CbFdttfb
a
+=∫ )()(
)()()( aFbFdttfb
a
−=∫
On notera
[ ]∫ −==b
aba )a(F)b(F)x(Fdx)x(f
La détermination d’une intégrale définie se ramène donc à la détermination d’une primitive. On peut généraliser cette expression à toute fonction continue sur a b, . Exemples
y
x
y x= 2
x
y y x= 2
Calcul différentiel et intégral/19
Exemples Calculer les intégrales suivantes :
∫∫∫∫
==
==−−2
0 16
3 1
1
3 16
3 1
dx)x(f )4dx)x(f )2
dx)x(f )3 dx)x(f )1
[ ]( ) ( ) ( )( )∫
∫
∫
∫
π=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ π=−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
+
−==
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛−−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
ππ
−
1
0
21
0
3
2
3
2
2
0
2
0
3
1
1-
1
1
32²
421²0Arctg²1Arctg
21
2²Arctgxdx
x²1Arctgx )8
2232t2dtt
1 )7
310
31
3usindu cosu sin²u )6
32
31
31
3³xx²dx )5
EXERCICES - IV° série Calculez les intégrales définies suivantes :
∫∫∫π
π−
π
π−
π
π−4
3
43
43
43
43
43
dx 4x sin )3dx 4x sin )2dx4x sin )1
4) sin x.cosx1+ sin2x
dx−π
2
π2∫ 5) sin x.cosx
1+ sin2x dx
0
π2∫
⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∫∫∫ −−
2
2
6
1
3
2dx x )8dx x )7dx x )6
Calcul différentiel et intégral/20
Intégration par parties de ∫b
adx)x(f
La formule de l'intégration par parties s'étend aux intégrales définies : Exemples :
[ ]( )1³e
91e
31
e91e
31dxe
310e
31dxe
31 1.e
31.xdxex
3
1
0
1
0
1
0
10
3x33x33x1
0
3x3x
−−=
−=−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∫ ∫ ∫
Intégration par substitution de ∫b
adx)x(f
La formule de l'intégration par substitution s'adapte aux intégrales définies à condition d’exprimer les bornes en fonction de la nouvelle variable : Exemples :
( )∫ =1
04 Idx1-xx. On pose x-1=t Changement de bornes
Si x=1, alors t=0 Si x=0, alors t= -1
L’intégrale devient :
( ) ( )301
51
610
5t
6tdtttdt.t1tI
0
1
0
1-
56450
1-4 =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=+=+=
−∫∫
EXERCICES - V° série Calculez les intégrales définies suivantes :
( )( )
( ) ∫∫∫
∫∫∫
−
++
++
+
π
π−
−
π−
−
7
27 4
4
6
1
2
3
1
0
4
1
2
dt
49t1
t )6dyy²sin
cosy1 )4dt²34t-t²
2-t )2
Arctgx.x²1dx )5 duu²tg1.tgu )3dt
34t-t²2-t )1
Calcul différentiel et intégral/21
Chapitre 3. Applications de l’intégrale définie Calculs d’aires et de volumes
A. Calculs d’aires Considérons deux fonctions f et g continues dans l’intervalle [ ],a b .
Supposons que [ ] ( ) ( ), ,x a b g x f x∀ ∈ ≤ . L’aire de la surface délimitée par le graphique de f et le graphique de g
les droites bxax == et est donnée par
( )∫ −=b
a
dxxgxfS )()(
Cas où les graphiques se coupent dans l’intervalle [ ],a b Alors on sépare le calcul d’aire en deux nouveaux calculs d’aire
21 AAA +=
( ) ( )∫∫ −+−=b
c
c
a
dxxfxgdxxgxfA )()()()(
y f x= ( )
y g x= ( ) S
a b x
y
a c b x
y
y f x= ( )
y g x= ( )
A1 A2
Calcul différentiel et intégral/22
Exemple 1 Calculer l’aire de la surface délimitée par ♦ la droite 2+−=≡ xyd
♦ la parabole 42 −=≡ xyP Les abscisses des points d'intersection de la droite et de la parabole sont
x x2 4 2− = − + x x2 6 0+ − = x x= − =3 2,
Dans l’intervalle −3 2, , on a :
− + ≥ −x x2 42
( )
( )
2 2
32
2
32
3 2
3
2 ( 4)
6
1 1 63 2
8 9 1252 12 9 183 2 6
S x x dx
x x dx
x x x
−
−
−
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦
= − − +
⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= − − + − − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
Exemple 2 Calculer l’aire de la surface délimitée par les courbes xyxy == et2 .
