ii vectoriale de coliniaritate · 2016. 7. 3. · Ciocotişan Radu 3.1 Condiţii vectoriale de...

Ciocotişan Radu

ii vectoriale de coliniaritateii vectoriale de coliniaritateţţ3.1 Condi3.1 Condiia 1.ia 1.ţţPropoziPropozi

Punctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numărul real α astfel încât ACAB

ieieţţemonstraemonstraDD

1) Dacă A,B,C sunt coliniare atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari deci există numărul real α şi ACAB 2) Dacă ACAB atunci vectorii AB şi AC sunt coliniari,deci dreptele AB şi AC coincid,adică punctele A,B,C sunt coliniare

n cazurileîişia este adevăratăţ: propoziieţObserva ABACBCACACAB ,,

Punctele A,B,C sunt coliniare există numărul real α ,astfel încât ACAB

Ciocotişan Radu

ia 2.ia 2.ţţPropoziPropoziPunctele A,B,C sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele reale x,y,cu x+y=1, astfel încât pentru orice punct O din plan avem

OByOAxOC

Punctele A,B,C sunt coliniare . astfelastfel îîncât pentru orice punctncât pentru orice punct O din plan avem1,, yxRyx OByOAxOC

a) b)ieieţţemonstraemonstraDD

a)→b)A

B

C

O

Fie OByOAxOBOAOBOAOCCB

CA

11

1

1

1

x y

b)→a) avem

CBx

yCACByCAx

CByCAxOCCByCAxOCyxCBOCyCAOCxOByOAxOC

0 iar din Prop.1 A,B,C sunt coliniare

ăăţţConsecinConsecin Cum x+y=1 avem y=1-x şi atunci

OBxOAxOC )1( *RxPunctele A,B,C sunt coliniare

Ciocotişan Radu

Problema 1Problema 1

Într-un trapez mijloacele bazelor,punctul de intersecţie al diagonalelor şi punctul de intersecţie al laturilor neparalelesunt 4 puncte coliniare

AB

CD

O

E

F

IRezolvareRezolvare

,O,F sunt coliniareArătăm că E1)

,2

,2

OBOAOF

OCODOE

E,F mijloace

Notămk

OD

OB

OC

OA

OEkOBOC

kOBkOCkOBOA

OF

OCkOA

222

,

ceea ce exprimă că O,E,F sunt coliniare( Prop.1)

,F,I sunt coliniareArătăm că punctele E2)

2,

2

IBIAIF

ICIDIE

E,F mijloace

IFk

IBIAk

IEkIB

IC

kIA

ID

kOA

OC

AB

DCOABODC

AB

DC

IB

IC

IA

IDIABIDC

2

1

2

11,

1

1

ceea ce exprimă că I,E,F sunt coliniare( Prop.1)

Ciocotişan Radu

22ProblemaProblema

În triunghiul ABC ,fie D,E mijloacele laturilor AB,AC.Fie C’ situat pe AB şi B’ situat pe AC astfel ca

AB

AB

AC

BC

'

'

'

' Arătaţi că punctele D,E şi I ,mijlocul lui B’C’ sunt coliniare.

RezolvareRezolvare A

B C

D EI

B’

C’

12

'' ACABAI

Avem 2,

1

1'

'''''

ABAC

ACABBCABACACBC

Avem 3,1

''' ACABCBAB

Înlocuind 2 şi 3 în 1 avem AEADAI

11

1

x y

şi x+y=1 deci D,E,I coliniare( Prop.2)

Ciocotişan Radu

33ProblemaProblema

Fie triunghiul ABC şi G centrul său de greutate.O dreaptă d care trece prin G,intersectează AC în P şi BC în Q. Arătaţi că 1

QC

BQ

PC

AP

RezolvareRezolvare

Notăm nQC

BQm

PC

AP ,

C

BA

GP

Q

atunciCA

mCP

mCA

CP

1

1

1

1

analog CB

nCQ

1

1

De asemenea avem CBCACCCG 2

1

3

2'

