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L. Verardi, Conoscenze di base in Algebra e Geometria

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IL GRUPPO DELLE ISOMETRIE PIANE

Introdurremo qui un particolare gruppo non abeliano, il gruppo delle isometrie

piane, di cui classificheremo gli elementi. Definiremo poi il gruppo di isometrie di una

figura piana e ne determineremo alcune proprietà. Infine, daremo una

rappresentazione analitica delle isometrie piane ed alcune proprietà gruppali.

Sia ℘ l'insieme dei punti del piano. Secondo consuetudine, indichiamo con

lettere maiuscole A, B, P, ... i punti, con minuscole r, s, ... le rette, con lettere greche

α, β, ... gli angoli e con f, g, σ, τ, ... le funzioni. L'uguaglianza in senso geometrico di

figure piane sarà denotata con ≡.

Se f:℘→℘ è una funzione ed f(P) = P, P si dirà punto unito per f. Analogamente,

la retta r si dice retta unita per f se f(r) = r.

Chiamiamo isometria del piano una biiezione

!

f :" 1#1

su>" tale che, per ogni

coppia P, Q di punti, posto P' = f(P), Q' = f(Q), si ha P'Q' ≡ PQ.

Mediante il III criterio di uguaglianza dei triangoli si prova subito che se se f è

un'isometria, dati i tre punti P, Q, R e posto P' = f(P), Q' = f(Q), R' = f(R), i due triangoli

PQR e P'Q'R' sono uguali. Pertanto se R appartiene alla retta PQ anche R' appartiene

alla retta P'Q'. Di conseguenza, ogni isometria trasforma rette in rette.

Inoltre, essa trasforma una circonferenza in una circonferenza con lo stesso raggio.

Denotiamo con G l'insieme delle isometrie e con id la funzione identità del

piano ℘. Si ha:

Proposizione 1.1. G è un sottogruppo del gruppo simmetrico S℘ delle

biiezioni del piano ℘ in sé.

Dimostrazione. Ovviamente, id∈G. Inoltre, siano f, g∈G e siano P, Q due punti.

Posto P' = f(P), Q' = f(Q), P" = g(P'), Q" = g(Q'), si ha P"Q" ≡ P'Q', perché g è

un'isometria, P'Q' ≡ PQ, perché f è un'isometria, quindi P"Q" ≡ PQ. Ma allora anche g°f,


2

che trasforma P in P" e Q in Q", è un'isometria. Infine, essendo PQ ≡ P'Q', anche f-1,

che porta P' in P e Q' in Q, è un'isometria.

Siano s una retta e P un punto. Denotiamo con P' il simmetrico di P rispetto ad

s, ossia il punto tale che la retta PP' sia perpendicolare ad s e il punto medio del

segmento PP' appartenga ad s (*).

La funzione σ che ad ogni P associa il simmetrico P' si chiama simmetria (assiale)

rispetto alla retta s, che prende il nome di asse di simmetria.

Si osservi che ogni punto di s è unito per σ; sono inoltre rette unite per σ sia s che le

sue perpendicolari.

Esercizio 1.2. Ogni simmetria assiale è una isometria.

Vogliamo ora arrivare a provare che le simmetrie assiali sono un sistema di

generatori per G. Di qui discenderà poi un criterio per classificare le isometrie piane.

Per questo scopo occorrono tre lemmi.

LEMMA 1.3. Siano A, B due punti distinti: esistono due e solo due isometrie

aventi A e B come punti uniti: l'identità e la simmetria σ rispetto alla retta AB.

Dimostrazione. Innanzitutto id e σ trasformano in sé sia A che B. Proviamo che

sono le sole.

Sia s la retta AB e sia f∈G, tale che A e B siano uniti per f. Innanzitutto, s è unita per f

ed inoltre, per ogni punto P di s, si ha P' = f(P), essendo PA ≡ P'A, PB ≡ P'B. Dunque

ogni punto di s è unito per f. Distinguiamo due casi:

a) f abbia un punto unito C fuori di s. Allora, ragionando come sopra, poiché su

ciascuna delle rette AC e BC f ha due punti uniti, tutti i punti di AC e di BC sono uniti

per f. Ciò posto, da ogni punto P si conduca una retta r, che intersechi le tre rette AB, (*) Le figure qui mostrate sono ottenute con l’applicazione Geometry (≅ Cabri II) della calcolatrice Voyage200. Si consiglia di tracciare sempre le figure descritte nel testo.


3

AC, BC in almeno due punti distinti. Su r l'isometria f ha almeno due punti uniti,

quindi anche P è unito. Ne segue f ≡ id.

b) f non abbia punti uniti fuori di s. Per ogni punto P non appartenente ad s, posto

P' = f(P), si ha ABP ≡ ABP', dunque P' deve essere il simmetrico di P rispetto ad s. Ne

segue f = σ.

LEMMA 1.4. Dati due segmenti uguali AB ed A'B' (non degeneri, cioè con

A ≠ B, A' ≠ B'), esistono due e solo due isometrie f1 ed f2 che portano A in A' e B in B'.

