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Il differenziale e l’approssimazione lineare

a.s. 2009/10

Materiali prodotti dal docente di matematica Alberto Rossi

per la classe V CH dell’ISIS “Facchinetti” di Castellanza

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Retta tangente al grafico

Consideriamo una funzione y(x) definita in un intervallo (a,b) e sia c un punto di (a,b). Dire che la funzione è derivabile in c equivale a dire che il grafico della funzione ammette retta tangente nel punto (c,y(c)). Sappiamo anche che la sua pendenza è uguale a y’(c).

L’equazione di tale retta tangente è quindi

yL(x) -y(c) = y’(c)(x-c)

In sostanza, la funzione

yL(x) = y(c) + y’(c)(x-c)

L’equazione della retta tangente al grafico della funzione y=x2 nel suo punto di ascissa 1 èa) y=2x b) y=2x+1 c) y=x-1 d) y=x+1

è un’approssimazione lineare della funzione data y(x), e tale approssimazione è valida in un opportuno intorno del punto c.

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Il differenzialeIl problema dell’approssimazione lineare di una funzione derivabile in un intorno di un punto x del suo dominio può essere efficacemente riformulato nel linguaggio dei differenziali.

A tale scopo consideriamo una funzione y(x) definita in un intervallo (a,b) e derivabile in un punto x di tale intervallo.

Chiamiamo differenziale della variabile indipendenteun incremento dato alla variabile x, e lo indichiamo con ∆x o condx.

Supponiamo che il differenziale dx sia tale che x+dx appartenga ad (a,b).

Chiamiamo differenziale della funzione y(x)nel punto x con incremento dx il prodottody(x, dx) = y’(x)dx

Poiché la dipendenza del differenziale della funzione da x e dx viene spesso sottointeso, scriveremo anche

dy=y’(x)dxNell’esempio grafico il differenziale dy corrisponde alla lunghezza (con segno) del segmento QR, cioè a yL(x+dx) -y(x).

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Differenziale e incremento della funzione

Chiamiamo ora ∆y l’incremento che la funzione ha quando la variabile indipendente passa da x a x+ ∆x.Dal grafico ricaviamo facilmente:

∆∆∆∆y = dy + εεεε

Infatti

• ∆y corrisponde alla lunghezza con segno del segmento orientato QS;

• ε (che chiameremo errore) corrisponde alla lunghezza con segno del segmento orientato RS (nell’esempio ha segno negativo);

• dy corrisponde alla lunghezza (con segno) del segmento orientato QR.

La relazione sopra introdotta• corrisponde quindi alla relazione geometrica QS=QR+RS• ci dice che l’incremento ∆y della funzione quando la variabile indipendente passa da x a x+∆x è approssimato, a meno dell’errore ε, dal differenziale dy.

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L’errore

Sostituendo nella relazione

∆y = dy + εl’espressione (facilmente deducibile dal grafico)

∆y= y(x+∆x)-y(x)e la definizione del differenziale

dy=y’(x) ∆xsi ottiene

y(x+∆∆∆∆x) - y(x) = y’(x)∆∆∆∆x + εεεε(∆∆∆∆x)Qui abbiamo messo in evidenza la dipendenza dell’errore εdall’incremento ∆x.

x

x

x

xyx

∆∆+=

∆−∆+ )(

(x)y’ )() y(x ε

Dividendo entrambi i membri per ∆x si ricava

Se la funzione y(x) è derivabile in x, il limite per ∆x che tende a zero del primo membro è y’(x) [vedi definizione di derivata]. Allora anche il secondo membro deve avere lo stesso limite per ∆x che tende a zero. Ciò implica che

0)(

lim0

=∆∆

→∆ x

xx

ε

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Il differenziale e l’approssimazione lineare

Abbiamo visto che se una funzione y(x), definita in un intervallo (a,b), è derivabile in un punto x di tale intervallo, possiamo scrivere

∆y = dy + εo, in forma estesa,

y(x+∆x) - y(x) = y’(x)∆x + ε(∆x)

Abbiamo inoltre dimostrato che

0)(

lim0

=∆∆

→∆ x

xx

ε

Ciò significa che l’errore ε(∆x) tende a zero più rapidamente di ∆x; in altre parole, come si dice in questi casi, ε(∆x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ∆x.In pratica, nella relazione che esprime l’incremento y(x+∆x) - y(x), per ∆x abbastanza piccolo l’errore ε(∆x) è trascurabile rispetto a y’(x) ∆x, e perciò y(x+∆ x) - y(x) ≈ y’(x)∆ x o, in forma sintetica, ∆y ≈ dy.Quindi il differenziale dy è un’approssimazione lineare dell’incremento ∆y che la funzione subisce quando la variabile indipendente passa da x a x+dx.

