La sbarra , priva di massa, e’ ferma.Sono dati m1, m2 , L= L1 + L2 e θCalcolare F e L1 ( e L2)

F sostiene m2 e m1 , quindi F = (m1+m2) g

La sbarra non ruota intorno ad O quindi dLo/dt = 0 e Mo = 0

Mo = L2 X m2g + L1 X m1g= = L2m2 sinθ g +(L- L2) m1 sin θ’

Da cui si ottiene L2

m1

m2

O

FL1

L2θ

Per un sistema isolato vale il principiodi conservazione del momento angolare:se il momento risultante delle forze rispettoad un polo O e’ nullo il momemnto angolarerispetto ad O rimane costante nel tempo.

Se la sbarra ruotasse intorno ad O con velocita’ angolare ω, il momento della QdM:L = Se L1=L2 =R e m1=m2 : 2

221

21222111 mLmLvmLvmL

ImR2L 2 2cinetica I

21E

Se Mo = 0 L = costante

Archimede e’ famoso per la frase “datemi un punto d’appoggio e sollevero’Il mondo” . Data una forza F ed un punto O nello spazio si puo’ definire il prodotto vettoriale M= R X F = momento della forza F rispetto al polo O.Un momento produce una rotazione:data la leva L (di massa nulla) con fulcro in O e le due masse m1 e m2 Archimede trova che si ha equilibrio (assenza di moto) se

d2Xm2g + d1Xm1g = 0

a) d1X m1g = ( r1 –L)X m1g

b) d2X m2g = (r2 – L) X m2g

La somma a+b deve dare zeror1Xm1g + r2Xm2g = (m1+m2) LXg(m1r1 + m2r2)Xg = (m1 + m2) LXg

L(m1+m2) = m1r1 + m2r2 L = (m1r1 +m2r2) / (m1+ m2)

L e’ il raggio vettore di O che viene chiamato Centro di Massa o “baricentro” = centro dei pesi. Nel caso di n masse O e’ il punto sul quale il vincolo esercita la forza (m1+m2)g in modo chela leva non ruoti (cioe’ sia in equilibrio). Da qui il nome “centro di massa”

d1d2

m1 g

m2g

r1r2

O

L

i

i iiicm m/rmL

Dinamica dei sistemi consideriamo un sistema di N punti materiali, indichiamo con:

Pi il punto i-esimo mi la massa del punto i-esimo Fi(t) la forza agente sul punti i-esimo all'istante t

la forza Fi che agisce su un certo punto ad un certo istante è dovuta alla interazione del punto con gli altri punti materiali e del punto con corpi esterni:forza interna: ogni forza esercitata sopra un punto del sistema da un altro punto del sistema stesso

per distinguere il contributo delle forze indichiamo con

Fi,j forza di Pj su Pi

FiI la risultante delle forze interne agenti sul

punto i-esimo Fi

E la risultante delle forze esterne agenti sul punto i-esimo

la forza totale agente sul punto i-esimo sarà allora:

N

)ij(1jj,i

Ii FF

Ei

Iii FFF

Forze interne ed esterne se consideriamo la forza che il punto Pi esercita sul punto Pj, dal principio di

azione-reazione ricaviamo che

otteniamo:

ad ogni istante la risultante di tutte le forze interne agenti in un sistema materiale è nulla

i,jj,i FF

0FFFiIi

i

N

)1j(1jij

I

l'equazione del moto del punto Pi è: Che dipende dalle forze interne ed esterne agenti su i.

iiEi

Iii amFFF

Sommando su tutti gli indici i si ha

i i

ii

iEE

iEi

i

Ii

ii amFFFFF

Dinamica dei sistemi

cmcmcm1i

ii

ii QMVMRdtdrm

dtdvmQ

Qi = miv i

la quantità di moto totale di un sistema materiale isolato è costante nel tempo

viene chiamata quantità di moto totale del sistema, essa e’ uguale

alla Quantita’ di moto del Centro di massa del sistema.