Les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont
x x2 = x x x4 0= ≥et
x x4 0− = x x( )3 1 0− = x x= =0 1,
Dans l’intervalle 0 1, , on a : x x≥ 2
( )11 3 3
2 2
0 0
2 2 1 13 3 3 3 3
xS x x dx x⎡ ⎤
= − = − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
y
x 2 -3
y x= −2 4
y x= − + 2
x
y y x= 2
y x=
Calcul différentiel et intégral/23
Exemple 3 Calculer l’aire de la surface délimitée par les courbes 1 6C y x≡ = + , 2 2 0C y x≡ + = et
33 0C y x≡ − =
Les abscisses des points d'intersection des courbes sont : Entre C C1 2et :
6y x= + et 12
y x= −
x x+ = −6 12
x = −4 Entre C C2 3et :
12
y x= − et 3y x=
− =12
3x x
x = 0 Entre C C1 3et :
y x y x= + =6 3et
x x+ =6 3 x x3 6 0− − =
( )( )x x x− + + =2 2 3 02 x = 2
Dans l’intervalle −4,0
( )0
1 4
002
4 4
162
3 3 36 6 0 .16 24 122 4 4
S x x dx
x dx x x
−
− −
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= + = + = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∫
∫
Dans l’intervalle 0,2
( ) ( )
( )
2 32 0
22 4 23
0 0
6
16 46 6 12 104 2 4 2
S x x
x xx x dx x
⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + + = − + + = − + + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
D’où : S S S= + = + =1 2 12 10 22.
y
x 2 -4
Calcul différentiel et intégral/24
Équations de la forme : x f y= ( ) f est continue dans l'intervalle [ ]dc,
Il suffit d’intervertir les rôles de x et de y.
( )∫ −=d
c
dyygyfS )()(
Exemple Calculer l’aire de la surface délimitée par les graphiques des fonctions d’équations :
xyxy =+= 22 et42
Bornes de l'intégrale : x y x y= − =2 42 2et
2 42 2y y− = y2 4=
y y= = −2 2et Dans l’intervalle −2 2, , on a :
y y2 22 4≥ −
( )
( )
2 2 2
2
22 32
2 2
(2 4)
8 8 324 4 8 83 3 3 3
A y y dx
yy dy y
−
− −
⎡ ⎤= − −⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + = − + = − + − − =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
∫
∫
x g y= ( ) x f y= ( )
y
x
c
d
S
-2
2
x
y
x y= 2 x y= −2 42
Calcul différentiel et intégral/25
EXERCICES - VI° série 1) Trouve une ou plusieurs intégrales définies dont la valeur ou la différence des valeurs est égale à
l’aire de la partie coloriée du plan. Calcule ensuite cette aire.
2) Calcule les aires grisées ci-dessous. Au préalable, tu dois déterminer les intersections des courbes !
3) Calcule l’aire de la partie d’un plan délimitée par les courbes d’équation f(x) = 4 - x², l’axe X et les droites d’équations x = 2 et x = - 1. (Même question avec les droites d’équations x = - 3 et x = 3)
4) Calcule l’aire de la partie d’un plan délimitée par les courbes d’équation f(x) = xe , l’axe X et les droites d’équations x = 0 et x = 1.
5) Calcule l’aire de la partie d’un plan délimitée par les courbes d’équation f(x) = x² - 3x, l’axe X et les droites d’équations x = 1 et x = 3.
