Autor: Dijana Nestorović

Konstrukcija trougla ako su data dva ugla i obim trougla

Rešimo sledeći zadatak:

Konstruisati trougao QRS ako su poznati uglovi ∢QRS=α, ∢QSR=β i obim trougla O.

Konstrukcija:

Konstruišemo duž čija je dužina jednaka datom obimu, neka je to duž IJ. Zatim konstruišemo uglove α i β sa iste strane duži IJ tako da im temena budu tačke I i J respektivno i da po jedan krak leži na duži IJ . Sada konstruišemo simetrale ovih uglova. Njihov presek biće teme Q traženog trougla. Sada konstruišemo simetrale duži QI i QJ. Označimo tačke preseka tih simetrala sa T i U kao na slici. U preseku simetrala i duži IJ biće preostala dva temena R i S traženog trougla. Spajanjem tačaka Q, R i S dobijamo traženi trougao QRS.

Dokaz:

Posmatrajmo sliku iznad. Znamo da simetrala duži sadrži središte duži i normalna je na tu duž. Iz toga sledi da su duži IT I QT podudarne i da su ∢ITR=90 i ̊ ∢QTR=90 ̊. Analogno važi da su duži JU i QU podudarne i da su ∢JUS=90 i ̊ ∢QUS=90. ̊

∆ITR≅∆QTR (stav SUS), pa je IR=QR i ∢RIT=∢RQT=α/2. Uočavamo da je ugao ∢QRS spoljašnji ugao za ∆IRQ, a znamo da je spoljašnji ugao trougla jednak zbiru dva unutrašnja nesusedna ugla, pa je ∢QRS= α/2 + α/2 = α .

Autor: Dijana Nestorović

Analogno, ∆JUS≅∆QUS (stav SUS), pa je JS=QS i ∢SJU=∢SQU=β/2. Ugao ∢QSR je spoljašnji ugao za ∆JSQ, pa je ∢QSR=β/2 + β/2= β.

Obim ∆QRS = QR + RS + SQ = IR + RS + SJ = IJ = O.