Penduga Selang / Interval Estimator

(Bagian II)

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Departemen Statistika IPB, Genap 2018/2019

2

Solusi

X1, …, Xn ̴ N(θ, θ), berarti E(X) = θ dan Var(X) = θ,

maka 𝑋 ~𝑁(𝜃,𝜃

𝑛).

Diantara bentuk pivotnya (mengapa?) :

𝑋 − 𝜃

𝜃𝑛

= 𝑛(𝑋 − 𝜃)

𝜃~𝑁(0,1)

Selang kepercayaan (1 – α) dapat ditentukan sebagai

berikut:

𝑃 𝑎 < 𝑛(𝑋 − 𝜃)

𝜃< 𝑏 = 1 − 𝛼

3

𝑃 𝑎 < 𝑛(𝑋 − 𝜃)

𝜃< 𝑏 = 1 − 𝛼

Nilai a dan b yang menghasilkan selang terpendek adalah:

𝑃 −𝑍𝛼2

< 𝑛(𝑋 − 𝜃)

𝜃< 𝑍𝛼

2 = 1 − 𝛼

⇔ 𝑃 𝑛(𝑋 − 𝜃)

𝜃

2

< 𝑍𝛼2

2

= 1 − 𝛼

⇔ 𝑃 𝑛𝑋 2 − 2𝑛𝑋 𝜃 + 𝑛𝜃2 < 𝜃𝑍𝛼 2 2 = 1 − 𝛼

⇔ 𝑃 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 < 0 = 1 − 𝛼

4

⇔ 𝑃 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 < 0 = 1 − 𝛼

Selesaikan persamaan untuk 𝜃 sebagai fungsi kuadrat:

𝑃 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 < 0 = 1 − 𝛼

⇔ 𝑛𝜃2 − 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 𝜃 + 𝑛𝑋 2 = 0

⇔ 𝜃1,2 = 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2

2 ± 2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2

2− 4 𝑛 (𝑛𝑋 2)

2𝑛

⇔ 𝜃1,2 =

2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 ± 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2

2 + 𝑍𝛼 2 4

2𝑛

5

⇔ 𝜃1,2 =

2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 ± 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2

2 + 𝑍𝛼 2 4

2𝑛

Jadi selang kepercayaan (1 – α) bagi θ adalah a < θ < b

dimana:

a =

2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 − 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2

2 + 𝑍𝛼 2 4

2𝑛

dan

b =

2𝑛𝑋 + 𝑍𝛼 2 2 + 4𝑛𝑋 𝑍𝛼 2

2 + 𝑍𝛼 2 4

2𝑛

6

7

Solusi untuk (a)

X ̴ Uniform(θ - ½, θ + ½), untuk mencari pivot bisa

digunakan konsep umum pada Tabel 9.2.1, misalkan cek

apakah Y = X - θ merupakan pivot?

Untuk hal tersebut harus dicari dulu fungsi kepekatan

peluang bagi peubah acak Y.

8

Perhatikan Teorema untuk transformasi peubah acak sebagai

berikut:

Misalkan X adalah p.a. dengan fkp fX(x) pada gugus S R, dan

didefinisikan fungsi h : S T sebagai tranformasi satu-satu (one-

to-one), sehingga inversnya x = h-1(y), y T. Anggap bahwa untuk

y T, turunan (dh-1(y))/dy ada, kontinu dan tidak sama dengan 0.

Maka fungsi kepekatan peluang bagi p.a. yang didefinisikan Y =

h(X) adalah:

fY(y) = dy

dxyhf X ))(( 1

, y T

9

fY(y) = dy

dxyhf X ))(( 1

, y T

Karena X ̴ Uniform(θ - ½, θ + ½), maka:

fX(x) = 1 , θ - ½ < x < θ + ½

Kemudian didefinisikan Y = X – θ, sehingga X = Y + θ. Fungsi

kepekatan peluang bagi peubah acak Y:

fY(y) = 21

211 ,1|1|)1())(( y

dy

dxyhf X

atau (Y = X – θ) ̴ Uniform(-½, ½)

Karena fY(y) tidak mengandung θ, maka Y = X – θ merupakan

pivot. 10

Berdasarkan pivot tersebut, selang kepercayaan (1 – α)

dapat ditentukan sebagai berikut:

𝑃 𝑎 < 𝑌 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑋 − 𝜃 < 𝑏 = 1 − 𝛼

𝑓(𝑋 − 𝜃)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 1𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= 𝑏 − 𝑎 = 1 − 𝛼

Tentukan nilai a dan b berdasarkan persamaan di atas dan

merupakan selang terpendek, yaitu meminimumkan (b – a).