6) Calcule l’aire de la surface limitée par les courbes d’éq. y = x2 - 4 et y = - x + 2
7) Calcule l’aire de la surface limitée par les courbes d’éq. y = - x
2 + 2 et y = x
2 – 4
8) Calcule l’aire de la partie du plan délimitée par les courbes d’équation :
4y2 = x et x-2y-2=0. Effectue d’abord une représentation graphique. Détaille ton raisonnement pour déterminer les intersections de ces deux courbes et pour calculer l’aire à l’aide d’intégrales.
Collège Claparède Exercices de Mathématique4ème Niv. 1 Série N°8 Aires et volumes page1/2
n Calculez les aires grisées ci-dessous.Au préalable, vous devrez déterminer des intersections de courbes !
Calculez l'aire pour a = 10,puis a = 100,puis a = 1000.Vers quelle aire serapproche-t-on si a est unentier pair qui tend versl'infini ?
o Soit c un nombre réel positif.
On considère les deux fonctions : ( ) 1cf x x � et ( ) 1
cg x x � .
a) Dessinez le graphique de ces deux fonctions pour c = 1 ; c = 2,5 et pour c = 100.b) Calculer l'aire comprise entre ces deux fonctions, en fonction de c.c) Pour c = 1, que vaut-elle ? Faites un lien avec l'aire d'une figure géométrique connue.d) Pour quelle valeur de c cette aire vaut-elle 2,75 ?e) Vers quelle limite tend cette aire lorsque c tend vers l'infini. Faites un lien avec vos graphiques.
Solide de révolution.
p On appelle solide de révolution un corps obtenu par rotation d’une surface autour d’un axe.
Par exemple en faisant tourner un rectangle autour del’un de ses côtés on obtient un cylindre.La fonction f correspondante est : f (x) = R, oùR = le rayon de la base du cylindre.Pour un cylindre de hauteur h, on fait varier x de 0 à h.Calculez le volume d'un cylindre de base de rayon R et de hauteur h.
q Pour calculer le volume d'un cône, la fonction génératrice de cesolide de révolution est f (x) = a � x.En faisant tourner le triangle correspondant autour de l'axe des x,on obtient un cône.Pour un cône de hauteur h, on fait varier x de 0 à h.Calculez le volume du cône correspondant.Que doit valoir "a" pour que le rayon de la base égale R ?
f (x) = a � x
0 hx
y
11
1
0
y = x2
x
y = x y
A1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = xa � 1
y = 1 � xa
A5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 1 � x2
y = x2 � 2
A4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x y = 3 � x2
y = x2
A3
0
0.5
1
0 0.5 1
x
cos( )y x
sin( )y x
A2
Calcul différentiel et intégral/26
B. Les solides de révolution Un solide de révolution est un volume engendré par la rotation d’une région du plan autour d’une droite
Figure 1 Figure 2 Prenons un découpage de l'intervalle [ ],a b et construisons sur chaque sous-intervalle un rectangle. La rotation de ces rectangles autour de l’axe Ox engendre le solide de révolution de la figure 2. Chaque rectangle engendre un cylindre de rayon de base )( iwf et de hauteur
(épaisseur) 1−−=Δ iii xxx Le volume de chaque cylindre est le produit de sa base par sa hauteur : [ ] iii xwfV Δ= .)( 2π La somme des volumes de ces cylindres est [ ]∑∑ Δ=
iii
ii xwfV .)( 2π
Le volume est donc
( )∫=b
a
dxxfV 2)(π
Remarques 1. f ne doit pas être nécessairement positive. 2. En intervertissant les rôles de x et de y, on obtient un solide de révolution engendré par une
rotation autour de l’axeOy . Dans ce cas, on a
( )∫=d
c
dyygV 2)(π .
x
y
x
y
Δxi
Calcul différentiel et intégral/27
Exemple 1 Calculer le volume engendré par la rotation autour de l’axe Ox de la région comprise entre la courbe d’équation 12 += xy et les droites d'équations 11 =−= xx et
( )∫− +π=1
1
2dx1²x.V
En utilisant la symétrie, on obtient
( )∫ +π=1
0
2dx1²x.2V
( )∫ ++π=1
0
24 dx1x2x.2V 1
0
35
x3x.2
5x.2V ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++π=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++π= 1
31.2
51.2V
1556V π=
Exemple 2 Calculer le volume engendré par la rotation autour de l’axe Oy de la région comprise entre l’axe
Oy et les graphiques des fonctions d'équations 81,3 === yyxy et
De 3y x= , on déduit 133x y y= =
∫ π=8
131dyy.V
∫π=8
131dyy.V
8
1
34
34y.
