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2015

Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo

[APPUNTI DI FISICA: LA RELATIVITA’]

Dai Teoremi del campo elettrico alla Relatività Generale.

Proff. Giuseppe Scippa & Lucia Russo Pag. 1

1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico: (pag. 140 vol.2 Caforio-Ferilli)

- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità

di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del

vuoto:

Φ = Q𝑖𝑛

𝜀̥

Le cariche sono sorgenti del campo elettrico.

2) CIRCUITAZIONE del campo elettrico: (pag.169 vol.2)

- Lungo qualsiasi cammino chiuso la circuitazione del campo elettrico è nulla:

∮𝐸 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑠 = 0

Qualsiasi campo vettoriale è conservativo se e solo se la sua circuitazione è nulla lungo ogni

linea chiusa.

3) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo: (pag. 282 vol.2)

- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.

Φm = 0

Non esistono monopoli magnetici isolati (impossibilità di dividere i poli di un magnete).

4) TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE del campo magnetico di Ampere:

(pag.283 vol.2)

- La circuitazione del campo magnetico, calcolata lungo qualsiasi cammino chiuso, è

uguale al prodotto della permeabilità magnetica del vuoto per la corrente totale

concatenata con il cammino:

∮𝐸 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑠 = µ˳𝑖𝑐

5) LEGGE DI FARADAY-NEUMANN - (LENZ ): (pag.5 vol.3)

- Se il flusso concatenato con un circuito varia di una quantità ΔΦm in un intervallo di

tempo Δt, la f.e.m. indotta f che in media agisce nel circuito nell’intervallo di tempo

considerato è:

f = ΔΦm

Δt

la cui unità di misura è Wb/s.


- Legge di Lenz:

In un circuito, la corrente indotta scorre in verso tale da opporsi (mediante il campo

magnetico prodotto) alla variazione di flusso da cui essa stessa ha avuto origine.

- N.B. Questo giustifica il segno meno nella formula di Faraday-Neumann.

LA VELOCITÀ DELLA LUCE PER MAXWELL

La velocità v delle onde elettromagnetiche si può scrivere come:

v = 𝟏

√𝜺˳µ˳

con 𝜺˳ : costante dielettrica nel vuoto = 8,854*10-12

C2 /(N m

2)

e µ˳ : permeabilità magnetica nel vuoto = 4 𝜋 *10-7

N/A2

si deduce che è la stessa velocità della luce nel vuoto : C = 𝟏

√𝜺˳µ˳

CIRCUITAZIONE AMPERE - MAXWELL

C’è una differenza sostanziale tra il campo elettrico generato da cariche ferme e campo

elettrico indotto (con cariche in movimento). Il primo è conservativo (circuitazione nulla lungo

qualsiasi linea chiusa), il secondo invece: un campo magnetico variabile nel tempo genera un

campo elettrico indotto non conservativo.

IL TEOREMA DELLA CIRCUITAZIONE DI AMPERE : (pag.55 vol.3)

Viene modificato così da Maxwell:

∮𝐵 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑙 = µ˳(𝒊 + 𝜺˳𝑑𝜙

𝑑𝑡)

N.B. il primo termine tra parentesi è l’intensità di corrente che attraversa una superficie il

cui contorno è la linea sulla quale si calcola la circuitazione di 𝐵 ⃗⃗ ⃗ , mentre il secondo termine è la

corrente di spostamento che attraversa la stessa superficie.


EQUAZIONI DI MAXWELL : (pag.56 vol.3)


1) TEOREMA DI GAUSS nel campo elettrico:

- Il flusso di campo elettrico uscente da qualsiasi superficie chiusa è uguale alla quantità

di carica Qin racchiusa all’interno della superficie, divisa per la costante dielettrica del

vuoto:

Φ = Q𝑖𝑛𝜀̥0

2) TEOREMA DI GAUSS per il magnetismo:

- Il flusso di campo magnetico uscente da qualunque superficie chiusa è nullo.

Φm = 0

3) LEGGE DI FARADAY – NEUMANN – LENZ :

- La circuitazione del campo elettrico 𝐸 ⃗⃗ ⃗ è la derivata rispetto al tempo, cambiata di segno,

del flusso campo elettrico attraverso una superficie avente come contorno una linea

chiusa lungo la quale si calcola la circuitazione.

