D eterminarea densităţilor

Introducere. Densitatea (de masă) a unui corp omogen se

definieşte prin raportul:

(1)

în care m este masa corpului şi V volumul său. Unitatea ei de

măsură în S.I. este deci:

(2)

dar în multe cazuri este mai avantajoasă exprimarea ei în

sistemul C.G.S., adică în g / cm3. Apa distilată are, la 40C, densitatea

de 1 g/cm3 sau 1000 kg/m3, valoare care se poate folosi aproximativ şi

la temperatura camerei.

Se numeşte densitate relativă a unui corp raportul dintre masa

lui şi masa m’ a aceluiaşi volum dintr-un corp etalon, care erste apa

în cazul corpurilor solide şi lichide şi aerul atmosferic în condiţii

normale în cazul gazelor:

d = m / m’ (3)

Densitatea relativă este o mărime adimensională.

a.) Metoda balanţei hidrostatice

În formula de definiţie (1), masa se determină direct prin

cântărire, dar volumul se determină indirect, aflând masa unui alt

corp, m’, de densitate ’, de acelaşi volum cu corpul dat, astfel că:

(4)

1

Corpul studiat, atârnat de o balanţă, se scufundă într-un lichid

cu densitatea ’ (de obicei apă) şi, pe baza legii lui Arhimede, se află

masa m’ a lichidului dizlocuit.

Mărimea m m’

Unitatea

1

2

3

Calculul erorii relative. prin logaritmarea şi diferenţierea

formulei (4) se obţine:

ln = ln m – ln m’ + ln ’

’ fiind o constantă. Eroarea relativă limită va fi

(5)

deoarece masele m şi m’ se determină cu aceeaşi eroare

absolută, m = m’, egală cu cea mai mică din greutăţile marcate

folosibile.

b) Metoda cu picnometrul

Picnometrul este un flacon de sticlă cu volum mic, astupat cu un

dop de sticlă ce este prevăzut cu un canal capilar, prin care lichidul

2

din flacon se poate ridica, revărsându-se excesul. Cu picnometrul se

poate determina densitatea corpurilor solide şi lichide.

1.) Densitatea corpurilor solide. Se umple picnometrul cu apă la

temperatura camerei, avându-se grijă ca apa să ajungă aproape de

marginea superioară a gâtului. Apoi se introduce dupul şi excesul de

apă se scurge prin canalul capilar în exterior. Prin aceasta s-a

asigurat umplerea completă a picnometrului, care paoi trebuie şters

bine cu un prosop sau o sugativă. Picnometrul se aşază pe talerul

unei balanţe şi se cântăreşte. Fie m1 masa lui. (Fig.1.a).

Corpulş de studiat se aşează lângă picnometru şi balanţa se

echilibrează din nou cu greutăţi marcate, de masă m2. (Fig.1.b). Se ia

picnometrul de pe balanţă şi se introduce în el corpul solid, punând

apoi dopul la loc. Trebuie să se aibă grijă ca şi acum picnometrul să

fie umplut complet şi să fie uscat la exterior. Reaşezându-l pe

balanţă, acesta se echilibrează cu masa m3 (fig.1c).

Diferenţa m2 - m1 este masa corpului, iar m2 – m3 este cea a apei

dizlocuite. Densitatea corpului se calculează cu formula:

(6)

’ fiind densitatea apei.

Observaţii:

3

- La cântărire balanţa se va bloca şi debolca în funcţie de

operaţiile efectuate, analog cu cazul balanţei hidrostatice.

- Picnometrul se va ţine întotdeauna de gât, pentru a nu încălzi

flaconul. Altfel, cantitatea de lichid din interior se poate micşora prin

revărsare.

Datele obţinute se trec în tabel.

Eroarea relativă limită e calculează cu formula:

(7)

Mărimea m1 m2 m3

Unitatea

1

2

3

2.) Densitatea lichidelor. Picnometrul gol şi bine uscat se

cântăreşte, găsindu-se masa M1. Apoi el se umple cu lichidul de

studiat, punând dopul ca la determinarea densităţii solidelor. Se

cântăreşte în noile condiţii, obţinându-se o masă M2. Acum se goleşte

picnometrul, se spală bine şi se umple cu apă, punându-se dopul.

Cântarul indică de astă dată masa M3.

Diferenţa M2-M1 este masa lichidului de studiat, iar M3-M2 masa

aceluiaşi volum de apă. Densitatea lichidului este:

4

(8).

Se va ţine seama de observaţiile făcute la punctul 1.

Mărimea M1 M2 M3

Unitatea

1

2

3

Eroarea relativă limită este:

c.) Metoda manometrică

Se foloseşte un dispozitiv manometric cu două ramuri A şi B (fig.