3

2

Cum punctele P,Q,G sunt coliniare,există numărul real nenul t,astfel încât CQtCPtCG )1( consecinţă

CBn

tCA

m

tCBCACG

1

1

13

1

Atunci

Cum vectorii CA şi CB sunt necoliniari avem

cctdnmnmn

tm

t

n

t

m

t

,13

11

3

1

3

11şi

3

11

1

3

1şi13

1

Ciocotişan Radu

SYLVESTERSYLVESTERia luiia luiţţRelaRela

În orice triunghi ABC avem

( notăm O-centrul cercului circumscris,G-centrul de greutate,H-ortocentrul)

OHOCOBOA

ieieţţDemonstraDemonstra

triunghi dreptunghic1.Cazul A

B CO

H=A OHOA OHOCOBOA evident

triunghi oarecare.Cazul2

A

B

C

O

D

H

P

BHCDABCHABDB

DCBHACDCACBH

//,

//,

deci BHCD este paralelogram

Fie P mijlocul lui BC

În ΔAHD, OP este linie mijlocie OPAH 2De asemenea în ΔOBC,OP este mediană OCOBOP 2

AHOCOB

În ΔAOH avem OAOHAH

OHOCOBOA

Ciocotişan Radu

))Dreapta lui EULERDreapta lui EULER((TeoremăTeoremă

i avemşi H sunt coliniarei H sunt coliniareşşO,GO,Gn orice triunghi ABC,puncteleÎ OGOH 3ieieţţDemonstraDemonstra

Folosim relaţia lui LEIBNIZ PCPBPAPG 3 cu P=O OCOBOAOG 3

OHOCOBOA dar

OGOH 3

ceea ce exprimă că O,G,H sunt coliniare(Prop.1)

ia lui LEIBNIZţrela

G

A

B C

B’

P

3

2

'2,'

1

1

PCPBPAPG

PCPAPB'dar

GB

GBPBPBPG

ieţObserva

Ciocotişan Radu

MENELAUSMENELAUSTeorema luiTeorema luiFie un triunghi ABC şi punctele A’,B’,C’ distincte de vârfurile triunghiului.

Punctele A’,B’,C’ sunt coliniare 1

'

'

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BA

A

B C

A’

B’C’

Notăm

CA

BA

'

'= m

AB

CB

'

'= n

BC

AC

'

'= p

(←)ieieţţDemonstraDemonstra

Presupunem mnp = 1. Din BAnBCn

BBABnCB

1

1'''

Avem

'1

1''1

'''' BAm

BABAm

BACABACABC

'1'''' BCpBCpBCACBCBA

(*)

'1

)1('

)1(

1' BC

n

pnBA

nm

mBB

x y

Se verifică că x+y = 1

Deci A’,B’,C’ sunt coliniare(Prop.2)(→) Presupunem prin absurd că A’,B’,C’ sunt coliniare şi mnp≠1Notăm 1mnqpq,

1

mnq

Construim unicul punct Q astfel ca qQB

QA Cum mnq= 1 avem A’,B’,Q coliniare

Atunci dreptele A’B’ şi AB au în comun 2 puncte distincte C’ şi Q,deci ele coincid.

3.23.2

A’B’C’ se numeşteTRANSVERSALĂ

Ciocotişan Radu

VAN AUBELVAN AUBELia luiţRelaFie triunghiul ABC şi punctele A’,B’,C’ ,diferite de vârfurile triunghiului,astfel încât AA’,BB’,CC’ sunt concurente în P.Atunci avem relaţia:

BC

AC

CB

AB

PA

PA

'

'

'

'

'

A

B C

P

A’

B’C’ sau

A

B C A’

C’

PB’


Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu transversala C’PC

BC

CA

PA

PA

CB

CA

PA

PA

BC

AC

PA

PA

CA

CB

BC

AC '

'

'

''

'1

'

''

'

Aplicăm T.Menelaus în ΔACA’ cu transversala B’PB

BC

BA

PA

PA

CB

AB

PA

PA

BA

BC

CB

AB '

''

'1

'

''

'

+

''

''

''

'

'

'

PA

PA

BC

BC

PA

PA

BC

BA

BC

CA

PA

PA

BC

AC

CB

AB

Ciocotişan Radu

Problema 4Problema 4Fie triunghiul ABC şi punctul D, situat pe segmentul BC ,astfel încât BC = 3DC.Fie C’ şi E mijloacele segmentelor AB şi CC’.Arătaţi că punctele A,E şi D sunt coliniare.

