Suryo Guritno

ESTIMASISalah satu bentuk inferensi statistika (pengambilan kesimpulan) terhadap parameter populasi adalah estimasi.

Misalnya :

ESTIMASIINTERVAL

TITIK

proporsi

variansi

peny. std

mean

p

2

populasi

s2

s

sampel

n

x

x

Dalam estimasi yang dilakukan adalah menduga/memperkirakan parameter dengan penduga yang sesuai (“terbaik”).

Estimasi titik

adalah statistik yang sesuai (“baik”) untuk menduga/memperkirakan/mengestimasi parameterMisalnya :

perbandingan variansi

beda proporsi

beda mean

proporsi

dev.std

variansi

mean

p1-p2

1- 2

p

2

parameter

22

21

x

n

xs

s2

2

2

1

1

n

x

n

x

21 xx

22

21

s

s

statistik/penduga / estimasi

Estimasi Interval

adalah suatu interval tertentu yang memuat parameter dengan probabilitas/keyakinan cukup besar dan ditentukan oleh statistik yang sesuai untuk parameter

* Interval yang diharapkan adalah yang terpendek

* Misalkan X1, X2, …, Xn adalah sampel random

yang diambil dari populasi dengan parameter .

Interval yang akan dicari adalah

a b dengan P(a b) = 1 -

interval konfidensi

(1 – )

a,b harganya ditentukan oleh

X1, X2, …, Xn

tingkat konfidensi / keyakinan dipilih 100%

biasanya 90%, 95%, 99%

0 < < 1, 0%

dibedakan dua macam estimasi interval, yaitu :

* Untuk sampel besar (n 30)* Untuk sampel kecil (lebih dikenal sebagai

estimasi interval untuk parameter populasi dengan /ber-distribusi tertentu)

ESTIMASI INTERVAL SAMPEL BESAR

* Estimasi interval untuk (n 30)

Interval yang dicari adalah

a b dengan P(a b) = 1 - a,b tertentu oleh X1, X2, …, Xn dalam hal ini

berdistribusi normal dengan X

Penduga terbaik untuk adalah X

xn

22x

nx

ataudan

n

1= (X1 + X2 + … + Xn)

X

c x

45%

50%

d

d c x

50% 45%

dc x

47,5% 47,5%

yaitu Jarak ke c harus sama dengan jarak ke d

xx

dc x

dengan transformasi

0 zo-zo

P(-zo z zo) = 95%

dari tabel normal

zo = 1,96

normal biasa

X

normal standar

mean = 0variansi = 1

x

xXz

diketahui/dapat dicari interval terpendek yangdXc 95%d)XP(c

JADI :

P(-1,96 z 1,96) = 95%

P(-1,96 1,96) = 95%

n

x

xxP( -1,96 . + 1,96 . ) = 95%n

n

Interval konfidensi 95% untuk adalah : (n 30)

jika tidak diketahui, diganti dengan s yaitu penyimpangan standar sampel.

-1,96 . + 1,96 . xn

xn

(1)

Apabila anda perhatikan dengan cermat rumus (1), dengan langkah yang sama akan dapat dicari interval konfidensi (1 - ) untuk ataupun p.

Perhatikan rumus (1) kembali

x Untuk n cukup besar , hampir semua distribusi sampling harga statistik

berdistribusi mendekati normal. Dalam hal ini , s dan berdistribusi normal. n

X

μ adalah parameter yang akan diestimasi

X adalah Statistik yang digunakan untuk mengestimasi

n

σadalah Penyimpangan standar distribusi

sampling harga statistik (dalam hal ini ) X

1,96 adalah angka dari tabel normal yang sesuai dengan tingkat keyakinan 95% karena berdistribusi normalX

P)(

s)(

)σ( s

Dengan demikian, jika ukuran sampel cukup besar, tabel berikut dapat digunakan untuk mencari interval konfidensi (1-) untuk parameter yang dikehendaki

6

5

4

3

2

1

(=s)(=P)