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Riassumiamo

Data una funzione y(x) definita in un intervallo (a,b) e derivabile in un punto x di (a,b) possiamo:1) Determinare il suo differenziale dy, definito dalla relazione

dy=y’(x)dx2) Utilizzare il differenziale come approssimazione lineare della funzione.

L’approssimazione lineare è espressa dalle seguenti relazioni, più o meno esplicite∆y = dy + ε

y(x+∆x) - y(x) = y’(x)∆x + ε(∆x)y(x+∆x) = y(x) + y’(x)∆x + ε(∆x)

dove l’errore ε è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a dx.

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Il differenziale e la notazione di Leibniz per la derivata

La definizione del differenzialedy = y’(x) dx

porta in modo naturale alla notazione di Leibniz, per la derivata. Infatti dividendo entrambi i membri della relazione precedente per dx si ottiene

)(' xydx

dy =

La notazione di Leibniz per la derivata (dy/dx) è molto comoda in diverse applicazioni, in alternativa alla notazione di Lagrange (y’(x)).

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Le notazioni del differenziale

Nella precedente spiegazione abbiamo parlato di una funzione reale di variabile reale y=y(x), scegliendo quindi di indicare la legge che individua la funzione con lo stesso nome assegnato alla variabile dipendente. Abbiamo quindi indicato il differenziale di tale funzione con

dy = y’(x) dx

In generale, spesso si parla di una funzione y=f(x). In tal caso il suo differenziale sarà indicato con df o con dy, e la derivata al secondo membro sarà indicata con y’(x) o con f’(x).Inoltre si può scegliere di rendere esplicita la dipendenza del differenziale da x e/o dx, oppure lasciarla implicita.Si potrà per esempio scrivere:

df(x, dx)=f’(x) dx oppure df(x)=f’(x) dx o ancora dy= f’(x) dx.

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Esempi

Esempio 1Scrivi il differenziale delle funzione y=sinx, y=ln(1+x2), y=xe-x

Soluzionea) La derivata di f(x)=sinx è f’(x)=cosx; perciò il suo differenziale è dy=cosx dx.b) La derivata di f(x)=ln(1+x2) è f’(x)=2x/(1+x2); perciò il suo differenziale è dy= 2x/(1+x2)dxc) La derivata di f(x)= y=xe-x è f’(x)=(1-x)e-x; perciò il suo differenziale è dy=(1-x)e-x dx

Esempio 2Determina il differenziale della funzione y=x2 con punto iniziale x=3 e ricava l’approssimazione lineare di tale funzione nell’intorno di x=3.

SoluzioneIl differenziale di y=x2 è dy(x,dx)=2xdx. Posto x=3 abbiamo dy(3,dx)=6dx. Ciò significa che l’incremento ∆y che la funzione subisce quando la variabile indipendente passa da 3 a 3+dx è, per dx abbastanza piccolo, circasei volte l’incremento scelto ∆x=dx. Perciò ∆y≈6∆x.L’approssimazione lineare richiesta è quindi ∆y=6∆x. Calcolando y(3)=9 ed esplicitando ∆y=y-9 e ∆x=x-3 otteniamo y-9=6(x-3) e quindi y=6x-9. La funzione ottenuta è l’approssimazione lineare della funzione y=x2 in un intorno del punto x=3. Il suo grafico è la retta tangente al grafico della funzione y=x2 nel suo punto di ascissa 3.

