1

CALCULUL DE VERIFICARE LA VIBRATII TORSIONALE

Tema proiectului:

Să se efectueze calculul de verificare la vibrații torsionale pentru un motor naval cu i = ....

cilindri în linie, cu funcționare în doi timpi τ=..... și aprindere prin comprimare. Motorul dezvoltă o

putere efectivă Pe= ....... kW la turația nominală n = ........ rot/min.

Se presupun cunoscute datele referitoare la ciclul termic al motorului și dimensiunile

principale ale acestuia. Motorul este destinat funcționării ca motor principal.

Date despre motor:

D = ...........[m];

S = ……….[m];

R = 2

S= ………[m];

τ = …… timpi;

i = …… cilindri;

n = …… rot/min.

Date despre cot

Considerăm arborele cotit ca fiind reuniunea a „i” manivelr dispuse în jurul și în lungul axei de

rotație. Dimensiunile elementelor componente ale unei manivele sunt:

- diametrul fusului palier Ddl )8,06,0( =............ [m]

- diametrul fusului maneton Ddm )75,056,0( = ........[m]

- lungimea fusului palier ll dl )8,07,0( = ..............[m]

- lungimea fusului maneton mm dl )6,05,0( = ............[m]

- grosimea brațului mdh )35,02,0( = ............[m]

- raza de racordare mdr )1,007,0( = .............[m]

- diametrul interior al manetonului la M4t mmi dd )75,06,0( = ...............[m]

- înălțimea cotului 2

2 ml ddRrH

= ......... [m]

- lungimea unui cot între mijloacele a 2 paliere adiacente a = .......[m].

Date despre volant:

- momentul de inerție al volantului ]..........[.......... 2mkgJv

2

1. Determinarea sistemului oscilant echivalent

Studiul vibrațiilor torsionale ale arborelui cotit constă în determinarea pulsațiilor și formelor

oscilațiilor proprii ale arborelui (modurile de vibrație), determinarea amplitudinilor oscilațiilor

forțate ale arborelui cotit și tensiunile corespunzatoare care se produc în acest arbore, în cazul

diferitelor regimuri de exploatare.

Arborele cotit, fiind un sistem cu forma complicată, este înlocuit cu un arbore drept

echivalent, a cărui rigiditate trebuie să fie identică cu rigiditatea arborelui cotit, iar momentele de

inerție mecanică ale maselor legate de arborele cotit (inclusiv masa proprie) sunt identice pentru cei

doi arbori, cotit real și drept echivalent. Cele două condiții sunt determinate de natura fenomenului

de oscilație, care constă în transformarea periodică a energiei de deformare în energie cinetică și

invers.

1.1. Lungimea redusă a cotului

Deoarece unele elemente au forme geometrice neregulate, lungimile reduse se determină pe

cale experimentală. Relațiile de calcul pentru formele elastice cele mai uzitate sunt date în tabelul 1.

Relația lui Carter:

30 5,175,0)8,0(hb

DR

D

Dlhll l

m

lml

Relația lui Zimanenko:

30 2,08,06,0hb

D

D

RR

D

Dh

R

bld

l

hll l

mm

lml

l

l

Relația lui Timoshenko:

30 9,0)9,0()9,0(hb

DR

D

Dhlhll l

m

lml

Vom utiliza relația lui Timoshenko, unde:

44

44

i

i

mmm

lll

ddD

ddD

1.2. Rigiditatea arborelui echivalent

Arborele cotit, nefiind o grindă dreaptă, nu permite determinarea cu exactitate a rigidității

sale. Pentru arborele echivalent imaginat ca un arbore drept, fără masă, de diametru 0

d , eventual

gol la interior încărcat cu un numar de volanți (discuri), rigiditatea sa va fi:

][0

0Nm

l

IGC

pn

unde:

G = modulul de elasticitate transversal al materialului, 210 /101,8 mNG ;

0pI = momentul de inerție polar al arborelui echivalent.

