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Lista ita exponencial e modulo Carlos Peixoto 1. (Ita 2017) Esboce o gráfico da função f : dada por
|x| 1f(x) 2 .
2
2. (Ita 2017) Sejam 21S {(x, y) : y || x | 1|} e 2 2 2
2S {(x, y) : x (y 1) 25}. A
área da região 1 2S S é
a) 25
2.4π
b) 25
1.4π
c) 25
.4π
d) 75
1.4π
e) 75
2.4π
3. (Ita 2017) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:
I. c c(log b) (log a)a b .
II. d d dlog c log a log b
a b c1.
b c a
III. ab alog (bc) log c
é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) todas. 4. (Ita 2016) Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte
inteira de 7 x é igual a
a) 285. b) 286. c) 287. d) 288. e) 289. 5. (Ita 2016) Considere as seguintes afirmações:
I. A função 10x 1
f(x) logx
é estritamente crescente no intervalo ]1, [.
II. A equação x 2 x 12 3 possui uma única solução real.
III. A equação x(x 1) x admite pelo menos uma solução real positiva.
É (são) verdadeira(s)
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a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III. 6. (Ita 2016) Seja 1 2 3(a , a , a , ) a sequência definida da seguinte forma: 1a 1000 e
n 10 n 1a log (1 a ) para n 2. Considere as afirmações a seguir:
I. A sequência n(a ) é decrescente.
II. na 0 para todo n 1.
III. na 1para todo n 3.
É (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II e III. d) I, II e III. e) apenas III.
7. (Ita 2016) Seja f a função definida por 2x 1f(x) log (x 2x 8). Determine:
a) O domínio fD da função f.
b) O conjunto de todos os valores de x Df tais que f(x) 2.
c) O conjunto de todos os valores de x Df tais que f(x) 1.
8. (Ita 2015) Considere as funções 1f , 2,f f : , sendo 11
f (x) x 3,2
23
f (x) x 12
e
f(x) igual ao maior valor entre 1f (x) e 2f (x), para cada x . Determine:
a) Todos os x tais que 1 2f (x) f (x).
b) O menor valor assumido pela função f.
c) Todas as soluções da equação f(x) 5.
9. (Ita 2015) Considere as seguintes afirmações sobre números reais: I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional.
II. n
n 0
1 2.
1 2 2( 2 1) 2
III. 3 2
3 4ln e log 2 log 9 é um número racional.
É (são) verdadeira(s): a) nenhuma. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) I, II e III. 10. (Ita 2014) Determine as soluções reais da equação em x,
3 4 104 4
100
log 16xlog x log x 3 0.
log 16
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11. (Ita 2014) A soma 1/2
1/2
n4
n 21
log 32
log 8 é igual a
a) 8
.9
b) 14
.15
c) 15
.16
d) 17
.18
e) 1. 12. (Ita 2013) Considere as funções f e g, da variável real x, definidas, respectivamente, por
2x ax bf x e e
axg x ln ,
3b
em que a e b são números reais. Se f 1 1 f 2 , então pode-se afirmar sobre a função
composta g f que
a) g f 1 ln 3.
b) g f 0 .
c) g f nunca se anula.
d) g f está definida apenas em x : x 0 .
e) g f admite dois zeros reais distintos.
13. (Ita 2013) Determine o maior domínio D da função
x( x)
4
f : D , f x log (4senx cosx 1).π
14. (Ita 2013) Se os números reais a e b satisfazem, simultaneamente, as equações
1a b
2 e 2ln a b ln 8 ln 5,
um possível valor de a
b é
a) 2
.2
b) 1.
c) 2. d) 2.
e) 3 2.