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡π=
8
1
34
8
1
34
y43
4y.3.V ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡π=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡π=
44518.
43V 3
4 π=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛ −π=
x
y y x= +2 1
x
y
8
x y= 3
Calcul différentiel et intégral/28
Considérons maintenant la révolution d’une région comprise entre deux courbes, autour de l’axe Ox Le solide de révolution résulte de la différence entre le solide engendré par la plus grande région ( )(xf ) et celui engendré par la plus petite ( )(xg )
[ ] [ ]∫∫ −=b
a
b
a
dxxgdxxfV 22 )()( ππ
[ ]∫ −=b
a
dxxgxfV )()( 22π
En pratique : 2 2(rayon exterieur) (rayon interieur) .ÈpaisseurV ⎡ ⎤= π −⎣ ⎦
Exemple 3 Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de Ox de la région délimitée par les fonctions d’équations 02222 =−−−= xyyx et et par les droites d'équations 10 == xx et
Dans l’intervalle 0 1, , on a
x x2 2 12
1+ ≥ +
( )2
1 22
0
21 4 2
0
14 2
0
12 12
4 4 14
15 34
V x x dx
xx x x dx
x x x dx
π
π
π
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
= + + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
∫
= 7920π
b x
y
a b
y f x= ( )
y g x= ( )
x
y y x= +2 2
y x= +12
1
Calcul différentiel et intégral/29
EXERCICES - VII° série 1) Le cylindre est un solide de révolution.
En effet, en faisant tourner un rectangle autour de l’un de ses côtés, on obtient un cylindre. Trouve une intégrale définie dont la valeur vaut le volume d’un cylindre de base de rayon R et de hauteur h. Calcule ce volume.
2) Le cône est également un solide de révolution. En faisant tourner un triangle autour de l’un de ses côtés, on obtient un cône. Trouve une intégrale définie dont la valeur vaut le volume d’un cylindre de base de rayon R et de hauteur h. Calcule ce volume.
3) Les surfaces hachurées ci-dessous engendrent des solides de révolution lorsqu’on les fait tourner autour de l’axe x. Dessine pour chaque cas le solide obtenu et calcule son volume de révolution.
Collège Claparède Exercices de Mathématique4ème Niv. 1 Série N°8 Aires et volumes page2/2
r Les surfaces hachurées ci-dessous engendrent des solides de révolution lorsqu’on les fait tournerautour de l’axe des x.Dessinez pour chacun des cas le solide obtenu et calculez son volume de révolution.
� � 2 21f x r x � � �2
12
f x x
� � 53
xf x e
� � 1f x et
� � � �24g x x �
s Calculez le volume du corps de révolution engendré par larotation autour de l’axe des x de la courbe d’équation
2 4y x x � , pour x variant entre �1 et 1.
ta) Calculez le volume du corps de révolution engendré par la rotation autour de l'axe des x de la courbe
d'équation 1yx
, pour x variant entre 1 et a.
b) Vers quel nombre tend ce volume lorsque a tend vers l'infini ?c) Quelle est l'aire de la surface hachurée ?d) Vers quelle limite tend cette aire lorsque a tend vers l'infini ?
Remarquez que l'aire latérale de ce volume est supérieure à l'aire hachurée, et donc qu'elle tend versl'infini lorsque a tend vers l'infini.