∮𝐸 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑙 = − 𝑑Φm

𝑑𝑡)

4) LEGGE DI AMPERE – MAXWELL oppure AMPERE generalizzata:

- La circuitazione del campo magnetico 𝐵 ⃗⃗ ⃗ è uguale al prodotto della permeabilità

magnetica nel vuoto µ˳ per la somma della corrente concatenata con la linea chiusa

lungo la quale si calcola la circuitazione e della corrente di spostamento che attraversa

una superficie avente quella linea come contorno:

∮𝐵 ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝑑𝑙 = µ˳(𝒊 + 𝜺˳𝑑𝜙

𝑑𝑡)


TRASFORMAZIONI DI GALILEO per la fisica classica:

Siano Σ e Σ’ due sistemi di riferimento spazio-temporali vediamo come si trasformano le

coordinate di un evento osservato in un riferimento Σ (x,y,z,t) rispetto alle coordinate dello stesso

evento osservato in un riferimento Σ’ (x’,y’,z’,t’) in moto rettilineo uniforme con velocità 𝑣 rispetto

a Σ e avente la direzione di x e x’.

Le trasformazioni di Galileo sono valide per velocità v << C (velocità della luce)

{

𝑥 = 𝑥′ + 𝑣𝑡𝑦 = 𝑦′

𝑧 = 𝑧′

𝑡 = 𝑡′

⟾

{

𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧𝑡′ = 𝑡

Ma se la velocità v è di poco inferiore a quella della luce C, o confrontabile con essa, queste

non valgono più.

Infatti occorrono le Trasformazioni di LORENTZ per la fisica relativistica:

{

𝑥

′ = 𝑥−𝑣𝑡

√1−𝑣2

𝑐2

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧

𝑡′ = 𝑡−

𝑣𝑥

𝑐2

√1−𝑣2

𝑐2

⟾

{

𝑥 =

𝑥′−𝑣𝑡′

√1−𝑣2

𝑐2

𝑦 = 𝑦′

𝑧 = 𝑧′

𝑡 = 𝑡′−

𝑣𝑥′

𝑐2

√1−𝑣2

𝑐2

Posto β = 𝑣

𝑐 e γ =

𝟏

√𝟏−𝜷𝟐 (fattore di Lorentz)


Esse quindi diventano:

{

𝑥

′ = 𝛾(𝑥 − 𝑣𝑡)

𝑦′ = 𝑦

𝑧′ = 𝑧𝑡′ = 𝛾(𝑡 − 𝛽

𝑥

𝑐)

⟾

{

𝑥 = 𝛾(𝑥′ − 𝑣𝑡′)

𝑦 = 𝑦′

𝑧 = 𝑧′

𝑡 = 𝛾(𝑡′ − 𝛽𝑥′

𝑐)

Che per valori piccoli di v rispetto a c, cioè con β<<1 si ha γ≈1 e β𝑥

𝑐 ≈0 si ritorna alle

trasformazioni classiche di Galileo.

I POSTULATI DELLA RELATIVITA’ RISTRETTA: (pag.93 vol.3)

1. E’ impossibile distinguere con esperimenti fisici due sistemi di riferimento in moto rettilineo

uniforme l’uno rispetto all’altro; cioè le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i

sistemi inerziali.

2. La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi inerziali, indipendentemente

dallo stato di moto del sistema e della sorgente. Cioè è la stessa “c” sia che venga emessa da

una sorgente fissa che da una sorgente in movimento.

N.B. la velocità della luce è una grandezza invariante.

Il tempo relativistico:

Nelle trasformazioni di Lorentz il tempo t e il tempo t’ non coincidono, cioè il tempo

non è più un invariante.

Definizione di simultaneità:

Due eventi nei punti A e B si dicono simultanei se un osservatore, posto nel punto medio

M del segmento AB, riceve i segnali luminosi provenienti dai punti A e B nello stesso

istante.