Detta σ la simmetria rispetto alla retta A'B', si ha f2 = σ°f1. Inoltre, ciascuna delle due è

prodotto di al più tre simmetrie.

Dimostrazione. Proviamo dapprima l'esistenza, distinguendo tre casi.

a) A = A', B = B'. Allora ci sono f1 = id ed f2 = σ. Si ha f2 = σ°f1 e, essendo f1 = σ2,

ciascuna delle due è prodotto di al più tre simmetrie.

b) A = A', B ≠ B'. Sia σ1 la simmetria rispetto all'asse r del segmento BB': r passa per A,

dunque A (= A') è unito per σ1 e B è portato in B'. Pertanto, posto f1 = σ1 e f2 = σ°σ1,

entrambe queste isometrie portano A in A' e B in B', sono prodotto di al più tre

simmetrie, e si ha f2 = σ°f1.

c) A ≠ A', B ≠ B'. Sia σ2 la simmetria rispetto all'asse del segmento AA': essa porta A in

A' e B in un punto B". Sia poi σ1 la simmetria rispetto all'asse del segmento B"B': essa

porta A' in sé e B" in B'. Pertanto f1 = σ1° σ2 porta A in

A' e B in B' e lo stesso accade per f2 = σ°(σ1° σ2) = σ°f1.

Inoltre, anche in questo caso, ciascuna delle due è

prodotto di al più tre simmetrie.

Proviamo che sono le uniche due. Sia f∈G, tale che f(A) = A', f(B) = B': allora f°f1-1

trasforma in sé sia A' che B': per il lemma 12.3 si ha f°f1-1 = id (quindi f = f1) oppure

f°f1-1 = σ, quindi f = σ°f1 = f2.

LEMMA 1.5. Dati due triangoli (non degeneri) ABC ed A'B'C', con A'B' ≡ AB,

A'C' ≡ AC, B'C' ≡ BC, esiste una ed una sola isometria che porti A in A', B in B', C in C',

ed essa coincide con una delle due che portano A in A' e B in B'.


4

Dimostrazione. Innanzitutto, per il lemma 1.4, ogni isometria che trasformi A in

A', B in B', C in C' coincide con una delle due, f1 o f2, che portano A in A' e B in B'. Ciò

posto esaminiamo f1 ed f2.

Se f1(C) ≠ C' allora f1(C) è il simmetrico di C' rispetto alla retta A'B' e, detta al solito σ

la simmetria rispetto a tale retta, si ha f2(C) = σ°f1(C) = C'. Se invece f1(C) = C', allora

f2(C) ≠ C'. In ogni caso, dunque, esiste una ed una sola isometria che porti A in A', B in

B', C in C', ed è una delle due isometrie f1 o f2.

TEOREMA 1.6. Ogni isometria è esprimibile come prodotto di al più tre

simmetrie assiali.

Dimostrazione. Sia f un'isometria e siano A, B, C tre punti non allineati. Posto

A' = f(A), B' = f(B), C' = f(C), per il lemma 1.5, f coincide con una delle due, f1 ed f2,

che portano A in A' e B in B' e che, come risulta dal lemma 1.4, sono prodotto di al più

tre simmetrie. Ciò prova il teorema.

Incominciamo ora a studiare il prodotto di due simmetrie assiali σ1 e σ2 di assi

rispettivamente s1 ed s2. Innanzitutto, se i due assi coincidono, il prodotto σ2°σ1 è

l'identità. Distinguiamo ora due casi.

A) SIMMETRIE CON GLI ASSI PARALLELI. Siano A un punto del piano, r la perpendicolare

comune da A ai due assi e sia M l'intersezione di r con s1, ed N quella con s2. Poniamo

poi A" = σ1(A), A' = σ2(A"). Tutti i punti considerati appartengono ad r. Inoltre

τ = σ2°σ1 trasforma A in A' e si ha:

!

A " A

#

= A " " A

#

+ " " A " A

#

= 2M " " A

#

+ 2 " " A N

#

= 2MN

#

Pertanto, ad ogni punto A è associato da τ il punto A' sulla perpendicolare da A ai due

assi, con distanza doppia rispetto a quella tra i due assi stessi e con verso concorde

con quello da M ad N.


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L'isometria τ prende il nome di traslazione. Ad essa è associato un vettore v = v(τ) del

piano, pari al doppio del vettore

!

MN

"

, e per ogni punto P si ha P' = τ(P) ⇔

!

P " P

#

= 2MN

#

.

Inversamente, dato un vettore v non nullo, si fissino due rette s1 ed s2 perpendicolari

a v, con distanza fra di esse pari alla metà del modulo di v e tali che, fissata una

qualunque perpendicolare r ad entrambe e detti M ed N i punti di intersezione di r

con s1 ed s2, il vettore

!