2),

5

Fig. 2

care se unesc în partea superioară într-un tub comun T,

prevăzut cu un robinet R. Ramurile sunt scufundate în câte o cuvă CA

şi CB , care conţine lichidul de studiat, respectiv apă distilată. Tubul T

este pus în legătură cu un aspirator prevăzut cu două robinete P şi Q

şi cu o pâlnie.

Lucrarea se efectuează astfel:

1.) În cuva CA se introduce lichidul de studiat şi în CB apă

distilată.

2.) Tuburile manometrice se coboară în cuve până aproape de

fundul lor.

3.) Robinetul R poate rămâne tot timpul deschis; se închide Q şi

se deschide P.

4.) Se toarnă apă prin pâlnie până când tubul aspiratorului se

umple în proporţie de aproximativ 3 / 4 cu apă, apoi se închide

robinetul P.

5.) Se deschide robinetul Q. Apa din manometru se scurge, la

început repede, apoi mai încet, oprindu-se în cele din urmă. În acelaşi

timp lichidele se urcă în ramurile manometrice, înălţimile lor finale

fiind h1 şi h2 , care se trec în tabel.

6

6.) Se închide Q şi se deschide P. Acum lichidele din tuburile

manometrice coboară in nou până la nivelul iniţial al lichidelor din

cuve.

7.) Se repetă operaţia 5.), obţinându-se de astă dată alte perechi

de valori pentru h1 şi h2, care se trec din nou în tabel, ş.a.m.d.

Dacă aceste înălţimi devin prea mici, se introduce o nouă

cantitate de apă în aspirator, ca la 4.)., continuându-se determinările

astfel ca să existe cel puţin 5 citiri.

Pentru calculul densităţii 1 ţinem seama de faptul că presiunea

atmosferică, care acţionează în dreptul suprafeţelor libere ale

lichidelor din cuve, poate fi exprimată fie în funcţie de h1, fie în

funcţie de h2:

(10)

unde p este presiunea aerului din interiorul tubului manometric

după aspiraţie. Din (10) rezultă:

(11)

relaţie care permite determinarea densităţii necunoscute 1:

(12).

Pentru fiecare lichid studiat se întocmeşte un tabel separat cu cel

puiţin câte 5 citiri:

Mărimea h1 h2

Unitatea

7

Fiecare determinare va fi afectată de o eroare relativă limitată

egală cu:

(13)

unde h = h1 = h2. Se observă că este avantajos a se lucra cu

valori mari ale lui h1 şi h2. De aceea, din (13) se pot evalua cele două

situaţii extreme: pentru perechea de valori (h1;h2) cea mai mare, apoi

pentru cea mai mică, obţinându-se astfel erorile relative limită cele

mai mici, respectiv cele mai mari, comise în timpul măsurărilor.

d.) Metoda cu balanţa Mohr – Westphahl

Balanţa Mohr – Westphahl (fig.3)

fig.3

8

permite determinarea rapidă a densităţii lichidelor. Pârghia cu

braţe inegale, AC, este sprijinită în B.

O greutate G se poate deplasa prin înşurubare în lungul braţului

Ab. Vârfurile V şi W servesc la controul echilibrului balanţei. Braţul

BC este divizat în 10 părţi egale, având crestături în dreptul fiecărei

diviziuni. Pe ele se pot aşeza călăreţi metalici de diferite greutăţi. În

dreptul ultimei crestături se atârnă un plutitor P. Balanţa mai este

prevăută cu un şurub S pentru reglaea înălţimii ei. Călăreţii sunt

astfel construiţi, încât cel mai mare să aibă greutatea p egală cu

greutatea apei dizlocuite de plutitor, iar ceilalţi să aibă greutăţi de 10,

100, ... mai mici ca acesta.

Pentru determinarea densităţii lichidului se procedează astfel:

1.) Se asigură verticalitatea balanţei cu şuruburile D.

2.) Se atârnă plutitorul (în aer) şi se echilibrează balanţa cu

ajutorul greutăţii G.

3.) Se scufundă plutitorul în lichidul de studiat şi se echilibrează

balanţa, punând călăreţul cel mai mare pe diviziunea a x-a, iar

celelalte în ordinea descrescătoare a greutăţilor pe diviziunile y şi z.

Densitatea lichidului se va putea exprima în funcţie de x, y şi z, după

cum rezultă din următorul raţionament:

Dacă balanţa este echilibrată, cu plutitorul atârnat (în aer,

momentul faţă de axa B, al greutăţilor din stânga lui B, M1, este egal

în valoare absolută cu cel al greutăţilor din dreapta lui B, M2:

M1 = M2 (14)

Dacă plutitorul se introduce în apă, forţa arhimedică F’ strică

echilibrul. Pentru a-l restabili, se atârnă călăreţul cel mai mare în

9

dreptul diviziunii 10, al distanţa d de axa B. Greutatea lui, p, este

astfel calculată, încât să asigure acum echilibrul, adică:

M1 = M2 + pd – F’d. (15)

Din (14) şi (15) rezultă:

p = F’ (16).

greutatea plutitorului fiind egală cu forţa arhimedică ce

acţionează din partea apei asupra lui.

