La Transformación Unitaria U(1)• La transformación de fase U(1) deja invariante la densidad de probabilidad. Esas transformaciones se denominan de calibración y forman un grupo.

Teoría de GrupoOperación BinariaUna Operación Binaria * en un conjunto S es una función que va de S X S à S Para cada elemento (a,b) ϵS X S se define el elemento *((a,b)) ϵ S por a*b .GrupoUn grupo <G ,*> es un conjunto G cerrado bajo la operación binaria *Tal que se satisfacen los siguientes axiomas1.) Asociatividadsi a, b, c ∈ G entonces a*(b*c) = (a*b)*c2.) Elemento IdentidadExiste un elemento e ∈ G tal que para cada x ∈ G se tiene e*x = x*e =x3.) Elemento InversoPara cada elemento a ∈ G existe un elemento a’ ∈ G tal quea*a’ = a’*a = eSi adicionalmente la operación binaria del grupo es conmutativa, el grupo se llama “Abeliano”.

Ejemplo básico de un Grupo <R,+> es un grupo ya que si a,b,c ∈R 1.) a+(b+c) = (a+b)+c2.) El número 0 es el elemento identidad del conjunto R ya que a + 0 = 0 + a = a3.) Para cada elemento a , existe un numero inverso –a , que es el elemento inverso y está en R .

Subgrupo Un subconjunto H de G es un subgrupo de G si y sólo sí1.)H es cerrado bajo la operación binaria de G.2.)El elemento identidad de G e está en H.3.)Para todo a ∈ H existe también un elemento inverso a’ en H.

HomomorfismoEn matemáticas, la preservación de estructuras matemáticas es fundamental.En el caso de la teoría de conjunto, dos conjuntos son preservados por un Isomorfismo.En el caso de la topología, dos espacio topológicos son preservados por un HomeomorfismoEs de interés conocer una transformación o :G→G ' que relacione la estructura de grupo de G con la estructura de grupo en G’. Una transformación o :G→G ' es un Homomorfismo si la propiedad de Homomorfismo se cumpleo (ab )=o(a)o (b) donde a, b ∈ G

Si existe un Homomorfismo entre dos grupos, cualquiera propiedad estructural del primer grupo es preservada por homomorfismo en el segundo grupo.

AnilloEl concepto de Anillo fue introducido por David Hilbert y la axiomatización de la teoría de anillos conmutativos fue desarrollada por Emmy Noether.Un Anillo <R,+,⋅>¿ es un conjunto R con dos operaciones binarias, adición y multiplicación definidas en R tal que 1.)<R,+> es Abeliano2.)La multiplicación es asociativa3.)∀a ,b , c∈ R se cumple la ley distributiva izquierda a ⋅ (b+c) = (a ⋅ b) + (a⋅c ¿y la ley de distribución derecha (a+b) ⋅c= (a ⋅c )+(b ⋅ c)

AlgebraSea K un cuerpo y A un espacio vectorial sobe el cuerpo Κ . En donde se define el producto : A X A à A. Entonces A es un Algebra sobre K dado que <A,+,⋅> es un Anillo y si para todo a,b,c ∈ A y ∝∈ K, 1.)a⋅ (b ⋅c) = (a ⋅b)⋅ c2.)a⋅ (b+c)= a⋅b+ a⋅c 3.)(a+b)⋅c = a⋅c+b⋅c4.)∝⋅ (a ⋅b )=(∝⋅a )b=a ⋅(∝⋅ b)

Mecánica CuánticaLa teoría cuántica se basa en funciones de onda y en operadores.El Estado de un sistema se representa por su Función de Onda, y los Observables son representados por Operadores.BracketsEl estado de una partícula en mecánica cuántica se representan por elementos de un espacio vectorial. En la mecánica cuántica los vectores son representados por la notación de Dirac. “Brackets”

Kets ¿ψ>¿z1

⋮zn

Bra<ψ∨¿ z∗¿1 ,⋯ , z∗¿n ¿¿

Dados dos vectores complejos¿ψ>¿

z1

⋮zn

y ¿φ>¿w1

⋮wnel producto interno de estos vectores es

¿φ∨ψ>¿ = ¿) z1

⋮zn

= ∑i=1

n

w∗¿i zi ¿

En donde ¿φ∨ψ>¿es un “Bracket”.