MN

"

risulti concorde con v. Allora, detta σi la simmetria di

asse si, l'isometria τ = σ2°σ1 è una traslazione e si ha v(τ) = v.

L'identità id si può in particolare considerare una traslazione, prodotto di due

simmetrie con assi coincidenti; precisamente è la traslazione associata al vettore nullo.

Siano A, B due punti e siano A' = τ(A), B' = τ(B). I segmenti orientati

!

A " A

#

e

!

B " B

#

rappresentano entrambi il vettore v, pertanto ABB'A' è un

parallelogrammo.

Siano ora τ' un'altra traslazione, v' = v(τ'), A" = τ'(A'),

B" = τ'(B'): come sopra si ha che A'B'B"A" è un

parallelogrammo: ne viene che i tre segmenti orientati

!

AB

"

,

!

" A " B

#

,

!

" " A " " B

#

sono equipollenti (cioè hanno la stessa lunghezza, sono paralleli ed

equiversi) e, di conseguenza, il quadrilatero ABB"A" è un parallelogrammo. Ma allora

l'isometria τ" = τ'°τ è a sua volta una traslazione, precisamente quella associata al

vettore v" =

!

A " " A

#

, che risulta essere uguale a v+v'. Si ha così il seguente risultato:

PROPOSIZIONE 1.7. L'insieme T delle traslazioni costituisce un sottogruppo

abeliano del gruppo G delle isometrie piane.

Dimostrazione. Abbiamo già provato la chiusura di T rispetto alla composizione

ed all'identità. Infine, se τ∈T, τ = s2°s1, allora τ-1 = s1°s2 è ancora una traslazione.

Pertanto, T costituisce un sottogruppo di G. Tale sottogruppo è abeliano, poiché alla

composizione di traslazioni corrisponde biunivocamente l'addizione dei vettori

associati, che è commutativa.


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Osservazioni. 1. La funzione che associa ad ogni t∈T il corrispondente vettore

v = v(τ) è un isomorfismo tra il gruppo (T, °) ed il gruppo additivo (R2, +) dei vettori

del piano.

2. Sia τ una traslazione ≠ id e sia d il modulo del vettore associato. Allora per ogni

punto P, e per ogni n∈N, posto Pn = τn(P), la lunghezza del segmento PPn è nd. Di

conseguenza, tutte le traslazioni diverse dall'identità hanno periodo infinito, poiché

per ogni n ≥ 1 si ha Pn ≠ P e quindi τn ≠ τ.

3. Se due simmetrie con assi paralleli individuano (in un fissato ordine) una

traslazione, viceversa una traslazione è individuata da infinite coppie di simmetrie

con assi paralleli: una di esse può essere scelta arbitrariamente, purché il suo asse sia

perpendicolare al vettore v(τ).

4. Sia τ una traslazione ≠ id e sia v il suo vettore associato. Le rette parallele a v sono

unite per τ, mentre nessun'altra retta e nessun punto lo sono.

B) SIMMETRIE CON ASSI INCIDENTI. Siano σ1 e σ2 le due simmetrie, s1 ed s2 i loro assi ed O

il punto di intersezione degli assi. Sia poi ρ = σ2°σ1. Il punto O è unito per ρ, dunque

sono trasformate in sé tutte le circonferenze di centro O. Per ogni punto A, posto

A" = σ1(A), A' = σ2(A"), i punti A, A" ed A' appartengono alla stessa circonferenza di

centro O e raggio OA.

La retta s1 è bisettrice dell'angolo

!

A ˆ O " A , mentre s2 lo è di

!

" A ˆ O " " A . Pertanto, denotando con α/2 l'angolo convesso

orientato in senso antiorario da s1 ad s2, si ha

!

A ˆ O " " A = # .

Lo stesso accade per ogni punto.

Chiamiamo ρ rotazione di centro O ed ampiezza α: per

ogni punto P si ha dunque P' = ρ(P) se e solo se OP ≡ OP' e

!

P ˆ O " P = # .

L'identità del piano si può considerare anche come una rotazione di centro O ed

ampiezza nulla (id è il prodotto di due simmetrie con assi coincidenti, cioè incidenti

in tutti i punti). Si può dimostrare il seguente risultato:


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PROPOSIZIONE 12.8. L'insieme delle rotazioni di centro O costituisce un

sottogruppo abeliano del gruppo G delle isometrie piane. Se ρ1 e ρ2 sono rotazioni di

ampiezze rispettivamente α1 ed α2, ρ = ρ1°ρ2 è una rotazione di ampiezza α1+α2

(modulo 2π, cioè identificando l'angolo giro con l'angolo nullo).

Osservazioni. 1. Il gruppo delle rotazioni di centro O è isomorfo al gruppo

additivo dei numeri reali modulo 2π: l'isomorfismo si ottiene associando ad ogni

rotazione la sua ampiezza.