Si puo’ allora scrivere

è la quantità di moto del punto Pi,

la somma

cmi

ii

iiE Q

dtdq

dtdvm

dtdF

ad ogni istante la risultante di tutte le forze esterne agenti su un sistema materiale è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema

Teorema del moto del centro di massa: il centro di massa di un sistema materiale si muove come un punto materiale di massa uguale alla massa totale del sistema e soggetto ad una forza uguale alla risultante delle forze esterne agenti sopra il sistema

Si immagini un insieme di n masse mi nello spazio : su di ognuna di esse agisce la forza di gravita’ dovuta alla terra, FORZA ESTERNA,

ma anche la forza di gravita’ reciproca fra le masse.FORZE INTERNE

Le masse acquisteranno tutte una stessa accelerazione verso la terra . ed una accelerazione le une verso le altre dovuta alla mutua attrazione.

A causa della forza esterna dQi/dt = G mi Mt/r2 (assumendo che le dimensioni del sistema di n masse sia piccolo rispetto a r )dQ/dt = Σ dQi/dt = G Mt/r2 x Σ mi = FE notare che Σ mi e’ la massa totale.

Poiche’ le attrazioni interne a due a due sono eguali e opposte , egualie opposte sono le variazioni delle loro QdM , la cui somma totale e’ quindinulla . In conclusione il sistema ha un moto collettivo verso la terra la cui QdM varia secondo la dQ/dt = Σ DQi/dt = G Mt/r2 x Σ mi diversa da zero , e un moto indipendente di contrazione dovuto alla mutua interazione per cui la somma vettoriale delle DQij /dt e’ nulla.

Il moto delle masse mi consiste di un moto collettivo durante il quale il CM si muovecome se su di esso fosse applicata la risultante delle forze esterne. Piu’ un moto relativo al CM. In un corpo rigido questo puo’ essere solo una rotazione .Poiche’ il momento delle forze interne rispetto al CM e’ zero ( per definizione la retta d’azione di una forza di scambio passa per il CM dei due punti che si scambiano) la condizione di non rotazione da’ che Mcm delle forze ext.=0

a) Non c’e’ attrito : scende con acc. a =gsinθMa cade indietro a causa del momento rispetto al CMdella reazione Vincolare normale. La posizione di Equilibrio e’ quella per cui CM e’ sulla normale al pendio

b) c’e’ attrito, l’accelerazione e’ minore o nulla , il Momento dell’attrito Fa tende a provocare una rotazione in avanti. La persona dovra’ spostarsi leggermente indietro in modo che il momento della reazione normale equilibri quello dell’attrito.Cioe’ che Rn +Fa passi per CM. Poiche’ l’attrito e’ (μ Rn) il rapporto tra Fa e Rn e’ μ.L’angolo di arretramento rispetto alla normale al terrenoe’ tang θ’ = μ Se μ = 0,1 si ha θ’ ~ 6 gradi.Su ghiaccio disperatamente in avanti, su neve frescao molle un po’ indietro.( ma sempre avanti rispetto allaverticale g)

Caso tipicodello sciatore

a

b

O

P1P2

L’area di OP1P2 e’ A ~ ½ r s sinθ = ½ r X s

dA/dt = ½ dr/dt X s + ½ r X ds/dt = ½ r X v perche’ dr/dt = v che e’ parallelo a s

s θ

r

Lo = r x q = r x mv = costante perche’ Mo = 0 (la forza passa per o)Lo = 2m dA/dt quindi se Lo e’ costante lo e’ anche la velocita’ areale

Un caso importante e’ il moto geenrato da una forza centrale come la gravita’:Un oianeta descrive un’orbita circoalre o ellittica intorno al sole.La forza e’ sempred diretta verso il sole : il suo momento rispetto al sole e’ nullo.Ne segue che il momento della quantita’ di moto rispetto al sole e’ costante.

Impulso

2

1

2

1

t

t

t

t21 vdmFdt)t,t(I

Per una forza costante F si definisce come IMPULSO I (t1,t2) della forza tra t1 e t2 come il prodotto della forza per il tempo in cui ha agito

I (t1,t2) = F Δ t dI = F dt = m dv/dt dt = m dvL’impulso e’ un vettore che ha la stessa direzione della Forza e si misura in N sec.