15. (Ita 2011) Resolva a inequação em 2x x 191
5
log1
:16 .4
16. (Ita 2008) Para x ∈ IR, o conjunto solução de │ 5
3x - 5
2x + 1 + 4 . 5
x │ = │ 5
x - 1 │ é
a) {0, 2 ± 5 , 2 ± 3 }
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b) {0,1, log5(2 + 5 )}
c) {0, (1/2)log5 2, 1
2 log5 3, log5
2
2
d) {0, log5 (2 + 5 ), log5 (2 + 3 ), log5 (2 - 3 )}
e) A única solução é x = 0
17. (Ita 2007) Sejam x e y dois números reais tais que ex, e
y e o quociente
x
y
e 2 5
4 e 5
são todos
racionais. A soma x+y é igual a
a) 0. b) 1. c) 2log53. d) log52. e) 3loge2. 18. (Ita 2007) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base
n são números primos satisfazendo
logn (xy) = 49,
logn (x/z) = 44.
Então, logn (xyz) é igual a
a) 52. b) 61. c) 67. d) 80. e) 97. 19. (Ita 2005) Considere a equação em x
onde a e b são números reais positivos, tais que ℓn b = 2 ℓn a > 0. A soma das soluções da
equação é
a) 0. b) -1. c) 1. d) ℓn 2. e) 2.
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20. (Ita 2004) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x:
21. (Ita 2002) Os valores de x , para os quais a função real dada por
f(x) 5 2x 1 6 está definida, formam o conjunto
a) [0, 1]. b) [-5, 6]. c) [ 5,0] [1, ).
d) ( ,0] [1,6].
e) [ 5,0] [1,6].
22. (Ita 2002) Seja a função f dada por
Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.
23. (Ita 2001) Sendo dado
é igual a:
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a) an - 2bn b) 2an - bn c) an - bn d) bn - an e) an + bn 24. (Ita 2001) Se a ∈ IR é tal que 3y
2 - y + a = 0 tem raiz dupla, então a solução da equação
32x
+ 1 - 3
x + a = 0 é:
a) log2 6 b) - log2 6 c) log3 6 d) - log3 6 e) 1 - log3 6 25. (Ita 2000) Seja S = [- 2, 2] e considere as afirmações:
I. 1
4 ≤
x1
2
< 6, para todo x ∈ S.
II. x
1
32 2<
1
32, para todo x ∈ S.
III. 22x
- 2x ≤ 0, para todo x ∈ S.
Então, podemos dizer que
a) apenas I é verdadeira. b) apenas III é verdadeira. c) somente I e II são verdadeiras. d) apenas II é falsa. e) todas as afirmações são falsas. 26. (Ita 2000) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes mostradas na figura a
seguir
A soma de todos os valores de x para os quais (AB) = (AB)t é igual a
a) 25
3.
b) 28
3.
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c) 32
3.
d) 27
2.
e) 25
2.
27. (Ita 1999) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação
Então:
a) S é um conjunto unitário e S ⊂ ]2, + ∞[. b) S é um conjunto unitário e S ⊂ ]1, 2[. c) S possui dois elementos distintos S ⊂ ]-2, 2[. d) S possui dois elementos distintos S ⊂ ]1, +∞[. e) S é o conjunto vazio. 28. (Ita 1998) A inequação mostrada na figura adiante
é satisfeita para todo x ∈ S. Então:
a) S = ] - 3, - 2] ⋃ [ - 1, + ∞[ b) S = ] - ∞, - 3[ ⋃ [ - 1, + ∞[ c) S = ] - 3, -1] d) S = ] -2, + ∞] e) S = ] - ∞, - 3 [⋃] - 3, + ∞[ 29. (Ita 1998) O valor de y ∈ IR que satisfaz a igualdade
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a) 1
2
b) 1
3
c) 3
d) 1
8
e) 7 30. (Ita 1997) O domínio D da função
f(x) = ℓn
2 2
2