2. Una rotazione ρ di ampiezza α ha periodo finito se e solo se esiste k∈Z, k > 0, tale

che ρk = id, ossia se e solo se kα è l'angolo nullo. Denotata ancora con α la misura in

radianti dell'ampiezza, ciò è possibile se e solo se esistono m, n interi positivi tali che

nα = 2mπ. In tal caso,

!

" = 2m

n# . Supponendo la frazione

!

m

n ridotta ai minimi termini,

il periodo di ρ è uguale al denominatore n di tale frazione.

3. Se due simmetrie con assi incidenti individuano (in un fissato ordine) una

rotazione, viceversa una rotazione è individuata da infinite coppie di simmetrie con

assi incidenti: una di esse può essere scelta arbitrariamente, purché il suo asse passi

per il centro della rotazione.

4. Sia ρ una rotazione di centro O e di ampiezza α non nulla. Se α non è l'angolo

piatto, oltre ad O non vi sono punti o rette uniti per ρ. Se invece α è l'angolo piatto,

sono unite per ρ anche tutte le rette passanti per O. Quest'ultima rotazione è detta

simmetria centrale di centro O ed è l'unica di periodo 2.

LEMMA 1.9. Siano ρ1 e ρ2 due rotazioni di centri distinti O1 ed O2 ed

ampiezze α1 ed α2. Se α1+α2 è l'angolo nullo, ρ2°ρ1 è una traslazione, altrimenti è una

rotazione di ampiezza α1+α2. In ogni caso, ρ1°ρ2 ≠ ρ2°ρ1.

Dimostrazione. Rappresentiamo le rotazioni come prodotto di simmetrie, ma,

tenendo conto dell'osservazione 3 ad 1.8, scegliamo i fattori in modo che risulti

ρ1 = σ2°σ1, ρ2 = σ4°σ3, dove σ3 e σ2 coincidono con la simmetria di asse O1O2.

Allora σ3°σ2 = id, quindi ρ2°ρ1 = σ4°σ1 è una rotazione o una traslazione. E' una

traslazione se e solo se gli assi s4 ed s1 delle due simmetrie sono paralleli, il che

accade se e solo se gli angoli coniugati interni che essi formano con la retta O1O2 sono


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supplementari, cioè hanno per somma un angolo piatto. Tali angoli sono

rispettivamente metà delle ampiezze delle due rotazioni, dunque ρ2°ρ1 è una

traslazione se e solo se α1+α2 è l'angolo giro, identificato con l'angolo nullo.

Altrimenti, detto O il punto intersezione di s4 ed s1, ρ2°ρ1 è una rotazione di centro O

e, poiché l'angolo (orientato) di vertice O tra s1 ed s4 è esterno al triangolo OO1O2, è

somma dei due interni non adiacenti, cioè di metà delle ampiezze α1 ed α2. Ne segue

che ρ2°ρ1 ha ampiezza α1+α2.

Infine, si può provare che, nel caso di α1+α2 uguale all'angolo nullo, le due traslazioni

ρ1°ρ2 e ρ2°ρ1 hanno versi opposti, mentre se α1+α2 non è l'angolo nullo, le due

rotazioni ρ1°ρ2 e ρ2°ρ1 hanno centri simmetrici rispetto alla retta O1O2.

LEMMA 1.10. Componendo una rotazione ρ con una traslazione τ si ottiene

una rotazione di ampiezza uguale a quella di ρ.

Dimostrazione. Come nel lemma precedente, siano ρ = σ2°σ1, τ = σ4°σ3, con

σ2 = σ3. Allora gli assi s4 ed s1 si incontrano in un punto O' e τ°ρ = σ4°σ1 è una

rotazione. Il teorema sugli angoli alterni di rette parallele tagliate da una trasversale

assicura che l'ampiezza della composta coincide con quella di ρ.

Analogamente si procede per valutare ρ°τ.

Rotazioni e traslazioni sono dette anche movimenti o isometrie dirette del

piano. Si ha:

TEOREMA 1.11. L'insieme M dei movimenti del piano costituisce un

sottogruppo del gruppo G delle isometrie.

Dimostrazione. Abbiamo già provato in 1.7, 1.9. 1.10 che componendo due

movimenti si ottiene un movimento. Inoltre, l'identità è un movimento e l'inversa di

una traslazione è una traslazione (di vettore opposto), mentre l'inversa di una

rotazione è una rotazione con lo stesso centro ed ampiezza opposta (cioè

esplementare).


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COROLLARIO 1.12. Ogni prodotto di un numero pari di simmetrie è un

movimento. Ogni prodotto di un numero dispari di simmetrie è prodotto di un

movimento per una simmetria.

Chiamiamo isometria inversa ogni isometria che non sia un movimento. Sono

dunque isometrie inverse le simmetrie ed i prodotti di tre simmetrie.

Il prodotto di due isometrie inverse è un movimento, perché prodotto di un

numero pari di simmetrie, mentre l'inversa di un'isometria inversa è ancora

un'isometria inversa.

Si tratta ora di classificare le isometrie inverse, ovvero di classificare i prodotti

di tre simmetrie.