Ket.Peny. Std. Dist. Samp. Harga statStatistikParameter

)σ( s

μ

σ

p

21 μ-μ

21 pp

21 σσ

X

s

21 XX

2n

2X

1n

1X

21 ss

n

X

n

σ

2n

σ

nnx

1nx

2

22

1

21

n

σ

n

σ

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

n

nx

1nx

n

nx

1nx

2

22

1

21

2n

σ

2n

σ

Kalau interval konfidensi (1-) untuk P adalah

s

2

s

2

.zSP.zS

maka interval konfidensi 90% untuk adalah

Dengan adalah harga yang sesuai dengan (1-) dari tabel distribusi

Normal (1,96=z.025 sesuai dengan 95%).2

αz

s – z.05 . s + z.05 . n2

n2

dan Interval konfidensi 90% untuk adalah2σ

n2

z1

s

n2

z1

s

05.05.

2

05.

2

2

05.

n2

z1

s

n2

z1

s

Estimasi parameter jika sampel berukuran kecil sangat bergantung pada distribusi populasi dan juga parameter yang akan diestimasi

Sebagai contoh, untuk ,mengestimasi , 2, 1- 2 ,

22

21

atau 1- 2 ditentukan oleh distribusi t

2 atau 1- 2 ditentukan oleh distribusi 2

atau 1- 2 ditentukan oleh distribusi F22

21

Untuk mengestimasi p tidak diperlukan asumsi populasi berdistribusi normal. Estimasi dapat dilakukan menggunakan distribusi binomial.

populasi harus berdistribusi normal, tetapi estimasi untuk

ESTIMASI INTERVAL SAMPEL DARI POPULASI NORMAL

Interval konfidensi (1-) untuk adalah :

n.zX

n.zX

22

karena X ~

n,N

2

jika diketahui :

jika tidak diketahui :

n

s.tX

n

s.tX

1n;2

1n;2

= persentil untuk distribusi t dengan2

t

2

1

derajat bebas (n-1) (dicari dengan tabel t)

distribusi t dengan der. bebas (n-1)

~karena :

n

sX

tn-1

Interval konfidensi (1-) untuk 1-2 adalah :

jika 1 dan 2 diketahui :

2

22

1

21

2

21212

22

1

21

2

21 nn.zxx

nn.zxx

karena :

2

22

1

21

xx

21xx

2xxxx21

nn

,Nxx

21

21

2121

~

jika 1 dan 2 tidak diketahui :

1 diganti s1 dan 2 diganti s2

jika 1 = 2 = , diganti sp dengan

2nn

s1ns1ns

21

222

211

p

21p

2nn;2

21

2121

p2nn;

2

21

n

1

n

1s.txx

n

1

n

1s.txx

21

21

sehingga

karena =

2nn

21p

212121

t

n

1

n

1s

xxxx

~

jika 1 2 , 1 diganti s1 dan 2 diganti s2

2

22

1

21

;2

21212

22

1

21

;2

21 n

s

n

s.txx

n

s

n

s.txx

karena :

dengan

2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

n

n

s

n

n

s

n

s

n

s

~

t

n

s

n

s

xx

2

22

1

21

2121

* Untuk estimasi 2, digunakan s2 tetapi jika sampel berukuran kecil distribusi sampling harga-harga s2 tidak diketahui bentuknya. Jalan keluarnya usahakan transformasi ke variabel baru yang distribusinya sudah dikenal.

* Jika populasi berdistribusi normal,

* distribusi x2 dengan derajat bebas (n-1) adalah distribusi Gamma dengan

2dan2

1n

Sayangnya distribusi x2 bukan distribusi yang simetri, sehingga kriteria interval terpendek akan sulit untuk diperoleh.

2

2

σ

s1n berdistribusi x2 dengan derajat bebas (n - 1)

Sebagai pengganti interval terpendek, interval yang dikehendaki ditentukan oleh pembagian luas daerah di bawah kurva menjadi 3 bagian masing-masng dengan luas , (1-) dan

2

2

sehingga dari

1s1n

P 2

1n;2

2

22

1n;2

1

didapatInterval konfidensi (1-) untuk 2 adalah

2

1n;2

1

22

2

1n;2

2 s1ns1n

(1-)

2

1n;2

1

2

2

2

1n;2

1

s1nP 2

22

22

21

2

21

22

2

2

2 s1ns1n

(1-)

2

1n;2

1

2

2

2

1n;2