RezolvareRezolvare))MenelausMenelaus.(T.(TMetoda 1Metoda 1

A

B CD

C’E

ΔBCC’ şi ‘’transversala’’ A,E,D 11

21

2

1

'

'

DC

DB

EC

EC

AB

AC

Metoda 2.Metoda 2.

Arătăm că există numărul real α cu DEAE

221

2

' ACABACACAE

221

6

1

12

2

12

3

12

3

432

'

3

34 ACABACABACACBACABCCBCABCCCBCCEDCDE

Atunci DEAE 3 A,D,E coliniare (Prop.1)

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC echilateral şi punctele D,E astfel încât avem CAAEBCCD , Notăm DE∩AB= {F}. Arătaţi că ABAF3

1

A

B C D

E

F

))MenelausMenelaus.(T.(TMetoda 1Metoda 1ΔBFD cu transversala EAC

ED

EF

AB

AF

CD

CB

EF

ED

AB

AF 1

ΔECD cu transversala BAF

3

1

2

11

ED

FE

FD

FE

AE

AC

BC

BD

FD

FE

Metoda 2.Metoda 2.

Notăm 0 xAB

AFatunci A împarte în raportul -xFB EBxEF

xEA

1

1

Punctul E împarte în raportulAC

BCBABCBABE 2

2

1

21

1

1

2

1

ABBCEB 2

(1)

(2)

Cum vectorii EDEF şi sunt coliniari,există )2()(, BCACkCDECkEDkEFRk (3)Avem BCABACEA (4) Înlocuind 2,3,4 în 1 obţinem

BCxkABxkx

BCAB

3221

1

Cum vectorii AB şi BC sunt necoliniari avem simultan

3

1

11

3

11

22

xk

x

xkx

xk

Metoda 3.Metoda 3.Ducem CM // AB

M

T.Thales în ΔACM AFCMEFFMEF

FM

EA

AC2 (1)

Analog se arată că FM=MD,deci în ΔBDF BF=2CM (2)

Din 1 şi 2 avem AB+AF=2(2AF),deci AB=3AF

Ciocotişan Radu

Problema 6Problema 6Fie triunghiul ABC,A’mijlocul laturii BC şi N situat pe (AA’).Notăm BN∩AC={E},CN∩AB={D}.Arătaţi că DE // BC.

RezolvareRezolvare A

B CA’

NED

Aplicăm T.Menelaus în ΔAA’C cu transversala B,N,E

'2

11

'

' NA

NA

EC

EA

EC

EA

NA

NA

BA

BC

Aplicăm T.Menelaus în ΔBAA’ cu transversala D,N,C

'2

11

'

' NA

NA

DB

DA

DB

DA

NA

NA

CA

CB

Reciproca T.Thales DE // BC

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi un punct D situat pe dreapta AB astfel încât BDA

Fie [AF, CDF bisectoarea unghiului <CAD,E mijlocul lui [BC] şi AC∩BF={P}.Punctele D,P,E sunt coliniare dacă şi numai dacă AB=AC.