Chiamiamo innanzitutto antitraslazione (o glissosimmetria) il prodotto di una

traslazione τ per una simmetria σ di asse parallelo al vettore v = v(τ). Si verifica

facilmente che si ha τ°σ = σ°τ.

TEOREMA 1.13. Le isometrie inverse sono simmetrie assiali o antitraslazioni.

Dimostrazione. Sia dato il prodotto di tre simmetrie σi di assi si. Se i tre assi

sono paralleli o se passano per uno stesso punto, il risultato è una simmetria. Infatti,

nel primo caso il prodotto σ3°σ2 è una traslazione τ, che possiamo riottenere come

prodotto di due nuove simmetrie σ'3 e σ'2, ma con σ'2 = σ1. Allora:

(σ3°σ2)°σ1 = (σ'3°σ'2)°σ1 =

σ'3°(σ'2°σ1) = σ'3.

Analogamente si ragiona se i tre assi

passano per uno stesso punto.

Vediamo gli altri casi. Supponiamo s2 ed s3 non paralleli.

Allora σ3°σ2 è una rotazione, che

possiamo rappresentare con altre

due rette s'2 ed s'3 con s'2 perpendicolare ad s1. Allora σ'2°σ1 è una rotazione r di

ampiezza un angolo piatto, cioè una simmetria centrale, il cui centro è il punto

d'incontro di s'2 ed s1. Possiamo rappresentare r mediante due nuove rette s"2 ed s'1


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con s'1 perpendicolare ad s'3, e quindi con s"2 parallela ad s'3. Ne segue che σ'3°σ'2 è

una traslazione t, il cui vettore v è parallelo all'asse di σ'1, cioè σ3°σ2°σ1 = r°σ'1 è

un'antitraslazione.

Se invece s2 ed s3 sono paralleli, non lo sono però s1 ed s2, e si ragiona analogamente.

Osservazioni. 1. Sia a un'antitraslazione, a = t°σ; come già osservato, si ha

anche a = σ°t: allora a2 = a°a = t°σ°σ°t = t2, cioè a2 è una traslazione. Ne consegue che a

ha periodo infinito.

2. Sia a un'antitraslazione, a = t°σ. L'asse s della simmetria σ è unito per a, mentre

nessun'altra retta e nessun punto lo sono. Per ogni punto A, posto A' = a(A), il punto

medio di AA' appartiene ad s, che è chiamato asse dell'antitraslazione.

La classificazione è così completa. Riassumendo, vi sono quattro tipi di

isometrie piane: le traslazioni, le rotazioni, le simmetrie assiali e le antitraslazioni. I

primi due tipi costituiscono le isometrie dirette o movimenti, le altre costituiscono le

isometrie inverse.

L'identità id è un'isometria diretta e si può identificare con la traslazione

associata al vettore nullo, oppure con la rotazione di ampiezza nulla e centro

arbitrario.

isometria periodo punti

uniti

rette unite

Identità 1 tutti tutte

Traslazione di vettore v ≠ 0 infinito nessuno le parallele a v

Rotazione di centro O e ampiezza

!

" # 0, $ finito o no O nessuna

Simmetria centrale 2 O le rette per O

Simmetria di asse s 2 i punti di s s e le sue perpend.

Antitraslazione di asse s infinito nessuno s


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IL GRUPPO D'ISOMETRIE DI UNA FIGURA. Il gruppo G delle isometrie piane è un

gruppo di permutazioni sui punti del piano ℘. Esso agisce sull'insieme delle figure

piane, cioè sull'insieme dei sottoinsiemi di ℘.

Chiamiamo gruppo di isometrie di una figura ℑ lo stabilizzatore

!

G" di ℑ in G,

costituito da tutte le isometrie di G che trasformano l’insieme ℑ in se stesso.

Descriviamo ora tale gruppo per una classe importante di figure.

Una figura ℑ si dice limitata se è contenuta in un cerchio. Il teorema seguente

descrive gli elementi di una figura limitata.

TEOREMA 1.14. Sia ℑ una figura limitata e sia

!

G" il suo gruppo d'isometrie.

Allora si ha:

a)

!

G" non contiene né traslazioni (a parte l'identità) né antitraslazioni.

b) Tutte le rotazioni appartenenti a

!

G" hanno lo stesso centro, per il quale passano

tutti gli assi delle (eventuali) simmetrie appartenenti a

!

G" .

Dimostrazione. a) Per assurdo sia t una traslazione ≠ id appartenente a

!

G" e sia

d il modulo di v(t). Siano poi d il diametro di un cerchio contenente ℑ e P un punto di

ℑ. Per l'osservazione 4 al teorema 1.7, per ogni n∈N, posto Pn = tn(P), la lunghezza del

segmento PPn è nd. Dunque, per n > d/d si ha PPn > d , quindi Pn non appartiene al

cerchio che copre ℑ e pertanto neppure ad ℑ, nonostante P∈ℑ e tn∈

!

G" , assurdo.