[ x (1 )x ]
( 2x 3 x)
π π π
π
é o conjunto
a) D = {x ∈ IR : 0 < x < 3
2
π}
b) D = {x ∈ IR : x < 1
π ou x >ð}
c) D = {x ∈ IR : 0 < x ≤ 1
π ou x ≥ ð}
d) D = {x ∈ IR : x > 0}
e) D = {x ∈ IR : 0 < x < 1
π ou ð < x <
3
2
π}
31. (Ita 1996) Seja a ∈ R, a > 1. Para que
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valor de a é:
a) 2 b) 3 c) 5 d) 9 e) 10 32. (Ita 1996) Se (x0,y0) é uma solução real do sistema
2 3
2 2
log x 2y log x 2y 2
x 4y 4
então x0 + y0 é igual a:
a) 7
4
b) 9
4
c) 11
4
d) 13
4
e) 17
4
33. (Ita 1995) Se x é um número real positivo, com x ≠ 1 e x ≠ 1/3, satisfazendo:
(2 + log3x) / (logx+2x) - (logx(x + 2)) / (1 + log3x) = logx(x + 2)
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então x pertence ao intervalo I, onde:
a) I = (0, 1/9) b) I = (0, 1/3) c) I = (1/2, 1) d) I = (1, 3/2) e) I = (3/2, 2)
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Gabarito: Resposta da questão 1: Dividindo a função em “partes” para esboçar:
xx
x|x|
x
|x|
1g(x) 2
2
1h(x) 2
2
1 1m(x)
2 2
1f(x) 2
2
Resposta da questão 2: [A]
Esboçando o gráfico de y || x | 1| e a circunferência definida por 2 2x (y 1) 25, a região
1 2S S será a apresentada em amarelo na figura a seguir.
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Calculando sua área, tem-se que essa será igual a um quarto da área do círculo menos a área
de um quadrado de lado 2, ou seja:
2 2
1 25 25
S S 2 24 4
π π
Resposta da questão 3: [C] Analisando as afirmativas: [I] Verdadeira. Calculando:
c
c
c c
(log b)
log bb b
log b log ab c b b c
cb c b c
c
a x
log a log x
log a log b log a log x log a x b
log alog a log b log a log a
log b
[II] Verdadeiro. Utilizando a relação obtida na alternativa anterior, pode-se escrever:
d d d d d d d d d
d d d d d d
log c log a log b log c log a log b log a log b log c
log c log a log b log c log a log b
a b c a b c c a b1
b c a b c a b c a
[III] Falsa. A igualdade só se verifica se o valor de a for igual ao valor de c, e b 1. No caso de
números distintos, a igualdade não se verifica, pois:
ab a
aa a a a a a a a a
a
a a a a a a a a a
a a a a
log (bc) log c
log bclog c log bc log c log ab log b log c log c log a log b
log ab
log b log c log c 1 log b log b log c log c log b log c
log b log b log c log c 1 a c
Resposta da questão 4: [D]
Se x é um número natural com 2015 dígitos, então:
7 72014 2015 2014 2015710 x 10 10 x 10
Sabendo que:
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20147 2014 287,77
20157 2015 287,87
287 2887
10 10 10
10 10 10
10 x 10
Logo , 7 x terá 288 algarismos. Resposta da questão 5: [B]
[I] Verdadeira. Para 1x e 2x pertencentes ao intervalo ]1, [ e 1 2x x .
1 21 2 1 2 1 2
1 2 1 210 10
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1x x 1 1
x x x x x x
x 1 x 1 x 1 x 1log log
x x x x
Portanto a função é crescente para todo x real maior que 1. [II] Verdadeira.
xxx 2
3
2
3 32 2 12 x log 12,
3 2
Portanto, a equação tem apenas uma solução real.
[III] Falsa.
Se
111
x 1 1 2 2,1
portanto 1 não é raiz da equação.