A

B C

D

E

F

P

RezolvareRezolvare

dacă AB=AC Punctele D,P,E sunt coliniare

Avem <FAC=< ACB AF // BC ABCF trapez Pr1 Punctele D,P,E sunt coliniare

Punctele D,P,E sunt coliniare dacă AB=AC

Aplic[m T.Menelaus în ΔABC cu transversala D,P,E 1EB

EC

PC

PA

DA

DB

De undePA

PC

DA

DB (1)

T.Menelaus în Δ ADC cu transversala BPFBD

BA

FC

FD

PC

PA

FD

FC

PC

PA

BA

BD 1

T.bisectoarei în ΔCAD avem

AC

AD

FC

FD

BD

BA

AC

AD

PC

PA (2)

Din 1 şi 2 avem AB=AC

Ciocotişan Radu

Problema 8Problema 8Fie ABCD un patrulater convex şi O intersecţia diagonalelor sale AC şi BD.O dreaptă mobilă care trece prin O taie dreptele AB,DC,în punctele M,N(diferite de vârfurile patrulaterului)Arătaţi că produsul

kNC

ND

MB

MA

A

B C

D

M NORezolvareRezolvare

Aplicăm T.Menelaus în ΔABD cu transversala L,M,O

L

OB

OD

LD

LA

MB

MA

MA

MB

OB

OD

LD

LA 1

Aplicăm T.Menelaus în ΔACD cu transversala L,N,O

OC

OA

LA

LD

ND

ND

NC

ND

OA

OC

LD

LA 1

·

kOC

OA

OB

OD

NC

ND

MB

MA

Ciocotişan Radu

CEVACEVA3.3 Teorema lui3.3 Teorema lui

Fie untriunghi ABC şi A’,B’,C’ situate respectiv pe dreptele BC,CA şi AB ,diferite de vârfuri.Atunci AA’,BB’,CC’ sunt concurente sau paralele

1'

'

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BA


AA’,BB’,CC’ sunt concurente în M.

A

B CA’

B’C’

MAplicăm T.Menelausîn ΔABA’ cu transversala C’,C,M

1'

''

'

MA

MA

CA

CB

BC

AC

Aplicăm T.Menelausîn ΔACA’ cu transversala B’,B,M

1'

''

'

MA

MA

BA

BC

CB

AB1

'

'

'

'

'

'

''

'

''

'

CB

BC

AB

BA

CA

CB

BC

AC

BA

BC

CB

AB

CA

CB

BC

AC

AA’,BB’,CC’ sunt paralele.

A

B C

B’C’

A’Aplicăm T.Thales

''

'

AC

AB

CA

BAΔBCC’

BA

BC

AB

CB '

'

'ΔBAB’cu CC’

·

BA

AB

AC

BC

AB

CB

CA

BA

BA

BC

AC

AB

AB

CB

CA

BA

'

'

'

'

'

'

'

'

''

'

'

'

-1Reciproca se demonstrează prin reducere la absurd.

1'

'

'

'

'

'

BC

AC

AB

CB

CA

BAsau

Ciocotişan Radu

GergonneGergonnePunctul luiPunctul lui

Dacă în ΔABC notăm M,N,P punctele de contact ale cercului înscris cu laturile BC,CA,AB,))GergonneGergonneun punct (-ntrîatunci dreptele AM,BN,CP sunt concurente

A

B CM

NP1

PB

PA

NA

NC

MC

MBieieţţDemonstraDemonstra

Avem AM,BN,CP concurente ( nu pot fi paralele)

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi M mijlocul lui BC.Considerăm [MP bisectoarea unghiului <AMC, undeAtunci dreptele AM, BN şi CP sunt concurente.

ACNABP ,

RezolvareRezolvare

A

B CM

P N

Aplicăm T.bisectoareiMC

MA

NC

NA

MB

MA

PB

PA şi

Verificăm T.Ceva

11 MC

MA

MA

MC

PB

PA

NA

NC

MC

MB

AM, BN şi CP sunt concurente

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi înălţimea CD,mediana AM şi bisectoarea BE.Dacă 1

BA

BD

BC

BDatunci dreptele CD, AM şi BE sunt concurente.