Di conseguenza, poiché il quadrato di un'antitraslazione è una traslazione,

!

G" non

può contenere neppure antitraslazioni.

b) Siano per assurdo r1 e ρ2 due rotazioni appartenenti a

!

G" e con centri diversi.

Allora ρ1°ρ2 e ρ2°ρ1 appartengono a

!

G" e, per a), non possono essere traslazioni, per

cui, per 1.9, sono rotazioni con la stessa ampiezza a e centri diversi.

Essendo però a+(-a) = 0, l'isometria (� 2°� 1)°(� 1°� 2)-1, che appartiene a

!

G" , è una

traslazione, assurdo.

Infine vi siano per assurdo in

!

G" una rotazione r di centro O ed una simmetria � di

asse s non passante per O. Il prodotto r°� è un'isometria inversa, prodotto di tre

simmetrie i cui assi non passano per uno stesso punto né sono tutti paralleli, quindi è

un'antitraslazione, assurdo.


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Proposizione 1.15. Sia H è un sottogruppo finito di G, allora i suoi elementi

sono o tutte rotazioni con lo stesso centro, quindi H è ciclico, oppure metà dei suoi

elementi sono rotazioni e metà sono simmetrie assiali i cui assi passano per il centro

di rotazione, ed H è diedrale.

Dimostrazione. Poiché traslazioni non banali ed antitraslazioni hanno periodi

infiniti, allora H non ne contiene. Come nella dimostrazione del teorema precedente,

se H contenesse rotazioni con centri diversi o una rotazione ed una simmetria con

asse non passante per i centro della rotazione, allora H conterrebbe anche una

traslazione non banale, assurdo. Perciò gli elementi di H sono come detto

nell’enunciato. Sia ora

!

" la rotazione non banale di ampiezza minima α e sia n il suo

periodo; allora si ha

!

" =2#

n, e le altre rotazioni sono necessariamente sue potenze.

Infatti, se un’altra rotazione θ ha ampiezza β > α, posto

!

q = int"

#

$

% &

'

( ) e

!

" = #$q% , allora la

rotazione

!

" o #q( )$1

% H ha ampiezza

!

0 " # = $%q& < & , assurdo se

!

" # 0. Perciò

!

" = 0, # = $q . Allora il sottogruppo di H costituito dalle rotazioni è ciclico, generato da r,

quindi d’ordine n.

Se non esaurisce H, c’è almeno una simmetria assiale s. Allora per ogni k, 0 ≤ k ≤ n-1,

il prodotto

!

"ko# non è una rotazione, ma una simmetria assiale, quindi di periodo 2.

Inversamente, se θ∈H e non è una rotazione, allora θ°σ è una isometria diretta, ossia

una rotazione

!

"k. Perciò

!

" = #ko$ . Ne segue che H ha 2n elementi e si ha:

!

"ko#

$ % & '

( ) 2

= id * "ko# o"k

o# = id * "ko# = # o "k$

% & '

( ) +1

Pertanto, H è il gruppo diedrale d’ordine 2n.

ESEMPI

1. Il gruppo di un poligono regolare con n lati. Il gruppo di un (qualsiasi) poligono

regolare con n lati (che è una figura limitata) contiene 2n elementi, cioè le rotazioni rk

di ampiezze 2pk/n, 0 ≤ k < n, con il centro nel centro O del poligono, e le n simmetrie

rispetto alle rette congiungenti O con i vertici o con i punti medi dei lati. Si tratta

quindi del gruppo diedrale con 2n elementi.

2. Il gruppo del cerchio. Sia dato un cerchio e sia O il suo centro. Le isometrie che

trasformano il cerchio in sé sono tutte e sole quelle che hanno O come punto unito,


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pertanto il gruppo del cerchio coincide con lo stabilizzatore GO del suo centro, ed è

costituito dalle rotazioni di centro O e dalle simmetrie il cui asse passa per O.

3. Il gruppo della retta. Sia r una retta e sia Gr il suo gruppo: poiché r non è una

figura limitata, non è applicabile il teorema 1.14. Possiamo però determinare gli

elementi di Gr mediante lo studio delle rette unite delle varie isometrie. Si ottiene così

che Gr è costituito: dalle traslazioni il cui vettore è parallelo ad r; dalle rotazioni di

ampiezza un angolo piatto (simmetrie centrali) il cui centro è su r; dalla simmetria di

asse r e da quelle di asse perpendicolare ad r; dalle antitraslazioni di asse r.

Esercizio 1.16. Si determinino i gruppi d'isometrie di un rombo e di un rettangolo

(che non siano quadrati): sono isomorfi?

Esercizio 1.17. Per ogni n ≥ 2 si determini una figura piana il cui gruppo d'isometrie

sia ciclico d'ordine n.