Se x x xx 1 x 1 x (x 1) x x (x 1) x
Se x0 x 1 x 1 1 x 1 1 (x 1) 1 x
Portanto, a equação não admite nenhuma raiz real positiva. Resposta da questão 6: [D]
1
2 10
3 10
4 10
n 10
a 1000
a log (1 1000) 3,
a log (1 3, ) 0,
a log (1 0, ) 0,
a log (1 0, ) 0,
Portanto, a alternativa [D] é a correta. Resposta da questão 7: a) Condições para a existência do logaritmo:
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2x 2x 8 0 x 2 ou x 4
x 1 0 x -1
x 1 0 x -1
Portanto, o domínio da função será D ]4, [.
b) 2 2 2x 1f(x) 2 log (x 2x 8) 2 x 2x 8 (x 1) 4x 9 x 2,25
Como 2,25 4, o conjunto pedido é o conjunto vazio. Ou seja S = .
c) Teremos:
2 2 2x 1 x 1 x 1
2
log (x 2x 8) 1 log (x 2x 8) log x 1 x 2x 8 x 1
3 3 5 3 3 5x 3x 9 0 x ou x
2 2
Como x 4, concluímos que 3 3 5
x ,2
portanto o conjunto pedido será dado por:
3 3 5S ,
2
Resposta da questão 8:
a) 1 21 3
f (x) f (x) | x | 3 | x 1| | x | 6 3 | x 1|2 2
Daí a solução da equação será dada por 9 3
S , .2 2
b) Construindo os gráficos das funções 1f e 2f num mesmo sistema, temos:
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De acordo com o gráfico o menor valor assumido por f(x) é f(0) 3.
c) Se 9 3
x ou x ,2 2
temos:
3 10 7 13| x 1| 5 | x 1| x ou x
2 3 3 3 (não convém)
Portanto, 3
7x
Se 9 2
x ,2 3
temos:
1| x | 3 5 | x | 4 x 4 (não convém) ou x 4
2
Portanto, x 4.
E o conjunto solução da equação f(x) 5 será dado por: 7
S 4, .3
Resposta da questão 9: [D] [I] Verdadeira, pois toda dízima periódica admite uma fração geratriz.
[II] Falsa. A soma indicada representa uma P.G infinita com 11
a2 1
e a razão 1
q .2
Daí,
2n
n 0
1 1
1 2 22 1 2 11 2 1 3 2 22 1 2 1 2 12 2
[III] Verdadeira.
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2
3 2 333 4 3 2
3
log 9 2 5ln e log 2 log 9 lne log 2 1
3 3log 2 (racional)
Resposta da questão 10:
Calculando, inicialmente, o valor de
4
10 44 4
4100
4
log 16x
log 16x log 10log 16x 2 log x
log 16log 16
log 100
Substituindo o resultado acima na equaçăo pedida, temos:
3 44 4 4
34 4 4
34 4
log x log x 3 2 log x 0
log x 4log x 6 3log x 0
log x 7log x 6 0
Fazendo 4log x y, temos:
3 3 2
2
y 7y 6 0 y y 6y 6 0 y(y 1) 6(y 1) 0 y(y 1)(y 1) 6(y 1) 0
(y 1)(y y 6) 0 y 1 ou y 2 ou y 3.
Logo:
4
4
4
1log x 1 x
4
1log x 2 x
16
log x 3 x 64
1 1S , ,64
16 4
Resposta da questão 11: [D]
n4 4 4 45n1/2 1/2
n 2 3(n 2)1/2 1/21 1 1 1
5log 32 log 2 5 1 5 1 1 1 1 17n .
3(n 2) 3 n (n 2) 3 3 8 15 24 18log 8 log 2
Resposta da questão 12: [E]
Como f( 1) 1 f( 2), segue que
2( 1) a ( 1) be 1 b a 1
e
2( 2) a ( 2) be 1 b 2a 4.
Logo,
a 1 2a 4 a 3
e, portanto,
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b 3 1 2.
Assim,
x
g(x) n n x n 2.2
A função composta g f é dada por
2x 3x 2
2
(g f)(x) n (e ) n 2
x 3x 2 n 2.
Para que a função g f tenha dois zeros reais e distintos o discriminante da equação
2x 3x 2 n 2 0 deve ser um número real positivo. De fato, como h : , definida
por h(x) n x, é uma função crescente, temos que n2 n1 0. Daí,
23 4 1 (2 n 2) 1 4 n 2 0Δ
e, por conseguinte, g f possui dois zeros reais e distintos.