Se la forza non e’ costante l’impulso e’ dato dall’integrale

)t(q)t(q))t(V)t(V(m)tt(I 12122,1

La somma degli impulsi di tutte le forze agenti su un punto materiale e’ uguale all’impulso della forza risultante.

Teorema dell'impulso: l'impulso di una forza in un certo intervallo di tempo è uguale alla variazione, in quell'intervallo di tempo, della quantità di moto del corpo sul quale agisce la forza

Urto = scambio di impulsi

L’urto puo’ essere ELASTICO = forza elastica (molla) conservativa si conserva l’energia meccanica E = U+ Ek

L’urto puo’ essere parzialmente o totalmente ANELASTICO : E non si conserva

Forze interne = Σij Fij = 0 lo stesso vale per gli impulsiQ = q1 +q2 = costante la quantita’ di moto si conserva SEMPRE !!!

Σij Fij = 0 d Q = 0 Q iniz = = QfinSe l’urto e’ elastico :Lavoro = Uf + Ekf – (Ui + Eki) = 0 Le biglie si sono compresse e ridistese Uf = Ui

variaz. E cin=

'22

'1111 VmVmVm

0Vm21Vm

21Vm

21 2

11'22

2'11

2

U1 e U2 V iniziali v1 e v2 le V finalim1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 ½ m1 v12 +1/2m2v22 = ½ m1u12 +1/2 m2 u22

m1 ( u1-v1) = - m2 (u2-v2)m1 (u12-v12) = - m2(u22-v22)

U1+v1=u2+v2 v1-v2 = -(u1-u2)

V1 = (m1u1+m2u2- e m2(u1-u2))/(m1+m2)V2= (m1u1 +m2u2 + e m2(u1-u2))/(m1+m2)

e= 1 urto elastico e= 0 totalmente inelastico

m1v1 = m1v1’ + m2v2’

½ m1 v12 = ½ m1 v1’2 + 1/2m2v2’2

Dalla 1 si ha v’2 = m1/m2 ( v1-v1’)All’aumentare di m2 v’2 diminuisce e ½ m2 v’2

2 tende a zeroV’1 a V1

Assumendo le masse uguali e sostituendo v2’ = v1- v1’ si ha v1’= 0Se m2 tende a infinito v’2 tende a zero non si ha conservazione di q ma solo dL = dEkCioe’ ½ mv1’2 – 1/2mv12 = 0 e quindi v1’ = -v1

Nel caso non perpendicolare si vara’ che la componente di q parallela alla parete si conserva e quella perp. No

L’impulso sulla parete = 2q l’impulso DALLA parete = - 2q

Pendolo balistico

Mv

m

Vi sono due forze esterne ,la gravita’ e la tensione,entrambe agiscono lungo LL’atto di moto iniziale e’ pero’ tangente al cerchiodi raggio L , quindi il loro lavoro, anche impulsivo, e’ nullo. Le sole forze agenti,impulsivamente, sonoInterne e frenano il proiettile nel tempo dT. La quantita’ di moto si conserva , l’energia no a causadell’attrito sacco proiettile.

(M+m)V = mv V = mv/(m+M)

L

Dopo l’istante dell’urto agiscono la sola gravita’ e la Tensione. Si conserva l’energia meccanica. Quando (M+m) raggiunge la max elongazione, la sua Velocita’ e’ nulla e si e’ sollevato di H .(M+m)V2/2 = (M+m) gH = (m+M) m2v2/(m+M)2/2 = [(m/(m+M)] mv2/2H e’ quindi proporzionale all’energia cinetica del proiettile.v2=2[(m+M)/m]2 g H Notare che l’energia cinetica finale e’ m/(m+M) Ek iniziale.(dispositivi analoghi sono usati dai giostrai per misurare l’intensita’ dell’impulsodi un pugno o di un calcio. In elettronica m e’ un impulso brevissimo di corrente I e M e’ un circuito RC con costante di tempo molto lunga, la tensione finale raggiuntaAi capi del condensatore e; proporzionale a alla carca I dt portata dall’impulso.