L'ESPRESSIONE ANALITICA DI UNA ISOMETRIA PIANA. Troviamo ora la forma

analitica delle isometrie, incominciando dalle simmetrie assiali. Introduciamo nel

piano un sistema di assi cartesiani ortogonali. Allora una retta s ha equazione

ax+by+c = 0, con (a, b) ≠ (0, 0). Dividendo eventualmente i tre coefficienti per a2+b2,

possiamo supporre a2+b2 = 1.

Sia ora P(x, h) un punto e sia P'(x', h') il suo simmetrico rispetto alla retta s.

La retta PP' è perpendicolare ad s, per cui si ha:

b(h - h') - a(x - x') = 0.

Inoltre, il punto medio di PP' appartiene ad s, quindi si ha:

!

a "x + # x

2+ b "

y + y

2+ c = 0.

Si ottiene così il sistema lineare

!

b " x #a " h = bx #ah

a " x + b " h = #ax # bh #2c

$ % &

.

La sua matrice dei coefficienti ha determinante -a2-b2 = -1, per cui il sistema è

determinato. Si ottiene, eseguendo i calcoli:

(*)

!

" x = b2 #a

2( )x #2abh #2ac

" h = #2abx # b2 #a

2( )h #2bc

$

% &

' &

.

Siano

!

" X =" x

" h

#

$ %

&

' ( , X =

x

h

#

$ % &

' ( , A =

b2 )a

2 )2ab

)2ab a2 )b

2

#

$ % %

&

' ( ( , B =

)2ac

)2bc

#

$ %

&

' ( .


14

Allora le equazioni (*) della simmetria σ diventano, in forma matriciale:

X' = AX + B.

Detta At la trasposta di A, si vede subito che At = A-1, cioè A è ortogonale.

Data ora un'altra simmetria assiale σ1, essa si potrà rappresentare con la

equazione matriciale X' = A1X + B1, dove anche A1 è una matrice ortogonale con

determinante -1. Allora la composta σ1°σ avrà equazione matriciale:

X' = A1(AX + B) + B1 = (A1A)X + (A1B+B1)

dove la matrice A1A è ancora ortogonale (come si verifica facilmente), ma con

determinante 1. Pertanto un movimento ha equazione X' = MX + C, dove M = AA1 è

ortogonale con determinante 1 e C = (A1B+B1) è un vettore-colonna.

Poiché la matrice di σ dipende solo dai coefficienti a e b della retta e non dal

termine noto c, simmetrie con assi paralleli hanno la stessa matrice A. Sappiamo che,

essendo gli assi paralleli, allora σ1°σ è una traslazione, ed essendo A1 = A, allora

M = A2 = I2, denotando con I2 la matrice unità. Pertanto, l'equazione di una

traslazione è X' = X + C, dove C è il corrispondente dell'origine O(0, 0) nella

traslazione stessa.

Infine, componendo una simmetria con un movimento si riottiene una

equazione matriciale dello stesso tipo, ma con il determinante -1.

Pertanto:

TEOREMA 1.18. Per ogni isometria f esistono una matrice ortogonale A ed un

vettore-colonna B tali che f ha equazione (in forma matriciale) X' = AX + B. Si ha

inoltre: f∈M ⇔ det(A) = 1, ed f∈T ⇔ A = I2.

Osservazioni. 1. Si può anche dimostrare che, inversamente, per ogni matrice

ortogonale A e per ogni vettore-colonna B la trasformazione f di equazione X' = AX + B

è un'isometria.

2. Data l'isometria f di equazione X' = AX+B, come classificarla? Abbiamo visto già che

è una traslazione se e solo se A = I2 ed è un movimento se e solo se det(A) = 1, per cui

se A ≠ I2 e det(A) = 1 allora f è una rotazione, e viceversa.


15

Sia det(A) = -1: f è una simmetria assiale se e solo se ha periodo 2, quindi se e solo se

f2 = id, cioè se e solo se AB+B = O (vettore nullo). Se ciò non accade, f2 è una

traslazione non identica e quindi f è un'antitraslazione.

Vogliamo infine determinare alcune proprietà del gruppo G delle isometrie

piane. Sappiamo che è un gruppo infinito, contenente il sottogruppo T delle

traslazioni che è isomorfo al gruppo (R2, +) dei vettori del piano, per cui G non è

numerabile. Sappiamo anche che non è abeliano. Si ha poi:

LEMMA 1.19. Il sottogruppo M dei movimenti ha indice 2 in G ed è pertanto

un sottogruppo normale.

Dimostrazione. Sia σ una simmetria assiale fissata e sia f un'isometria inversa. Il

prodotto f°σ è un movimento, cioè esiste ϕ∈M, tale che f°σ = ϕ. Ma allora f = ϕ°σ, cioè f

appartiene al laterale destro Mσ. Ne segue G\M = Mσ, pertanto gli unici laterali destri

di M in G sono M stesso ed Mσ, quindi M ha indice 2.

PROPOSIZIONE 1.20. Siano T il sottogruppo delle traslazioni, O un punto del

piano e GO il suo stabilizzatore. Si ha:

a) Il sottogruppo T è normale in G.

b) Si ha G = TGO, T∩GO = {id}, ossia G è prodotto semidiretto di T per GO.

c) M è prodotto semidiretto di T per (M∩GO).