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Esempio

.4 di intornonell' funzione della

lineare zioneapprossima mediante 5 di valoreil Determina

== xxy

0,6%. lo circa è epercentualIn -0,014.2,250-2,236

a uguale perciò è )( zioneapprossima di erroreL'

.236,25 ha si cecalcolatri laCon

.250,25 quindi e 25,2141

)4(5

otteniamo )( errorel' do trascurane 1 Ponendo

)(),4()4(4

ricava si grafico

un facendo formule) ricordare senza (anche Inoltre

.41

4 abbiamo ,2

1 Poichè

Soluzione

=

=

≅=+≅

=++=+

==

dx

y)y(

dxdx

dxdxdyydx)y(

dx,dx)dy(dxx

dy(x,dx)

ε

εε

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La concezione di Leibniz del differenziale

Leibniz (1646, 1716), considerato insieme a Newton uno dei fondatori del calcolo infinitesimale, intendeva il differenziale con un’accezione diversa rispetto a quella attualmente utilizzata nell’analisi matematica, che oggi si basa sulla definizione rigorosa di limite introdotta da Cauchy e meglio formalizzata da Weirestrass nella prima metà dell’’800.Per Leibniz i differenziali sono una quantità “infinitamente piccole” che, pur non essendo uguali a zero (e ciò consente di pensare al loro rapporto) sono minori di qualunque quantità finita. Ciò equivale, dal punto di vista grafico, a identificare la retta tangente al grafico in un punto con la retta secante il grafico in quel punto e in un altro “infinitamente vicino”.Tale concezione, pur non essendo rigorosa dal punto di vista matematico, è ancora in uso nel linguaggio scientifico, ove spesso ci si riferisce ai differenziali come “infinitesimi”, implicitamente o esplicitamente intesi come quantità o variazioni infinitamente piccole.

Per esempio, sappiamo che il lavoro compiuto da un gas in espansione a pressione costante è dato dalla relazione ∆L = p ∆V. Nella generalizzazione di tale definizione al caso di trasformazioni non isobare, si dirà che il lavoro infinitesimo (o anche “elementare”) compiuto dal gas quando il volume varia di una quantità infinitesima dV è dato dalla relazione dL=pdV, intendendo tali infinitesimi come quantità infinitamente piccole.

Altro esempio: lo spazio infinitesimo ds percorso, nel tempo dt, da un corpo che si muove a velocità v (variabile nel tempo) è dato dalla relazione ds=vdt…

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Proprietà del differenziale

Il differenziale eredita dalla derivata le relative proprietà. In particolare, consideriamo due funzioni u=u(x) e v=v(x) definite in un intervallo I e ivi derivabili, e una costante reale k. Valgono le seguenti relazioni:

d(ku)=kdud(u+v)=du+dvd(uv)=udv+vdud(u/v)=(vdu-udv)/v2

Inoltre, detta y(z(x)) una funzione composta definita in un intervallo I e ivi derivabile, abbiamo

dy = y’(z) z’(x)dx

Chiaramente tutte queste proprietà del differenziale sono conseguenze immediate delle analoghe proprietà delle derivate.

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Derivata della funzione composta nella notazione di Leibitz

Alcune importanti proprietà della derivata possono essere efficacemente espresse nel linguaggio dei differenziali.Prendiamo per esempio la regola di derivazione per le funzioni composte. Nel linguaggio di Lagrange, avendo una funzione y(z(x)) con z derivabile in x e y derivabile in z(x), la sua derivata è espressa dalla relazione

y(z(x))=y’(z(x)) z’(x)

Passando alla notazione di Leibitz scriveremo

dx

dz

dz

dy

dx

dy =

Il secondo membro può essere ottenuto formalmente dal primo semplicemente moltiplicando e dividendo per dz. La formula che esprime l’enunciato appare quindi, formalmente, come un’identità algebrica.

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Derivata della funzione inversa nella notazione di Leibitz

Prendiamo ora il teorema di derivazione della funzione inversa. L’enunciato afferma che se una funzione y=f(x) definita in un intervallo (a,b) è derivabile in un punto x di (a,b) e f’(x) è diversa da zero, allora la funzione inversa x=ϕ(y) [vedi nota 1] è derivabile in y=f(x) e la derivata vale

dxdydy

dx

/1=

E appare quindi formalmente, anche in questo caso, come un’identità algebrica.

NOTA 1: In questo contesto la funzione inversa viene denotata con ϕ, invece che con f-1, per non generare confusione di simboli quando si scrive la sua derivata

)('1

)('xf

y =ϕ

La formula che esprime l’enunciato diviene, nella notazione di Leibnitz