Karena Uniform, maka salah satu hubungan a dan b adalah

a = -b, sehingga:

𝑏 − 𝑎 = 𝑏 − −𝑏 = 1 − 𝛼

11

𝑏 − 𝑎 = 𝑏 − −𝑏 = 1 − 𝛼

𝑏 =1

2−𝛼

2

dan

𝑎 = −1

2+𝛼

2

Sehingga penduga selang bagi θ dengan koefisien

kepercayaan (1 – α) adalah:

−1

2+𝛼

2< 𝑋 − 𝜃 <

1

2−𝛼

2

12

−1

2+𝛼

2< 𝑋 − 𝜃 <

1

2−𝛼

2

⟺−𝑋 −1

2+𝛼

2< −𝜃 < −𝑋 +

1

2−𝛼

2

⟺ 𝑋 +1

2−𝛼

2> 𝜃 > 𝑋 −

1

2+𝛼

2

⟺ 𝑋−1

2+𝛼

2< 𝜃 < 𝑋 +

1

2−𝛼

2

13

Pada beberapa sebaran, selang kepercayaan bagi

penduga parameternya sulit diselesaikan, karena

transformasi sebarannya sulit diselesaikan.

Salah satu caranya adalah dengan melakukan

pendekatan terhadap koefisen kepercayaannya.

14

Pendekatan tersebut dapat dilakukan apabila jumlah

contoh (n) cukup besar, yaitu melalui Teorema Limit

Pusat (TLP).

𝑋 𝑛 − 𝐸(𝑋 𝑛)

𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛) ~ 𝑁(0,1)

15

Berdasarkan contoh acak X1, X2, ..., Xn dari suatu sebaran

Binomial(1, p), tentukan selang kepercayaan bagi p dengan

pendekatan koefisien kepercayaan 1 - .

Untuk menentukan selang kepercayaan tersebut

diperlukan mengetahui 𝐸 𝑋 𝑛 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛), dengan n

cukup besar.

Karena X menyebar Binomial(1, p), maka dapat

ditentukan bahwa 𝐸 𝑋 𝑛 = p dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑛 = p(1-p)/n.

16

𝐸 𝑋 𝑛 = p dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑛 = p(1-p)/n.

Berdasarkan TLP dapat ditentukan bahwa:

𝑋 𝑛 − 𝐸(𝑋 𝑛)

𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛)=

𝑋 𝑛 − 𝑝

𝑝(1 − 𝑝)/𝑛= 𝑛(𝑋 𝑛 − 𝑝)

𝑝(1 − 𝑝)~ 𝑁(0,1)

𝑛(𝑋 𝑛 − 𝑝)

𝑋 𝑛(1 − 𝑋 𝑛)≅ 𝑁(0,1)

17

Selang kepercayaan bagi p dengan pendekatan koefisien

kepercayaan 1 - adalah:

𝑃 −𝑍𝛼2

< 𝑛 𝑋 𝑛 − 𝑝

𝑋 𝑛 1 − 𝑋 𝑛 < 𝑍𝛼

2 ≅ 1 − 𝛼

Sehingga selang kepercayaan bagi p dengan pendekatan

koefisien kepercayaan 1 - adalah:

𝑋 𝑛 − 𝑍𝛼2

. 𝑋 𝑛 1 − 𝑋 𝑛

𝑛< 𝑝 < 𝑋 𝑛 + 𝑍𝛼

2. 𝑋 𝑛 1 − 𝑋 𝑛

𝑛

18

Berdasarkan contoh acak X1, X2, ..., Xn dari suatu sebaran

Poisson(), tentukan selang kepercayaan bagi dengan

pendekatan koefisien kepercayaan 1 - .

Untuk menentukan selang kepercayaan tersebut

diperlukan mengetahui 𝐸 𝑋 𝑛 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛), dengan n

cukup besar.

Karena X menyebar Poisson(), maka dapat ditentukan

bahwa 𝐸 𝑋 𝑛 = dan 𝑉𝑎𝑟 𝑋 𝑛 = /n.

19

Berdasarkan TLP dapat ditentukan bahwa:

𝑋 𝑛 − 𝐸(𝑋 𝑛)

𝑉𝑎𝑟(𝑋 𝑛)=𝑋 𝑛 −

/𝑛= 𝑛(𝑋 𝑛 − )

~ 𝑁(0,1)

𝑛(𝑋 𝑛 − )

𝑋 𝑛≅ 𝑁(0,1)

Selang kepercayaan bagi dengan pendekatan koefisien

kepercayaan 1 - adalah:

𝑃 −𝑍𝛼2

< 𝑛 𝑋 𝑛 −

𝑋 𝑛< 𝑍𝛼

2 ≅ 1 − 𝛼

20

𝑃 −𝑍𝛼2

< 𝑛 𝑋 𝑛 −

𝑋 𝑛< 𝑍𝛼

2 ≅ 1 − 𝛼

Sehingga selang kepercayaan bagi dengan pendekatan

koefisien kepercayaan 1 - adalah:

𝑋 𝑛 − 𝑍𝛼2

. 𝑋 𝑛𝑛

< < 𝑋 𝑛 + 𝑍𝛼2

. 𝑋 𝑛𝑛

21

22

1

23

2

24

3

25

4

26

1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,

2nd Edition. Duxbury.

2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to

Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.

3. Pustaka lain yang relevan.

27

Bisa di-download di

kusmansadik.wordpress.com

28

29