A la limite vous obtenez un solide de volume fini, mais infiniment long et d'aire latérale infinie !Comment faire pour peindre cette surface infinie ? Réponse : remplir de peinture ce volume fini !!!
f1
f2
f3
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
1yx
a
�r r
4) Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation
autour de l’axe des x de la courbe d’équation y = x2 − x4 , pour x variant entre -1 et 1.
5) a) Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des x de la
courbe d’équation y = 1x
, pour x variant entre 1 et a.
b) Vers quel nombre tend ce volume si a tend vers l’infini ? c) Quelle est l’aire de la surface hachurée ? d) Vers quelle limite tend cette aire si a tend vers l’infini ?
6) Un mur rectangulaire de 12 m de long et 6 m de haut est percé d’une porte ayant la forme d’un rectangle surmonté d’un arc parabolique. Calcule la quantité de peinture à employer pour repeindre le mur sachant que :
a) une seule couche de peinture est nécessaire b) on ne peint pas la porte c) il faut 1 litre de peinture pour couvrir une
surface de 10 m2.
Collège Claparède Exercices de Mathématique4ème Niv. 1 Série N°8 Aires et volumes page1/2
n Calculez les aires grisées ci-dessous.Au préalable, vous devrez déterminer des intersections de courbes !
Calculez l'aire pour a = 10,puis a = 100,puis a = 1000.Vers quelle aire serapproche-t-on si a est unentier pair qui tend versl'infini ?
o Soit c un nombre réel positif.
On considère les deux fonctions : ( ) 1cf x x � et ( ) 1
cg x x � .
a) Dessinez le graphique de ces deux fonctions pour c = 1 ; c = 2,5 et pour c = 100.b) Calculer l'aire comprise entre ces deux fonctions, en fonction de c.c) Pour c = 1, que vaut-elle ? Faites un lien avec l'aire d'une figure géométrique connue.d) Pour quelle valeur de c cette aire vaut-elle 2,75 ?e) Vers quelle limite tend cette aire lorsque c tend vers l'infini. Faites un lien avec vos graphiques.
Solide de révolution.
p On appelle solide de révolution un corps obtenu par rotation d’une surface autour d’un axe.
Par exemple en faisant tourner un rectangle autour del’un de ses côtés on obtient un cylindre.La fonction f correspondante est : f (x) = R, oùR = le rayon de la base du cylindre.Pour un cylindre de hauteur h, on fait varier x de 0 à h.Calculez le volume d'un cylindre de base de rayon R et de hauteur h.
q Pour calculer le volume d'un cône, la fonction génératrice de cesolide de révolution est f (x) = a � x.En faisant tourner le triangle correspondant autour de l'axe des x,on obtient un cône.Pour un cône de hauteur h, on fait varier x de 0 à h.Calculez le volume du cône correspondant.Que doit valoir "a" pour que le rayon de la base égale R ?
f (x) = a � x
0 hx
y
11
1
0
y = x2
x
y = x y
A1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = xa � 1
y = 1 � xa
A5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 1 � x2
y = x2 � 2
A4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x y = 3 � x2
y = x2
A3
0
0.5
1
0 0.5 1
x
cos( )y x
sin( )y x
A2
Collège Claparède Exercices de Mathématique4ème Niv. 1 Série N°8 Aires et volumes page1/2
n Calculez les aires grisées ci-dessous.Au préalable, vous devrez déterminer des intersections de courbes !
Calculez l'aire pour a = 10,puis a = 100,puis a = 1000.Vers quelle aire serapproche-t-on si a est unentier pair qui tend versl'infini ?
o Soit c un nombre réel positif.
On considère les deux fonctions : ( ) 1cf x x � et ( ) 1
cg x x � .
a) Dessinez le graphique de ces deux fonctions pour c = 1 ; c = 2,5 et pour c = 100.b) Calculer l'aire comprise entre ces deux fonctions, en fonction de c.c) Pour c = 1, que vaut-elle ? Faites un lien avec l'aire d'une figure géométrique connue.d) Pour quelle valeur de c cette aire vaut-elle 2,75 ?e) Vers quelle limite tend cette aire lorsque c tend vers l'infini. Faites un lien avec vos graphiques.