M= sacco pesante, m proiettile di fucile con velocita’ v, che vi si conficca e arresta. Sia M=5 Kg, m= 15 gr , H= 40 mm Calcolare la v del proiettile.

H

Sv V = costante

Nel tempo T avanza di X = VT spazzando il volume SVT e spostandoUna massa di aria M = ρ SVT = ρ SX.L’aria deve essere spinta di lato di un tratto <Y> ~ k S1/2 nel Tempo T=x/V

La velocita’ <y>/T = k S1/2 V/x e l’energia cinetica

Ek = ½ ρ SX k2 S V2 /X2 = ½ ρ S k2 S V2 /X

Moltiplicando e dividendo per X Ek = ½ ρ S V2 Cx XDove Cx = k2 S/X2 e’ un a quantita’ adimensionale che dipende dalla forma

Ek e’ energia cinetica dissipata = lavoro della Fattrito per percorrere X = Lavoro fatto dal motore per mantenere la V costante

Ek = Fa X e quindi Fa = ½ ρ S V2 Cx [ m l2 l2 /l3 t2] = [mlt-2]

Resistenza dell’aria?

Dimensionalmente : massa auto,densita’aria,Sezione frontale,velocita’, forma……..F ~ ρ S V2

La potenza e’ lavoro nell’unita’ di tempo = Ek/T = F v = ½ ρ S V3 Cx

a e’ una perturbazione che si propagaLungo la corda. Sia Y= Y(x) la sua Forma. F e’ la tensione ai capi di dx.Il moto di dx e’ lungo Y sotto l’azioneDella forza Fy = F ( sinθ2- sin θ1)~ F( tg θ2- tg θ1)

tg θ2 = dY/dx (x=x+dx) e tg θ1= dY/dx (x=x)( tg θ2- tg θ1) = d2Y/dx2 dxFy = F d2Y/dx2 dx = “may” = ρ dx d2Y/dt2

d2Y/dx2 = ρ/F d2Y/dt2

Questa equazione ha soluzioni del tipo f = f (X)= f (wt – kx) e rappresentaUn’onda che si propaga . Infatti il valore f (0) per X = 0 si ottiene per tutteLe copie (x,t) che soddisfano la condizione wt-kx=0 cioe’ x = w/k tDove V= w/k e’ la velocita’ di “propagazione” della “forma” f.Si noti che [w] = [t-1] e [k]=[x-1] quindi w rappresenta una frequenza e t una Lunghezza (d’onda o altro).Poiche’ d2f/dx2 = k2 d2f/dX2 e d2f/dt2 = W2 d2f/dX2 l’equazione e’ anched2f/dx2 = (k/w)2 d2f/dt2 e V2 = ρ/F

y

x

a

Fθ1

θ2F

dX

x

Su una corda tesa e inestensile: gli unici parametri fisici sembrano essere la densita’ lineare λ della corda e la sua tensione T (la lunghezza e’ ininfluente e supposta infinita, la gravita trascurabile (cioe’ la tensione e’ >> λg)[λ] = m/l [T] = ml/t2 [v2] = T/λ

Tensioni elevate o λ piccole = v alta = frequenza elevata o lungh. d’onda corta.Masse elevata o T bassa = frequenze basse o lungh. d’onda lunga

In un fluido incomprimibile (es. acqua) : l’ampiezza A , ρ, la lunghezza d’onda L, g …………l’ampiezza A potrebbe essere importante, ma probabilmente e’ A/h (profondita’) che e’ importante e se h >>A l’ampiezza dovrebbe essere irrilevante.A parita’ di ρ la velocita’ sara’ v2 ~ Lg cioe’ w/k = L1/2/g1/2 l’onda lunga e’ piu’ veloce.L’onda si disperde perche’ le alte frequenze corrono meno ,rimangono indietro…….Se pero’ A diventasse importante (cioe’ A/h non infinitesimo) si potrebbe ottenere V2 = AgE questo e’ interessante perche’ non ci sarebbe dipendenza da L (nessuna dispersione) e l’ondapotrebbe propagarsi con velocita’ elevata dipendente dalla sua ampiezza. (solitoni,onde solitarie e Tsunami)