3

Pentru simplificare, diametrul exterior și, eventual, interior al arborelui cotit se aleg egale cu

diametrul exterior și, respectiv, interior ale fusului palier: l

d și il

d , astfel încât momentul de inerție

polar al arborelui echivalent va fi egal cu cel al fusului palier, conform relației:

][32

)(4

44

0m

ddII ill

plp

Dar se consideră ][0 mdil și astfel relația momentului de inerție polar al arborelui echivalent

devine:

][32

44

0m

dII l

plp

1.3 . Momentul de inerție mecanic al cotului

Arborele echivalent trebuie să îndeplinească și condiția identității momentelor de inertție

mecanice ale maselor în mișcare de rotație cu cele ale arborelui real.

Schematizarea constă în încărcarea arborelui cu un numar de discuri (volanți), care

corespund maselor aferente fiecarui cot al arborelui, ultimul disc fiind echivalent volantului.

Pentru determinarea momentului de inerție mecanic total al unui cot, J se aplică relația: '

cot moJJJ

În care Jcot este momentul de inerție propriu-zis al cotului, iar '

moJ este momentul de inerție al

maselor în mișcare aferente cotului respectiv, redus la axa de rotație.

Prima mărime se calculează din:

bomolJJJJ 2

cot

unde Jl este momentul de inerție mecanic al fusului palier (presupus, eventual, găurit), dat de:

][)(32

244 NmslddJllill

ll - lungimea fusului palier,

- densitatea materialului fusului. 3/7850 mkg

Momentul de inerție mecanic al manetonului, Jmo, redus la axa de rotație, este dat de:

][8)(32

)(4

)(32

222222

222442

NmsRddldd

RlddlddRmJJ

ii

ii

mmmmm

mmmmmmmmmo

Jbo - momentul de inerție al brațului, redus la axa de rotație.

În cazul în care brațul are o formă complicată, se face divizarea acestuia într-un numar de

n porțiuni, rezultate prin intersecția brațului cu n suprafețe cilindrice coaxiale cu fusul palier, de

raze R, ca în figura 2.

Cu notațiile de aici se poate deduce masa porțiunii de ordinul j ca fiind:

4

][360

2 kgRhRmjjo

o

j

mj j

unde:

1

1;

2

jjj

jj

mRRR

RRR

j

Nr.

disc ][

1mR

j ][mRj ][mR

j ][mR

jm o

j ][kgm

j ][ 2NmsJjb

1

2

...

n

Momentul de inerție al elementului respectiv va fi:

][ 22 NmsRmJjj mjb

de unde:

][2

1 22

11

1

NmsRmJJn

j

bbo j

unde m1 este masa discului de rază R1.

În cazul brațelor eliptice:

][8432164

22

2

4422

max

2

maxNmsR

dddhe

bLLhDJ i

ii

m

mlbo

2/Re

În cazul brațelor circulare:

max

bL

][843284

22

2

4422

maxmaxmax

NmsRd

ddheb

hbDJ i

ii

m

mlbo

2/Re

Rămâne să mai determinăm momentul de inerție al maselor în mișcare aferente cotului,

redus la axa de rotație, '

moJ . Aceste mase sunt: masa bielei raportată la maneton,

bmm , ca și o

fracțiune x din masa a

m a pieselor în mișcare de translație.

][)2

1( 22' NmsRmmJ

abmom

1.4. Schema sistemului oscilant echivalent

5

a) M2t – cuplat direct cu elicea

][2/32

maaalv

][65

maale

][Nml

GIC

v

pl

v

][Nml

GIC

e

pl

e

Dimensiunile de principiu ale liniei de arbori cuplată direct cu motorul sunt determinate pe

baza următoarelor relații:

75,0/1

aa

1/2

aa

75,0/3

aa

tMtM

aa45,0

21/

4

)2(76/5

tMpentrunumaiaa

)2(5,55/6

tMaa

adf

75,0

agf

0575,0

ada

)00,195,0(

aadg 175,0

avdd

avgg 5,0

diagramedinnPfDe

,

)2(95,85,7/1

tMJJe

)4(4030/1

reductorcutMJJe

Je = momentul de inerție al elicei

J1 = momentul de inerție al cotului 1

),4(92520/1

DGtMJJg

)(108/ DGJJvg

vgultimdiscJJJ

6

Jg = momentul de inerție al generatorului

Jv = momentul de inerție al volantului

Observație: La M4t utilizate ca MP, flanșa distanțată cu a4 față de volant va fi înlocuită cu o roată

dințată cu diametrul de divizare df.