A

B C

D

M

E

RezolvareRezolvare

Este suficient să verificăm T.Ceva 1DB

DA

EA

EC

MC

MB (1)

a

bc

a

c

DB

DADB

DA

c

a

DB

DA

c

a

a

a

DB

DA

EA

EC

MC

MB

12/

2/

(2)

sau

darca

acBD

caBDBA

BD

BC

BD

1111

Atuncica

cBDcAD

2

... Şi avema

c

ac

ca

ca

c

DB

DA

2

Ciocotişan Radu


Fie ΔABC şi punctele A’, B’şi C’ situate respectiv pe segmentele (BC), (AC) şi (AB) astfel încât cevienele AA’, BB’, CC’sunt concurente în M. Atunci

6'''

)

'''2

''')

MC

MC

MB

MB

MA

MAb

MC

MC

MB

MB

MA

MA

MC

MC

MB

MB

MA

MAa

(cu ‘’= ‘’ M este centrul de greutate)

RezolvareRezolvare

A

B CA’

B’C’M

Notăm pBC

ACn

AB

CBm

CA

BA

'

',

'

',

'

'atunci mnp=1

Aplicăm relaţia lui Van Aubel

mn

AB

CB

BA

CA

MC

MA

pm

AC

BC

CA

BA

MB

MBn

pCB

AB

BC

AC

MA

MA

1

'

'

'

'

'

1

'

'

'

'

'

1

'

'

'

'

'

a)

cctdm

np

mn

p

mn

pm

np

MC

MC

MB

MB

MA

MA

1112

...111

'''

b) cum 21

xx avem cctd.

1

...01

021

21

21

6111

2

pnm

p

nn

mm

pp

mn

pm

np

adică AA’,BB’,CC’ sunt mediane

Ciocotişan Radu

Probleme propuse pag192/193Probleme propuse pag192/193

Problema 1/192Problema 1/192

Fie 2 drepte secante şi d∩d’=O. Considerăm punctele B, C situate pe d şi punctele A, D situate pe d’ astfel încât AB // CD.Fie I, J mijloacele segmentelor AB şi CD. Arătaţi că punctele I, J şi O sunt coliniare.

O

d

d’

A D

BC

IJ

ie:ie:ţţindicaindica

2;

2

OCODOJ

OBOAOI

Din asemănare avem OCkOBODkOAkOC

OB

OD

OA ,

Atunci

OJkOCOD

kOBOA

OI

22 ceea ce exprimă că punctele O,I,J sunt coliniare

Ciocotişan Radu

Problema 2/192Problema 2/192Fie un triunghi ABC şi punctele ACFABE , astfel încât EF // BC.

Considerăm punctele 0cu, NC

NB

MF

MEBCNEFM

Arătaţi că punctele M, N şi A sunt coliniare.

A

B C

E F

M

N


Din T.Thales avem ACkAFABkAEkAC

AF

AB

AE ;

Dar

NCNB

MFME

de unde exprimând vectorii de poziţiecu originea A avem:

ACABAN

1

1

şi

ANkACABk

AFAEAM

11

1

Ceea ce exprimă că punctele A,M,N sunt coliniare.

Ciocotişan Radu

Problema 3/193Problema 3/193Fie un paralelogram ABCD.Notăm cu I mijlocul laturii AB şi considerăm punctul E situat pe [ID] astfel încât IDIE

3

1

Arătaţi că punctele A, E, C sunt coliniare.

A B

CD

I

E


Deoarece IE este o treime din ID avem

ACABADAIADAE

EIED

3

1

3

12

21

1

2

adică punctele A,E,C sunt coliniare

Ciocotişan Radu


Fie paralelogramul AMNO şi punctele B, C astfel încât avem .2*,1

11

nN ; nOM

nOC ;ON

nOB

Arătaţi că A, E şi C sunt puncte coliniare.