El producto interno para dos funciones f(x) y g(x) está dado por¿ f∨g>¿ = ∫

a

b

f ( x )¿ g ( x )dx

Espacio de Hilbert En análisis funcional un espacio de Hilbert es un espacio vectorial H con un producto interno¿ f∨g>¿ tal que la norma definida por|f|=¿ √¿ f , f >¿¿ convierte H en un espacio métrico completo.

Si la métrica definida por la norma no es completa, entonces H es un espacio de producto interno.

Para representar un posible estado la función de onda ψdebe ser normalizada

∫¿ψ∨¿2 ¿ dx = 1

El conjunto de todas las funciones integrables cuadradas en un intervalo especifico f (x) tal que ∫

a

b

¿ f (x )∨¿2dx¿ < ∞ constituye un espacio vectorial menor llamado el espacio L2 y es un ejemplo de un espacio de Hilbert.“En mecánica cuántica la función de onda vive en el espacio de Hilbert”.

Matrices Unitarias y de Hermite-Matriz Transpuesta Conjugada Una matriz A es transpuesta conjugada si A* =AT

-Matriz OrtogonalUna matriz A es ortogonal si AAT= ATA = I-Matriz Unitaria

Una matriz compleja U es unitaria si UU* = IEn el caso de que U sea real U*=UT y UUT= I lo que implica que U sería ortogonal.En otras palabras Unitario es el análogo complejo a Ortogonal.Proposición. Si A es una matriz de Hermite entonces:

a) los elementos diagonales de A son números reales, y los elementos del lado opuesto de la diagonal principal son conjugados.b) Los valores propios de la matriz de Hermite son números reales.c) Los vectores propios de A correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales.Observables y Operadores de Hermite Un Observable es un operador medible o una calibración en donde las propiedades de un estado de sistema pueden ser determinadas por una secuencia de operaciones físicas.Los Operadores que representan Observables tiene la propiedad especial

¿ f ¿̂Q g>¿<Q̂ f∨f >¿ para todo f(x)Estos operadores se llaman Operadores de Hermite. Estos operadores surgen en la mecánica cuántica debido a que sus valores medidos son reales.“Los Observables son representados por Operadores de Hermite”.Un Operador Conjugado de Hermite (o Adjunto) de un operadorQ̂ es el operador Q̂+¿¿ tal que

¿ f∨Q̂ g>¿<Q̂+¿ f∨g>¿¿ para todo f y g.

Densidades Lagranianas y el Teorema de Noether

El formalismo Lagraniano se aplica para campos o sea para funciones en el espaciotiempo φ (x , t) que se representan compactamente por φ (x). En el caso continuo se trabaja con Densidades Lagranianas

L=T−V=∫ Ld3 x

La Acción S es la integral de tiempo de L S=∫ dt L=¿∫Ld4 x¿

Densidad Canónica del Momentoπ ( x )=∂L

∂ φ̇

La densidad Hamiltoniana esta dada porH=π ( x ) φ̇ ( x )−L

Para obtener el Hamiltoniano se integra esta densidad en el espacioH=∫H d3 x

Teorema de NoetherUna simetría es un cambio de perspectiva que deja las ecuaciones de movimiento invariantes. Por ejemplo el cambio puede ser una traslación en el espacio, un cambio en el tiempo o una rotación. Estas son Simetrías Externas , ya que dependen de cambios en el espaciotiempo. También existen simetrías las Simetrías Internas que son cambios en el campo que no involucran cambios con respecto al espacio tiempo.Se considera una simetría como un tipo de variación a los campos o al Lagraniano que deja las ecuaciones de movimiento invariantes.

Grupos de Lie y el Grupo U(n)-EL Grupo Lineal General GL(n;R ¿ es el grupo de todas las matrices invertibles n x n con entradas reales. Este grupo tienen la operación de multiplicación de matrices.Sea Amuna secuencia de matrices complejas. Se dice que AmConverge (m à ∞) a la entrada correspondiente de A.-Una Matriz Grupo de Lie es un subgrupo G de GL(n;C ¿ con la siguiente propiedad:Si Am es cualquiera secuencia de matrices en G y Amconverge a alguna matriz A entonces A∈Go A no es invertible.Algunos ejemplos de Matrices Grupo de LieGL(n;R ¿ Grupo lineal generalSL(n;R ¿ Grupo especial linealO(n) Grupo ortogonalSO(n) Grupo especial ortogonalU(n) Grupo unitarioSU(n) Grupo especial unitarioO(n,k) Grupo ortogonal generalizado, Grupo de LorentzSp(n) Los grupos simplécticos, H Grupo de HeisenbergE(n) Grupo de EuclideoP(n;1) Grupo de Poincaré, entre otros.Grupos de LieUn Grupo de Lie es una variedad diferenciable G que es también un grupo tal que el producto de grupos

G X G →G y la transformación inversa g → g−1 son diferenciables.