b) M4t – DG

][2/

32maaal

v

c) MP – 4t cuplat cu elicea prin transmisie

mecanică

][2/ maltr

][65

maale

][Nml

GIC

v

pl

v

][Nml

GIC

tr

pl

tr

][Nml

GIC

e

pl

e

52e

m

trn

ni

7

2. Determinarea modurilor proprii de vibrație

ale sistemului oscilant echivalent

2.1.Pulsațiile proprii de gradul I și II ale sistemului oscilant echivalent

024 qpoo

][42

1 12

,

sqppIIIo

)(321

321

32

3

2

2

21

1

1

JJJJJJ

CCq

J

C

J

CC

J

Cp

Unde:

v

e

m

CCCCCC

3

2

1

mJJ

1

vJJ

2

13)1( JnJJ

e

2.2. Pulsațiile proprii ale sistemului oscilant complet

Cu III ,0

calculate la 2.1. ca valori de stare se înlocuiește tabelul lui Holtzer:

Nr.

Disc iJ

][ 2Nms

20iJ

][Nm

)~

( ii

i

j

jjJ

1

20

][Nm

iC

][Nm

i

j

jjj

JC

1

20

1

1 1J 201J 0000,11

1201 J 1C

1201

1

1J

C

2 2J 202J

1201

112

1 J

C

2

1

20

j

jjJ 2C

2

1

20

2

1

j

jjJC

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n-1 1nJ 201nJ

2

1

20

221

1n

j

jjn

nn JC

1

1

20

n

j

jjJ 1nC

1

1

20

1

1n

j

jjn

JC

n nJ 20nJ

1

1

20

11

1n

j

jjn

nn JC

n

j

jjJ

1

20

- -

Se repetă tabelul până când se obține 0

1

20

n

j

jjJ .

8

3. Vibrațiile forțate torsionale

3.1. Gradele de excitație ale sistemului oscilant echivalent

Se stabilesc schemele defazajelor corespunzătoare primelor 2i armonici, dinamic distincte.

2

1

2

1

cossin~~

cos~

sin~~

i

j

kjkj

i

j

kjkjkkjkjykj

kjkjxkjE

E

E

gradele de excitație.

kkj ~

(din tabelul lui Holtzer gr.I)

jkj k

jyj O ,ˆ

Se vor preciza: tipul motorului, numărul de timpi, ordinea de aprindere, ordinul armonic major: k j

kj~

][okj kjsin kjcos

xkjE~

ykjE

~

I

1, ...

1

2

...

i

......

~kE

i

1

2, ...

1

2

...

i

......

~kE

i

1

...

......

~kE

i

1

II

1, ...

1

2

...

i

......

~kE

i

1

2, ...

1

2

...

i

......

~kE

i

1

....

......

~kE

i

1

Se concentrează rezultatele în tabelul:

kE~

k=1, ... k= 2, ... ... k = i, 2i,...

I

II

9

Se reprezintă grafic )(~

kfEk și se precizează armonica majoră kmaj max

~~EEk .

3.2. Determinarea amplitudinii vibrațiilor torsionale forțate amortizate

Factorul de amplificare este:

i

jjk

iA

1

~1)5848(

Pentru determinarea acestuia se întocmește tabelul:

Nr.

disc jJ ][ 2Nms j

~ 2~

j 2~jjJ

1

2

.

.