Dimostrazione. a) Proviamo che T è normale in G. Poiché le simmetrie assiali

generano G, basta provare che per ogni simmetria σ e per ogni traslazione τ, anche

σ-1°τ°σ = σ°τ°σ è una traslazione. Sia s l'asse di σ e sia τ = σ2°σ1, con σi simmetria di asse

si, ed s1 parallelo ad s2.

Se anche s è parallelo ad s1 si ha σ°τ°σ = (σ°σ2)°(σ1°σ) prodotto di due traslazioni,

quindi è una traslazione.

Se invece s non è parallela alle altre due rette, essa forma con esse angoli coniugati

interni supplementari, per cui le due rotazioni σ°σ2 e σ1°σ hanno ampiezze opposte.

Pertanto, per 1.9, σ°τ°σ = (σ°σ2)°(σ1°σ) è una traslazione.


16

b) Sia f un'isometria e siano O' = f(O), τ la traslazione associata al vettore

!

O " O #

. Allora

τ-1°f(O) = O, cioè τ-1°f∈GO. Ne segue

!

f o " # GO, quindi G = TGO.

Poiché l'unica traslazione che abbia punti uniti è l'identità, si ha T∩GO = {id}.

c) T è ovviamente normale anche in M. Sia µ un movimento e siano O' = µ(O) e τ la

traslazione associata al vettore

!

O " O #

. Allora τ-1°µ(O) = O, cioè τ−1°µ∈M∩GO. Ne segue

µ°τ∈M∩GO, quindi G = T(M∩GO).

PROPOSIZIONE 1.21. Il gruppo G è risolubile.

Dimostrazione. La serie 1 = {id} < T < M < G è una serie normale e si ha:

T/1 ≅ T ≅

!

R2,+( ) , abeliano;

M/T ≅ (M∩GO) = gruppo delle rotazioni di centro O,

!

" R2#Z

,+( ) (cfr Osservazione 1

ad 1.8), abeliano;

G/M abeliano perché ha ordine 2.

Pertanto la serie data è abeliana e G è risolubile.

IL GRUPPO DEL QUADRATO. Numeriamo i vertici di un quadrato con 1, 2, 3, 4,

in senso antiorario. Sia poi O il suo centro, cioè il punto d'incontro delle diagonali e

degli assi dei lati. Sappiamo che ogni isometria del piano che trasforma in sé il nostro

quadrato è determinata completamente dalla permutazione che essa induce sui vertici

e che, di conseguenza, le permutazioni così ottenute costituiscono un gruppo isomorfo

al gruppo D4 delle simmetrie del quadrato. Siano ρ la rotazione di π/2 in senso

antiorario intorno ad O, e σ la simmetria rispetto all'asse dei lati 1 4 e 2 3. Le due

permutazioni ρ e σ generano D4:

!

D4 = id, ", "2, "3, #, " o#, "2#, "3#{ }


17

1 2

34

O

Permutaz. id

(1 2 3 4) (1 3)(2 4) (1 4 3 2) (1 4)(2 3)

(1 3) ( 1 2)(3 4)

(2 4)

isometria che la induce sui vertici identità rotazione di π/2 in senso ant. intorno ad O simmetria rispetto ad O rot. di 3π/2 in senso antior. intorno ad O simmetria rispetto all'asse dei lati 1 4 e 2 3 simmetria rispetto alla diagonale 2 4 simmetria rispetto all'asse dei lati 1 2 e 3 4 simmetria rispetto alla diagonale 1 3

La tavola di moltiplicazione di D4 è

calcolata con la TI-92 applicando un

programma apposito. I numeri 1, … , 8

sostituiscono gli elementi di D4 secondo

l’ordine sopra riportato. Il quadrato in

alto a destra è la tavola del sottogruppo

!

" costituito dalle rotazioni.

!

o 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 2 3 4 5 6 7 8

2 2 3 4 1 6 7 8 5

3 3 4 1 2 7 8 5 6

4 4 1 2 3 8 5 6 7

5 5 8 7 6 1 4 3 2

6 6 5 8 7 2 1 4 3

7 7 6 5 8 3 2 1 4

8 8 7 6 5 4 3 2 1

Ed ecco il diagramma dei sottogruppi, ordinati per inclusione:

!

D4 = ", #

!

"2

!

"2, #

!

"2, "

3#

!

"

!

"#

!

"3#

!

#

!

id{ }

!

"2#

NOTE. A) La simmetria centrale

!

"2 commuta con tutte le altre.

B) Oltre a

!

" ci sono altri due sottogruppi d’ordine 4, non ciclici, derivanti dal fatto

che il quadrato è anche un rettangolo ed un rombo.

L. Verardi, Conoscenze di base in Algebra e Geometriaverardi/isometrie.pdf · Innanzitutto id e σ...

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