Spazio di Minkowski: (quadriuniverso) (pag.100-101 vol.3)

Per il fatto che il tempo non è un invariante Minkowski ideò una quadrupla di valori

che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni

di Lorentz. Per queste considerazioni le coordinate di un punto-evento non si scrivono

(x, y, z, t) ma in realtà sono (x, y, z, ct) moltiplicando l’asse dei tempi per la velocità della

luce. E’ come se fosse sottinteso c=1 , in tal modo si possono misurare posizioni e tempi con

le stesse unità di misura.


Simultaneità: (pag.102 vol.3)

Per quanto verificato da Minkowski, la teoria della relatività con Einstein mostra che

il tempo non è un concetto assoluto, ma mostra invece che se due osservatori sono in moto

relativo, due eventi possono essere simultanei per uno di essi e non simultanei per l’altro

osservatore.

Sincronizzazione degli orologi: (pag.102 vol.3)

Per lo stesso motivo: per sincronizzare due orologi si dovrebbe inviare un segnale dal

primo orologio al secondo alla velocità della luce e l’osservatore che riceve il segnale deve

mettere avanti le lancette di ∆t = 𝑑 𝑐⁄ che rappresenta il tempo impiegato dal segnale

luminoso per raggiungere il secondo osservatore.

Dilatazione dei tempi:

Consideriamo l’intervallo di tempo ∆t’ tra due eventi misurati da un osservatore

fermo “O” nel primo sistema di riferimento, e ∆t l’intervallo di tempo tra gli stessi eventi,

ma misurato da un secondo osservatore “O’ “ in moto rettilineo uniforme con velocità v su

un secondo sistema di riferimento:

∆𝑡 = ∆𝑡′

√1 − 𝑣2 𝑐2

Se poniamo γ = 1

√1−𝑣2

𝑐2

(fattore di Lorentz)

Si può scrivere:

∆t = γ ∆t’

e poiché il fattore di Lorentz è sempre maggiore di 1 per velocità prossime a quella

della luce il tempo misurato da O è sempre maggiore del tempo proprio misurato da O’.

La durata ∆t > ∆t’ per cui si può affermare che ogni orologio in movimento rispetto a noi,

marcia con un ritmo più lento; per un orologio in movimento si dilata. Ovviamente il

fenomeno è più evidente per velocità prossime a quelle della luce.


Contrazione delle lunghezze: (pag.111 vol.3)

Ovviamente per gli stessi motivi della dilatazione dei tempi si ha che:

Se d è la distanza fra due punti misurata da un osservatore che li vede fermi, un secondo osservatore

in moto rispetto al primo con velocità costante �⃗⃗� (parallela alla retta che congiunge i due punti)

misurerà la distanza d’ fra gli stessi due punti:

d’ = √1− 𝑣2

𝑐2 d

e usando il fattore di Lorentz:

d’ = 𝑑

𝛾

cioè la distanza fra i due punti è minore di un fattore 1 𝛾⁄ quando i punti si osservano in

movimento rispetto a quando sono visti in quiete, e questo fenomeno è tanto più evidente quanto

più la velocità è prossima a quella della luce.


RELATIVITA’ GENERALE (Scheda pag.153 vol.3)

Massa relativistica in funzione della velocità:

m = 𝑚0

√1−𝑣2

𝑐2

= γ m0 (pag. 132)

con m0 massa a riposo: è una caratteristica del corpo ed è anche detta massa invariante.

m massa a velocità v: è una grandezza variabile con la velocità.

γ fattore di Lorentz

La quantità di moto non è direttamente proporzionale alla velocità, ma si conserva se il sistema è

isolato

𝑝 = m�⃗⃗� = 𝑚0�⃗�

√1−𝑣2

𝑐2

= γ m0 𝒗⃗⃗ ⃗ (pag. 133)

Energia cinetica nella teoria della relatività è:

K = m c2 - m0 c

2 (pag. 135)

Da cui si ricava:

K = (γ – 1) m0 c2

e da questa si ricava:

m c2

= K + m0 c2

Tutti i termini rappresentano energie, e l’ultimo

E0 = m0 c2

è una costante indipendente dal sistema di riferimento. (Einstein la chiamò energia a riposo) e alla

E = K +E0

diede il nome di energia totale del corpo, giungendo alla nota equazione

E = mc2 . (pag. 136)

E = mc2

= 𝒎𝟎𝒄

𝟐

√𝟏−𝑣2

𝑐2

= γ m0 c2

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