.

i

i

jj

1

~

n

jjjJ

1

2~

Amplitudinea momentelor excitatoare kM :

kTgk pSD

M 24

2; ),,,( mikTg pknfp

Deformația statică unghiulară a discului nr 1:

n

jjjoI

kk

Sk

J

EM

1

221 ~

~

Pulsația critică de gradul I și ordin armonic k și turațiile critice de ordin k ale primului mod

de vibrație:

k

oIIk

; Ik

oIIk

k

nn 55,9

unde:

oIoIoI nn

nk 55,9;

Amplitudinea deformării unghiulare a vibrației forțate amortizate excitate de componenta de

ordin k la momentul motor:

11 skkk A

Momentul de torsiune adițional maxim produs de vibrațiile torsionale forțate:

max1

2

1max

~

i

jjojkkt JM

Valoarea lui max

1

2 ~

i

jjojJ se ia din tabelul lui Holtzer, reprezentând valoarea maximă a

momentului forțelor de inerție din coloana a 5-a.

Tensiunile adiționale datorate vibrațiilor torsionale forțate:

2

max

maxmm

N

W

M

p

kt

k

10

unde modulul de rezistență polar:

333

1616mm

ddW lo

p

k Ik

][ 1s

Ikn

min]/[rot kE

~ kM

][Nm

kIS

][rad 1k

][rad maxktM

][Nm

maxk

]/[ 2mmN

1

2

.

.

.

2i

Observație: Pentru completarea coloanei ”k” nu se ia obligatoriu gama de valori i21 , ci se face

determinarea ordinului armonic k care poate provoca rezonanța:

n

nk oI (se ia valoarea cea mai apropiată de un număr întreg pentru 2 , sau de un număr întreg

sau fracționar pentru 4 ; ex.: 6,5; 7; 7,5; etc.)

Dacă avem:

2,18,0 oIn

kn - funcționare în zona periculoasă.

Turațiile criticekIn se aleg numai în gama turațiilor de lucru ale arborelui, respectiv

n )%11025( pentru M2t și n )%11050( pentru M4t, unde min/rotn este turația nominală a

motorului.

Se trasează diagrama de variație a amplitudinii vibrațiilor torsionale la linia de arbori, ca și

tensiunile adiționale datorate vibrațiilor:

min]/)[(]/[;min]/)[(][ 2

maxrotnfmmNrotnfrad kkI

3.3. Determinarea regimurilor de rezonanță ale motorului

Pulsația excitației de ordinul k:

][55,9

1 snk

k

)%110(1

nnI

)2%25(2

tMnnI

)4%50(2

tMnnI

11

Observații: În prezentarea grafică se va face corelarea cu coloana a 3-a din ultimul tabel.

Limitarea tensiunilor se face cu valorile date de RNR, A VII – Instalații cu mașini, Cap 4.

”Vibrații torsionale”.

3.3.1. Tensiunile rezultante datorate vibrațiilor torsionale pentru arborii cotiți ai motoarelor

principale, la o funcționare îndelungată nu trebuie să depășească valorile determinate cu formula:

m

m

cR

R

n

nd

5102)134,045(

1

unde:

1 - tensiunile admisibile ]/[ 2mmN ;

d – diametrul arborelui ][mm ;

n – turația considerată ][ 1s ;

cn - turația de calcul ][ 1s ;

mR - rezistența de rupere la tracțiune a materialului ]/[ 2mmN .

În cazul în care se utilizează un material cu rezistența de rupere mai mare de 2/780 mmN la

calcule se va adopta 2/780 mmNRm . Dacă 22 /430/510 mmNRmmN

m , se va adopta

2/510 mmNRm .

3.3.2. Tensiunile admisibile datorate vibrațiilor torsionale în gama turațiilor c

n)05,185,0( pentru

arborii cotiți ai motoarelor ce antrenează generatoare și alte mecanisme auxiliare de mare

importanță, precum și pentru arborii generatoarelor nu trebuie să depășească valorile determinate cu

formula:

m

m

R

Rd

5102)2,05,22(

1

3.3.3. Tensiunile admisibile pentru zonele de turații interzise la funcționarea de lungă durată, dar

prin care admite o trecere rapidă nu trebuie să depășească valorile determinate cu formulele:

- pentru arborii cotiți ai motoarelor principalre:

122

- pentru arborii cotiți ai motoarelor care antrenează

generatoarele, precum și pentru arborii generatoarelor:

125

12

ANEXE

13

14

15

16

17