Introducând plutitorul în lichidul cu densitatea necunoscută,

echilibrul balanţei se realizează prin atârnarea călăreţilor în ordinea

descrescătoare a greutăţilor, la distanţele d1, d2, d3 de B.

Avem deci:

(17)

F fiind forţa arhimedică ce acţionează din partea lichidului de

studiat asupra plutitorului. Ţinând cont de (14), se obţine din (17):

(18)

Conform relaţiei (16), p = F’ = V g, iar F = V g. Dacă mai

avem în vedere că distanţele d1, d2, d3 şi d corespund diviziunilor x, y

şi z şi 10 de pe braţul BC, putem scrie (18) sub forma:

10

(19).

sau:

= 0, xyz ’ (20)

Exemple:

Exemple:

X=8, Y=7, Z=3,

X=10, Y=8, Z=5,

X=10, Y=10, Z=4, Y=2

În primul caz, lichidul are densitatea mai mică decât apa;

călăreţul cel mai mare a fost atârnat pe o diviziune mai mică decât

10. În celelalte cazuri densitatea lichidului este mai mare decât cea a

apei; călăreţul cel mare a fost aşezat pe diviziunea 10. Se poate

întâmpla, ca dintr-o categorie de călăreţi să fie atârnate două bucăţi,

ca în exemplul al treilea, unde un călăreţ de categorie mijlocie a fost

atârnat pe diviziunea 10, iar altul identic pe diviziunea 2.

Lucrarea nr. 13

Determinarea vitezei de curgere şi a debitului unui lichid ideal

Teoria lucrării. Un lichid se numeşte ideal, dacă nu prezintă

fenomenul de vâscozitate, adică de frecare interioară. Deşi lichide

11

ideale nu există, unele din ele (de exemplu, apa), manifestă la

temperatura camerei o vâscozitate suficient de mică, pentru a putea

fi tratate cu aproximaţie drept lichide ideale.

Se numeşte debit raportul dintre volumul scurs printr-o secţiune

transversală a tubului de curent şi timpul necesar acestei curgeri.

Dacă curgerea este staţionară, avem:

Q = V / t (1)

Legea continuităţii curgerii impune ca debitul să fie acelaşi în

orice secţiune a tubului de curent. Dacă în (1) se ia V = Sx, unde S

este aria secţiunii tubului şi x distanţa parcursă de lichid în timpul t,

obţinem pentru legea continuităţii:

S1v1 = S2v2 = ...... = constant (2)

Indicii 1, 2, ... marchează diferitele secţiuni ale tubului.

Un lichid ideal se supune în curgerea staţionară legii lui

Bernoulli,

(3)

unde p1, p2, .... sunt presiunile statice, h1, h2, ... înălţimile

porţiunilor de lichid deasupra unui nivel de referinţă, iar

densitatea lichidului (incompresibil).

Considerând doar două secţiuni din tubul de curent la o curgere

orizontală (h1 = h2), din (2) şi (3) se pot determina vitezele:

şi (4)

Debitul se calculează din 2 şi 4:

12

(5)

Aparatura. Un tub cilindric T cu secţiunea variabilă şi cu axa

orizontală este montat pe un panou de lemn vertical, prevăzut cu un

fir cu plumb F şi cu şuruburi S pentru asigurarea orizontalităţii (fig.

1),

fig.1

Secţiunea largă şi cea încustă a tubului sunt în legătură cu un

manometru cu mercur, M. Capătul de intrare al tubului comunică cu

robinetul conductei de apă, iar capătul de ieşire cu chiuveta.

Modul de lucru. După asigurarea orizontalităţii dispozitivului se

deschide robinetul şi apa începe să curgă prin tub. Se observă că

nivelele mercurului din cele două tuburi manometrice se deplasează.

După ce denivelarea h a atins o valoare staţiuonară, ea se citeşte şi se

trece în tabelul cu valori. Din formula presiunii hidrostatice se

deduce:

13

p1 – p2 = 0 g h (6)

0 fiind densitatea mercurului. Această diferenţă se introduce în

(4) şi (5). Raportul secţiunilor se va înlocui cu raportul pătratelor

diametrelor:

(7)

Acestea sunt: D1 = 37,8 mm, D2 = 5,6 mm. Pentru v2 se obţine

deci formula:

cu care se calculează şi v1 şi Q, ştiind că = 1000 kg / m3 şi 0 =

13600 kg / m3.

Variind deschiderea robinetului, se vor determina diferite viteze şi diferite

debite. La sfârşit se va face o reprezentare grafică a debitului în funcţie de denivelare.

Mărimea h v2 v1 Q

Unitatea

14