Resposta da questão 13: Pelas condições de existência dos logaritmos, vem
2
1sen2x
24senxcos x 1 0
x x 01 x x 0 4
4
x x 1 0 ( 0)4
5k x k
12 12
0 x4
x .12 4
Portanto,
D , .12 4
Resposta da questão 14: [A]
Observando que a e b devem ser reais positivos, vem
4 2
2
1 1a b a b
2 2
1a .
16b
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Simplificando e substituindo, obtemos
2 2
2
2
2
n (a b) n 8 n 5 n 8(a b) n 5
8(a b) 5
5a b
8
1 5b
16b 8
16b 10b 1 0
1 1b ou b .
2 8
Portanto, como 1
b2
implica em 2
a4
e 1
b8
implica em 2
a ,2
segue que a 2
b 2 ou
a4 2.
b
Resposta da questão 15:
S x x 2 ou x 3
21
5
log x x 191
164
21
5
2 log x x 191 1
4 4
2
1 1
5 5
log (x x 19) log 25
x2 – x + 19 > 25
x2 –x – 6 > 0
Logo, x < -2 ou x > 3
Resposta da questão 16: [D] Resposta da questão 17: [E] Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19: [B] Resposta da questão 20:
S =1
6
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Resposta da questão 21: [E] Resposta da questão 22:
1
5≤ x ≤ 1
Resposta da questão 23: [C] Resposta da questão 24: [D] Resposta da questão 25: [A] Resposta da questão 26: [B] Resposta da questão 27: [B] Resposta da questão 28: [A] Resposta da questão 29: [D] Resposta da questão 30: [E] Resposta da questão 31: [E] Resposta da questão 32: [D] Resposta da questão 33: [B]
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 12/11/2017 às 10:37 Nome do arquivo: lista ita exponecial e modulo
Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 166686 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Analítica 2 ............. 166669 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Múltipla escolha 3 ............. 166670 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2017 ................................ Múltipla escolha 4 ............. 153099 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2016 ................................ Múltipla escolha 5 ............. 153098 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2016 ................................ Múltipla escolha 6 ............. 153102 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2016 ................................ Múltipla escolha 7 ............. 153118 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2016 ................................ Analítica 8 ............. 137178 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2015 ................................ Analítica 9 ............. 137158 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2015 ................................ Múltipla escolha 10 ........... 129809 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2014 ................................ Analítica 11 ........... 129788 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2014 ................................ Múltipla escolha 12 ........... 123566 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2013 ................................ Múltipla escolha 13 ........... 123606 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2013 ................................ Analítica 14 ........... 123565 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2013 ................................ Múltipla escolha 15 ........... 101543 ..... Média ............ Matemática ... Ita/2011 ................................ Analítica 16 ........... 79927 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2008 ................................ Múltipla escolha 17 ........... 73610 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2007 ................................ Múltipla escolha 18 ........... 73609 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2007 ................................ Múltipla escolha 19 ........... 57031 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2005 ................................ Múltipla escolha 20 ........... 57025 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2004 ................................ Analítica 21 ........... 40078 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Múltipla escolha 22 ........... 40095 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2002 ................................ Analítica
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23 ........... 36019 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2001 ................................ Múltipla escolha 24 ........... 36000 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2001 ................................ Múltipla escolha 25 ........... 33568 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2000 ................................ Múltipla escolha 26 ........... 33580 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/2000 ................................ Múltipla escolha 27 ........... 30090 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1999 ................................ Múltipla escolha 28 ........... 23710 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1998 ................................ Múltipla escolha 29 ........... 23700 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1998 ................................ Múltipla escolha 30 ........... 23472 ....... Não definida .. Matemática ... Ita/1997 ................................ Múltipla escolha 31 ........... 7119 ......... Não definida .. Matemática ... Ita/1996 ................................ Múltipla escolha 32 ........... 7120 ......... Não definida .. Matemática ... Ita/1996 ................................ Múltipla escolha 33 ........... 847 ........... Não definida .. Matemática ... Ita/1995 ................................ Múltipla escolha