El grupo U(n)Como en el caso de las matrices, los grupos ortogonales tienen análogos complejos, el más importante es el Grupo U(n) . El grupo unitario consiste en todas las matrices unitarias complejas n x n que son las que preservan el producto interno sobre Cn.

<v,w> =∑i=1

n

v iwi

Los operadores unitarios juegan un papel fundamental en la teoría cuántica ya que preservan el producto interno, lo que significa que las transformaciones unitarias dejan sin afectar las probabilidades de estado para diferentes transiciones.Cuando las predicciones físicas de una teoría son invariantes bajo la acción de un grupo , el grupo podría ser representado por un operador unitario.Adicionalmente este operador conmuta con el Operador Hamiltoniano

[U,H] = 0

U(1)

El grupo unitario más simple es el grupo U(1) que consiste de una matriz 1 X 1 de números complejos escrita en representación polar, igualmente se puede decir que una simetría U(1) tiene un parámetro θ y se escribe U = e−iθ en donde θ ∈R

U(1) es también la unidad de circulo y los elementos de U(1) son llamados Fases. La transformación U(1) es un grupoLos requisitos para que U(1) con la operación binaria de multiplicación sea un grupo son asociatividad , debe existir un elemento neutro, y cada elemento debe poseer elemento inverso. 1.) Asociatividad sea e−iθ 1 , e−iθ 2 y e−iθ 3 elementos de U(1) , y sean θ1 ,θ2 , θ3 elementos de R, entoncese−iθ 1 ⋅ ¿¿ ⋅ e−iθ 3¿ = e−iθ 1 ⋅ ¿¿) = ¿¿) == e−i (θ1+θ2 )) ⋅ e−iθ 3 2.) Elemento neutro∃β∈R tal que e−iθ 1 ⋅ e−iβ = e−iβ ⋅e−iθ1 ¿ e−iθ 1

En este caso β=0 ∈R y el elemento neutro de U(1) es e−iβ = 1.3.)Elemento inverso

∀ θi ϵ R∃−θi ϵ Rtal que e−iθ 1 ⋅ e iθ1 ¿e−iβ = 1. De manera trivial se puede ver también que el Grupo U(1) es Abeliano.Muchos Lagranianos en teoría de campos son invariantes bajo la transformación U(1)Esta invariancia se ve más clara en el plano complejo. Si se considera un número complejo arbitrario z =r e ia y si se multiplica este número por e iθ se tiene

e iθz = e iθr e ia = r e i(θ+a )

El nuevo número complejo tiene la longitud r y el ángulo es incrementado por θ .-Como ejemplo se tiene que el Campo escalar complejo de un Lagraniano

L=∂μφ¿ ∂μφ−m2φ¿φ

es Invariante bajo la transformación φ→e−iθφ

Como se describió anteriormente ,“Si un Lagraniano es invariante bajo una transformación, entonces existe una simetría”. En este caso existe una simetría U(1).Las partículas asociadas a mediar la fuerza llamadas bosones de calibración, están asociados a esta simetría. En electrodinámica cuántica el boson de calibración asociado con la simetría U(1) es el fotón. La simetría U(1) también se manifiesta en términos de la conservación de varios números cuánticos.También se presenta una invarianza local U(1) en el mecanismo de Higgs en el rompimiento espontaneo de simetría.

Transformaciones de CalibraciónSe considera una extensión a la idea de invarianza basado en las transformaciones de calibración.En electromagnetismo es posible cambiar los potenciales escalares y vectorial ψ y A⃗ sin cambiar las ecuaciones de campo y por lo tanto sin cambiar los campos E⃗ y B⃗ .B⃗=∇⃗X A⃗ recordando que∇ ∙¿ ∇⃗ X F⃗ ¿=0 para cualquier campo vectorial F⃗.Por lo tanto la ecuación de Maxwell ∇⃗ ∙ B⃗ = 0 se satisface cuando B⃗=∇⃗X A⃗ .Ahora, si f es una función escalar, se define un nuevo potencial vectorial

