Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten

Im Folgenden sei z = a + b i eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten undz = ∣z∣ ei ϕ ihre Darstellung in Polarkoordinaten, wobei man arg(z) ∶= ϕ das Argumentund r ∶= ∣z∣ den Betrag von z nennt.

r sin(ϕ)

r cos(ϕ)

r

ϕ

Abbildung 1. Darstellung von z ∈ C in der Gauß’schen Zahlenebene

(1) Umrechnung von Polar- in Kartesische Koordinaten. Ist die Dar-stellung von z in Polarkoordinaten gegeben, ist also z = r ei ϕ, so erhält mandie Darstellung von z in kartesischen Koordinaten durch die Festlegungena ∶= r cos(ϕ) und b ∶= r sin(ϕ), denn es gilt die Gleichung

z = r ei ϕ= r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = r cos(ϕ) + i r sin(ϕ).

(2) Umrechnung von Kartesischen- in Polarkoordinaten. Liegt z in derForm z = a+b i vor, so berechnet man sofort r = ∣z∣ =

√a2 + b2. Darüberhinaus

folgt aus der Definition der Funktion tan∶ (−12π,

12π)→ R die Identität

tan(ϕ) = sin(ϕ)cos(ϕ)

=r sin(ϕ)r cos(ϕ)

=b

a, (0.1)

sofern der Realteil a und der Betrag r ungleich 0 sind. Äquivalent zu(0.1) ist die Darstellung arg(z) = ϕ = arctan(b/a), wobei hier im Einzelnen

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2 KOMPLEXE ZAHLEN UND POLARKOORDINATEN

Fallunterscheidungen für verschiedene Kombinationen von positivem undnegativem Real- und Imaginärteil zu beachten sind, damit ϕ ∈ [−π,π] gilt.

ϕ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

arctan(b/a), a > 0arctan(b/a) + π, a < 0 und b ≥ 0arctan(b/a) − π, a < 0 und b < 0π/2, a = 0 und b > 0−π/2, a = 0 und b < 0.