La formule de Stokes

C. Glusa, G. Blanchard, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment,

R. Leblanc, M. Quillas-Saavedra ∗

3 mai 2010

Résumé

On cherche à établir la formule de Stokes D = 6πηU0aez qui décrit

la force de trainée exercée par un �uide de viscosité η en écoulement

rampant 1 à la vitesse U0ez autour d'une sphère immobile de rayon a.

L'équation de Stokes, qui régit l'écoulement d'un �uide newtonien incompres-sible en régime permanent et à faible nombre de Reynolds, s'écrit [1] :

η∆u = ∇p (1)

∇ · u = 0 (2)

avec pour conditions au bord

u(r = a, θ, ϕ) = 0 (3)

u(r →∞, θ, ϕ) = U0ez = U0(cos θer − sin θeθ) (4)

où U0 désigne la vitesse de l'écoulement libre de contraintes (i.e. à l'in�ni).

En utilisant (2) on réécrit (1) sous la forme 2

−∇× ω := −∇(∇ · u︸ ︷︷ ︸=0

) + ∆u =1

η∇p (5)

qui implique∇×∇× ω = 0 (6)

La symétrie axiale autour de ez nous permet d'écrire la vitesse sous la formeu = ur(r, θ)er + uθ(r, θ)eθ , et d'éliminer la dépendance en ϕ : ∂

∂ϕ = 0.

∗Promotion X08, Ecole Polytechnique, 91120 Palaiseau, France.

Contact : christian.glusa@polytechnique.edu , guilhem.blanchard@polytechnique.edu.

1. C'est-à-dire à faible nombre de Reynolds.

2. On introduit ici la vorticité ω := ∇× u.

1

Ainsi, (2) devient1

r2∂

∂r

(r2ur

)+

1

r

∂

∂θ(sin θ uθ) = 0

(2) implique également l'existence d'un potentiel vectoriel ψ̃ = ψ̃eϕ, tel que :

u = ∇× ψ̃ =1

r sin θ(∂

∂θ(sin θ ψ̃))er −

1

r(∂

∂r(rψ̃))eθ

Pour simpli�er le calcul, on pose ψ̃ = 1r sin θψ

3 et on obtient :

u = ∇×(

1

r sin θψeϕ

)=

1

r2 sin θ

∂ψ

∂θer −

1

r sin θ

∂ψ

∂reθ (7)

ω = ∇× u = − 1

r sin θ

[∂2ψ

∂r2+

sin θ

r2∂

∂θ

(1

sin θ

∂ψ

∂θ

)]eϕ

La condition (4) se traduit pour ψ en :

U0 cos θ =1

r2 sin θ

∂ψ

∂θ

−U0 sin θ = − 1

r sin θ

∂ψ

∂r

d'où

ψ ∼U0

2r2 sin2 θ pour r →∞ (8)

Par ailleurs, (6) nous donne

∇×∇×∇×∇×(

1

r sin θψeϕ

)= 0

soit [∂2

∂r2+

sin θ

r2∂

∂θ

(1

sin θ

∂

∂θ

)]2ψ = 0

Etant donnée la structure de l'équation et des condition (3) et (8), on cherchedes solutions de la forme ψ(r, θ) = f(r) sin2 θ et on est amené à résoudre(

d2

dr2− 2

r2

)2

f = 0

La solution générale de cette dernière équation est f(r) = Ar +Br+Cr2 +Dr4.

La comparaison avec (8) nous donne C = U0

2 , D = 0 et l'évaluation de (7) enr = a pour véri�er la condition (3) s'écrit :

ur(a, θ) = 2 cos θ

(A

a3+B

a+U0

2

)= 0

uθ(a, θ) = − sin θ

(− Aa3

+B

a+ U0

)= 0

3. ψ est appelée fonction courant.

2

La solution du système linéaire est A = 14U0a

3, B = − 34U0a.

On a donc :

ψ(r, θ) =U0

2

(1 +

a3

2r− 3ar

2

)sin2 θ

ur = U0

(1 +

a3

2r3− 3a

2r

)cos θ

uθ = −U0

(1− a3

4r3− 3a

4r

)sin θ

ω = −3aU0

2r2sin θeϕ

Figure 1 � Champ des vitesses autour de la sphère

Les composantes selon er et eθ de (5) nous donnent alors :

1

η

∂p

∂r= − (∇× ω)r = − 1

r sin θ

∂

∂θ(ωϕ) = −3aU0

r3cos θ

1

η

∂p

∂θ= −r (∇× ω)θ =

3aU0

2r2sin θ

3

D'où, en notant p∞ la pression loin de la boule :

p(r, θ) = p∞ −3ηaU0

2r2cos θ

Nous pouvons alors exprimer le tenseur des contraintes de Cauchy à la surface

de la boule, en posant d = 12

(∇u + (∇u)

T)[2] :

σ · er =

−p(r, θ)11 + 2η

d− 1

3Tr(d)︸ ︷︷ ︸

=0

· er

= −(p∞ −

3ηU0

2acos θ

)er −

(3ηU0

2asin θ

)eθ

= −p∞er +3ηU0

2aez

L'intégration de σ · er sur la surface´ 2π0dϕ´ π0dθ nous fournit en�n la formule

de Stokes 4 :

D = 6πηU0aez

Références

[1] G. Blanchard, C. Glusa, et al. Equations fondamentales de la mécanique des�uides. 2010.

[2] G.K. Batchelor. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge UniversityPress, 2000.

4. Par un simple changement de référentiel, on obtient D = −6πηU0aez pour une sphère

en mouvement à la vitesse U0ez dans un �uide au repos.

4