Solide de révolution.
p On appelle solide de révolution un corps obtenu par rotation d’une surface autour d’un axe.
Par exemple en faisant tourner un rectangle autour del’un de ses côtés on obtient un cylindre.La fonction f correspondante est : f (x) = R, oùR = le rayon de la base du cylindre.Pour un cylindre de hauteur h, on fait varier x de 0 à h.Calculez le volume d'un cylindre de base de rayon R et de hauteur h.
q Pour calculer le volume d'un cône, la fonction génératrice de cesolide de révolution est f (x) = a � x.En faisant tourner le triangle correspondant autour de l'axe des x,on obtient un cône.Pour un cône de hauteur h, on fait varier x de 0 à h.Calculez le volume du cône correspondant.Que doit valoir "a" pour que le rayon de la base égale R ?
f (x) = a � x
0 hx
y
11
1
0
y = x2
x
y = x y
A1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = xa � 1
y = 1 � xa
A5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 1 � x2
y = x2 � 2
A4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x y = 3 � x2
y = x2
A3
0
0.5
1
0 0.5 1
x
cos( )y x
sin( )y x
A2
Collège Claparède Exercices de Mathématique4ème Niv. 1 Série N°8 Aires et volumes page2/2
r Les surfaces hachurées ci-dessous engendrent des solides de révolution lorsqu’on les fait tournerautour de l’axe des x.Dessinez pour chacun des cas le solide obtenu et calculez son volume de révolution.
� � 2 21f x r x � � �2
12
f x x
� � 53
xf x e
� � 1f x et
� � � �24g x x �
s Calculez le volume du corps de révolution engendré par larotation autour de l’axe des x de la courbe d’équation
2 4y x x � , pour x variant entre �1 et 1.
ta) Calculez le volume du corps de révolution engendré par la rotation autour de l'axe des x de la courbe
d'équation 1yx
, pour x variant entre 1 et a.
b) Vers quel nombre tend ce volume lorsque a tend vers l'infini ?c) Quelle est l'aire de la surface hachurée ?d) Vers quelle limite tend cette aire lorsque a tend vers l'infini ?
Remarquez que l'aire latérale de ce volume est supérieure à l'aire hachurée, et donc qu'elle tend versl'infini lorsque a tend vers l'infini.
A la limite vous obtenez un solide de volume fini, mais infiniment long et d'aire latérale infinie !Comment faire pour peindre cette surface infinie ? Réponse : remplir de peinture ce volume fini !!!
f1
f2
f3
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
1yx
a
�r r
Collège Claparède Exercices de Mathématique4ème Niv. 1 Série N°8 Aires et volumes page2/2
r Les surfaces hachurées ci-dessous engendrent des solides de révolution lorsqu’on les fait tournerautour de l’axe des x.Dessinez pour chacun des cas le solide obtenu et calculez son volume de révolution.
� � 2 21f x r x � � �2
12
f x x
� � 53
xf x e
� � 1f x et
� � � �24g x x �
s Calculez le volume du corps de révolution engendré par larotation autour de l’axe des x de la courbe d’équation
2 4y x x � , pour x variant entre �1 et 1.
ta) Calculez le volume du corps de révolution engendré par la rotation autour de l'axe des x de la courbe
d'équation 1yx
, pour x variant entre 1 et a.
b) Vers quel nombre tend ce volume lorsque a tend vers l'infini ?c) Quelle est l'aire de la surface hachurée ?d) Vers quelle limite tend cette aire lorsque a tend vers l'infini ?
Remarquez que l'aire latérale de ce volume est supérieure à l'aire hachurée, et donc qu'elle tend versl'infini lorsque a tend vers l'infini.
A la limite vous obtenez un solide de volume fini, mais infiniment long et d'aire latérale infinie !Comment faire pour peindre cette surface infinie ? Réponse : remplir de peinture ce volume fini !!!
f1
f2
f3
0
0.5
1
1.5
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
1yx
a
�r r