A M

NOB

C

AB

n

n

OAOBn

nOAON

nn

nONOA

nOAOM

nOAOCAC

OCAOAC

1

1)

1(

11

1

1

1

adică punctele A,C,B sunt coliniare

Ciocotişan Radu

Problema 5/193Problema 5/193Fie două triunghiuri ABC şi A’B’C’.Considerăm punctele ',',' CCCBBNAAM

astfel încât ',',' PCPCNBNBMAMA Arătaţi că centrele de greutate ale triunghiurilor ABC,A’B’C’ şi MNP sunt puncte coliniare.

ie:ie:ţţindicaindicaNotăm centrele de greutate respectiv cu G,G’ şi Q.

Exprimând vectorii de poziţie (LEIBNIZ) avem:

OPONOMOQ

OCOBOAOG

OCOBOAOG

3

1

'''3

1'

3

1Din ipoteză avem :

'

1

1

'1

1

'1

1

OCOCOP

OBOBON

OAOAOM

Fie O , un punct oarecare din plan.

Atunci : '

1

1'''

33

1

1

1

'1

1'

1

1'

1

1

3

1

OGOGOCOBOAOCOBOA

OCOCOBOBOAOAOQ

Alegem O = Q şi avem'QGQG adică G,G’ şi Q sunt coliniare.

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC şi punctele M, N astfel încât avemRrNCrNBACABAM ,;2

Determinaţi r astfel încât punctele A, M şi N să fie coliniare.


Exprimăm vectorul de poziţie al lui N în raport cu originea A )(1

1ACrAB

rAN

A,M,şi N să fie coliniare AMAN ,

ACABACrABr

2)(1

1

2

1

1

21

1

r

r

rr

Ciocotişan Radu


Fie un paralelogram ABCD.Considerăm punctele E, F astfel încât ADAFABBE 3,2

1

Arătaţi că punctele E, F şi C sunt coliniare.


AB E

CD

F

Arătăm că: CFEC 2 care exprimă coliniaritatea E,F şi C.

BCABADABADAFCDDFCDCF

BCABBCEBEC

22

2

1

cctd

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC unde notăm centrul cercului circumscris cu O şi ortocentrul cu H. Arătaţi că : HOHCHBHA 2ie:ie:ţţindicaindica

Scriem relaţia lui Sylvester OHOCOBOA A

B CO

H

Avem :

HCOHOC

HBOHOB

HAOHOA

+

HOOHHCHBHAHCHBHAOHOH 223

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC. Considerăm punctele 3

1cu',

2

1

'

'cu'

SA

SA'AAS

BA

CABCA şi notăm CS ∩AB = {M}

Arătaţi că M este mijlocul laturii [AB].

ie:ie:ţţindicaindica A

B C

M

A’

S

Aplicăm T.Menelaus în ΔABA’ cu M, S, C.

MBMACA

CA

MB

MA

CA

CB

SA

SA

MB

MA 1

3

13

'31

'

'

3

1

Ciocotişan Radu

Problema 10/193Problema 10/193Fie ABC un triunghi. Notăm cu M mijlocul lui [BC],notăm cu N mijlocul lui [AM] şi CN ∩ AB = {P}.Arătaţi că a) BP = 2AP şi b) PC = 4PN.


BC

M

NP

a) T.Menelaus în ΔABM cu P, N, C. PBPACM

CB

NA

NM

PB

PA21

1 2

b) T.Menelaus în ΔBPC cu A, N, M.

411

PC

PN

PC

PN

APAB

AP

CN

NP

AB

AP

MC

MB

NP

NC

AB

AP

1

Ciocotişan Radu


Fie triunghiul ABC dreptunghic în A şi C=30°.Considerăm bisectoarea BT,T situat pe segmentul AC şiînălţimea AE, E situat pe segmentul BC. Paralela prin C la BT taie AB în F. Arătaţi că punctele F, E şi T sunt coliniare.


E

AB

F

T

C

30 30

3030 3030

c

ab

2

acAB 3

4

3,

4

EB

ECaEC

aEB

T.bisectoarei

2

12 a

a

TC

TA

3

2

2

3,

FA

FBaFAaFB

Atunci:1

3

2

1

3

2

1

FA

FB

EB

EC

TC

TA R.T.Men.F,E şi T sunt coliniare

Ciocotişan Radu


Fie T un punct în interiorul triunghiului ABC.Dreptele AT , BT şi CT intersectează [BC], [CA], [AB] respectiv în punctele M, N, P.Dacă T este centrul de greutate al triunghiului MNP,arătaţi că T este centrul de greutate al triunghiului ABC.