A⃗' = A⃗ + ∇⃗ f

también se sabe de cálculo que el rotacional del operador Del y el gradiente de f es cero, ∇⃗ X ∇⃗ f = 0 Por lo tanto se puede agregar un término de la forma ∇⃗ f a un potencial vectorial y el campo magnético se mantendrá sin cambiar.B⃗=∇⃗X A⃗ ' = ∇ X ¿ + ∇⃗ f ¿ = ∇⃗ X A⃗ + ∇⃗ X ∇⃗ f=∇⃗ X A⃗ Este tipo de transformaciones se llaman Calibración.Las Transformaciones de Calibración Global y Local.El teorema de Noether relaciona las leyes de conservación con simetrías en el Lagraniano.Cuando se invoca la teoría cuántica estas simetrías toman la forma de invariantes bajo una transformación unitaria. Por ejemplo una simetría U(1) significa que un Lagraniano L = L (φ ,∂μφ ¿es invariante bajo la

transformación de la formaφ ( x )→φ' ( x )=e−iθφ(x )

Si θno depende de la coordenada x de espacio tiempo entonces la ecuación anterior tiene Simetría Global.Si θ depende de la coordenada de espacio tiempo de tal modo que θ=θ(x ) entonces la ecuación anterior representa una Simetría Local.Las simetrías locales son importantes porque representa cantidades físicas que se conservan como carga, número de Leptón y preservan la causalidad.Ejemplo Calibración GlobalSe considera un Lagraniano complejo llamado Lagraniano de Klein Gordon

L=∂μφ+¿ ∂μφ−m2φ+¿φ ¿ ¿

y sea U la transformación unitaria global, donde U no depende del espacio tiempo, se tiene

φ→Uφ y φ+¿→φ+¿U +¿¿¿ ¿

Como esta transformación es unitaria, se sabe que UU+¿=U +¿U=1¿ ¿

Se verá como esta transformación afecta el Lagraniano.Si se toma el primer término del Lagraniano∂μφ

+¿∂ μφ¿ y si se aplica la transformación se ve que∂μφ

+¿∂ μφ→∂μ¿¿

Sin embargo U no depende del espacio tiempo en ninguna forma así que los operadores de derivada no lo afectan por lo tanto.∂μ¿ = ∂μφ

+¿∂ μφ¿

Similarmente para el segundo término del Lagranianom2φ+¿φ→m2¿ ¿ m2φ+¿¿ ¿ = m2φ+¿φ ¿

Por lo tanto se ve que bajo la transformación φ→Uφ el Lagraniano L=∂μφ

+¿ ∂μφ−m2φ+¿φ ¿ ¿ es invariante.

Ejemplo Calibración LocalSe considera el mismo Lagraniano complejo

L=∂μφ+¿ ∂μφ−m2φ+¿φ ¿ ¿

y la transformación unitaria global U, φ→Uφ donde en este caso, U depende del espacio tiempo U=U(x) . Si se evalua nuevamente el segundo término del Lagraniano este queda invariante,

m2φ+¿φ→m2¿ ¿ m2φ+¿¿ ¿ = m2φ+¿φ ¿ Sin embargo el primer término del Lagraniano cambia debido a la dependencia de U = U(x) con el espacio tiempo.

∂μ¿ = ∂μ¿

similarmente ∂μφ→∂μ (Uφ)=∂μ (U )φ+U ∂μ (φ )

Esto se puede escribir de manera diferente usando el hecho de que U es unitario∂μφ→∂μ (Uφ)=∂μ (U )φ+U ∂μ (φ ) = UU+¿ ∂μ (U )φ+U ∂μ (φ ) ¿ =U¿¿

Para mantener la invariancia se debe cancelar el término ¿¿ Esto se puede hacer introduciendo un nuevo elemento, un campo que dependa del espacio tiempo Aμ = Aμ (x ) llamado Potencial de Calibración. Esto se introduce para mantener la invarianza del Lagraniano.Se introduce una Derivada Covariante que actua en el campo

D μφ=∂μφ−i A μφ

Esta Derivada Covariante en φ→U(x )φ lleva a D μφ→ AμU (x)Dμφ Esto sucederá si se define Aμ de tal forma que obedezca la similaridad de la transformación

Aμ →UAμU+¿+iU ∂μU

+¿¿ ¿

Fin

L = 12

(∂μφ2 )−1

2m2φ2−1

4λφ4

φ=±√m2

λ=±ν

Blibiografía1. Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (Segunda ed), Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-12. Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (Segunda ed), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X3. Bourbaki, N. Éléments de Mathématique, Groupes et Algègres de LieSpringer, ISBN 3-540-35335-64.McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified (Primera ed)McGraw-Hill ISBN 978-0071543828