B CM

NP

C’

A’

B’T

T.Menelaus în ΔPMC cu B,B’;T )1(1'

'

TC

TP

BC

BM

TP

TC

MB

PB

BC

BM

T.Menelaus în ΔPNC cu A,A’;T )2(1'

'

TC

TP

AC

AN

TP

TC

NA

PA

AC

AN

ABMNAC

AN

BC

BM//

=1

=1

C’ mijloc P mijlocul ABanalog M,N

Ciocotişan Radu


Fie ABC un triunghi şi punctele coliniare .,, ABPCANBCM Notăm M’, N’, P’ simetricele acestor puncte în raport cu mijlocul laturii pe care se află fiecare.Arătaţi că punctele M’, N’, P’ sunt coliniare.


B

P’

P

M M’ C

N’N

Q

Avem'

'

'

'

BM

CM

BQQM

QMQC

QCMQ

MQBQ

MC

MB

analog

AP

BP

PB

PACN

AN

NA

NC

'

''

'

T.Menelaus în ΔABC cu P,M,N.

1NA

NC

MC

MB

PB

PAînlocuim 1

'

'

'

'

'

'

CN

AN

BM

CM

AP

BP

M’,N’,P’ sunt coliniare

Ciocotişan Radu


Fie un triunghi ABC şi punctele ABCACBBCA ',',' astfel încât cevienele AA’,BB’ şi CC’ sunt concurente în M.

Arătaţi că ,8'''

MC

MC

MB

MB

MA

MAcu egalitate M este centrul de greutate al triunghiului ABC.


B C

A’

B’C’

M

Notăm pBC

ACn

AB

CBm

CA

BA

'

';

'

';

'

'

Aplicăm relaţia lui Van Aubel:

mn

AB

CB

BA

CA

MC

MC

pm

AC

BC

CA

BA

MB

MBn

pCB

AB

BC

AC

MA

MA

1

'

'

'

'

'

1

'

'

'

'

'

1

'

'

'

'

'

82222111

2...111

1'''

pp

mm

nn

mn

pm

np

MC

MC

MB

MB

MA

MA

dacă

1....021

21

21

8111

2

pnm

pp

mm

nn

pp

mm

nn

adică A’,B’.C’ mijloace

Ciocotişan Radu


În triunghiul ABC bisectoarele AA’, BB’ şi CC’ se intersectează în punctul I. Arătaţi că sunt echivalente afirmaţiile:

8'''

)

6'''

)

)

IC

IC

IB

IB

IA

IAc

IC

IC

IB

IB

IA

IAb

lechilateraABCa


B C

I

A’

B’C’

(a→b) Dacă a=b=c avem 2'

a

aa

IA

IA

c

ba

IC

IC

b

ca

IB

IB

a

cb

IA

IA

';

';

'

Ştim că:

b)

(a→c) analog

(b→a) cbac

a

a

c

c

b

b

c

b

a

a

b

c

a

c

b

b

c

b

a

a

c

a

b

...02226

(b→c)

82222...111'''

a

c

a

b

c

b

b

c

b

a

c

a

b

c

c

b

a

c

c

a

b

a

a

b

IC

IC

IB

IB

IA

IA

(c→a)

cbac

b

b

c

a

c

c

a

a

b

b

a

a

c

a

b

c

b

b

c

b

a

c

a

...0222811

ii vectoriale de coliniaritate · 2016. 7. 3. · Ciocotişan Radu 3.1 Condiţii vectoriale de...

Documents

Transcript of ii vectoriale de coliniaritate · 2016. 7. 3. · Ciocotişan Radu 3.1 Condiţii vectoriale de...